SE 2019 - Aula 27 - Geometria Espacial III

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Curso Sala de Ensino 
Estrada Francisco da Cruz Nunes, 6501, Shopping Itaipu Multicenter – sala 311 
Telefone: 3587-8376 
 
 
 
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Aluno: Data: __/__/_____ 
/___/__ 
Profº. Carlos Henrique(Bochecha) – Aula 27 – Geometria Espacial III 
 
1. (Unicamp 2019) Seja um cilindro circular reto com raio da base de 
comprimento r 2 cm= e altura de comprimento h. Seja d a maior 
distância entre dois pontos desse cilindro, como ilustra a figura abaixo. 
 
 
 
a) Supondo que o cilindro tenha volume igual a um litro, calcule sua área de 
superfície total. 
 
b) Determine o valor de d no caso em que (r, h, d) seja uma progressão 
geométrica. 
 
 
2. (Pucrj 2018) Considere a parábola de equação 
2y 1 x .= − Para 
0x [0,1], inscrevemos, entre o eixo horizontal e a parábola, um retângulo 
de vértices 0(x , 0), 0( x , 0),− 0 0( x , y )− e 0 0(x , y ). Note que os 
dois vértices 0 0( x , y )− e 0 0(x , y ) pertencem à parábola. 
 
Giramos o retângulo ao redor do eixo y, obtendo, assim, um cilindro circular 
reto. 
a) Determine, em função de 0x , o raio da base, a altura e o volume do 
cilindro. 
b) Calcule o volume do cilindro para 0
2
x .
3
= 
c) Encontre o valor de 0x para o qual o cilindro tem volume máximo. 
Determine este volume máximo. 
 
 
3. (Fmp 2018) A figura mostra um retângulo ABCD cujos lados medem 
7 cm e 3 cm. Um cilindro será formado girando-se o retângulo ABCD 
em torno da reta definida pelo seu lado AB. 
 
A medida do volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é mais próxima 
de 
a) 750 b) 441 c) 63 d) 126 e) 190 
 
4. (Mackenzie 2018) Se um cone reto tem altura igual a 12 cm e seu 
volume é 
364 cm ,π então sua geratriz, em cm, mede 
a) 20 b) 10 2 c) 4 10 d) 4 2 e) 2 10 
 
5. (Uerj 2018) Um depósito de óleo tem a forma de um cone circular reto cujo 
eixo vertical forma com suas geratrizes o ângulo de 45 . Foram retirados 
desse depósito 
319 m de óleo. Com isso, a altura do nível de óleo foi 
reduzida em 1m e passou a ter X metros de altura. 
 
Considerando 3,π = calcule a altura X do nível de óleo. 
 
6. (Enem (Libras) 2017) Para divulgar sua marca, uma empresa produziu um 
porta-canetas de brinde, na forma do sólido composto por um cilindro e um 
tronco de cone, como na figura. 
 
Para recobrir toda a superfície lateral do brinde, essa empresa encomendará 
um adesivo na forma planificada dessa superfície. 
 
Que formato terá esse adesivo? 
a) b) c) 
d) e) 
 
7. (Uerj 2017) Um cilindro circular reto possui diâmetro AB de 4 cm e 
altura AA' de 10 cm. O plano ,α perpendicular à seção meridiana 
ABB'A', que passa pelos pontos B e A ' das bases, divide o cilindro em 
duas partes, conforme ilustra a imagem. 
 
 
 
O volume da parte do cilindro compreendida entre o plano α e a base 
inferior, em 
3cm , é igual a: 
a) 8π b) 12π c) 16π d) 20π 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
8. (Enem (Libras) 2017) Com o objetivo de reformar os tambores cilíndricos 
de uma escola de samba, um alegorista decidiu colar adereços plásticos na 
forma de losango, como ilustrado na Figura 1, nas faces laterais dos 
tambores. Nesta colagem, os vértices opostos P e Q do adereço deverão 
pertencer às circunferências do topo e da base do tambor cilíndrico, 
respectivamente, e os vértices opostos R e S deverão coincidir após a 
colagem do adereço no tambor, conforme ilustra a Figura 2. Considere que o 
diâmetro do cilindro correspondente ao tambor meça 0,4 metro. Utilize 3,1 
como aproximação para .π 
 
A diagonal RS do adereço a ser confeccionado pelo alegorista deve medir, 
em metro, 
a) 0,124. b) 0,400. c) 0,496. d) 1,240. e) 2,480. 
 
9. (Unesp 2017) Um cone circular reto, de vértice V e raio da base igual a 
6 cm, encontra-se apoiado em uma superfície plana e horizontal sobre uma 
geratriz. O cone gira sob seu eixo de revolução que passa por V, 
deslocando-se sobre a superfície plana horizontal, sem escorregar, conforme 
mostra a figura. 
 
O cone retorna à posição inicial após o círculo da sua base ter efetuado duas 
voltas completas de giro. Considerando que o volume de um cone é calculado 
pela fórmula 
2r h
,
3
π
 o volume do cone da figura, em 
3cm , é igual a 
a) 72 3π b) 48 3π c) 36 3π d) 18 3π e) 12 3π 
 
10. (Enem PPL 2016) Na reforma e estilização de um instrumento de 
percussão, em formato cilíndrico (bumbo), será colada uma faixa decorativa 
retangular, como a indicada na Figura 1, suficiente para cobrir integralmente, e 
sem sobra, toda a superfície lateral do instrumento. 
 
Como ficará o instrumento após a colagem? 
a) b) c) 
d) e) 
 
11. (Mackenzie 2016) Em um triângulo retângulo, a medida do menor cateto é 
6 cm. Rotacionando esse triângulo ao redor desse cateto, obtém-se um 
sólido de revolução, cujo volume é 
3128 cm .π Nessas condições, a área 
total da superfície do sólido obtido na revolução, em 
2cm , é 
a) 144π b) 120π c) 80π d) 72π e) 64π 
 
12. (Enem 2016) Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para 
armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro 
reto, sobreposta por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica 
cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade 
é de 
320 m . Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para 
transportar os grãos para a usina de beneficiamento. 
 
 
 
Utilize 3 como aproximação para .π 
 
O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar 
todo o volume de grãos armazenados no silo é 
a) 6. b) 16. c) 17. d) 18. e) 21. 
 
13. (Enem PPL 2015) Ao se perfurar um poço no chão, na forma de um 
cilindro circular reto, toda a terra retirada é amontoada na forma de um cone 
circular reto, cujo raio da base é o triplo do raio do poço e a altura é 2,4 
metros. Sabe-se que o volume desse cone de terra é 20% maior do que o 
volume do poço cilíndrico, pois a terra fica mais fofa após ser escavada. 
 
Qual é a profundidade, em metros, desse poço? 
a) 1,44 b) 6,00 c) 7,20 d) 8,64 e) 36,00 
 
 
14. (Enem PPL 2015) Uma fábrica brasileira de exportação de peixes vende 
para o exterior atum em conserva, em dois tipos de latas cilíndricas: uma de 
altura igual a 4 cm e raio 6 cm, e outra de altura desconhecida e raio de 
3 cm, respectivamente, conforme figura. Sabe-se que a medida do volume 
da lata que possui raio maior, V1, é 1,6 vezes a medida do volume da lata 
que possui raio menor, V2. 
 
 
 
A medida da altura desconhecida vale 
a) 8 cm. b) 10 cm. c) 16 cm. d) 20 cm. e) 40 cm. 
 
 
15. (Pucrj 2015) O volume do sólido gerado pela rotação de um quadrado de 
lado 3 cm em torno de um dos seus lados é, em 3cm : 
a) 3π b) 6π c) 9π d) 18π e) 27π 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
16. (Enem PPL 2015) Um artesão fabrica vários tipos de potes cilíndricos. 
Mostrou a um cliente um pote de raio de base a e altura b. Esse cliente, por 
sua vez, quer comprar um pote com o dobro do volume do pote apresentado. 
O artesão diz que possui potes com as seguintes dimensões: 
 
- Pote I: raio a e altura 2b 
- Pote II: raio 2a e altura b 
- Pote III: raio 2a e altura 2b 
- Pote IV: raio 4a e altura b 
- Pote V: raio 4a e altura 2b 
 
O pote que satisfaz a condição imposta pelo cliente é o 
a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 
 
17. (Enem 2015) Para resolver o problema de abastecimento de água foi 
decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A 
cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de 
diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 
381m deágua, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração 
da nova cisterna a antiga será desativada. 
Utilize 3,0 como aproximação para .π 
Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume 
desejado? 
a) 0,5 b) 1,0 c) 2,0 d) 3,5 e) 8,0 
 
18. (Uerj 2015) Um funil, com a forma de cone circular reto, é utilizado na 
passagem de óleo para um recipiente com a forma de cilindro circular reto. O 
funil e o recipiente possuem a mesma capacidade. 
De acordo com o esquema, os eixos dos recipientes estão contidos no 
segmento TQ, perpendicular ao plano horizontal .β 
 
 
Admita que o funil esteja completamente cheio do óleo a ser escoado para o 
recipiente cilíndrico vazio. Durante o escoamento, quando o nível do óleo 
estiver exatamente na metade da altura do funil 
H
, ,
2
 o nível do óleo no 
recipiente cilíndrico corresponderá ao ponto K na geratriz AB. 
A posição de K, nessa geratriz, é melhor representada por: 
a) b) c) d) 
 
19. (Enem 2014) Uma empresa que organiza eventos de formatura 
confecciona canudos de diplomas a partir de folhas de papel quadradas. Para 
que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um 
cilindro de madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 
voltas completas em torno de tal cilindro. Ao final, amarra-se um cordão no 
meio do diploma, bem ajustado, para que não ocorra o desenrolamento, como 
ilustrado na figura. 
 
 
Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel enrolado, 
finalizando a confecção do diploma. Considere que a espessura da folha de 
papel original seja desprezível. 
Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na 
confecção do diploma? 
a) dπ b) 2 dπ c) 4 dπ d) 5 dπ e) 10 dπ 
 
20. (Unicamp 2014) Considere um cilindro circular reto. Se o raio da base for 
reduzido pela metade e a altura for duplicada, o volume do cilindro 
a) é reduzido em 50%. 
b) aumenta em 50%. 
c) permanece o mesmo. 
d) é reduzido em 25%. 
 
21. (Unesp 2014) Prato da culinária japonesa, o temaki é um tipo de sushi na 
forma de cone, enrolado externamente com nori, uma espécie de folha feita a 
partir de algas marinhas, e recheado com arroz, peixe cru, ovas de peixe, 
vegetais e uma pasta de maionese e cebolinha. 
 
Um temaki típico pode ser representado matematicamente por um cone 
circular reto em que o diâmetro da base mede 8 cm e a altura 10 cm. 
Sabendo-se que, em um temaki típico de salmão, o peixe corresponde a 90% 
da massa do seu recheio, que a densidade do salmão é de 0,35 g/cm3, e 
tomando 3,π = a quantidade aproximada de salmão, em gramas, nesse 
temaki, é de 
a) 46. b) 58. c) 54. d) 50. e) 62. 
 
22. (Enem 2014) Um sinalizador de trânsito tem o formato de um cone 
circular reto. O sinalizador precisa ser revestido externamente com adesivo 
fluorescente, desde sua base (base do cone) até a metade de sua altura, para 
sinalização noturna. O responsável pela colocação do adesivo precisa fazer o 
corte do material de maneira que a forma do adesivo corresponda exatamente 
à parte da superfície lateral a ser revestida. 
 
Qual deverá ser a forma do adesivo? 
a) b) c) 
d) e) 
 
 
23. (Enem 2013) Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma de 
um cilindro circular reto, de 1 m de profundidade e volume igual a 12m3, cuja 
base tem um raio R e centro O. Deseja-se construir uma ilha de lazer seca no 
interior dessa piscina, também na forma de um cilindro circular reto, cuja base 
estará no fundo e com centro da base coincidindo com o centro do fundo da 
piscina, conforme a figura. O raio da ilha de lazer será r. Deseja-se que após a 
construção dessa ilha, o espaço destinado à água na piscina tenha um 
volume de, no mínimo, 4m3. 
 
 
Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer r, em 
metros, estará mais próximo de 
a) 1,6. b) 1,7. c) 2,0. d) 3,0. e) 3,8. 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
24. (Enem PPL 2013) Um fabricante de bebidas, numa jogada de marketing, 
quer lançar no mercado novas embalagens de latas de alumínio para os seus 
refrigerantes. As atuais latas de 350 mL devem ser substituídas por uma nova 
embalagem com metade desse volume, conforme mostra a figura: 
 
 
De acordo com os dados anteriores, qual a relação entre o raio r’ da 
embalagem de 175 mL e o raio r da embalagem de 350 mL? 
a) r ' r= b) 
r
r '
2
= c) r ' r= d) r ' 2r= e) 3r ' 2= 
 
25. (Enem PPL 2012) Uma prefeitura possui modelos de lixeira de forma 
cilíndrica, sem tampa, com raio medindo 10 cm e altura de 50 cm. Para fazer 
uma compra adicional, solicita à empresa fabricante um orçamento de novas 
lixeiras, com a mesma forma e outras dimensões. A prefeitura só irá adquirir 
as novas lixeiras se a capacidade de cada uma for no mínimo dez vezes maior 
que o modelo atual e seu custo unitário não ultrapassar R$ 20,00. O custo de 
cada lixeira é proporcional à sua área total e o preço do material utilizado na 
sua fabricação é de R$ 0,20 para cada 100 cm2. A empresa apresenta um 
orçamento discriminando o custo unitário e as dimensões, com o raio sendo o 
triplo do anterior e a altura aumentada em 10 cm. (Aproxime π para 3.) 
 
O orçamento dessa empresa é rejeitado pela prefeitura, pois 
a) o custo de cada lixeira ficou em R$ 21,60. 
b) o custo de cada lixeira ficou em R$ 27,00. 
c) o custo de cada lixeira ficou em R$ 32,40. 
d) a capacidade de cada lixeira ficou 3 vezes maior. 
e) capacidade de cada lixeira ficou 9 vezes maior. 
 
26. (Enem 2011) É possível usar água ou comida para atrair as aves e 
observá-las. Muitas pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, 
para atrair beija-flores. Mas é importante saber que, na hora de fazer a 
mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de 
água. Além disso, em dias quentes, precisa trocar a água de duas a três 
vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode 
deixá-la doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o 
bico da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode até matá-la. 
 
Ciência Hoje das Crianças. FNDE; Instituto Ciência Hoje, n. 166, mar 1996. 
 
Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-
flores. O copo tem formato cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 
cm de diâmetro. A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é 
cerca de (utilize 3 = ) 
a) 20 mL. b) 24 mL. c) 100 mL. d) 120 mL. e) 600 mL. 
 
27. (Unicamp 2011) Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma 
criança virou-o sobre uma superfície horizontal. Após a retirada do molde, a 
areia escorreu, formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio 
da base do cilindro. 
 
 
A altura do cone formado pela areia era igual a 
a) 
3
4
da altura do cilindro. b) 
1
2
da altura do cilindro. 
c) 
2
3
da altura do cilindro. d) 
1
3
da altura do cilindro. 
 
28. (Enem 2011) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito 
usado em países orientais. 
 
Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de 
a) pirâmide. b) semiesfera. c) cilindro. d) tronco de cone. e) cone. 
 
29. (Enem 2ª aplicação 2010) João tem uma loja onde fabrica e vende 
moedas de chocolate com diâmetro de 4 cm e preço de R$ 1,50 a unidade. 
Pedro vai a essa loja e, após comer várias moedas de chocolate, sugere ao 
João que ele faça moedas com 8 cm de diâmetro e mesma espessura e cobre 
R$ 3,00 a unidade. 
Considerando que o preço da moeda depende apenas da quantidade de 
chocolate, João 
a) aceita a proposta de Pedro, pois, se dobra o diâmetro, o preço também 
deve dobrar. 
b) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 12,00. 
c) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 7,50. 
d) rejeita a proposta de Pedro, poiso preço correto seria R$ 6,00. 
e) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 4,50. 
 
30. (Enem 2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa 
fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na 
sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e 
copinhos plásticos, também cilíndricos. 
 
 
 
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a 
quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela 
metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá 
a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que 
o volume do copo. 
b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que 
o volume do copo. 
c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que 
o volume do copo. 
d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que 
o volume do copo. 
e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que 
o volume do copo. 
 
31. (Enem 2ª aplicação 2010) O administrador de uma cidade, implantando 
uma política de reutilização de materiais descartados, aproveitou milhares de 
tambores cilíndricos dispensados por empresas da região e montou kits com 
seis tambores para o abastecimento de água em casas de famílias de baixa 
renda, conforme a figura seguinte. Além disso, cada família envolvida com o 
programa irá pagar somente R$ 2,50 por metro cúbico utilizado. 
 
 
Uma família que utilizar 12 vezes a capacidade total do kit em um mês pagará 
a quantia de 
(considere 3π  ) 
a) R$ 86,40. b) R$ 21,60. c) R$ 8,64. d) R$ 7,20. e) R$ 1,80. 
 
 
 
 
 5 
 
 
 
32. (Enem 2010) No manejo sustentável de florestas, é preciso muitas vezes 
obter o volume da tora que pode ser obtida a partir de uma árvore. Para isso, 
existe um método prático, em que se mede a circunferência da árvore à altura 
do peito de um homem (1,30 m), conforme indicado na figura. A essa medida 
denomina-se "rodo" da árvore. O quadro a seguir indica a fórmula para se 
cubar, ou seja, obter o volume da tora em m3 a partir da medida do rodo e da 
altura da árvore. 
 
 
 
Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de cubar, abater e 
transportar cinco toras de madeira, de duas espécies diferentes, sendo 
• 3 toras da espécie I, com 3 m de rodo, 12 m de comprimento e densidade 
0,77 toneladas/m3; 
• 2 toras da espécie II, com 4 m de rodo, 10 m de comprimento e densidade 
0,78 toneladas/m3. 
 
Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que enviassem caminhões para 
transportar uma carga de, aproximadamente, 
a) 29,9 toneladas. 
b) 31,1 toneladas. 
c) 32,4 toneladas. 
d) 35,3 toneladas. 
e) 41,8 toneladas. 
 
33. (Enem 2ª aplicação 2010) Certa marca de suco é vendida no mercado em 
embalagens tradicionais de forma cilíndrica. Relançando a marca, o fabricante 
pôs à venda embalagens menores, reduzindo a embalagem tradicional à terça 
parte de sua capacidade. 
Por questões operacionais, a fábrica que fornece as embalagens manteve a 
mesma forma, porém reduziu à metade o valor do raio da base da embalagem 
tradicional na construção da nova embalagem. Para atender à solicitação de 
redução da capacidade, após a redução no raio, foi necessário determinar a 
altura da nova embalagem. 
Que expressão relaciona a medida da altura da nova embalagem de suco (a) 
com a altura da embalagem tradicional (h)? 
a) 
h
a
12
= b) 
h
a
6
= c) 
2h
a
3
= d) 
4h
a
3
= e) 
4h
a
9
= 
 
34. (Uerj 2010) Uma caixa cúbica foi dividida em duas partes por um plano 
que contém duas diagonais de faces opostas da caixa. Uma das partes 
acomoda, sem folga, uma lata com a forma de um cilindro circular reto, 
conforme ilustrado a seguir. 
 
 
 
Desprezando as espessuras dos materiais utilizados na lata, na caixa e na 
divisória, calcule a razão entre o volume do cilindro e o da caixa. 
 
35. (Enem 2010) Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram 
realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e 
tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone 
circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 
cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm 
de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes 
estão ilustrados na figura. 
 
 
 
Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a 
seguir representa uma planificação para o bebedouro 3? 
 
a) b) c) 
d) e) 
 
 
36. (Enem 2ª aplicação 2010) Uma empresa de refrigerantes, que funciona 
sem interrupções, produz um volume constante de 1 800 000 cm3 de líquido 
por dia. A máquina de encher garrafas apresentou um defeito durante 24 
horas. O inspetor de produção percebeu que o líquido chegou apenas à altura 
de 12 cm dos 20 cm previstos em cada garrafa. A parte inferior da garrafa em 
que foi depositado o líquido tem forma cilíndrica com raio da base de 3 cm. 
Por questões de higiene, o líquido já engarrafado não será reutilizado. 
Utilizando 3π  , no período em que a máquina apresentou defeito, 
aproximadamente quantas garrafas foram utilizadas? 
a) 555 b) 5555 c) 1333 d) 13333 e) 133333 
 
 
37. (Enem 2010) Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m 
de diâmetro e 4 m de altura (de espessura desprezível), foi envolvido 
homogeneamente por uma camada de concreto, contendo 20 cm de 
espessura. 
Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 
como valor aproximado de ð, então o preço dessa manilha é igual a 
a) R$ 230,40. b) R$ 124,00. c) R$ 104,16. d) R$ 54,56. e) R$ 49,60. 
 
 
38. (Enem 2ª aplicação 2010) Um fabricante de creme de leite comercializa 
seu produto em embalagens cilíndricas de diâmetro da base medindo 4 cm e 
altura 13,5 cm. O rótulo de cada uma custa R$ 0,60. Esse fabricante 
comercializará o referido produto em embalagens ainda cilíndricas de mesma 
capacidade, mas com a medida do diâmetro da base igual à da altura. 
 
Levando-se em consideração exclusivamente o gasto com o rótulo, o valor 
que o fabricante deverá pagar por esse rótulo é de 
a) R$ 0,20, pois haverá uma redução de 
2
3
 na superfície da embalagem 
coberta pelo rótulo. 
b) R$ 0,40, pois haverá uma redução de 
1
3
 na superfície da embalagem 
coberta pelo rótulo. 
c) R$ 0,60, pois não haverá alteração na capacidade da embalagem. 
d) R$ 0,80, pois haverá um aumento de 
1
3
 na superfície da embalagem 
coberta pelo rótulo. 
e) R$ 1,00, pois haverá um aumento de 
2
3
 na superfície da embalagem 
coberta pelo rótulo. 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
39. (Enem 2010) Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato 
cilíndrico, em três tamanhos, com medidas indicadas nas figuras. O preço do 
tanque é diretamente proporcional à medida da área da superfície lateral do 
tanque. O dono de um posto de combustível deseja encomendar um tanque 
com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento. 
 
 
 
Qual dos tanques devera ser escolhido pelo dono do posto? (Considere 
3)π  
a) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 1/3. 
b) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 4/3. 
c) II, pela relação área/capacidade de armazenamento de 3/4. 
d) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 2/3. 
e) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 7/12. 
 
 
40. (Enem 2ª aplicação 2010) Uma fábrica de tubos acondiciona tubos 
cilíndricos menores dentro de outros tubos cilíndricos. A figura mostra uma 
situação em que quatro tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente 
em um tubo com raio maior 
 
 
 
Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá os tubos 
maiores em que serão colocados, sem ajustes ou folgas, quatro tubos 
cilíndricos internos. Se o raio da base de cadaum dos cilindros menores for 
igual a 6 cm, a máquina por você operada deverá ser ajustada para produzir 
tubos maiores, com raio da base igual a 
a)12 cm 
b)12 2cm 
c) 24 2cm 
d) ( )6 1 2 cm+ 
e) ( )12 1 2 cm+ 
 
41. (Enem 2ª aplicação 2010) Um arquiteto está fazendo um projeto de 
iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a 
luminária ilustrada na figura 
 
 
 
Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 
228,26m , considerando 3,14π  , a altura h será igual a 
a) 3 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 9 m. e) 16 m. 
 
 
42. (Enem) Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a 
peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em 
torno de um eixo. Girando-se as figuras a seguir em torno da haste indicada 
obtém-se os sólidos de revolução que estão na coluna da direita. 
 
 
 
A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução 
obtidos é: 
a) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. 
b) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A. 
c) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C. 
d) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C. 
e) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A. 
 
 
Gabarito: 
1: a) ( )=  + 2tA 8 125 cmπ b) d 1 17 cm= + 
 
2: a) A medida do raio é 0x . 
A medida da altura é 0y . 
O volume será dado por: 
2
0 0
2 2
0 0
V (x ) y
V (x ) (1 (x ) )
π
π
=  
=   −
 
 
b) 
2 2
2 2 20
V 1
3 3 81
π π
    
 =   − =         
 
 
c) 
2 2
0 0V (x ) (1 (x ) )π=   − 
fazendo 
2
0(x ) k,= temos: 
( ) 2V k 1 k v ( k k).π π=   −  =  − + 
 
Portanto, o volume será máximo para 1 1k k .
2 ( 1) 2
= −  =
 −
 
 
Logo, o volume será máximo quando 
0
2
x .
2
= 
 
Volume máximo será: 
2 2
2 2
V 1 .
2 2 4
π
π
    
 =   − =       
    
 
 
3: [E] 4: [C] 5: x = 2 6: [B] 7: [D] 8: [D] 9: [A] 10: [A] 11: [A] 12: [D] 13: [B] 
 
14: [B] 15: [E] 16: [A] 17: [C] 18: [A] 19: [D] 20: [A] 21: [D] 22: [E] 23: [A] 
 
24: [C] 25: [B] 26: [C] 27: [A] 28: [E] 29: [D] 30: [A] 31: [B] 32: [A] 33: [D] 
34: ( )
( )
( )− 
= = = 
 
2
22
cilindro
3
cubo
V 2 2r xa r
x
V a 4a
π
π π 
35: [E] 36: [B] 37: [D] 38: [B] 39: [D] 40: [D] 41: [B] 42: [D] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 a) Note que: 
31 1000 cm= 
 
Do enunciado, temos: 
22 h 1000
250
h cm
π
π
  =
=
 
 
Daí, sendo tA sua área de superfície total, temos: 
( )
2
t
t
t
2
t
A 2 2 2 2 h
250
A 8 4
A 8 1000
A 8 125 cm
π π
π π
π
π
π
=   +  
= + 
= +
=  +
 
 
b) Do enunciado, temos: 
2 2h r d h 2d=   = 
 
Mas, 
( )
( )
22 2
22 2
2 2
d 2r h
d 2 2 h
d 16 h
= +
=  +
= +
 
 
Como 
2h 2d= e 2 2d 16 h ,= + 
( ) ( ) ( )
2
2
2
d 16 2d
d 2d 16 0
2 2 4 1 16
d
2 1
2 2 17
d
2
= +
− − =
− −  − −   −
=


=
 
 
Como d 0, 
d 1 17 cm= + 
 
Resposta: 
a) ( ) 28 125 cm ;π + 
b) 1 17 cm.+ 
 
Resposta da questão 2: 
 
 
 
a) A medida do raio é 0x . 
A medida da altura é 0y . 
O volume será dado por: 
2
0 0
2 2
0 0
V (x ) y
V (x ) (1 (x ) )
π
π
=  
=   −
 
 
b) 
2 2
2 2 20
V 1
3 3 81
π π
    
 =   − =         
 
 
c) 
2 2
0 0V (x ) (1 (x ) )π=   − 
fazendo 
2
0(x ) k,= temos: 
( ) 2V k 1 k v ( k k).π π=   −  =  − + 
Portanto, o volume será máximo para 
1 1
k k .
2 ( 1) 2
= −  =
 −
 
Logo, o volume será máximo quando 0
2
x .
2
= 
Volume máximo será: 
2 2
2 2
V 1 .
2 2 4
π
π
    
 =   − =       
    
 
 
Resposta da questão 3: [E] 
 
A resposta é dada por 
 
2 33 7 3,14 63 198 cm .π      
 
Resposta da questão 4: [C] 
 
Considerando R a medida do raio da base do cone e g a medida de sua 
geratriz, obtemos: 
 
 
2 2
2 2 2
1
R 12 64 R 16 R 4 cm
3
g 12 4 g 160 g 4 10 cm
π π   =   =  =
= +  =  = 
 
 
Resposta da questão 5: 
 
 
 
Calculando: 
( ) ( )
( )
2 2
3 3
3 2 3 2 2
x 1 x 1 x x
19 x 1 x 19
3 3
x 3 (não convém)
x 3x 3x 1 x 19 0 3x 3x 18 0 x x 6 0 ou
x 2
π π +  +  
− =  + − =
= −

+ + + − − =  + − =  + − =  
 =
 
 
 
 
 
 8 
 
 
 
Resposta da questão 6: [B] 
 
Sabendo que a superfície lateral de um cilindro reto corresponde à superfície 
de um retângulo, e que a superfície lateral de um cone corresponde à 
superfície de um setor circular, podemos concluir que a única alternativa 
possível é a [B]. 
 
Resposta da questão 7: [D] 
 
O volume pedido é igual a metade do volume do cilindro. Assim, pode-se 
escrever: 
2
metade
2 10 40
V V 20
2 2
π π
π
 
= = → = 
 
Resposta da questão 8: [D] 
 
É imediato que RS 0,4 3,1 0,4 1,24 m.π=    = 
 
Resposta da questão 9: [A] 
 
Se g é a geratriz do cone, então 
2 g 2 2 6 g 12cm.π π =    = 
 
Logo, sendo h a altura do cone, vem 
2 2 2h 12 6 h 6 3 cm.= −  = 
 
A resposta é dada por 
2
36 6 3 72 3 cm .
3
π
π
 
= 
 
Resposta da questão 10: [A] 
 
Envolvendo o cilindro com o adesivo em questão este apresentará o ponto Y 
sobreposto ao ponto médio do segmento XZ. Portanto, a alternativa correta 
é a letra [A]. 
 
Resposta da questão 11: [A] 
 
Calculando o volume do cone, temos: 
2 21 R 6 128 R 64 R 8
3
π π   =  =  = 
 
Determinando a geratriz do cone, temos: 
2 2 2g 6 8 g 10= +  = 
 
Logo, sua área total será dada por: 
2 2 2
TA R g R 8 10 8 144 cmπ π π π π=   +  =   +  = 
 
Resposta da questão 12: [D] 
 
O volume do silo é dado por 
 
2 2 313 12 3 3 324 27 351m .
3
π π  +     +  
 
Portanto, se n é o número de viagens que o caminhão precisará fazer para 
transportar todo o volume de grãos armazenados no silo, então 
 
351
n 17,55.
20
 = 
A resposta é 18. 
 
Resposta da questão 13: [B] 
Sendo r e h as dimensões do cone e R e H as dimensões do poço, 
calculando o volume do poço e do cone, tem-se: 
( )
22 2
cone cone
2
poço
1 1
V r h 3R 2,4 V 7,2 R
3 3
V R H
π π π
π
=    =    → =
=  
 
Pelo enunciado, sabe-se que o volume do cone é 20% maior do que o 
volume do poço cilíndrico, logo, pode-se escrever: 
poço cone
2 2
1,2 V V
1,2 R H 7,2 R
H 6 m
π π
 =
 =
=
 
 
Resposta da questão 14: [B] 
 
Fazendo os cálculos: 
2
1
2
2
1 2
2 2
V 6 4
V 3 x
V 1,6 V
6 4 1,6 3 x
144 14,4x
x 10 cm
π
π
π π
=  
=  
= 
  =   
=
=
 
 
Resposta da questão 15: [E] 
 
O volume V do cilindro resultante será dado por: 
2 3V 3 3 27 cmπ π=   = 
 
Resposta da questão 16: [A] 
 
O volume do cilindro é dado pela área da base multiplicado pela altura. A 
maneira mais simples de duplicar o volume do mesmo é manter a área da 
base (ou seja, base a) e duplicar sua altura (ou seja, 2b). 
 
Resposta da questão 17: [C] 
O volume da cisterna é igual a 
2
32 3 9 m .
2
π
 
   
 
 Mantendo a altura, o raio 
r da nova cisterna deve ser tal que 281 r 3,π=   ou seja, r 3 m. Em 
consequência, o aumento pedido deve ser de, aproximadamente, 
3 1 2 m.− = 
 
Resposta da questão 18: [A] 
 
Volume do cilindro: V 
Volume do óleo no cone no momento considerado: Vi 
Daí, temos: 
3
i
i
H
V V2 V
V H 8
 
 
=  = 
  
 
 
Portanto, o volume que estará no cilindro no instante considerado será: 
V 7V
V ,
8 8
− = ou seja, 87,5% do volume do cilindro, portanto a alternativa 
[A] é mais adequada. 
 
 
 
 
 9 
 
 
 
Resposta da questão 19: [D] 
 
O lado da folha de papel corresponde ao quíntuplo do comprimento da base 
do cilindro, ou seja, 5 d.π 
 
Resposta da questão 20: [A] 
Sejam V, r e h, respectivamente, o volume, o raio da base e a altura do 
cilindro. Logo, como 
2V r h,π=   segue-se que a variação percentual 
pedida é dada por 
2
2
2
r
2h r h
2
100% 50%,
r h
π π
π
 
  −   
 
 = −
 
 
 
isto é, houve uma redução de 50% no volume do cilindro. 
 
Resposta da questão 21: [D] 
 
O volume do cone (recheio) será dado por: 
 
Tomando 3,π = o volumedo cone será dado por: 
2 31v 4 10 160cm
3
π=    = 
Considerando que o peixe representa 90% do volume do recheio, temos: 
30,9 160 144cm = (volume do salmão). 
Portanto, a massa do salmão será dada por 0,35 144 50,4g. = Logo, a 
alternativa correta é a [D]. 
 
Resposta da questão 22: [E] 
 
Lembrando que a superfície lateral de um cone é obtida a partir de um setor 
circular, segue-se que o objetivo do responsável pelo adesivo será alcançado 
se ele fizer o corte indicado na figura abaixo. 
 
 
 
Resposta da questão 23: [A] 
 
Queremos calcular r, de modo que 212 r 1 4.π−    Portanto, 
considerando 3 como o valor aproximado de ,π temos 
 
2 2 812 3r 4 r
3
8
0 r
3
0 r 1,63,
−   
  
  
 
 
ou seja, a medida do raio máximo da ilha de lazer, em metros, é um número 
que está mais próximo de 1,6. 
 
Resposta da questão 24: [C] 
 
Volume do primeiro cilindro: 
2
1V r hπ=   
 
Volume do segundo cilindro: ( )
2
2
h
V r '
2
π=   
 
Fazendo 2 1V V / 2,= temos: 
 
( )
2
2 h r h
r ' r ' r
2 2
π
π
 
  =  = 
 
Resposta da questão 25: [B] 
 
Área total da nova lixeira: 
3 2A 30 2 30 60 4500 4500 3 13500cm .π π π=  +    = =  = 
 
Valor da lixeira = (13500 :100) 0,20 R$27,00. = 
 
Resposta da questão 26: [C] 
 
Supondo que o volume de açúcar e o volume de água somem o volume do 
copo. 
 
De acordo com o texto, temos: 
Volume de água = 5x 
Volume de água = x 
Volume do copo = 
2 2 3.2 .10 3.2 .10 120cm= =π 
Então x + 5x = 120
36x 120 x 20cm =  = 
Portanto, a quantidade de água deverá ser 5.20 = 100 cm3 = 100 mL. 
 
Resposta da questão 27: [A] 
 
Como o volume de areia é o mesmo, segue que: 
2 2 2 2
con con cil cil con cil
con cil
1 1
r h r h (2R) h R h
3 3
3
h h .
4
    =       = 
 = 
 
 
Resposta da questão 28: [E] 
 
A expressão superfície de revolução garante que a figura represente a 
superfície lateral de um cone. 
 
Resposta da questão 29: [D] 
 
Sejam r e h, respectivamente, o raio e a espessura das moedas de 
chocolate fabricadas atualmente. Logo, o volume V de chocolate de uma 
moeda é =  
2V r h. 
 
De acordo com a sugestão de Pedro, o volume V ' de chocolate empregado 
na fabricação de uma moeda com 8cm de diâmetro seria 
=    =     =2 2
V
V ' (2r) h 4 r h 4V. 
Supondo que o preço p da moeda seja diretamente proporcional ao volume 
de chocolate, segue que =  =p k V R$1,50, em que k é a constante de 
proporcionalidade. Assim, o preço p ' da moeda sugerida por Pedro deveria 
ser de =  =  =  =p' k V' k 4V 4 1,50 R$ 6,00. 
 
Resposta da questão 30: [A] 
 
Volume do copinho =  .22.4 = 16 cm3 
Volume de 20 copinhos pela metade = 
1
2
20. 16 cm2 = 160 cm3 
Volume da leiteira = .42.20 = 320 cm3 
 
 
 
 
 
 
 10 
 
 
 
Resposta da questão 31: [B] 
 
Como =40cm 0,4 m, segue que o volume de um tambor é dado por 
 
      = 
 
2
2 30,4r h 3 1 0,12 m .
2
 
Assim, o volume de água contido em um kit é  = 36 0,12 0,72 m . 
Por conseguinte, o valor a ser pago por uma família que utilizar 12 vezes a 
capacidade total do kit em um mês é de   =2,5 12 0,72 R$ 21,60. 
 
Resposta da questão 32: [A] 
 
 Volume 
3(m ) Massa (toneladas) 
Espécie I 23 3 12 0,06 19,44   = 0,77 19,44 14,96 = 
Espécie II 22 4 10 0,06 19,2   = 0,78 19,2 14,97 = 
 
 
Resposta da questão 33: [D] 
 
Sejam v e v', respectivamente, a capacidade da embalagem tradicional e a 
capacidade da nova embalagem. 
Portanto, de acordo com o enunciado, temos 
2
21 r 1 4hv ' v a r h a .
3 2 3 3
 
=      =      = 
 
 
 
Resposta da questão 34: 
 
 
Relação entre a aresta a do cubo e o raio r do cilindro: 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 3
cilindro cubo
2
22
cilindro
3
cubo
a 2 2 2 2r
2a 2r a 2 r
2 a 2
Logo : V r xa e V a
V 2 2r xa r
Assim : x
V a 4a
π
π
π π
− −
− =  =  =
= =
− 
= = = 
 
 
 
Resposta da questão 35: [E] 
 
A superfície do bebedouro 3 é constituída por dois semicírculos e por um 
retângulo. 
 
Resposta da questão 36: [B] 
 
O volume de refrigerante em uma garrafa parcialmente cheia é dado por 
     =2 33 12 3 9 12 324cm . 
 
Portanto, o número aproximado de garrafas utilizadas foi de 

1800000
5.555.
324
 
 
 
 
Resposta da questão 37: [D] 
 
 
Volume do concreto é V. Logo: 
 
V = Volume do cilindro maior – volume do cilindro menor 
 
V = .(1,2)2 .4 - .12.4 
V = 1,76.3,1 
V= 5,456m3 
Logo, o preço da manilha será 5,456 . 10 = R$ 54,56 
 
 
Resposta da questão 38: [B] 
 
Sejam =1r 2cm e =1h 13,5cm, respectivamente, o raio da base e a 
altura do cilindro cujo rótulo custa R$ 0,60. 
 
Se 1V e 1A denotam, respectivamente, a capacidade e a área do rótulo, 
então =   = 2 31V 2 13,5 54 cm e 
=   =  21A 2 2 13,5 54 cm . 
 
Sejam 2r e 2h , respectivamente, o raio da base e a altura da nova 
embalagem. Como = 2 2h 2 r e as capacidades das embalagens são iguais, 
temos que =   =    = =2 31 2 2 2 2V V 54 r 2r r 27 3. 
 
Além disso, a área lateral da nova embalagem é 
=   =  22A 2 3 6 36 cm . 
 
Supondo que o custo da embalagem seja diretamente proporcional à área 
lateral da mesma, obtemos =   =

1 1
0,6
c k A k ,
54
 sendo k a 
constante de proporcionalidade e 1c o custo da primeira embalagem. 
Portanto, =  =   =

2 2
0,6
c k A 36 R$ 0,40
54
 e 

= =

2
1
c 36 2
,
c 54 3
 
ou seja, o valor que o fabricante deverá pagar por esse rótulo é de 
R$ 0,40, pois haverá uma redução de − = − =1 2 1 1 1
2 1
c c c c c
3 3
 na 
superfície da embalagem coberta pelo rótulo. 
 
 
Resposta da questão 39: [D] 
 
 Área lateral L(A ) 
Volume 
LA V 
Tanque I 2 2 6 24π π  = 22 6 24π π  = 1 
Tanque II 2 2 8 32π π  = 22 8 32π π  = 1 
Tanque III 2 3 8 48π π  = 23 8 72π π  = 2 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
 
 
 
Resposta da questão 40: [D] 
 
Considere a figura, em que O é o centro da base do cilindro cujo raio 
queremos calcular. 
 
 
 
O lado do quadrado ABCD é igual ao diâmetro da base dos cilindros 
menores. Logo, =  =AB 2 6 12cm. Além disso, como =
BD
OB ,
2
 
segue que 
 
= = =
AB 2 12 2
OB 6 2cm.
2 2
 
Portanto, o raio da base do cilindro maior é dado por 
= + = + = +OQ OB BQ 6 2 6 6( 2 1)cm. 
 
Resposta da questão 41: [B] 
 
Se a área a ser iluminada mede 
228,26 m e r é o raio da área circular 
iluminada, então 
2 28,26r 28,26 r r 3 m.
3,14
  =     
Portanto, como g 5 m= e r 3 m,= segue que =h 4 m. 
 
 
 
Resposta da questão 42: [D] 
 
A alternativa [D] é a correta. Observe as figuras a seguir: