lista Sinais e Sistemas

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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
INSTITUTO DE TECNOLOGIA 
FACULDADE DE ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO E TELECOMUNICAÇÕES 
 
Sinais e Sistemas 
Faculdade de Engenharia da Computação e Telecomunicações. Instituto de Tecnologia. UFPA 
Rua Augusto Corrêa, n° 01. Guamá. Belém-PA. CEP: 66.075-110. Fone: (91) 3201-7901 
 
Lista de exercícios #1 
Capítulo 3 – Série de Fourier (Capítulo 6 do livro-texto) 
Instruções: 
 A entrega deve ser manuscrita e a resolução deve ser digitalizada/fotografada, atentando para a 
legibilidade; 
 Submeter a resolução via Google Classroom; 
 Gerar um arquivo para cada item da lista de exercícios. Por exemplo, nomear “6.1-7-a.pdf” para 
a resolução do item “a” do problema 6.1-7; 
 Utilizar formatos arquivos comumente utilizados (pdf, jpg, png); 
 Compactar em zip todos os arquivos gerados. O nome do arquivo compactado a ser submetido 
deve ser: “Lista1_NomeSobrenome_matrícula.zip” 
Problemas do livro-texto: 
 6.1-2 
 6.1-7 (itens a, b, c e d) 
 6.3-3 (itens a, b e c) 
 6.3-6 (itens a, b e c) 
 6.3-9 
6.1-2 - O sinal 𝑦(𝑡) pode ser obtido usando a reversão temporal de 𝑥(𝑡) mostrado abaixo. Use esse fato 
para obter a série de Fourier para 𝑦(𝑡), a partir da representação em série de Fourier do sinal 𝑥(𝑡). 
𝑦(𝑡)
 
 
𝑎0 = 0,504; 𝑎𝑛 = 0,504 (
2
1+16𝑛2
); 𝑏𝑛 = 0,504 (
8𝑛
1+16𝑛2
) 
𝑥(𝑡) = 0,504[1 + ∑
2
1 + 16𝑛2
(cos 2𝑛𝑡 + 4𝑛 𝑠𝑒𝑛 2𝑛𝑡)
∞
𝑛=1
 
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6.1-7 – Informe e justifique se os seguintes sinais são periódicos ou não. Para os sinais periódicos, 
determine o período e informe quais harmônicas estão presentes na série. 
a) 3 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 2 𝑠𝑒𝑛 (3𝑡) 
b) 2 + 5 𝑠𝑒𝑛(4𝑡) + 4 cos(7𝑡) 
c) 2 𝑠𝑒𝑛(3𝑡) + 7cos (𝜋𝑡) 
d) 7 cos(𝜋𝑡) + 5𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑡) 
 
6.3-3 – Um sinal periódico 𝑥(𝑡) é descrito pela seguinte série de Fourier: 
𝑥(𝑡) = 3 cos(𝑡) + 𝑠𝑒𝑛 (5𝑡 −
𝜋
6
) − 2 cos (8𝑡 −
𝜋
3
) 
a) Trace o espectro de amplitude e fase para a série trigonométrica 
b) Por inspeção do espectro da parte (a), trace o espectro da série exponencial de Fourier. 
c) Por inspeção do espectro da parte (b), escreva a série exponencial de Fourier de x(t) 
 
6.3-6 – A imagem abaixo mostra o espectro trigonométrico de Fourier de um sinal periódico x(t). 
 
a) Por inspeção, determine a série trigonométrica de Fourier que representa x(t). 
b) Por inspeção, trace o espectro exponencial de Fourier de x(t). 
c) Por inspeção do espectro exponencial de Fourier obtido na parte (b), determine a série 
exponencial de Fourier de x(t). 
6.3-9 - Mostre que a série exponencial de Fourier para 𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡 – 𝑇) é dada por 
𝑥(𝑡) = ∑ �̂�𝑛
∞
𝑛=−∞
𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡 
sendo 𝑥(𝑡) = ∑ 𝐷𝑛𝑒
𝑗𝑛𝜔0𝑡∞
𝑛=−∞ , |�̂�𝑛| = |𝐷𝑛| e ∠�̂�𝑛 = ∠𝐷𝑛 − 𝑛𝜔0𝑡. Esse resultado mostra que um 
deslocamento no tempo de um sinal periódico por T segundos simplesmente altera o espectro de fase 
por 𝑛𝜔0𝑇. O espectro de amplitude permanece inalterado. 
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Mostre também que a série exponencial de Fourier para �̃�(𝑡) = 𝑥(𝑎𝑡) é dada por 
�̃�(𝑡) = ∑ 𝐷𝑛
∞
𝑛=−∞
𝑒𝑗𝑛𝑎𝜔0𝑡 . 
Esse resultado mostra que a compressão no tempo de um sinal periódico por um fator a expande seu 
espectro de Fourier ao longo do eixo ω pelo mesmo fator a. Similarmente, a expansão no tempo de um 
sinal periódico por um fator a comprime seu espectro de Fourier ao longo do eixo ω pelo fator a.