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Lista de exercícios 2 - álgebra linear. 
 
1. Sejam 2RV  e }|)2,{( RxxxS  , isto é, S é o conjunto de vetores do plano que tem a segunda 
componente igual ao dobro da primeira. Verifique se S é um subespaço de V. 
R. Sim. 
Devemos provar que: 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑆, 𝑘𝑢 ∈ 𝑆. 𝑠𝑒𝑗𝑎 (𝑥1, 𝑦1) 𝑒 (𝑥2, 𝑦2) ∈ 𝑆. 
i) 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑥2, , 𝑦1 + 𝑦2) = ((𝑥1 + 𝑥2, 2(𝑥1 + 𝑥2 )) ∈ 𝑆 Verdadeira. 
ii) 𝑘𝑢 = (𝑘𝑥1, 𝑘𝑦1) = (𝑘𝑥1, 2𝑘𝑥1) = 𝑘(𝑥1, 2𝑥1) ∈ 𝑆. Verdadeira. 
 
 
2. Sejam 3RV  e }0|),,{( 3  czbyaxRzyxS . Verifique se S é um subespaço de V. 
R. Sim 
Devemos provar que: 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑆, 𝑘𝑢 ∈ 𝑆. 𝑠𝑒𝑗𝑎 (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) 𝑒 (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) ∈ 𝑆. 
i) 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) + (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) = (𝑥1 + 𝑥2, , 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2) → 𝑎(𝑥1 + 𝑥2) + 𝑏(𝑦1 + 𝑦2) +
𝑐(𝑧1 + 𝑧2) = 0, efetuando os produtos temos: 
 𝑎𝑥1 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦1 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑧1 + 𝑐𝑧2 = 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑧2 = 0 + 0 = 0. Verdadeira. 
ii) 𝑘𝑢 = (𝑘𝑥1, 𝑘𝑦1, 𝑘𝑧1) = 𝑎𝑘𝑥1 + 𝑏𝑘𝑦1 + 𝑐𝑘𝑧1 = 𝑘(𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1 ) = 𝑘. 0 = 0. Verdadeira. 
 
 
3. Sejam 3RV  e },|)1,2,{( RyxyxS  , S é o conjunto de todos os vetores do 𝑅3, em que a segunda 
componente é um número par e a terceira é 1. Verifique se S é um subespaço de V. 
R. Não. 
Devemos provar que: 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑆, 𝑘𝑢 ∈ 𝑆. 𝑠𝑒𝑗𝑎 (𝑥1, 2𝑦1, 1) 𝑒 (𝑥2, 2𝑦2, 1) ∈ 𝑆. 
i) 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1, 2𝑦1, 1) + (𝑥2, 2𝑦2, 1) = (𝑥1 + 𝑥2 , 2(𝑦1 + 𝑦2), 2) ∉ 𝑆. 
 
4. Considere os vetores )2,3,1(1 v

 e )1,4,2(2 v

 no 3R : 
a) Escreva o vetor )7,18,4( v

 como combinação linear dos vetores 1v

 e 2v

. 
R. 
𝑣 = 𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 = 𝑎(1, −3, 2) + 𝑏(2,4, −1) = (−4, −18, 7) 
 {
𝑎 + 2𝑏 = −4
−3𝑎 + 4𝑏 = −18
2𝑎 − 𝑏 = 7
 
𝐿2 → 3𝐿1 + 𝐿2 𝑒 𝐿1 → −2𝐿1 + 𝐿3 
 
𝑎 + 2𝑏 = −4
10𝑏 = −30
−5𝑏 = 15
 
Resolvendo o sistema, a=2 e b = -3, 21 32 vvv

 . 
 
 
b) Mostre que o vetor )6,3,4( v

 não é combinação linear dos vetores 1v

 e 2v

. 
𝑣 = 𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 = 𝑎(1, −3, 2) + 𝑏(2,4, −1) = (4, 3, −6) 
 {
𝑎 + 2𝑏 = 4
−3𝑎 + 4𝑏 = 3
2𝑎 − 𝑏 = −6
 
𝐿2 → 3𝐿1 + 𝐿2 𝑒 𝐿1 → −2𝐿1 + 𝐿3 
 
𝑎 + 2𝑏 = 4
10𝑏 = 15
−5𝑏 = −14
 
Sistema impossível, logo não existe combinação linear entre os vetores. 
 
R. O sistema é incompatível, isto é, não tem solução, logo, conclui-se que o vetor v

 não pode ser escrito 
como combinação linear dos vetores 1v

 e 2v

. 
 
c) Determine o valor de k para que o vetor )7,,1(  ku

 seja combinação linear dos vetores 1v

 e 2v

. 
R. 213)7,13,1( vvv

 
𝑣 = 𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 = 𝑎(1, −3, 2) + 𝑏(2,4, −1) = (−1, 𝑘, −7) 
 {
𝑎 + 2𝑏 = −1
−3𝑎 + 4𝑏 = 𝑘
2𝑎 − 𝑏 = −7
 
𝐿2 → 3𝐿1 + 𝐿2 𝑒 𝐿1 → −2𝐿1 + 𝐿3 
 
𝑎 + 2𝑏 = −1
10𝑏 = 𝑘 − 3
−5𝑏 = −5
 
 
 𝑘 − 3 = 10, logo 𝑘 = 13. 
5. Verifique se os vetores )0,1(i

 e }1,0(j

 geram o espaço vetorial 2R . 
 
R. ),(),0()0,()1,0()0,1(),( yxyxyxjyixyx 

. Logo, 2],[ Rgeraji

. 
 
 
6. Verifique se os vetores )0,0,1(i

 e }0,1,0(j

 do espaço vetorial 3R geram o subespaço: 
},|)0,,{( 3 RyxRyxS  . 
 
 
 
R. Sim. 
𝑣 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 = 𝑎(1,0, 0) + 𝑏(0,1,0) = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
(𝑎, 𝑏, 0) = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
 𝑎 = 𝑥, 𝑏 = 𝑦 𝑒 𝑧 = 0. 
7. No espaço vetorial 3RV  , os vetores )3,1,2(1 v

, )2,0,1(2 v

 e )1,3,2(3 v

 formam um 
conjunto linearmente dependente. Justifique. 
R. Deve-se resolver o sistema linear: {
2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0
−𝑥 − 3𝑧 = 0
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
, como o mesmo tem solução trivial, 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 =
0, é 𝐿𝐼. 
 
8. No espaço vetorial 3RV  , o conjunto de vetores os vetores },,{ 321 eee

, tal que )0,0,1(1 e

 
)0,1,0(2 e

 e )1,0,0(3 e

 formam um conjunto linearmente independente. Justifique. 
R. Base canônica é LI. 
 
9. No espaço vetorial M(2,2), mostre que o conjunto 











 





 









13
43
,
03
32
,
13
21
A é LD. 
R. Vamos verificar a igualdade a 







13
21
+ b 




 
03
32
 + c 




 
13
43
= 





00
00
. 











0
0333
0432
032
ca
cba
cba
cba
 como o sistema é SPI, A é LD. 
 
R. Examine a equação 0332211

 vavava , cuja solução é 31 aa  e 32 2aa  . Como existem soluções 
0ia , o conjunto A é LD. 
 
10. Sejam V = R
2
, ).2,0()1,0( 21  eee

 Verifique se o conjunto },{ 21 ee

 é base de R
2
 . 
R. Não é base, porque são os vetores são LD, isto é, se (0, 0) = a(0, 1) + b(0, 2) , tem-se a = -2b e assim a 
e b não são necessariamente zero. 
11. Sejam V = R
3
, ).1,0,0()0,1,0(,)0,0,1( 321  eeee

 Verifique se o conjunto },,{ 321 eee

 é base de 
V. 
R. o conjunto },,{ 321 eee

 conhecido como base canônica ou ortonormal de R
3
 , pois 
I) 0321

 ecebea se, e somente se a = b = c = 0, isto é, são LI. 
II) E },,{ 321 eee

 gera R
3
. 
 
12. Seja 































10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
B . Mostre que B é base de M(2, 2). 
R. 
I) 





























00
00
10
00
01
00
00
10
00
01
dcba ou 











00
00
dc
ba
, donde vem: 
a=b=c=d=0. Portanto, B é LI. 
II) Por outro lado B gera M(2,2), pois qualquer )2,2(M
dc
ba






 e pode ser escrito assim: 






























10
00
01
00
00
10
00
01
dcba
dc
ba
 
Logo, B é base de M(2,2). 
 
13. No 2R , considere as bases: A = {(1,0), (0, 1)}; B = {(2, 0), (1, 3)}; C = {(1, -3), (2, 4)}. 
Dado o vetor )6,8(v

, determine as coordenadas de v

 para cada base. 
 
R. 
(8, 6) = 8(1, 0) + 6(0, 1) 
(8, 6) = 3(2, 0) + 2(1, 3) 
(8, 6) = 2(1, -3) + 3(2, 4) 
Com a notação acima, escreve-se: )6,8(Av

; )2,3(Bv

; )3,2(Cv

.