Lista de Exercícios - Função Modular - Com Gabarito Comentado - Prof Aruã Dias

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1. (Eear 2017) Seja f(x) | x 3 |= − uma função. A soma dos valores de x para os quais a 
função assume o valor 2 é 
a) 3 
b) 4 
c) 6 
d) 7 
 
2. (Espcex (Aman) 2016) O gráfico que melhor representa a função real definida por 
2
4 | x 4 |, se 2 x 7
x 2x 2, se x 2
− −  

− + 
 é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
 
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Para fazer um estudo sobre certo polinômio ( )P x , um estudante recorreu ao gráfico da função 
polinomial ( )y P x= , gerado por um software matemático. 
Na figura, é possível visualizar a parte da curva obtida para valores de x , de 5− até 2,7 . 
 
 
 
 
3. (Uesc 2011) O número de raízes da equação ( )P x 1= , no intervalo  5,2,7− , é igual a 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
4. (Uft 2008) Sejam f e g funções reais de uma variável real definidas por: 
 
 f(x) = │ x - 1 │ e g(x) = 5 
 
A área da região limitada pelos gráficos dessas funções é: 
a) 10 unidades de área. 
b) 30 unidades de área. 
c) 50 unidades de área. 
d) 25 unidades de área. 
 
5. (Efomm 2016) Determine a imagem da função f, definida por f(x) || x 2 | | x 2 ||,= + − − para 
todo x , conjunto dos números reais. 
a) Im(f) = 
b) Im(f) {y | y 0}.=   
c) Im(f) {y | 0 y 4}.=    
d) Im(f) {y | y 4}.=   
e) Im(f) {y | y 0}.=   
 
6. (Ufrgs 2013) Se 
 
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é o gráfico da função f definida por ( )y f x ,= então, das alternativas abaixo, a que pode 
representar o gráfico da função z, definida por ( )z f x ,= é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
7. (Udesc 2009) A alternativa que representa o gráfico da função f(x) = | x 1|+ + 2 é: 
 
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a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
8. (Ufsj 2013) Movendo o gráfico da função y x 5= − quatro unidades de comprimento (u.c.) 
para a esquerda e duas u.c. para cima, obtém-se uma nova função. 
 
Assinale a alternativa que contém a função obtida. 
a) y x 11= − 
b) y x 7= − 
c) y x 4 2= + − 
d) y x 1 2= − + 
 
9. (Insper 2012) A figura a seguir mostra o gráfico da função f(x). 
 
 
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O número de elementos do conjunto solução da equação f(x) 1,= resolvida em é igual a 
a) 6. 
b) 5. 
c) 4. 
d) 3. 
e) 2. 
 
10. (Ueg 2016) Na figura a seguir, é apresentado o gráfico de uma função f, de R em R 
 
 
 
A função f é dada por 
a) 
| 2x 2 |, se x 0
f(x)
| x 2 |, se x 0
+ 
= 
− 
 
b) 
| x | 2, se 1 x 2
f(x)
| 2x 3 |, se x 1 e x 2
− + −  
= 
−  − 
 
c) 
| x 1|, se x 0
f(x)
| x 2 |, se x 0
− 
= 
+ 
 
d) 
| x 2 |, se 1 x 2
f(x)
| 2x | 1, se x 1 e x 2
− + −  
= 
+  − 
 
 
 
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11. (Ufmg 2010) Considere a função f(x) x |1 x | .= − 
 
Assinale a alternativa em que o gráfico dessa função está CORRETO. 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
12. (Fgv 2012) No plano cartesiano, os pontos (x, y) que satisfazem a equação + =x y 2 
determinam um polígono cujo perímetro é: 
a) 2 2 
b) +4 2 2 
c) 4 2 
d) +8 4 2 
e) 8 2 
 
13. (Epcar (Afa) 2012) Considere a figura abaixo que representa um esboço do gráfico da 
função real f 
 
 
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Sabe-se que ( ) ( )g x f x 3u,= − ( ) ( )h x g x u= + e ( ) ( )j x h x .= 
 
Um esboço do gráfico que melhor representa a função j é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
14. (Ufrgs 2013) A interseção dos gráficos das funções f e g, definidas por ( )f x x= e 
( )g x 1 x ,= − os quais são desenhados no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, 
determina um polígono. 
 
A área desse polígono é 
a) 0,125. 
b) 0,25. 
c) 0,5. 
d) 1. 
e) 2. 
 
15. (Ufms 2020) Seja f : → uma função modular, representada pelo gráfico a seguir: 
 
 
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A função f pode ser representada por: 
a) | x | | x 7 | .+ + 
b) | 3 x | | x 4 | .− + − 
c) | x | | x 7 | .− + − 
d) | x 2 | | x 5 | .+ + + 
e) | x 9 | | 3x 2 | .+ − + 
 
16. (G1 - cftmg 2015) O domínio da função real f(x) 1 | x |= − é o intervalo 
a) {x | x 1  − ou x 1} 
b) {x | x 1  − ou x 1} 
c) {x | 1 x 1} −   
d) {x | 1 x 1} −   
 
17. (Fgv 2012) O polígono do plano cartesiano determinado pela relação 3x 4y 12+ = tem 
área igual a 
a) 6. 
b) 12. 
c) 16. 
d) 24. 
e) 25. 
 
18. (Upe 2015) No sistema cartesiano representado a seguir, têm-se os gráficos das funções 
reais f e g. 
 
 
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Qual das igualdades representa uma relação entre as duas funções? 
a) g(x) f(x 3)= + 
b) g(x 3) f(x)− = 
c) g(x) f( x 3)= − − − 
d) g( x) f( x 3)− = − + 
e) g(3 x) f(x)− = − 
 
19. (G1 - cftmg 2017) Seja f(x) uma função real. O gráfico gerado pelo módulo dessa função, 
| f(x) |, 
a) nunca passará pela origem. 
b) nunca passará pelo 3º ou 4º quadrante. 
c) intercepta o eixo x somente se f(x) for do primeiro grau. 
d) intercepta o eixo y somente se f(x) for do segundo grau. 
 
20. (Espcex (Aman) 2020) A área da região compreendida entre o gráfico da função 
f(x) || x 4 | 2 |,= − − o eixo das abscissas e as retas x 0= e x 6= é igual a (em unidades de 
área) 
a) 2. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 10. 
e) 12. 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [C] 
 
Queremos calcular x de modo que se tenha f(x) 2.= Desse modo, vem 
 
| x 3 | 2 x 3 2
x 1 ou x 5.
− =  − = 
 = =
 
 
O resultado é, portanto, 1 5 6.+ = 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Construindo o gráfico da função f(x) 4 4 x ,= − − para 2 x 7.  
 
x 4 0 x 4− =  = 
 
 
 
Construindo o gráfico para 2 x 7,  temos: 
 
 
 
Construindo agora o gráfico da função 2f(x) x 2x 2,= − + para x 2. 
Intersecção com o eixo y : (0, 2) 
Não intercepta o eixo x, pois 4.Δ = − 
Vértice 
V
V
b ( 2)
x 1
2 a 2 1
( 4)
y 1
4 a 4 1
V(1,1)
Δ
−
= − = − = −
 
−
= − = − =
 
 
 
2f(2) 2 2 2 2 2= −  + = 
 
 
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Portanto, o gráfico da função pedida será: 
 
 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
Definamos a função y | P(x) |= e consideremos o seu gráfico: 
 
 
 
É fácil ver que a equação | P(x) | 1= possui 5 raízes, indicadas pelos pontos de interseção do 
gráfico de y | P(x) |= com a reta y 1.= 
 
 
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Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
Tem-se que: 
x 2, se x 2
| x 2 |
x 2, se x 2
+  −
+ = 
− −  −
 
e 
x 2, se x 2
| x 2 | .
x 2, se x 2
− 
− = 
− + 
 
 
Logo, podemos definir g: ,→ dada por: 
4, se x 2
g(x) | x 2 | | x 2 | 2x, se 2 x 2 .
4, se x 2
−  −

= + − − = −  
 
 
 
Em consequência, temos f(x) | g(x) |,= cujo gráfico é: 
 
 
 
Portanto, segue que Im(f) {y | 0 y 4}.=    
 
Resposta da questão 6: 
 [D] 
 
Refletindo-se a porção do gráfico de f que está abaixo do eixo das abscissas, em relação a 
esse mesmo eixo, obtemos o gráfico da função z. 
 
Resposta da questão 7: 
 [A] 
x 3, se x³ -1
f(x) | x 1| 2
-x 1, se x -1
+
= + + = 
+ 
 
 
 
Resposta da questão 8: 
 [D] 
 
 
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Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Solução 1 
 
 
 
De acordo com o gráfico, temos 5 pontos de Intersecção entre as funções f(x) e y = 1. 
Portanto, a equação dada possui 5 raízes. 
 
Solução 2 
 
=  = f(x) 1 f(x) 1 
 
Determinando o número de raízes pelo gráfico, obtemos: 
 
 
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Portanto, o número de soluções é 5. 
 
Resposta da questão 10: 
 [A] 
 
Observando o gráfico percebe-se que a função pode ser descrita como: 
| 2x 2 |, se x 0
f(x)
| x 2 |, se x 0
+ 
= 
− 
 
 
Substituindo os valores que cruzam os eixos, percebe-se que eles conferem com o gráfico: 
Quando x 1:= − 
2 1 2 0 − + = 
 
Quandox 0 := 
0 2 2− = 
 
Quando x 2 := 
2 2 0− = 
 
Resposta da questão 11: 
 [B] 
 
 
 
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Resposta da questão 12: 
 [E] 
 
 
 
Se x  0 e y  0 x y 2. + = 
 
Se x  0 e y < 0 x y 2. − = 
 
Se x < 0 e y < 0 x y 2.− − = 
 
Se x < 0 e y  0 x y 2.− + = 
 
Calculando o lado d do quadrado, temos: d2 = 22 + 22 d 2 2. =  
 
Logo, o perímetro P será dado por P = 4  d =8 2. 
 
Resposta da questão 13: 
 [A] 
 
f(x) sofre uma translação vertical 
 
 
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g(x) sofre uma translação horizontal 
 
 
 
A parte negativa de h(x) é multiplicada por –1. 
 
 
 
 
Resposta da questão 14: 
 [C] 
 
Considere a figura. 
 
 
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As abscissas dos pontos de interseção dos gráficos de f e g são tais que 
 
f(x) g(x) | x | 1 | x |
1
| x |
2
1
x .
2
=  = −
 =
 = 
 
 
Logo, como o gráfico da função g corresponde ao gráfico da função h(x) | x |,= − deslocado de 
uma unidade no sentido positivo do eixo das ordenadas, obtemos a figura acima. 
 
É fácil ver que o polígono determinado pelos gráficos de f e g é um quadrado cuja diagonal 
mede 1. Portanto, a área desse quadrado é igual a 
21
0,5.
2
= 
 
Resposta da questão 15: 
 [B] 
 
Tem-se que 
 
2x 7, se x 7
| x | | x 7 | 7, se 7 x 0 ,
2x 7, se x 0
− −  −

+ + = −  
 + 
 
 
2x 7, se x 3
| 3 x | | x 4 | 1, se 3 x 4 ,
2x 7, se x 4
− + 

− + − =  
 − 
 
 
7, se x 0
| x | | x 7 | 2x 7, se 0 x 7,
7, se x 7


− + − = − +  
− 
 
 
2x 7, se x 5
| x 2 | | x 5 | 3, se 5 x 2,
2x 7, se x 2
− −  −

+ + + = −   −
 −  −
 
e 
 
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2x 7, se x 9
2
| x 9 | | 3x 2 | 4x 11, se 9 x .
3
2
2x 7, se x
3
−  −

+ − + = + −   −


− +  −

 
 
Portanto, de acordo com o gráfico, só pode ser f(x) | 3 x | | x 4 | .= − + − 
 
Resposta da questão 16: 
 [D] 
 
1 | x | 0 | x | 1 1 x 1−     −   
 
Portanto, o domínio da função será dado por: {x | 1 x 1}. −   
 
Resposta da questão 17: 
 [D] 
 
Sabendo que 
, se 0
| | ,
, se 0
φ φ
φ
φ φ
 
= 
− 
 para todo φ real, temos as seguintes possibilidades: 
 
i) Se x 0 e y 0, então | 3x | | 4y | 12 3x 4y 12.+ =  + = 
ii) Se x 0 e y 0, então | 3x | | 4y | 12 3x 4y 12.+ =  − = 
iii) Se x 0 e y 0, então | 3x | | 4y | 12 3x 4y 12.+ =  − + = 
iv) Se x 0 e y 0, então | 3x | | 4y | 12 3x 4y 12.+ =  − − = 
 
Portanto, a relação | 3x | | 4y | 12+ = determina o losango de diagonais 6 e 8, conforme a 
figura abaixo. 
 
 
 
Em consequência, a área pedida é dada por 
6 8
24 u.a.
2

= 
 
Resposta da questão 18: 
 [E] 
 
Temos f(x) | x 3 |= − e g(x) | x | .= − Portanto, segue que 
 
g(3 x) | 3 x | | x 3 | f(x).− = − − = − − = − 
 
 
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Resposta da questão 19: 
 [B] 
 
A alternativa [B] é a correta, pois a função | f(x) | não assumirá valores negativos e, no terceiro 
e quarto quadrantes, os valores assumidos por qualquer função serão sempre negativos. 
 
Resposta da questão 20: 
 [C] 
 
Seja a função g tal que 
= − −
− − − 
= 
− + − − 
− 
= 
− + 
g(x) | x 4 | 2
x 4 2, se x 4 0
x 4 2, se x 4 0
x 6, se x 4
x 2, se x 4
 
 
Logo, o gráfico de g é 
 
 
 
Mas =f(x) | g(x) | e, portanto, segue que o gráfico de f é 
 
 
 
A resposta é igual a 
  +   =
1 1
2 2 4 2 6 u.a.
2 2