VGA_Lista_1

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A distância do ponto P(2, !1, 7) ao ponto Q(1, !3, 5) é
Encontre a equação da esfera com raio r e centro C(h, k, l).
SOLUÇÃO Por definição, a esfera é o conjunto de todos os pontos P(x, y, z) cuja distância ao
ponto C é r. (Veja a Figura 12.) Logo, P está sobre a esfera se e somente se "PC" # r. Ele-
vando ao quadrado ambos os lados, temos "PC"2 # r2 ou
(x ! h)2 $ (y ! k)2 $ (z ! l)2 # r2
O resultado do Exemplo 5 vale a pena ser lembrado:
Equação da Esfera A equação de uma esfera com centro C(h, k, l) e raio r é
(x ! h)2 $ (y ! k)2 $ (z ! l)2 # r2
Em particular, se o centro é a origem O, então a equação da esfera é
x2 $ y2 $ z2 # r2 
Mostre que x2 $ y2 $ z2 $ 4x ! 6y $ 2z $ 6 # 0 é a equação de uma esfera e
encontre seu centro e raio. 
SOLUÇÃO Podemos reescrever a equação dada na forma da equação de uma esfera se com-
pletarmos os quadrados:
(x2 $ 4x $ 4) $ (y2 ! 6y $ 9) $ (z2 $ 2z $ 1) # !6 $ 4 $ 9 $ 1 
(x $ 2)2 $ (y ! 3)2 $ (z $ 1)2 # 8 
Comparando essa equação com a forma padrão, vemos que esta é a equação de uma esfera
com centro (!2, 3, !1) e raio √
–
8 # 2√
–
2.
Que região de R3 é representada pelas seguintes inequações? 
1 % x2 $ y2 $ z2 % 4MMMM z % 0 
SOLUÇÃO As inequações
1 % x2 $ y2 $ z2 % 4
podem ser reescritas como
portanto, representam os pontos (x, y, z) cuja distância à origem é pelo menos 1 e, no máxi-
mo, 2. Mas nos foi dado também que z % 0, estando os pontos, portanto, abaixo do plano xy.
Assim, as inequações dadas representam a região que está entre as (ou nas) esferas 
x2 $ y2 $ z2 # 1 e x2 $ y2 $ z2 # 4 e sob (ou sobre) o plano xy. O esboço da região está apre-
sentado na Figura 13.
1 & sx 2 $ y 2 $ z 2 & 2
! s1 $ 4 $ 4 ! 3! PQ ! ! s"1 ! 2#2 $ "!3 $ 1#2 $ "5 ! 7#2
EXEMPLO 4
EXEMPLO 7
EXEMPLO 6
EXEMPLO 5
VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO 711
FIGURA 12
0 
z 
x 
y 
r 
P (x, y , z)
C (h, k, l )
FIGURA 13
0 
1 
2 
z 
y x 
1. Suponha que, a partir da origem, você tenha percorrido uma dis-
tância de 4 unidades ao longo do eixo x no sentido positivo e
então uma distância de 3 unidades para baixo. Quais as coorde-
nadas de sua posição atual?
2. Esboce os pontos (0, 5, 2), (4, 0, !1), (2, 4, 6) e (1, !1, 2) em
um único conjunto de eixos coordenados.
3. Qual dos pontos A (!4, 0, !1), B (3, 1, !5) e C(2, 4, 6) está mais
próximo do plano yz? Qual ponto pertence ao plano xz?
4. Quais são as projeções do ponto (2, 3, 5) nos planos xy, yz e xz?
Desenhe uma caixa retangular que tenha vértices opostos na ori-
gem e em (2, 3, 5) e suas faces paralelas aos planos coordena-
dos. Nomeie todos os vértices da caixa. Determine o
comprimento da diagonal dessa caixa.
12.1 Exercícios
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712 CÁLCULO
5. Descreva e esboce a superfície em R3 representada pela equa-
ção x $ y # 2.
6. (a) O que a equação x # 4 representa em R2? O que ela repre-
senta em R3? Ilustre com esboços.
(b) O que a equação y # 3 representa em R3? O que z # 5 re-
presenta? O que o par de equações y # 3 e z # 5 representa?
Em outras palavras, descreva o conjunto de pontos (x, y, z) tal
que y # 3 e z # 5. Faça um esboço ilustrativo.
7–8 Encontre os comprimentos dos lados do triângulo PQR. Ele é
um triângulo retângulo? É isósceles?
7. P(3, !2, !3),MMQ(7, 0, 1),MMR(1, 2, 1)
8. P(2, !1, 0),MMQ(4, 1, 1),MMR(4, !5, 4)
9. Determine se os pontos estão em uma mesma reta.
(a) A (2, 4, 2),MMB (3, 7, !2),MMC(1, 3, 3) 
(b) D(0, !5, 5),MME(1, !2, 4),MMF(3, 4, 2) 
10. Determine a distância entre (3, 7, !5) e cada um dos seguintes. 
(a) Plano xy (b) Plano yz
(c) Plano xz (d) Eixo x 
(e) Eixo y (f) Eixo z
11. Determine uma equação da esfera com centro em (1, !4, 3) e
raio 5. Qual é a intersecção dessa esfera com o plano xz?
12. Determine uma equação da esfera com centro em (2, !6, 4) e raio
5. Descreva sua intersecção com cada um dos planos coordenados. 
13. Encontre uma equação da esfera que passa pelo ponto (4, 3, !1)
e tem centro em (3, 8, 1).
14. Determine uma equação da esfera que passa pela origem e tem
centro em (1, 2, 3).
15–18 Mostre que a equação representa uma esfera e determine seu
centro e raio. 
15. x2 $ y2 $ z2 ! 2x ! 4y $ 8z #15
16. x2 $ y2 $ z2 $ 8x ! 6y $ 2z $ 17 # 0
17. 2x2 $ 2y2 $ 2z2 # 8x ! 24z $ 1
18. 3x2 $ 3y2 $ 3z2 # 10 $ 6y $ 12z
19. (a) Prove que o ponto médio do segmento de reta de P1(x1, y1, z1)
a P2(x2, y2, z2) é
(b) Determine os comprimentos das medianas do triângulo com
vértices A (1, 2, 3), B (!2, 0, 5) e C(4, 1, 5).
20. Encontre uma equação de uma esfera que tenha um diâmetro
com extremidades dadas por (2, 1, 4) e (4, 3, 10).
21. Encontre as equações das esferas com centro (2, !3, 6) que toquem
(a) o plano xy, (b) o plano yz e (c) o plano xz.
22. Determine uma equação da maior esfera com centro em (5, 4, 9)
contida no primeiro octante.
23–34 Descreva em palavras a região de R3 representada pela equa-
ção ou inequação. 
23. x # 5 24. y # !2 
25. y ' 8 26. x ( !3 
27. 0 % z % 6 28. z2 # 1
29. x2 $ y2 # 4, z # !1 30. y2 $ z2 # 16
31. x2 $ y2 $ z2 % 3 32. x # z
33. x2 $ z2 % 9 34. x2 $ y2 $ z2 ) 2z
35–38 Escreva inequações para descrever a região dada. 
35. A região entre o plano yz e o plano vertical x # 5.
36. O cilindro sólido que está sobre ou abaixo do plano z # 8 e sobre
ou acima do disco no plano xy com centro na origem e raio 2. 
37. A região constituída em todos os pontos entre (mas não sobre)
as esferas de raio r e R centradas na origem, onde r ' R.
38. O hemisfério superior sólido da esfera de raio 2 centrada na origem.
39. A figura mostra uma reta L1 no espaço e uma segunda reta L2,
que é a projeção de L1 no plano xy. (Isto é, os pontos de L2 estão
diretamente abaixo ou acima dos pontos de L1.)
(a) Determine as coordenadas do ponto P da reta L1.
(b) Localize no diagrama os pontos A , B e C, onde a reta L1 in-
tercepta os planos xy, o plano yz e o plano xz, respectivamente.
40. Considere os pontos P tais que a distância de P para A (!1, 5, 3)
seja o dobro da distância de P para B (6, 2, !2). Mostre que o con-
junto desses pontos é uma esfera e determine seu raio e centro.
41. Determine uma equação para o conjunto de pontos equidistan-
tes dos pontos A (!1, 5, 3) e B (6, 2, !2). Descreva o conjunto.
42. Determine o volume do sólido que está contido em ambas as es-
feras
x2 $ y2 $ z2 $ 4x ! 2y $ 4z $ 5 # 0 
e x2 $ y2 $ z2 # 4 
43. Encontre a distância entre as esferas x2 $ y2 $ z2 # 4 e 
x2 $ y2 $ z2 # 4x + 4y + 4z !11.
44. Descreva e esboce um sólido com as seguintes propriedades.
Quando iluminado por raios paralelos ao eixo z, a sua sombra é
um disco circular. Quando iluminado por raios paralelos ao eixo
y, sua sombra é um quadrado. Quando iluminado por raios pa-
ralelos ao eixo x, sua sombra é um triângulo isósceles.
$x1 $ x22 , y1 $ y22 , z1 $ z22 %
x
0
z
y
1
1 1
L¡
L™
P
Calculo12_01:calculo7 5/25/13 6:33 AM Page 712
olharemos para as forças.
Uma força é representada por um vetor porque tem módulo (medido em libras ou new-
tons), direção e sentido. Se várias forças estão agindo em um objeto, a força resultante
experimentada pelo objeto é o vetor soma dessas forças.
Uma carga de 100 kg de massa pende a partir de dois fios como é mostrado na
Figura 19. Encontre as tensões (forças) T1 e T2 em ambos os fios e suas magnitudes.
SOLUÇÃO Primeiro vamos exprimir T1 e T2 em função de suas componentes horizontal e
vertical. Da Figura 20 vemos que
T1 ! "#T1#cos 50º i $ #T1#sen 50º j
T2 ! #T2#cos 32º i $ #T2#sen 32º j.
A força de gravidade que age sobre a carga é F ! "100(9,8) j ! "980 j. A resultante 
T1 $ T2 contrabalança F de modo que 
T1 $ T2 ! "F ! 980j 
Logo,
( "#T1#cos 50º $ #T2#cos 32º) i $ ( #T1#sen 50º $ #T2#sen 32º)j ! 980j
Igualando as componentes, obtemos 
"#T1#cos 50º $ #T2#cos 32º ! 0
#T1#sen 50º $ #T2#sen 32º ! 980
Resolvendo a primeira destas equações para #T2# e substituindo na segunda, temos
#T1#sen 50º $ sen 32º ! 980
Ou seja, os módulos das tensões são
#T1# ! ! 839 N
e #T2#! ! 636 N
Substituindo esses valores em e , obtemos os vetores tensão
T1 ! "539 i $ 643 jMMMMT2 ! 539 i $ 337 j
EXEMPLO 7
65
5
6
#T1#cos 50º
%%
cos 32º
980
%%
sen 50º $ tg 32º cos 50º
#T1#cos 50º
%%
cos 32º
718 CÁLCULO
FIGURA 20
FIGURA 19
100
T¡
50° 32°
T™
50°
F
T¡
50° 32°
32°
T™
1. Quais das seguintes grandezas são vetoriais ou escalares? Ex-
plique.
(a) O custo de um bilhete de cinema
(b) A correnteza em um rio
(c) A trajetória inicial do voo entre Houston e Dallas
(d) A população mundial
2. Qual a relação existente entre o ponto (4, 7) e o vetor k4, 7l?
Faça um esboço ilustrativo.
3. Indique os vetores iguais no paralelogramo mostrado.
B
E
A
D C
12.2 Exercícios
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VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO 719
4. Escreva cada combinação de vetores como um único vetor.
(a) PQm $ QRm (b) RPm $ PSm
(c) QSm " PSm (d) RSm $ SPm $ PQm
5. Copie os vetores na figura e use-os para desenhar os seguintes
vetores.
(a) u $ v (b) u $ w 
(c) v $ w (d) u " v 
(e) v $ u $ w (d) u " w " v 
6. Copie os vetores na figura e use-os para desenhar os seguintes
vetores.
(a) a $ b (b) a " b 
(c) a (d) " 3b 
(e) a $ 2b (f) 2b " a 
7. Na figura, a ponta de c e a cauda de d são ambas o ponto médio
de QR. Expresse c e d em termos de a e b.
8. Se os vetores da figura satisfizerem #u# ! #v# ! 1 e u + v + w ! 0,
o que é #w#?
9–14 Determine o vetor a com representação dada pelo segmento 
de reta orientado AB
l
. Desenhe AB
l
e o equivalente com início na 
origem. 
9. A("1, 1),MMB(3, 2) 10. A("4, "1),MMB(1, 2)
11. A("1, 3),MMB(2, 2) 12. A(2, 1),MMB(0, 6) 
13. A(0, 3, 1),MMB(2, 3, "1) 14. A(4, 0, "2),MMB(4, 2, 1)
15–18 Determine a soma dos vetores dados e ilustre geometrica-
mente. 
15. k"1, 4l,MMk6, "2l 16. k3, "1l,MMk"1, 5l
17. k3, 0, 1l,MMk0, 8, 0l 18. k1, 3, "2l,MMk0, 0, 6l
19–22 Determine a $ b, 2a $ 3b, #a# e #a " b#.
19. a ! k5, "12l,MMb ! k"3, "6l
20. a ! 4i $ j,MMb ! i " 2j 
21. a ! i $ 2j " 3k,MMb ! "2i " j $ 5k
22. a ! 2i " 4j $ 4k,MMb ! 2j " k
23–25 Determine o vetor unitário com mesma direção e sentido que
o vetor dado. 
23. "3i $ 7j 24. k"4, 2, 4l
25. 8i " j $ 4k 
26. Ache um vetor que possui a mesma direção e o mesmo sentido
que k"2, 4, 2l mas tem comprimento 6. 
27–28 O que é o ângulo entre o vetor dado e o sentido positivo do
eixo x?
27. i $ j 28. 8i $ 6 j 
29. Se v está no primeiro quadrante e faz um ângulo de p/3 com o
eixo x positivo e #v# ! 4, encontre v em forma de componente.
30. Se uma criança puxa um trenó na neve com força de 50 N a um
ângulo de 38º com relação à horizontal, ache as componentes
horizontal e vertical da força.
31. Um quarterback lança uma bola de futebol com ângulo de ele-
vação 40º e velocidade de 60 pés/s. Encontre os componentes
horizontal e vertical do vetor velocidade.
32–33 Encontre o módulo da força resultante e o ângulo que ela faz
com o eixo x positivo.
32. 33.
34. O módulo de uma velocidade é chamado velocidade escalar.
Suponha que um vento esteja soprando na direção N45º W a
uma velocidade de 50 km/h. (Isso significa que a direção de onde
sopra o vento é de 45º oeste da direção norte.) Um piloto está pi-
lotando um avião na direção N60ºE em uma velocidade (velo-
cidade no ar parado) de 250 km/h. O verdadeiro curso, ou
caminho, do avião é o sentido da resultante dos vetores veloci-
dade do avião e do vento. A velocidade escalar em relação ao
solo do avião é o módulo da resultante. Determine o curso real
e a velocidade escalar em relação ao solo do avião.
35. Uma mulher caminha para oeste no convés de um navio, a 
5 km/h. O navio está se movendo para o norte a uma velocidade
s3
1
2
300 N
200 N
600
0
y
x
20 N
16 N
450
0
y
x300
u
v
w
b
a c
d
P
Q
R
b a
wvu
Q
R
S
P
Calculo12_02:calculo7 5/25/13 6:34 AM Page 719
720 CÁLCULO
de 35 km/h. Encontre a velocidade e direção da mulher em re-
lação à superfície da água.
36. Cordas de 3 m e 5 m de comprimento são atadas à decoração
natalina suspensa sobre uma praça. A decoração tem uma massa
de 5 kg. As cordas, atadas em diferentes alturas, fazem ângulos
de 52º e 40º com a horizontal. Determine a tensão em cada fio e
o módulo de cada tensão.
37. Um varal de roupas é estendido entre dois postes, 8 m distantes
um do outro. O fio do varal está bastante esticado, de forma a ser
considerado horizontal. Quando uma camisa molhada com
massa de 0,8 kg é pendurada no meio do varal, esse ponto cen-
tral é deslocado para baixo 8 cm. Determine a tensão em cada
metade do varal.
38. A tensão T em cada extremidade da corrente tem magnitude 25
N (veja a figura). Qual o peso da corrente?
39. Um barqueiro quer atravessar um canal que fica a 3 km de lar-
gura e quer atracar em um ponto 2 km rio acima do seu ponto de
partida. A corrente flui no canal a 3,5 km/h e a velocidade do
seu barco é 13 km/h.
(a) Em que direção ele deve dirigir?
(b) Quanto tempo a viagem vai demorar?
40. Três forças atuam sobre um objeto. Duas das forças estão a um
ângulo de 100º entre si e têm magnitudes de 25 N e 12 N. O ter-
ceiro é perpendicular ao plano das duas forças e tem magnitude
4 N. Calcule o valor da força que exatamente iria contrabalan-
çar essas três forças.
41. Encontre os vetores unitários que são paralelos à reta tangente à
parábola y ! x2 no ponto (2, 4).
42. (a) Encontre os vetores unitários que são paralelos à reta tan-
gente à curva y ! 2 sen x no ponto (p/6, 1).
(b) Encontre os vetores unitários que são perpendiculares à reta
tangente.
(c) Esboce a curva y ! 2 sen x e os vetores nas partes (a) e (b),
todos começando em (p/6, 1).
43. Se A, B e C são vértices de um triângulo, determine 
AB
l 
$ BC
l 
$ CA
l
.
44. Seja C o ponto no segmento de reta AB que está duas vezes mais
distante de B que de A. Se a ! OAm, b ! OBm e c ! OCm, mostre
que c ! a $ b.
45. (a) Desenhe os vetores a ! k3, 2l, b ! k2, "1l e c ! k7, 1l.
(b) Mostre, por um esboço, que existem escalares s e t tais que
c ! sa $ tb.
(c) Use o esboço para estimar os valores de s e t.
(d) Determine os valores exatos de s e t.
46. Suponha que a e b sejam vetores não nulos, que não sejam pa-
ralelos e c seja qualquer vetor no plano determinado por a e b.
Dê um argumento geométrico para mostrar que c pode ser es-
crito como c ! sa $ tb para escalares adequados s e t. Em se-
guida, dê um argumento usando componentes.
47. Se r ! kx, y, zl e r0 ! kx0, y0, z0l, descreva o conjunto de todos
os pontos (x, y, z) de tal forma que #r " r0# ! 1.
48. Se r ! kx, yl, r1 ! kx1, y1l e r2 ! kx2, y2l, descreva o conjunto de
todos os pontos (x, y) de tal forma que #r " r1# $ #r " r2# ! k,
onde k & #r1 " r2#. 
49. A Figura 16 fornece uma demonstração geométrica da Proprie-
dade 2 dos vetores. Use as componentes para dar uma demons-
tração algébrica desse fato no caso n ! 2.
50. Demonstre a Propriedade 5 de vetores algebricamente para o
caso de n ! 3. Em seguida, use semelhança de triângulos para
dar uma prova geométrica.
51. Utilize vetores para demonstrar que uma reta unindo os pontos
médios de dois lados de um triângulo é paralela ao terceiro lado
e tem metade de seu comprimento.
52. Suponha que os três planos coordenados sejam todos espelhados
e que um raio de luz dado pelo vetor a ! ka1, a2, a3l atinja pri-
meiro o plano xz, como mostrado na figura. Use o fato de os
ângulos de incidência e de reflexão serem iguais para mostrar
que a direção do raio refletido é dada por b ! ka1, "a2, a3l. De-
duza que, após ser refletido em todos os três espelhos perpendi-
culares, o raio resultante é paralelo ao raio inicial. (Cientistas
norte-americanos usaram esse princípio, juntamente com um
feixe de laser e um conjunto de espelhos em cantoneira na Lua,
para calcular de modo preciso a distância da Terra à Lua.x)
b
a
z
x
y
1
3
2
3
37° 37°
3 m 5 m
52°
40°
Calculo12_02:calculo7 5/25/13 6:34 AM Page 720
D
F
35°
35°
FIGURA 7
1. Quais das seguintes expressões têm significado? Quais não
fazem sentido? Explique.(a) (a ! b) ! c (b) (a ! b)c 
(c) "a"(b ! c) (d) a ! (b # c)
(e) a ! b # c (f) "a" ! (b # c)
2–10 Defina a ! b.
2. a $ k% 2, 3l,MMMb $ k0,7, 1,2l
3. a $ k% 2, l,MMMb $ k% 5, 12l
4. a $ k6, % 2, 3l,MMMb $ k2, 5, % 1l
5. a $ k4, 1, l,MMMb $ k6, % 3, % 8l
6. a $ ks, 2s, 3sl,MMMb $ kt, % t, 5tl
7. a $ i % 2j # 3k,MMMb $ 5i # 9k 
8. a $ 3i # 2j % k,MMMb $ 4i # 5k 
9. "a" $ 6,M"b" $ 5,Me o ângulo entre a e b é 2p /3.
10. "a" $ 3,M"b" $ √–6,Mo ângulo entre a e b é 45º.
11–12 Se u for um vetor unitário, defina u ! v e u ! w.
11. 12.
13. (a) Mostre que i ! j $ j ! k $ k ! i $ 0. 
(b) Mostre que i ! i $ j ! j $ k ! k $ 1. 
14. Um vendedor vende a hambúrgueres, b cachorros-quentes e c
refrigerantes em um determinado dia. Ele cobra $ 2 pelo ham-
búrguer, $ 1,50 pelo cachorro-quente e $ 1 pelo refrigerante. Se
A $ ka, b, cl e P $ k2, 1,5, 1l, qual o significado do produto es-
calar A ! P?
15–20 Determine o ângulo entre os vetores. (Encontre inicialmente uma
expressão exata e depois aproxime o valor até a precisão de um grau.)
15. a $ k4, 3l,MMMb $ k2, % 1l
16. a $ k% 2, 5l,MMMb $ k5, 12l
17. a $ k3, % 1, 5l,MMMb $ k% 2, 4, 3l
18. a $ k4, 0, 2l,MMMb $ k2, % 1, 0l
19. a $ 4i % 3j # k,MMMb $ 2i % k 
20. a $ i # 2j % 2k,MMMb $ 4i % 3k 
21–22 Determine, aproximando o valor até a precisão de um grau, os
três ângulos do triângulo cujos vértices são dados.
21. P(2, 0),MMQ(0, 3),MMR(3, 4) 
22. A(1, 0, % 1),MMB(3, % 2, 0),MMC(1, 3, 3) 
23–24 Determine se os vetores dados são ortogonais, paralelos ou
nenhum dos dois. 
23. (a) a $ k% 5, 3, 7l,MMMb $ k6, % 8, 2l
(b) a $ k4, 6l,MMMb $ k% 3, 2l
(c) a $ % i # 2j # 5k,MMMb $ 3i # 4j % k 
(d) a $ 2i # 6j % 4k,MMMb $ % 3i % 9j # 6k 
1
4
1
3
w
u v
w
u
v
12.3 Exercícios
1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO 725
Assim, o trabalho realizado por uma força constante F é o produto escalar F ! D, onde D é
o vetor deslocamento. 
Um carrinho é puxado uma distância de 100 m ao longo de um caminho hori-
zontal por uma força constante de 70 N. A alça do carrinho é mantida a um ângulo de 35º
acima da horizontal. Encontre o trabalho feito pela força.
SOLUÇÃO Se F e D são os vetores força e deslocamento, respectivamente, como mostrado
na Figura 7, então o trabalho realizado é 
W $ F ! D $ "F""D" cos 35º
$ (70)(100) cos 35º ! 5 734 N!m $ 5 734 J 
Uma força é dada pelo vetor F $ 3i # 4j # 5k move uma partícula do ponto 
P(2, 1, 0) para o ponto Q(4, 6, 2). Determine o trabalho realizado.
SOLUÇÃO O vetor deslocamento é D $ PQm $ k2, 5, 2l, portanto, utilizando a Equação 12,
o trabalho realizado é
W $ F ! D $ k3, 4, 5l ! k2, 5, 2l
$ 6 # 20 # 10 $ 36 
Se a unidade de comprimento é o metro e a força é medida em newtons, o trabalho realiza-
do é de 36 J.
EXEMPLO 7
EXEMPLO 8
Calculo12_03:calculo7 5/25/13 6:35 AM Page 725
24. (a) u $ k% 3, 9, 6l,MMMv $ k4, % 12, % 8l
(b) u $ i % j # 2k,MMMv $ 2i % j # k 
(c) u $ ka, b, cl,MMMv $ k% b, a, 0l
25. Use vetores para decidir se o triângulo com vértices P(1, % 3, % 2),
Q(2, 0, % 4) e R(6, % 2, % 5) é retângulo. 
26. Determine os valores de x tais que o ângulo entre os vetores 
k2, 1, % 1l e k1, x, 0l seja 45º.
27. Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais a i # j e
i # k.
28. Ache dois vetores unitários que façam um ângulo de 60º com 
v $ k3, 4l.
29–30 Encontre o ângulo agudo entre as retas.
29. 2x % y $ 3,M3x # y $ 7
30. x # 2y $ 7,M5x % y $ 2
31–32 Encontre os ângulos agudos entre as curvas nos seus pontos
de interseção. (O ângulo entre as duas curvas é o ângulo entre as
suas retas tangentes no ponto de intersecção.)
31. y $ x2,My $ x3
32. y $ sen x,My $ cos x,M0 & x & p /2
33–37 Determine os cossenos diretores e os ângulos diretores do
vetor. (Forneça o ângulo diretor com precisão de um grau.)
33. k2, 1, 2l 34. k6, 3, % 2l
35. i % 2j % 3k 36. i # j # k 
37. kc, c, cl, onde c ' 0 
38. Se um vetor tem ângulos diretores a$ p /4 e b$ p /3, determine
o terceiro ângulo diretor g.
39–44 Determine o vetor projeção e a projeção escalar de b sobre a.
39. a $ k% 5, 12l,MMMb $ k4, 6l
40. a $ k1, 4l,MMMb $ k2, 3l
41. a $ k3, 6, % 2l,MMMb $ k1, 2, 3l
42. a $ k% 2, 3, % 6l,MMMb $ k5, % 1, 4l
43. a $ 2i % j # 4k,MMMb $ j # k
44. a $ i # j # k,MMMb $ i % j # k 
45. Mostre que o vetor orta b $ b % proja b é ortogonal a a. (Este
vetor é chamado projeção ortogonal de b sobre a.)
46. Para os vetores do Exercício 40, determine orta b e ilustre esbo-
çando os vetores a, b, proja b e orta b.
47. Se a $ k3, 0, % 1l, determine um vetor b tal que compa b $ 2.
48. Suponha que a e b sejam vetores não nulos.
(a) Sob quais circunstâncias compa b $ compb a?
(b) Sob quais circunstâncias proja b $ projb a?
49. Encontre o trabalho feito por uma força F $ 8i % 6j # 9k que
move um objeto do ponto (0, 10, 8) para o ponto (6, 12, 20) ao
longo de uma reta. A distância é medida em metros e a força em
newtons.
50. Um caminhão-guincho puxa um carro quebrado por uma es-
trada. A corrente faz um ângulo de 30º com a estrada e a tensão
na corrente é 1.500 N. Quanto trabalho é feito pelo caminhão ao
puxar o carro por 1 km?
51. Uma mulher exerce uma força horizontal de 140 N em um en-
gradado quando ela o empurra para subir uma rampa de 4 m de
comprimento e com um ângulo de inclinação de 20º acima da
horizontal. Calcule o trabalho realizado sobre a caixa.
52. Encontre o trabalho feito por uma força de 100 N agindo na di-
reção N50º W ao mover um objeto 5 metros para oeste.
53. Use projeção escalar para mostrar que a distância de um ponto
P1(x1, y1) à reta ax # by # c $ 0 é 
Use essa fórmula para determinar a distância do ponto (% 2, 3)
à reta 3x % 4y # 5 $ 0.
54. Se r $ kx, y, zl, a $ ka1, a2, a3l e b $ kb1, b2, b3l, mostre que a
equação (r % a) ! (r % b) $ 0 representa uma esfera e determine
seu centro e raio. 
55. Calcule o ângulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas
arestas.
56. Calcule o ângulo entre a diagonal de um cubo e a diagonal de
uma de suas faces.
57. Uma molécula de metano, CH4, é estruturada com os quatro áto-
mos de hidrogênio nos vértices de um tetraedro regular e o car-
bono no centro. O ângulo de vínculo é o ângulo formado pela
ligação H–C–H; é o ângulo entre as retas que ligam o carbono a
dois átomos de hidrogênio. Mostre que esse ângulo de vínculo
é de aproximadamente 109,5º. Dica: Tome os vértices do te-
traedro nos pontos (1, 0, 0), (0, 1,0) , (0, 0,1) e (1, 1, 1), como
mostra a figura. Mostre então que o centro é ( , , ).
58. Se c $ "a"b # "b"a, onde a, b e c são vetores não nulos, mos-
tre que c é a bissetriz do ângulo entre a e b.
59. Demonstre as Propriedades 2, 4 e 5 do produto escalar (Teorema 2).
60. Suponha que todos os lados de um quadrilátero tenham o mesmo
comprimento e que os lados opostos sejam paralelos. Use veto-
res para demonstrar que as diagonais são perpendiculares.
" ax1 # by1 # c "
sa 2 # b 2
H
H
H
H
C
x
y
z
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
726 CÁLCULO
Calculo12_03:calculo7 5/25/13 6:35 AM Page 726
61. Utilize o Teorema 3 para demonstrar a Desigualdade de Cau-
chy-Schwarz:
"a ! b" & "a""b"
62. A Desigualdade Triangular para vetores é 
"a # b" & "a" # "b"
(a) Dê uma interpretação geométrica para a Desigualdade Trian-
gular.
(b) Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz do Exercício 61 para
provar a Desigualdade Triangular. [Dica: Use o fato de que 
"a # b"2 $ (a # b) ! (a # b) e use a Propriedade 3 do pro-
duto escalar.]
63. A Lei do Paralelogramo afirma que
"a # b"2 # "a % b"2 $ 2 "a"2 # 2"b"2
(a) Dê uma interpretação geométrica da Lei do Paralelogramo.
(b) Demonstre a Lei do Paralelogramo. (Veja a sugestão do
Exercício 62.)
64. Mostre que se u # v e u % v forem ortogonais, então os vetores
u e v devem ter o mesmo comprimento. 
Dados dois vetores diferentes de zero a $ ka1, a2, a3l e b $ kb1, b2, b3l, é muito útil encon-
trar um vetor não nulo c que é perpendicular a a e b, como veremos na seção seguinte e nos
capítulos 13 e 14. Se c $ kc1, c2, c3l for tal vetor, então a ! c $ 0 e b ! c $ 0, e assima1c1 # a2c2 # a3c3 $ 0
b1c1 # b2c2 # b3c3 $ 0
Para eliminarmos c3, multiplicamos por b3 e por a3 e subtraímos:
(a1b3 % a3b1)c1 # (a2b3 % a3b2)c2 $ 0
A Equação 3 tem a forma pc1 # qc2 $ 0, para a qual uma solução óbvia é c1 $ q e 
c2 $ % p. Então, uma solução de é
c1 $ a2b3 % a3b2MMMMc2 $ a3b1 % a1b3
Substituindo estes valores em e , obtemos então
c3 $ a1b2 % a2b1
Isso significa que um vetor perpendicular a ambos a e b é
kc1, c2, c3l $ ka2b3 % a3b2, a3b1 % a1b3, a1b2 % a2b1l
O vetor resultante é chamado produto vetorial de a e b e é denotado por a ( b.
Definição Se a $ ka1, a2, a3l e b $ kb1, b2, b3l, então o produto vetorial de a e b
é o vetor
a ( b $ ka2b3 % a3b2, a3b1 % a1b3, a1b2 % a2b1l
Observe que o produto vetorial a ( b e dois vetores a e b, ao contrário do produto esca-
lar, é um vetor, também chamado de produto cruzado. Observe que a ( b só é definido se
a e b são vetores tridimensionais.
A fim de tornarmos a Definição 4 mais fácil de lembrar, usamos a notação de determi-
nantes. Um determinante de ordem 2 é definido por 
Por exemplo, 
Um determinante de ordem 3 pode ser definido em termos dos determinantes de segunda
ordem como:
# 2% 6 14 # ! 2$4% % 1$% 6% ! 14
# ac bd # ! ad % bc
4
1 2
3
3
1 2
2
1
12.4 O Produto Vetorial
VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO 727
Hamilton
O produto vetorial foi inventado pelo matemáti-
co irlandês Sir William Rowan Hamilton (1805-
1865), que tinha criado um precursor de vetores,
chamado quatérnions. Aos 5 anos de idade,
Hamilton podia ler em latim, grego e hebraico.
Aos 8, acrescentou o francês e o italiano, e aos
10 podia ler em árabe e sânscrito. Na idade de
21 anos, quando ainda era aluno de graduação
no Trinity College, em Dublin, Hamilton foi
nomeado professor de Astronomia na Universi-
dade e Astrônomo Real da Irlanda!
Calculo12_03:calculo7 5/25/13 6:35 AM Page 727
VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO 733
1–7 Determine o produto vetorial a ! b e verifique que ele é orto-
gonal a a e b.
1. a " k6, 0, #2l,MMb " k0, 8, 0l
2. a " k1, 1, #1l,MMb " k2, 4, 6l
3. a " i $ 3j # 2k,MMb " #i $ 5k 
4. a " j $ 7k,MMb " 2i # j $ 4k 
5. a " i # j # k,MMb " i $ j $ k 
6. a " t i $ cos t j $ sen t k,MMb " i # sen t j $ cos t k
7. a " kt, 1, 1/tl, MMb " kt2, t2, 1l
8. Se a " i # 2k e b " j $ k, calcule a ! b. Esboce a, b e a ! b
como vetores com início na origem. 
9–12 Encontre o vetor, sem usar determinantes, mas usando pro-
priedades do produto vetorial. 
9. (i ! j) ! k 10. k ! (i # 2j)
11. (j # k) ! (k # i) 12. (i $ j) ! (i # j)
13. Diga se cada expressão a seguir tem sentido. Se não, explique
por quê. Se tiver, diga se é um vetor ou um escalar.
(a) a % (b ! c) (b) a ! (b % c)
(c) a ! (b ! c) (d) a % (b % c)
(e) (a % b) ! (c % d) (f) (a ! b) % (c ! d)
14–15 Calcule &u ! v& e determine se u ! v tem o sentido de entrar
ou sair da página. 
14. 15.
16. A figura mostra um vetor a no plano xy e um vetor b na direção
de k. Os seus comprimentos são &a& " 3 e &b& " 2.
(a) Encontre &a ! b&.
(a) Utilize a regra da mão direita para decidir se as componentes
de a ! b são positivas, negativas ou 0. 
17. Se a " k2, #1, 3l e b " k4, 2, 1l, encontre a ! b e b ! a.
18. Se a " k1, 0, 1l, b " k2, 1, #1l e c " k0, 1, 3l, mostre que 
a ! (b ! c) ! (a ! b) ! c.
19. Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais a k3, 2, 1l
e k#1, 1, 0l.
20. Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais a j # k
e i $ j.
21. Mostre que 0 ! a " 0 " a ! 0 para qualquer vetor a em V3.
22. Mostre que (a ! b) % b " 0 para todo vetor a e b em V3.
23. Demonstre a Propriedade 1 do Teorema 11.
24. Demonstre a Propriedade 2 do Teorema 11.
25. Demonstre a Propriedade 3 do Teorema 11.
26. Demonstre a Propriedade 4 do Teorema 11.
27. Encontre a área do paralelogramo com vértices A(#2,1), 
B(0, 4), C(4, 2) e D(2, #1).
28. Encontre a área do paralelogramo com vértices K(1, 2, 3), 
L(1, 3, 6), M(3, 8, 6) e N(3, 7, 3).
29–32 (a) Encontre um vetor não nulo ortogonal ao plano que passa
pelos pontos P, Q e R e (b) calcule a área do triângulo PQR.
29. P(1, 0, 1),MMQ(#2, 1, 3),MMR(4, 2, 5)
30. P(0, 0, #3),MMQ(4, 2, 0),MMR(3, 3, 1)
31. P(0, #2, 0),MMQ(4, 1, #2),MMR(5, 3, 1)
32. P(#1, 3, 1),MMQ(0, 5, 2),MMR(4, 3, #1) 
33–34 Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos veto-
res a, b e c.
33. a " k6, 3, #1l,MMb " k0, 1, 2l,MMc " k4, #2, 5l
34. a " i $ j # k,MMb " i # j $ k,MMc " #i $ j $ k 
35–36 Calcule o volume do paralelepípedo com lados adjacentes
PQ, PR e PS.
35. P(#2, 1, 0),MMQ(2, 3, 2),MMR(1, 4, #1),MMS(3, 6, 1) 
36. P(3, 0, 1),MMQ(#1, 2, 5),MMR(5, 1, #1),MMS(0, 4, 2) 
37. Utilize o produto misto para mostrar que os vetores 
u " i $ 5j # 2k, v " 3i # j e w " 5i $ 9 j # 4k são coplanares.
38. Use o produto misto para determinar se os pontos A(1, 3, 2), 
B(3, #1, 6), C(5, 2, 0) e D(3, 6, #4) pertencem ao mesmo plano.
39. O pedal de uma bicicleta é empurrado por um pé com força de
60 N, como mostrado. A haste do pedal tem 18 cm de compri-
mento. Determine o módulo do torque em relação a P.
40. Determine a intensidade do torque em relação a P se for apli-
cada uma força de 240 N, como mostrado. 
300
240 N
2 m
2 m
P
100
700
60 N
P
x
z
y
b
a
|v|=16
1200|u |=12
450
|u |=4
|v|=5
1
2
1
2
12.4 Exercícios
1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
Calculo12_04:calculo7 5/25/13 6:37 AM Page 733
734 CÁLCULO
41. Uma chave de boca com 30 cm de comprimento posicionada ao
longo do eixo y aperta um parafuso colocado na origem. Uma
força é aplicada no final do cabo da chave com direção dada por
k0, 3, #4l. Determine o módulo da força necessária para que o
torque resultante no parafuso seja de 100 N%m.
42. Seja v " 5j e seja u um vetor com comprimento 3 com início na
origem e que gira no plano xy. Determine o máximo e o mínimo
valor possível para u ! v. Qual a direção e o sentido de u ! v?
43. Se a % b " √–3 e a ! b " k1, 2, 2l, defina o ângulo entre a e b.
44. (a) Defina todos os vetores v tal que
k1, 2, 1l! v " k3, 1, #5l
(b) Explique por que não há nenhum vetor v tal que
k1, 2, 1l! v " k3, 1, 5l
45. (a) Seja P um ponto fora da reta L que passa através dos pontos
Q e R. Mostre que a distância d a partir do ponto P para a reta
L é
d "
onde a " QRm e b " QPm. 
(b) Use a fórmula da parte (a) para encontrar a distância o ponto
P(1, 1, 1) à reta que passa por Q (0, 6, 8) e R (#1, 4, 7).
46. (a) Seja P um ponto fora do plano que passa pelos pontos Q, R
e S. Mostre que a distância d de P para o plano é
d "
onde a " QRm, b " QSm e c " QPm. 
(b) Use a fórmula da parte (a) para encontrar a distância do
ponto P(2, 1, 4) em relação ao plano que passa pelos pontos
Q(1, 0, 0), R(0, 2, 0) e S(0, 0, 3).
47. Mostre que &a ! b&2 " &a&2 &b&2 # (a % b)2.
48. Se a $ b $ c " 0, mostre que
a ! b " b ! c " c ! a
49. Demonstre que (a # b) ! (a $ b) = 2(a ! b).
50. Demonstre a Propriedade 6 do Teorema 11, isto é,
a ! (b ! c) " (a % c)b # (a % b)c 
51. Utilize o Exercício 50 para demonstrar que
a ! (b ! c) $ b ! (c ! a) $ c ! (a ! b) " 0 
52. Demonstre que 
(a ! b) % (c ! d) " !a % cMb % c !a % dMb % d
53. Suponha que a ! 0.
(a) Se a % b " a % c, é verdade que b " c?
(b) Se a ! b " a ! c, é verdade que b " c?
(c) Se a % b " a % c e a ! b " a ! c, é verdade que b " c?
54. Se v1, v2 e v3 são vetores não coplanares, defina
k1 "
MMM
k2 "
k3 "
(Esses vetores aparecem no estudo de cristalografia. Vetores da
forma n 1v1 $ n 2v2 $ n 3v3, em que cada n i é um número inteiro, for-
mam um reticulado para um cristal. Vetores escritos de forma seme-
lhante, em termos de k1, k2 e k3 formam o reticulado recíproco).
(a) Mostre que ki é perpendicular a vj se i ! j.
(b) Mostre que ki % vi " 1 para i " 1, 2, 3.
(c) Mostre que k1 % (k2 ! k3) " .
&a ! b&'''
&a&
1
''''v1 % (v2 ! v3)
v1 ! v2
''''v1 % (v2 ! v3)
v3 ! v1
''''v1 % (v2 ! v3)
v2 ! v3
''''v1 % (v2 ! v3)
&a % (b ! c)&''''
&a ! b&
PROJETO DE DESCOBERTA A GEOMETRIA DE UM TETRAEDRO
Um tetraedro é um sólido com quatro vértices, P, Q, R e S, e quatro faces triangula-
res, como mostradona figura. 
1. Sejam v1, v2, v3 e v4 vetores de comprimentos iguais à área das faces opostas
aos vértices P, Q, R e S, respectivamente, e direções perpendiculares às res-
pectivas faces e apontando para fora do tetraedro. Mostre que
v1 $ v2 $ v3 $ v4 " 0
2. O volume V de um tetraedro é um terço da distância de um vértice à face oposta
vezes a área dessa face.
(a) Determine uma fórmula para o volume do tetraedro em termos das coorde-
nadas de seus vértices P, Q, R e S.
(b) Encontre o volume do tetraedro cujos vértices são P(1, 1, 1), Q(1, 2, 3), 
R(1, 1, 2) e S(3, #1, 2).
3. Suponhamos que o tetraedro na figura tenha um vértice trirretangular S. (Isto
significa que os três ângulos de Ssão todos ângulos retos.) Sejam A, B e C as
áreas das três faces que encontram o vértice S, e seja D a área da face oposta
PQR. Utilizando o resultado do Problema 1, mostre que
D2 " A2 $ B2 $ C 2
(Essa é uma versão tridimensional do Teorema de Pitágoras.)
P
RQ
S
Calculo12_04:calculo7 5/25/13 6:37 AM Page 734
13(x ! 0) ! 6(y ! 3) ! 5(z " 3) # 0MMouMM13x ! 6y ! 5z " 3 # 0 
Tomando agora t # 0 na equação de L1, obtemos o ponto (1, !2, 4) em P1. Assim, a distân-
cia entre L1 e L2 é a mesma que a distância a partir de (1, !2, 4) até 13x ! 6y ! 5z "3 # 0.
Pela Fórmula 9, esta distância é
D ! ! 13"1# ! 6"!2# ! 5"4# " 3 !s13 2 " "!6#2 " "!5#2 !
8
s230 $ 0,53
VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO 741
12.5 Exercícios
1. Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações.
(a) Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas.
(b) Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas.
(c) Dois planos paralelos a um terceiro são paralelos.
(d) Dois planos perpendiculares a um terceiro são paralelos.
(e) Duas retas paralelas a um plano são paralelas.
(f) Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas.
(g) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos.
(h) Dois planos perpendiculares a uma reta são paralelos.
(i) Dois planos ou se interceptam ou são paralelos.
(j) Duas retas ou se interceptam ou são paralelas.
(k) Um plano e uma reta ou se interceptam ou são paralelos.
2–5 Determine uma equação vetorial e equações paramétricas para
a reta. 
2. A reta que passa pelo ponto (6, !5, 2) e é paralela ao vetor 
k1, 3, ! l
3. A reta que passa pelo ponto (2, 2,4, 3,5) e é paralela ao vetor 
3i " 2j ! k
4. A reta que passa pelo ponto (0, 14, !10) e é paralela à reta 
x # !1 " 2t, y # 6 ! 3t, z # 3 " 9t
5. A reta que passa pelo ponto (1, 0, 6) e é perpendicular ao plano
x " 3y " z # 5 
6–12 Determine as equações paramétricas e as equações simétricas
para a reta.
6. A reta que passa pela origem e pelo ponto (1, 2, 3)
7. A reta que passa pelos pontos (0, , 1) e (2, 1, !3)
8. A reta que passa pelos pontos (1,0, 2,4, 4,6) e (2,6, 1,2, 0,3)
9. A reta que passa pelos pontos (! 8, 1, 4) e (3, !2, 4)
10. A reta que passa por (2, 1, 0) e é perpendicular tanto a i " j
quanto j " k
11. A reta que passa por (1, !1, 1) e é paralela à reta 
x " 2 # y # z ! 3
12. A reta de intersecção dos planos x " 2y " 3z # 1 e x ! y " z # 1
13. A reta que passa por (!4, !6, 1) e (!2, 0 !3) é paralela à reta
que passa pelos pontos (10, 18, 4) e (5, 3, 14)?
14. A reta que passa por (!2, 4, 0) e (1, 1, 1) é perpendicular à reta
que passa pelos pontos (2, 3, 4) e (3, !1, !8)?
15. (a) Encontre equações simétricas para a reta que passa pelo
ponto (1, !5, 6) e é paralela ao vetor k!1, 2, !3l.
(b) Determine os pontos nos quais a reta da parte (a) intercepta
os planos coordenados.
16. (a) Encontre as equações paramétricas da reta que passa por 
(2, 4, 6) e é perpendicular ao plano x ! y " 3z # 7.
(b) Em que pontos essa reta intercepta os planos coordenados?
17. Ache a equação vetorial para o segmento de reta de (2, !1, 4) a
(4, 6, 1).
18. Encontre as equações paramétricas para o segmento de reta de
(10, 3, 1) a (5, 6, !3).
19–22 Determine se as retas L1 e L2 são paralelas, reversas ou con-
correntes. Se forem concorrentes, determine seu ponto de intersec-
ção.
19. L1: x # 3 " 2t,My # 4 ! t,Mz # 1 " 3t 
L2: x # 1 " 4s,My # 3 ! 2s,Mz # 4 " 5s 
20. L1: x # 5 ! 12t,My # 3 " 9s,Mz # 1 ! 3t 
L2: x # 3 " 8s,My # ! 6s,Mz # 7 " 2s 
21. : 
: 
22. : 
: 
23–40 Determine a equação do plano.
23. O plano que passa pelo ponto (6, 3, 2) e é perpendicular ao vetor 
k!2, 1, 5l
24. Plano que passa pelo ponto (4, 0, !3) e cujo vetor normal é 
j " 2k
x ! 2
2
!
y ! 3
!2
!
z
7
L2
x
1
!
y ! 1
!1
!
z ! 2
3
L1
x ! 3
1
!
y " 4
3
!
z ! 2
!7
L2
x ! 2
1
!
y ! 3
!2
!
z ! 1
!3
L1
1
2
1
2
2
3
1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
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742 CÁLCULO
25. O plano que passa pelo ponto (!1, , 3) e cujo vetor normal é 
i " 4j " k
26. O plano que passa pelo ponto (2, 0, 1) e é perpendicular a reta 
x # 3t, y # 2 ! t, z # 3 " 4t
27. O plano que passa pelo ponto (1, !1, !1) e é paralelo ao plano
5x ! y ! z = 6
28. O plano que passa pelo ponto (2, 4, 6) e é paralelo ao plano 
z = x " y
29. O plano que passa pelos pontos (1, , ) e é paralelo ao plano 
x " y " z # 0
30. O plano que contém a reta x # 1 " t, y # 2 ! t, z # 4 ! 3t e é
paralelo ao plano 5x " 2y " z # 1
31. O plano que passa pelos pontos (0, 1, 1), (1, 0, 1), e (1, 1, 0)
32. O plano que passa pela origem e pelos pontos (2, !4, 6) e (5, 1, 3)
33. O plano que passa pelos pontos (3, !1, 2) , (8, 2, 4), e (!1, !2,
!3)
34. O plano que passa pelo ponto (1, 2, 3) e contém a reta x # 3t, 
y # 1 " t, z # 2 ! t
35. O plano que passa pelo ponto (6, 0, !2) e contém a reta 
x # 4 ! 2t, y # 3 " 5t, z # 7 " 4t
36. O plano que passa pelo ponto (1, !1, 1) e contém a reta com
equações simétricas x # 2y # 3z
37. O plano que passa pelo ponto (!1, 2, 1) e contém a reta de in-
terseção dos planos x " y ! z # 2 e 2x ! y " 3z # 1
38. O plano que passa pelos pontos (0, !2, 5) e (!1, 3, 1) e é per-
pendicular ao plano 2z # 5x " 4y
39. O plano que passa pelo ponto (1, 5, 1) e é perpendicular aos pla-
nos 2x " y ! 2z # 2 e x " 3z # 4
40. O plano que passa pela reta de intersecção dos planos x ! z # 1
e y " 2z # 3 e é perpendicular ao plano x " y ! 2z #1
41-44 Use as intersecções com os eixos coordenados como uma
ajuda para esboçar o plano. 
41. 2x " 5y " z # 10 42. 3x " y " 2z # 6
43. 6x ! 3y " 4z # 6 44. 6x " 5y ! 3z # 15
45-47 Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. 
45. x # 3 ! t,My # 2 " t,Mz # 5t;Mx ! y " 2z # 9
46. x # 1 " 2t,My # 4t,Mz # 2 ! 3t;Mx " 2y ! z " 1 # 0
47. x # y ! 1 # 2z;M4x ! y " 3z # 8 
48. Em que ponto a reta que passa por (1, 0, 1) e (4, !2, 2) inter-
cepta o plano x " y " z # 6?
49. Determine as coordenadas do vetor diretor da reta intersecção
dos planos x " y " z # 1 e x " z # 0.
50. Determine o cosseno do ângulo entre os planos x " y " z # 0
e x " 2y " 3z # 1.
51-56 Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou
nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo
entre eles.
51. x " 4y ! 3z # 1,MM!3x " 6y " 7z # 0 
52. 2z # 4y ! x,MM3x ! 12y " 6z # 1 
53. x " y " z # 1,MMx ! y " z # 1 
54. 2x ! 3y " 4z # 5,MMx " 6y " 4z # 3 
55. x # 4y ! 2z,MM8y # 1 " 2x " 4z
56. x " 2y " 2z # 1,MM2x ! y " 2z # 1 
57-58 (a) Determine as equações simétricas da reta intersecção dos
planos e (b) determine o ângulo entre os planos. 
57. x " y " z # 1,MMx " 2y " 2z # 1 
58. 3x ! 2y " z #1,MM2x " y ! 3z # 3 
59-60 Encontre equações simétricas para a reta de intersecção dos
planos.
59. 5x ! 2y ! 2z # 1,MM4x " y " z # 6 
60. z # 2x ! y ! 5,MMz # 4x " 3y ! 5 
61. Determine uma equação do plano constituído de todos os pon-
tos que são equidistantes dos pontos (1, 0, !2) e (3, 4, 0).
62. Determine uma equação do plano constituído de todos os pon-
tos que são equidistantes dos pontos (2, 5, 5) e (!6, 3, 1).
63. Determine a equação do plano que x intercepta o eixo x em a, o
eixo y em b e o eixo z em c.
64. (a) Determine o ponto dado pela intersecção das retas: 
r # k1, 1, 0l" t k1, !1, 2l
r # k2, 0, 2l" sk!1, 1, 0l
(b) Determine a equação do plano quecontém essas retas.
65. Encontre as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto
(0, 1, 2), é paralela ao plano x " y " z # 2 e é perpendicular à
reta x # 1 " t, y # 1 ! t, z # 2t.
66. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo
ponto (0, 1, 2), é perpendicular à reta x # 1 " t, y # 1 ! t, 
z # 2t e intercepta essa reta. 
67. Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois
coincidentes?
P1: 3x " 6y ! 3z # 6 P2: 4x ! 12y " 8z # 5
P3: 9y # 1 " 3x " 6z P4: z # x " 2y ! 2
68. Quais das quatro retas seguintes são paralelas? Existem duas
coincidentes?
L1: x # 1 " 6t,MMy # 1 ! 3t,MMz # 12t " 5
L2: x # 1 " 2t,MMy # t,MMz # 1 " 4t
L3: 2x ! 2 # 4 ! 4y # z " 1
L4: r # k3, 1, 5l" tk4, 2, 8l
69-70 Utilize a fórmula que aparece no Exercício 45 da Seção 12.4
para determinar a distância do ponto à reta dada. 
1
2
1
3
1
2
Calculo12_05:calculo7 5/25/13 6:53 AM Page 742
VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO 743
69. (4, 1, !2);MMx # 1 " t,My # 3 ! 2t,Mz # 4 ! 3t 
70. (0, 1, 3);MMx # 2t,My # 6 ! 2t,Mz # 3 " t 
71-72 Determine a distância do ponto ao plano dado. 
71. (1, !2, 4),MM3x " 2y " 6z # 5 
72. (!6, 3, 5),MMx ! 2y ! 4z # 8 
73-74 Determine a distância entre os planos paralelos dados. 
73. 2x ! 3y " z # 4,MM4x ! 6y " 2z # 3 
74. 6z # 4y ! 2x,MM9z # 1 ! 3x " 6y
75. Mostre que a distância entre os planos paralelos 
ax " by " cz " d1 # 0 e ax " by " cz " d2 # 0 é 
76. Determine as equações dos planos que são paralelos ao plano 
x " 2y ! 2z #1 e que distam duas unidades dele. 
77. Mostre que as retas com equações simétricas x # y # z e 
x " 1 # y/2 # z/3 são reversas e determine a distância entre elas.
78. Encontre a distância entre as retas de inclinação com equações
paramétricas x # 1 " t, y # 1 " 6t, z # 2t e x # 1 " 2s, 
y # 5 " 15s, z # !2 " 6s.
79. Seja L1 a reta que passa pela origem e pelo ponto (2, 0, !1). Seja
L2 a reta que passa pela origem e pelo ponto (1, !1, 1) e 
(4, 1, 3). Encontre a distância entre L1 e L2.
80. Seja L1 a reta que passa pela origem e pelo ponto (1, 2, 6) e 
(2, 4, 8). Seja L2 a reta de interseção dos planos p1 e p2, onde
p1 é o plano x – y " 2z " 1 # 0 e p2 é o plano que passa pelos
pontos (3, 2, !1), (0, 0, 1) e (1, 2, 1). Encontre a distância entre
L1 e L2.
81. Se a, b e c não são todos nulos, mostre que a equação 
ax " by " cz " d # 0 representa um plano e ka, b, cl é o vetor
normal ao plano. 
Dica: Suponha a " 0 e reescreva a equação na forma
82. Dê a interpretação geométrica de cada família de planos.
(a) x " y " z # c (b) x " y " cz # 1 
(c) y cos u " z sen u # 1 
a%x " da&" b"y ! 0# " c"z ! 0# ! 0
D ! ! d1 ! d2 !sa 2 " b 2 " c 2
PROJETO DE LABORATÓRIO COLOCANDO O 3D EM PERSPECTIVA
Programadores de computação gráfica enfrentam o mesmo desafio que os grandes
pintores do passado: como representar uma cena tridimensional como uma imagem
plana em um plano bidimensional (a tela ou um monitor). Para criar a ilusão de pers-
pectiva, na qual os objetos próximos parecem maiores que aqueles mais distantes, os
objetos tridimensionais na memória do computador são projetados em uma tela retan-
gular a partir do ponto de visão onde o olho ou a câmera estão localizados. O volume
de visão – a porção do espaço que estará visível – é a região contida nos quatro pla-
nos que passam pelo ponto de visão e por uma aresta da tela retangular. Se os obje-
tos na cena se estendem além dos quatro planos, eles são truncados antes que os dados
sejam enviados para a tela. Esses planos são, portanto, chamados plano cortantes.
1. Suponha que a tela seja representada por um retângulo no plano yz com vértices 
(0, $400, 0) e (0, $400, 600), e a câmera esteja localizada em (1 000, 0, 0). Uma
reta L na cena passa pelos pontos (230, !285, 102) e (860, 105, 264). Em quais
pontos L será contada pelos planos cortantes? 
2. Se o segmento de reta cortado for projetado na tela, identifique o segmento de
reta resultante.
3. Use equações paramétricas para traçar as arestas da tela, o segmento de reta cortado
e sua projeção na tela. A seguir, adicione retas que conectem o ponto de visão a
cada extremidade dos segmentos cortados para verificar que a projeção está correta.
4. Um retângulo com vértices (621, !147, 206), (563, 31, 242), (657, !111, 86) e
(599, 67, 122) é adicionado à cena. A reta L intercepta esse retângulo. Para fazer
o retângulo parecer opaco, um programador pode usar retas escondidas, as quais
removem partes do objeto que estão atrás de outros objetos. Identifique a parte de
L que deve ser removida.
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13(x ! 0) ! 6(y ! 3) ! 5(z " 3) # 0MMouMM13x ! 6y ! 5z " 3 # 0 
Tomando agora t # 0 na equação de L1, obtemos o ponto (1, !2, 4) em P1. Assim, a distân-
cia entre L1 e L2 é a mesma que a distância a partir de (1, !2, 4) até 13x ! 6y ! 5z "3 # 0.
Pela Fórmula 9, esta distância é
D ! ! 13"1# ! 6"!2# ! 5"4# " 3 !s13 2 " "!6#2 " "!5#2 !
8
s230 $ 0,53
VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO 741
12.5 Exercícios
1. Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações.
(a) Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas.
(b) Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas.
(c) Dois planos paralelos a um terceiro são paralelos.
(d) Dois planos perpendiculares a um terceiro são paralelos.
(e) Duas retas paralelas a um plano são paralelas.
(f) Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas.
(g) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos.
(h) Dois planos perpendiculares a uma reta são paralelos.
(i) Dois planos ou se interceptam ou são paralelos.
(j) Duas retas ou se interceptam ou são paralelas.
(k) Um plano e uma reta ou se interceptam ou são paralelos.
2–5 Determine uma equação vetorial e equações paramétricas para
a reta. 
2. A reta que passa pelo ponto (6, !5, 2) e é paralela ao vetor 
k1, 3, ! l
3. A reta que passa pelo ponto (2, 2,4, 3,5) e é paralela ao vetor 
3i " 2j ! k
4. A reta que passa pelo ponto (0, 14, !10) e é paralela à reta 
x # !1 " 2t, y # 6 ! 3t, z # 3 " 9t
5. A reta que passa pelo ponto (1, 0, 6) e é perpendicular ao plano
x " 3y " z # 5 
6–12 Determine as equações paramétricas e as equações simétricas
para a reta.
6. A reta que passa pela origem e pelo ponto (1, 2, 3)
7. A reta que passa pelos pontos (0, , 1) e (2, 1, !3)
8. A reta que passa pelos pontos (1,0, 2,4, 4,6) e (2,6, 1,2, 0,3)
9. A reta que passa pelos pontos (! 8, 1, 4) e (3, !2, 4)
10. A reta que passa por (2, 1, 0) e é perpendicular tanto a i " j
quanto j " k
11. A reta que passa por (1, !1, 1) e é paralela à reta 
x " 2 # y # z ! 3
12. A reta de intersecção dos planos x " 2y " 3z # 1 e x ! y " z # 1
13. A reta que passa por (!4, !6, 1) e (!2, 0 !3) é paralela à reta
que passa pelos pontos (10, 18, 4) e (5, 3, 14)?
14. A reta que passa por (!2, 4, 0) e (1, 1, 1) é perpendicular à reta
que passa pelos pontos (2, 3, 4) e (3, !1, !8)?
15. (a) Encontre equações simétricas para a reta que passa pelo
ponto (1, !5, 6) e é paralela ao vetor k!1, 2, !3l.
(b) Determine os pontos nos quais a reta da parte (a) intercepta
os planos coordenados.
16. (a) Encontre as equações paramétricas da reta que passa por 
(2, 4, 6) e é perpendicular ao plano x ! y " 3z # 7.
(b) Em que pontos essa reta intercepta os planos coordenados?
17. Ache a equação vetorial para o segmento de reta de (2, !1, 4) a
(4, 6, 1).
18. Encontre as equações paramétricas para o segmento de reta de
(10, 3, 1) a (5, 6, !3).
19–22 Determine se as retas L1 e L2 são paralelas, reversas ou con-
correntes. Se forem concorrentes, determine seu ponto de intersec-
ção.
19. L1: x # 3 " 2t,My # 4 ! t,Mz # 1 " 3t 
L2: x # 1 " 4s,My # 3 ! 2s,Mz # 4 " 5s 
20. L1: x # 5 ! 12t,My # 3 " 9s,Mz # 1 ! 3t 
L2: x # 3 " 8s,My # ! 6s,Mz # 7 " 2s 
21. : 
: 
22. : 
: 
23–40 Determine a equação do plano.
23. O plano que passa pelo ponto (6, 3, 2) e é perpendicular ao vetor 
k!2, 1, 5l
24. Plano que passa pelo ponto (4, 0, !3) e cujo vetor normal é 
j " 2k
x ! 2
2
!
y ! 3
!2
!
z
7
L2
x
1
!
y ! 1
!1
!
z ! 2
3
L1
x ! 3
1
!
y" 4
3
!
z ! 2
!7
L2
x ! 2
1
!
y ! 3
!2
!
z ! 1
!3
L1
1
2
1
2
2
3
1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
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742 CÁLCULO
25. O plano que passa pelo ponto (!1, , 3) e cujo vetor normal é 
i " 4j " k
26. O plano que passa pelo ponto (2, 0, 1) e é perpendicular a reta 
x # 3t, y # 2 ! t, z # 3 " 4t
27. O plano que passa pelo ponto (1, !1, !1) e é paralelo ao plano
5x ! y ! z = 6
28. O plano que passa pelo ponto (2, 4, 6) e é paralelo ao plano 
z = x " y
29. O plano que passa pelos pontos (1, , ) e é paralelo ao plano 
x " y " z # 0
30. O plano que contém a reta x # 1 " t, y # 2 ! t, z # 4 ! 3t e é
paralelo ao plano 5x " 2y " z # 1
31. O plano que passa pelos pontos (0, 1, 1), (1, 0, 1), e (1, 1, 0)
32. O plano que passa pela origem e pelos pontos (2, !4, 6) e (5, 1, 3)
33. O plano que passa pelos pontos (3, !1, 2) , (8, 2, 4), e (!1, !2,
!3)
34. O plano que passa pelo ponto (1, 2, 3) e contém a reta x # 3t, 
y # 1 " t, z # 2 ! t
35. O plano que passa pelo ponto (6, 0, !2) e contém a reta 
x # 4 ! 2t, y # 3 " 5t, z # 7 " 4t
36. O plano que passa pelo ponto (1, !1, 1) e contém a reta com
equações simétricas x # 2y # 3z
37. O plano que passa pelo ponto (!1, 2, 1) e contém a reta de in-
terseção dos planos x " y ! z # 2 e 2x ! y " 3z # 1
38. O plano que passa pelos pontos (0, !2, 5) e (!1, 3, 1) e é per-
pendicular ao plano 2z # 5x " 4y
39. O plano que passa pelo ponto (1, 5, 1) e é perpendicular aos pla-
nos 2x " y ! 2z # 2 e x " 3z # 4
40. O plano que passa pela reta de intersecção dos planos x ! z # 1
e y " 2z # 3 e é perpendicular ao plano x " y ! 2z #1
41-44 Use as intersecções com os eixos coordenados como uma
ajuda para esboçar o plano. 
41. 2x " 5y " z # 10 42. 3x " y " 2z # 6
43. 6x ! 3y " 4z # 6 44. 6x " 5y ! 3z # 15
45-47 Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. 
45. x # 3 ! t,My # 2 " t,Mz # 5t;Mx ! y " 2z # 9
46. x # 1 " 2t,My # 4t,Mz # 2 ! 3t;Mx " 2y ! z " 1 # 0
47. x # y ! 1 # 2z;M4x ! y " 3z # 8 
48. Em que ponto a reta que passa por (1, 0, 1) e (4, !2, 2) inter-
cepta o plano x " y " z # 6?
49. Determine as coordenadas do vetor diretor da reta intersecção
dos planos x " y " z # 1 e x " z # 0.
50. Determine o cosseno do ângulo entre os planos x " y " z # 0
e x " 2y " 3z # 1.
51-56 Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou
nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo
entre eles.
51. x " 4y ! 3z # 1,MM!3x " 6y " 7z # 0 
52. 2z # 4y ! x,MM3x ! 12y " 6z # 1 
53. x " y " z # 1,MMx ! y " z # 1 
54. 2x ! 3y " 4z # 5,MMx " 6y " 4z # 3 
55. x # 4y ! 2z,MM8y # 1 " 2x " 4z
56. x " 2y " 2z # 1,MM2x ! y " 2z # 1 
57-58 (a) Determine as equações simétricas da reta intersecção dos
planos e (b) determine o ângulo entre os planos. 
57. x " y " z # 1,MMx " 2y " 2z # 1 
58. 3x ! 2y " z #1,MM2x " y ! 3z # 3 
59-60 Encontre equações simétricas para a reta de intersecção dos
planos.
59. 5x ! 2y ! 2z # 1,MM4x " y " z # 6 
60. z # 2x ! y ! 5,MMz # 4x " 3y ! 5 
61. Determine uma equação do plano constituído de todos os pon-
tos que são equidistantes dos pontos (1, 0, !2) e (3, 4, 0).
62. Determine uma equação do plano constituído de todos os pon-
tos que são equidistantes dos pontos (2, 5, 5) e (!6, 3, 1).
63. Determine a equação do plano que x intercepta o eixo x em a, o
eixo y em b e o eixo z em c.
64. (a) Determine o ponto dado pela intersecção das retas: 
r # k1, 1, 0l" t k1, !1, 2l
r # k2, 0, 2l" sk!1, 1, 0l
(b) Determine a equação do plano que contém essas retas.
65. Encontre as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto
(0, 1, 2), é paralela ao plano x " y " z # 2 e é perpendicular à
reta x # 1 " t, y # 1 ! t, z # 2t.
66. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo
ponto (0, 1, 2), é perpendicular à reta x # 1 " t, y # 1 ! t, 
z # 2t e intercepta essa reta. 
67. Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois
coincidentes?
P1: 3x " 6y ! 3z # 6 P2: 4x ! 12y " 8z # 5
P3: 9y # 1 " 3x " 6z P4: z # x " 2y ! 2
68. Quais das quatro retas seguintes são paralelas? Existem duas
coincidentes?
L1: x # 1 " 6t,MMy # 1 ! 3t,MMz # 12t " 5
L2: x # 1 " 2t,MMy # t,MMz # 1 " 4t
L3: 2x ! 2 # 4 ! 4y # z " 1
L4: r # k3, 1, 5l" tk4, 2, 8l
69-70 Utilize a fórmula que aparece no Exercício 45 da Seção 12.4
para determinar a distância do ponto à reta dada. 
1
2
1
3
1
2
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VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO 743
69. (4, 1, !2);MMx # 1 " t,My # 3 ! 2t,Mz # 4 ! 3t 
70. (0, 1, 3);MMx # 2t,My # 6 ! 2t,Mz # 3 " t 
71-72 Determine a distância do ponto ao plano dado. 
71. (1, !2, 4),MM3x " 2y " 6z # 5 
72. (!6, 3, 5),MMx ! 2y ! 4z # 8 
73-74 Determine a distância entre os planos paralelos dados. 
73. 2x ! 3y " z # 4,MM4x ! 6y " 2z # 3 
74. 6z # 4y ! 2x,MM9z # 1 ! 3x " 6y
75. Mostre que a distância entre os planos paralelos 
ax " by " cz " d1 # 0 e ax " by " cz " d2 # 0 é 
76. Determine as equações dos planos que são paralelos ao plano 
x " 2y ! 2z #1 e que distam duas unidades dele. 
77. Mostre que as retas com equações simétricas x # y # z e 
x " 1 # y/2 # z/3 são reversas e determine a distância entre elas.
78. Encontre a distância entre as retas de inclinação com equações
paramétricas x # 1 " t, y # 1 " 6t, z # 2t e x # 1 " 2s, 
y # 5 " 15s, z # !2 " 6s.
79. Seja L1 a reta que passa pela origem e pelo ponto (2, 0, !1). Seja
L2 a reta que passa pela origem e pelo ponto (1, !1, 1) e 
(4, 1, 3). Encontre a distância entre L1 e L2.
80. Seja L1 a reta que passa pela origem e pelo ponto (1, 2, 6) e 
(2, 4, 8). Seja L2 a reta de interseção dos planos p1 e p2, onde
p1 é o plano x – y " 2z " 1 # 0 e p2 é o plano que passa pelos
pontos (3, 2, !1), (0, 0, 1) e (1, 2, 1). Encontre a distância entre
L1 e L2.
81. Se a, b e c não são todos nulos, mostre que a equação 
ax " by " cz " d # 0 representa um plano e ka, b, cl é o vetor
normal ao plano. 
Dica: Suponha a " 0 e reescreva a equação na forma
82. Dê a interpretação geométrica de cada família de planos.
(a) x " y " z # c (b) x " y " cz # 1 
(c) y cos u " z sen u # 1 
a%x " da&" b"y ! 0# " c"z ! 0# ! 0
D ! ! d1 ! d2 !sa 2 " b 2 " c 2
PROJETO DE LABORATÓRIO COLOCANDO O 3D EM PERSPECTIVA
Programadores de computação gráfica enfrentam o mesmo desafio que os grandes
pintores do passado: como representar uma cena tridimensional como uma imagem
plana em um plano bidimensional (a tela ou um monitor). Para criar a ilusão de pers-
pectiva, na qual os objetos próximos parecem maiores que aqueles mais distantes, os
objetos tridimensionais na memória do computador são projetados em uma tela retan-
gular a partir do ponto de visão onde o olho ou a câmera estão localizados. O volume
de visão – a porção do espaço que estará visível – é a região contida nos quatro pla-
nos que passam pelo ponto de visão e por uma aresta da tela retangular. Se os obje-
tos na cena se estendem além dos quatro planos, eles são truncados antes que os dados
sejam enviados para a tela. Esses planos são, portanto, chamados plano cortantes.
1. Suponha que a tela seja representada por um retângulo no plano yz com vértices 
(0, $400, 0) e (0, $400, 600), e a câmera esteja localizada em (1 000, 0, 0). Uma
reta L na cena passa pelos pontos (230, !285, 102) e (860, 105, 264). Em quais
pontos L será contada pelos planos cortantes? 
2. Se o segmento de reta cortado for projetado na tela, identifique o segmento de
reta resultante.
3. Use equações paramétricas para traçar as arestas da tela, o segmento de reta cortado
e sua projeção na tela. A seguir, adicione retas que conectem o ponto de visão a
cada extremidade dos segmentos cortados para verificar que a projeção está correta.
4. Um retângulo com vértices (621, !147, 206), (563, 31, 242), (657, !111, 86) e
(599, 67, 122) é adicionado à cena. A reta L intercepta esse retângulo. Para fazer
o retângulo parecer opaco, um programador pode usar retas escondidas, as quais
removem partes do objeto que estão atrásde outros objetos. Identifique a parte de
L que deve ser removida.
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