Matemática Grega

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A MATEMÁTICA GREGA
Departamento de Matemática e Informática – DEMATI
Curso: Matemática Licenciatura
Disciplina: História da Matemática
Professora: Ma. Rayane Melo
GRÉCIA ANTIGA
SISTEMA DE NUMERAÇÃO GREGA
OS MATEMÁTICOS GREGOS
PLATÃO
Deve-se recordar que Platão – que em matemática parece ter sido mais diligente que inventivo (...). De fato, temos somente de comparar a solução atribuída a Platão, para o problema de achar duas médias proporcionais – (...) – com as soluções altamente racionais, para o mesmo problema, de Árquitas e de Ménecmo, para ver o amplo intervalo entre estes e aquele, de um ponto de vista matemático. (...). É, então, provável que Platão, que, tanto quanto o sabemos, nunca resolveu uma questão geométrica (Allman, 1976, p. 124).
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OS MATEMÁTICOS GREGOS
PLATÃO
 Pode-se dizer que Platão era quase obsecado pela matemática; sem ser ele mesmo um inventor nesse domínio (Bourbaki, 1969, p. 12).
 Com Platão como chefe da Escola, não nos devemos surpreender que a escola platônica tenha produzido um tão grande número de matemáticos. Platão realizou pouco trabalho realmente original, mas fez aperfeiçoamentos valiosos na lógica e nos métodos empregados (Cajori, 1985, p. 26).
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OS MATEMÁTICOS GREGOS
TALES DE MILETO - (585 a.C.)
É apontado como um dos sete sábios da Grécia Antiga e considerava a água como sendo a origem de todas as coisas.
Fundador da escola jônica, introduziu na Grécia o estudo da geometria, iniciou o estudo científico da Astronomia;
Primeiro filósofo; Era considerado “discípulo dos Egípcios e Caldeus”; Considerado o verdadeiro matemático por causa das suas demonstrações; Organizador dedutivo da geometria;
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OS MATEMÁTICOS GREGOS
TALES DE MILETO - (585 a.C.)
O princípio de tudo está na água que dá origem ao gelo, aos rios e mares, ou se evapora formando o ar. Tales confronta a sua ideia básica com o que se passa na natureza: o húmido é a fonte da vida, é um fertilizante e é necessário à germinação. Para Tales a Terra era um disco que flutuava num imenso Oceano. É a ele que se deve a primeira tentativa de conceber um princípio que, à custa de um pequeno número de hipóteses, explicasse os fenómenos observados.
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Dedicou-se a matemática e estabeleceu os primeiros postulados básicos da geometria, física e também foi o primeiro astrônomo a explicar o eclipse do Sol, ao verificar que a Lua é iluminada por esse astro, prevê um eclipse solar que marca o momento em que começa a filosofia.
OS MATEMÁTICOS GREGOS
TALES DE MILETO (585 a.C.)
OS MATEMÁTICOS GREGOS
TALES DE MILETO - (585 a.C.)
TEOREMAS PROVADOS POR TALES:
Um círculo é bissectado por um diâmetro;
Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais;
Os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se cortam são iguais;
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OS MATEMÁTICOS GREGOS
TALES DE MILETO - (585 a.C.)
TEOREMAS PROVADOS POR TALES:
Se dois triângulos são tais que, dois ângulos e um lado de um são iguais respectivamente a dois ângulos e lado de outro, então os triângulos são congruentes;
Mediu a altura das pirâmides do Egito observando o comprimento das sombras de um bastão vertical é igual a sua altura.
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OS MATEMÁTICOS GREGOS
 ANAXIMANDRO (611 - 547 a. C) - astrônomo, determinou os equinócios (ponto orbital da terra em que se registra igual duração do dia e da noite);
 Verificou a orbita do sol que é inclinada em relação ao equador;
 Escreveu um livro sobre a terra e seus habitantes;
 Desenhou mapas do mundo habitado;
 Chamou de Caos a mistura de ar, terra, água e fogo;
OS MATEMÁTICOS GREGOS
 ANAXIMANDRO (611-547 AC)
Imaginou a terra como um cilindro no centro do Universo com base igual a de sua altura, e o homem vivendo em um dos seus planos; 
 A vida teria surgido de bolhas da terra lodosa primitiva, aquecida pelo sol;
O homem para ele se originava do peixe.
OS MATEMÁTICOS GREGOS
ANAXIMENES (585-528 ou 533-499) – ASTRÔNOMO
 Acreditava que o ar era a fonte de tudo, pois para ele a Inalação e a Exalação era fundamental para a vida;
 A terra era uma bolha que flutuava como uma grande bola no ar, o calor era explicado como o ar rarefeito e o frio como ar condensado, a lua e o sol eram discos de fogo girando em torno da Terra.
OS MATEMÁTICOS GREGOS
 PITÁGORAS (580 – 500 a.C.)
 Nativo de Samos, depois se transferiu para a ilha de Siro. Teve contato com Tales que o aconselhou a estudar no Egito e na Babilônia;
 Estabeleceu-se na Magna Grécia (Itália), onde fundou uma sociedade secreta em bases matemáticas e filosóficas;
 Eudemo e Procolo afirmavam que as ideias matemáticas e o maior ênfase se deve principalmente aos pitagóricos. Para eles a matemática mais se relacionava com o amor e à sabedoria do que com as exigências práticas da vida;
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OS MATEMÁTICOS GREGOS
 PITÁGORAS (580 – 500 a.C.)
 Acredita-se que ele tenha criado as palavras “filosofia” (amor à sabedoria) e “matemática” (o que é aprendido) para descrever as suas atividades intelectuais.
 PARA OS GREGOS ELE ERA: Filósofo; Astrônomo; Matemático; Abominador de feijões; Santo; Profeta; Milagreiro; Mágico; Charlatão;
 Lema da escola Pitagórica: “TUDO É NÚMERO”
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OS MATEMÁTICOS GREGOS
 PITÁGORAS (580 – 500 a.C.)
 Por volta de 540 a. C. Pitágoras fundou, na cidade de Crotona, a Escola Pitagórica, também conhecida como Irmandade Pitagórica, que reuniu muitos discípulos interessados no estudo da aritmética (no sentido da Teoria dos Números), da Geometria, da Astronomia e da Música, que eram um grupo de matérias da Escola e que posteriormente foi chamado de quadrivium.
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OS MATEMÁTICOS GREGOS
 PITÁGORAS (580 – 500 a.C.)
 A Escola era caracterizada por ser uma sociedade secreta, que tinha um código de conduta rigoroso, no qual os seus membros faziam um juramento de não revelar suas descobertas, que eram dedicadas ao seu fundador. Politicamente era conservadora, era comunitária e os seus membros, vegetarianos e, além disso, era uma comunidade religiosa, cujos ídolos eram os números inteiros.
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OS MATEMÁTICOS GREGOS
 PITÁGORAS (580 – 500 a.C.)
 Acreditavam firmemente que a essência de tudo, quer na geometria, quer nas questões práticas e teóricas da vida do homem, podia ser explicada através das propriedades dos números inteiros e/ou das suas razões (números racionais) e, assim, se entendessem as relações entre os números, entenderiam os segredos espirituais do Universo, estando assim, mais próximos dos deuses (SINGH, 2000).
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OS MATEMÁTICOS GREGOS
 PITÁGORAS (580 – 500 a.C.)
 No ramo da Teoria dos Números, são atribuídas, aos pitagóricos, a descoberta dos números amigáveis, i. e., dois números são ditos amigáveis, se cada um deles é igual à soma dos divisores próprios do outro. Por exemplo, 284 e 220 são amigáveis, pois a soma dos divisores próprios de 220 dá 284, ao passo que a soma dos divisores próprios de 284 é 220. Este par de números alcançou um forte misticismo, pois se acreditava que quem possuísse dois talismãs com estes números e os usasse, selaria uma amizade perfeita.
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OS MATEMÁTICOS GREGOS
 PITÁGORAS (580 – 500 a.C.)
 Outra categoria de números por eles definida, são os números perfeitos i. e., um número é dito perfeito se é igual à soma dos seus divisores próprios, como por exemplo o número 6. Além destes, é atribuída também à descoberta dos números figurados, ou seja, números expressos pela quantidade de pontos em certas configurações geométricas, como por exemplo, os números triangulares, números quadrados e os números pentagonais.
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 PITÁGORAS (580 – 500 a.C.)
 A tradição atribui ao Pitágoras, por unanimidade, a primeira demonstração geral da relação entre os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo qualquer, que hoje é conhecida como o Teorema de Pitágoras:
“Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”
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OS MATEMÁTICOS GREGOS
ARISTÓTELES -384 a.C 
Ao grande centro intelectual e artístico daGrécia no século IV a.C., chega um jovem de cerca de dezoito anos, proveniente da Macedônia. 
Não era belo e para os padrões vigentes no mundo grego, principalmente na Atenas daquele tempo, apresentava características que poderiam dificultar-lhe a carreira e a projeção social. Em particular, certa dificuldade em pronunciar corretamente as palavras deveria criar-lhe embaraços e mesmo complexos numa sociedade que, além de valorizar a beleza física e enaltecer os atletas, admirava a eloquência e deixava-se conduzir por oradores.
OS MATEMÁTICOS GREGOS
ARISTÓTELES -384 a.C 
Discípulo de Platão (era chamado “inteligência da escola”);
Ao ingressar na Academia platônica - que viria a frequentar durante cerca de vinte anos - Aristóteles já trazia, como herança de seus antepassados, acentuado interesse pelas pesquisas biológicas.
Escreveu sobre vários assuntos como: História natural; Vegetais; Climas; Astronomia; Genética. 
Classificou os animais com sangue e sem sangue, vertebrados e invertebrados;
OS MATEMÁTICOS GREGOS
ARISTÓTELES -384 a.C 
Colocou o homem como ser vivíparo;
Atribuiu uma alma a cada animal e o homem uma alma racional;
Afirmou que as sensações vinham do cérebro e não do coração;
Colocou a terra como centro do Universo e as estrelas do céu como sendo fixas;
OS MATEMÁTICOS GREGOS
ARISTÓTELES -384 a.C 
Acreditava que a velocidade dos corpos que caem dependia de sua massa;
Afirmava que todo corpo em movimento tem que parar;
Foi biologista, embriologista, classificador de animais e criador da Ciência lógica.
OS MATEMÁTICOS GREGOS
EUCLIDES DE ALEXANDRIA (360 a. C – 295 a. C)
 Professor, matemático e escritor, é considerado o “Pai da Geometria”.
 Sua obra “Os Elementos” é uma das mais influentes na história da Matemática, servindo como o principal livro para o ensino dessa matéria (especialmente Geometria), desde a data da sua publicação até o fim do século XIX.
 Nessa obra, os princípios do que é hoje chamado de Geometria Euclidiana foram deduzidos a partir de um pequeno conjunto de axiomas.
OS MATEMÁTICOS GREGOS
EUCLIDES DE ALEXANDRIA (360 a. C – 295 a. C)
 Euclides também escreveu obras sobre perspectivas, seções cônicas, geometria esférica, teoria dos números e rigor.
 Geometria Euclidiana é caracterizada pelo espaço euclidiano, imutável, simétrico e geométrico, metáfora do saber na Antiguidade Clássica e que se manteve incólume no pensamento matemático medieval e renascentista, pois somente nos tempos modernos foram construídos modelos de Geometria não-Euclidianas.
OS MATEMÁTICOS GREGOS
EUCLIDES DE ALEXANDRIA (360 a. C – 295 a. C)
 Euclides escreveu inúmeros livros e tratados, abordando temáticas como óptica, astronomia, mecânica e até música. O seu trabalho é tão vasto que alguns historiadores não acreditavam que fosse obra de um só homem.
 Apesar de se terem perdido mais de metade dos seus livros, ainda sobreviveram, para felicidade dos séculos vindouros, as seguintes obras:
OS MATEMÁTICOS GREGOS
EUCLIDES DE ALEXANDRIA (360 a. C – 295 a. C)
 Euclides escreveu inúmeros livros e tratados, abordando temáticas como óptica, astronomia, mecânica e até música. O seu trabalho é tão vasto que alguns historiadores não acreditavam que fosse obra de um só homem.
 Apesar de se terem perdido mais de metade dos seus livros, ainda sobreviveram, para felicidade dos séculos vindouros, as seguintes obras:
OS MATEMÁTICOS GREGOS
EUCLIDES DE ALEXANDRIA (360 a. C – 295 a. C)
 Os Elementos – a sua obra mais importante, constituída por 13 volumes, que contemplam toda a aritmética, álgebra e geometria da sua altura. É considerado um dos maiores best-sellers de sempre, marcando grandemente a história da Matemática.
 Os Dados – uma espécie de manual de tabelas, de uso interno na Academia e que é um complemento dos seis primeiros volumes d’Os Elementos, que serve como guia para a resolução de problemas, com relação entre medidas lineares e angulares num círculo dado.
OS MATEMÁTICOS GREGOS
EUCLIDES DE ALEXANDRIA (360 a. C – 295 a. C)
 A Divisão – contém, muito provavelmente, 36 proposições referentes à divisão geométrica de figuras planas. 
 Os Fenómenos - julga-se que Euclides recorreria à Geometria esférica para aplicação à astronomia, nos fenômenos celestes, sobreviveu assim esta compilação, parcialmente, e hoje é, depois d’A Esfera de Autólico, o mais antigo conjunto de tratados científicos gregos existentes.
OS MATEMÁTICOS GREGOS
EUCLIDES DE ALEXANDRIA (360 a. C – 295 a. C)
 Óptica - estudo de perspectiva, sobre a visão, onde desenvolve uma teoria contrária à de Aristóteles, segundo a qual o olho envia os raios que vão até ao objeto que vemos, e não o inverso.
 Data – compreende aplicações da álgebra à geometria, sendo sempre apresentadas numa linguagem estritamente geométrica.
OS MATEMÁTICOS GREGOS
EUCLIDES DE ALEXANDRIA (360 a. C – 295 a. C)
É de referir também que Euclides, cerca de 300 a.C., fundou a sua própria escola de matemática. E foi através desta que as suas obras tomaram forma. Pela importância das suas obras e pelo modo como foram apresentadas, estas constituíram a base de todo o pensamento matemático, pelo que, Euclides é considerado o criador da geometria Euclidiana.
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ARQUIMEDES DE SIRACUSA (287 a. C – 212 a. C)
Matemático, físico, engenheiro, inventor, e astrônomo grego, é considerado um dos principais cientistas da Antiguidade Clássica.
Entre suas contribuições à Física, estão a fundação da hidrostática e da estática, tendo descoberto a Lei do Empuxo e a Lei da Alavanca. Tais descobertas ficaram marcadas pela expressão “Eureka”, pronunciada ao descobrir uma forma de conferir a densidade de um objeto irregular (no caso, uma coroa real) e pela afirmação “Dê-me um ponto de apoio e moverei a Terra”, respectivamente.
OS MATEMÁTICOS GREGOS
ARQUIMEDES DE SIRACUSA (287 a. C – 212 a. C)
Ele inventou várias máquinas, tanto para uso civil, quanto militar, incluindo armas de cerco e a bomba de parafuso (parafuso de Arquimedes), um dispositivo capaz de transportar água de um nível inferior para um superior.
Arquimedes projetou outros dispositivos capazes de afundar navios inimigos ou de incendiá-los, por meio da concentração de raios solares, valendo-se dos reflexos produzidos por escudos polidos de bronze.
OS MATEMÁTICOS GREGOS
ARQUIMEDES DE SIRACUSA (287 a. C – 212 a. C)
Um dos problemas que mais apaixonou Arquimedes, e que, segundo ele era “o mais difícil”, foi de encontrar a relação entre o volume do cone, da esfera e do cilindro, um colocado dentro do outro (cone e cilindro equiláteros, inscritos e escrito na esfera).
Ele usou o método da exaustão para calcular a área sob o arco de uma parábola, utilizando a soma de uma série infinita, e também encontrou uma aproximação bastante precisa do número π, além de fórmulas para os volumes de superfícies de revolução e um engenhoso sistema para expressar números muito grandes.
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OS MATEMÁTICOS GREGOS
ARQUIMEDES DE SIRACUSA (287 a. C – 212 a. C)
Podemos enumerar algumas características de Arquimedes da seguinte forma:
Em contraste com o espírito profundamente geométrico da matemática grega, Arquimedes mostra uma desenvolvidíssima aptidão para cálculos numéricos. Um dos seus grandes feitos consiste na apresentação de um enquadramento para a razão entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro.
Arquimedes tinha um enorme interesse nas aplicações da ciência e, devido a esse facto, é também denominado por muitos como “o Pai da Física”.
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OS MATEMÁTICOS GREGOS
ARQUIMEDES DE SIRACUSA (287 a. C – 212 a. C)
Durante o cerco a Siracusa, Arquimedes foi morto por um soldado romano, apesar de existir uma ordem para que fosse capturado vivo, uma vez que os líderes romanos tinham uma grande admiração por ele.
Arquimedes teve uma importância decisiva no surgimento da Ciência Moderna, tendo influenciado inúmeros cientistas, entre eles, Galileu Galilei e Isaac Newton.
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APOLÔNIO (262 a. C – 190 a. C)
Apolônio dedicou-se principalmenteao estudo da família de curvas denominadas de “cônicas”. A razão dessa denominação é que tais curvas resultam de um corte conveniente do cone;
Dependendo da maneira como cortamos o cone, resultará uma circunferência de círculo ou uma elipse, ou um parábola, ou ainda uma hipérbole;
Apolônio recebeu um apelido curioso de seus discípulos, o de “Épsilon”, em virtude de sua aula ser designada pela letra grega épsilon;
OS MATEMÁTICOS GREGOS
APOLÔNIO (262 a. C – 190 a. C)
Segundo Boyer, “assim como “Os Elementos” de Euclides substituíram textos elementares anteriores, o tratado sobre Cônicas de Apolônio derrotou todos os rivais no campo das seções cônicas”. Foi devido a grandiosidade desta obra que o t´título de ‘o Grande Geômetra’ foi atribuído a este matemático do século III a. C por seus contemporâneos.