Escoamento Compressivel

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Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 1
 
 
• Propriedades na estagnação
• Velocidade do som e número de Mach
• Escoamento isentrópico unidimensional
• Escoamento em bocais: Choque normal e oblíquo
• Características do escoamento real em bocais
Prof. Silvia Azucena Nebra
Aulas 3 - 4 
ESCOAMENTO DE FLUÍDOS COMPRESSÍVEIS
MÁQUINAS TÉRMICAS
 
 
Para entender diversos fenômenos que acontecem em turbinas a gás e a vapor, 
incluindo as turbinas e compressores dos motores supercarregados, é necessário o 
conhecimento de uma série de conceitos relativos ao escoamento de fluídos 
compressíveis. 
Por este motivo, nesta aula serão abordados os conceitos essenciais, relativos ao 
estado de estagnação de um escoamento de gás, propriedades associadas a esse 
estado, assim como o de velocidade do som num fluído e a definição do número de 
Mach. 
Serão também desenvolvidos os conceitos relativos às propriedades dos fluídos, 
estáticas e de estagnação, para escoamento isentrópico de gases ideais. 
No escoamento em bocais, convergentes e divergentes, serão focalizados os efeitos 
que a variação da seção do mesmo produz no escoamento. 
Considerando os fenômenos associados a um escoamento real num bocal, não mais 
isentrópico, senão com perda de carga, serão definidos os conceitos de eficiência do 
bocal, coeficiente de velocidade, coeficiente de descarga e coeficiente de elevação da 
pressão. 
Bibliografia: 
 Moran & Shapiro, Fundamentals of.. , Cap. 9, itens 9.12 a 9.14 
Çengel & Boles, Thermodynamics, Cap. 16. 
Shames, Irving H.; “Mecânica dos Fluídos” , Editora Edgard Blücher, 1973, Volume 2, 
Cap. 12 e 13. 
 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 2
• Propriedades na estagnação
ννpuh ++==
2
V
hh
2
0 ++==
Entalpia: 
Entalpia de estagnação:
Escoamento num duto adiabático : conservação da energia
Volume 
de controle
01
1
1
h
V
h
02
2
2
h
V
h
2
V
h
2
V
h
2
2
2
2
1
1 ++==++
0201 hh ==
 
 
A função termodinâmica entalpia pode ser interpretada como representando a soma da 
energia interna de um fluído mais a sua energia de escoamento, representada pelo 
termo pv. 
 Para escoamentos a alta velocidade é necessário levar em conta a energia cinética. E 
segundo o caso, a energia potencial. 
Quando a energia potencial é desprezível, a entalpia de estagnação (ou total), ho, 
representa a energia total do fluído, seria o valor de entalpia que o fluído alcança 
quando freiado rápidamente, adiabáticamente, ou seja, sem perda de calor, nem 
realização de trabalho de eixo. 
Num escoamento num duto, pode haver variação da velocidade, conseqüentemente, 
haverá variação da entalpia (e da temperatura e pressão) mas se este escoamento for 
sem perda de calor, a entalpia de estagnação não varia. Este fato permite o cálculo de 
propriedades do fluído, a partir das condições iniciais e de alguma informação das 
condições na saída, como aumento da seção do duto, ou velocidade do fluído, etc. 
 
 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 3
Processo de estagnação adiabático, isentrópico
e processo de estagnação adiabático real, irreversível :
 diagrama entalpia - entropia
h
0h
h
iso0p −−
real0p −−
p
estado real
estado isentrópico
de estagnação
Estado de estagnação
 real
2
V 2
2
V
hh
2
0 ++==
s
 
 
No diagrama h-s, foi representado um processo de estagnação ideal (linha cheia), em 
que o fluído com uma certa entalpia h, e velocidade V, é freiado até o repouso, num 
processo a entropia constante. 
No entanto, num processo real (linha pontilhada), no freiado, acontecerá perda de 
pressão no fluído, devido ao atrito viscoso, como este é um processo irreversível, 
haverá aumento da entropia. 
Observe que a entalpia de estagnação é a mesma nos dois casos. Isto é verdadeiro, 
pela conservação da energia, enquanto os dois processos sejam efetivamente 
adiabáticos (sem transferência de calor para as paredes do tubo). 
 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 4
Equações para gases ideais
TcdTch pp ====∆∆ ∫∫
2
2
00
V
TcTch pp ++====
Entalpia:
Entalpia de estagnação:
Temperatura de estagnação:
pc
V
TT
2
2
0 ++==
Pressão de estagnação:
(( ))100 −−




==
k
k
T
T
p
p
ννc
c
k p==
(( ))1100 −−




==
k
T
T
ρρ
ρρVariação da densidade
na estagnação: νν
ρρ
1
==
 
 
No caso de gases ideais, podem ser obtidas algumas relações simples, como as 
apresentadas aqui. 
A entalpia pode ser calculada pela integral do produto do calor específico vezes a 
temperatura do fluido. 
A temperatura de estagnação é a temperatura (maior) que o gás ideal atingiria no 
freiado isentrópico (adiabático). O aumento de temperatura que aconteceria é dado pelo 
termo relacionado à energia cinética dividido pelo calor específico médio entre T e To. 
Também no freiado isentrópico acontecerá um aumento da pressão do gás ideal. A 
equação apresentada é aplicável a processos isentrópicos de gases ideais, e ela é 
obtida a partir de igualar as entropias, a do escoamento e a de estagnação. 
Conseqüentemente, a densidade do gás aumenta também, no mesmo processo. A 
última equação somente lembra que a densidade é a inversa do volume específico. 
 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 5
Propagação de uma onde elástica num gás
o
t∆∆
t∆∆2
t∆∆3
t∆∆4
o
t∆∆
t∆∆2
t∆∆4
o o
CV 〈〈
em repouso
em movimento
 
 
Quando numa massa de gás em repouso, acontece uma pequena perturbação 
localizada de pressão, uma onde de pressão é propagada através do gás com uma 
velocidade que depende da pressão e densidade do gás. Esta velocidade é a 
velocidade do som no gás, que indicaremos com a letra “c”. 
Este processo de propagação acontece muito rapidamente, devido a isto, não há 
possibilidade que aconteça transferência de calor entre camadas adjacentes de gás, por 
este motivo, pode ser considerado adiabático. Além disto, se a amplitude da onda de 
pressão é pequena de modo a não haver alteração permanente da pressão e 
temperatura do gás, este processo será também isentrópico. 
No caso em que o gás se encontre em movimento com velocidade “v”, a velocidade de 
propagação da onda de pressão relativa à velocidade do gás, será ainda igual a “c”. 
Embora, relativa a um ponto fixo, por exemplo, as paredes do canal porque circula o 
gás, a velocidade de propagação será = (c + v) a jusante e (c-v) a montante. 
O rádio da onda de pressão esférica será igual a ct, depois de um tempo t, enquanto 
que seu centro se terá deslocado uma distância vt. Enquanto a velocidade do gás seja 
menor que a velocidade do som, todas as ondas emitidas subseqüentemente estarão 
dentro da frente de onda maior. 
 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 6
o
Propagação de uma onde elástica num gás : cone de Mach
CV 〉〉
o
ct
vt
µµ
vt
ct
arcsen==µµ
Mv
c 1
arcsenarcsen ====µµ
c
v
M Mach de número ====
 
 
Do visto antes se conclui que se a velocidade do gás é igual à velocidade do som, não 
haverá propagação da onda de pressão a montante, enquanto que a velocidade a 
jusante será duplicada. 
No caso em que a velocidade do gás seja maior que a velocidade do som, também não 
haverá propagação da onda de pressão a montante, enquanto que a velocidade a 
jusante será = c+v. 
As frentes de onda esféricas se moverão a jusante a uma velocidade maior à qual o raio 
da onde incrementa, em razão disto, todas as frentes de onda se alojarão dentro de um 
cone que tem seu ápice no ponto de perturbação. 
Este cone é denominado cone de Mach, sendo o seno do seu ângulo característico igual 
à inversa do número de Mach. 
Foi mencionado antes que a onda de pressão, quando é rápida, é um processo 
isentrópico, mas em muitos casos pode acontecer um processo mais forte, com grande 
variação de pressão e temperatura através da frente de onda, nesse caso o processo 
implicará num aumento da entropia, com dissipação irreversível de energia cinética, que 
se manifestará na forma de uma perda da pressão de estagnação. Neste caso a frente 
de onda é uma descontinuidade marcante no escoamento, e recebe o nome deonda de 
choque. 
 
 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 7
• Velocidade do som e número de Mach
c
r
ρρ
h
p
0V ==
r
ρρ∆∆ρρ
∆∆
∆∆
∆∆
++
++
++
hh
pp
V
r
Conservação da massa: )Vc(A)(Ac ∆∆ρρ∆∆ρρρρ −−++==
r
som do velocidade==c
r
0Vc ==−− ∆∆ρρρρ∆∆
r
Conservação da energia: 
2
)Vc(
hh
2
c
h
22 ∆∆
∆∆
−−
++++==++
rr
0Vch ==−− ∆∆∆∆
Segunda lei, processo isentrópico: 0
p
hsT ==−−==
ρρ
∆∆
∆∆∆∆
ρρ
∆∆
∆∆
p
h ==
ou:
ou:
ou:
Combinando as três equações: 
s
0
2 plimc 




== →→ ρρ∆∆
∆∆
∆∆
r
ou:
s
p
c 





∂∂
∂∂==
ρρ
r
 
 
A velocidade do som num fluído é a velocidade à qual uma onda de pressão infinitesimal 
se desloca dentro dele. Esta velocidade depende das condições de pressão e 
temperatura em que o fluído se encontra. 
Considere um volume de controle que inclua a onda de pressão, e se movimente com 
ela. Para um observador que se movimenta com este volume de controle (com a onda), 
o fluído à direita dele parece estar movimentando-se (para a esquerda) na direção da 
frente de onda com uma velocidade “c”, e o fluído da esquerda dele, parece 
movimentar-se também para a esquerda com uma velocidade (c-dV), ficando cada vez 
mais longe da frente de onda. 
A equação de conservação da massa, e a equação de conservação da energia foram 
escritas do ponto de vista deste observador. 
Para obter as expressões à direita foram desprezados os termos em delta ao quadrado. 
A expressão para obter a velocidade do som em função de pressão e densidade é 
obtida trabalhando algebricamente com as três equações à direita. 
Para obter o valor da velocidade do som é necessária uma equação de estado do fluído, 
que relacione pressão e densidade (ou pressão e volume específico). Depois é 
necessário equacionar o processo isentrópico. Isto é possível de fazer facilmente no 
caso de gases ideais. 
 
 
 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 8
Velocidade do som em gases ideais
RT
p
==
ρρ
k
k
p
p ρρ
ρρ1
1==Equação de estado: Processo isentrópico:
ρρρρ
ρρρρ
ρρρρ
p
kk
pp k
k
s
==







==





∂∂
∂∂ −− )1(
1
1Efetuando a derivada indicada:
kRT
p
kc ====
ρρ
rObtém-se uma expressão para o cálculo da
velocidade do som num gás ideal
Número de Mach
c
V
M r
r
==
subsônico escoamento 1M
sônico 1M
osupersônic escoamento 1M
<<
==
>>
 
 
A partir da equação de estado e das equações próprias para processos isentrópicos dos 
gases ideais , pode-se obter a derivada da pressão em relação à densidade, necessária 
para o cálculo da velocidade do som no gás. 
Como se observa, a partir da última equação obtida, a velocidade do som depende da 
constante do gás, R, da relação dos calores específicos a pressão e volume constante 
(gamma) e da temperatura. Ou seja, ela depende afinal apenas da temperatura e do tipo 
de gás. 
O número de Mach é um identificador de um objeto em vôo. Também, normalmente, 
regimes de escoamento são definidos em função da relação da velocidade do 
escoamento com a velocidade do som calculada para as condições em que o fluído se 
encontra. Para regimes de escoamento supersônico a velocidades muito altas utiliza-se 
também o termo: hipersônico. 
O termo transônico utiliza-se para indicar um escoamento próximo do sônico. 
 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 9
• Escoamento isentrópico unidimensional
Variação da velocidade do fluído com a seção da tubulação
Conservação da massa, num
escoamento em regime permanente:
tetanconsvazãoVA ====
r
ρρ
Diferenciando em relação às três
variáveis e dividindo pela vazão:
0
V
Vd
A
dAd
==++++ r
r
ρρ
ρρ
Conservação da energia num escoamento isentrópico
Em regime permanente: tetancons
2
V
h
2
==++
r
Diferenciando: 0VdVdh ==++
rr
Como já visto:
ρρ
dP
dh ==
Combinando as duas últimas equações: 0VdV
dP
==++
rr
ρρ
Substituindo na equação diferencial de conservação da massa:





 −−==
dp
d
v
1dp
A
dA
2
ρρ
ρρ r
(( ))2M1
v
Vd
A
dA −−−−== r
r
Ou:
Ou: 
Vd
dp
V r
r
−−==ρρ
 
 
As duas expressões obtidas são importantes. A última expressão à esquerda relaciona a 
variação da pressão com a variação da seção num duto. Dela podem extrair-se as 
conclusões que seguem. 
Para fluxo subsônico (M<1) o termo entre parêntesis é positivo e então dA e dp têm o 
mesmo signo, ou seja, quando a seção do duto aumente aumentará a pressão, e 
também, quando a seção diminua, diminuirá a pressão do escoamento. 
Para fluxo supersônico, (M>1), o termo entre parêntesis é negativo, então dA e dp terão 
signos opostos, ou seja, quando aumenta a seção do duto a pressão cairá, e também, 
quando diminua a seção do duto, a pressão aumentará. Neste caso, a pressão cai para 
dutos divergentes e aumenta para dutos convergentes. 
A última expressão da direita relaciona a variação da seção do duto com a variação da 
velocidade. 
A análise do comportamento desta equação é mostrada no slide seguinte. 
 
 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 10 
(( ))2M1
v
Vd
A
dA
−−−−== r
r
Para escoamento subsônico M < 1 
Para escoamento supersônico M > 1
0Vd A >>↓↓
r
0Vd A <<↑↑
r
Variação da velocidade do fluído com a seção da tubulação
↑↑↑↑
↓↓↓↓↓↓
M V 
 T p
r
ρρ
↓↓↓↓
↑↑↑↑↑↑
M V
 T p
r
ρρ
0Vd A <<↓↓
r
↓↓↓↓
↑↑↑↑↑↑
M V 
 T p
r
ρρ
(( )) 0M1 2 >>−− (( )) 0M1 2 >>−−
(( )) 0M1 2 <<−−
0Vd A >>↑↑
r↑↑↑↑
↓↓↓↓↓↓
M V
 T p
r
ρρ
(( )) 0M1 2 <<−−
 
 
Da análise da equação obtida vê-se que o comportamento do escoamento subsônico e 
supersônico é praticamente oposto. 
Estamos mais acostumados ao comportamento do escoamento subsônico, que é o mais 
habitualmente encontrado nos casos práticos. 
No escoamento subsônico, quando a seção do duto diminui, a velocidade aumenta, 
aumentando também o número de Mach. Nesse caso a pressão, temperatura e 
densidade do fluído caem. 
Também no escoamento subsônico, quando a seção do duto aumenta, a velocidade cai, 
junto com o número de Mach. A pressão, temperatura e densidade do fluído aumentam. 
No entanto, o escoamento supersônico apresenta um comportamento exatamente 
oposto. 
Quando a seção do duto diminui, a velocidade cai, junto com o número de Mach. A 
pressão, temperatura e densidade aumentam. 
Quando a seção do duto aumenta, a velocidade aumenta, junto com o número de Mach. 
A pressão, temperatura e densidade caem. 
O caso M=1 é analisado no slide seguinte. 
 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 11 
Caso em que M=1 é atingido no final do duto:
1MA ==
A
A
A
A
B
B
1MA <<
1MB ==
Prolongando o duto, acontece:
1M <<
1M <<
A solução para continuar
acelerando o fluído é fazer um duto
convergente - divergente:
garganta
1M << 1M >>
 
 
A mais alta velocidade que pode ser atingida num bocal convergente é a velocidade do 
som. 
Isto é devido a que quando se atinge o valor M=1, na equação que analisamos no slide 
anterior, a derivada da seção em relação à velocidade se anula, ao atingir a velocidade 
sônica na boca de um duto, se nos prolongássemos o duto além do ponto anterior, 
decrescendo sua seção, esperando uma maior aceleração do fluído a velocidades 
supersônicas, isto não acontecerá. A velocidade sônica acontecerá outra vez na seção 
de saída. 
Para conseguir acelerar o fluído, deveremos agregar ao duto uma seção divergente... 
O resultado então é que se entramos num duto convergente-divergente, com um 
escoamento a alta velocidade, atingiremos M=1 na menor seção do duto, denominada 
garganta do mesmo. 
Neste tipo de duto atingiremos velocidades supersônicas na saída, mas outros 
fenômenos podem também acontecer...como se verá mais adiante. 
 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 12 
Relações para escoamento isentrópico de gases ideais
Levando em conta as expressões:
p
2
0 c2
V
TT ++==
)1( −−
==
k
kR
cp kRTc ==
2r
c
V
M r
r
==
Obtêm-se: 20
2
)1(
1 M
k
T
T −−
++==
Lembrando as equações para processos
isentrópicos, se chega em:
)1(20
2
)1(
1
−−



 −−++==
k
k
M
k
p
p
As propriedades do fluído na garganta do bocal, ponto em que éatingido M=1, são chamadas propriedades críticas, fazendo M=1 e
invertendo as relações anteriores:
1
2
0 ++
==
∗∗
kT
T )1(
0 1
2 −−∗∗




++
==
k
k
kp
p )1(1
0 1
2 −−∗∗




++
==
k
kρρ
ρρ
 
 
Gases a altas temperaturas se comportam muito aproximadamente como gases ideais, 
se levamos em conta a variação do calor específico com a temperatura. 
As equações acima apresentam a relação da temperatura de estagnação com a 
temperatura, e da pressão de estagnação com a pressão estática, do escoamento (em 
qualquer ponto dele). Como se observa estas relações dependem somente do número 
de Mach do escoamento e o coeficiente gamma do gás (relação dos calores específicos 
do gás). 
Estas relações têm uma campo de aplicação grande, em razão que o coeficiente 
gamma varia pouco com a temperatura, diferentemente dos calores específicos. 
As três relações ao pé referem-se ao caso M=1, elas são denominadas condições ou 
propriedades críticas, e como se observa, dependem apenas do valor de gamma do 
gás. 
 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 13 
• Escoamento em bocais : efeito da pressão na descarga
0V , 0T ,0p
servatórioRe
==
r
bp
x
0p
p
0p
p∗∗
1
2
3
4
5
0b pp ==
∗∗== ppb
∗∗== ppb
VAm
r
& ρρ==
RT
k
pAMm ==&
Substituindo p e T:
[[ ]](( )) (( ))[[ ]]1212
0
2/)1(1
)(
−−
++
−−++
==
k
k
o
Mk
RT
kAMp
m&
O valor máximo da vazão é:
(( ))
(( ))[[ ]]12
1
0
0max 1
2 −−
++
∗∗ 





++
==
k
k
kRT
k
pAm&
 
 
Na figura é mostrado o escoamento de um fluído através de um bocal convergente. O 
bocal está ligado a um reservatório de fluído a uma pressão po. Na boca de saída é 
imposta uma pressão pb. 
Caso 1:Quando as duas pressões são iguais não há escoamento. 
Caso 2: quando a pressão na saída é menor que a crítica a pressão cai normalmente ao 
longo do duto. A vazão pode ser calculada em qualquer ponto, pela equação à direita, 
ela é função da pressão no ponto, da seção, número de Mach atingido, e da 
temperatura, assim como do tipo de gás. 
Caso 3: quanto a pressão imposta é igual a crítica, atinge-se M=1 na garganta, também 
há queda de pressão ao longo do bocal. Neste caso a vazão ao longo do bocal atinge o 
valor máximo possível, neste caso se diz que o escoamento é chocado. A vazão pode 
ser calculada pela expressão embaixo, à direita. 
Caso 4 e 5: uma posterior diminuição da pressão imposta, abaixo do valor crítico, não 
muda o escoamento dentro do bocal. 
Nos bocais normalmente se deseja uma vazão alta, pode ver-se então que ela é obtida 
levando o escoamento à condição de sônico na saída, ou também diminuindo a 
temperatura ou aumentando a pressão de estagnação do escoamento, na entrada do 
bocal. 
 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 14 
(( ))
[[ ]])1(2
1
2
2
1
1
1
21 −−
++
∗∗ 








 −−++





++
==
k
k
M
k
kMA
A
∗∗∗∗
∗∗ ====
T
T
M
c
V
M r
r
2)1(2
1
Mk
k
MM
−−++
++
==∗∗
Relações úteis
Variação da seção do bocal:
Variação do número de Mach com
a temperatura do escoamento, em
relação às propriedades críticas
Pode ser obtida uma relação entre
o número de Mach calculado em
relação à velocidade do som na
garganta (crítica) e em relação à
velocidade do som na seção.
 
 
As equações acima foram obtidas combinando equações anteriores. 
A primeira fornece uma relação entre a seção do duto em qualquer ponto e a seção 
crítica, de escoamento sônico. Como se observa, esta relação depende do número de 
Mach e do valor de gamma. Em razão de ser uma equação quadrática em M, para cada 
relação de seções temos dois valores possíveis de M, que são solução da equação, 
estes dois valores correspondem ao escoamento subsônico e ao supersônico, 
respectivamente. 
A segunda equação é a razão da velocidade num ponto do escoamento e a velocidade 
do som na garganta do bocal convergente-divergente. Como se observa, esta relação 
pode expressar-se também em função do número de Mach no ponto e da razão de 
temperaturas, no ponto e na garganta. 
A última relação, também referente ao Mach calculado em relação à velocidade do som 
na garganta, relaciona este com o número de Mach relativo à velocidade do som num 
ponto no bocal e o coeficiente gamma. 
 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 15 
Escoamento em bocais convergentes - divergentes : choque
0V
 , T ,p 00
≅≅
r
be p p
0p
∗∗p
1
2
3
4
5
escoamento
subsônico na saída
Escoamento
supersônico na saída,
não há choque no
interior do bocal
Choque no bocal
M<1
M=1
M>1
choque
Pb > Pe
M<1
Pb < Pe
 
 
Forçar um fluído através de um bocal convergente - divergente não é garantia que o 
fluído seja acelerado até velocidades supersônicas. Diferentes fenômenos podem 
acontecer. 
 Pb é a pressão imposta externamente, por regulagem, a variação desta pressão 
permite regular a vazão do esocamento. 
Caso 1: quando Po=Pb, não há escoamento. 
Caso 2: quando Po > P2>Pb, o escoamento permanece subsônico ao longo do bocal. 
Há diminuição e posterior aumento da pressão. 
Caso 3: Pb = P3, é atingida a velocidade sônica na garganta do bocal, a pressão cai até 
o valor crítico, mas depois a pressão aumenta. O fluxo mássico alcança seu maior valor. 
Observar que a pressão critica é a mínima que pode ser obtida na garganta. 
Caso 4: P4 > Pb > Pexit. É atingida a velocidade sônica na garganta, mas a pressão 
continua caindo no escoamento. Num dado momento se produz uma onda de choque, 
situação na qual mudam subitamente as condições do escoamento, a pressão aumenta 
e a velocidade cai. Se for Pb=Pexit o choque acontece na saída. 
Caso 5: Pe>Pb>0, a pressão cai ao longo do escoamento. Quando Pb=P5, não há 
choque, se Pb<P5, acontece uma expansão irreversível e ondas de choque posteriores 
à saída aparecem. Quando Pb>P5, a pressão do fluído incrementa subitamente e 
acontece choque obliquo. 
 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 16 
hCaracterísticas do escoamento real em bocais e difusores
Eficiência do bocal
2/V
2/V
2
s2
2
2==ηη
h
s
2
V 22
r
2
V 2s2
r
01p
2p
s201
201
hh
hh
−−
−−
==ηη
Coeficiente de descarga:
ηη======
ss2
2
D m
m
V
V
c
&
&
1 2
 
 
Num bocal real, por onde passa um fluído viscoso, mesmo sendo adiabático, devido a 
efeitos da viscosidade do fluído, teremos geração de entropia, de forma tal que a 
variação de energia cinética do gás realmente obtida será menor que a que seria obtida 
num escoamento efetivamente isentrópico. 
Na definição da eficiência deve ser levado em conta que o objetivo de um bocal é o de 
acelerar o fluído, de modo a transformar a entalpia deste em energia cinética. A 
eficiência deve medir quão bem o bocal consegue este objetivo, levando em conta as 
limitações das leis termodinâmicas. 
A eficiência do bocal é definida comparando a energia cinética alcançada pelo fluído no 
escoamento real e a que alcançaria num escoamento ideal, isentrópico, entre as 
mesmas pressões de entrada e saída. Observar que a pressão considerada na entrada 
é a de estagnação, assim como a entalpia na entrada. 
A eficiência do bocal também pode ser expressada em termos de variações de entalpia. 
No numerador temos a variação de entalpia correspondente ao escoamento real, entre a 
entalpia de estagnação inicial e a final do escoamento. No denominador temos a 
diferença de entalpia entre a de estagnação na entrada e a de saída correspondente a 
um processo isentrópico ideal. 
O coeficiente de descarga compara velocidades, ou vazões do escoamento real com um 
escoamento isentrópico. 
 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 17 
Eficiência do difusor
h
s
sh∆∆ 2
V 21
01p
02p
2p
1p
1
01
02s
2
02
i ponto no estagnação de pressãop
i ponto noestática pressãop
i0
i
==
==
101
1s02
2
1
s
D hh
hh
2
V
h
−−
−−
==== r
∆∆
ηη
Fator de recuperação da pressão:
01
02
p p
p
F ==
Coeficiente de aumento de pressão:
101
12
pr pp
pp
C
−−
−−
==
1 2
 
 
A diferença de um bocal, o objetivo de um difusor é diminuir a velocidade do 
escoamento, transformandoa energia cinética dele em entalpia, sem maiores perdas. 
Na definição da eficiência de um bocal é comparada a variação de entalpia, 
correspondente a ao processo de expansão, entre a pressão na entrada e a pressão na 
saída, e a variação de energia cinética máxima possível. 
Esta variação máxima possível de energia cinética é por sua vez igual à variação de 
entalpia correspondente a um processo ideal, sem perdas, entre a pressão de entrada e 
uma pressão de saída igual à pressão de estagnação do escoamento na entrada. 
Ao mesmo tempo que a velocidade cai, a pressão aumenta, o coeficiente de aumento 
da pressão, por sua vez, compara o aumento real com o máximo ideal. 
 
 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 18 
Escoamento sobre um aerofólio
Região de alta velocidade e baixa pressão
 
 
Os fenômenos de escoamento que acontecem num aerofólio são muito importantes na 
análise dos fenômenos que acontecem nas palhetas de compressores e turbinas. 
No escoamento apresentado na fotografia acima não há perturbação das linhas de 
corrente, o que significa que se trata de um escoamento com baixo número de 
Reynolds. 
Nos escoamentos de gás, a alta temperatura e baixa viscosidade cinemática, o 
escoamento apresenta uma série de fenômenos ligados ao acontecimento de altos 
números de Reynolds. 
Na parte superior do aerofólio, na região próxima a este, acontecerá um aumento da 
velocidade do fluído, a pressão diminuirá na direção da frente até o topo, tornando 
depois a aumentar, a medida que a velocidade decresce, do topo ao final. 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 19 
 
 
Efeito de descolamento da camada limite
 
 
O incremento de velocidade na região próxima ao aerofólio, juntamente com uma 
diminuição da temperatura estática, pode levar a um aumento do número de Mach nesta 
região, de tal modo que mesmo sendo subsônico o escoamento principal, nesta região 
ele se torne supersônico. 
Ao acontecer uma velocidade supersônica numa região de desaceleração do 
escoamento, com gradiente de pressão positivo, pode formar-se uma onda de choque 
no mesmo, na mesma forma que foi discutido para um bocal, acompanha a esta onda 
um gradiente de pressão em sentido contrário ao escoamento, que pode fazer com que 
este retorne. 
Este efeito que acontece na camada limite pode expandir-se ao canal entre as palhetas, 
e brecar completamente o escoamento. 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 20 
 
 
Gradiente de Pressão & Separação
2
21
y
u
dx
dp
y
u
v
x
u
u
∂∂
∂∂++−−==
∂∂
∂∂++
∂∂
∂∂
νν
ρρ
0==
∂∂
∂∂++
∂∂
∂∂
y
v
x
u
Despegue: 
0
0
==





∂∂
∂∂
==yy
u
0 
0
2
2
〉〉==





∂∂
∂∂
==
dx
dp
y
u
y
µµ
 
 
Quando num escoamento temos um gradiente de pressão positivo, pode acontecer que 
aconteça o fenômeno de despegue da camada limite. 
Este fenômeno acontece devido a uma combinação de vários. 
O perfil de velocidades na camada adota a forma indicada na figura, onde de um 
gradiente de velocidades positivo na camada passamos para um gradiente negativo. 
Este valor negativo do gradiente significa uma desaceleração do fluído na camada 
limite, essa desaceleração leva a a inclusive inverter o sentido do escoamento nela, 
fazendo com que tome o sentido oposto do escoamento principal. Este efeito é 
denominado despegue da camada limite. Por efeito das forças viscosas junto à parede, 
o perfil de velocidades na camada não consegue acompanhar a desaceleração do 
escoamento principal, que se produz devido ao aumento de pressão. 
 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 21 
Gradiente de Pressão & Separação
 
 
O efeito de despegue da camada limite pode aparecer sempre que tenhamos um 
gradiente de pressão positivo no escoamento principal, por exemplo em bocais 
divergentes, com escoamento subsônico, como o caso mostrado na figura. 
O fenômeno real pode ser ainda mais complexo, o desprendimento da camada pode 
acontecer somente num dos lados do bocal, expandindo-se até o meio dele, por 
exemplo. Esta situação é favorecida por números de Reynolds altos, ou seja para 
escoamento de gases a alta velocidade, por exemplo. 
 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 22 
Separação da camada limite na superfície de um cilindro
 
 
Na fotografia aparece o fenômeno de separação na parte de trás do escoamento 
externo a um cilindro. 
No escoamento externo de um fluido sobre um cilindro de produz na parte da frente um 
decréscimo de pressão, na parte posterior há um aumento da pressão, aparece então 
um gradiente de pressão positivo, que somado ao efeito viscoso na camada limite, leva 
ao desprendimento da mesma. 
 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 23 
EXERCÍCIO 1
Ar flui num ponto de um bocal, neste ponto a sua pressão de
estagnação é 0,6 Mpa, a temperatura de estagnação é de 400°C e a
velocidade de 570 m/s. Determine a pressão estática e a
temperatura do ar neste estado.
EXERCÍCIO 2
Dióxido de Carbono entra num bocal adiabático a 1200K com uma
velocidade de 50 m/s e sai a 400 K. Determine o número de Mach do
escoamento na entrada e na saída do bocal.
EXERCÍCIO 3
Ar a 200 kPa, 100 °C e número de Mach=0,8 flui através de um duto.
Encontre a velocidade e densidade do ar, e a pressão e temperatura
de estagnação.
 
 
 
EXERCÍCIO 4
Ar entra num bocal convergente-divergente num túnel supersônico,
a uma pressão de 1 Mpa e uma temperatura de 300 K. A velocidade
na entrada é desprezível. A área da seção de saída do bocal é de
0,15 m2 e é igual à seção de teste do túnel neste ponto . Calcule a
pressão, temperatura, velocidade e fluxo mássico na seção de teste,
para um número de Mach=2. Explique porquê o ar deve estar muito
seco para a realização deste teste.
EXERCÍCIO 5
Ar entra num bocal convergente-divergente num túnel supersônico,
a uma pressão de 1 Mpa e uma temperatura de 300 K. A velocidade
na entrada é desprezível. Se um choque normal ocorre no plano de
saída do bocal, com Mach=2, determine a pressão, temperatura,
número de Mach, velocidade e pressão de estagnação depois da
onda de choque.
 
 
 Máquinas Térmicas – Aulas 3-/4 - 24 
 
EXERCÍCIO 6
Produtos de combustão entram no bocal de uma turbina a gás na
condição de projeto de 400 kPa, 1000 K e 200 m/s, e saem a uma
pressão de 270 kPa e uma taxa de 3 kg/s. Supondo fluxo isentrópico,
determine se o bocal e convergente ou convergente-divergente. Além
disso encontre a velocidade e a área na saída. Adote k=1,34 e Cp=1,16
KJ/(kg K) para os produtos de combustão.