1 Mestre-de-Obras-Matematica

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Curso de Estética Facial
Mestre de obras - Módulo 1
MATEMÁTICA, PROCEDIMENTOS PARA REGULARIZAÇÃO DE OBRAS E APLICAÇÃO DAS 
NORMAS DE SEGURANÇA DO TRABALHO NA CONSTRUÇÃO CIVIL
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Mestre de obras - Módulo 1
2
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO .......................................................................................................... 4
QUALIFICAÇÃO DA MÃO DE OBRA NA CONSTRUÇÃO CIVIL ......................................... 4
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 5
Mudanças tecnológicas ................................................................................................................................5
Mudanças tecnológicas na construção civil ..................................................................................................5
Características do setor da construção civil no Brasil ....................................................................................6
Conclusão e objetivo maior ...........................................................................................................................6
2. MATEMÁTICA NA CONSTRUÇÃO CIVIL .................................................................... 7
Conjuntos numéricos....................................................................................................................................7
As quatro operações fundamentais ...............................................................................................................8
3. VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO ............................................................................ 12
4. SOMA E SUBTRAÇÃO ALGÉBRICA ......................................................................... 12
5. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO ALGÉBRICA ............................................................... 13
6. FRAÇÕES ORDINÁRIAS 
(DENOMINADORES DIFERENTES DE 10 E SEUS MÚLTIPLOS) ................................... 13
7. POTÊNCIAS ........................................................................................................... 18
Propriedades de potências ........................................................................................................................ 19
8. RADICIAÇÃO .......................................................................................................... 21
9. TEOREMA DE PITÁGORAS .................................................................................... 26
10. GRANDEZAS ........................................................................................................ 28
Grandezas diretamente proporcionais ........................................................................................................ 28
Grandezas inversamente proporcionais ..................................................................................................... 28
Razão ........................................................................................................................................................ 29
Proporção .................................................................................................................................................. 29
Regra de três simples ................................................................................................................................ 30
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Regra de três composta ............................................................................................................................ 31
Percentagem ............................................................................................................................................. 31
10. UNIDADES DE MEDIDA E SUAS TRANSFORMAÇÕES ........................................... 33
Perímetro de um polígono .......................................................................................................................... 34
Área das fi guras planas .............................................................................................................................. 37
Medidas de superfícies .............................................................................................................................. 39
Medidas de volume .................................................................................................................................... 39
Medidas de Capacidade ............................................................................................................................. 40
Áreas e volumes de sólidos ........................................................................................................................ 40
Aplicações Práticas .................................................................................................................................... 48
A polegada ................................................................................................................................................. 52
Algumas informações e valores importantes ............................................................................................... 52
11. PROCEDIMENTOS PARA REGULARIZAÇÃO DE OBRAS E APLICAÇÃO
DAS NORMAS DE SEGURANÇA DO TRABALHO NA CONSTRUÇÃO CIVIL .................... 53
O que é regularização de obra? .................................................................................................................. 53
Receita Federal do Brasil e INSS, regularização de obra de construção civil ................................................ 57
Legalização de obra junto ao CREA – Conselho Regional de Engenharia e Arquitetura .................................. 62
Legalização de obras na prefeitura ............................................................................................................. 62
Legalização de obras no Corpo de Bombeiro ............................................................................................... 63
Regularização de obra em órgãos competentes de proteção do meio ambiente ........................................... 63
Normas regulamentadoras do Ministério do Trabalho e Emprego ................................................................ 64
BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................... 75
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Mestre de obras - Módulo 1
Adoniram Mendes
Diretor de Operações
Apresentação
A sociedade moderna, seja sob o prisma econômico, cultural ou social, só alcançará novos degraus competitivos, 
se investirem na intangibilidade dos seus ativos. Uma das formas é acelerar rumo à conquista de patamares 
aceitáveis, inovadores e desafi adores de conhecimento.
É sobre esse trilho que está direcionada a bússola estratégica de nossa empresa, a Data Corporation – Solução 
em Qualifi cação Ltda. A nossa missão é “Contribuir na Formação de Profi ssionais Qualifi cados para o 
Mercado de Trabalho”, gostariamos de ressaltar que para nós será motivo de imensa alegria, contribuir com a 
sua qualifi cação profi ssional.
A Data Corporation – Solução em Qualifi cação Ltda - Departamento de Ensino, direciona suas ações ao 
suporte técnico e mercadológico com intuito de colaborar com o desenvolvimento de novos profi ssionais
Qualifi cação da Mão de Obra na Construção Civil
A mão-de-obra é o fator mais importante em qualquer obra da construção civil, pois representa grande 
porcentagem do custo total, além de ser composta de pessoas que têm diversos tipos de necessidades a serem 
supridas. 
Cursos de aprendizagem, relacionamento e auto-estima, demonstrando como esses fatores podem infl uenciar 
na produtividade. 
Diversos estudos sobre o assunto apontam diretamente para a necessidade da qualifi cação da mão-de-obra 
devido ao grande índice de desperdícios de material, atraso no cronograma da obra e serviços de má qualidade. 
Para que isso não ocorra, são várias as formas que uma empresa tem de investir em seus funcionários.Uma 
delas é oferecendo-lhes cursos de capacitação e qualifi cação. 
O presente material dispõe de informações imprescindíveis aos participantes dos cursos Data Corporation 
elaborado através dos profi ssionais especializados.
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Mestre de obras - Módulo 1
1. INTRODUÇÃO
MUDANÇAS TECNOLÓGICAS
Compreendem a introdução de produtos ou processos e serviços no mercado de trabalho com signifi cativas 
melhorias e rapidez em produtos e processos existentes, isto é, melhor qualidade e rapidez no produto fi nal. 
Considera-se que uma mudança tecnológica de um produto ou processo se faz necessário para adequação as 
novas tecnologias. 
MUDANÇAS TECNOLÓGICAS NA CONSTRUÇÃO CIVIL
“As inovações ocorridas no setor da construção signifi cam não apenas novos produtos, mas também 
novos processos que são desenvolvidos para serem usados pelos trabalhadores no processo da 
construção” (Yamauchi ). 
Com as inovações têm sido incorporados a construção novos meios para projetar, novos materiais, melhores 
processos de produção, melhoria de execução das obras, começa se criar um compromisso com a qualidade 
dos produtos e dos processos de execução. Admitir mudanças tecnológicas na formação do trabalhador, na 
segurança e na saúde no trabalho irá possibilitar obter um trabalho mais qualifi cado e, portanto mais atrativo. 
Cabe-se esperar que em um setor com o aporte tecnológico e, possivelmente, com um nível de formação mais 
elevado, tenha-se uma maior garantia de efetividade na segurança e saúde do trabalho.
Ex1: Máquina de Chapiscar.
 
Ex2: Máquina de rebocar parede.
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É importante observar, entretanto, que as inovações tecnológicas na construção civil não excluem 
necessariamente materiais e sistemas construtivos tradicionais. Estas inovações cumprem a função de dar 
maior fl exibilidade a projetos, apresentando-se como possibilidades que servem a determinados nichos de 
construção (é o caso, por exemplo, da utilização de estruturas metálicas em substituição ao concreto armado 
– mais barato -, em determinadas situações onde este se mostra inviável) (RESENHA DIEESE).
CARACTERÍSTICAS DO SETOR DA CONSTRUÇÃO CIVIL NO BRASIL
Segundo Câmara ambiental da indústria da construção de São Paulo, a construção civil representa 5,1% do 
PIB (Produto Interno Bruto) brasileiro e emprega mais de 2,1 milhões de trabalhadores pelo país.
Dados do Instituto Brasileiro de Geografi a – IBGE, dos investimentos totais no país, cerca de 37% 
são direcionados a construção civil e apesar da crise fi nanceira de 2008, a Industria da construção 
sustentou um desempenho sustentável com crescimento de 8%, acima do PIB brasileiro – Produto 
Interno Bruto.
Do ponto de vista ambiental, a construção civil tem como característica a modifi cação da paisagem, o consumo 
de recursos naturais renováveis e não renováveis, a geração de resíduos sólidos e emissões atmosféricas, com 
potenciais impactos positivos e negativos ao meio ambiente, à qualidade de vida da população e à infraestrutura 
existente.
Segundo dados do Conselho Brasileiro de Construção Sustentável - CBCS, a construção e manutenção da 
infraestrutura do País consome 75% dos recursos naturais extraídos e a operação de edifícios é responsável por 
cerca de 50% do consumo de energia elétrica.
Já de acordo com os dados da Agência Nacional de Águas (ANA), o setor urbano é responsável por 26% do 
consumo de toda água bruta do país e a construção civil responsável por 16% de toda a água potável.
Segundo o IMAZON – Fatos Florestais – 2005, cerca de 64% de toda a madeira produzida na Amazônia é 
consumida por brasileiros. O Estado de São Paulo é o maior consumidor, respondendo por 15% do consumo 
nacional, sendo que, dentre os principais setores consumidores, destaca-se a indústria moveleira e a construção 
civil. A indústria da construção gera de 35 a 40% de todo resíduo produzido na atividade humana. A construção 
e reforma dos edifícios produzem mais de 50% dos resíduos sólidos urbanos em cidades de médio e grande 
porte no Brasil.
CONCLUSÃO E OBJETIVO MAIOR
Devido o exposto anteriormente e a grande oferta de vagas em função do grande investimento que ocorre na 
Indústria da Construção Civil e novas tecnologias que despontam, principalmente as voltadas à preservação do 
meio ambiente, a qualifi cação dos profi ssionais da Indústria da Construção Civil é de fundamental importância, 
pois somente esse caminho e atitude dos profi ssionais farão com que os mesmos se mantenham no mercado 
de trabalho. 
Assim, o objetivo maior desse curso que se inicia é qualifi car a sua clientela, não somente na área prática, porém 
com bastante ênfase no conhecimento teórico, dando a ela entendimento e explicações à refl exões para muitas 
experiências práticas já vividas em canteiros de obras e no cotidiano, e que a partir desse encontro, um leque 
variado de oportunidades se abra, fortalecendo cada vez mais a gana de todos que aqui tomaram a atitude de 
buscar dias melhores através da busca de qualifi cação e conhecimento. (Eng°. Francisco Pedro).
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Mestre de obras - Módulo 1
2. MATEMÁTICA NA CONSTRUÇÃO CIVIL
Em conversas informais com alunos e profi ssionais da construção civil, a maioria já bastante experiente em 
canteiro de obras, notou-se certa difi culdade dos mesmos no entendimento de diversos assuntos ligados ao 
curso de mestre de obras e serviços em geral nas obras, por falta de conhecimento de matemática básica, 
inclusive a tabuada. Assim, foram selecionados vários tópicos matemáticos para facilitar o entendimento.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
 
Esta fi gura representa a classe dos números. Veja a seguir:
NÚMEROS NATURAIS “N”
São os números positivos inclusive o zero, que representem uma contagem inteira; N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}. Obs: 
Não há números naturais negativos. 
NÚMEROS INTEIROS “Z”
São os números naturais e seus opostos – negativos; Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Obs: Não há números 
inteiros em fração ou decimal.
NÚMEROS RACIONAIS “Q”
São todos os números na forma decimal exata, periódica ou na forma de fração; Q = {..., -17/6, -5/2, -4/3, -1/2, 
0, 1/3, ½, 7/4,...}. 
Exemplos:
*Números decimais na forma exata: {1,2; 3,654; 0,00005; 105,27272}; 
*Números decimais na forma periódica: 2,333333...= 2,3; 3,0222...= 3,02; 10,232323...= 10,23.
NÚMEROS IRRACIONAIS “I” 
São todas as decimais não exatas e não periódicas;
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NÚMEROS REAIS “R” 
É a união ou junção dos conjuntos numéricos citados acima. Portanto, todo número, seja N, Z, Q ou I é um 
número R (real). As raízes em que o radicando seja negativo e o índice par não são reais.
AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
ADIÇÃO 
Na adição os números são chamados de parcelas, sendo a operação aditiva, e o resultado é a soma.
Exemplos:
4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049
Exercício:
a) 2,31 + 4,08 + 3,2 = 9,59.
b) 4,03 + 200 + 51,2 = 255,23.
* Cálculo do termo desconhecido na adição “x”.
Exemplo: 
Qual o número que somado com 395 é igual a 596?
O número procurado é “x”, então armemos a equação: 
x + 395 = 596 
Logo, x = 596 – 395 = 201 
Isto é, o número é x = 201. (Prof. Francisco Pedro).
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SUBTRAÇÃO 
Na subtração os números são chamados de minuendo, subtraendo, sendo a operação a subtração, e o resultado 
é a diferença.
Exemplos: 
As regras para a subtração são as mesmas da adição, portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas 
alterando a operação. Numa subtração do tipo 4-7 temos que o minuendo é menor que o subtraendo; sendo 
assim a diferença será negativa e igual a -3. 
Exercício:
a) 32,4 – 21,3 = 11,1.
b) 48 – 33,45 = 14,55.
* Cálculo do termo desconhecido na subtração “x”.
Exemplo: 
A diferença entre dois números é 320, sabendo-se que o menor deles é 87, qual é esse número? 
O número que procuramos é “x”, então armemos a equação: 
x – 87 = 320
Logo, x = 320 + 87 = 407 
Isto é, o número “x” procurado é 407 (Prof. Francisco Pedro). 
 
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MULTIPLICAÇÃONa multiplicação os números são chamados de fatores, sendo a operação multiplicativa, e o resultado é o 
produto.
Pode-se representar a multiplicação por: “*”, “x” ou “.”. 
Exemplo: 
Obs: Na multiplicação de frações multiplica-se divisor com divisor, dividendo com dividendo (ou simplesmente, 
o de cima pelo de cima e o de baixo pelo de baixo).
Caso particular da multiplicação.
N * 1 = N (1 é elemento neutro).
N * 0 = 0
Exercício:
a) 2,1 * 3,2 = 6,72.
b) 48,2 * 0,031 = 1,488.
c) 3,21 * 2,003 = 6,42963.
Cálculo do termo desconhecido na multiplicação “x”.
Exemplo: 
Qual o número que multiplicado pelo seu triplo é igual a 396? 
Logo o número que procuramos é “x”, armemos a equação: 
x . 3 = 396, logo x = 396/3 = 132, isto é, 
o número procurado é x = 132. (Prof. Francisco Pedro).
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DIVISÃO
Na divisão, os números são chamados de dividendo( a parte que está sendo dividida) e divisor (a quantia de 
vezes que esta parte está sendo dividida), a operação é a divisão, e o resultado é o quociente.
Exemplo:
Existe na divisão, o que se pode chamar de resto. Isto é, quando uma divisão não é exata irá sempre sobrar um 
determinado valor, veja no exemplo a seguir:
Se o resto for igual a zero a divisão é chamada exata.
* Caso particular da divisão.
N / 1 = N ( 1 é elemento neutro da divisão)
N / N = 1
0 / N = 0 
N / 0 = Não existe!!!!
Exercício:
a) 8,4708 / 3,62 = 2,34.
b) 682,29 / 0,513 = 1330.
c) 2803,5 / 4450 = 0,63.
* Cálculo do número desconhecido na divisão “x”.
Exemplo: 
Qual o número que dividido pelo seu quíntuplo é igual a 25? 
Logo o número que procuramos ´”x”, armemos a equação: 
x / 5 = 25, 
Logo x = 25 x 5 = 125
Isto é, o número procurado é x = 125. (Prof. Francisco Pedro).
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3. VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO
A representação de um módulo ou valor absoluto de um número real é feito por duas barras paralela “| |”. 
Podemos dizer que módulo é o mesmo que distância de um número real ao número zero, pois o módulo de 
número real surgiu da necessidade de medir a distância de um número negativo ao zero. Ao medirmos a 
distância de um número negativo qualquer ao zero percebe-se que a distância fi ca negativa e como não é usual 
dizer que uma distância ou comprimento é negativo foi criado o módulo de número real que torna o valor positivo 
ou nulo. Assim, podemos dizer que o módulo de um número real irá seguir duas opções: 
a) O módulo ou valor absoluto de um número real é o próprio número, se ele for positivo. 
b) O módulo ou valor absoluto de um número real será o seu simétrico, se ele for negativo. 
Veja o resumo da defi nição de módulo de um número real abaixo: 
|x| = x, se x ≥ 0 , -x, se x < 0
* Veja alguns exemplos de como calcular módulo ou valor absoluto de números reais. 
a) |+4| = 4 
b) |-3| = - (-3) = 3 
c) |10 – 6 | = |+4| = 4 
d) |-1 – 3| = |-4| = - (-4) = 4 
e) |-1| + |5| - |6| = -(-1) + 5 – 6 = 1 + 5 - 6 = 6 – 6 = 0 
f) - | -8| = -[-(-8)] = - 8 
* Veja alguns exemplos de como encontrar o módulo de valores desconhecidos. 
a) |x + 2|, nesse caso teremos duas opções, pois não sabemos o valor da incógnita x. Assim, seguimos a 
defi nição: x + 2, se x + 2 ≥ 0, ou seja, x ≥ -2; - (x + 2), se x + 2 < 0, ou seja, x < -2. 
b) |2x – 10|, nesse caso 2x – 10, se 2x – 10 ≥ 0, ou seja, 2x ≥ 10 x ≥ 5; -(2x – 10), se 2x – 10 < 0, ou seja, 
2x < 10 x < 5.
c) |x2 – 9|, nesse caso x 2 – 9, se x2 – 9 ≥ 0 , x 2 – 9 ≥ 0 , x 2 ≥ 9, x ≥ 3 ou x ≤ -3; - (x 2 – 9) , se x2 – 9 < 0, x2 – 9 
< 0, x2 < 9, -3 < x < 3.
Concluímos que o módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. 
4. SOMA E SUBTRAÇÃO ALGÉBRICA
* Sinais iguais: Somam-se os valores absolutos e dá-se o sinal comum.
* Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal do maior.
Exemplos:
a) 2 + 4 = 6
b) – 2 – 4 = – 6
c) 5 – 3 = 2
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Mestre de obras - Módulo 1
d) – 5 + 3 = – 2
e) 2 + 3 – 1 – 2 = 5 – 3 = 2
f) – 1 – 3 + 2 – 4 + 21 – 5 – 32 = 23 – 45 = – 22
5. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO ALGÉBRICA
* Sinais iguais = resposta positiva.
* Sinais diferentes = resposta negativa.
Exemplos:
a) 12 x 3 = 36
b) (-12) x (-3) = 36
c) 2 x (-2) = - 4
d) (-2) x 3 = - 6
e) (-4) / 2 = - 2
f) 8 / (-2) = - 4
g) (-10) / (-2) = 5
h) 15 / 5 = 3 
6. FRAÇÕES ORDINÁRIAS (DENOMINADORES DIFERENTES DE 10 E SEUS MÚLTIPLOS) 
Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o numerador e o divisor é o denominador. As frações que serão 
apresentadas a seguir partem de um círculo inteiro que ao ser dividido em partes iguais formam as frações.
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Mestre de obras - Módulo 1
FRAÇÃO PRÓPRIA
Quando o numerador é menor do que o denominador. 
Exemplo:
a) 1 / 2
b) 3 / 5
FRAÇÃO IMPRÓPRIA 
Quando o numerador é maior que o denominador, sendo possível representá-la por um número misto e 
reciprocamente. 
Exemplos:
PROPRIEDADE DAS FRAÇÕES
a) Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um número diferente de zero obtém-se uma fração 
equivalente à inicial.
Exemplos: 
SOMA OU ADIÇÃO DE FRAÇÕES
Obs: Número de cima (Numerador) / Número de baixo (Denominador). 
a) Quando as frações possuem o mesmo denominador, somamos os numeradores e conservamos o denominador. 
Exemplo:
 30/3 simplifi cando = 10 
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Mestre de obras - Módulo 1
 
 31/8 
b) Quando as frações têm denominadores diferentes, aparece uma difi culdade. 
Exemplo:
 
Nesse caso os denominadores são diferentes, portanto devemos descobrir o MMC (mínimo múltiplo comum) 
para que possamos resolvê-la. MMC (4,3) = 12. 
O MMC entre 4 e 3 é o 12 , sabemos disso pois o 12 é o menor número que pode ser dividido pelos dois 
denominadores (4,3). 
O próximo passo é dividir o MMC achado, neste caso o 12 pelo denominador de cada fração e multiplicar o 
resultado da divisão pelo numerador. 
 Portanto fi ca assim: 
Exemplos:
Exercício: 
Estas duas frações não têm os mesmos denominadores, assim nós temos que achar um denominador comum 
das duas frações. Para os denominadores aqui, os 8 e 3, um denominador comum para ambos é 24, isto é:
Fatorando: 8, 3 2
 4, 3 2
 2, 3 2
 1, 3 3
 1, 1 ---------------------------------------------
 2 x 2 x 2 x 3 = 24 (Prof. Francisco Pedro).
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Mestre de obras - Módulo 1
Com o denominador comum, 
O 25/8 se torna 75/24, 
O 17/3 se torna 136/24. 
Agora é só somar 75/24 + 136/24 = 211/24 = 8. 19/24 (Número misto). 
211/24 é uma fração imprópria (o numerador é maior que o denominador).
SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES 
Subtrair frações é tão fácil quanto somar.
Exemplo 1: 
Estas duas frações não têm os mesmos denominadores, assim nós temos que achar um denominador comum 
para as duas frações, antes de efetuar a subtração. O menor divisor comum entre 2 e 4 é ( 4 ). Achando o 
denominador comum, temos que transformar as frações para depois subtraí-las, fi cando assim: 
Exemplo 2:
Mais uma vez, como as frações não possuem o mesmo denominador, nós temos que achar um denominador 
comum, e o denominador comum entre 12 e 4 é ( 12 ). Depois de achado o denominador comum, transformamos 
a fração fi cando assim: = 
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se faz com os denominadores.
Exemplo: 
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Mestre de obras - Módulo 1
DIVISÃO DE FRAÇÕES 
Multiplica-se a fração dividenda pelo inverso da fração divisora.
Exemplos:
6.8 Número misto.
Toda fração imprópria (numerador maior que o denominador) pode ser escrita na forma de número misto. Esse 
tipo de número é formado por uma ou mais partes inteiras mais uma parte fracionária. Considere a seguinte 
fração imprópria . 
A sua representação, em forma de desenho será:
Vamos considerar como sendo um inteiro a seguinte circunferência:
Para representarmos a fração será preciso dividir o inteiro (a circunferência) em 2 partes iguais e considerar5 partes, como 2 < 5, termos que construir mais de um inteiro,veja:
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Mestre de obras - Módulo 1
Assim, podemos dizer que 5/2 = 2 + 1/2 = 2.1/2. 
Portanto, o número 2.1/2 é a representação mista da fração imprópria.
Seguindo esse mesmo raciocínio podemos transformar um número misto em fração imprópria e fração imprópria 
em número misto. 
Veja algumas regras práticas que facilitam essas transformações:
a) Transformação de fração imprópria em número misto.
Dada a fração imprópria 15/7: 
Para representarmos em forma mista teremos que efetuar a seguinte divisão: 15 : 7.
Os elementos que compõem uma divisão são nomeados da seguinte forma:
Assim, podemos dizer que na divisão de 15:7, o 15 é o dividendo, 7 é o divisor, 1 é o resto e 2 é o quociente. 
Utilizando esses elementos da divisão, formaremos o número misto que representará a fração imprópria . O 
valor que representar o quociente será a parte inteira, o valor que representar o resto será o numerador e o valor 
que representar o divisor será o denominador, assim temos: 
 = . 
b) Transformação de número misto em fração imprópria. 
Dado o número misto 3.5/6, para transformá-lo em fração imprópria teremos que seguir a regra: repetir o 
denominador e multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o produto com o numerador, veja:
7. POTÊNCIAS 
Dado um certo número real qualquer, e um número n, inteiro e positivo, é defi nido in = potência de base (i) e 
com expoente (n) como sendo o produto de n fatores iguais a (i). 
Exemplos:
a) Potência = (- 1)4 = (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) = 1 = (- 1)4 = (04 fatores) = 1.
Notação: (- 1)4 = ( -1 – Base; 4 – Expoente; 1 – Potência).
b) Potência = 23 = 2 x  2 x  2 = ( 03 fatores) = 8.
Notação:  23 = 8 (2 – Base; 3 – Expoente; 8 – Potência).
c) Potência = 35 = =3 x 3 x 3 x 3 x 3  = (05 fatores) = 243.
Notação: 35 = 243 (3 – Base; 5 – Expoente; 243 – Potência). 
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POTÊNCIAS COM EXPOENTE IGUAL A UM (1).
(1/2)1 = ½.
51 = 5.
31 = 3.
POTÊNCIAS COM EXPOENTE IGUAL À ZERO (0).
50 = 1.
60 = 1.
70 = 1. 
Por convenção, resolveu-se que toda número elevado ao número zero, o resultado será igual a 1.
Exemplos:
a) 53 = 5 x 5 x 5 = 125.
b) 40 = 1.
c) 100 = 1.
d) 201 = 20. 
PROPRIEDADES DE POTÊNCIAS. 
a) Divisão de potência de mesma base.
Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum e subtraem-se os expoentes 
conforme a ordem o qual eles aparecem no problema. 
Temos então: Im ÷ In = Im - n, I diferente de 0.
Exemplos:
1) 24   ÷ 2 =  24-1  = 23 
2) 35   ÷ 32 =  35-2  = 32
3) 46   ÷ 43 =  46-3  = 43
b) Produto de potência de mesma base. 
Na operação de multiplicação entre potências de mesma base, é conservada a base comum e somam-se os 
expoentes em qualquer ordem dada no problema. 
Temos então:  Im x In = Im+n. 
Exemplos:
1) 24  x 2 =  24+1  = 25
2) 35   x 32 =  35+2  = 37
3) 46   x 43 =  46+3  = 49
c) Potência de potência. 
Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efetuar este cálculo conserva-se a base comum e 
multiplicam-se os expoentes respectivos. 
Temos então:  (In)m   = Inxm
Exemplos:
1) (23)4   =  212  , pois = 23  x 23  x 23 x 23 
2) (32)3   =  36  , pois = 32  x 32  x 32 
3) (42)5   =  410  , pois = 42  x 42  x 42 x 42 x 42
0420
Mestre de obras - Módulo 1
d) Potência de um produto. 
Para se efetuar esta operação de potência de um produto, podemos elevar cada fator a esta potência. Temos 
então:  (I.T)m = I m x T m.
Exemplos:
1) (b5ya3 )4   =  b20y4a12
2) (c2d2e5 )2   =  c4d4e10 
3) (d3a4 )3   =  d9a12
e) Potência com expoente negativo. 
Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração o qual o numerador é a 
unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porém apresentando o expoente positivo. 
Temos então:  (I)-m = 1/I m, com I diferente de 0.
Exemplos:
1) 2-4   =  1/24   = 1/16
2) 3-3   =  1/33   = 1/27
3) 4-2   =  1/42   = 1/16 
f) Potência de fração. 
Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador, respectivamente, a esta 
potência. 
Temos então:  (a/b)m = am/bm,  b diferente de 0 (Zero).
Exemplo:
1) (a/b)4   =  a4/b4   = b diferente de 0.
2) (a2 /b4)3   =  a6/b12   = b diferente de 0.
3) (a3 /b2)3   =  a9/b6   = b diferente de 0.
g) Potência de 10. 
Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Para isto guarde bem 
estas técnicas:
1) Para se elevar 10n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a direita do número 1.
Exemplos:
a) 104 = 10000
b) 106 = 1000000
c) 107 = 10000000 
2) Para se elevar 10- n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a esquerda do número 
1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu. 
Exemplos:
a) 10-4= 0,0001
b) 10-6= 0,000001
c) 10-7= 0,0000001
3) Decompondo números em potências de 10.
Exemplos (números maiores que 1):
a) 300 = 3x100 = 3.102 
b) 7000 = 7x1000 = 7.103
c) 10.000 = 1x10000 = 1.104
0421
Mestre de obras - Módulo 1
Exemplos (números menores que 1):
a) 0,004 = 4x0,001 = 4x10-3 
b) 0,0008 = 8x0,0001 = 8x10-4
c) 0,00009 = 9x0,00001 = 9x10-5
h) Potência de números relativos. 
a) Caso o expoente seja par o resultado dará sempre positivo. 
Veja: 
(+2)2 = 4
(-2)4   = 16
b) Caso o expoente seja impar, o resultado trará sempre o sinal da base da potência. 
Veja: 
(+3)3 = 27  
(-3)3   = -27
Observação importante: -22  diferente de (-2) 2, pois -22 = -4 e (-2) 2 = 4. A diferença está que na primeira 
potência apenas o número 2 está elevado ao quadrado, enquanto que na segunda o sinal e o número 2 estão 
elevados ao quadrado, tornando o resultado, então, positivo, conforme colocado.
8. RADICIAÇÃO
É a operação inversa da potenciação. 
Para um número real “a”, a expressão representa o único número real “x” que verifi ca xn = a e tem o 
mesmo sinal que a (quando existe). Quando n é omitido, signifi ca que n=2 e o símbolo de radical refere-se à raiz 
quadrada. A “x” chama-se a raiz, a “n” índice, a “a” radicando e a radical.
Observe a fi gura em vermelho à direita: 
Esta imagem representa a raiz cúbica de oito. A expressão matemática é um radical, ela é composta pelo 
número 3 que é o índice da raiz, pelo símbolo da radiciação e pelo número 8 que é o seu radicando. Mas o que 
signifi ca a raiz cúbica de oito? Quando estudamos a potenciação, vimos que 23 é igual a 2 x 2 x 2 que é igual a 
8. Partimos do número 2 e através de uma multiplicação de 3 fatores iguais a 2, chegamos ao número 8. Agora 
temos o caminho inverso, a raiz cúbica de oito é a operação que nos aponta qual é número que elevado a 3 é 
igual a 8, ou seja, é a operação inversa da potenciação.
Exemplos:
PROPRIEDADES EM GERAL 
Para “a” e “b” positivos tem-se: 
 
a) 
b) 
0422
Mestre de obras - Módulo 1
c) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
 
RACIONALIZAÇÃO 
Quando o denominador de uma fração envolve radicais, o processo pelo qual se transforma essa fração neutra 
cujo denominador não tem radicais chama-se racionalização da fração. 
Exemplos:
POTENCIAÇÃO DE RADICAIS. 
Observando as potencias, temos que: 
              
De modo geral, para elevarmos um radical a um dado expoente, bastamos elevar o radicando àquele expoente. 
Exemplos:
    
DIVISÃO DE RADICAIS 
Segundo as propriedades dos radicais, temos que: 
    
 
0423
Mestre de obras - Módulo 1
De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais: 
Exemplos:
 : = 
Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetuarmos a operação. 
Exemplos:
    
RAÍZES DE RADICANDO REAL COM ÍNDICE NÃO NULO
A raiz “enésima” de “a” é igual a “b”, se e somente se “b’ elevado a “enésima” potência for igual a “a’.
NÃO EXISTE A RAIZ DE UM RADICANDO NEGATIVO E ÍNDICE PAR.
Por quê? 
Vamos tomar como exemplo a raiz quadrada de menos 16 expressa como a seguir: .
Segundo a defi nição temos: 
Qual é o valor numéricoque “b” deve assumir para que multiplicado por ele mesmo seja igual a “-16”?
Como sabemos na multiplicação de números reais ao multiplicarmos dois números, diferentes de zero, com 
o mesmo sinal, o resultado sempre será positivo, então não existe um número no conjunto dos números 
reais que multiplicado por ele mesmo dará um valor negativo, pois o sinal é o mesmo em ambos os fatores da 
multiplicação. 
A RAIZ DE UM RADICANDO NEGATIVO E ÍNDICE ÍMPAR É NEGATIVA
Em uma multiplicação se todos os sinais forem positivos, obviamente o produto fi nal também será positivo, já se 
tivermos fatores negativos, se estes forem em quantidade par o resultado será positivo, se forem em quantidade 
ímpar o resultado será negativo. É evidente que nenhum dos fatores pode ser igual a zero. Então a raiz enésima 
de “a”, um número real negativo será negativa se o índice for ímpar. Se for par como vimos acima, não existirá. 
Vamos analisar a raiz quinta de menos 32 que se expressa como :
Como o expoente de “b” é ímpar, ou seja, o número de fatores que representa a potência é impar, para que 
o resultado seja -32 é preciso que “b” seja negativo. Então a raiz de um número negativo e índice ímpar 
sempre será um número negativo.
Neste exemplo abaixo -2 é o número negativo que elevado a 5 resulta em -32, logo:
0424
Mestre de obras - Módulo 1
Note que na potência colocamos o -2 entre parênteses, pois se não o fi zéssemos, apenas o 2 estaria elevado à 
quinta potência. Como o expoente é ímpar, não faria diferença no resultado se não os tivéssemos utilizado, mas 
isto seria imprescindível se o expoente fosse um número par, para que não houvesse erro de sinal no resultado 
da potenciação.
A RAIZ DE UM RADICANDO POSITIVO TAMBÉM É POSITIVA
Não importa se o índice é par ou impar, em não sendo nulo, a raiz de um radicando positivo também será 
positiva. Vamos analisar a , que se lê raiz quadrada de nove: . Logo 3 é o 
número que elevado ao quadrado dá 9. Mas você pode também se perguntar: E se for - 3? Se elevarmos -3 ao 
quadrado também iremos obter nove? Correto, mas lembra-se da defi nição da raiz para um radicando positivo? 
Tanto o radicando quanto a raiz devem ser positivos, é por isto que não podemos considerar o numero -3.
A RAIZ DE UM RADICANDO NULO TAMBÉM É NULA 
Isto é verdade desde que o índice não seja nulo também. 
Exemplo: 
, pois, 
OUTRAS PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO COM APLICAÇÃO NUMÉRICA. 
As propriedades que vamos estudar agora são consideradas no conjunto dos números reais positivos ou nulos, 
podendo não se verifi car caso o radicando seja negativo, pois como sabemos, não existe raiz real de um número 
negativo. 
a) A raiz de uma potência é uma potência com expoente fracionário. Assim como de uma potenciação podemos 
chegar a uma radiciação, desta podemos chegar a uma potenciação, vejamos:
Já que “n” não pode ser zero, a partir desta propriedade concluímos que não existe raiz de índice zero. Se “n” 
fosse zero, o denominador da fração do expoente seria zero, que sabemos não ser permitido. 
Exemplo:
b) Mudança de índice pela sua multiplicação/divisão e do expoente do radicando por um mesmo número não nulo. 
Se multiplicarmos ou dividirmos tanto o índice do radical, quanto o expoente do radicando por um 
mesmo número diferente de zero, o valor do radical continuará o mesmo:
Exemplos:
0425
Mestre de obras - Módulo 1
c) Raiz de uma potência. 
A raiz “n” de uma potência de “a” elevado a “m”, é a potência “m” da raiz “n” de “a”:
Exemplo:
d) Produto de radicais de mesmo índice. 
O produto de dois radicais de mesmo índice é igual à raiz deste índice do produto dos dois radicandos:
Exemplo:
e) Divisão de radicais de mesmo índice. 
O quociente de dois radicais de mesmo índice é igual a raiz deste índice do quociente dos dois radicandos:
Exemplo:
f) Simplifi cação de radicais através da fatoração. 
Podemos simplifi car e em alguns casos até mesmo eliminar radicais, através da decomposição do radicando 
em fatores primos. O raciocínio é simples, decompomos o radicando em fatores primos por fatoração e depois 
simplifi camos os expoentes que são divisíveis pelo índice do radicando.
*Vamos simplifi car decompondo 91125 em fatores primos: Como 91125 = 36 x 53 podemos dizer que: 
Repare que tanto o expoente do fator 36, quanto o expoente do fator 53 são múltiplos do índice do radicando 
que é igual a 3. Vamos então simplifi cá-los: Perceba que através da fatoração de 91125 e da simplifi cação dos 
expoentes dos fatores pelo índice do radicando, extraímos a sua raiz cúbica eliminando assim o radical temos 
como resultado 45.
* Vejamos agora o caso do radical : Logo 2205 = 32 . 5 . 72, então: . Como 
os expoentes dos fatores 32 e 72 são divisíveis pelo índice 2, vamos simplifi cá-los retirando-os assim do radical:
. Neste caso o expoente do fator 5 não é divisível pelo índice 2 do radicando, 
por isto após a simplifi cação não conseguimos eliminar o radical.
* Agora vamos analisar o número : Note que 729 = 36, então: . Neste caso o expoente de 
36 não é divisível pelo índice 5, mas é maior, então podemos escrever: . Repare que agora o 
expoente do fator 35 é divisível pelo índice 5, podemos então retirá-lo do radical resultando 3 raiz de 3. 
Agora vamos pensar um pouco. Após a fatoração tínhamos o radical . O expoente 6 não é divisível por 5, 
pois ao realizarmos a divisão, obtemos um quociente de 1 e um resto também de 1. Pois bem, o 1 do quociente 
será o expoente da base 3 ao sair o radical. A parte que ainda fi cou no radical terá como expoente o 1 do resto. 
Vamos a alguns exemplos para melhor entendermos a questão:
0426
Mestre de obras - Módulo 1
Exemplo1:
Simplifi que: 
Dividindo 18 por 7 obtemos um quociente de 2 é um resto de 4, logo fora do radical a base 5 terá o expoente 
2 do quociente e a base dentro do radical terá o expoente 4 que é o resto da divisão: 
, logo:
Exemplo2:
2. Simplifi que: 
A divisão de 15 por 5 resulta em quociente 3 e resto 0, pois a divisão é exata, mas não há problema. Seguindo 
as explicações temos: 
Veja que quando o é resto for zero podemos eliminar o radical, já que o radicando sempre será igual a 1, pois 
todo número natural não nulo elevado a zero é igual a um:
Obs: Nos casos em que os expoentes de todos os fatores forem menores que o índice do radical como, por 
exemplo, em , a simplifi cação não poderá ser realizada. 
9. TEOREMA DE PITÁGORAS 
O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da matemática, ele descreve uma relação 
existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identifi cado pela existência de um 
ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior 
segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe no triângulo retângulo abaixo: 
Catetos: “a” e “b’ e Hipotenusa: “c”. O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao 
quadrado da hipotenusa.” a² + b² = c². 
Exemplo1:
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.
x² = 9² + 12² 
x² = 81 + 144 
x² = 225 
√x² = √225 
x = 15 
0427
Mestre de obras - Módulo 1
Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as defi nições de números irracionais começaram a ser 
introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de 
um triângulo retângulo com catetos medindo 1.
Veja: 
x² = 1² + 1² 
x² = 1 + 1 
x² = 2 
√x² = √2 
x = √2 
√2 = 1,414213562373.... 
Exemplo2: 
Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:
x² + 20² = 25² 
x² + 400 = 625 
x² = 625 – 400 
x² = 225 
√x² = √225 
x = 15 
 
Exemplo3:
Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância 
sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir: 
Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?
Pelo Teorema de Pitágoras temos:
x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)0428
Mestre de obras - Módulo 1
10. GRANDEZAS
É tudo aquilo que pode ser medido ou contado.
São exemplos de algumas grandezas: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a 
velocidade, o tempo, o custo e a produção.
Comumente nos encontramos fazendo a comparação entre duas ou mais grandezas, por exemplo:
A velocidade e o tempo. Quanto maior a velocidade do ônibus que tomamos para ir para casa, menos tempo 
gastaremos para chegar. 
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
São aquelas que crescem ou decrescem obedecendo a uma mesma proporcionalidade, ou ainda são aquelas 
quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª. 
Exemplo: 
As grandezas tempo e produção são diretamente proporcionais. Veja a tabela abaixo: 
1:2,5; 2:5; 3:7,5; 4:10 (lê-se: 1 está para 2,5 , assim como 2 está para 5, assim como 3 está 7,5 , assim como 
4 está para 10.) 
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
São aquelas que crescem ou decrescem obedecendo a uma mesma proporcionalidade, só que na forma inversa, 
ou seja, quando uma cresce a outra decresce na mesma proporção ou ainda quando a razão entre os valores da 
1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª. 
Exemplo:
As grandezas tempo e velocidade são exemplos de grandezas inversamente proporcionais. Veja a tabela abaixo: 
Para ir a determinado local com a respectiva velocidade, gasto “X” tempo.
0429
Mestre de obras - Módulo 1
RAZÃO
Denominamos de razão entre dois números a e b (com b diferente de zero) o quociente a/b ou a:b.
Considere duas lajotas nos formatos 30 cm x 30 cm e 60 cm x 60 cm.
Para compararmos as medidas das lajotas, basta dividirmos a área de uma delas pela outra. 
3600/900 = 4 ou 900/3600 = 1/4
Dizemos que uma lajota é quatro vezes maior que a outra, ou que a menor é a quarta parte da maior.
Na construção civil estamos sempre trabalhando com a razão, veja o exemplo:
O traço usado na execução da caixa foi de 1:3 (1 lata de cimento para 3 de areia).
TERMOS DE UMA RAZÃO
a:b (lê-se “a está para b” ou “a para b”)
Na razão a:b , o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente.
PROPORÇÃO
É uma igualdade entre duas razões.
ELEMENTOS DE UMA PROPORÇÃO
Dados quatro números racionais a, b, c e d, não nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção 
quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. 
Assim: 
a:b = c:d (lê-se: a está para b assim como c está para d).
0430
Mestre de obras - Módulo 1
Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo: 
• b e c os meios da proporção
• a e d os extremos da proporção 
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES
Observe as proporções abaixo: 
3/4 = 27/36 
Lê-se: 3 está para 4, assim como 27 está para 36. Meios: 4 e 27 e Extremos: 3 e 36.
“Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos” 
4 x 27 = 108 = 3 x 36 = 108
Exercício:
Determine o valor de x, nas proporções: 
5/8 = 15/x
Aplicando a propriedade fundamental:
5.x = 8.15
5.x = 120, logo x = 120/5 e x = 24.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
É um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. 
Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. 
PASSOS UTILIZADOS NUMA REGRA DE TRÊS SIMPLES
a) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha 
as grandezas de espécies diferentes em correspondências.
b) Identifi car se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
c) Montar a proporção e resolver a equação. 
Exemplo:
Dois pedreiros assentam 15m² de porcelanato em um dia de trabalho. Quantos pedreiros seriam necessários 
para assentar 60m² do mesmo porcelanato no mesmo dia?
Resolução: 
2/x = 15/60 
15.x = 2.60, logo x = 120/15 e assim x = 8, portanto seriam necessários 8 pedreiros.
0431
Mestre de obras - Módulo 1
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
É utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Exemplo:
Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários 
para descarregar 125m³? 
Resolução:
Identifi cação do tipo de relação: 
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o X. 
Observe que: Aumentando o nº de horas de trabalho, podemos Diminuir o nº de caminhões. Portanto a relação é 
inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar 
o nº de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos 
igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
 
Logo serão necessários 25 caminhões 
 
PERCENTAGEM
Percentagem ou porcentagem pode ser defi nida como a centésima parte de uma grandeza, ou o cálculo baseado 
em 100 unidades. 
É visto com frequência as pessoas ou o próprio mercado usar expressões de acréscimo ou redução nos preços 
de produtos ou serviços. 
Exemplos:
1) O Leite teve um aumento de 25%. Quer dizer que de cada R$ 100,00 teve um acréscimo de R$ 25,00.
2) O cliente teve um desconto de 15% na compra de uma calça jeans. Quer dizer que em cada R$ 100,00 a loja 
deu um desconto de R$ 15,00.
3) Dos funcionários que trabalham na empresa, 75% são dedicados. Signifi ca que de cada 100 funcionários, 75 
são dedicados ao trabalho ou a empresa.
0432
Mestre de obras - Módulo 1
NOÇÃO DA PORCENTAGEM EM NÚMEROS.
Exemplos:
a) 60% ou 60/100 de 150 dias de trabalho = 90 dias. O número 90 dias de trabalho representa a porcentagem.
b) 70% ou 70/100 de R$ 120,00 de compra = R$ 84,00. O valor de R$ 84,00 representa a porcentagem. 
O QUE É TAXA DE PORCENTAGEM?
É defi nido como taxa de porcentagem o valor obtido aplicando uma determinada taxa a um certo valor. Também se 
pode fi xar a taxa de porcentagem como o numerador de uma fração que tem como denominador o número 100.
COMO CALCULAR PORCENTAGEM?
Todo o cálculo de porcentagem, como informado, é baseado no número 100. O cálculo de tantos por cento de 
uma expressão matemática ou de um problema a ser resolvido é indicado pelo símbolo (%), e pode ser feito, na 
soma, por meio de uma proporção simples.
Para que possamos fazer cálculos com porcentagem (%), temos que fi xar o seguinte: 
1) A taxa está para porcentagem (acréscimo, desconto, etc), assim como o valor 100 está para a quantia a ser 
encontrada. 
Exemplo:
Uma lata de tinta tem um desconto de 30%. Quanto custa a tinta se o preço cheio é R$ 120,00? 
30% : R$ 120,00 
100% : X
X = R$ 36,00 (desconto)
Valor: 120,00 - 36,00 = R$ 84,00
2) O número que se efetua o cálculo de porcentagem é representado por 100.
Exemplo:
Efetue o cálculo 10% de 50
100% : 50
10% : X
X = 5 
Obs.: Nos dois exemplos dados foi usado o sistema de cálculo de regra de três, já ensinados em tutoriais 
anteriores. 
3) O capital informado tem sempre por igualdade o 100.
Exemplo:
Efetua-se o resgate de um cheque pré-datado no valor de R$ 150,00 e obtêm-se um desconto de 20%. 
100% : R$ 150,00
20% : X, logo X = R$ 30,00.
EXEMPLOS PARA FIXAÇÃO DE DEFINIÇÃO.
1) Um jogador de basquete, ao longo do campeonato, fez 240 pontos, deste total 10% foram de cestas de 02 
pontos. Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 240 pontos?
10% de 240 = 10 X 240/100 = 2400/100= 24
Portanto, do total de 240 pontos o jogador fez 24 pontos de 02 pontos. 
2) Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido posteriormente por R$ 340,00, qual a taxa percentual de lucro? 
0433
Mestre de obras - Módulo 1
Neste caso é procurado um valor de porcentagem no qual são somados os R$ 300,00 iniciais com a porcentagem 
aumentada e que tenha como resultado o valor de R$ 340,00. 
300 + 300 . X/100= 340
3X = 340 – 300 
X = 13,333 
10. UNIDADES DE MEDIDA E SUAS TRANSFORMAÇÕES
UNIDADES DE MEDIDA DE COMPRIMENTO (METRO LINEAR)
Para transformar na unidade imediatamente inferior,multiplica-se por 10; para transformar na unidade 
imediatamente superior, divide-se por 10.
UNIDADE DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE (ÁREA) 
Para transformar na unidade imediatamente inferior, multiplica-se por 100; para transformar na unidade 
imediatamente superior, divide-se por 100.
1 hectare (ha) é a medida de superfície de um quadrado de 100 m de lado.
1 hectare (ha) = 1 hm² = 10.000 m² 
UNIDADE DE MEDIDA DE VOLUME
0434
Mestre de obras - Módulo 1
Para transformar na unidade imediatamente inferior, multiplica-se por 1.000; para transformar na unidade 
imediatamente superior, divide-se por 1.000.
UNIDADE DE MEDIDA DE CAPACIDADE
Para transformar na unidade imediatamente inferior, multiplica-se por 10; para transformar na unidade 
imediatamente superior, divide-se por 10. 
UNIDADE DE MEDIDA DE MASSA
Para transformar na unidade imediatamente inferior, multiplica-se por 10; para transformar na unidade 
imediatamente superior, divide-se por 10. 
Relações importantes:
1 dm³ (volume) = 1 litro (capacidade) = 1 kg (massa).
PERÍMETRO DE UM POLÍGONO
Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados.
PERÍMETRO DO RETÂNGULO
b - base ou comprimento 
   h - altura ou largura
   Perímetro = 2b + 2h = 2(b + h)
0435
Mestre de obras - Módulo 1
PERÍMETRO DO QUADRADO
P = l + l + l+ l
P = 4 · l 
PERÍMETRO DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO
P = l+ l + l 
P = 3 · l 
PERÍMETRO DO TRAPÉZIO
P = B + b + M + N 
PERÍMETRO DO PENTÁGONO
P = l + l + l + l + l
P = 5 · l 
PERÍMETRO DO HEXÁGONO
P = l + l + l + l + l + l
P = 6 · l 
0436
Mestre de obras - Módulo 1
PERÍMETRO OU COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA
Um pneu tem 40cm de diâmetro, conforme a fi gura. Pergunta-se: Cada volta completa deste pneu corresponde 
na horizontal a quantos centímetros? 
Envolva a roda com um barbante. Marque o início e o fi m desta volta no barbante. Estique o bastante e meça o 
comprimento da circunferência  correspondente à roda. 
Medindo essa dimensão você encontrará aproximadamente 125,6 cm, que é um valor um pouco superior a 3 
vezes o seu diâmetro. Vamos ver como determinar este comprimento por um processo não experimental. 
Você provavelmente já ouviu falar de uma antiga descoberta matemática: Dividindo-se o comprimento de uma 
circunferência (C) pela medida  do  seu diâmetro (D), encontramos sempre um valor aproximadamente igual a 
3,14.
Assim:  
O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega (lê-se “pi”), que é a primeira lera da 
palavra grega perímetro. Costuma-se considera = 3,14. 
Logo:    
Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer circunferência.
Podemos agora conferir com auxílio da fórmula o comprimento da roda obtido experimentalmente. 
C = 2 r      C = 2 x 3,14 x 20            C = 125,6 cm
0437
Mestre de obras - Módulo 1
ÁREA DAS FIGURAS PLANAS
Saber calcular a área das fi guras planas é o primeiro passo para você profi ssional se tornar capaz de calcular 
com efi ciência e segurança a quantidade dos materiais a serem utilizados em qualquer etapa da obra. É através 
deste cálculo que você chegará a metragem do piso, da quantidade de tinta a ser comprada dentre outras 
aplicações.
A seguir apresentaremos as principais fórmulas para o cálculo das áreas de fi guras planas. 
ÁREA DO RETÂNGULO
Supondo que você tenha um ambiente retangular cujas dimensões são: a = 3,0m e b = 2,0m, e você deseja 
saber quantos metros de piso precisa comprar para revestí-lo, o cálculo é feito da seguinte forma: 
Área (ambiente) = a.b
Área (ambiente) = 3,0 x 2,0 = 6,0 m².
Lembre-se, sempre adquira o material com sobra, levando em consideração a quebra durante o manuseio e 
outras perdas em média 5% a mais.
ÁREA DO QUADRADO
Caso o ambiente seja quadrado, o cálculo é igual ao do retângulo, multiplicando-se sua largura pelo seu 
comprimento, sendo que neste caso as medidas são iguais. 
Exemplo: 
A = 2,0 m e b = 2,0 m então a área do ambiente será: 
A = 2,0 x 2,0. Logo A = 4,0 m².
ÁREA DO TRIÂNGULO
Os lados do triângulo são: a, b e c. Na fi gura1, o lado b é chamado de base e a altura do triângulo é 
representada pela letra h. 
Então: 
Área (triângulo) = (base x altura)/2
No caso de áreas triangulares, o cálculo é um pouco diferente, mas você verá que se trata de uma situação 
similar a do retângulo, já que todo triângulo encontra-se inserido em um retângulo. 
0438
Mestre de obras - Módulo 1
Veja na fi gura 2, que o triângulo constitui-se na metade do retângulo. Neste caso a base é 40 cm e a altura 20 cm.
Calculamos sua área assim: 
Área (triângulo) = (40 x 20)/2 = 400 cm²
ÁREA DO TRAPÉZIO
Também é uma fi gura composta de outras, já que pela visualização temos dois triângulos e um retângulo.
A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo.
Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais importantes (elementos utilizados no cálculo da 
sua área): 
Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base menor (b) e por uma altura (h). 
Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo em dois triângulos, veja como:
Primeiro, completamos as alturas no trapézio:
Segundo, dividimos o mesmo em dois triângulos: 
A área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos dois triângulos (ΔCFD e ΔCEF).
Antes de fazermos o cálculo da área de cada triângulo separadamente observamos que eles possuem bases 
diferentes e alturas iguais.
0439
Mestre de obras - Módulo 1
ÁREA DO CÍRCULO
A letra π (pí) é uma constante e tem valor aproximado de 3,14. O “R” representa o raio do círculo. 
Exemplo: 
Calcular a área de um círculo, cujo raio mede 20 cm. 
Área (círculo) = 3,14 x 20² = 1256 cm²
MEDIDAS DE SUPERFÍCIES
Essas medidas fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano:
• Qual a área dessa sala?
• Qual a área desse apartamento?
• Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir essa piscina?
• Qual a área dessa quadra de futsal?
• Qual a área pintada dessa parede? 
Superfície e área
Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto um 
número. 
O Metro quadrado 
É a unidade fundamental de superfície. O metro quadrado (m²) é a medida correspondente à superfície de um 
quadrado com 1 metro de lado.
MEDIDAS DE VOLUME
Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura 
e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume.
A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico.
0440
Mestre de obras - Módulo 1
O metro cúbico (m³) é a medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1m de aresta. 
MEDIDAS DE CAPACIDADE
Capacidade é o volume interno do recipiente. A unidade fundamental de capacidade chama-se litro.
A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afi nal quando enchemos esse recipiente, o 
líquido assume a forma do mesmo.
RELAÇÃO ENTRE UNIDADE DE VOLUME E CAPACIDADE
1m³ = 1.000 litros
Exemplo: 
Preciso construir uma caixa d’água de base quadrangular ou retangular, cuja capacidade seja de 1.000 litros. 
Quais as dimensões que devo dar a essa caixa? 
Sendo a capacidade da caixa de 1.000 l, então o seu volume será de 1m³, o que me leva a usar as seguintes 
dimensões: 
Largura = 1m; 
Comprimento = 1m;
Altura = 1m,
Fazendo-se 1m³.
ÁREAS E VOLUMES DE SÓLIDOS
PARALELEPÍPEDO
 
Descrições:
a - Larg ura do Paralelepípedo 
b - Altura do Paralelepípedo 
c - Profundidade do Paralelepípedo 
0441
Mestre de obras - Módulo 1
CILINDRO RETO 
Descrições:
S - Soma das áreas das bases e da área lateral do cilindro 
SL - Área lateral do cilindro 
R - Raio do Cilindro 
h - Altura do Cilindro 
CILINDRO OCO
Descrições:
SL - Soma das áreas laterais (externa e interna) do cilindro 
V - Volume da parte sólida do cilindro 
R - Raio Externo do cilindro 
r - Raio Interno do cilindro 
h - Altura do cilindro 
e - Espessura da parede do cilindro 
CILINDRO COM SEÇÃO OBLÍQUADescrições:
R - Raio do Cilindro 
h - Altura Menor do Cilindro 
h1 - Altura Maior do Cilindro 
0442
Mestre de obras - Módulo 1
ESFERA CHEIA 
Descrições:
R - Raio da Esfera 
D - Diâmetro da Esfera (D = 2R) Diâmetro d
ESFERA ÔCA
Descrições:
S - Soma das áreas externa e interna da esfera 
V - Volume da parte sólida da esfera 
R - Raio Externo da esfera 
r - Raio Interno da esfera 
D - Diâmetro Externo da esfera (D = 2R) 
0443
Mestre de obras - Módulo 1
CONE RETO
Descrições:
SL - Área lateral do cone 
V - Volume do cone 
R - Raio da base 
h - Altura do cone 
L - Comprimento do lado do cone 
23.8 Tronco de cone. 
Descrições:
SL - Área lateral do tronco de cone 
V - Volume do tronco de cone 
R - Raio da base maior 
r - Raio da base menor 
h - Altura do tronco de cone 
L - Comprimento do lado do tronco de cone 
0444
Mestre de obras - Módulo 1
PRISMA RETO
Descrições:
S - Soma das áreas das bases e da área lateral do prisma 
SL - Área lateral do prisma 
V - Volume do prisma 
Pb - Perímetro da base 
Sb - Área da base 
H - Altura do prisma 
h - Altura da base 
a, b, c - Lados da base 
TRONCO DE PIRÂMIDE (OBELISCO)
Descrições:
Obelisco - Tronco de Pirâmide 
S - Soma das áreas das bases e da área lateral do obelisco 
SL - Área lateral do obelisco (Soma de quatro trapézios) 
V - Volume do obelisco 
h - Altura do obelisco 
HS - Comprimento do lado do obelisco (Slant Height) 
A, B - Lados da base maior 
a, b - Lados da base menor 
0445
Mestre de obras - Módulo 1
23.11 Segmento esférico.
Descrições:
SL - Área lateral do segmento esférico 
V - Volume do segmento esférico 
R - Raio da esfera 
h - Altura do segmento esférico 
c - Diâmetro da base do segmento esférico 
ZONA ESFÉRICA
Descrições:
R - Raio da esfera 
h - Altura da zona esférica 
a - Raio da base menor da zona esférica 
b - Raio da base maior da zona esférica 
0446
Mestre de obras - Módulo 1
SETOR ESFÉRICO
Descrições:
R - Raio da esfera 
h - Altura 
c - Diâmetro da base 
ANEL CIRCULAR
Descrições:
D - Diâmetro maior do anel 
d - Diâmetro menor do anel 
ANEL ALONGADO
Descrições:
D - Diâmetro maior do anel 
d - Diâmetro menor do anel 
h - Comprimento do alongamento 
0447
Mestre de obras - Módulo 1
BARRIL
Descrições:
V - Volume do barril 
D - Diâmetro maior do barril 
d - Diâmetro menor do barril 
h - Altura do barril 
VOLUME DE CONCRETO DE UMA SAPATA ISOLADA
O volume de concreto de uma sapata é calculado a partir da soma do volume do tronco de pirâmide (parte 
superior da sapata) com o volume da base da sapata. A fórmula geral do volume de concreto de uma sapata 
isolada é dada por:
0448
Mestre de obras - Módulo 1
TUBULÃO, COMO CALCULAR O VOLUME PARA A BASE CIRCULAR(VB)
APLICAÇÕES PRÁTICAS
CÁLCULO PARA INCLINAÇÃO EM UMA COBERTURA
Método Simples e Prático
 
Onde:
“A” - Comprimento horizontal do Pano
“I” - Inclinação a ser usada
“B” - Comprimento inclinado do Pano ou “Faixa”
“C” - Largura do Pano ou “Fiada”
Obs.: Nas medidas “A” e “C” devem ser incluídos os beirais (se existirem).
0449
Mestre de obras - Módulo 1
CÁLCULO DE ÁREA DE PINTURA
a) Meça o perímetro das paredes do cômodo (metros): Num cômodo de 3 m de largura por 4m de comprimento 
o perímetro = 3 + 3 + 4 + 4 = 14 m. Considerando que a altura padrão das paredes (pé-direito) = 2,70m, basta 
multiplicar a área das paredes pela altura: 14 m x 2,70 m = 37,8 m² = área de pintura das paredes. 
ATENÇÃO: Se o teto também for pintado, multiplique a largura x comprimento do cômodo: 4 x 3 = 12 m² é área 
de pintura do teto.
b) Depois some ao restante da área = 37,8 + 12 = 49,8 m² área total de pintura (paredes + tetos). 
CÁLCULO DA QUANTIDADE DE TINTA
• Os tamanhos das embalagens são: ¼ galão (900 ml), galão de 3,6 l e lata de 18 l.
• Calcule o volume de tinta necessário para pintura seguindo a fórmula abaixo:
• Os fabricantes informam nos rótulos o rendimento da tinta, conforme o exemplo (vamos adotar um 
rendimento de 50 m² por demão):
Volume de tinta = (Área de Pintura x Número de Mãos) / Rendimento
(49,80 m² x 2) / 50 m² = 1,99 Galões, isto é, para pintar esse cômodo, será preciso comprar dois galões de 3,6 l.
NOÇÕES DE PRESSÃO, FLEXÃO, CISALHAMENTO E TORÇÃO
Tensão ou pressão é ao resultado da ação de cargas externas sobre uma unidade de área da seção analisada 
na peça, componente mecânico ou estrutural submetido à solicitações mecânicas. A direção da tensão depende 
do tipo de solicitação, ou seja da direção das cargas atuantes. As tensões provocadas por tração compressão e 
fl exão ocorrem na direção normal (perpendicular) à área de seção transversal e por isso são chamadas de tensões 
normais, representadas pela letra grega sigma (σ). As tensões provocadas por torção e cisalhamento atuam na 
direção tangencial a área de seção transversal, e assim chamadas de tensões tangenciais ou cisalhantes, e 
representadas pela letra grega tau (τ). 
0450
Mestre de obras - Módulo 1
TENSÃO OU PRESSÃO NORMAL “σ”
A carga normal F, que atua na peça, origina nesta, uma tensão normal “σ”
(sigma), que é determinada através da relação entre a intensidade da carga aplicada
“F”, e a área de seção transversal da peça “A”. 
No Sistema Internacional, a força é expressa em Newtons (N), a área em metros quadrados (m2). A tensão (�) 
será expressa, então, em N/m2, unidade que é
denominada Pascal (Pa). Na prática, o Pascal torna-se uma medida muito pequena para tensão, então usa-se 
múltiplos desta unidade, que são o quilopascal (kPa), megapascal (MPa) e o gigapascal (Gpa).
Exemplo prático de pressão:
As paredes de um reservatório de pressão deve ter resistência apropriada para suportar a pressão interna, etc.
TENSÃO OU PRESSÃO NORMAL DE COMPRESSÃO
As forças agem para dentro do corpo, tendendo a encurta-lo no sentido da carga aplicada.
0451
Mestre de obras - Módulo 1
TENSÃO OU PRESSÃO NORMAL DE TRAÇÃO
Quando as forças agem para fora do corpo, tendendo a alonga-lo no sentido da sua linha de aplicação.
FLEXÃO
A fl exão é uma solicitação transversal em que o corpo sofre uma deformação que tende a modifi car seu eixo 
longitudinal.
CISALHAMENTO
Ocorre quando um corpo tende a resistir a ação de duas forças agindo próxima e paralelamente, mas em 
sentidos contrários. 
TORÇÃO
A torção é um tipo de solicitação que tende a girar as seções de um corpo, uma em relação à outra.
0452
Mestre de obras - Módulo 1
A POLEGADA
A polegada é uma unidade de comprimento usada no sistema imperial de medidas britânico. Uma polegada são 
2,54 centímetros ou 25,4 milímetros.
A polegada tem sua origem na medida realizada com o próprio polegar. É a largura de um polegar humano 
regular medido na base da unha (também houve tentativas de se ligar a medida com a distância entre a ponta 
do polegar até a primeira junta; porém, isso normalmente é especulativo). Uma medida rápida do polegar de um 
ser humano adulto fornece aproximadamente 2,5 cm de comprimento para esta distância.
Hoje em dia, ela é defi nida em função da Jarda. Esta por sua vez é defi nida em função do metro (unidade adotada 
na maioria dos países). 
Equivalências:
* 1 polegada é igual a: 0,027777777777778 jardas e 0,083333333333333 pés. 
* 1 pé é igual a: 12 polegadas.
* Notação. 
O símbolo internacional normalizado da polegada é “in” (ver ISO 31-1). Por vezes, a unidade polegada é também 
representada por uma dupla plica (p.ex. 30” = 30 in). 
TRANSFORMAÇÃO DE POLEGADA PARA MILÍMETRO E CENTÍMETRO
Exemplo:
Transformar a bitola dos aço de 3/8” (três oitavo de polegada) e de 3/4” (três quarto de polegada) para milímetro 
e centímetro.
a) Para o aço de 3/8”.
1” polegada = 25,4 mm então: 
1 / (3/8) = 25,4 / x, 
logo x = 3/8 . 25,4 
x = 9.53 mm = 0,953 cm
b) Para o aço de 3/4”.
1” polegada = 25,4 mm então:
1 / (3/4) = 25,4 / x,
x = 3/4 . 25,4
x = 19,05 mm = 1, 905 cm.
ALGUMAS INFORMAÇÕES E VALORES IMPORTANTES
MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO METRO
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas 
distâncias. 
* Para medidasmilimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:
a) 1 mícron (μ) = 10-6 m. 
b) 1 angströn (Å) = 10-10 m.
0453
Mestre de obras - Módulo 1
* Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):
a) Ano-luz = 9,5 x 1012 km
UNIDADES NÃO PERTENCENTES AO SISTEMA MÉTRICO DECIMAL, 
SÃO UTILIZADAS EM PAÍSES DE LÍNGUA INGLESA
a) Pé = 30,48 cm
b) Polegada = 2,54 cm
c) Jarda = 91,44 cm
d) Milha terrestre = 1.609 m
e) Milha marítima = 1.852 m
Observe que:
1 pé = 12 polegadas
1 jarda = 3 pé
11. PROCEDIMENTOS PARA REGULARIZAÇÃO DE OBRAS E APLICAÇÃO 
DAS NORMAS DE SEGURANÇA DO TRABALHO NA CONSTRUÇÃO CIVIL
O QUE É REGULARIZAÇÃO DE OBRA?
A regularização das edifi cações irregulares tem como objetivo legalizar construções erguidas sem aprovação de 
projetos, ou à revelia do Código de Obras, do Código Sanitário Estadual e Edifi cações Municipais. As situações 
mais comuns de irregularidade são infrações em relação aos recuos e ao uso do imóvel, suas condições de 
habitabilidade. Muitos projetos aprovados totalmente legais perante aos Códigos são modifi cados à revelia, por 
falta de acompanhamento da fi scalização municipal, falta de acompanhamento profi ssional efetivo e precisam 
ser novamente aprovados.
Exemplos mais práticos disso são corredores laterais que têm medidas menores que as mínimas permitidas pelo 
Código de Obras e Edifi cações, janelas construídas nas divisas de terrenos, áreas mínimas não sendo conferidas, 
taxa de ocupação do lote não sendo respeitada, altura interna diminuída (pé direito), índice de aproveitamento (área 
máxima de construção) incoerente, número de pavimentos e altura da edifi cação ilegal, excesso de porte, enfi m, erros 
grotescos de edifi cações que fi cam a mercê de profi ssionais da área tecnológica, sem consciência cívica ou ética, 
e outras vezes por vontade do proprietário que muda o projeto original, cometendo exorbitâncias, e muitas vezes o 
profi ssional nem fi ca sabendo, embora seja totalmente sua a responsabilidade pela construção irregular. 
POR QUE REGULARIZAR? 
A regularização tira o imóvel da clandestinidade. Se o imóvel estiver irregular, pode sofrer ação da fi scalização a 
qualquer momento e ser multado, mas isto quase nunca ocorre na prática, nas maiorias das cidades. Raramente 
alguma edifi cação é embargada pelo poder de polícia da administração municipal, embora seja uma prática 
corrente em alguns poucos municípios. Uma vez regularizada a edifi cação ou o uso instalado, o proprietário pode 
registrar sua casa, ter legalizado o funcionamento até da atividade comercial, ter acesso a fi nanciamentos para 
reformar o imóvel ou comercializá-lo. Se estiver irregular, não é possível registrá-lo nem obter a sua averbação, 
no Cartório de Registro de Imóveis.
0454
Mestre de obras - Módulo 1
A FALTA DE REGISTRO, A QUEM ONERA?
O proprietário do imóvel não podendo vender o que não tem registrado, procura a regularização do seu imóvel, 
para poder legalizar, fi nanciar ou mesmo dar em garantia. Mas quem mais perde pelo imóvel não estar de acordo 
com o projeto aprovado ou mesmo que não haja nenhum projeto é a própria Prefeitura, que deixa de arrecadar 
impostos seja com a sua construção, aprovação, ou seja, ISS, ITBI e IPTU e emolumentos, já que não fi scaliza. 
A postura municipal é prejudicada, e a arrecadação diminui. Já existe jurisprudência, indicando que a falta de 
fi scalização de obras e postura pública, caracteriza como renuncia de receita, e é até motivo de improbidade 
administrativa. (artigo 10 da Lei n. 8.429/92). 
A averbação da construção é a única forma para a modifi cação jurídica do imóvel devidamente registrado, 
realizando a sua nova discriminação e individualização, através da mesma surge para o Poder Público o direito 
de efetuar a cobrança de novos impostos ou alterar a base de cálculo até então existente, tendo em vista a nova 
realidade de fato do bem.
O dispositivo utilizado por algumas Prefeituras, de enviar a fi scalização apenas para levantar a área construída, 
(mesmo aproximada por que muitas vezes nem acesso ao imóvel se tem), para cobrança de impostos não refl ete 
a realidade, e dá margem para que qualquer contribuinte entre na justiça, e questione em função do valor do 
bem utilizado como base da cobrança de impostos, diferente do averbado.
Afi nal, até então, tinha-se uma nova realidade de fato que somente passa a ser jurídica com a averbação da 
autorização de habitação. E a Legislação é clara : Lei 4591/64, art. 44. “Somente após a conclusão de toda a 
obra é que pode ser averbada a construção”. 
A concessão de “habite-se” parcial não satisfaz a exigência do art. 44 da Lei n. 4.591/64. Portanto a autorização 
de ocupação é ato administrativo declaratório pelo qual o Poder Público certifi ca a conclusão de uma edifi cação, 
estando à mesma em conformidade com a legislação e posturas edilícias, possibilitando a sua habitabilidade.
QUAIS AS CAUSAS E AS CONSEQUÊNCIAS DAS OBRAS IRREGULARES?
As edifi cações são irregulares, seja por falta de projetos aprovados, de regularização, de profi ssionais habilitados 
ou foram feitas modifi cações posteriores, muitas sem atender à legislação. As conseqüências deste processo 
nas cidades são as seguintes:
- Redução da qualidade de vida dos cidadãos;
- Deterioração da paisagem urbana;
- Habitações de baixa qualidade;
- Desvalorização dos imóveis;
- Baixa arrecadação de taxas e impostos;
- Descumprimento do Plano Diretor.
As principais causas destes problemas são:
- Defi ciência na estrutura de fi scalização das Prefeituras;- Falta de fi scais treinados e equipados; (que 
necessariamente devem ter CREA – Resolução 430 do CONFEA - Art. 1º - item VI). 
- Inexistência de planejamento;
- A Prefeitura não quer assumir o ônus político;
- Ainda não foi implantada a Engenharia e Arquitetura Públicas;
Muitas Prefeituras tentam reverter esta situação, procurando aumentar a efi ciência da fi scalização, a sua está 
fazendo alguma coisa a respeito?
0455
Mestre de obras - Módulo 1
DÁ PARA FAZER ALGUMA COISA A RESPEITO?
O Estatuto da Cidade, aprovado em 10 de julho de 2001, oferece aos municípios uma série de instrumentos que 
podem intervir no mercado de terras e no processo da exclusão social, garantindo o cumprimento integral da função 
da cidade e da propriedade urbana. Uma das principais características do processo de urbanização no Brasil tem sido 
a proliferação de processos informais de desenvolvimento urbano. Milhões de brasileiros só têm tido acesso ao solo 
urbano e à moradia através de processos e mecanismos informais e ilegais. As conseqüências socioeconômicas, 
urbanísticas e ambientais desse fenômeno têm sido muitas e graves, pois, além de afetar diretamente os moradores 
dos assentamentos informais, a irregularidade produz um grande impacto negativo sobre as cidades e sobre a 
população urbana como um todo. Sua Entidade de classe pode e deve intervir diretamente neste assunto. Debata este 
problema, traga as autoridades, convoque a Sociedade, verifi que o que está sendo feito em outras cidades, além de 
todas as causas e conseqüências citadas, é o nosso mercado de trabalho que é afetado.
EXISTEM RESTRIÇÕES PARA APROVAR UMA REGULARIZAÇÃO DE OBRA, MESMO COM A LEI?
Normalmente não é permitida a regularização das edifi cações que:
I – estejam edifi cadas em logradouros ou terrenos públicos, ou que avancem sobre eles; 
II – estejam situadas em zonas de usos diferentes dos permitidos na Legislação de Uso e Ocupação vigente, e já 
registradas e homologadas em áreas com restrições pelo Cartório de Imóveis, excetuadas aquelas para as quais 
se comprove que, na época da instalação da atividade, o uso era permitido; 
III – estejam situadas em faixas não edifi cáveis junto a represas, lagos, lagoas, córregos, fundos de vale, faixas 
de escoamento de águas pluviais, galerias, canalizações e linhas de transmissão de energia de alta tensão; 
IV – estejam situadas em áreas atingidas por melhoramentos viários previstos em lei; 
V –estejam “sub judice” em ações relacionadas à execução de obras irregulares, quando a Municipalidade for 
parte; e outros.
Por fi m existem obras que não pode sequer ser regularizada porque oferecem riscos para os moradores e 
vizinhos.
1.7 Como funciona em outras cidades este tipo de lei? 
Ourinhos, por exemplo, tem uma experiência pioneira, uma vez que a ASSOCIAÇÃO DE ENGENHARIA E 
ARQUITETURA – AERO tem um Convênio com a Prefeitura, e a fi scalização de obras e postura, fi ca a cargo da 
própria Entidade, que é remunerada pelo executivo para prestar este serviço.     Como resultado foi sensível a 
melhora na arrecadação do município desde que este serviço foi implantado, em todos os sentidos.
Com a terceirização a verifi cação do Cumprimento do Código de Obras do Município fi cou a cargo da Entidade 
de Profi ssionais e alcançou ótimos resultados, tais como:
- O nível de edifi cações irregulares caiu para menos de 2%, e destas a maioria situadas no limite da cidade com 
zona rural;
- A arrecadação das taxas relativas à regularização de imóveis aumentou 7(sete) vezes;
- A arrecadação de IPTU aumentou signifi cativamente;
- Possibilidade de monitoramento através do Plano Diretor;
- Parte da arrecadação das taxas pode ser utilizada para o Programa de Engenharia e Arquitetura Públicas, 
possibilitando o cumprimento do Estatuto da Cidade, sem onerar outros recursos;
- É feito o acompanhamento sistemático de todas as construções, com a implantação da Caderneta de Obras;
- O cadastro dos imóveis pode ser atualizado permanentemente;
Em alguns municípios é muito comum a Prefeitura exercer o poder de embargo e demolição de construções 
irregulares; por outro lado, em alguns, costuma-se até cobrar uma taxa adicional, para aprovar as obras 
0456
Mestre de obras - Módulo 1
irregulares, passíveis de serem aprovadas, que requerem uma vistoria mais apurada para conceder esta anistia, 
e obrigatoriamente é um serviço que tem que ser executado por um profi ssional de engenharia ou arquitetura, 
emitido um relatório detalhado e recolhida uma ART – Anotação de Responsabilidade Técnica (Resolução nº. 
229 do CONFEA), para que o serviço não seja considerado nulo. A concessão da anistia é homologada, desde 
que o proprietário pague o ISS da área construída, os emolumentos, e junto à documentação e forneça o Laudo 
Técnico, por um profi ssional habilitado. 
QUAL SERIA A FUNÇÃO DA AÇÃO DE FISCALIZAÇÃO DE OBRAS E POSTURAS? 
Sua função seria promover a fi scalização das obras civis e as posturas municipais assegurando o bem estar 
público, impondo, se necessário, limitações às atividades dos indivíduos a fi m de prevenir os danos sociais 
que dessa atividade possam resultar. Também notifi ca e intima os responsáveis pela edifi cação que apresenta 
irregularidades, obrigando a executar as obras, para solucionar o problema.       
Também compete à administração, interditar as edifi cações que apresentem riscos de segurança e prescrever 
as multas que serão aplicadas pela administração, à edifi cação que apresenta irregularidades.
O licenciamento administrativo das obras é o meio de que o Poder Público lança mão para impor e controlar a 
observância das normas técnico-legais da construção. Desde a elaboração do projeto até a conclusão da obra, 
a construção fi ca sujeita à fi scalização da autoridade competente, que, para o início da edifi cação, expede o 
alvará de construção, e para o início do uso da obra concluída expede o alvará de ocupação, ou auto de vistoria, 
vulgarmente conhecido por “habite-se.
POR QUE O CREA NÃO INTERVÉM NUMA OBRA MUNICIPAL?
Somente o poder público local detém o poder de polícia. O CREA, não tem o poder de embargar uma obra, 
isto cabe ao município. O CONFEA a nível Federal e o CREA-SP a nível estadual, são incumbidos por lei para 
fi scalizar as profi ssões, tarefa privativa da União, nos exatos termos do art. 21, XXIV, da Constituição Federal, 
mas não podem intervir diretamente na fi scalização e postura municipal. O CREA defende a Sociedade, nunca 
o profi ssional.
A atividade de polícia implica aplicação de sanções e limitação de direitos, com coercibilidade e auto-
executoriedade, o que somente é possível entre Administração Pública e particulares. A fi xação da natureza 
jurídica defi ne ainda incontestavelmente o papel ou atividade fi m atribuída aos conselhos e ordens profi ssionais. 
Estão eles incumbidos da fi scalização do exercício das profi ssões. Não são os conselhos e ordens entidades de 
representação nem de defesa de direitos e interesses de classe ou categoria, tarefas atribuídas às Associações 
de classe e Sindicatos. Não têm os conselhos profi ssionais, então, qualquer atribuição na defesa de interesses 
dos profi ssionais, mas tem, sim, como atribuição a fi scalização do exercício da profi ssão. E fi scalização no 
âmbito meramente administrativo: fi scalização ética e técnica.
Por que a fi scalização é responsabilidade da prefeitura?
A Constituição Federal de 1988 destaca, entre os direitos fundamentais, o de propriedade, garantindo que a 
propriedade atenderá a sua função social (art.5º, XXII e XXIII), com isto fi ca claro a preocupação com o uso do 
solo urbano e a obrigatoriedade da adoção de um plano diretor para orientar o desenvolvimento das cidades com 
mais de vinte mil habitantes estabelecendo parâmetros locais para a ocupação urbana.
 A intervenção pública na propriedade privada é justifi cada, pelos interesses superiores da comunidade. Por 
isto existem imposições de ordem pública de competência exclusiva dos Municípios. 0 fundamento do poder 
de polícia é o princípio da predominância do interesse público sobre o particular, exercendo o poder de polícia 
e sua vinculação com o ordenamento da cidade, chega ao “poder-dever” do Município em atuar a favor da 
coletividade, nos aspectos relacionados com as construções, a saúde e atividades urbanas. Conhecendo todas 
as modalidades de taxas de serviços e de poder de polícia e a diferença entre taxa e serviço público, conhece-se 
as técnicas de fi scalização em suas ações preventivas e repressivas.
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Mestre de obras - Módulo 1
O DIREITO EDILÍCIO É COMPETÊNCIA EXCLUSIVA DOS MUNICÍPIOS?
O uso do solo urbano tem como um de seus princípios básicos a função social da propriedade. 
Poder Público, através da função de polícia que possui a administração pública pode impor aos particulares regras 
para disciplinar as construções, tendo por escopo o bem-estar da coletividade. As limitações administrativas ao 
direito de construir são normas de ordem pública.
A competência para estabelecer limitações administrativas ao direito de construir é maciçamente municipal, 
conforme o sistema de competências enumeradas da Constituição Federal, especialmente face ao disposto no 
art.30, II e VII. Cabe à União legislar sobre normas gerais em matéria urbanística e aos Estados editar normas 
de aplicação - regional ou até mesmo geral quando a lei federal for omissa ou inexistente. A competência dos 
Municípios é exclusiva em matéria de política urbana, onde está incluída a política edilícia.
A edição de Leis que permitem a regularização de obras clandestinas faz parte desta política edilícia, mas o que 
na verdade deveria ter caráter esporádico, acaba se perpetuando, com as sucessivas reedições. 
       
POR QUE AS ASSOCIAÇÕES REGIONAIS DOS ENGENHEIROS E ARQUITETOS SE PREOCUPAM COM UMA 
APROVAÇÃO DE UMA LEI COMO ESTA? 
O risco de desabamento e acidentes está em cada esquina, a Entidade de Classe, tal qual o CREA, se preocupa 
com a Sociedade e enquanto existir construções irregulares, signifi ca que muitos imóveis ainda serão erguidos 
sem qualquer inspeção técnica ou regularização pela prefeitura. 
Se o poder público é incompetente para inspecionar e fi scalizar as posturas municipais, que procure delegar 
este serviço, seja a própria Entidade seja a Empresas particulares, que através de licitação Pública possam 
vir a exercer esta função, uma vez que até a responsabilidade política da fi scalização acaba por benefi