Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 1 AULA 3 – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM FRAÇÃO, CONJUNTOS, PORCENTAGENS E LÓGICA - REVISÃO E APROFUNDAMENTO S U M Á R I O 1. REVISÃO DE FRAÇÃO .......................................................................................................... 5 1.1 Simplificação de Fração .................................................................................................6 2.2 Operações com frações ..................................................................................................6 2. DÍZIMAS PERIÓDICAS ......................................................................................................... 8 3. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES COM FRAÇÃO ....................................................................... 9 4. REVISÃO DE CONJUNTOS ................................................................................................ 21 5. QUESTÕES DE CONJUNTOS ............................................................................................ 21 6. REVISÃO DE PORCENTAGENS ........................................................................................ 35 6.1 Cálculos Percentuais .................................................................................................... 36 7. QUESTÕES DE PORCENTAGENS ..................................................................................... 36 9. REVISÃO DE SEQUÊNCIAS .............................................................................................. 53 8. QUESTÕES COM SEQUÊNCIAS ........................................................................................ 53 9. REVISÃO DE LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES ...................................................................... 57 9.1 Operadores Lógicos ..................................................................................................... 64 10. QUESTÕES DE LÓGICA PROPOSICIONAL ........................................................................ 65 11. RELAÇÃO DAS QUESTÕES DA AULA ................................................................................ 73 12. GABARITO ......................................................................................................................... 90 RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 2 Prezados amigos, Esta é a nossa última aula de nosso Curso de Raciocínio Lógico Matemático. Espero sinceramente que vocês tenham estudado bem todos os assuntos. Não tenha deixado nada de fora para não ser surpreendido com alguma questão. Caso não tenham entendido bem alguma questão, fique à vontade para tirar suas dúvidas pelo e-mail. Essa aula será de revisão dos principais tópicos do edital. Resolveremos muitas questões que servirão de base para aprofundar seus conhecimentos. E então, vamos FINALIZAR nossa jornada? Nesta aula, quero que você tenha contato com muitas questões deste curso e possa avaliar, com calma, tudo o que você já aprendeu. Aproveite para iniciar, agora, os estudos de revisão de conteúdo que irão promover sua aprovação no concurso. Acredite, é possível conseguir a aprovação sem estudar, mas as chances são quase imperceptíveis. A melhor forma é, certamente, estudar bastante. Um bom material, muita dedicação e força de vontade são os principais companheiros daqueles que alcançam a vitória! Já participei de bancas de concurso como elaborador de questões. Sei como as instituições pedem as questões de provas. Elas trabalham com banco de dados e o sorteio é pelo computador no momento da elaboração das provas. Muitas das vezes os elaboradores fazem questões com o mesmo texto ou texto muito parecido, só alterando os valores numéricos. Com as bancas IADES e AOCP é a mesma coisa. Pude perceber que eles repetem os modelos das questões. Podem observar as que selecionei pra vocês. Não é mesmo? Estou lhes mostrando o caminho das pedras. Pratiques bem as questões estudadas durante nosso curso. Hoje, estamos chegando ao final do curso. Não foi fácil, mas foi gratificante. Agradeço os bons comentários, sugestões, perguntas e elogios que recebi durante o curso, isso faz a diferença. null RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 3 MINHAS DICAS PARA A PROVA Vou lhes dá algumas dicas que podem fazer a diferença na sua prova. Essa é minha experiência acumulada durante alguns anos e de alguns concurseiros que conheci. Nossa principal dica é a tranquilidade. É muito mais fácil fazer uma boa prova quando estamos serenos. É, é fácil falar, sabemos. Mas é possível obter a calma por meio da segurança no que se fez (cada um fez o melhor que pôde) e utilizando-se de treinamento. Treine, faça provas simuladas em casa, na biblioteca, em outros concursos. Mas faça toda a simulação. Prepare-se para o dia, cuide da alimentação, faça uso do mesmo mecanismo de transporte. Antes da prova, vá ao local onde fará a prova, no horário marcado para verificar o trajeto, o local e o trânsito. Deixe uma margem de tempo no horário de chegada! Isso certamente ajuda, pois a agonia de ter de chegar no horário com algum imprevisto ocorrendo pode atrapalhar – e muito – a concentração. Aprenda a fazer escolhas na hora da prova. Primeiro, escolha a disciplina que acredita ter domínio. Não gaste tempo lamentando ou tentando resolver questões que não sabe ou que está com dúvidas. Marque a questão para depois e siga em frente. O bom de começar pelo que se sabe mais é ganhar confiança acertando muitas questões logo no início. Certamente a ansiedade diminui. Pausas! É importante fazer pausas. Não gaste todo o tempo fazendo a prova. É importante dar um tempo, ir ao banheiro, comer alguma coisa. Sem viajar demais, claro. Uma pequena pausa para recompor. Como professores, sabemos que a atenção em uma aula presencial dura até 50 minutos. Depois, há uma tendência natural de dispersão. O cérebro cansa e procura distração. Por que não assumimos isto e fazemos uma pausa a cada hora? Uma balinha, doce ou chocolate (podem ser alimentos saudáveis também, claro) já ajuda a descansar a mente! O tempo gasto será pequeno e os benefícios podem ser grandes. Não se preocupe demais – nem exagere – com alguns minutos gastos com descanso. Podem ser valiosos para acertar mais algumas questões. null null RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 4 Não perca muito tempo nas questões que são difíceis ou que tenha dúvidas. Concentre-se em marcar aquelas que sabe primeiro. É melhor garantir logo o que sabe e depois voltar para aumentar a pontuação. Ficar preso em uma parte da prova pode obrigá-lo a deixar questões que acertaria facilmente. No mais, o de sempre: boa alimentação, cuidar do sono, cuidar da família e da saúde. Preparar para uma prova requer mais do que estudo, requer uma organização de vida. O principal vem agora: CONFIANÇA e DEDICAÇÃO. Não desista, você conseguirá. Valeu, pessoal! Prof. Adeilson de Melo. null RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 5 1. REVISÃO DE FRAÇÃOQuando um todo ou uma unidade é dividido em partes iguais, uma dessas partes ou a reunião de várias formam o que chamamos de uma fração do todo. Para se representar uma fração são, portanto, necessários dois números inteiros: a) O primeiro, para indicar em quantas partes iguais foi dividida a unidade (ou todo) e que dá nome a cada parte e, por essa razão, chama-se denominador da fração; b) O segundo, que indica o número de partes que foram reunidas ou tomadas da unidade e, por isso, chama-se numerador da fração. O numerador e o denominador constituem o que chamamos de termos da fração. Exemplos: 2 3 : numerador = 2; e denominador = 3; 5 7 : numerador = 5; e denominador = 7. Frações equivalentes Duas ou mais frações que representam a mesma parte da unidade são chamadas frações equivalentes (têm o mesmo valor). Quando multiplicamos ou dividimos os termos de uma fração por um mesmo número natural, diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração inicial. Frações irredutíveis São todas as frações em que o numerador e o denominador são números primos entre si. Exemplos: 5 11 e 2 3 Comparação e simplificação de fração RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 6 Comparação Quando duas frações têm denominadores iguais, a maior das frações é aquela que tem o maior numerador. Quando vamos comparar duas frações que têm denominadores diferentes, reduzimos ao mesmo denominador e aplicamos a regra. Exemplo: Comparar as frações 5 6 e 5 7 entre si Como as frações têm denominadores diferentes, reduzindo-as ao mesmo denominador. 1.1Simplificação de Fração Simplificar uma fração é dividir seus termos por um mesmo número e obter termos menores que os iniciais, formando outra fração equivalente à primeira. Exemplo: Vamos simplificar pelo método das divisões sucessivas até obter a forma irredutível (numerador e denominador primos entre si) da fração 120 440 . 2.2 Operações com frações Adição e subtração RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 7 A soma de frações com denominadores iguais é uma fração cujo denominador é igual ao das parcelas e cujo numerador é a soma dos numeradores das parcelas. Exemplo: A diferença entre duas frações com denominadores iguais é uma fração cujo denominador é igual ao das frações dadas e cujo numerador é a diferença dos numeradores. Ao somar ou subtrair frações que têm denominadores diferentes, devemos primeiro reduzi-las ao mesmo denominador e depois aplicar a regra anterior. Multiplicação O produto de duas frações é outra fração, cujo numerador é o produto dos numeradores dados e o denominador é o produto dos denominadores dados. Divisão RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 8 O quociente de uma fração por outra é igual ao produto da primeira fração pelo inverso da segunda fração. NÚMEROS DECIMAIS Veja como os numerais com virgula (números decimais) devem ser lidos: 0,9: (nove décimos) 0,17: (dezessete centésimos) 0,254: (duzentos e cinquenta e quatro milésimos) 5,6: (cinco inteiros e seis décimos) 7,18: (sete inteiros e dezoito centésimos) 27,391: (vinte e sete inteiros, trezentos e noventa e um milésimos) 2. DÍZIMAS PERIÓDICAS Uma dízima periódica é simples quando seu período tem início logo após a vírgula (na ordem décimo de unidade). Exemplos: 0,454545... ou 0,45... ou 0,(45) [ os números dentro dos parênteses é a parte que se repete ou periódica] 0,316316316... ou 0,316... ou 0,(316) 0,2222... ou 0,2... ou 0,( 2) Partes periódicas ou períodos: 45; 316; 2 OBTENÇÃO DE UMA FRAÇÃO GERATRIZ Chama-se fração geratriz de uma dízima periódica a fração que deu origem a essa dízima, isto é, aquela que gerou a dízima. RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 9 Conceito: A geratriz de uma dízima periódica simples é uma fração na qual o numerador é igual ao período da dízima e o denominador é formado por tantos noves quantos são os algarismos do período. Conceito: A geratriz de uma dízima periódica composta é uma fração na qual: – O numerador é formado escrevendo-se a parte não periódica seguida do período. Do número formado, subtrai-se a parte não periódica. – O denominador é formado por tantos noves quantos são os algarismos do período e por tantos zeros quantos são os algarismos da parte não periódica. 3. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES COM FRAÇÃO 01. (AOCP- EBSERH/HU-UFMS- 2014 - Adaptado) O apartamento que Leandro vai comprar custa R$ 200.000,00. Ele pagou a vista 3/5 do valor total do apartamento e dividiu o restante em 16 prestações iguais. Qual é o valor de cada prestação? a) R$ 7.200,00 b) R$ 5.400,00 c) R$ 5.000,00 d) R$ 9.300,00 e) R$ 4.400,00 RESOLUÇÃO: RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 10 Valor do apartamento de Leandro: R$ 200.000,00 Valor do apartamento = entrada à vista de 𝟑 𝟓 do valor do apartamento + 16 parcelas iguais. Restante dividido em 16 parcelas iguais. Representando o problema: Valor pago à vista: 𝟑 𝟓 de 200.000 𝟑 𝟓 x200.000 = 𝟔𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎 𝟓 = 120.000 ( entrada, valor pago à vista) O valor da entrada ficou em 120.000,00 (pago à vista) Se ele pagou 120.000,00 Para calcular o restante é só subtrair do valor do apartamento. 200.000 – 120.000 = 80.000,00 O restante ficou em 80.000,00 que será pago em 16 parcelas. Agora é só dividir 80.000,00 por 16. 𝟖𝟎.𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟔 = 5.000 Valor do apartamento = entrada à vista de 𝟑 𝟓 do valor do apartamento + 16 parcelas iguais. R$ 120.000,00 R$ 5.000,00 RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 11 O valor de cada prestação é de R$ 5.000,00 Alternativa C 02. (AOCP - EBSERH/HU-UFS: 2014 - Adaptado) Hermes fez uma viagem de ônibus que durou 13/18 horas de um dia. Quantas horas Hermes passou em viagem? a) 17 horas e 6 minutos. b) 17 horas e 20 minutos. c) 19 horas e 30 minutos. d) 19 horas e 20 minutos. e) 17 horas. SOLUÇÃO: Devemos lembra que o dia tem 24 horas Hermes viajou durante 13 18 do dia. (multiplica-se 13 por 24 e divide-se por 18) 13 18 do dia (24 horas) = 13 18 x24 = 312 18 = 17 h e sobram 6 de resto (cuidado não é 6 minutos) 1 Dia Esse resto para transformá-lo em minutos basta multiplicar por 60, pois 1h tem 60 minutos e depois dividir pelo 18. Veja: 6 x 60 = 360:18 = 20 min. Assim, 13 18 do dia = 17 h e 20 minutos. Resposta: B RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTOProf. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 12 03. (FEC) Ana comeu 2/3 da quantidade total de bombons de uma caixa, e sua irmã comeu 1/4 da mesma quantidade total. A fração correspondente à quantidade de bombons que as duas comeram juntas é de: a) 3/7 b) 11/12 c) 2/12 d) 1/7 e) 5/6 Resolução: Primeiro vamos determinar a fração do número de bombons consumidos por Ana e sua irmã: Assim, Ana e sua irmã comeram 11 12 da quantia total de bombons. Resposta: B 04. (NCE) Ao fazer uma divisão entre dois números inteiros numa calculadora, Josimar obteve como resultado: 0,1234123412341234. Assinale o item que pode indicar a divisão feita por Josimar: a) 1234/999 . b) 1234/1000. c) 12/34. d) 12341234/9000000 . e) 1234/9999 . RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 13 Resolução: O número racional 0,1234123412341234 é uma dízima periódica simples, em que seu termo periódico é formado pelos algarismos 1234, chamado de período. Assim, transformando essa dízima periódica na fração geratriz que a originou, basta dividir os algarismos da parte periódica (1234) por tantos “9” quantos forem os algarismos da parte periódica. Portanto, teremos: 0,123412341234... = 1234 9999 Gabarito: E. 05. (CFC) Dê a fração geratriz da dízima periódica 0,12555... a) 125/999 . b) 125/1000 c) 113/900 d) 113/90 . e) 125/9990 Resolução: Nessa questão temos número racional 0,12555... é uma dízima periódica composta, em que seu termo periódico é dado pelo algarismo “5” e o termo não periódico é dado pelos algarismos “12”. Assim, transformando essa dízima periódica composta na fração geratriz que a originou. Para tanto, basta dividir o número formado pelos algarismos não periódicos e pelo algarismo periódico (“125”). Subtraído do número formado pelos algarismos que não se repetem (“12”) por tantos noves (“9”) quantos forem os algarismos da parte periódica e tantos zeros (“0”) quantos forem os algarismos da parte não periódica. RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 14 Portanto, teremos: 0,12555... = 125 - 12 900 = 113 900 Gabarito: C. 06. (FCC) Cristina foi passear e gastou 1/4 do dinheiro que levou para comprar o ingresso para um show e do que restou no restaurante que foi depois do espetáculo. Se, ao final, Cristina ficou com R$ 24,00, com que quantia ela saiu de casa? a) R$ 64,00. b) R$ 96,00. c) R$ 160,00. d) R$ 256,00. e) R$ 320,00. Resolução: RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 15 Assim, a quantia que ela saiu de casa foi R$ 160,00 Gabarito: C. 07. (FCC) Do total de funcionários de um tribunal, 3/4 são homens e os restantes são mulheres. Em certo dia, faltaram ao serviço 1/9 do total de homens e 1/3 do de mulheres. Nesse caso, compareceram: a) 1/6. b) 1/3 c) 5/6. d) 2/3. e) 1/4. Resolução: Para se resolver a questão, observe a distribuição das pessoas, em relação ao total de funcionários (1 = valor inteiro) a seguir de acordo com que foi exposto na questão. Resposta: C 08. (AOCP- EBSERH/HU-UFS: 2014 - Adaptada) Quero comprar um carro avaliado em R$ 50.000,00. Se eu pagar 1/4 do valor total à vista, quanto do carro faltará para pagar? a) R$ 18.000,00 b) R$ 36.250,00 RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 16 c) R$ 27.500,00 d) R$ 48.350,00 e) R$ 37.500,00 SOLUÇÃO: Valor do carro R$ 50.000,00 Pago 1 4 do valor à vista: 50.000x 1 4 = 50.000 4 = 12.500 (pago à vista) Então é só subtraindo valor do carro 50.000 o valor já pago à vista, isto é, 12.500,00 50.000 – 12.500 = 37.500,00 Resposta: falta pagar R$ 37.500,00 reais. Alternativa: E 09. ( AOCP- EBSERH/HU-UFS: 2014- Adaptada) Quanto é três quintos de dois sétimo de 350? a) 6 b) 60 c) 75 d) 10 e) 120 SOLUÇÃO: Esta questão é muito simples. É uma aplicação de multiplicação de fração. RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 17 3 5 x 2 7 x350 = 6 35 x350 = Para facilitar o cálculo, primeiro devemos dividir 350 por 35 = 10. Agora é só multiplicar 6 por 10. 6x10 = 60 Assim, a resposta é 60. Alternativa: B 10. (AOCP- EBSERH/HU-UFGD: 2014-adaptada) Márcia recebeu uma fatura para ser pago no próximo dia útil. Fazendo as contas, ela percebeu que possui apenas três oitavos de dois sétimos do valor total da fatura, ou seja, ele possui apenas R$ 60,00. Qual é o valor total da fatura que Márcia deverá pagar? a) R$ 560,00. b) R$ 250,00. c) R$ 1200,00. d) R$ 580,00. e) R$ 750,00. SOLUÇÃO: Márcia possuía apenas 3 8 x 2 7 de x que é igual a R$ 60,00 Este problema é muito básico. O assunto aqui em questão é multiplicação de fração. Na multiplicação de fração multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador. RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 18 Assim, 3 8 x 2 7 = 6 56 de x. Agora é só montarmos uma regra de três para encontrar o valor total. Parte correspondente 6-------------------- 60 56 --------------------x Multiplicamos em cruz. (as grandezas são diretamente proporcionais) 6x = 56x60 6x = 3360 X = 𝟑𝟑𝟔𝟎 𝟔 X = 560 Resposta: A quantia total da fatura é R$ 560,00 Alternativa: A 11. (AOCP - EBSERH/HUSM-UFSM: 2014 - Adaptado) Ricardo comeu 4 pedaços de um bolo inteiro, cada pedaço com 3/8 do total. Sendo assim, quanto desse bolo Ricardo comeu? a) 1/3 b) 1/2 c) 2/3 d) 3/4 e) 4/16 RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 19 SOLUÇÃO: Ricardo comeu 4 pedaços de um bolo e cada pedaço corresponde a 3/16 da pizza. Para resolver é só multiplicar 4 x 3 16 = 12 16 = (simplificando: dividindo o numerador e o denominador por 4) 12:4 16:4 = 3 4 Então Ricardo comeu: 𝟑 𝟒 do bolo. Alternativa D 12. (AOCP - EBSERH/HULW-UFPB -2014- Adaptado) Cinco quilos de Arroz serão divididos igualmente em 12 potes. Quanto de arroz cada pote receberá a) 6 kg b) 0,8 kg c) 0,29 kg d) 0,9 kg e) 0,3 kg SOLUÇÃO: Dados: 6 kg de açúcar Dividir para 20 potes. Então: 𝟔 𝟐𝟎 = 0,3 kg ou 300 gramas (faça a divisão do numerador pelo denominador) Alternativa: E 13. (AOCP- EBSERH/HC-UFMG- 2014-adaptado) Qual é o valor de 30% de 1/5 em um total de 1500 unidades? RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melowww.romulopassos.com.br Página 20 a) 90. b) 20. c) 50. d) 60. e) 160. RESOLUÇÃO: Essa questão se refere a porcentagem com fração. Vamos resolvê-la na ordem em que aparecem os números. 30% de 𝟏 𝟓 de 1500. 30% = 𝟑𝟎 𝟏𝟎𝟎 x 𝟏 𝟓 Multiplicando numerador com numerador e denominador com denominador, temos: 𝟑𝟎 𝟏𝟎𝟎 x 𝟏 𝟓 = 𝟑𝟎 𝟓𝟎𝟎 = ( simplificamos a fração por 10, dividindo o numerador e o denominador por 10) Agora é só calcular 𝟑 𝟓𝟎 de 1500. 𝟑 𝟓𝟎 x1500 = 3x1500/50 = 𝟒𝟓𝟎𝟎 𝟓𝟎 = 90 unidades O valor procurado é 90 unidades. Alternativa A RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 21 4. REVISÃO DE CONJUNTOS Conceito CONJUNTO: São Coleções, classes ou agrupamentos de objetos. Exemplo:: Conjuntos dos números pares menores que 5. A={ 0, 2, 4 } LEMBRE-SE: a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A A ) b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. ( A) c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = { , {c}, {d}, {c,d}} e) um subconjunto de A é também denominado parte de A. PARA FIXAR!! Símbolos ∈ e ∉: expressam relações entre conjunto e elementos - indicam se um elemento pertence ou não a um conjunto. Símbolos “ ⊂ ” e “ ⊃ ”: expressam relações entre conjuntos Se B é um subconjunto de A, então podemos dizer que: B ⊂ A (B está contido em A) A ⊃ B (A contém B) 5. QUESTÕES DE CONJUNTOS 14. ( AOCP: EBSERH/HULW-UFPB- 2014 - adaptado) Um mercado vende duas marcas diferentes de TV e fez uma pesquisa para saber qual das duas marcas os consumidores preferiam comprar. Sabendo que todos os entrevistados optaram por pelo menos uma das duas marcas, que 60% dos entrevistados votaram na marca A e que 90% votaram na marca B. Então qual é a porcentagem de entrevistados que votaram nas duas marcas, A e B? a) 40% b) 25% c) 50% RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 22 d) 80% e) 30% SOLUÇÃO: Marca A: 60% Marca B: 90% Pelo menos uma das pessoas votaram nas duas marcas: n(a∩b) (interseção de conjuntos), vamos representá-la pela letra x. Representaremos dois conjuntos assim: Vamos usar a fórmula abaixo para calcular a quantidade de elementos de cada conjunto (nesse caso as marcas A e B). n(AUB) = n(a) + n(b) – n(a∩b) Num universo de porcentagem toda vez que se referir a esse tipo de número chamaremos U de 100% ( conjunto universo). Portanto vamos substituir cada termo da fórmula pelo valor dado. n(AUB) = n(a) + n(b) – n(a∩b) 100% = 60% + 90% – x 100% = 150 - x Isolando o termo x, vem. RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 23 X = 150% – 100% x = 50% Assim, pelo menos 50% das pessoas preferem a as duas marcas. Resposta: C 15. (AOCP - EBSERH/HU-UFGD : 2014 - adaptado) Uma banda lançou 2 músicas para o público votar na que mais gostou. Do total de entrevistados, 400 votaram na música A, 220 votaram na música B e 110 gostaram e votaram nas duas músicas, A e B. Sendo assim, quantos votaram apenas na música B? a) 200. b) 120. c) 105. d) 90. e) 110. Resolução: Músico A: 400 Músico B: 220 Música A e B: 110 assim os dois conjuntos. Os que votaram na música A e os que votaram na música B. Começamos preenchendo o número de aluno que está na interseção dos conjuntos. RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 24 Depois devemos preencher cada conjunto e depois subtrair o valor da interseção (-110) em cada conjunto. Resultando o conjunto representado abaixo. Assim, 110 pessoas votaram somente na música B e 290 somente na música A. Portanto, 110 pessoas votaram na música B. Letra: E RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 25 OBSERVAÇÃO: É comum em concursos pedir para calcular outros números de elementos do conjunto, por exemplo: Se a questão perguntasse qual o número de pessoas que votaram ou na música A ou na música B seria 290 + 110 = 400 pessoas. E se a questão pedisse o número de pessoas que participaram da eleição seria: 290 + 110 + 220 = 510 pessoas 16. (AOCP: EBSERH/HU-UFMS- 2014 - adaptado) Hipócrates estava em dúvida sobre qual esporte fazer, futebol ou basquete. Então resolveu consultar a família toda, 35% optou por futebol e 68% optou por basquete. Qual foi o percentual da família que optou pelos dois esportes? a) 5% b) 3% c) 9% d) 10% e) 2% RESOLUÇÃO: Futebol: 35% Basquete: 68% Ambos os esportes: F e B Representamos cada esporte em conjuntos: Primeiro representamos a intersecção dos dois conjuntos por x, pois não sabemos quantos optaram por cada esporte. RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 26 Agora aplicaremos a fórmula do número de elementos de dois conjuntos. n(AUB) = n(a) + n(b) – n(a∩b) Depois é só substituir cada elemento pelo valor dado. n(FUB) = n(f) + n(b) – n(f∩b) 100% = 35% + 68% - x Eliminando os parênteses: 100% = 35% + 68% - x 100% = 103% - x 100% = 103% - x (passando –x par o primeiro membro trocando de sinal) X = 103% - 100% X = 3% Alternativa B 17. Em um avião, os passageiros são de quatro nacionalidades − argentina, brasileira, colombiana e dominicana −, nas seguintes proporções: 20% são argentinos, 85% não colombianos e 70% não dominicanos. Qual a porcentagem de passageiros que são brasileiros? a) 15%; b) 25%; c) 35%; d) 45%; RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 27 e) 55%. Resolução: DADOS DO PROBLEMA Reavaliaremos o percentual nas seguintes proporções: 20% são argentinos; 85% são não colombianos, ou seja, 15% são colombianos. 70% são não dominicanos, ou seja, 30% são dominicanos. Assim, teremos as seguintes nacionalidades, nas seguintes proporções percentuais: 20% de argentinos; 15% de colombianos; 30% de dominicanos; “x” de brasileiros. Se o conjunto universo é de 100% (U = 100%), então, teremos o seguinte percentual de brasileiros: n(A) + n(B) + n(C) + n(D) = 100% 20% + n(B) + 15% + 30% = 100% [isolamos o termo n(B) no primeiro membro da equação] Assim, fica: n(B) = 100% − 65% ⇒ n(B) = 35% (têm-se 35% de brasileiros no avião)Letra C. RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 28 18. Em uma comunidade constituída por 1.800 pessoas, há três programas de TV favoritos: esporte (E), novela (N) e humorístico (H). A tabela seguinte indica quantas pessoas assistem a esses programas: Programa E N H E e H N e H E e H E, N e H N. de telespectadores 400 1220 1080 220 800 180 100 Através desses dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assiste a qualquer dos três programas é: a) 100; b) 200; c) 900; d) 950; e) 980. Resolução: Vamos destacar os 3 conjuntos e as respectivas quantidades de elementos correlacionados a serem distribuídos no diagrama. Sejam os conjuntos: • Conjunto universo: 1.800 pessoas entrevistadas; • Programa 1: esporte (E); • Programa 2: novela (N); • Programa 3: humorístico (H). Quantidade de pessoas de cada programa: • 400 pessoas assistem aos programas de esportes; • 1.220 pessoas assistem às novelas; • 1.080 pessoas assistem aos programas humorísticos; • 220 pessoas assistem às novelas e aos programas de esportes; • 800 pessoas assistem às novelas e aos programas humorísticos; • 180 pessoas assistem aos programas esportivos e humorísticos; • 100 pessoas assistem aos 3 programas. RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 29 Agora montaremos o diagrama de Venn sempre iniciando pela intersecção entre os 3 conjuntos, seguido pelas intersecções tomadas 2 a 2 (intersecções entre “E” e “N”, entre “N” e “H” e, finalmente, entre “E” e “H”); por último, preencheremos com as quantidades que representam “somente” cada um dos determinados conjuntos. 1º) Intersecção entre os 3 conjuntos: “100 pessoas assistem aos 3 programas”. 2º) Intersecção tomadas 2 a 2: “220 pessoas assistem às novelas e aos programas de esportes”; portanto, teremos que 220 − 100 = 120 pessoas assistem aos programas de esportes e às novelas, mas não assistem aos programas humorísticos. 3º) Intersecção tomadas 2 a 2: “800 pessoas assistem às novelas e aos programas humorísticos”; portanto, teremos que 800 − 100 = 700 pessoas assistem aos programas humorísticos e às novelas, mas não assistem aos programas de esportes. RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 30 4 º) Intersecção tomadas 2 a 2: “180 pessoas assistem aos programas esportivos e humorísticos”; portanto, teremos que 180 − 100 = 80 pessoas assistem aos programas humorísticos e de esportes, mas não assistem às novelas. 5º) Quantidades que representam “somente” um determinado conjunto: “400 pessoas assistem aos programas de esportes”; portanto, 400 − (120 + 100 + 80) = 100 pessoas assistem, somente, aos programas esportivos. 6º) Quantidades que representam “somente” um determinado conjunto: “1.220 pessoas assistem às novelas”; portanto, 1.220 − (120 + 100 + 700) = 300 pessoas assistem, somente, às novelas. 7º) Quantidades que representam “somente” um determinado conjunto: “1.080 pessoas assistem aos programas humorísticos”; portanto, 1.080 − (80 + 100 + 700) = 200 pessoas assistem, somente, aos programas humorísticos. Para determinar o total de pessoas que não assistem a nenhum dos programas citados, devemos subtrair o conjunto universo (U = 1.800 RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 31 pessoas) do número que representa o conjunto união entre os 3 conjuntos (n(E ∪ N ∪ H)), ou seja: Nº de pessoas que não assistem a nenhum dos 3 programas de TV = U − n(E ∪ N ∪ H). n(E ∪ N ∪ H) = soma de todos os elementos do diagrama de Euler-Venn. n(E ∪ N ∪ H) = 100 + 120 + 100 + 80 + 300 + 700 + 200 = 1.600 pessoas. Nº de pessoas que não assistem a nenhum dos 3 programas de TV = 1.800 − 1.600 = 200 pessoas não assistem a nenhum dos 3 programas citados. Letra B. 19. (NCE/2001) Uma pesquisa referente a dois telejornais, A e B, envolvendo 100 pessoas, revelou que: 82 gostam de A; 76 gostam de B; 4 não gostam de A, nem de B. O número de pessoas que gostam de ambos os telejornais é: a) 56; b) 58; c) 60; d) 62; e) 64. RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 32 Resolução: Vamos organizar os elementos dados: U = 100 (total de pessoas entrevistadas) n(A) = 82 (82 pessoas gostam de A) n(B) = 76 (76 pessoas gostam de B) U − n(A ∪ B) = 4 (4 pessoas que não gostam nem de A nem de B) Inicialmente, determinaremos o número de elementos de A ∪ B, ou seja, n(A ∪ B), que é dado por: U − n(A ∪ B) = n(nem A nem B), então, teremos: U − n(A ∪ B) = nem A nem B ⇒ 100 − n(A ∪ B) = 4 ⇒ 100 − 4 = n(A ∪ B) n(A ∪ B) = 96 (96 pessoas entrevistadas gostam tanto de A quanto de B) Se 96 pessoas entrevistadas gostam de A ou de B, então, o total de pessoas entrevistadas que gostam de A e de B, ou seja, que gostam tanto de A quanto de B: Aplicaremos a fórmula do número de elemento de dois conjuntos. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) Assim, teremos: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) 96 = 82 + 76 − n(A ∩ B) n(A ∩ B) = 158 – 96 n(A ∩ B) = 62 Portanto temos 62 pessoas entrevistadas que gostam tanto de A quanto de B. Resposta: Letra D. RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 33 20. (NCE/2003) As atividades físicas têm sido recomendadas como forma de se obter uma boa qualidade de vida. Uma pesquisa realizada com médicos que residem na região oceânica de uma determinada cidade, na faixa etária entre 30 e 40 anos, sobre a prática de duas modalidades de atividades físicas − caminhada na orla marítima e exercícios em academia de ginástica − constatou que, dos médicos consultados, 180 não frequentam academia de ginástica, 130 apenas caminham na orla, 280 praticam somente uma das duas modalidades e 30 praticam as duas modalidades. A quantidade de médicos que frequentam academia de ginástica corresponde a: a) 150; b) 160; c) 180; d) 210; e) 280. Resolução: De acordo com enunciado da questão destacaremos as seguintes quantidades de elementos dos seguintes conjuntos: • 180 não frequentam academia de ginástica; • 130 apenas caminham na orla; • 280 praticam apenas uma das duas modalidades; • 30 praticam as duas modalidades. Iniciaremos a montagem do diagrama de Euler-Venn pela intersecção entre os dois conjuntos. 1º) Intersecção entre os 2 conjuntos: “30 médicos praticam as duas modalidades, ou seja, praticam caminhada na orla e frequentam academias”. 2º) A seguir, preencheremos o diagrama de Venn com a seguinte informação: “130 médicos fazem, apenas, caminham na orla”. RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 343º) O próximo passo será determinar a quantidade de médicos que frequentam, apenas, as academias. Para tanto, recorreremos à seguinte informação: “280 médicos praticam, apenas, uma das duas modalidade”, ou seja: 130 + x = 280 ⇒ x = 280 − 130 ⇒ x = 150 médicos praticam, apenas, academias. 4º) Dispondo-nos da seguinte informação: “180 médicos não frequentam academia de ginástica”. Desta informação, podemos concluir que, se 180 médicos não frequentam academias, então podem fazer caminhada na orla ou não. Como já sabemos que 130 médicos fazem caminhada na orla, logo, 180 − 130 = 50 médicos não fazem nenhuma das 2 atividades físicas (informação, apenas, complementar): 5º) Para determinarmos o número de médicos que frequentam academias, basta observar o diagrama de Euler-Venn a seguir, e concluir que 180 médicos frequentam academias. Letra c. RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 35 6. REVISÃO DE PORCENTAGENS Porcentagens É toda razão cujo consequente (denominador) é igual a 100. Por exemplo, dada a razão 15/100 podemos representá-la na forma percentual por 15%. Seguem outras representações: 21 100 = 21% 6 100 = 6% 0,4 100 = 0,4% 230 100 = 230% REPRESENTAÇÃO Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: “por cento”. Deste modo, 20 100 fração é uma porcentagem que podemos representar por 20%. É muito importante observar que quando escrevemos “25 por cento” podemos fazê-lo de três maneiras: 25% É a forma percentual, clássica, é mais indicada na textualização, na comunicação entre as pessoas, em qualquer forma não matemática. Pode ser representada assim: 25 100 , 1 4 ou 0,25 𝟏 𝟒 É a forma fracionaria, e é indicada nos cálculos e equacionamento de problemas. 0,25 Esta é a forma decimal ou unitária, a mais indicada nos cálculos e equacionamento de problemas. Para obtermos a forma decimal de 25% nós simplesmente deslocamos “a vírgula” duas casas à esquerda de 25% , que resulta em 0,25 . RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 36 6.1 Cálculos Percentuais Apresentaremos alguns métodos práticos de resolução de alguns cálculos percentuais. 1. Calcule 25% de R$ 400,00. Solução: Muito simples, basta multiplicar 25% por 400. 25 100 x400 = 10000 100 = 100 Resposta: R$ 100, 00 7. QUESTÕES DE PORCENTAGENS 21. (AOCP-EBSERH) José emprestou R$ 800,00 para seu amigo e disse: “Pode me pagar quando puder, mas terá um acréscimo de 20% no valor emprestado.” Quanto esse amigo deverá pagar para José? a) R$ 1060,00 b) R$ 1460,00 c) R$ 500,00 d) R$ 960,00 e) R$1000,00 SOLUÇÃO: Valor emprestado: R$ 800,00 Taxa de acréscimo: 20% do valor emprestado. Dessa forma é só calcular 20% de R$ 800,00 e somar a quantia correspondente ao aumento ao capital emprestado. 800x20% = 800x 20 100 = 16000 100 = 160 RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 37 Capital 800 + 160 de aumento = 960,00 reais. Resposta: D 21. (Consulplan) Dos 500 alunos de uma escola, 32% gostam de estudar matemática e 28% gostam de português. O número de alunos que gostam de outras matérias é: a) 160 b) 140. c) 200. d) 260. e) 300. Resolução: Dados do problema: 32% de matemática 28% de português São 60% gostam de português ou matemática. Logo, 100 – 60 = 40% dos alunos gostam das demais disciplinas. Assim, 40% de 500 gostam de outras disciplinas. 40 100 x500 = 20000 100 = 200 Portanto 200 alunos gostam de outras disciplinas. Letra: C 22. (Consulplan) Felipe foi ao cinema e chegou 30 minutos após o início do filme. Se o filme teve 2,5 horas de duração, pode-se afirmar que Felipe deixou de assistir: a) 28% do filme. b) 25% do filme c) 20% do filme. RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 38 d) 24% do filme. e) 30% do filme. Resolução: Tempo de atraso: 30 minutos Duração do filme: 2,5 horas = 2 horas 30 minutos = 120 minutos + 30 minutos = 150 minutos. Agora, devemos determinar qual a porcentagem que 30 minutos representa de 150 minutos. 30x 100% 150 = 300% 150 = 20% Assim, Felipe deixou de assistir 20% do filme. Letra: C 23. (FCC) O número de funcionários de uma agência bancária passou de 80 para 120. Em relação ao número inicial, o aumento no número de funcionários foi de: a) 50%. b) 55%. c) 60%. d) 65%. e) 70%. Resolução: O referido aumento foi de 120 – 80 = 40 funcionários. Esse valor (40), em relação à quantidade inicial de funcionários (80), representa a metade, ou seja, 50%. Então veja: Inicial = 80 Aumentou = 40 Vamos calcular quanto representa 40 de 80. 40 80 x100% = 4000 80 = 50% RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 39 Letra A 24. (Esaf) O preço de um objeto foi aumentado em 20% de seu valor. Como as vendas diminuíram, o novo preço foi reduzido em 10% de seu valor. Em relação ao preço inicial, o preço final apresenta: a) uma diminuição de 10%. b) uma diminuição de 2%. c) um aumento de 2%. d) um aumento de 8%. e) um aumento de 10%. Resolução: I) Vamos considerar que o preço inicial de uma mercadoria valha, inicialmente, 100 e sofreu dois reajustes consecutivos, da seguinte forma: 1o reajuste: um aumento de 20% 2o reajuste: um decréscimo de 10% Avaliando a situação comercial dessa mercadoria: Custava 100. Aumentou 20% passou a custar: 120 As vendas caíram então ele resolveu dar um desconto de 10%. Custava 120 – 10% de 120. Vamos calcular 10% de 120 10 100 x120 = 12 RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 40 Agora vamos subtrair 12 do valor de 120. 120 – 12 = 108 O que a questão quer saber é em relação ao preço inicial quanto por cento foi o reajuste. Ora, o valor era 100, passou a custar 108, então teve 108 – 100 = 8%. Como ficou 8 mais caro, teve um aumento de 8%. Gabarito: D 25. (FEI) O custo de produção de uma peça é composta por: 30% para mão de obra, 50% para matéria-prima e 20% para energia elétrica. Admitindo que haja um reajuste de 20% no preço de mão de obra, 35% no preço de matéria-prima e 5% no preço da energia elétrica, o custo de produção sofrerá um reajuste de: a) 60 %. b) 160 %. c) 24,5 %. d) 35 %. e) 4,5 %. Resolução: Composição do custo de produção: mão de obra : 30% matéria-prima : 50% energia elétrica : 20% A seguir, aplicaremos os reajustes (aumentos, nesse caso) em cada custo dessa produção: Aumento de 20% na mão de obra :120% de 30% 1,2x30% = 36% Aumento de 35%da matéria-prima :135% de 50% = 1,35x50% = 67,5% Aumento de 5% da energia elétrica: 105% de 20% = 1,05 20% = 21% Total do custo após os reajustes: 36% + 67,5% + 21% = 124,5% RACIOCÍNIOLÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 41 Logo, o produto final sofreu um reajuste total de: 124,5% – 100% = 24,5% Gabarito: C 26. (AOCP – Enfermeiro - Adaptado) Pedro vendeu um objeto com prejuízo de 15% sobre o preço de venda. Admitindo-se que ele tenha comprado o produto por R$ 2.300,00 o preço de venda foi de: a) 2.600,00 B) 1.800,00 c) 2.000,00 d) 1.900,00 e) 2.150,00 SOLUÇÃO: Seja: x - preço de venda Como teve prejuízo de 15% sobre o preço de venda, temos: Preço de compra = preço de venda + 15% preço de venda 2.300 = x + 15% . x 2.300 = x + 0,15 . x 2.300 = 1,15 . x 1,15 . x = 2.300 x = 2.300 1,15 X = 2.000 RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 42 O preço de venda foi de R$ 2.000,00 Letra C 27. (Cesgranrio) Um comerciante aumentou em 20% o preço de suas mercadorias. Com isso, as vendas diminuíram, e ele resolveu oferecer aos clientes um desconto de 30% sobre o preço com aumento. Desse modo, qual é, em reais, o preço com desconto de uma mercadoria que inicialmente custava R$ 200,00? a) 144,00. b) 168,00. c) 180,00. d) 188,00. e) 196,00. Resolução: Se o preço inicial era de R$200,00, com um aumento de 20%, seu preço passará a ser igual a: 20% de R$ 200,00 20 100 x200 = 4000 100 =40 Com o aumento de 20% passou a custar 200 + 40 = 240. Agora vamos calcular 30% de desconto. O valor é 240. 30 100 x240 = 7200 100 = = 72 O desconto foi de 72 reais. Vamos agora calcular o preço final. 240 – 72 = 168,00 RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 43 Assim, o preço com desconto ficou em R$ 168,00 Gabarito: B 28. (CESPE – 2011) Considere que, em uma empresa, 50% dos empregados possuam nível médio de escolaridade e 5%, nível superior. Guardadas essas proporções, se 80 empregados dessa empresa possuem nível médio de escolaridade, então a quantidade de empregados com nível superior é igual a a) 8. b) 10. c) 15. d) 20. e) 5. RESOLUÇÃO: Veja que 80 empregados correspondem aos 50% que possuem nível médio. Desta forma, podemos utilizar a regra de três abaixo para saber quantos empregados correspondem aos 5% que possuem nível superior: EMPREGADOS NÍVEL DE ESCOLARIDADE 80 empregados -------------------- 50% X empregados --------------------- 5% Multiplicando em cruz, pois as grandezas são diretamente proporcionais. (se uma aumentar, a outra aumenta na mesma proporção) 50.x = 80.5 50x = 400 X = 400 50 X = 8 empregados Resposta: A RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 44 29. (CESPE – 2011) Em um escritório, a despesa mensal com os salários dos 10 empregados é de R$ 7.600,00. Nesse escritório, alguns empregados recebem, individualmente, R$ 600,00 de salário mensal e os outros, R$ 1.000,00. A partir das informações do texto, considere que aos empregados que recebem salário mensal de R$ 600,00 seja concedido reajuste salarial de 10%, e aos que recebem salário de R$ 1.000,00, reajuste de 15%. Nesse caso, a despesa mensal do escritório com os salários de seus empregados aumentará entre a) 7% e 9%. b) 9% e 11%. c) 11% e 13%. d) 13% e 15%. e) 5% e 7%. RESOLUÇÃO: Seja X o número de empregados que recebem 600 reais, de modo que os 10 – X restantes recebem 1000 reais (pois o total é de 10 empregados). Como 7600 reais é o total pago pela folha de salários, podemos dizer que: 600X + (10 – X) x 1000 = 7600 10000 – 400X = 7600 400X = 2400 X = 6 empregados Assim, 6 empregados recebem 600 reais e os outros 4 recebem 1000. Aumentando em 10% o salário de 600 reais, os empregados passarão a receber: 60x10/100 = 60 600 + 60 = 660 E aumentando em 15% o salário de 1000 reais, os empregados passarão a receber: 1000x15/100= 150 RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 45 1000 + 150 = 1150 reais Logo, a folha de salários passará a ser de: 6 x 660 + 4 x 1150 = 3960 + 4600 = 8560 reais O aumento da folha de salário foi de 8560 – 7600 = 960 reais. Percentualmente, este aumento foi de: 9600 7600 = 0,1263 Para transformar em porcentagem, devemos multiplicar por 100%. 0,1263x100% = 12,63% Este valor encontra-se entre 11% e 13%. Resposta: C 30. (Esaf) O PIB de um país que entrou em recessão no fim de 2008 tinha crescido 10% no primeiro trimestre de 2008, 5% no segundo trimestre, tinha ficado estável no terceiro trimestre e tinha caído 10% no último trimestre daquele ano. Calcule a taxa de crescimento do PIB desse Pais, em 2008. a) 1,25%. b) 5%. c) 4,58%. d) 3,95%. e) -5%. Resolução: Suponha que o PIB era inicialmente de 100,00. Primeiro ele aumentou 10%. Ficou: 100 × 1,1 = 110 RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 46 Depois aumentou 5%: ficou 110 × 1,05 = 115,5 Depois caiu 10%: ficou: 115,5 × (1 − 0,1) = 103,95 No geral, o PIB aumentou de 100 para 103,95. O aumento foi de 3,95 em um total de 100,00. Trata-se de um aumento de 3,95%. Resposta: D 31. (Esaf) Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em cursos da área de ciências humanas e os outros 44% estudam em cursos da área de ciências exatas, que incluem matemática e física. Dado que 5% dos alunos da universidade estudam matemática e 6% dos alunos da universidade estudam física e que não e possível estudar em mais de um curso na universidade, qual a proporção dos alunos que estudam matemática ou física entre os alunos que estudam em cursos de ciências exatas? a) 20,00%. b) 21,67%. c) 25,00%. d) 11,00%. e) 33,33%. Resolução: Vamos usar a recomendação da teoria da primeira aula. Vamos supor que são 100 alunos. 56% estudam humanas. 56% de 100 = 56 RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 47 44% cursam exatas 44% de 100 = 44. Destes 44, temos: - 5 estudam matemáticas (= 5% de 100 que é o total) - 6 estudam física (= 6% de 100 que é o total). O número de alunos que estudam matemáticas ou física e igual a 11. Portanto, de cada 44 alunos de exatas, 11 estudam matemáticas ou física. O percentual procurado e de: 11 44 = 0,25 = 25% Resposta: C 32. (Esaf) Em um concurso, de cada 100 candidatos, 60 eram mulheres e 40 homens. Considerando que a porcentagem de aprovação entre os candidatos mulheres foi de 20% e entre os homens foi de 15%, calcule a porcentagem de aprovação em geral entre os candidatos, independentemente do sexo. a) 15% b) 17% c) 18% d) 19% e) 20% Resolução: Para facilitar vamos considerar que são apenas 100 candidatos, com 60 mulheres e 40 homens. A questão diz que 20% das mulheresforam aprovadas. Logo o número de mulheres aprovadas e: 20 20 100 x60 = 12 RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 48 Ou seja, multiplicamos o percentual pelo todo. Doze mulheres foram aprovadas. Do mesmo modo 15% dos homens foram aprovados. Logo, o número de homens aprovados e: 15 100 x40 = 6 Logo 6 homens foram aprovados. Somando homens e mulheres, a quantidade de aprovados e: 12 + 6 = 18 São 18 aprovados em um total de 100 pessoas. O percentual geral de aprovados e: 18 100 = 18% Gabarito: C 33. (AOCP-EBSERH/HUSM - adaptada) Um aluno fez um teste simulado com 90 questões. Se ele errou 20% das questões, quantas ele acertou? a) 26 b) 72 c) 34 d) 54 e) 56 RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 49 RESOLUÇÃO 90 questões o simulado. Errou 20% e acertou 80% Quantas questões acertou. Basta calcular 80% de 90 Fica; 80 100 x90 Multiplicando e dividindo por 100. 7200 100 = 72 (para dividir por 100, basta cortar dois zeros em cima e dois zeros em baixo) 56 questões. Letra: B 34. (AOCP: EBSERH/HUCAM-adaptada) Com a chegada do fim do ano, um patrão resolveu dar um bônus de 8% para seus estagiários. Com o bônus, os estagiários receberam um salário de R$ 324. De quanto era o salário antes do bônus? a) R$ 300,00 b) R$ 248,00 c) R$ 250,00 d) R$ 208,00 e) R$ 306,00 RESOLUÇÃO: O salário era x RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 50 Aumentou 8% Passou a custar 1,08%x Salário antes X ...................... 100% 324,00 ................. 108 108x = 100x324 108x = 32400 X = 32400 108 X = 300,00 O salário antes do aumento era de R$ 300,00 Letra: A 35. (AOCP: EBSERH/HUJM-adaptada) João foi à livraria e viu que o box dos seus livros preferidos estava em promoção. O box custava R$ 300,00 e estava com um desconto de 12%. Qual é o valor deste desconto? a) R$ 26,00. b) R$ 40,75. c) R$ 37,50. d) R$ 39,25. e) R$ 36,00 RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 51 RESOLUÇÃO: O Box custava: R$ 300,00 Desconto: 12% Basta calcular 12% de 300. 12x 300 100 = 3600 100 R$ 36,00 O desconto foi de R$ 36 reais. Letra E 36. (AOCP: EBSERH/HUJM-adaptada) Qual é a porcentagem de um todo à qual a fração 9/15 corresponde? a) 7%. b) 60%. c) 25%. d) 35%. e) 37%. SOLUÇÃO: Para resolver este tipo de problema faremos apenas isso. Multiplicar a fração indicada por 100 e acrescentar o símbolo da porcentagem. Então: 9 15 x100% = 900 15 = 60% Resposta: 60% RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 52 Alternativa: B 37. Um advogado, contratado por Marcos, consegue receber 80% de uma causa avaliada em R$ 200.000,00 e cobra 15% da quantia recebida, a título de honorários. A quantia, em reais, que Marcos receberá, descontada a parte do advogado, será de a) 24000 b) 30000 c) 136000 d) 160000 e) 184000 Solução: Dados: Valor da causa: R$ 200.000,00 Valor recebido: 80% da causa Valor dos honorários: 15% do que recebeu. Valor recebido: 80% de 200000 = 0,80·200000 = 160000 (Para calcular a porcentagem de 80% basta multiplicar por 0,8 pelo valor desejado) Valor dos honorários: 15% de 160000 = 0,15·160000 = 24000 Valor recebido por Marcos: 160000 – 24000 = 136.000,00 Alternativa c RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 53 9. REVISÃO DE SEQUÊNCIAS Uma sequência lógica é um conjunto de elementos (números, letras, palavras e figuras) que seguem uma determinada regra de formação. A resolver uma questão de sequência lógica, teremos de descobrir qual e a regra de formação (muitas vezes chamado de padrão de formação) a fim de encontrarmos os elementos que completam a sequência. E através da intuição, da experiência e por tentativas que se descobre qual e a regra de formação da sequência. Atente para os seguintes passos: 1. Analise cada número, letras ou figuras e procure ver onde há alguma repetição lógica de alguma propriedade ou operação matemática. 2. Veja se a sequência aumenta ou diminui. Se aumenta, analise se esse aumento é variavelmente grande ou pequeno. Caso seja pequeno, pode ser uma soma, se for grande pode ser uma multiplicação ou potenciação. 3. Se a sequência diminui gradativamente de um termo para o outro, teste se é uma subtração ou divisão. 4. Quando a sequência for letras tenha em mente a sequência do alfabeto em sua mente e procure alguma ordem que tenha formado aquela sequência. Procure “adivinhar” o que passou na cabeça do examinador da banca. Isso mesmo adivinhar uma lei de formação. Parece estranho a princípio, mas com a prática se torna mais natural e fácil esse tipo de questão. 5. Quando a sequência for figuras geométricas lembre-se das formas básicas, tais com triângulo, quadrado, trapézio, círculo, losango e pense na relação entre posição, ângulo, número de lados etc. Veremos a resolução de questões com sequências 8. QUESTÕES COM SEQUÊNCIAS 38. (AOCP-EBSERH/HULW-adaptada) Considere a sequência: 5; 9; 13; 17;... Qual é o oitavo termo desta sequência? a) 36 b) 33 c) 34 d) 28 e) 29 RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 54 RESOLUÇÃO: Dada a sequência: 5; 9; 13; 17;... Notamos que a cada termo a partir do primeiro é acrescido de 4 unidades. Podemos então construir a sequência até chegar ao oitavo termo: 1º termo: 5 2º termo: 5 + 4 = 9 3º termo: 9 + 4 = 13 4º termo: 13 + 4 = 17 5º termo: 17 + 4 = 21 6º termo: 21 + 4 = 25 7º termo: 25 + 4 = 29 8º termo: 29 + 4 = 33 Assim, o 8º termo é 33. Resposta: B 39. (AOCP- EBSERH/HUJM-UFMT- 2014 - Adaptada) a sequência a seguir, pois ela segue um padrão 9; 20; 42; 86;... Qual é o quinto termo desta sequência? a) 186. b) 187. c) 190. d) 191. e) 174. Solução A sequência: 9; 20; 42; 86;... tem uma lei de formação que é cada termo a partir do segundo é dobro do seguinte mais 2. 9 PRIMEIRO TERMO RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 55 9 x 2 = 18 + 2 =20 20 x 2 = 40 + 2 =42 42 x 2 = 84 + 2 = 86 86 x 2 = 172+2 = 174 QUINTO TERMO. Resposta: E 40. (AOCP) Observe a sequência a seguir: 25; 32; 39; 46;... Qual é o sétimo termo desta sequência?a) 69. b) 67. c) 70. d) 75. e) 71. SOLUÇÃO: Dada a sequência: 25; 32; 39; 46;... Percebemos que o termo seguinte é sempre a soma do termo anterior com 7. Assim: 25 primeiro termo 25 + 7 = 32 32 + 7 = 39 39 + 7 = 46 46 + 7 = 53 53 + 7 = 60 60 + 7 = 67 sétimo termo da sequência. Resposta: alternativa B. 41. (FCC) Dada a sequência A = 0, 1, 4, 9, 25, 36 ... e B = 0,2,5,26,37,... Qual a soma do 8º termo da sequência A com o 5º da sequência B? Resolução: RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 56 A sequência A e a sequência dos números quadrados perfeitos, isto é: 02 = 0 12 = 1 22 = 2 32 = 9 42 =16 52 = 25 62 = 36 7º termo Observe que os termos da sequência B é igual aos termos da sequência A + 1. Assim, 02 = 0 + 1 = 1 12 = 1 + 1 = 2 22 = 4 + 1 = 5 32 = 9 + 1 = 10 42 =16 + 1 = 17 5º termo A questão quer que calculemos a soma do 7º temo da sequência A com o 5º termo da sequência B. Portanto temos: 36 + 17 = 53 Resposta: D RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 57 9. REVISÃO DE LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES Proposição é uma frase que admita um valor lógico (V) verdadeiro ou (F) falso. Nem toda frase pode ser considerada uma proposição. Princípio da não-contradição: uma proposição não pode ser, ao mesmo tempo, Verdadeira e Falsa. Princípio da exclusão do terceiro termo: não há um meio termo entre Verdadeiro ou Falso. Duas ou mais proposições podem ser combinadas, criando proposições compostas, utilizando para isso os operadores lógicos. PRINCIPAIS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS: Conjunção (“p e q”, ou “ p ^ q ”): é F se pelo menos uma proposição simples for F. Uma variação da conjunção é: “p, mas q”. Disjunção (“p ou q”, ou “ p v q ”): só é F quando p e q são ambas F. Disjunção exclusiva ou “Ou exclusivo” (“ou p ou q”, ou p v q ): só é F quando ambas são V ou ambas são F. Uma variação: “p, ou q”. Condicional ou implicação (“se p, então q”, ou p→ q ): só é F quando p é V e q é F. Variações: “Quando p, q”; “Toda vez que p, q”. Bicondicional ou dupla implicação (“se e somente se”, ou p ↔q): é F quando uma proposição simples é V e a outra é F. Representamos a negação de “p” por “~p”, “¬p” ou “não-p” RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 58 p e ~p possuem valores lógicos opostos Podemos negar simplesmente inserindo “Não é verdade que...” no início da proposição. Dica para descobrir outras formas de negação: perguntar o que eu precisaria fazer para provar que quem disse essa frase está mentindo. NÚMERO DE LINHA DA TABELA-VERDADE A tabela-verdade de uma proposição terá sempre 2n linhas, onde n é o número de proposições simples envolvidas (não contar duas vezes se aparecerem p e ~p na mesma proposição composta) TAUTOLOGIA: proposição (composta) que é sempre V CONTRADIÇÃO: proposição que é sempre F CONTINGÊNCIA: proposições que podem ser V ou F, dependendo dos valores lógicos das proposições simples que a compõem Duas proposições lógicas são equivalentes quando elas possuem a mesma tabela-verdade p→ q, (~ q→~ p) e (~p v q) são proposições equivalentes Duas formas distintas de negar uma mesma proposição são equivalentes. Exemplo: ~ (p ^ q) é equivalente a (~ p v ~ q) ; ~ (p v q) é equivalente a (~ p ^ ~ q) . Em p → q, p é suficiente para q, e, por outro lado, q é necessária para p; Em p ↔ q , p é necessária e suficiente para q, e vice-versa Sentenças abertas são aquelas que possuem uma ou mais variáveis. Seu valor lógico depende dos valores que as variáveis assumirem. RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 59 Um argumento é válido se, aceitando que as premissas são verdadeiras, a conclusão é verdadeira PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS: Todo A é B: “todos os elementos do conjunto A são também do conjunto B”, isto é, A está contido em B. Nenhum A é B: nenhum elemento de A é também de B, isto é, os dois conjuntos são totalmente distintos (disjuntos) Algum A é B: algum elemento de A é também elemento de B Algum A não é B: existem elementos de A que não são de B RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 60 PRINCIPAIS DÚVIDAS E CURIOSIDADE SOBRE ESTE ASSUNTO 01. Posso dizer que “x + 7 = 10” é uma proposição? R. Não, pois trata-se de uma sentença aberta e x pode assumir qualquer valor. Se uma questão atribuísse o valor para x, a resposta seria sim. Questão como essa é uma das principais PEGADINHA em concursos. Muito comum em concursos organizados pelo CESPE. 02. Na frase “Ele é professor de Raciocínio Lógico” é uma proposição simples? R. Errado, na verdade a frase acima não é nem proposição, pois o pronome ele está indefinido não sabemos quem é ele. Caso fosse o nome de uma pessoa aí sim, seria proposição. Exemplo: Adeilson é professor de Raciocínio Lógico. 03. A negação da proposição “Maria é alta” é Maria é baixa”? R. Errado, para negar uma proposição na maioria dos casos é só acrescentar um NÃO antes do verbo e não trocar o termo por antônimo. No caso para negar a proposição “Maria é alta”, seria “Maria não é alta”. Cuidado, alguns manuais ensinam errado, afirmando que pode. Quando se diz que Maria não é alta, ela pode ter uma estatura média que também poderia ser outra possibilidade. Outra maneira de negar é inserir a expressão NÃO É VERDADE na frente da proposição. Exemplo: Não é verdade que Maria é alta. 04. Tem um ditado popular que diz “Uma coisa é uma coisa e outra coisa é outra coisa”, do ponto de vista lógico posso dizer que é uma proposição ou um paradoxo? R. Apesar de ser uma expressão muito genérica que não acrescenta nada em um argumento quando é dita, a afirmação acima se enquadra na definição de proposição. Pois podemos classificá-la em verdadeira ou falsa. Como tem um operador lógico E (conjunção), a frase acima é uma proposição composta. 05. Os livros ensinam que as frases interrogativas não são proposições, por exemplo, “Que horas são?” No entanto se alguém souber da resposta podemos classificar como proposição? R. Não. Toda vez que uma expressão tiver uma interrogação não será proposição, porque o que está sendo avaliado é a pergunta não a resposta. Ao analisar uma declaração não podemos acrescentar conhecimento próprio a ela. RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 61 06. Nunca entendi porque a negação da proposição “Todo professor é inteligente” não é “Nenhum professor é inteligente”. Por que é errado dizer assim? R. A negação de Todo professor é inteligente é Existe professor que não é inteligente, pois quando se diz todo é um universo que engloba todo aquele conjunto de professores inteligente. Negar é dizer que é falso. Se nesse conjunto, por exemplo tivesse dez professores e todos eles fossem inteligentes,para a afirmação ser falsa bastaria que tivesse pelo menos um professor que não fosse inteligente. Fique atento que esse tipo de questão cai muito em concurso. 07. Aprendi que negar duas vezes é afirmar, então se eu pedir alguma coisa à minha mãe e ela dizer não, não, então posso concluir que ela queria dizer sim? R. Errado, do ponto de vista lógico matemático negar uma negação é afirmar. Mas no campo da língua portuguesa não é a mesma coisa. Há diferenças entre as duas linguagens, nesse sentido cuidado com as generalizações no campo da Lógica. 08. Muita gente fala que estudar lógica é desnecessário, pois acerta as questões só na lógica isso é verdade? R. Não. As pessoas que falam isso, falam por falar, vou parafrasear nosso grande mestre Jesus “Pai, perdoem, pois eles não sabem o que falam” Um exemplo fácil de provar isso é só pedir para eles negarem a proposição “Se o pássaro canta, então ele está feliz” A maioria responderá “Se o pássaro não canta, então ele não está feliz” O correto seria “O pássaro canta e ele não está feliz” 09. Qual a principal diferença entre lógica qualitativa e lógica quantitativa? R. A lógica qualitativa se refere as proposições, argumentos lógicos e estruturas lógicas. Trabalhar com os valores numéricos não é importante para essa parte da lógica. Já a lógica quantitativa se refere a grandezas numéricas, por exemplo conjuntos, análise combinatória e probabilidade. 10. Quando comecei aprender lógica me disseram que eu tinha que decorar a tabela-verdade. Tenho mesmo que decorar isso para aprender? R. Não necessariamente. O que você deve é entender bem o sentido da tabela-verdade e não decorá-la. Por exemplo, a tabela-verdade da conjunção, para compreender o sentido dela, basta pensar que só será verdadeira se ambos os valores lógicos forem verdadeiros, do contrário será falso. Precisa entender somente isso. Toda tabela-verdade tem suas características marcantes. Veja a teoria na aula. RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 62 11. Aprendi que uma proposição simples tem dois vales lógicos V e F, posso falar assim? R. Pode sim, todos falam o que quer. Mas está errado do ponto de vista lógico. O correto é dizer que uma proposição lógica PODE assumir apenas dois valores lógicos ou é verdadeiro (V) ou falso (F). Lembre-se do princípio da não contradição. Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Cuidado com esses detalhes. O CESPE adora! 12. Na proposição “O pássaro canta, mas não está feliz” é uma proposição simples ou composta? R. A proposição é composta, pois tem dois verbos ou seja uma frase com duas orações. Na forma usual seria escrita assim: “O pássaro canta e não está feliz”. Há muitas formas de escrever as proposições compostas. Veja os exemplos de como escrever outros equivalentes para a conjunção (E). “O pássaro canta, contudo não está feliz” “O pássaro canta, entretanto não está feliz” “O pássaro canta, não obstante não está feliz” “O pássaro canta, todavia não está feliz” Algumas bancas já estão explorando estes detalhes. Por exemplo o CESPE e ESAF. Mas cuidada com as provas da FCC, como dizem que é Fundação Copia e Cola, ela pode resolver copiar (rsrs)! Brincadeiras à parte. A Fundação Carlos Chagas faz belíssimas questões de Lógica. 13. A proposição “Pitágoras e Arquimedes eram matemáticos brilhantes” é proposição simples ou composta? R. Essa questão é muito boa. Foi fruto de discussão em fórum de concurseiros. Alguns dizem que é composta outros dizem que é simples. Meu posicionamento é que se trata de uma proposição simples. A confusão se dá com o sujeito que é composto. Há somente um verbo na oração. Agora se fizer um desmembramento para “Pitágoras era matemático brilhante e Arquimedes era matemático brilhante” seria proposição composta, seria uma conjunção (^). Numa questão do CESPE/Unb foi perguntado se a proposição “O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem” era composta. O item foi considerado errado. 14. Dada a proposição “Não é verdade que Mercúrio não é o planeta mais próximo do Sol” é equivalente dizer que “Mercúrio é o planeta mais próximo do Sol”? RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 63 R. Correto. Ambas as expressões são equivalentes em termos de Lógica. Seja P: Mercúrio é o planeta mais próximo do Sol. Ao negarmos “p”, obteremos a seguinte proposição ~p: “Mercúrio não é o planeta mais próximo do Sol” e, consequentemente, com valor lógico falso. Se negarmos a proposição “~p”, teremos a seguinte representação ~(~p): “não é verdade que Mercúrio não é o planeta mais próximo do Sol”, sendo seu valor lógico, por definição, necessariamente verdadeiro. Uma conclusão decorrente dessas duas negações sucessivas, nesse exemplo, será dada por: p: Mercúrio é o planeta mais próximo do Sol. ~(~p): não é verdade que Mercúrio não é o planeta mais próximo do Sol, logo ~(~p): Mercúrio é o planeta mais próximo do Sol. CONCLUINDO, pode-se dizer que a dupla negação equivale, em termos de valores lógicos, a sua proposição primitiva. 15. Quais os critérios de validade de uma proposição? R. Os critérios de avalição de uma frase para saber se é ou não proposição são basicamente dois. O primeiro e ser uma frase declarativa afirmativa ou negativa e o segundo critério é a atribuição de valor lógico verdadeiro ou falso, mas não ambos. Pois uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. Sempre respeitando o princípio da não contradição. RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 64 9.1 Operadores Lógicos São considerados operadores lógicos usuais, em Lógica Matemática, as seguintes palavras grifadas: “não”; “e”; “ou”; “ou...ou...”; “se..., então...”; “...se, e somente se...” que são denominados, respectivamente, de: “negação”, “conjunção”, “disjunção”, “disjunção exclusiva”, “condicional” e “bicondicional”. Veja o esquema abaixo. • ~ [NÃO P] • EX. A ciência não transforma o mundo NEGAÇÃO • ^ [P e Q] • EX. A Ciência transforma o mundo e a educação transforma as pessoasCONJUNÇÃO • v [P ou Q] • EX. A Ciência transforma o mundo ou a educação transforma as pessoasDISJUNÇÃO • v [ou P, ou Q] • EX. Ou a Ciência transforma o mundo ou a educação transforma as pessoasDISJUNÇÃO EXCLUSIVA • → [Se P, então Q] • EX. Se a Ciência transforma o mundo, então a educação transforma as pessoasCONDICIONAL • ↔ P Se , e somente se Q • EX. A Ciência transforma o mundo se, e somente se a educação transforma as pessoasBICONDICIONAL RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO PARA EBSERH TEORIA + EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Adeilson de Melo – Aula 04 REVISÃO E APROFUNDAMENTO Prof. Adeilson de Melo www.romulopassos.com.br Página 65 10. QUESTÕES DE LÓGICA PROPOSICIONAL 42. (AOCP) Sendo p a proposição: “Marta viaja nos fins de semana” e q a proposição: “Beatriz vai à escola”, assinale a alternativa que corresponde à seguinte proposição em LINGUAGEM SIMBÓLICA: “Se Beatriz vai à escola, então Marta viaja nos fins de semana”. a) p ^q; b) (~p) v q; c) q v p. d) (~p) ^ (~q); e) q → p; SOLUÇÃO Vajamos o enunciado: P: “Marta viaja nos fins de semana” q: “Beatriz vai à escola” Trata-se de uma condicional. Se p, então q. Assim, alternativa que corresponde à seguinte proposição em LINGUAGEM
Compartilhar