21251

Prévia do material em texto

Gabarito das Autoatividades
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
(ENG 20 MB)
2012/1
Módulo III
3UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
UNIDADE1
TÓPICO1
Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre 
funções de diversas variáveis.
1 Nos problemas a seguir, calcule o valor da função nos pontos específicos:
a)
b) 
4 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
c) 
d)
ou
5UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
ou 
2 Nos problemas a seguir, descreva o domínio das funções e represente-o 
graficamente:
a)
6 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
A função f não estará definida para valores de x e y que “zerem” o denominador. 
Logo, x e y precisam ser números reais tais que 0y3x4 ≠+ .
Logo, 
Utilizando o software livre Winplot para traçar o gráfico de f, encontramos:
b)
A função g não estará definida para valores de x e y que tornem o radicando 
negativo. Logo, x e y precisam ser números reais tais que 36 - x² + y² ≥ 0.
7UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
Logo, 
Utilizando o Winplot, encontramos o gráfico de g:
c)
A função f não estará definida para valores de x e y que tornem o radicando 
negativo. Logo, x e y precisam ser números reais tais que 02yx ≥−+ .
2
02
≥+
≥−+
yx
yx
Logo, 
Utilizando o Winplot, encontramos o gráfico de f:
8 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
d) 
A função f não estará definida para valores de x e y que “zerem” o 
denominador. Logo, x e y precisam ser números reais tais que 04y2x 22 ≠−+ .
4y2x
04y2x
22
22
≠+
≠−+
Logo, 
Utilizando o Winplot para traçar o gráfico de f, encontramos:
9UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
e) )4ln(),( −+= yxyxf
Sabermos que a função conhecida como logaritmo neperiano (ou logaritmo 
natural), por ser um logaritmo, só é definido para números positivos. Logo, 
para a função f estar definida adequadamente, x e y precisam ser números 
reais tais que 04yx >−+ .
4y2x
04y2x
22
22
≠+
≠−+
Logo, 
Utilizando o Winplot para traçar o gráfico de f, encontramos:
10 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
f) 
A função f não estará definida para valores de x e y que “zerem” o 
denominador. Logo, x e y precisam ser números reais tais que 0y2x ≠−
, ou seja, 0y2x ≠− . Entretanto, mais um cuidado deve ser tomado: não 
existe raiz quadrada de números negativos. Assim, 0y2x ≥− . Portanto 
Logo,
Utilizando o Winplot para traçar o gráfico de f, encontramos:
11UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
TÓPICO 2
Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre 
funções de diversas variáveis.
1 Associe as superfícies de 1 a 4 aos mapas de contorno de A a D.
12 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
(1)
13UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
2 Nas questões a seguir, identifique algebricamente as curvas de nível para 
valores de c dados.
a)
Circunferência com centro
em C(0, 0) e raio
 
5
Circunferência com centro
em C(0, 0) e raio
 
7
Circunferência com centro
em C(0, 0) e raio
 
8
Circunferência com centro
em C(0, 0) e raio
 
3
14 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
b) 
Parábola com a concavidade voltada 
para a direita e vértice na origem.
Parábola com a concavidade voltada 
para a direita e vértice no ponto (-1,0)
Parábola com a concavidade voltada 
para a direita e vértice no ponto (-2,0)
Parábola com a concavidade voltada 
para a direita e vértice no ponto (-3,0)
3 Nas questões a seguir, represente graficamente as curvas de nível das 
funções. Agora, você escolherá alguns valores para c. É importante que você 
faça os gráficos manualmente e, se for possível, utilize o software Winplot 
para conferir ou como apoio nos estudos.
a)
Valores aleatórios: c=1 c=2 c=4
1y9x 22 =+ 2y9x 22 =+ 4y9x 22 =+
15UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
b) ( ) 3, xyyxf −=
Valores aleatórios: c=1 c=2 c=4
1xy 3 =− 2xy 3 =− 
4xy 3 =−
16 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
c) ( ) yxyxg −+= 23,
Valores aleatórios: c=1 c=2 c=4
2yx2
1yx23
−=−
=−+ 
1yx2
2yx23
−=−
=−+ 
1yx2
4yx23
=−
=−+
17UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
TÓPICO 3
Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre 
limite e continuidade de funções de diversas variáveis.
1 Use a definição de limite para mostrar que 
via definição.
Seja 0>δ . Precisamos encontrar 0>δ tal que, se δ<− )1,3()y,x( , então
Ainda,
Se δ<−+−≤ 22 )1y()3x(0 , então 
18 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
Como queremos encontrar δ , precisamos exibi-lo em termos do que 
temos, ou seja, em termos de ε . Então, vamos trabalhar com a segunda 
igualdade.
Por outro lado, 0)3x( 2 ≥− e 0)1y( 2 ≥− , ou seja, 
Tomemos então 
8
ε
=δ .
Então, sempre que δ<− )1,3()y,x( , teremos
como queríamos demonstrar.
2 Nos exercícios a seguir, calcule os limites.
19UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
b)
c)
Observe que, para calcular o limite acima, não basta substituirmos os 
valores na função : neste caso, encontraremos uma 
Precisamos então trabalhar um pouco com a função de forma que, prefe-
rencialmente, o numerador possa ser escrito como um produto envolvendo 
o denominador. 
indeterminação.
Portanto,
20 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
d)
Novamente, se calcularmos a função diretamente no ponto 
(0, 0), chegaremos a uma indeterminação. Vamos então manipular a função 
acima de forma que consigamos contornar este problema.
3 Mostre que não existe.
O primeiro passo é percebermos que a função não está
no ponto (0, 0). Por outro lado, se este limite existisse, significaria que, 
independentemente do caminho que (x, y) percorresse até chegar no ponto 
(0,0), o resultado deveria ser o mesmo. Mostraremos a seguir que o limite 
acima contradirá esta afirmação, ou seja, dependendo do caminho que 
percorrermos, o resultado deste limite será outro.
Para isso, consideremos o conjunto de todas as parábolas que passam pela 
origem 
OBS: Esta escolha de caminhos foi feita depois de uma rápida análise 
da função. A ideia é que f, quando aplicada sobre estas curvas, dependa 
do k, preferencialmente, apenas de k.
21UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
Calculando f nos pontos da forma (x, k·x2), temos
Então, ou seja, o valor do limite de f quando 
(x, y) tendem a (0,0) depende do percurso que estes pontos estão percorrendo 
ao tender a origem, ou seja, dependem de k. De fato, consideremos dois 
valores diferentes para k, por exemplo, k=1 e k=2. Então
Visto que se esse limite depende do caminho que (x, y) percorre até 
chegar no ponto (0,0) conforme visto acima, segue que ele não existe, como 
queríamos demonstrar.
4 Determine o conjunto dos pontos de continuidade de 
Como ( ) 53 , 22 ++= yxyxf é uma função polinomial, então é contínua 
em todo R2.
5 Verifique se a função é contínua no ponto ( )3 ,1 .
Precisamos verificar se a função satisfaz as três condições da Definição 
3.4.1.
22 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
(ii) , portantoo limite existe.
(iii) 
Logo, f é contínua no ponto (1, 3).
é contínua no ponto ( )0 ,0 .
Para a função ser contínua no ponto (0, 0), 
ela precisa satisfazer as três condições.
f está definida no ponto (0, 0);
( ) ( )
)y ,x(flim
0 ,0 y,x → existe;
( ) ( )
)0 ,0(f)y ,x(flim
0 ,0 y,x
=
→ .
(i) 
(ii) 
(iii) 
A condição (i) está satisfeita pela própria definição de f: f(0, 0) = 0
Vamos agora verificar se existe o limite para este ponto.
Note que, se este limite existir, independentemente do caminho que (x, 
y) percorresse até chegar no ponto (0,0), o resultado deve ser o mesmo. 
Mostraremos a seguir que o limite acima contradiz esta afirmação, ou seja, 
dependendo do caminho que percorrermos, o resultado deste limite é outro.
Para isso, consideremos o conjunto de todas as retas que passam pela origem 
OBS: Esta escolha de caminhos foi feita depois de uma rápida análise 
da função. A ideia é que f, quando aplicada sobre estas curvas, dependa 
do k, preferencialmente, apenas de k.
Calculando f nos pontos da forma (x, k·x), temos
23UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
Então, ou seja, o valor do limite de f quando 
(x, y) tendem a (0,0) depende do percurso que estes pontos estão percor-
rendo ao tender a origem, ou seja, dependem de k. De fato, consideremos 
dois valores diferentes para k, por exemplo, k=1 e k=2. Então
Visto que se esse limite depende do caminho que (x, y) percorre até chegar 
no ponto (0,0) conforme visto acima, segue que ele não existe.
Portanto, a condição (ii) não foi satisfeita, implicando a função não ser 
contínua no ponto (0,0).
TÓPICO 4
Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre 
derivadas parciais.
1 A função T(x, y) = 60 -2x² - 3y² representa a temperatura em qualquer 
ponto de uma chapa. Foram calculadas as derivadas parciais no ponto 
( )3 ,2 e chegou-se aos resultados e 18.( ) 83 ,2 −=
∂
∂
x
z ( ) 183 ,2 −=
∂
∂
y
z
Dê os significados para os dois valores obtidos com as derivadas par-
ciais no ponto ( )3 ,2 .
24 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
A temperatura diminui 4 graus centígrados na medida em que x aumenta 
em uma unidade. Então, quando x=2, a temperatura diminuirá 8 graus 
centígrados.
A temperatura diminui 6 graus centígrados na medida em que y aumenta 
em uma unidade. Então, quando y=3, a temperatura diminuirá 18 graus 
centígrados.
2 Nos exercícios a seguir, calcule as derivadas parciais 
x
f
∂
∂
 e 
y
f
∂
∂
 das 
funções:
a) ( ) 432, 2 −−= yxyxf
b) ( ) ( )( )21, 2 +−= yxyxf
c) 
25UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
d) ( )
yx
yxf
+
=
1,
e) ( ) 1, ++= yxeyxf
f) ( ) ( )yxyxf += 2ln,
3 Calcule as derivadas parciais de segunda ordem 
yx
f
∂∂
∂2 , 
yx
f
∂∂
∂2 , 
xy
f
∂∂
∂2 e 
2
2
y
f
∂
∂ das funções a seguir:
a)
26 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
b)
UNIDADE 2
TÓPICO 1
1 Considere as funções f (x, y) = 4y -3x², ( ) 13 −= ttx e ( ) 31 tty −= .
a) Calcule a função composta 
b) Encontre usando o item (a).
c) Encontre usando a regra da cadeia.
27UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
 2 Use a regra da cadeia para determinar 
y
z
∂
∂ e 
y
z
∂
∂ , sabendo que 
22 vuz += , 22 yxu −= e 
OBS: Note que 
28 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
3 Determine a derivada da função implícita f tal que está definida 
pela equação
Seja F a função de duas variáveis reais
Note que F é diferençável, com 
Logo, estamos em condições de aplicarmos o Teorema da Função 
Implícita.
Queremos encontrar Por outro lado,
Substituindo as derivadas de F na equação acima, temos
OBS: Ao resolver este exercício, incluímos a demonstração da fórmula 
final, uma vez que estamos focando no seu aprendizado. Entretanto, na 
hora de resolver um exercício via Teorema da Função Implícita, basta 
verificar se as hipóteses são satisfeitas e, uma vez que isso aconteça, 
aplicar diretamente a fórmula.
4 Se , calcular 
x
z
∂
∂
 e 
y
z
∂
∂
 usando a regra de derivação
de função implícita.
Seja F a função de três variáveis reais 
Note que F é diferenciável, com 
. Logo, estamos em
condições de aplicarmos o Teorema da Função Implícita.
Queremos encontrar ),( yx
x
z
∂
∂ e ),( yx
y
z
∂
∂ . Por outro lado, 
29UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
Como x e y são variáveis e não funções, 0
x
y
=
∂
∂ e 0
x
y
=
∂
∂ . Logo podemos 
reescrever a equação acima como
De modo análogo, mostra-
se que 
Substituindo as equações: 
OBS: Ao resolver este exercício, incluímos a demonstração das fórmulas 
finais, uma vez que estamos focando no seu aprendizado. Entretanto, 
na hora de resolver um exercício via Teorema da Função Implícita, basta 
verificar se as hipóteses são satisfeitas e, uma vez que isso aconteça, 
aplicar diretamente as fórmulas.
5 Mostre que a equação define implicitamente uma 
função derivável 
Precisamos verificar se a função y=f(x) é derivável. Note que F definida 
acima é diferenciável, pois é composta pela soma de funções diferenciáveis. 
Mais precisamente, e 
Visto que supomos y=f(x), pelo Teorema da Função Implícita,
30 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
ou seja, 
Portanto, a função y é diferenciável para todo número real x, tal que 
0ycosx2 ≠+ .
6 O raio de um cone circular reto está aumentando a uma taxa de 3 cm/s e 
a altura está diminuindo a uma taxa de 2 cm/s. A que taxa está variando o 
volume do cone no instante em que a altura é igual a 20 cm e o raio é igual 
a 14 cm?
Volume do cone:
Queremos encontrar 
7 Um carro A está viajando para o norte na rodovia 16, e um carro B está 
viajando para o oeste na rodovia 83. Os dois carros se aproximam da 
interseção dessas rodovias. Em certo momento, o carro A está a 0,3 km 
da interseção viajando a 90 km/h, ao passo que o carro B está a 0,4 km da 
interseção viajando a 80 km/h. Qual a taxa de variação da distância entre os 
carros nesse instante?
31UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
Se chamarmos de D a distância entre os carros A e B em um dado instante 
t, Ax a posição do carro A e Bx a posição do carro B neste mesmo instante 
t, segue que D depende de Ax e Bx . Mais ainda: D pode ser determinada 
através do Teorema de Pitágoras:
Por outro lado, a posição ocupada por cada carro depende da velocidade 
do mesmo e do instante considerado, ou seja, ( ) tvtx BB ⋅= e ( ) tvtx BB ⋅= . 
(Estamos supondo que o movimento seja retilíneo uniforme, ou seja, a 
velocidade constante) Assim, para determinarmos a variação da distância 
entre os carros no instante t, temos que aplicar a regra da cadeia:
Determinemos então as derivadas acima:
32 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
8 Determine 
x
z
∂
∂ e se ( )zyxxyz ++= cos3 .
Seja F a função de três variáveis reais 
Note que F é diferenciável, com 
e
Logo, pelo Teorema da Função Implícita:
9 Determine 
x
z
∂
∂ e 
y
z
∂
∂
 se 
Seja F a função de três variáveis reais ( )zxlnyz)z,y,x(F +−= Note que 
F é diferenciável, com 
Logo, pelo Teorema da Função Implícita:
33UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
TÓPICO 2
Mostre que as funções a seguir são diferenciáveis em 2R .
1 f(x, y) = 3x² y + 4x²
As derivadas parciais existem? Sim:
Dado que as derivadas são contínuas quaisquer que sejam x, y reais, 
segue que f é diferenciável.
2 f(x, y) = x² - 7xy + 2 xy² 
As derivadas parciais existem? Sim:
 Dado que as derivadassão contínuas quaisquer que sejam x, y reais, segue 
que f é diferenciável.
3 f(x, y) = sen (xy²) 
As derivadas parciais existem? Sim:
 Dado que as derivadas são contínuas quaisquer que sejam x, y reais, segue 
que f é diferenciável.
4 Se z = x² - xy + 3y² e (x,y) varia de (3, -1) a (2, 96; - 0,95;), compare os 
valores de dz e ∆z.
dz = ∂z dx + ∂z dy = (2x - y)dx + (- x+ 6y) dy
∂x ∂y
34 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
Tomando x = 3, dx = ∆x = -0,04; y= -1 e dy = ∆y = 0,05; obtemos
Assim, ∆z≈dz.
5 O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm 
e 24 cm, respectivamente, com um erro de medida de, no máximo 0,1 cm. 
Utilize a diferencial para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área 
do retângulo.
R.: a área de um retângulo é dada por A = x.y
Como cada erro é de, no máximo, 0,1 cm, temos e
Usamos dx= 0,1 e dy= 0,1 com x=30 e y=24. 
Então o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo é de dA = 
24 . 0,1 + 30 . 0,1 = 5,4 cm²
6 O período T de um pêndulo simples com uma pequena oscilação é 
calculado da fórmula g
LT π2=
, onde L é o comprimento do pêndulo e 
g é a aceleração da gravidade. Suponha que os valores de L e g tenham 
erros de, no máximo, 0,05% e 0,01%, respectivamente. Use diferenciais para 
aproximar o erro percentual máximo no valor calculado de T.
O período T de um pêndulo simples é dado por 
g
LT π2= .
Sabemos que e 
Como
35UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
temos 
Estimamos o erro percentual máximo cometido no cálculo do período T é 
de 0,03%.
7 O raio de um cilindro circular reto é medido com um erro de, no máximo, 2% 
e altura é medida com um erro de, no máximo, 4%. Qual o erro percentual 
máximo possível no volume calculado?
Nas questões de 8 a 10, determine o vetor gradiente das seguintes funções 
nos pontos indicados:
O volume de um cilindro é dado por 
Sabemos que e 
Como 
temos
Estimamos o erro percentual máximo cometido no cálculo do volume do 
cilindro é de 8%.
8
e
Então,
9
e
36 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
Então,
10
e
Então,
11 Se é a temperatura em graus Celsius, sobre uma
lâmina metálica, x e y medidos em cm, determine a direção de crescimento 
máximo de T a partir do ponto ( )1 ,1 e a taxa máxima de crescimento de T, 
nesse ponto.
e
e
Então, 
TÓPICO 3
Nos exercícios 1 e 2, encontre os pontos críticos das funções dadas.
1 ( ) 26, 22 +−++= xxyyxyxf xy - 6x + 2
As derivadas parciais são e 
37UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
Então, 
Igualando as derivadas parciais a zero e resolvendo o par de equações temos,



=+
=−+
02
062
yx
yx
2
Calculando as derivadas parciais, temos e 
Igualando as derivadas parciais a zero e resolvendo as equações obtemos,
Isola-se y na segunda equação xy 2−= e substitui na segunda equação
ou
Substituímos os valores de x na primeira equação
xy 2−= xy 2−= xy 2−=
Nos exercícios 3 a 7, encontre os pontos críticos e os extremos locais das 
funções dadas.
38 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
3 ( ) xyyxyxf 6, 33 −+= xy
e
Resolvendo o sistema, temos os pontos críticos ( )0 ,0 e ( )2 ,2 .
Agora, calculamos o determinante hessiano. Então,
e 
Temos logo (0,0) é um ponto de sela de f.
Temos e logo ( )2 ,2 é um ponto mínimo local de f.
Portanto, ( )2 ,2 ponto de sela; ( )2 ,2 mínimo local
4
Resolvendo o sistema, temos os pontos críticos ( )0 ,0 , ( )4 ,2 −− e ( )4 ,2 −− .
Agora, calculamos o determinante hessiano. Então,
Temos ( ) 00 ,0 <H , logo ( )0 ,0 é um ponto de sela de f.
39UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
Temos logo ( )2 ,2 é um ponto mínimo local de f.
( )8 ,4 ponto de sela; ( )8 ,4 e ( )4 ,2 −− máximo local
5
Resolvendo o sistema, temos os pontos críticos 





2
3 ,1 e 
Agora, calculamos o determinante hessiano. Então,
Temos 0
2
3 ,1 <




H , logo 





2
3 ,1 é um ponto de sela de f.
Temos e , logo é um ponto mínimo local de 
f.
Portanto, 





2
3 ,1 ponto de sela; mínimo local
6
Resolvendo o sistema, temos os pontos críticos ( )2 ,0 ± , 




 0 ,
3
2 e 





− 0 ,
3
2
.
40 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
Agora, calculamos o determinante hessiano. Então,
Temos ( ) 02 ,0 <H , logo ( )2 ,0 é um ponto de sela de f.
Temos ( ) 02 ,0 <−H , logo ( )2 ,0 − é um ponto de sela de f.
Temos 00 ,
3
2
>




H e 00 ,
3
2
2
2
<





∂
∂
x
f , logo 




 0 ,
3
2
 é um ponto máximo 
local de f.
Temos 00 ,
3
2
>




−H e 00 ,
3
2
2
2
>




−
∂
∂
x
f
, logo 




− 0 ,
3
2
 é um ponto
mínimo local de f.
Portanto, ( )2 ,0 ± ponto de sela; 




 0 ,
3
2
 máximo local; 




− 0 ,
3
2
 mínimo 
local.
7
Resolvendo o sistema, temos os pontos críticos ( )0 ,0 , ( )1 ,1 −− e ( )1 ,1 −− .
Agora, calculamos o determinante hessiano. Então,
41UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
Temos ( ) 00 ,0 <H , logo ( )0 ,0 é um ponto de sela de f.
Temos ( ) 01 ,1 >H e ( ) 01 ,12
2
>
∂
∂
x
f
, logo ( )1 ,1 é um ponto mínimo local de 
f.
Temos ( ) 01 ,1 >−−H e ( )1 ,1 −− , logo ( )1 ,1 −− é um ponto mínimo local de 
f.
Portanto, ( )1 ,1 ponto de sela; ( )1 ,1 e ( )1 ,1 −− mínimo local
8 A temperatura T (°C) em cada ponto de um painel plano é dada pela 
equação T(x, y)= 16 x² + 24x + 40y². Encontre a temperatura nos pontos 
mais quentes e mais frios da região.
Resolvendo o sistema, temos o ponto crítico 



− 0 ,
4
3
.
Agora, calculamos o determinante hessiano. Então,
Temos 00 ,
4
3
>




−H e logo 




− 0 ,
4
3 é um ponto mínimo local
de f.
Portanto, 




− 0 ,
4
3
mínimo local.
9 Um supermercado de uma pequena cidade do interior trabalha com duas 
marcas de suco de laranja, uma marca local que custa no atacado R$ 0,30 
a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa no atacado R$ 
0,40 a garrafa. O dono do supermercado estima que se cobrar x centavos 
pela garrafa da marca local e y centavos pela garrafa da marca nacional, 
venderam 70 yx 4570 +− garrafas da marca local e 80 yx 7680 ++ garrafas 
42 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
da marca nacional por dia. Por quanto o dono do supermercado deve ven-
der as duas marcas de suco de laranja para maximizar o lucro?
Como lucro = lucro com a venda da marca local + lucro com a venda da 
marca nacional
Resolvendo o sistema, temos o ponto crítico (53, 55).
Agora, calculamos o determinante hessiano. Então,
Temos e logo (53, 55) é um ponto mínimo local de f.
Ele deve vender o suco de laranja marca local R$ 0,53 e marca nacional R$ 
0,55
TÓPICO 4
Calcule a integral, onde 41 ,20: ≤≤≤≤ yxR .
1
43UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
2
Calcule a integral, onde xyxR ≤≤≤≤ 0 ,20: .
3 
44 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
5 Encontre a área da região no primeiro quadrante limitada por xy = 2, y = 
1 e y = x + 1.
Calcule, por integração dupla, a área da região limitada determinada pelo 
par de curvas dado.
45UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
6
7
46 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
8 x + y = 5 e xy = 6.
47UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADESE
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
48 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
UNIDADE 3
TÓPICO 1
Nos problemas 1 e 2, resolva, por separação de variáveis, as equações 
diferenciais dadas.
1 
Equação Diferencial Separável
2
Equação Diferencial Separável
Nos problemas 3 e 4, resolva as equações diferenciais lineares de primeira 
ordem dadas.
3
Equação Diferencial Linear de 1ª Ordem
49UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
4 
Equação Diferencial Linear de 1ª Ordem
50 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
Nos problemas 5 e 6, resolva as equações diferenciais exatas a seguir.
5
Equação Diferencial Separável
51UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
6 
Equação Diferencial Exata
Nas EDO a seguir, identifique o tipo de EDO e encontre a função 
desconhecida.
7 223 xyxy =+′
Equação Diferencial Linear de 1ª Ordem
52 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
8
Equação Diferencial Separável
53UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
9 
Equação Diferencial Exata
54 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
10 
Equação Diferencial Separável
55UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
TÓPICO 2
Nos problemas 1 e 2, resolva as equações diferenciais lineares de 
Bernoulli.
1
Equação Diferencial de Bernoulli
56 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
2
Equação Diferencial de Bernoulli
57UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
3 Resolva a equação diferencial homogênea (x- y) dx + x dy = 0.
Equação Diferencial Homogênea
58 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
Nas EDO a seguir, identifique o tipo de EDO e encontre a função desconhecida.
4 
Equação Diferencial Homogênea
59UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
5
Equação Diferencial de Bernoulli
60 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
6
61UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
Equação Diferencial Homogênea
62 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
TÓPICO 3
Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
1. 2.
Duas raízes reais:
Duas raízes reais:
63UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
3. 4.
Duas raízes reais: 
Duas raízes reais: 
64 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
5. 6. 
Duas raízes complexas: 
Duas raízes complexas: 
65UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
E
Q
U
A
Ç
Õ
E
S
 
D
I
F
E
R
E
N
C
I
A
I
S
7. 8. 
Duas raízes complexas: 
Uma raiz real: