3 PENDULO FISICO

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PENDULO FISICO 
 
 
Objetivo 
 
 A partir da definição de momento angular determinar o período de rotação 
de uma barra prismática homogênea associada a uma esfera. 
 
Introdução teórica 
 
De acordo com YOUNG e FREEDMAN, 2008, define-se como momento angular, 
�⃗� , de uma partícula de massa m em relação a um ponto O, como o produto 
vetorial da quantidade de movimento da partícula, m𝑣 , pelo seu vetor posição 𝑟 . 
 
�⃗� = 𝑟 𝑥 𝑚𝑣 
 
Para uma partícula sujeita a uma força resultante 𝐹 , a variação do momento 
angular é dada por 
 
𝑑�⃗� = 𝑟 𝑥 𝑚 𝑑𝑣 
 
que dividindo pelo intervalo de tempo dt, tem-se o torque Γ 
 
𝑑�⃗� 
𝑑𝑡
= 𝑟 𝑥 𝐹 = Γ 
 
Já para um corpo rígido girando em torno de um eixo de simetria o momento 
angular é dado por 
�⃗� = 𝐼�⃗⃗� 
 
Onde  é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de simetria e �⃗⃗� o 
vetor velocidade angular. 
Dividindo a equação por dt, tem-se o torque Γ 
 
𝑑�⃗� 
𝑑𝑡
= 𝐼 𝛼 = Γ 
 
 
De acordo com ALONSO e FINN, 1999, “um pêndulo 
físico é um sólido rígido que pode oscilar livremente 
em torno de um eixo horizontal sob a ação da 
gravidade. Para oscilações de pequena amplitude, o 
pêndulo move-se com MHS”. 
Assim um pêndulo físico composto de uma esfera de 
momento de inércia Ie presa na extremidade de uma 
barra prismática de momento de inércia IB, quando 
afastado de um ângulo  muito pequeno e solto, tem 
momento angular L, dado por: 
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𝑑𝐿 = 𝐼𝑒 𝑑𝜔 + 𝐼𝐵 𝑑𝜔 
 
Dividindo-se os dois lados da equação por dt, a equação fica: 
 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= Γ = (𝐼𝑒 + 𝐼𝐵)𝛼 
 
Aplicando a 2ª Lei de Newton para um deslocamento muito pequeno do pêndulo 
e considerando sen ≈em radianos, tem-se que o módulo do torque 
Γ provocado pelos pesos da barra e da esfera em relação ao ponto O, é dado 
por: 
 
Γ = (𝑚𝑒ℓ + 𝑚𝐵ℎ) 𝑔 𝜃 
 
Igualando as duas equações, 
 
𝛼 =
(𝑚𝑒ℓ + 𝑚𝐵ℎ) 𝑔 𝜃
(𝐼𝑒 + 𝐼𝐵)
 
 
 
Para o pendulo realizando MHS, a razão entre o deslocamento x = A sen t e a 
aceleração do sistema, tomada em módulo, a 2 A sen  t, resulta em a =  2 
x. 
Como da geometria do sistema, o deslocamento x pode ser escrito em função 
do comprimento l, x = l sen  ≈ l , a equação da aceleração angular fica: 
 
𝑎
ℓ
= 𝛼 = 𝜔2𝜃 
 
Associando as duas equações da aceleração angular, , o período (T) de 
oscilação do pendulo físico (composto), será dado por: 
 
𝑇 = 2𝜋√
(𝐼𝑒 + 𝐼𝐵)
(𝑚𝑒ℓ + 𝑚𝐵ℎ) 𝑔
 
 
Considerando que devido à homogeneidade dos materiais o centro de massa da 
barra (CMB) e da esfera (CMe) coincidem com seus respectivos centros de 
gravidade e, os dois corpos oscilam em relação ao ponto O, através de um eixo 
paralelo distante dos eixos centrais da barra e esfera. Assim deve-se aplicar, 
nos dois casos, o teorema dos eixos paralelos. Assim o momento de inércia dos 
dois corpos ficam Ie = ICMe + me l 2 e IB = ICMB + mB h 2. Onde me é a massa da 
esfera, l, a distancia do centro de massa da esfera até o ponto O de rotação, mB, 
a massa da barra, h, a distancia do centro de massa da barra até o ponto de 
rotação e, g a aceleração gravitacional local. 
 
Material utilizado 
 
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Conjunto com barra rotativa, esfera de aço, régua, balança. 
 
Procedimento 
 
Meça a massa da barra e da esfera. 
 
Meça as dimensões a e b da barra e o diâmetro da esfera. 
 
Monte o conjunto como mostra a figura. 
 
Meça as distancias h e l. 
 
Afaste pendulo do equilíbrio, solte-o e marque o tempo de 10 oscilações. 
 
Calcule o período de uma oscilação dividindo o tempo obtido por 10. 
Preencha a tabela. 
 
Resultados 
 
i T(s) l (m) me(kg) mB(kg) a(m) b(m) h(m) Dm) g(m/s2) 
1 
2 
3 
 
Pesquise os momentos de inércia da esfera (ICMe) e da barra (ICMB), calcule Ie e 
IB e determine T a partir da equação. 
 
Conclusão 
 
Compare os resultados obtidos para T pela medição e pelo cálculo. 
 
Atividade 
 
1. Analisando a equação do período em termos de unidade compare com a 
equação do pendulo simples. 
2. Determine T por cálculo utilizando a esfera como partícula e desprezando 
o peso da barra. 
3. Determine o ângulo. 
4. Calcule o torque sobre o pendulo. 
5. Altere a altura l e meça novo T. Construa um gráfico T x l . 
6. Utilize o pendulo para calcular g, usando o período medido. 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia 
 
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SCHIEL, D. Laboratório de Física II. Apostila UFSCAR-USP. 1978. 
PAULI, R.U. et AL. Fisica I – Mecânica. EPU. São Paulo. 1978. 
ALONSO, M.; FINN, E.J. Fisica. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana España, 
S.A. Madri, 1999. 
YOUNG, H.D.; FREEDMAN, R.A. Física I – Mecânica, Sears e Zemansky. Edit. 
Pearson. São Paulo, 2008