Aula 02 - Conjuntos numéricos

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PRÉ-CÁLCULO
REVISÃO DOS FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Aula 02 - Conjuntos numéricos
Autor: EXATAS para Engenheiros Data: 8 de janeiro de 2021.
1 Conjuntos numéricos
1.1 Conjunto dos Números Naturais (N)
São todos os números inteiros e positivos, incluindo o zero.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Subconjunto de N:
• N∗ = {1, 2, 3, 4, 5, ...} = N - {0} (Conjunto dos números naturais não nulos)
1.2 Conjunto dos Números Inteiros (Z)
São números inteiros, positivos e negativos incluindo o zero.
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Veja alguns dos subconjuntos de Z:
• Z∗ = Z - {0} (Conjunto dos número inteiros não nulos)
• Z+ = N (Conjunto dos números inteiros positivos)
• Z− = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} (Conjunto dos números inteiros negativos)
1.3 Conjunto dos Números Racionais (Q)
É formado pelo acréscimo de frações positivas e negativas ao conjunto Z. São números
que utilizamos, como por exemplo, para representar dinheiro, moedas, números fracionários,
decimais exatos e dízimas periódicas.
1
Q = {..., -32 , ..., -1, ..., -
1
2 , ..., 0, ...,
1
4 , ...,
1
3 , ..., 1, ...,
4
3 , ..., 2, ...}
Todo número pertencente a Q, pode ser escrito na forma ab , sendo:
Q = { xx =
a
b , com a e b ∈ Z e b 6= 0}
A representação decimal de um número Q (ab ), é dada pelo quociente entre a e b:
Números inteiros:
25
5
= 5 − 25
5
=−5
Decimais exatas ou finitas:
1
2
= 0,5 − 5
4
=−1,25 75
20
= 3,75
Dízimas periódicas (infinitas):
1
3
= 0,333...
7
6
= 1,1666...= 1,66
6
7
= 0,857142857142...= 0,857142
1.4 Conjunto dos Números Irracionais (I)
R - Q
São os números decimais infinitos, ou seja, não periódicos, portanto, não podem ser escritos
na forma de fração.
Exemplos:
√
2 = 1,4142135...
√
3 = 1,7320508... π = 3,141592...
I = R - Q = {-
√
2, ..., +
√
7, ..., 4
√
8, ..., 3
√
5, ..., π , ..., e, ...}
1.5 Conjunto dos Números Reais (R)
R = União (U) de todos os conjuntos anteriores.
2
1.6 Conjunto dos Números Complexos (C)
Raízes de índice par de números negativos.
C = {...,
√
−2, ..., + 8
√
−7, ..., 4
√
−8, ..., 10
√
−5, ...}
Figura 1: Representação dos conjuntos através do Diagrama de Venn
2 Transformação de números decimais em frações
Para transformar um número decimal em uma fração temos que “tampar” a vírgula, copiar o
número, sendo esse o novo numerador da fração e no denominador devemos colocar o algarismo
1 seguido de algarismos 0, de acordo com a quantidade de casas decimais que o número decimal
apresentar.
Exemplos:
0,4=
4
10
=
2
5
14,3=
143
10
−2,3=−23
10
0,612=
612
1000
=
153
250
3 Intervalos numéricos
Os intervalos são muito utilizados na matemática para representar os números “quebrados”
que existem entre um número e outro, por exemplo, utilizamos o intervalo ]1,2[ para representar
os números existentes entre os números 1 e 2, que podem ser, 1,01; 1,02; 1,987.
Chamamos de intervalos determinados subconjuntos dos números R, determinados por
meio de desigualdades. Dados dois números a e b ∈ R com a < b, temos:
3
3.1 Intervalos finitos
3.1.1 Intervalo fechado
Bola fechada ou cheira à direita e à esquerda.
[a,b] = {x ∈ R | a 6 x 6 b}
Exemplo: [3,5] = {x ∈ R | 3 6 x 6 5}
3.1.2 Intervalo aberto
Bola aberta ou vazia à direita e à esquerda.
]a,b[ = {x ∈ R | a < x < b}
Exemplo: ]3,5[ = {x ∈ R | 3 < x < 5}
3.1.3 Intervalo semi-aberto à direita
Bola fechada à esquerda e aberta à direita.
[a,b[ = {x ∈ R | a 6 x < b}
Exemplo: [3,5[ = {x ∈ R | 3 6 x < 5}
3.1.4 Intervalo semi-aberto à esquerda
Bola aberta à esquerda e fechada à direita.
4
]a,b] = {x ∈ R | a < x 6 b}
Exemplo: ]3,5] = {x ∈ R | 3 < x 6 5}
3.2 Intervalos infinitos
3.2.1 Intervalo fechado à esquerda
Bola fechada à esquerda.
[a, +∞[ = {x ∈ R | x > a }
Exemplo: [3, +∞[ = {x ∈ R | x > 3 }
3.2.2 Intervalo fechado à direita
Bola fechada à direita.
]-∞, b] = {x ∈ R | x 6 b }
Exemplo: ]-∞, 5] = {x ∈ R | x 6 5 }
3.2.3 Intervalo aberto à esquerda
Bola aberta à esquerda.
]a, +∞[ = {x ∈ R | x > a}
5
Exemplo: ]3, +∞[ = {x ∈ R | x > 3}
3.2.4 Intervalo aberto à direita
Bola aberta à direita.
]-∞, b[ = {x ∈ R | x < b}
Exemplo: ]-∞, 5[ = {x ∈ R | x < 5}
3.2.5 Intervalo aberto
]-∞, ∞[ = R
6