Introdução ao Cálculo-Gabarito

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das
A
Gabarito
utoatividades
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Rodovia , nº .BR 470 Km 71, 1 040
Bairro Benedito - CEP 89130-000
I daialn - Santa Catarina - 47 3281-9000
Elaboração:
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI
2018
Prof.ª Cristiane Bonatti
Prof.ª Grazielle Jenske
Prof.ª Michely de Melo Pellizzaro
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
UNIDADE 1
TÓPICO 1
1 Classifique os conjuntos a seguir em vazio unitário:
a) A = {polígonos que possuem três lados}.
b) B = {x | x é natural maior que 10 e menor que 11}.
c) C = {x | x é par maior do que 3 e menor do que 5}.
d) D = {x | x é número primo maior do que 7 e menor do que 11}.
e) E = {quadriláteros que possuem todos os ângulos obtusos}.
R.: a) Este conjunto é unitário, pois o único polígono que tem três lados é o 
 triângulo.
b) Este conjunto é vazio, pois não existe nenhum número natural entre 10 e 11.
c) Este conjunto é unitário, pois o único par entre 3 e 5 é 4.
d) Este conjunto é vazio, pois não existe nenhum número primo entre 7 e 11.
e) Este conjunto é vazio, pois um ângulo obtuso é aquele que apresenta 
 ângulo > 90 e a soma dos ângulos de um quadrilátero não passa de 360°.
2 Dados o conjunto Universo U= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e os conjuntos 
A= {0, 2, 4, 6, 8}, B= {1, 3, 5, 7, 9} e C= {2, 4}, determine:
a) 
A
UC
b) BC
c) C
R.: a) {1, 3, 5, 7, 9}
b) {0, 2, 4, 6, 8}
c) {0, 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9}
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3 Dados os conjuntos A= {a, b, c, d, e, f, g}, B= {b, d, g, h, i} e C= {e, f, 
m, n}, determine:
a) A – B 
b) A – C
c) B – C 
d) B – A
R.: Devemos utilizar o conceito de diferença entre conjuntos, tirar os elementos
 da segunda parcela que estão na primeira parcela.
a) {a, c, e, f}
b) {a, b, c, d, g}
c) {b, d, g, h, i}
d) {h, i}
4 Dados os conjuntos A= {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B= {2, 4, 5, 6, 9} e C= {0, 3, 
6, 9, 10}, determine:
a) A∪ B.
b) A ∩ B.
c) A∪C.
d) A∩C.
e) B ∩C.
f) (A∩ B) ∪C.
g) (A∪C) ∪ B.
h) (A∩ B) ∩C.
R.: Devemos usar dois conceitos de conjuntos, na união juntamos os
 elementos dos dois conjuntos. E na intersecção, devemos pegar
 apenas os elementos que estão em ambos os conjuntos.
a) {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
b) {4, 5, 6}
c) {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
d) {0, 3, 6}
e) {6, 9}
f) {0, 3, 4, 5, 6, 9, 10}
g) {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
h) {6}
5 Dados os conjuntos: 
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· A= {x/x é um número natural primo menor do que 10}
· B= {x/x é número natural múltiplo de 2 menor do que 9}
· C= {x/x é número natural divisor de 12}
Determine:
a) A∩ B.
b) A∩C.
c) B∪C.
d) B∩C.
e) (A∩ B) ∩C.
f) (A∪ B) ∩C.
R.: Primeiramente, vamos escrever os elementos de cada conjunto descrito.
a) {2}
b) {2, 3}
c) {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}
d) {2, 4, 6}
e) {2}
f) {2, 3, 4, 6}
6 Dos 40 alunos de uma determinada turma, 14 gostam de matemática, 
16 de física e 11 de química. Sabe-se, também, que 7 gostam de 
matemática e de física, 8 gostam de física e química e 5 de matemática 
e de química e, naturalmente, existem 4 que gostam de todas estas 
três disciplinas. Quantos alunos não gostam de nenhum destes 
assuntos?
 
R.: Devemos utilizar o Diagrama de Venn para colocar os elementos
 quantitativos em cada conjunto. Uma dica é começar pela intersecção.
 E ir interpretando o enunciado.
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7 Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de 40 alunos. 10 
alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira questão 
e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas 
questões? 
R.: Devemos utilizar o Diagrama de Venn para colocar os elementos
 quantitativos em cada conjunto. Uma dica é começar pela intersecção. 
 E ir interpretando o enunciado.
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Qual é o total de idosos vacinados neste posto? 
R.: Devemos utilizar o Diagrama de Venn para colocar os elementos
 quantitativos em cada conjunto. Uma dica é começar pela intersecção. 
 E ir interpretando o enunciado.
9 Em uma grande loja de departamentos foi realizada uma enquete com 
100 pessoas sobre três produtos. Entre as respostas, 10 pessoas 
alegam comprar somente o produto A, 30 pessoas alegam comprar 
somente o produto B, 15 pessoas alegam comprar somente o produto 
C, 8 pessoas alegam comprar A e B, 5 pessoas alegam comprar A e C, 
6 pessoas alegam comprar B e C, e 4 alegam comprar os 3 produtos. 
Vacina (1) (2) (3) (1) e (2) (1) e (3) (2) e (3)
(1), (2) e 
(3)
Número de 
vacinados 300 200 150 50 80 70 30
8 Durante uma campanha de vacinação de idosos realizada na cidade 
X, em um posto de saúde foram aplicadas as vacinas contra gripe 
(1), pneumococo (2) e antitetânica (3), segundo a tabela.
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R.: Devemos utilizar o Diagrama de Venn para colocar os elementos
 quantitativos em cada conjunto. Uma dica é começar pela intersecção.
 E ir interpretando o enunciado.
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10 Classifique em verdadeiro ou falso, justificando sua resposta: 
a) ( ) Se A tem 4 elementos e B tem 6 elementos, A U B tem 10 elementos.
b) ( ) Se A tem 8 elementos e B tem 6, A ∩ B tem 2 elementos.
c) ( ) Se A ∩ B é , A tem 4 elementos e B 5, A U B tem 9 elementos.
R.: Para justificar uma afirmação falsa, basta dar um contraexemplo.
TÓPICO 2
1 Transforme os números decimais a seguir em fração:
R.: Para encontrar a fração devemos dividir por potência de 10 cuja potência
 é o número de vezes que deslocamos a vírgula para a direita. Sempre 
encontre a fração irredutível.
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2 Calcule e dê a resposta na forma fracionária:
R.: Utilizando a regra de soma e subtração de frações temos:
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3 Calcule os produtos e dê a resposta na forma fracionária:
R.: Utilizando a regra de multiplicação de frações temos:
4 Calcule as divisões:
R.: Utilizando as regras de multiplicação e divisão de frações temos:
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5 Escreva o resultado das operações na forma fracionária:
R.: Utilizando as operações de adição, subtração, multiplicação e 
 divisão de frações temos:
TÓPICO3
1 Calcule as seguintes potências:
R.: Para encontrar os valores de cada potência devemos utilizar o seu
 conceito, sempre respeitando as regras de sinais das operações.
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2 O valor de [47.410.4]2 : (45)7 é:
R.: Utilizando as propriedades da potenciação, segue que:
[47 ∙ 410 ∙ 4]2 ÷ (45)7 = [47+10+1]2 ÷ (45∙7) = [418]2 ÷ 435 = [418∙2] ÷ 
435 = 436−35 = 4.
Portanto, a alternativa correta é o item “d”.
3 Escreva as seguintes expressões na forma mais simples:
R.: Utilizando as propriedades da potenciação temos:
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4 Sendo 7.3.2 87=a e 65 3.2=b , o quociente de a por b é:
5 Calcule o valor da expressão:
R.:
Portanto, o item "a" é o correto.
Utilizando a propriedade do inverso da potenciação, segue que:
6 Simplifique a expressão a seguir:
R.: Utilizando as propriedades das operações de potenciação, segue que:
:
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Portanto, o item correto é "a".
7 Quando 3be
3
1a −=−= , qual o valor numérico da expressão a b
a ab a
R.: Fazendo a substituição na expressão dada, temos:
8 Escreva a forma decimal de representar as seguintes potências:
R.: Aplicando as propriedades da potenciação, e após, fazendo as divisões
 temos:
9 Calcule as raízes indicadas:
R.: Decompondo os radicando em fatores primos, segue que:
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10 Fatore e escreva na forma de potência com expoente fracionário:
R.: Decompondo os radicandos em fatores primos e utilizando a 
 propriedade de expoente fracionário da potenciação, temos:
11 Calcule a raiz indicada:
R.: Utilizando as propriedades da potenciação, segue que:
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12 Efetue as seguintes adições e subtrações que envolvem radicais:
R.: Primeiro devemos decompor os radicandos em fatores primos. Após,
 somar ou subtrair os radicandos semelhantes (com mesmo índice e 
 radicando), em seguida, efetuar a soma ou subtração dos fatores
 externos.
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13 Efetue as multiplicações e divisões:
R.: Primeiro devemos verificar se os índices são iguais e após, fazer a
 operação indicada. Caso contrário, faremos operações para deixar os 
 índices iguais e após, efetuamos a operação indicada.
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14 Racionalize o denominador das seguintes frações:
R.: Primeiro devemos multiplicar ambos os termos das frações por um 
 termo conveniente. Este termo, chamamos de conjugado. Por exemplo, 
 o conjugado de 2 + √2 é 2 − √2.
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TÓPICO 4
1 Escreva os polinômios na forma fatorada:
R.: Devemos identificar itens em comum e colocar em evidência.
2 Calcule:
R.: Utilizar as operações estudadas para resolver os cálculos e juntar os
 termos semelhantes.
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3 Escreva os seguintes polinômios na forma mais reduzida:
R.: Utilizar as operações estudadas e a propriedade distributiva e após, 
 juntar os termos semelhantes.
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5 Simplifique as expressões:
4 Desenvolva os produtos notáveis:
R.: Reconhecer os produtos notáveis estudados e aplicar em cada item o 
 seu desenvolvimento.
R.: Utilizar as operações e propriedades estudadas para simplificar as
 expressões.
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6 Calcule:
R.: Utilize as propriedades estudadas para encontrar a solução das
 expressões.
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UNIDADE 2
TÓPICO 1 – Equações do 1º, do 2º, do 3º e do 4º grau
1	 Encontre as raízes das equações de 1º e 2º graus a seguir:
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Note que se 2𝑥 − 24 = 0, temos 𝑥 = 12.
Portanto, as soluções são 𝑥 ′ = 0 e 𝑥 ′′ = 12.
𝑥 ² − 𝑥 − 20 = 0
Vamos resolver esta equação através
da fórmula de Bhaskara.
Note que 𝑎 = 1, 𝑏 = −1
𝑒 𝑐 = −20. Temos então:
Portanto:
Temos 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, 𝑐 = −4, logo:
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Portanto:
Temos 𝑎 = 1, 𝑏 = −8, 𝑐 = 7, logo:
Portanto:
2 O dobro de um número, aumentado de , é igual a . Qual é esse 
número?
3 Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 
empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica?
x = quantidade de empregados
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4 Dois quintos do salário de Ana são reservados para o aluguel e a 
metade é gasta com alimentação, restando ainda para gastos 
diversos. Qual é o salário de Ana?
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5 Em um retângulo, a área pode ser obtida multiplicando-se o 
comprimento pela largura. Em determinado retângulo que tem 
 de área, o comprimento é expresso por , enquanto 
a largura é expressa por . Nessas condições, determine o 
valor de .
Como a área de um retângulo não pode ser um valor positivo, temos que 𝑥 
= 10.
6 O quadrado de um número aumentado de é igual a dez vezes esse 
número. Calcule esse número.
:
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Portanto:
50 = 50
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7 Encontre as raízes das equações do 2º grau incompletas:
a) 4x² – 36 = 0
b) 7x² – 21 = 0
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c) x² + 9 = 0
d) x² – 49 = 0
e) 5x² – 20 = 0
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8 Em uma indústria, o custo de fabricação de unidades de um produto 
é dado por reais. Em um dia de trabalho, o 
número de unidades produzidas é unidade, em que é o 
número de horas trabalhadas no dia. Determine o custo de fabricação 
quando são decorridas três horas de trabalho. 
R. : Note que nesse caso = 3. Então:
Assim, são produzidas 48 unidades em 3 horas de trabalhado. Vamos 
calcular o custo de um produto.
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9 Um posto de combustível vende litros de álcool por dia a 
cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo 
de desconto que concedia por litro, eram vendidos litros a mais 
por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi , 
foram vendidos litros. 
Considerando-se o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada 
litro, e o valor, em , arrecadado por dia com a venda do álcool, então a 
expressão que relaciona e é:
R.: Seja 𝑄 a quantidade de litros de gasolina vendidos e 𝑃 o preço da 
gasolina, em reais.
Note que as duas variáveis são funções do valor de desconto 𝑥 . Além disso, 
o valor 𝑉 arrecado no final do dia é dado pela igualdade 𝑉 = 𝑃 ⋅ 𝑄 .
Sabemos que para cada centavo de desconto por litro, eram vendidos 100 
litros a mais por dia e que a venda é de 10.000 litros por dia.
Logo, 𝑄 = 10.000 + 100𝑥 .
Também:
𝑃 = 1,50 − 0,01 ⋅ 𝑥 
Portanto:
𝑉 = 𝑃 ⋅ 𝑄 = (10.000 + 100𝑥 ) ⋅ (1,50 − 0,01 ⋅ 𝑥 ) = 15.000 + 50𝑥 − 𝑥 2
Alternativa “d”.
10 Assinale a alternativa que indica o polinômio que possui os números 
0 e 1 como raízes, sendo 0 uma raiz de multiplicidade 3:
R.: A alternativa “a” pode ser eliminada, pois a raiz 𝑥 = 0 tem multiplicidade 
1. Note também que já podemos eliminar a alternativa “b”, pois 𝑥 = 1 tem 
multiplicidade maior que 1.
No item “d” também temos que 𝑥 = 1 tem multiplicidade maior que 1. 
Finalmente, no item “e” as raízes são 𝑥 = 0, 𝑥 = 4 e 𝑥 = 5.
Portanto, a alternativa correta é a letra “c”, pois as raízes do polinômio 
temos:
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11 Resolver a equação , sabendo-se que a soma 
de duas raízes é zero.
R.:
12 A soma das raízes da equação é:
R.:
𝑥 ³ = 0
e:
𝑥 − 1 = 0
Logo 𝑥 = 0 tem multiplicidade 2. Alternativa “c”.
Portanto, a resposta correta é a alternativa “a”.
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13 A soma das raízes da equação é:
R.: Note que:
𝑥 4 + 5𝑥 ³– 3𝑥 ² – 15𝑥 = 𝑥 (𝑥 ³ + 5𝑥 ² − 3𝑥 − 15)
e ainda:
𝑥 ³ + 5𝑥 ² − 3𝑥 − 15 = (𝑥 ² − 3)(𝑥 + 5)
Portanto, podemos escrever a equação como 𝑥 (𝑥 ² − 3)(𝑥 + 5). Na primeira 
parcela, temos 𝑥 = 0.
Na equação (𝑥 2 − 3) = 0, temos 𝑥 = √3 𝑒 𝑥 = −√3, pois (𝑥 ² − 3) = (𝑥 − √3)(𝑥 
+ √3). Em (𝑥 + 5) = 0, temos 𝑥 = −5.
Portanto, como 0 + √3 − √3 − 5 = 5, a resposta correta é a alternativa “e”.
14 A soma dos quadrados das raízes da equação 
é:
“ ” 
15 As raízes do polinômio :
R.:Note que -2 é raiz do polinômio, pois (−2)³ − 6 ⋅ (−2)² − (−2) + 30 = 0.
 
Portanto, vamos dividir o polinômio pelo termo (𝑥 —(−2)) = 𝑥 + 2. Então:
Como (𝑥 ³ – 6𝑥 ² – 𝑥 + 30) ∶ (𝑥 + 2) = (𝑥 ² − 8𝑥 + 15), temos que o polinômio 
da questão pode ser escrito como (𝑥 + 2) ⋅ (𝑥 ² − 8𝑥 + 15).
Portanto, basta calcularmos as raízes dos dois polinômios.
Para (𝑥 + 2) = 0, temos 𝑥 = −2. Para (𝑥 ² − 8𝑥 + 5) = 0, temos 𝑥 = 3 e 𝑥 = 5.
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Portanto, a soma das raízes é 6 e o produto é -30. Alternativa “c”.
16 Foi apresentado a um exímio calculista, conhecido como o "homem 
que calculava", o sistema de equações: 
E ele rapidamente respondeu:
“Uma solução do sistema é .”
Em seguida perguntaram-lhe: qual a soma dos quadrados das raízes 
da equação ? De pronto, ele respondeu 
corretamente. A sua resposta foi:
:
:
:
Alternativa “e”.
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TÓPICO 2
1 Resolva as seguintes equações exponenciais:
𝑥 = −5 e 𝑥 = 1.
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2 Calcule o valor dos logaritmos:
:
:
:
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O4 Qual é o conjunto solução da equação 
3	 Dada a equação determine o valor de que verifica a 
igualdade. 
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5 Quais os valores que satisfazem a equação 
R.: 
22𝑥 +1 − 5 ⋅ 2𝑥 +2 = −32
22𝑥 ⋅ 2 − 5 ⋅ 2𝑥 ⋅ 22 + 32 = 0
Fazendo 𝑦 = 2𝑥 , obtemos a seguinte equação:
2 ⋅ 𝑦 2 − 20 ⋅ 𝑦 + 32 = 0
Cujas raízes são 𝑦 = 8 e 𝑦 = 2. Para encontrarmos o valor de 𝑥 , devemos 
substituir cada valor de 𝑦 em 2𝑥 = 𝑦 . Para 𝑦 = 8, temos:
2𝑥 = 𝑦 
2𝑥 = 8
2𝑥 = 23
𝑥 = 3
Para 𝑦 = 2, temos:
2𝑥 = 𝑦 
2𝑥 = 2
𝑥 = 1
Portanto, 𝑥 = 1 e 𝑥 = 3.
R.: Note que 4𝑥 = (22)𝑥 = (2𝑥 )2. Fazendo 2𝑥 = 𝑦 , temos:
𝑦 2 + 2 ⋅ 𝑦 − 8 = 0
Ao resolvermos essa equação de 2º grau, obtemos 𝑦 = 2 𝑜𝑢 𝑦 = −4. Para 
encontrarmos o valor de 𝑥 , devemos substituir cada valor de 𝑦 em 2𝑥 = 𝑦 . 
Para 𝑦 = 2, temos:
2𝑥 = 𝑦 
2𝑥 = 2
𝑥 = 1
Para 𝑦 = −4, temos:
2𝑥 = −4
2𝑥 = −22
E esta segunda equação não possui solução, portanto 𝑥 = 1
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6 Se , então qual é o valor de ?
R.: Note que o sistema apresentado é equivalente ao seguinte sistema:
7 O número de bactérias em uma cultura varia de acordo com a expressão 
. Se, após 30 minutos, há 800 bactérias, determine: 
a) Quantas bactérias existiam inicialmentena cultura?
b) Quantas bactérias existirão após 60 minutos?
R.: 
Em 𝑡 = 0, temos
𝑄 (𝑂) = 200 ⋅ 𝑒 𝑘⋅ 0
𝑄 (0) = 200
a) 200 bactérias.
:
:
:
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Em 𝑡 = 30
𝑄 (30) = 200 ⋅ 𝑒 𝑘⋅ 30
800 = 200 ⋅ 𝑒 𝑘⋅ 30
4 = 𝑒 𝑘⋅ 30
Em 𝑡 = 60
𝑄 (60) = 200 ⋅ 𝑒 𝑘⋅ 60
𝑄 (60) = 200 ⋅ 𝑒 𝑘⋅ 30+𝑘⋅ 30
𝑄 (60) = 200 ⋅ 𝑒 𝑘⋅ 30 ⋅ 𝑒 𝑘⋅ 30
𝑄 (60) = 200 ⋅ 4 ⋅ 4
𝑄 (60) = 3200
b) 3.200 bactérias.
8	 Uma experiência realizada com reprodução de ratos em um laboratório 
estima o número de indivíduos após um tempo . A população 
inicial era de 100 ratos e cresceu exponencialmente de acordo com 
a expressão onde depende da espécie de rato e 
das condições do ambiente e é dado em dias. Se, após 24 dias, a 
população de ratos atingiu 500 indivíduos, então qual é o número de 
indivíduos após 48 dias?
R.: 
Em 𝑡 = 24
𝑁(24) = 100 ⋅ 𝑒 𝑎 ⋅ 24
500 = 100 ⋅ 𝑒 𝑎 ⋅ 24
5 = 𝑒 𝑎 ⋅ 24
Em 𝑡 = 48
𝑁(48) = 100 ⋅ 𝑒 𝑎 ⋅ 24
𝑁(48) = 100 ⋅ 𝑒 𝑎 ⋅ 24 ⋅ 𝑒 𝑎 ⋅ 24
𝑁(48) = 200 ⋅ 5 ⋅ 5
𝑁(48) = 4500
9	 Qual a massa de um elemento químico cuja meia vida é de 24 dias e 
cuja desintegração é dada pela equação em que é a 
quantidade inicial desse elemento? Qual a quantidade de massa de 
 desse elemento depois de 72 dias? 
R.: Como em 𝑡 = 24 o elemento está com a meia vida, podemos 
 supor que:
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Desta forma, conseguimos determinar a constante 𝑘 para este elemento:
Aplicando logaritmo natural nos dois lados:
Agora, podemos determinar a massa de 32g desse elemento depois de 72 dias:
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10 O índice de desenvolvimento humano (IDH) é uma medida comparativa 
de riqueza, alfabetização, educação, esperança de vida, natalidade 
e outros fatores para diversos países do mundo. É uma maneira 
padronizada de avaliação e medida do bem-estar de uma população, 
especialmente bem-estar infantil. Todos os anos, os países da ONU 
são classificados de acordo com essas medidas. Para se calcular o 
índice de desenvolvimento humano-renda, determina-se o PIB per 
capita do país em dólares (P) e, em seguida, aplica-se a fórmula: 
Se um determinado país possui determine seu PIB per 
capita. 
R.: 
Pela definição de logaritmo, temos:
𝑃 = 104
𝑃 = 10000
11 Em uma solução, o pH é definido pela relação em que 
pH é a concentração de hidrogênio em íon-grama por litro de solução 
e é denominado de concentração hidrogeniônica. Dessa forma, 
determine o de uma solução tal que 
R.:
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12 No conjunto dos números reais, determine a solução das equações 
logarítmicas:
a) 
b) 
R.: a) 
b) 
Pela definição de logaritmo nos reais, os logaritmandos devem ser maiores 
que zero, porém, trocando 𝑥 = −3 no problema, não temos este fato 
acontecendo. Logo, não há solução real para o problema.
13 As instituições financeiras usam o regime de juro composto tanto 
para aplicações quanto para empréstimos. Um banco oferece um 
tipo de aplicação financeira a uma taxa de juros de 8% ao ano. Em 
quantos anos o valor inicial será duplicado?
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R.: Seja 𝑥 o capital inicial. Queremos que o montante final seja 2𝑥 , pois 
 queremos duplicálo.
 Temos que no ano n, o montante final é de 0,08𝑛 ⋅ 𝑥 . Então, devemos 
 calcular quantos levará para que o capital 𝑥 se torne 2𝑥 . Para isso:
14 Um laboratório iniciou a produção de certo tipo de vacina com um 
lote de x doses. Se o planejado é que o número de doses produzidas 
dobre a cada ano, após quanto tempo esse número passará a ser 
igual a 10 vezes o inicial?
R.: Podemos escrever a seguinte expressão para determinar o número de 
 doses por ano:
𝑝(𝑡 ) = 𝑝0 ∙ 2𝑡 
 Ainda segundo e enunciado, devemos encontrar quanto tempo para ter 
 10 vezes o valor inicial:
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15 Admita que, quando a luz incide em um painel de vidro, sua intensidade 
diminui em 10%. Qual o número mínimo de painéis necessários para 
que a intensidade da luz, após atravessar esses painéis, se reduza a 
 da sua intensidade?
R.: Podemos escrever a seguinte expressão para determinar a intensidade 
 da luz após 𝑛 vidros:
𝑖(𝑛) = 𝑖0 ∙ 0,90
𝑛
 Ainda segundo e enunciado, devemos encontrar quando será reduzido 
 para 1/3 da intensidade:
16 Determine o valor de x que representa a solução da equação 
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17 Algumas pessoas acreditam que a população da Terra não pode 
exceder 40 bilhões de pessoas. Se isto for verdade, então a população 
P, em bilhões, t anos após 1990, poderia ser modelada, pela expressão 
. Segundo este modelo, aproximadamente quando a 
população atingiria 30 bilhões? 
R.: Substituindo os dados na expressão:
R.:
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18 Se e são números reais tais que então qual é o valor 
de ?
R.:
Desta forma, em 2004 atingiremos está marca.
TÓPICO 3
1	 Classifique em verdadeiras ou falsas as afirmações a seguir: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
R.: 
a) Verdadeira, pois:
|4 + 5| = |4| + |5|
|9| = 4 + 5
9 = 9
b) Falso, pois:
|(−3) + 8| = |−3| + |8|
|5| = 3 + 8
5 = 11
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C) Verdadeiro, pois:
d) Verdadeiro, pois:
|4 ⋅ 5| = |4| ⋅ |5|
|20| = 4 ⋅ 5
20 = 20
e) Verdadeiro, pois:
|(−3) + (−8)| = |−3| + |−8|
|−11| = 3 + 8
11 = 11
Verdadeiro, pois:
|4 − 7| = |7 − 4|
|−3| = |3|
3 = 3
2 Resolva as equações a seguir:
a) |2𝑥 − 1| = 𝑥 + 2
R.: Vamos dividir em dois casos:
Caso 1: 2𝑥 − 1 ≥ 0. Logo:
2𝑥 − 1 = 𝑥 + 2
𝑥 = 3
Vamos verificar:
2𝑥 − 1 = 2 ⋅ 3 − 1 = 5 ≫ 0
Então a solução é 𝑥 = 3.
Caso 2: 2𝑥 − 1 < 0. Então:
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Vamos verificar:
b) |2𝑥 2 + 15𝑥 − 3| = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3
R.: Vamos dividir em dois casos:
Caso 1: 2𝑥 2 + 15𝑥 − 3 ≥ 0. Logo
2𝑥 2 + 15𝑥 − 3 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3
𝑥 2 + 13𝑥 = 0
Você pode usar Bhaskara ou resolver como abaixo
𝑥 (𝑥 + 13) = 0
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 + 13 = 0
Portanto as possíveis soluções neste caso são 𝑥 = 0 e 𝑥 = −13, vamos 
testar:
2𝑥 2 + 15𝑥 − 3 = 2 ⋅ 02 + 15 ⋅ 0 − 3 = −3 ≱ 0
2𝑥 2 + 15𝑥 − 3 = 2 ⋅(−13)2 + 15 ⋅ (−13) − 3 = 140 ≥ 0
Então a solução é 𝑥 = −13.
Caso 2: 2𝑥 2 + 15𝑥 − 3 < 0. Logo:
−(2𝑥 2 + 15𝑥 − 3) = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3
−2𝑥 2 − 15𝑥 + 3 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3
−3𝑥 2 − 17𝑥 + 6 = 0
Usando Bhaskara encontramos:
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Então a solução é 𝑥 = −6.
c) |3𝑥 + 2| = 2𝑥 − 3
R.: Inicialmente, perceba que:
Perceba então, que as possíveis respostas que encontraremos, devem 
estar neste intervalo. Vamos dividir em dois casos.
d) |𝑥 − 1| = 3
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R.: Vamos separar em dois casos.
Caso 1: 𝑥 − 1 ≫ 0
𝑥 − 1 = 3
𝑥 = 4
Vamos verificar:
𝑥 − 1 = 4 − 1 = 3 ≫ 0
Caso 2: 𝑥 − 1 < 0
−(𝑥 − 1) = 3
−𝑥 + 1 = 3
𝑥 = −2
Vamos verificar:
𝑥 − 1 = −2 − 1 = −3 < 0
Então a solução é 𝑥 = 4 e 𝑥 = −2
e)
R.: Vamos separar em dois casos:
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Vamos verificar:
f) |𝑥 − 1| + |𝑥 + 6| = 13
R.: Vamos separa em 4 casos.
Caso 1: 𝑥 − 1 ≥ 0 𝑒 𝑥 + 6 ≥ 0
𝑥 − 1 + 𝑥 + 6 = 13
2𝑥 = 8
𝑥 = 4
Caso 2: 𝑥 − 1 ≥ 0 𝑒 𝑥 + 6 < 0
𝑥 − 1 − (𝑥 + 6) = 13
𝑥 − 1 − 𝑥 − 6 = 13
𝑥 − 𝑥 = 20
Note que nesse caso a equação não tem solução.
Introdução ao Cálculo - GABARITO (1).indd 54Introdução ao Cálculo - GABARITO (1).indd 54 18/12/2020 16:11:5418/12/2020 16:11:54
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Caso 3: 𝑥 − 1 < 0 𝑒 𝑥 + 6 ≥ 0
−(𝑥 − 1) + 𝑥 + 6 = 13
−𝑥 + 1 + 𝑥 + 6 = 13
−𝑥 + 𝑥 = 6
Novamente, essa equação não tem solução.
Caso 4: 𝑥 − 1 < 0 𝑒 𝑥 + 6 < 0
Então a solução é 𝑥 = 4 𝑒 𝑥 = −9.
g) |3𝑥 − 5| ⋅ (4𝑥 2 − 1) = 0
R.: Nesse caso temos que ter:
|3𝑥 − 5| = 0 ou (4𝑥 2 − 1) = 0
Para |3𝑥 − 5| = 0 temos:
Introdução ao Cálculo - GABARITO (1).indd 55Introdução ao Cálculo - GABARITO (1).indd 55 18/12/2020 16:11:5418/12/2020 16:11:54
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h) |(3 − |4𝑥 − 1|)| = 6
R.:
Caso 1: 3 − |4𝑥 − 1| ≥ 0 temos:
3 − |4𝑥 − 1| = 6
|4𝑥 − 1| = −3
Como o modulo é sempre positivo não existe nenhum x que satisfaz a 
igualdade, nesse caso não temos solução.
Caso 2: 3 − |4𝑥 − 1| < 0 temos:
−(3 − |4𝑥 − 1|) = 6
−3 + |4𝑥 − 1| = 6
|4𝑥 − 1| = 9
Dividimos em dois casos novamente
Caso 2.1: 4𝑥 − 1 ≥ 0 temos
Vamos verificar que satisfaz as condições:
Caso 2.1: 4𝑥 − 1 < 0 temos:
−(4𝑥 − 1) = 9
−4𝑥 + 1 = 9
−4𝑥 = 8
𝑥 = −2
Vamos verificar que satisfaz as condições:
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4𝑥 − 1 = 4 ⋅ (−2) − 1 = −8 − 1 = −9 < 0
3 Sendo 𝑎 = |𝑥 + 2| e 𝑏 = |𝑥 − 5|, resolva a equação 𝑎 − 𝑏 = 10.
 Note que 𝑎 − 𝑏 = |𝑥 + 2| − |𝑥 − 5| = 10
R.: Vamos separar em 4 casos.
Caso 1: 𝑥 + 2 ≥ 0 𝑒 𝑥 − 5 ≥ 0
𝑥 + 2 − (𝑥 − 5) = 10
𝑥 + 2 − 𝑥 + 5 = 10
𝑥 − 𝑥 = 3
Note que nesse caso, a equação não tem solução.
Caso 2: 𝑥 + 2 ≥ 0 𝑒 𝑥 − 5 < 0
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TÓPICO 4 
1 Resolva as seguintes equações do 1º grau:
a) 5𝑥 − 35 > 0
R.:
b) −4𝑥 + 144 ≤ 0
R.:
c) −2𝑥 − 5 < −5𝑥 − 32
R.:
Introdução ao Cálculo - GABARITO (1).indd 58Introdução ao Cálculo - GABARITO (1).indd 58 18/12/2020 16:11:5418/12/2020 16:11:54
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d) 12𝑥 + 15 ≥ 18𝑥 − 45
R.:
2 Determine o conjunto de todos os números reais x que satisfazem a 
inequação 
R.: Vamos resolver primeiro a equação:
3 Escreva a solução das inequações do 2º grau a seguir:
a) 
b) 
c) 
R.: 
a) Da mesma forma que o exercício anterior, primeiro resolveremos a 
equação 𝑥 2 − 4𝑥 − 5 = 0.
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Utilizando a fórmula de Bháskara ou outro método, obtemos 𝑥 = 5 e 𝑥 
= −1. Note ainda que o gráfico desta equação é uma parábola com 
concavidade para cima.
Analisando o gráfico, temos:
Como a questão pede os valores que satisfazem 𝑥 2 − 4𝑥 − 5 ≤ 0, a solução 
é dada pelo conjunto de valores tal que −1 ≤ 𝑥 ≤ 5.
b) Primeiro resolveremos a equação 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 0.
Analisando o gráfico, temos:
No restante, a parábola assume valores positivos. Além disso, temos que 
𝑥 2 − 6𝑥 + 9 > 0, se 𝑥 < 3 ou se 𝑥 > 3.
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Portanto, como a questão pede os valores que satisfazem 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 > 0, 
esses pontos são tais que 𝑥 ≠ 3.
c) Primeiro resolveremos a equação 𝑥 2 − 7𝑥 + 14 = 0.
Essa equação não possui raiz no conjunto dos números reais. Portanto, a 
questão não tem solução.
4 Resolva as seguintes inequações:
a) 
b) 
c) 
d) 
R.: 
a)
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Note que para valores entre 2 e 3, a parábola assume valores negativos, 
ou seja, a expressão 𝑥 ² − 5𝑥 + 6 assume valores negativos. Além disso, 
para 𝑥 = 2 𝑒 𝑥 = 3, temos 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0. Ao analisarmos o gráfico da 
expressão 𝑥 – 2, veja que ela assume valores negativos quando 𝑥 < 2.
Como queremos os valores tais que (𝑥 − 2)(𝑥 ² − 5𝑥 + 6) < 0, temos que 
ter 2 < 𝑥 < 3 e 𝑥 < 2, ou seja, 𝑥 < 3 𝑒 𝑥 ≠ 2.
b)
:
:
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Fazendo o estudo dos sinais, temos:
Unindo os dois estudos, temos:
Assim, como queremos os valores que (−𝑥 2 + 3𝑥 − 2) ⋅ (−𝑥 2 − 4𝑥 − 3) ≤ 0
a solução ficaria −3 ≤ 𝑥 ≤ −1 ou −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 ou 1 ≤ 𝑥 ≤ 2.
c)
Primeiramente vamos calcular as raízes da equação 𝑥 2 − 4𝑥 − 5 = 0. 
Utilizando a Fórmula de Bhaskara, temos:
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d) 
Como é um quociente nesta inequação, verificamos primeiro a restrição:
:
:
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Fazendo o estudo de sinais, temos:
:
5 Resolva os sistemas de inequações a seguir:
 
a) 
b) 
R.:
a) Resolvendo a primeira equação por Bháskara ou através de outro 
método, obtemos como raízes 𝑥 = 1 𝑒 𝑥 = 2. Novamente, o gráfico dessa 
função se dará por uma parábola de concavidade para cima e note que ela 
assume valores negativos para 1 ≤ 𝑥 ≤ 2.
Ao resolvermos a segunda equação, temos 𝑥 = −1. O gráfico da funçãoassume valores negativos quando 𝑥 < −1.
Como se trata de um sistema, as duas condições devem ser satisfeitas
simultaneamente. Fazendo o estudo do sinal das duas inequações ao 
mesmo tempo, podemos ver que a interseção entre os dois intervalos é 
vazia, portanto, o sistema não tem solução.
b) Para 𝑥 2 − 3𝑥 = 0, temos:
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Para −𝑥 2 + 6𝑥 − 8 = 0, temos:
Fazendo o estudo dos sinais, temos:
Como temos um sistema de inequações, devemos pegar a intersecção das 
duas soluções. Assim, temos que ter 3 ≤ 𝑥 ≤ 4 como solução do sistema.
6 Quantos números inteiros satisfazem simultaneamente as 
desigualdades e ?
R.: Vamos resolver a primeira desigualdade:
𝑥 + 3 ≤ 2𝑥 + 5
𝑥 − 2𝑥 ≤ 5 − 3
−𝑥 ≤ 2
𝑥 ≥ −2
Fazendo o mesmo processo na segunda desigualdade:
4𝑥 + 1 ≤ 2𝑥 + 3
4𝑥 − 2𝑥 ≤ 3 − 1
2𝑥 ≤ 2
𝑥 ≤ 1
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Os elementos que satisfazem as duas desigualdades são os que 
pertencem a intersecção destes dois intervalos, ou seja −2 ≤ 𝑥 ≤ 1. Então, 
os inteiros que satisfazem essas desigualdades são -2, -1, 0 e 1. Portanto, 
são 4 números é a alternativa correta é a letra "e".
7 O conjunto solução da inequação em que 
e é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
R.: 
Ao calcularmos as raízes da primeira função obtemos 𝑥 = −3 e 𝑥 = −4. Note 
que o gráfico da função é uma parábola de concavidade para cima. Como 
vimos em outros exercícios, podemos fazer uma análise do sinal para a 
função em cada intervalo.
Temos então que a parábola assume valores positivos para 𝑥 ≤ −4 e para 
𝑥 ≥ −3. Para os valores 𝑥 = −4 𝑒 𝑥 = −3, ela assume valor zero. Por fim, a 
parábola assume valores negativos para valores entre -4 e -3, ou seja, −4 
≤ 𝑥 ≤ −3.
Se calculamos as raízes da segunda equação, vamos obter 𝑥 = −2 𝑒 𝑥 = −4.
Novamente, teremos uma parábola de concavidade para cima e ao 
analisarmos o seu sinal, temos que para 𝑥 ≤ −4 e para 𝑥 ≥ −2, ela assume 
valores positivos. Para 𝑥 = −2 𝑒 𝑥 = −4, ela assume valor zero. Além 
disso, para valores entre -4 e -2, ou seja, −4 ≤ 𝑥 ≤ −2, a parábola assume 
valores negativos.
Para obtermos a resposta, precisamos fazer a análise de sinal de cada 
uma das parábolas simultaneamente, observando a intersecção entre 
esses sinais, de acordo com a conclusão acima. Vejamos que temos as 
duas parábolas:
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Logo, a solução é −3 ≤ 𝑥 ≤ −2, ou seja, letra "b".
8 Qual é o conjunto solução da inequação 
R.: Pelas propriedades de inequações exponencias, temos:
𝑥 > 3
:
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9 Qual é o conjunto solução da inequação 
R.: Pelas propriedades de inequações exponencias, temos:
10 Obtenha a solução da inequação exponencial .
R.: 
Invertemos a desigualdade pois a base da equação está entre 0 e 1. 
Temos então:
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Resolvendo a inequação, obtemos como raízes 𝑥 = 1 𝑒 𝑥 = 2, cujo gráfico 
é uma parábola de concavidade para cima. Novamente, ao fazermos o 
estudo de sinal da função, teremos que o gráfico admite valores positivos 
para 1 ≤ 𝑥 ≤ 2.
11 O conjunto solução da inequação em que é um 
número real é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
R.:
Note que para o produto de dois fatores seja positivo, devemos ter ambos 
positivos ou ambos negativos. No primeiro caso, temos:
3𝑥 − 9 > 0
3𝑥 > 32
𝑥 > 2
e
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2𝑥 − 8 > 0
2𝑥 > 23
𝑥 > 3
Ao fazermos a intersecção, obtemos 𝑥 > 3.
No segundo caso, temos:
3𝑥 − 9 < 0
3𝑥 < 32
𝑥 < 2
e
2𝑥 − 8 < 0
2𝑥 < 23
𝑥 < 3
Ao fazermos a intersecção, obtemos 𝑥 < 2.
Portanto, fazendo a união dos dois intervalos, temos que a resposta 
correta é 𝑥 < 2 𝑜𝑢 𝑥 > 3. Alternativa "a".
12 O conjunto solução da inequação é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
R.: 
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Temos que a resposta correta é a letra "a", [-2, 2].
13 Em regiões de muito calor, a água evapora com uma intensidade 
maior que nas regiões onde o clima é mais ameno. Considere um lago 
de criação de peixes com de litros de água em que não 
há retirada nem reposição de água durante certo período de seca. A 
quantidade de água no lago nesse período é descrita pela equação 
 sendo a quantidade de água inicial no lago e 
é a quantidade de água no lago após t meses. Em quantos meses a 
quantidade de água no reservatório será reduzida a menos da metade 
do volume inicial?
R.:
14 As substâncias radioativas têm uma tendência natural de se 
desintegrar, emitindo partículas e transformando-se numa nova 
substância. Consequentemente, com o passar do tempo, a quantidade 
da substância radioativa diminui. Assim, considerando-se uma 
massa inicial de 32g de radônio, t dias depois, sua massa M será, 
aproximadamente, . Em um dia, quantos gramas de 
radônio desintegrou? 
a) 26,72g
b) 2,672g
c) 5,28g
d) 0,528g
e) 25,72g
:
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R.: Para 𝑡 = 1, temos:
32 ∙ 0,83501 = 32 ⋅ 0,835 = 26,72
32 − 26,72 = 5,28 𝑔
Portanto, a resposta correta é a alternativa "c".
15 Uma colônia de bactérias A cresce segundo a equação , 
e uma colônia B cresce segundo a equação , sendo t o 
tempo em horas. De acordo com essas equações, imediatamente após 
um instante t’, o número de bactérias da colônia A é maior do que o 
número de bactérias da colônia B. Pode-se afirmar então que:
a) t’ é um número ímpar
b) t’ é divisível por 3
c) o dobro de t’ é maior do que 7
d) t’ é maior do que 15
e) t’ é múltiplo de 5
R.: Temos:
𝑎 (𝑡 ) = 2 ⋅ 4ᵗ = 2 ⋅ (22)𝑡 = 22𝑡 +1
𝑏 (𝑡 ) = 32 ⋅ 2𝑡 = 25 ⋅ 2𝑡 = 2𝑡 +5
e
𝑎 (𝑡 ) = 𝑏 (𝑡 )
22𝑡 +1 = 2𝑡 +5
2𝑡 + 1 = 𝑡 + 5
𝑡 = 4
Portanto, a resposta correta é a alternativa "c", o dobro de t é maior 
que 7.
UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 Considere a relação ( ) }²|,{ xxyBAyxR −=∈= X e os conjuntos A 
= {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
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a) Determine o conjunto R. 
b) Determine domínio e imagem da relação R.
c) R é uma função de A em B? Justifique sua resposta.
R.: a)
Os valores de x são elementos do conjunto A, para cada um deles, 
calculamos o valor de y e se ele estiver em B, formarão um par ordenado 
(x,y) de R.
O conjunto R é o conjunto dos pares ordenados (𝑥 , 𝑦 ) tais que 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥 .
Para 𝑥 = 1, temos:
𝑦 = 12 − 1
𝑦 = 0
Portanto, (1,0) é umpar ordenado do conjunto R.
Para 𝑥 = 2, temos:
𝑦 = 22 − 2
𝑦 = 2
Portanto, (2,2) é um par ordenado do conjunto R.
Para 𝑥 = 3, temos:
𝑦 = 32 − 3
𝑦 = 6
Portanto, (3,7) é um par ordenado do conjunto R.
Então 𝑅 = {(1,0), (2,2), (3,6)}
 
b)
O domínio de R são todos os elementos de A que mantém correspondência 
com algum elemento de B.
Portanto, 𝐷(𝑅 ) = {1, 2, 3}.
A imagem de R são os elementos resultantes de x quando aplicado na 
função.
Portanto, 𝐼𝑚(𝑅 ) = {0,2,7}. 
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c) 
Como todos os elementos de A se relacionam com algum elemento de B e, 
além disso, cada elemento de A só se relacionou com um único elemento 
de B, R é função de A em B.
2 Considere as funções com domínio nos números reais dadas por 
² e 92)( +−= xxg . 
a) Calcule o valor de 
)1(
)1()0(
f
gf +
 
b) Determine o valor de x tal que f(x) = g(x).
R.: 
a) Temos que 𝑓(0) é o valor da função quando substituímos 0 em x. Vejamos:
𝑓(0) = 3 ⋅ 02 − 0 + 5 = 5
Da mesma forma:
𝑔(1) = −2 ⋅ 1 + 9 = 7
e
𝑓(1) = 3 ⋅ 12 − 1 + 5 = 7
Assim:
b) Temos 𝑓(𝑥 ) = 3𝑥 2 − 𝑥 + 5 e 𝑔(𝑥 ) = −2𝑥 + 9. Então, para que 𝑓(𝑥 ) = 𝑔(𝑥 ),
3𝑥 2 − 𝑥 + 5 = −2𝑥 + 9
3𝑥 2 + 𝑥 − 4 = 0
Resolvendo a equação utilizando a fórmula de Bhaskara, temos
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3 Determine o domínio das funções definidas por: 
a) 
3
13
−
+
=
x
xy 
b) 
42
254
+−
+
=
x
xy
R.: 
a) É preciso verificar a condição de existência.
Primeiramente, no conjunto dos números reais, o radicando de raiz de 
índice par não podem ser negativos, além disso, o denominador deve ser 
diferente de zero, então:
𝑥 − 3 > 0
𝑥 > 3
Portanto, o domínio de 𝑦 é o conjunto:
b) Analogamente a questão anterior, o radicando não pode ser negativo, 
tanto no numerador, quanto no denominador. Então, devemos ter:
:
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4 Observe a função f cujo gráfico está representado.
a) Indique o domínio e a imagem de f.
b) Indique os intervalos onde f é crescente e decrescente.
c) Indique os intervalos onde f > 0 e f < 0.
d) Calcule o valor de f(0) + f(2) + f(4) + f(8) + f(12) + f(24)
R.: Solução. Observando os valores mostrados no gráfico, temos:
a) No eixo x, os valores variam de 0 a 24. Portanto, 𝐷(𝑓) = [0,24]. No eixo y, 
os valores variam de -5 a 13. Portanto, 𝐼𝑚(𝑓) = [−5,3].
b) Pelo gráfico, podemos observar que a função é crescente no intervalo 
[4,12] e decrescente nos intervalos [0,4] e [12,24].
c) Os pontos onde o gráfico intersecta o eixo x representam as raízes da 
função, ou seja, os pontos tais que f(x) = 0.
Ao observarmos o gráfico, podemos verificar que o gráfico está acima do 
eixo x nos intervalos ]0,2[ e ]8,24[.
Analogamente, o gráfico está abaixo do eixo x no intervalo ]2,8[.
Logo, f>0 nos intervalos ]0,2[ e ]8,24[ e f<0 no intervalo ]2,8[.
d) Temos que f(0) é o valor que a função assume no ponto 0 e esse valor é 
representado no eixo y.
Ao observarmos o gráfico, vemos que:
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𝑆𝑒 𝑥 = 0, 𝑡 𝑒 𝑚𝑜𝑠 𝑦 = 3. 𝐸𝑛𝑡 ã𝑜, 𝑓(0) = 3
𝑆𝑒 𝑥 = 2, 𝑡 𝑒 𝑚𝑜𝑠 𝑦 = 0. 𝐸𝑛𝑡 ã𝑜, 𝑓(2) = 0.
𝑆𝑒 𝑥 = 4, 𝑡 𝑒 𝑚𝑜𝑠 𝑦 = − 5. 𝐸𝑛𝑡 ã𝑜, 𝑓(4) = − 5.
𝑆𝑒 𝑥 = 8, 𝑡 𝑒 𝑚𝑜𝑠 𝑦 = 0. 𝐸𝑛𝑡 ã𝑜, 𝑓(8) = 0.
𝑆𝑒 𝑥 = 12, 𝑡 𝑒 𝑚𝑜𝑠 𝑦 = 13. 𝐸𝑛𝑡 ã𝑜, 𝑓(12) = 13.
𝑆𝑒 𝑥 = 24, 𝑡 𝑒 𝑚𝑜𝑠 𝑦 = 5. 𝐸𝑛𝑡 ã𝑜, 𝑓(24) = 5.
Então:
𝑓(0) + 𝑓(2) + 𝑓(4) + 𝑓(8) + 𝑓(12) + 𝑓(24) = 3 + 0 + (−5) + 0 + 13 + 5 = 16.
5 Considere a função 2
35)(
+
+=
x
xf , definida em R– {– 2}. 
Determine:
a) )5(−f 
b) O elemento do domínio cuja imagem é igual a 1− .
R.: a) Devemos substituir o valor de x na função por – 5.
Portanto:
b) Precisamos encontrar qual o valor x do domínio da função tal que f(x) = - 1.
Ou seja:
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6 Considere as funções f e g definidas por 
x
xxf ²1)( −= e xxg =)( . 
Determine o valor de 
)4(
)2(
g
f −
.
R.:
Além disso:
𝑔(4) = √4
𝑔(4) = 2
Então:
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7 Dado o gráfico da função f mostrada, responda:
a) Ao observarmos o gráfico, podemos concluir que o domínio de f são os 
valores da função no eixo x. Então:
𝐷(𝑓) = [−3,6]
e
𝐼𝑚(𝑓) = [−3,3]
Como o ponto (2,3) estar aberto, dessa forma x = 2 não possui duas 
imagens, visto que o ponto (2,-3) está no gráfico.
b) Ao observarmos o gráfico, podemos ver que a função não é crescente 
em nenhum intervalo.
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c) Da mesma forma, a função é decrescente no intervalo [-3,2].
d) Vamos encontrar os valores de f(5), f(-3) e f(2), de acordo com o gráfico.
𝑆𝑒 𝑥 = 5, 𝑡 𝑒 𝑚𝑜𝑠 𝑦 = 3. 𝐸𝑛𝑡 ã𝑜, 𝑓(5) = 3
𝑆𝑒 𝑥 = −3, 𝑡 𝑒 𝑚𝑜𝑠 𝑦 = 1. 𝐸𝑛𝑡 ã𝑜, 𝑓(−3) = 1.
𝑆𝑒 𝑥 = 2, 𝑡 𝑒 𝑚𝑜𝑠 𝑦 = 3. 𝐸𝑛𝑡 ã𝑜, 𝑓(2) = −3.
Portanto:
8 Seja a relação R = {(x,y) em N×N | y = 8 – 2x} (N é o conjunto 
 dos números naturais). Determine todos os pares ordenados que 
 pertençam à relação R, indicando seu domínio e sua imagem.
R: Note que 𝑦 = 8 − 2𝑥 pertence ao conjunto dos números naturais, 
portanto não pode ser
negativo. Vejamos.
Para x = 0, temos:
𝑦 = 8 − 2 ⋅ 0
𝑦 = 8
Para x = 1, temos:
𝑦 = 8 − 2 ⋅ 1
𝑦 = 6
Para x = 2, temos:
𝑦 = 8 − 2 ⋅ 2
𝑦 = 4
Para x = 3, temos:
𝑦 = 8 − 2 ⋅ 3
𝑦 = 2
Para x = 4, temos
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𝑦 = 8 − 2 ⋅ 4
𝑦 = 0
Para x = 5, temos
𝑦 = 8 − 2 ⋅ 5
𝑦 = −2
Note que a partir deste valor, x = 5, y irá assumir valores negativos.
Portanto:
𝑆𝑒 𝑥 = 0, 𝑡 𝑒 𝑚𝑜𝑠 𝑦 = 8.
𝑆𝑒 𝑥 = 2, 𝑡 𝑒 𝑚𝑜𝑠 𝑦 = 4.
𝑆𝑒 𝑥 = 3, 𝑡 𝑒 𝑚𝑜𝑠 𝑦 = 2.
𝑆𝑒 𝑥 = 4, 𝑡 𝑒 𝑚𝑜𝑠 𝑦 = 0.
Portanto, os possíveis valores de x são 0, 1, 2, 3 e 4. Logo:
𝐷(𝑅 ) = {0, 1, 2, 3, 4}
Além disso, os valores que y irá assumir será 8, 6, 4, 2, 0.
𝐼𝑚(𝑅 ) = {8, 6, 4, 2, 0}
Portanto, os pares ordenados que pertencem a relação R são:
𝑅 = {(0,8), (1, 6), (2, 4), (3, 2), (4,0)}
TÓPICO 2
1 Faça os gráficos das funções:
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R: Devemos utilizar os vários tipos de representações de uma função: 
tabelar, algébrica e gráfica.
𝑎 ) 𝑦 = −𝑥 + 1
Utilizando os pontos cartesianos da quarta coluna, obtemos o seguinte 
gráfico:
𝑏 ) 𝑦 = 3𝑥 + 2
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Utilizando os pontos cartesianos da quarta coluna, obtemos o seguinte 
gráfico:
𝑐 )
Utilizando os pontos cartesianos da quarta coluna, obtemos o seguinte 
gráfico:
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2 (Faap-SP) Em 1999, uma indústria fabricou 4000 unidades de um 
determinado produto. A cada ano, porém, acrescenta duzentas e 
cinquenta unidades à sua produção. Se esse ritmo de crescimento 
for mantido, a produção da indústria num ano t qualquer será:
R:
Considerando 𝑡 o número de anos e que a cada ano a indústria acrescentará 
250 unidades na sua produção, vamos partir do ano 1999 em que foram 
fabricadas 4000 unidades.
Taxa inicial (fixa) = 4000
Taxa variável = 250 (a cada ano)
𝑑)
Utilizando os pontos cartesianos da quarta coluna, obtemos o seguinte 
gráfico:
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𝑃 = 400 + 250 . 𝑡 
Portanto, alternativa correta letra "c". 
3 Na lei xay 5,2+= , em que a é uma constante, está relacionado o 
valor total (y), em reais, pago por um usuário que acessou a Internet 
por x horas, em um cybercafé. Sabendo que uma pessoa que usou 
a rede por 2 horas pagou R$ 8,00:
a) Determine o valor de a.
b) Encontre o valor pago por um usuário que acessou a rede por 5 horas.
c) Faça o gráfico de y em função de x (é permitido fracionamento de horas).
R.:
a) Temos, 𝑥 = 2 e 𝑦 = 8.
Vamos substituir na lei de formação 𝑦 = 𝑎 + 2,5𝑥 .
𝑦 = 𝑎 + 2,5𝑥 
8 = 𝑎 + 2,5.2
8 = 𝑎 + 5
𝑎 = 8 − 5
𝑎 = 3
Portanto, 𝑎 = 3.
b) Para saber o valor a ser pago por um acesso de 5 horas, devemos 
substituir o 𝑥 por 5.
𝑦 = 3 + 2,5 . 5
𝑦 = 15,5 𝑟𝑒 𝑎 𝑖𝑠 
Logo, o valor a ser pago durante 5 horas de acesso é de 𝑅 $15,50.
c) Para construir o gráfico, utilizaremos a representação tabelar e algébrica 
de uma função.
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4 O valor de uma máquina agrícola adquirida por U$$ 5000,00 sofre, nos 
primeiros anos, depreciação (desvalorização) linear de U$$ 240,00 
por ano, até atingir 28% do valor de aquisição, estabilizando em torno 
desse valor mínimo.
a) Qual é o tempo transcorrido até a estabilização de seu valor?
b) Qual é o valor mínimo da máquina?
c) Faça um gráfico que represente a situação descrita no problema.
Utilizando os pontos cartesianos da quarta coluna, obtemos o seguinte 
gráfico:
R:
a) Sendo, y = valor e x = tempo, temos:
𝑦 = 5000 − 240 . 𝑥 
Estabiliza em: 28% de 5000 = 0,28 x 5000 = 1400
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b) O valor mínimo da máquina é dado pela estabilização do seu valor 
decorrente da depreciação calculada no item anterior. Portanto, o valor 
mínimo que a máquina atingiu foi de 𝑈$$1400,00.
c) A linha verde seria o gráfico para a situação problema acima, visto 
que desde o momento da compra da máquina o preço depreciará e só 
estabilizará decorridos 15 anos.
5 (Unicamp – PE) A função definida no conjunto dos reais, representada 
pelo gráfico na figura a seguir, é:
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R.:
Como temos os pontos podemos fazer a substituições de valores de “x” e 
“y” para verificar a igualdade.
Porém, podemos descartar as letras “a” e “b”, pois as duas apresentam x², 
portanto teríamos no gráfico uma representação de parábola e não de uma 
reta. Já a letra “c” é uma função linear, perceba que não tem a constante, 
portanto a reta deveria passar pelo ponto de origem (0,0).
Temos as letras “d” e “e” para analisarmos.
Letra d:
𝑦 = 𝑥 + 2
Logo, substituindo (0,2):
𝑦 = 𝑥 + 2
2 = 0 + 2
2 = 2
Substituindo (-2,0):
0 = −2 + 2
0 = 0
Letra e:
𝑦 = 2𝑥 + 2
Substituindo (0,2)
2 = 2.0 + 2
2 = 2
Substituindo (-2,0)
𝑦 = 2𝑥 + 2
0 = 2(−2) + 2
0 = −2
Portanto, não ocorre uma igualdade.
A alternativa correta é a letra "d".
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6 Resolva as equações em R das seguintes equações do 1° grau:
R.:
a)
6𝑥 − (2𝑥 + 4) = 3(𝑥 − 1) + 5
6𝑥 − 2𝑥 − 4 = 3𝑥 − 3 + 5
4𝑥 − 3𝑥 = 2 + 4
𝑥 = 6
b)
c)
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d)
7 Um pai quer distribuir R$ 120,00 entre seus três filhos A, B e C, de 
modo que B receba o dobro de C e A receba o dobro de B somado 
ao que cabe a C. Quanto receberá cada um?
R.: Filhos: A (4x + x); B (2x); C (x).
Portanto:
A = 5𝑥 = 5.15 = 75.
B = 2𝑥 = 2.15 = 30.
C = 𝑥 = 15.
Logo, o filho 𝐴 receberá 𝑅 $75,00; o filho 𝐵 receberá 𝑅 $30,00 e o filho 𝐶 
receberá 𝑅 $15,00.
8 (PUC-MG) Para se tornar rentável, uma granja deve enviar para o 
abate x frangos por dia, de modo que seja satisfeita a desigualdade 
 Nessas condições, pode-se afirmar que o 
menor valor de x é:
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9 Resolva as inequações produto e quociente:
R.:
a)
a) (x) 100. 
b) ( ) 200. 
c) ( ) 300. 
d) ( ) 400.
R.:
Portanto, a alternativa correta é a letra "a".
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b)
c)
d)
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10 (U.F Viçosa – MG) Um comerciante deseja comprar um entre dois 
carros usados. O carro A custa R$ 5000,00 e faz 8,4 quilômetros por 
litro de gasolina, enquanto o B custa R$ 7000,00 e faz 12 quilômetros 
por litro. A gasolina custa cerca de R$ 2,00 o litro. Ambos os carros 
estão em boas condições, portanto, espera-se que o custo de 
consertos seja desprezível em médio prazo. Considerando esses 
dados, faça o que se pede:
a) Calcule o valor, em reais, gasto com combustível dos carros A e B, após 
rodarem 2520km.
R.:
b) Analise o gráfico abaixo, que representa quilômetros rodados por gastos 
(com combustível e custo do carro) e determine quantos quilômetros o 
comerciante deve rodar antes que o carro B se torne a melhor compra.
R.:
Para saber o ponto no gráfico em que ambas as funções se interceptam 
devemos igualar as duas funções para encontrar o ponto de intersecção. 
Assim:
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Logo, a partir de 28000𝑘𝑚 rodados o carro 𝐵 se torna a melhor compra.
TÓPICO 3
1 (ANGLO) O vértice da parábola y = 2x2 - 4x + 5 é o ponto:
a) (2, 5). 
b) (1, -3). 
c) (-1, 11). 
d) (3, 1). 
e) (1, 3).
R.: a = 2; b = - 4; c = 5.
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Portanto, a alternativa correta é a letra "e".
2 (ANGLO) A função f(x) = x2 - 4x + k tem o valor mínimo igual a 8. O 
valor de k é:
a) ( ) 8. 
b) ( ) 10. 
c) (x) 12. 
d) ( ) 14. 
e) ( ) 16.
R.:
Portanto, a alternativa correta é a letra "c".
3 (ANGLO) Se o vértice da parábola dada por y = x2 - 4x + m é o ponto 
(2, 5), então o valor de m é:
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R.: Temos os vértices: Xv = 2 e Yv = 5. Utilizamos a fórmula do vértice do 
ponto mínimo para encontrar o discriminante:
Resolvemos a equação para encontrar o valor do “m”: x² - 4x + m, sendo 
que: a = 1; b = -4; c = m.
Portanto, alternativa correta letra "d".
4 (VUNESP) A parábola de equação y = ax2 passa pelo vértice da 
parábola y = 4x - x2. Ache o valor de a:
a) (x) 1. 
b) ( ) 2. 
c) ( ) 3. 
d) ( ) -1. 
e) ( ) Nenhuma das alternativas.
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R.: 
Temos a equação y = ax².
Vértice da parábola y = 4x – x².
Vamos encontrar os vértices:
Portanto, alternativa correta letra "a".
5 (METODISTA) O valor mínimo da função f(x) = x2 - kx + 15 é -1. O 
valor de k, sabendo que k < 0, é:
a) ( ) -10. 
b) (x) -8. 
c) ( ) -6. 
d) ( ) -1/2. 
e) ( ) -1/8.
R.: A função é f(x) = x² - kx + 15, sendo que: a = 1; b = -k, c = 15. Logo, a > 0, 
a função tem a concavidade para cima, logo, tem um ponto mínimo. Temos 
que Yv = -1.
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Como k < 0, então k = - 8.
Portanto, alternativa correta letra "b".
6 (ANGLO) Considere a parábola de equação y = x2 - 4x + m. Para que a 
abscissa e a ordenada do vértice dessa parábola sejam iguais, então 
m deve ser igual a:
a) ( ) -14. 
b) ( ) -10. 
c) ( ) 2. 
d) ( ) 4. 
e) (x) 6.
R.:
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7 (UFPE) Planeja-se construir duas estradas em uma região plana. 
Colocando coordenadas cartesianas na região, as estradas ficam 
representadas pelas partes dos gráficos da parábola y = - x2 + 10x e 
da reta y = 4x + 5, com 2 ≤ x ≤ 8. Qual é a soma das coordenadas do 
ponto representando a interseção das estradas?
a) ( ) 20. 
b) ( ) 25. 
c) (x) 30. 
d) ( ) 35. 
e) ( ) 40.
R.: 
Portanto, alternativa correta é a letra "e".
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Conforme o problema o “x” está entre 2 e 8. Portanto, o único x que 
satisfaz é 5.
Agora, deve-se encontrar o valor de “y”.
𝑦 = 4𝑥 + 5
𝑦 = 4.5 + 5
𝑦 = 25
Temos as coordenadas (5, 25). Logo, soma das coordenadas, 5 + 25 = 30.
Portanto, a alternativa correta letra "c".
8 (FATEC) A distância do vértice da parábola y= -x2 + 8x - 17 ao eixo das 
abscissas é:
a) (x) 1. 
b) ( ) 4. 
c) ( ) 8. 
d) ( ) 17. 
e) ( ) 34.
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O eixo das abscissas é o eixo x, dessa forma a distância entre vértice e tal 
eixo é igual a 1. Pode-se observar na figura abaixo:
Portanto, alternativa correta letra "a".
9 (MACK) O gráfico da função real definida por y = x2 + mx + (15 - m) 
tangencia o eixo das abscissas e corta o eixo das ordenadas no 
ponto (0, k). Se a abscissa do vértice da parábola é negativa, k vale:
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a) ( ) 25.
b) ( ) 18. 
c) ( ) 12. 
d) (x) 9. 
e) ( ) 6.
R.: Tangencia o eixo das abscissas, então é porque a função tem duas 
raízes reais e iguais.
Dessa forma, o delta, deverá ser igual a zero.
Temos:
Δ = 𝑏 2 − 4𝑎 𝑐 
Δ = (𝑚)2 − 4.1. (15 − 𝑚)
Δ = 𝑚2 − 60 + 4𝑚
Assim, 𝑚2 + 4𝑚 − 60 = 0
Calculando a equação do segundo grau temos:
𝑚2 + 4𝑚 − 60 = 0
𝑚′ = 6
𝑚" = −10
Além disso, temos a informação que a parábola corta o eixo das 
ordenadas no ponto (0, k).
Ou seja, k = c = 15 – m.
Abscissa do vértice:
Abscissa deve ser negativa, então m = 6.
Logo, k = 15 – m = 15 – 6 = 9.
Portanto, a alternativa correta é a letra "d".
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10 (FUVEST) Os pontos (0, 0) e (2, 1) estão no gráfico de uma função 
quadrática f. O mínimo de f é assumido no ponto de abscissa x = - 1/ 
4. Logo, o valor de f(1) é:
a) ( ) 1/10. 
b) ( ) 2/10. 
c) (x) 3/10. 
d) ( ) 4/10. 
e) ( ) 5/10.
R.: A Função Quadrática é da forma 𝑓(𝑥 ) = 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 .
Temos os pontos (0, 0) e (2, 1), nessa ordem (x, y).
Vamos substituir na função quadrática:
𝑓(0) = 0
𝑓(2) = 1
Para:
𝑓(0) = 0
0 = 𝑎 . 02 + 𝑏 . 0 + 𝑐 
𝑐 = 0
Para:
𝑓(2) = 1
1 = 𝑎 (2)2 + 𝑏 . 2 + 𝑐 
4𝑎 + 2𝑏 + 0 = 1
4𝑎 + 2𝑏 = 1
O mínimo de f é assumindo no ponto de abscissa x = -1/4.
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OPortanto, a alternativa correta letra "c".
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11 (FATEC) O gráfico de uma função f, do 2º grau, corta o eixo das 
abcissas para x = 1 e x = 5. O ponto de máximo de f coincide com 
o ponto de mínimo da função g, de R em R, definida por g(x) = (2/9) 
x2 - (4/3)x + 6. A função f pode ser definida por:
a) ( ) y = -x² + 6x + 5. 
b) ( ) y = -x² - 6x + 5. 
c) ( ) y = -x² - 6x – 5. 
d) (x) y = -x² + 6x – 5. 
e) ( ) y = x² - 6x + 5.
R.: Forma fatorada, a partir das raízes de f:
𝑓(𝑥 ) = 𝑎 (𝑥 − 1). (𝑥 − 5)
𝑓(𝑥 ) = 𝑎 𝑥 2 − 6𝑎 𝑥 + 5𝑎 
Devemos calcular o ponto mínimo para funçãog:
Dessa forma, o ponto mínimo de g, que é o ponto máximo de f é: (3,4).
𝑓(3) = 4
𝑓(𝑥 ) = 𝑎 𝑥 2 − 6𝑎 𝑥 + 5𝑎 
4 = 𝑎 . 32 − 6𝑎 . 3 + 5𝑎 
4 = 9𝑎 − 18𝑎 + 5𝑎 
4 = −4𝑎 
𝑎 = −1
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Então:
𝑓(𝑥 ) = 𝑎 𝑥 2 − 6𝑎 𝑥 + 5𝑎 
𝑓(𝑥 ) = (−1)𝑥 ² − 6(−1)𝑥 + 5(−1)
𝑓(𝑥 ) = −𝑥 2 + 6𝑥 − 5
Portanto, alternativa correta letra "d".
12 (UEL) A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 
 20, tem um valor:
a) ( ) Mínimo, igual a -16, para x = 6. 
b) ( ) Mínimo, igual a 16, para x = -12.
c) (x) Máximo, igual a 56, para x = 6. 
d) ( ) Máximo, igual a 72, para x = 12.
R.: Vamos determinar as coordenadas do vértice: 
Portanto, alternativa correta letra "c".
13 (UFMG) Nesta figura está representada a parábola de vértice V, 
 gráfico da função de segundo grau, cuja expressão é:
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Por meio do gráfico, podemos obter algumas informações referente as 
coordenadas pertencentes à parábola: (0,0); (6,0) e (3,9).
Sabemos que quando x = 0, então y = 0.
Logo:
𝑦 = 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 
0 = 𝑎 . 02 + 𝑏 . 0 + 𝑐 
𝑐 = 0
Sabemos que quando x = 6, então y = 0.
𝑦 = 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 
0 = 𝑎 . 62 + 𝑏 . 6 + 0
−6𝑏 = 36𝑎 
𝑏 = −6𝑎 
Sabemos que quando x = 3, então y = 9.
Então:
𝑎 = −1
𝑏 = −6𝑎 
𝑏 = −6(−1)
𝑏 = 6
Logo: 𝑎 = −1; 𝑏 = 6; 𝑐 = 0
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a) Determine a equação da reta r.
b) Determine a equação dessa parábola.
R.: Temos os pontos (-4, -24) e (2,0)
Para (-4,-24)
𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 
−24 = −4𝑎 + 𝑏 
Para (2,0)
𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 
0 = 2𝑎 + 𝑏 
𝑏 = −2𝑎 
Substituindo b na primeira equação: 
14 (UFMG) Nesta figura, a reta r intercepta a parábola nos pontos (-4, 
-24) e (2, 0).
Então: 𝑦 = −𝑥 2 + 6𝑥 
Portanto, alternativa correta letra "b".
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Substituindo a na segunda equação:
𝑏 = −2𝑎 
𝑏 = −2.4
𝑏 = −8
Então, y = 4x – 8
Equação reduzida da reta r. 
 
b) Por meio do gráfico, podemos obter algumas as coordenadas 
pertencentes à parábola:
(0,0); (-4,-24) e (2,0).
Coordenadas (0,0):
𝑦 = 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 
0 = 𝑎 . 02 + 𝑏 . 0 + 𝑐 
𝑐 = 0
Coordenadas (-4, -24):
𝑦 = 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 
−24 = 𝑎 (−4)2 + 𝑏 (−4) + 0
−24 = 16𝑎 − 4𝑏 
Simplifica a equação por 4:
−6 = 4𝑎 − 𝑏 
Coordenadas (2,0):
𝑦 = 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 
0 = 𝑎 . (2)2 + 𝑏 . 2 + 0
0 = 4𝑎 + 2𝑏 
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Logo:
 
Temos a = -1; b = 2; c = 0.
A equação dessa parábola será, 𝑦 = −𝑥 2 + 2𝑥 .
15 (UFPE) O gráfico da função y = ax² + bx + c é a parábola da figura 
 a seguir. Os valores de a, b e c são, respectivamente:
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a) ( ) 1, - 6 e 0. 
b) ( ) - 5, 30 e 0. 
c) ( ) -1, 3 e 0. 
d) (x) -1, 6 e 0. 
e) ( ) -2, 9 e 0.
R.: Temos as raízes da função do segundo grau são (0,0) e (6,0) e o vértice 
da parábola é (3,9).
A parábola tem concavidade voltada para baixo, logo, a < 0.
Sabemos que quando x = 0, então y = 0.
Logo:
𝑦 = 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 
0 = 𝑎 . 02 + 𝑏 . 0 + 𝑐 
𝑐 = 0
Sabemos que quando x = 6, então y = 0.
𝑦 = 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 
0 = 𝑎 . 62 + 𝑏 . 6 + 0
−6𝑏 = 36𝑎 + 0
𝑏 = −6𝑎 
Sabemos que quando x = 3, então y = 9.
𝑦 = 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 
9 = 𝑎 . 32 + (−6𝑎 ). 3 + 0
9 = 9𝑎 − 18𝑎 
9 = −9𝑎 
𝑎 = −1
Logo, a = -1; b = 6; c = 0
Portanto, a alternativa correta letra "d".
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16 (UFSC) A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola, 
 cujo vértice é o ponto V. A equação da reta r é:
A equação da reta r é:
a) ( ) y = -2x + 2. 
b) ( ) y = x + 2. 
c) ( ) y = 2x + 1. 
d) (x) y = 2x + 2. 
e) ( ) y = -2x – 2.
R.: De acordo com o gráfico, f(– 1) = f(3) = 0 e f(0) = 3. Logo, c = 3. 
Encontrando a expressão da função quadrática e o vértice, temos:
𝑓(𝑥 ) = 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 3
Para 𝑓(−1) = 0
𝑎 (−1)2 + 𝑏 (−1) + 3 = 0
𝑎 − 𝑏 = −3
Para 𝑓(3) = 0
𝑎 (3)2 + 𝑏 (3) + 3 = 0
9𝑎 + 3𝑏 = −3
Logo:
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Multiplica a primeira equação por 3:
Temos, a = -1; b = 2; c = 3.
−𝑥 2 + 2𝑥 + 3 = 0
A reta da função afim 𝑓(𝑥 ) = 𝑎 𝑥 + 𝑏 , passando por (-1,0) e (1,4).
Quando, (-1,0)
𝑓(𝑥 ) = 𝑎 𝑥 + 𝑏 
𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 
0 = 𝑎 (−1) + 𝑏 
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0 = −𝑎 + 𝑏 
Quando (1,4)
𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 
4 = 𝑎 . 1 + 𝑏 
4 = 𝑎 + 𝑏 
Logo:
a = 2
Equação da reta r:
𝑓(𝑥 ) = 𝑎 𝑥 + 𝑏 
𝑓(𝑥 ) = 2𝑥 + 2 𝑜𝑢 𝑦 = 2𝑥 + 2.
17 (UEL) Uma função f, do 2º grau, admite as raízes -1/3 e 2, e seu gráfico 
intercepta o eixo y no ponto (0; -4). É correto afirmar que o valor:
a) ( ) Mínimo de f é -5/6. 
b) ( ) Máximo de f é -5/6. 
c) ( ) Mínimo de f é -13/3.
d) ( ) Máximo de f é -49/9. 
e) (x) Mínimo de f é -49/6.
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R.: 
Equação do segundo grau pode ser escrita da forma: a(x – r)(x – r’), sendo 
que r e r’ são as raízes, portanto:
a > 0, a função admite valor mínimo.
Então:
Passa pelo ponto (0, -4), temos:
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18 (CESGRANRIO) O ponto de maior ordenada pertence ao gráfico da 
função real definida por f(x) = (2x - 1)(3 - x), é o par ordenado (a, b). 
Então a -b é igual a:
a) ( ) -39/8. 
b) (x) -11/8. 
c) ( ) 3/8. 
d) ( ) 11/8. 
e) ( ) 39/8.
 
R.: Temos: 
Portanto, alternativa correta letra "e".
:
Portanto, alternativa correta letra "b".
TÓPICO 4
1 Resolva as equações ou inequações a seguir utilizando a noção de 
módulo como distância:
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a) |𝑥 − 4| > |𝑥 − 2|