Volumes de sólidos geométricos

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Matemática e suas 
Tecnologias - Matemática
Volumes de sólidos geométricos
MATEMÁTICA – 9º Ano do Ensino Fundamental
Volumes de sólidos geométricos
NO MUNDO DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Vamos dar uma olhada em tudo ao nosso redor.
Observe as formas e as características de cada objeto.
Professor, leve para a sala uma diversidade de objetos: caixas,bola, latas, chapéu de aniversário, etc. 
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Matemática
Os sólidos geométricos estão presentes em vários contextos do dia a dia, nos objetos, nas construções, na natureza, etc.
Vejamos alguns exemplos:
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Pirâmides do Egito
Favos de mel
Planeta Terra
(A)Paconi / Creative Commons Atribuição 3.0 Unported 
(B)Waugsberg / GNU Free Documentation License 
(C)Daein Ballard / GNU Free Documentation License
Observe, nas imagens abaixo, as diferentes formas que compõem os sólidos geométricos. 
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Imagem(A): paperdog2005 / Creative Commons Attribution 2.0 Generic 
Imagem(B): Masakazu "Matto" Matsumoto / Creative Commons Attribution 2.0 Generic 
Imagem(C):Cane cane / public domain
Os sólidos geométricos podem ser classificados como:
POLIEDROS
 
possuem somente faces planas, eles não rolam.
NÃO POLIEDROS
possuem partes arredondadas, ou seja, não planas, por isso eles rolam. 
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Indique, entre as formas abaixo, os poliedros e os não poliedros.
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 Pesquise e liste objetos do cotidiano que apresentem a mesma forma e/ou características dos poliedros.
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(C) Masakazu "Matto" Matsumoto / Creative Commons Attribution 2.0 Generic 
(D) Cane cane / public domain
(A )Higor Douglas / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
(E) Paul Robinson / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
(B) paperdog2005 / Creative Commons Attribution 2.0 Generic 
Elementos de um poliedro
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O ponto A é um dos vértices desse poliedro.
O segmento de reta AB é uma das arestas.
A região triangular ACD é uma das faces.
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Vértice
Aresta
 C
 A
 B
 D
Face
Imagem: Pablo rigel / public domain 
PIRÂMIDES
POLIEDROS
Dentro dos poliedros, podemos distinguir:
PRISMAS
Possuem duas bases
Possuem uma base 
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Imagem: (A) Svdmolen / domínio público
Imagem(B): WikiInformante / Creative Commons Attribution 3.0 Unported
Imagem (C): Pablo rigel / public domain 
Poliedros regulares e os sólidos de Platão
 Um poliedro é regular quando todas as suas faces são polígonos regulares congruentes e seus ângulos poliédricos têm medidas iguais. 
 Platão estabeleceu algumas relações entre as classes de poliedros e a construção do Universo.
 Faça uma pesquisa e descubra quem foi Platão e o que são Sólidos de Platão.
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Saiba mais sobre os poliedros de Platão assistindo ao vídeo a seguir:
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mailto:http://www.youtube.com/watch?v=AOG8t_rPSKQ
Em grupo, vamos construir sólidos a partir das planificações abaixo.
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Professor, leve também as planificações dos corpos redondos.
Imagens:Júlio Reis / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
Icosaedro
Dodecaedro
Octaedro
Tetraedro
Hexaedro
Relação de Euler
	Analisando os poliedros de Platão, vamos completar a tabela a seguir:
	
Portanto, para os sólidos de Platão, vale a relação de Euler: 
 (V – A + F = 2), em que V = vértices, A = arestas e F = faces. 
	POLIEDRO	 ARESTAS	VÉRTICES	FACES
	TETRAEDRO	6	4	4
	HEXAEDRO	12	8	6
	OCTAEDRO	12	6	8
	DODECAEDRO	30	20	12
	ICOSAEDRO	30	12	20
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Vamos praticar! 1 cm 1 cm
 1 cm
Utilizando o material dourado, observe que cada aresta dos “cubinhos” mede 1 cm, seu volume é de 1 cm cúbico.
Agora, utilize 8 “cubinhos” e monte um cubo.
Qual a medida da aresta desse cubo? Qual o seu volume? 
 Resp.: 2 cm; 8 cm ³
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Analise o cubo maior do material dourado e responda : 
Por quantos “cubinhos “ ele é formado? 
Qual é o seu volume? 
Use agora 10 cubinhos. É possível montar um cubo?
Utilize 20 cubinhos e monte um bloco retangular.
 Resp.: 1000 unidades; 1000 cm ³; . Não.
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Volume de um sólido é a quantidade de espaço que esse sólido ocupa.
A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.
 Nesse cálculo, temos que ressaltar as três dimensões do sólido, observando o seu formato. 
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Volume do cubo
O cubo é um sólido geométrico cujas seis faces são quadrados de mesmo lado. Para calcular o volume do cubo, é necessário fazer o produto da área de sua base pela altura:
V = a . a . a 
 ou V = a³
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a
a
a
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Questão 1
 Monte com os “cubinhos” do material dourado um cubo com 27 unidades.
-Qual a medida das arestas desse cubo?
-Qual o volume do sólido?
 Resp.:
 3 unidades ; 27 cm3
 
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Volume do bloco retangular
O bloco retangular ou paralelepípedo retângulo é um sólido cujas seis faces são retângulos. Para calcular o volume do paralelepípedo retângulo, é necessário fazer o produto da área de sua base pela altura. 
 
V = a . b . c c
 b
 a
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Questão 2
 Qual é o volume de um reservatório de água, com forma de um bloco retangular, com dimensões de 8 m, 5 m e 3m?
 
 8 m 
 5 m
 3 m 
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Resp.: V = a . b . c
 V = 8 . 5 . 3 
 
 V = 120 m3
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Volume dos prismas
O prisma quadrangular tem quadrados nas suas bases. 
 Área da base:
 B = a. a
 h 
 Volume:
 B V = B . h
 imagem:Jharni Elmer Neyra Valverde/GNU Free Documentation License 
O prisma triangular tem triângulos nas suas bases. 
 Área da base:
 h B = b. H /2 
 
 Volume:
 B V = B . h
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Questão 3
 Calcule o volume de um prisma com 3 cm de altura, cuja base tem como contorno um triângulo retângulo com lados de 6cm, 8cm e 10cm.
 8 cm 6cm 
 h = 3 cm
 10 cm
 
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Resp.: Área da base.
A = 6 . 8
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A = 24 cm²
Volume:
V = B . h
V = 24 . 3
V = 72 cm3
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Volume do cilindro
 volume:
 V = B . h
 V= π . r².h
 
Imagem:geometria simples/domínio público
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O cilindro possui duas faces iguais e de formato circular. Para calcular o volume do cilindro, deve-se fazer o produto da área de sua base pela altura.
 
 área da base: B = π . r² 
 π (pi) ≈ 3,14 
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Matemática
Questão 4
Calcule o volume de um cilindro de altura 5 cm e diâmetro da base de medida igual a 8 cm. 
 h = 5 cm 
 d = 8 cm 
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Resp.:
 
Área da base: 
 B = π . r² 
 B = 3,14 . 4²
 B = 50,24 cm ³ 
Volume:
V = B . h
V = 50,24 . 5
V = 251,2 cm ³ 
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Volume da esfera
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 Vamos lembrar!
-comprimento da circunferência: C = 2.π.r
-área do círculo: A = 4 . π . r² π ( Pi) ≈ 3,14
A esfera possui um corpo limitado por uma superfície, chamada de superfície esférica, cujos pontos são equidistantes do centro. 
O volume de uma esfera de raio r é dado por: V = 4 . π . r ³ /3
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Romero Schmidtke/GNU Free Documentation License
Questão 5
Calcule o volume aproximado de uma esfera que possui 6 cm de raio.
 
 
 r = 6cm
 .Resp.: V = 4 . 3,14. 6³/3 
 V = 904,32 cm ³ 
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O volume de um cone é igual a 1/3 do volume de um cilindro de mesma área da base e mesma medida da altura. 
 Área da base B = π . r²
 
 V = B . h/3
...
 
Volume do cone e da pirâmide
O volume de uma pirâmide é igual a 1/3 do volume de um prisma de mesma área da base e mesma medida de altura.
 
 Área da base = B
 V = B . h/3
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Imagem: Salgueiro / domínio público
h
B
Imagem: WikiInformante / public domain
B
h
Calcule o volume da pirâmide a seguir, com altura de 8 cm e medidas na base de 4cm e 3cm.
 Resp. :
 V = 4 . 3 . 8 / 3 
V = 32 cm ³
 
Questão 6
Qual o volume do cone 
abaixo?
 
 Resp.:
 V = π. 3².7/3
V=21 π cm ³ 
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h = 7 cm
r = 3 cm
Imagem:Salgueiro / domínio público
Imagem: WikiInformante / public domain
4 cm
h = 8 cm
3 cm
Agora é sua vez!
Mostre que você é esperto(a)!
Organize o seu pensamento e escreva um resumo sobre o que você aprendeu acerca de volumes de sólidos geométricos. Em seu texto, deixe claras suas dificuldades.
 Boa Sorte!
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
	Sites:
http://www.brasilescola.com
http://www.youtube.com
http://portaldoprofessor.mec.gov.br
http://www.youtube.com
	Livros:
Imenes, Luiz Márcio; Lellis,Marcelo. Matemática para todos: 7ºano. 1.ed. São Paulo: Moderna, 2009.
Dante, Luiz Roberto . Tudo é matemática: 8ª Série. São Paulo: Ática, 2005.
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Tabela de Imagens
	n° do slide	direito da imagem como está ao lado da foto	link do site onde se consegiu a informação	Data do Acesso
	 	 	 	 
	3a	Paconi / Creative Commons Atribuição 3.0 Unported	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Egipto._Pir%C3%A1mides.jpg?uselang=pt-br	21/09/2012
	3b	Waugsberg / GNU Free Documentation License	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bienenwabe_mit_Eiern_und_Brut_5_larva.png	21/09/2012
	3c	Daein Ballard / GNU Free Documentation License	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:TerraformedMarsGlobeRealistic.jpg	21/09/2012
	4a	paperdog2005 / Creative Commons Attribution 2.0 Generic	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Traffic_cone.jpg	21/09/2012
	4b	Masakazu "Matto" Matsumoto / Creative Commons Attribution 2.0 Generic 	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cubo_completato.jpg	21/09/2012
	4c	Cane cane / public domain	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lata_Coca_Cola.JPG	21/09/2012
	6a	Higor Douglas / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bola_de_futebol.jpg 	21/09/2012
	6b	paperdog2005 / Creative Commons Attribution 2.0 Generic	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Traffic_cone.jpg	21/09/2012
	6c	Masakazu "Matto" Matsumoto / Creative Commons Attribution 2.0 Generic 	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cubo_completato.jpg	21/09/2012
	6d	Cane cane / public domain	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lata_Coca_Cola.JPG	21/09/2012
	6e	Paul Robinson / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Refrigerator2.svg	21/09/2012
Tabela de Imagens
	n° do slide	direito da imagem como está ao lado da foto	link do site onde se consegiu a informação	Data do Acesso
	 	 	 	 
	7	Pablo rigel / public domain 	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diagrama_Piramide.jpg 	21/09/2012
	8a	Svdmolen / domínio público	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Prisma%27s.png?uselang=pt-br	21/09/2012
	8b	WikiInformante / Creative Commons Attribution 3.0 Unported	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pir%C3%A2mide_Triangular.png 	21/09/2012
	8c	 Pablo rigel / public domain 	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diagrama_Piramide.jpg 	21/09/2012
	11A a E	Júlio Reis / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Icosahedron flat.svg	21/09/2012
	20	Jharni Elmer Neyra Valverde / GNU Free Documentation License	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Prisma_rectangular_%28ortoedro%29.png?uselang=pt-br	21/09/2012
	22	Ævar Arnfjörð Bjarmason / domínio público	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cylinder_%28geometry%29.png?uselang=pt-br	21/09/2012
	24	Romero Schmidtke / GNU Free Documentation License	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Esfera.png	21/09/2012
	26a, 27a	Salgueiro / domínio público 	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cone.png?uselang=pt-br	21/09/2012
	26b, 27b	WikiInformante / public domain 	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Faces_Pir%C3%A2mide_Quadradada.jpg	21/09/2012