Aula 04 - Potenciação e Radiciação

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PRÉ-CÁLCULO
REVISÃO DOS FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Aula 04 - Potenciação e Radiciação
Autor: EXATAS para Engenheiros Data: 15 de janeiro de 2021.
1 Potenciação
Seja a ∈ R e n ∈ N e n é > 1, a potência de base a e expoente n é o produto de n fatores
iguais a a. Representa-se a potência pelo símbolo an.
an = a.a.a. ... .a, ∀ n ∈ N, n > 2
23 = 2 . 2 . 2 = 8, onde o nº 2 é a base, o nº 3 é o expoente e o nº 8 é a potência.
Exemplos:
1. 24 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16
2. (−2)4 = 16
3. −24 = -16
1.1 Quando o expoente corresponde ao número 1
a1 = a
Exemplos:
1. 21 = 2
2. −21 = -2
3. 01 = 0
1
1.2 Quando o expoente é negativo
a−n =
1
an
Exemplos:
1. 2−3 = 123 =
1
2.2.2 =
1
8 = 0,125
2. (−2)−3 = 1
(−2)3 =
1
(−2).(−2).(−2) =
1
−8 = -0,125
3. −2−3 = 1−23 =
1
(−2).2.2 =
1
−8 = -0,125
1.3 Quando o expoente corresponde ao número 0
a0 = 1
Exemplos:
1. 50 = 1
2. 560 = 1
3. 1230 = 1
1.4 Regra de sinais para expoentes
• Expoente par: a potência sempre será positiva;
• Expoente ímpar: a potência sempre será negativa.
Exemplos:
1. −42 = 16
2. −43 = -64
3. 22 = 4
4. −23 = -8
2
1.5 Propriedades da potenciação
am.an = am+n
am : an = am−n
(am)n = am.n
am.bm = (a.b)m
am
bm
= (
a
b
)m
Exemplos:
1. 23 . 25 = 23+5 = 28
2. 23 . 2−5 = 23+(−5) = 2−2 = 122 =
1
4
3. 210 ÷ 26 = 210−6 = 24
4. 210 ÷ 2−6 = 210−(−6) = 210+6 = 216
5. (25)7 = 25.7 = 235
6. 2
6.27.(24)2
25.23 =
26.27.28
25.23 =
221
28 = 2
21−8 = 213
7. (2.5)2 = 22 . 52 = 4 . 25 = 100
8. (43)
2 = 4
2
32 =
16
9
1.6 Potência de base 10
• Expoente positivo: indica a quantidade de zeros após o algarismo 1;
• Expoente negativo: indica a quantidade de casas decimais após a vírgula.
Exemplos:
1. 103 = 1 000
2. 108 = 100 000 000
3. 10−2 = 0,01
4. 10−9 = 0,000000001
3
1.7 Notação científica
É composta pelo produto de dois fatores, sendo o primeiro um número maior do que 1 e
menor do que 10 e, o segundo, uma potência de base 10.
Exemplos:
1. 0,0000002 = 2 . 10−7
2. 3 000 000 = 3 . 106
3. 0,00054 = 5,4 . 10−4
4. 1 500 000 000 = 1,5 . 109
2 Radiciação
Seja a ∈ R+ e n ∈ N∗, chama-se raiz enésima de a, o número b tal que n
√
a = b⇔ bn = a.
Exemplos:
1.
√
16 = 2
√
42 = 4⇒ 42 = 16
2. 3
√
8 = 3
√
23 = 2⇒ 23 = 8
No símbolo n
√
a, temos:
• √→ radical
• a→ radicando
• n→ índice da raiz
Sendo n ∈ N, n > 2, temos:
• Se n par e a < 0; só é definida nos reais para radicandos positivos, ou seja, a expressão
n
√
a não tem significado real.
• Se n ímpar; sempre é definida nos reais.
4
Exemplos:
1. 3
√
−81 = @
2.
√
−4 = @
3. 3
√
−8 = 3
√
(−2)3 = -2
4. 4
√
16 = 4
√
24 = 2
5. 3
√
8 = 3
√
23 = 2
6. 5
√
−3125 = − 5
√
55 = -5
7.
√
50 =
√
2.52 =
√
2 .
√
52 = 5
√
2
8. 3
√
−48 = 3
√
−23.2.3 = − 3
√
23 . 3
√
2.3 =
-2 3
√
6
9.
√
300 =
√
22.3.52 =
√
22 .
√
3 .
√
52 =
2.5
√
3 = 10
√
3
2.1 Potência de um expoente racional
Seja a ∈ R+, n ∈ N∗ e mn ∈ Q. A potência é definida por: a
m
n = n
√
am.
Exemplos:
1. 2
2
3 = 3
√
22
2. 2
1
5 = 5
√
21 = 5
√
2
2.2 Propriedades da Radiciação
n
√
a.b = n
√
a. n
√
b
n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
a
m
n = n
√
am = ( n
√
a)m
m
√
n
√
a = m.n
√
a
n
√
am = n.p
√
am.p
Exemplos:
1.
√
2 .
√
8 =
√
2.8 =
√
16 = 4
2.
√
50√
2
=
√
50
2 =
√
25 = 5
3.
√
15 = 2.3
√
151.3 = 6
√
153 = 6
√
3375
4.
√
3
√
7 = 2.3
√
7 = 6
√
7
5. (
√
2)2 =
√
22 =
√
4 = 2
6.
√√√
2 = 2.2.2
√
2 = 8
√
2 = 2
1
8
5
2.3 Racionalização de denominadores
Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar todos os radicais (ou potências
de expoentes fracionários) que existem no denominador da mesma, sem, porém, alterar o seu
valor.
Exemplos:
1. 2√
3
= 2√
3
.
√
3√
3
= 2.
√
3√
3.
√
3
= 2.
√
3
(
√
3)2
= 2.
√
3
3
2. 2√
3−
√
8
= 2√
3−
√
8
.
√
3+
√
8√
3+
√
8
= 2.
√
3+2.
√
8
(
√
3.
√
3)+(
√
3.
√
8)−(
√
8.
√
3)−(
√
8.
√
8)
= 2.
√
3+2.
√
8
(
√
9)+(
√
24)−(
√
24)−(
√
64)
=
2.
√
3+2.
√
8
3−8 =
2.
√
3+2.
√
8
−5 = −
2.
√
3+2.
√
8
5
3. 5.
√
3
4−
√
7
= (5.
√
3)
(4−
√
7)
. (4+
√
7)
(4+
√
7)
= 20.
√
3+5.
√
21
16+4.
√
7−4.
√
7−
√
49
= 20
√
3+5.
√
21
16−7 =
20
√
3+5.
√
21
9
6