Lista 7 - Exercícios resolvidos de cálculo 1

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1. Responda V (verdadeiro) ou F (falso).1
a. (V) Toda função monótona crescente é injetora;
b. (F) Toda função injetora é monótona decresente;
c. (F) Não existe função que seja simultaneamente não-crescente e não-decrescente;
d. (V) Se uma função é par e ı́mpar simultaneamente, então essa função é monótona.
2. Apresente um exemplo de:
a. Uma função f : R→ R que seja sobrejetora, mas não seja injetora;
Seja f(x) =
{
x+ 1 se x ≤ 0
x− 1 se x > 0
.
f é sobrejetora umavez que, dado y ∈ R, temos que y = f(y − 1) se y ≤ 1 e y = f(y + 1)
se y > 1.f não é injetora pois, f(−1) = f(1) = 0 e −1 6= 1.
b. Uma função g : R→ R que seja injetora, mas não seja sobrejetora;
Seja g(x) =
x
1 + |x|
.
g é injetora pois, dados x, y ∈ R tais que g(x) = g(y) então x
1 + |x|
=
y
1 + |y|
. Se x < 0 então
x
1 + |x|
< 0, logo
y
1 + |y|
é também negativo, de onde segue que y < 0. Neste caso, temos que
x
1− x
=
x
1 + |x|
=
y
1 + |y|
=
y
1− y
Assim, x − xy = y − xy, portanto x = y. De forma análoga, se x > 0 temos que y também
deve ser positivo e teremos
x
1 + x
=
x
1 + |x|
=
y
1 + |y|
=
y
1 + y
. Logo, x + xy = y + xy,
portanto x = y. Se x = 0 então obviamente y = 0 e teremos novamente x = y.
g não é sobrejetora pois, 2 ∈ R mas 2 não pode ser g(x) para nenhum x ∈ R, já que
g(x) =
x
1 + |x|
< 1 < 2.
c. Uma função h : R→ R que seja bijetora, mas não seja monótona.
Seja h(x) =

x se x 6= 0 ou x 6= 2
0 se x = 2
2 se x = 0
.
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Exercícios resolvidos de Cálculo 1