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Física Quântica: Energia Solar, Oscilador Harmônico, Equações de Onda e Leis de Radiação

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1 
 
Nome: Sâmella S. de Andrade Matrícula: 2016430430 
Disciplina: Introdução a Física Quântica Professor: Walber Hugo 
 
Lista 1 (janeiro de 2021) 
1. Na superfície da Terra, uma área de � ��², perpendicular aos raios solares, 
recebe �,�� � de energia por segundo. Sabendo que o raio do Sol é da ordem 
de � � ����, que a distância entre o Sol e a Terra é da ordem de �,� ������ e 
supondo que o Sol seja um corpo negro, determine a temperatura na 
superfície do Sol. 
 
Dados: 
 
� = 1 ��² 
� = 0,13�/� 
� = 7�10� � 
�(����� − ���)�′ = 1,5�10��� = 1,5�10�� 
� = ��+ � 
� = 5,67�10���/(�²� �) 
� = ? 
 
 
��
����� = ��� =
�
�∆�
 
 
��
����� =
0,13�/�
1�10���²
= 1300�/�² 
 
���� = 4��
� = 4 ∗� ∗(7�10� �)�
= 6,16 � 10�� �² 
 
������ = 4��
� 
 = 4 ∗� ∗(1,5�10��� + 7�10� �)� 
 = 2,85 � 10���� 
 
��
����������� = ��
������� 
 
������ = ���� 
 
1300�
��
∗2,85�10���²= ��
���∗6,16�10���² 
 
3,676�10���
6,16�10����
= ��
��� 
 
��
���= 6,02�10��/�² 
 
��
���= ��� → � = �
��
���
�
�
�
�
 
 
� = �
6,02�10�
5,67�10��
�
�,��
 
 
� = 5708,9 � 
 
 
2. Um oscilador harmônico tridimensional se encontra em equilíbrio térmico 
com um reservatório a temperatura T. Determine a energia média do 
oscilador. 
 
Chamei ∈ de energia média. 
 
Sâmella
Lápis
2 
 
Sabendo que a energia em uma mola unidimensional será dada por ∈�=
�
�
(��� + ���)=
� ����� �� ���������
�
 , aplicando isso nos três eixos, teria 
� ����� �� ���������
�
= 3. Aplicando o teorema da equipartição tem-se a energia total 
média como ∈=
�∗�∗��∗�
�
= 3��� 
 
 
3. As equações para os campos E e B no vácuo e na ausência de cargas e 
correntes são dadas por: 
� . � = �,(�) 
 
� . � = �,(�) 
 
� � � = − 
��
��
 ,(�) 
 
� � � = ����
��
��
,(�) 
 
onde �� é a permeabilidade magnética do vácuo e �� a permissividade elétrica 
do vácuo. Obtenha as equações de onda para os campos E e B. Qual a 
velocidade de propagação dessa onda? 
 
Podemos reescrever a equação de (1) a (4) aplicando o rotacional e o divergente. 
 
∇ . � =
���
��
= 0 =
���
��
 , (5) 
 
∇ . � =
���
��
= 0 =
��
��
, (6) 
 
∇ � � = − �
���
��
+ �
���
��
= − 
���
��
� − 
���
��
� − 
���
��
� , (7) 
 
∇ � � = − �
���
��
+ �
���
��
= ����(
���
��
� + 
���
��
� + 
���
��
�), (8) 
 
 
�� = �� = 0 
 
Como no eixo z o campo vai para zero, posso construir os seguintes sistemas: 
 
Sistema A 
���
��
= −����
���
��
,(9) 
 
���
��
= −
���
��
,(10) 
 
Sistema B 
���
��
= ����
���
��
,(11) 
 
���
��
=
���
��
,(12) 
3 
 
 
 
����� ���� ����� ���,���� ���,���,��� �� ����������� ����� ���������çõ��: �� →
��; �� → −�� 
 
Aplico derivada parcial no sistema A, na equação (9) com relação a z e na equação 
(10) com relação a t. 
 
�²��
��²
= −����
�²��
����
,(13) 
 
�²��
����
= −
�²��
��²
,(14) 
 
Igualo a equação 13 a 14: 
−����
�²��
����
= −
�²��
��²
 
 
→
�²��
��²
− ����
�²��
����
= 0, (15) 
 
Aplico a derivada parcial no sistema B, na equação (11) com relação a t e na 
equação (12) com relação a z. 
 
�²��
����
= −����
�²��
��²
,(16) 
 
�²��
��²
= −
�²��
����
,(17) 
 
Igualo a equação 16 a 17: 
−����
�²��
��²
= −
�²��
����
 
 
→
�²��
����
− ����
�²��
���
= 0,(18) 
 
Assim os sistemas ���,��� ou ���,���, satisfazem a equação da onda, que é dada 
por 
�²�
��²
−
�
��
���
���
= 0, dela calculamos a velocidade da onda, que nesse caso será: 
� =
�
√����
= 3 �10��/�. 
 
4. Obtenha a fórmula de Rayleigh-Jeans a partir da fórmula de radiação de 
Planck. 
 
Radiação de Planck 
��(�)�� =
8��²
�³
ℎ�
(��� ���⁄ − 1)
 �� (1) 
 
Radiação de Rayleigh-Jeans 
 
��(�)�� =
8�����²
�³
 �� (2) 
 
Se igualar a equação (1) a equação (2) obtemos: 
 
8���
��
ℎ�
(��� ���⁄ − 1)
 �� =
8�����
�
��
 �� 
 
4 
 
ℎ�
(��� ���⁄ − 1)
= ��� (3) 
 
Tirando o limite do lado esquerdo da equação (3), para prová-la: 
 
lim
�→ �
ℎ�
(��� ���⁄ − 1)
 
 
Aplicando L’Hospital, 
 
ℎ ∗ lim
�→ �
1
�
��
���ℎ
���
=
���
�
��
���ℎ
= ℎ
���
�
�.
�
���ℎ
= ��� (4) 
 
Dessa forma, substituímos o valor encontrado na equação (4), na equação (1), no 
lugar da segunda fração contida na mesma, temos (1) igual a equação (2) 
 
��(�)�� =
8��²
�³
��� �� 
 
5. Demonstre que a partir da fórmula de radiação de Planck é possível 
obter: 
 
a) a lei de deslocamento de Wien. 
 
b) a lei de Stefan-Boltzmann. 
 
Calcule corretamente todas as constantes de proporcionalidade. Sugestões: 
(�) 
�
�
+ ��� = � possui solução numérica � = �,���; (��) ��(�)=
�
�
��(�); 
(���) ∫
�³
����
��
�
�
= 
��
��
. 
 
Respostas 
 
a) Pela Lei do deslocamento de Wien: 
��á�� = �,���� � é ��� ��������� (1) 
 
��(�)=
8�ℎ �
�
�
�
�
��
1
�
�
��
�
�
�
��
�
− 1
�
�
=
8�ℎ�
���
��
��� − 1
 (2) 
 
���(�)
��
= 0 (2) 
Substituindo 1 em 2: 
 
5 
 
���(�)
��
=
�
��
�
8�ℎ�
���
��
��� − 1
� = 0 
 
= 8�ℎ�
�
��
�
���
�
��
��� − 1
� 
 
= −5�1 − �
� 
��
���� +
ℎ�
���
 
Chamando � = 
��
���
 
 
0 = −5(1− ���)+ � 
 
�
5
+ ��� = 1,���� �� ������ã� �,� ��� ����çã� �� � = 4,965. 
 
Pela Lei do deslocamento de Wien: 
��á� =
�
�
 
 
��� =
ℎ�
�� ∗4,965
= � 
 
 ���� � =
ℎ�
�� ∗4,965
≅ 2,89�10���� 
 
b) 
 
��(�)�� =
��(�)��
��
=
�
4
��(�)�� (���� �������� �� ��) (1) 
��(�)=
8�ℎ��
��
1
��� ��⁄ − 1
 (2) 
 
�� = � ��(�)��
�
�
 (3) 
Substituindo (1) em (3): 
�� =
�
4
� ��(�)�� 
�
�
 (4) 
Substituindo (2) em (4): 
 
�� =
�
4
�
8�ℎ��
��
1
��� ��⁄ − 1
 �� 
�
�
 
 
�� =
�
4
8�ℎ
��
�
�³
��� ��⁄ − 1
 ��
�
�
 
 
Aplicando regra da substituição: 
6 
 
 
� = 
ℎ�
��
 �� =
ℎ
��
�� 
 
��
=
�
4
8�ℎ
��
ℎ
��
 �
�³
�� − 1
 ��
�
�
 (��������� � ������ã� ���,���� ���������� � ��������) 
 
�� =
�
4
8�ℎ
��
ℎ
��
��
15
=
2
15
 
��� ���
��ℎ� 
,(5) 
Onde: 
� =
2
15
 
��� �
��ℎ� 
= 5,67�10������� �� 
 
Dessa forma a equação 5 pode ser escrita como: 
 
�� = ��
�,(6) 
 
Onde esta é a equação de Stefan-Boltzmann. 
 
6. Elabore um argumento que permita mostrar que não é possível ter o efeito 
fotoelétrico com elétrons livres. Discuta sua conclusão na perspectiva da 
teoria de Compton. 
 
O efeito fotoelétrico, foi descoberto por Hertz em 1887, onde placas irradiadas 
emitem elétrons. O efeito fotoelétrico é a emissão de elétrons em uma superfície, 
devido à incidência de luz sobre essa, os elétrons podem ser detectados sob a 
forma de corrente se forem atraídos para um coletor metálico. 
 
Porém este fenômeno não pode ocorrer, com os elétrons livres, pois os elétrons 
não possuem grau de liberdade interna, eles precisão que a energia seja transferida 
a eles, aumentando assim sua energia cinética, como não absorvem energia, os 
elétrons livres não podem provocar o efeito fotoelétrico. 
 
Mas, no efeito Compton, sim, para isso o fóton ao colide com um elétron livre deve 
transferir parte de sua energia cinética ao elétron, dessa forma pode ocorrer o 
fenômeno fotoelétrico. 
 
7. Em um experimento sobre efeito fotoelétrico onde foi usado um cátodo de 
sódio, foram obtidos os seguintes potenciais de corte ��(Tabela 1): 
 
Tabela 1: Medidas dos potenciais de corte ��, comprimento de onda e 
frequência para o efeito fotoelétrico. 
 
� (Å) � (Hz x ����) ��(V) 
2536 1,18 1,95 
3132 0,958 0,98 
3650 0,822 0,5 
7 
 
4047 0,741 0,14 
 
a) Elabore um gráfico ��vs �. 
b) Determine o valor da constante de planck. 
c) Determine a função trabalho do sódio. 
 
 
� (��������çã� �� �) = − 2,884 
� (�������çã�) = 4,08 �10��� 
 
Utilizando a equação fotoelétrica de Einsten, �� =
��
�
−
��
�
, é possível determinar a 
constante de Planck e a função trabalho do sódio. 
 
A constante de Planck pode ser determinada pelo coeficiente de inclinação da reta, 
como proposto por Einsten. 
 
 � =
∆�
∆�
→ ℎ = �� = 4,08 �10��� ∗1,6�10��� = 6,592�10����.�Já a função trabalho pode ser obtida pela intercepção da reta, que ocorre quando 
a frequência é nula. Assim: 
�� = −
��
�
= � 
 
�� = �(−�) 
 
�� = (−2,884)∗(1,6�10
���)= 4,61x10���J 
 
8. Considerando o modelo de Compton para o espalhamento de raios-X, 
encontre uma relação entre o ângulo de espalhamento do elétron φ e o ângulo 
8 
 
de espalhamento do fóton ϴ. Determine o intervalo angular onde é possível 
encontrar o elétron espalhado. 
 
Espalhamento da radiação ocorre em todas as direções, consequentemente em 
diversos ângulos. O comprimento de onda varia de acordo com o ângulo. Compton, 
levou em consideração a ideia de Einstein, e assume que o raio X se comporte 
como fótons, no qual transporta momento, além de energia. 
 
1. Compton tratou o espelhamento como colisão entre um fóton, onde ��� como 
energia, e ��� o momento. 
 
2. Durante a colisão ocorre recuo do elétron, e o fóton espelhado tem energia �� <
���, e � > ��. 
 
 
 
O momento é dado por: 
��� =
���
�
���, (1) 
��� = ℎ��, (2) 
Substituindo (2) em (1): 
��� =
ℎ��
�
=
ℎ
��
 , (3) 
 
��� + ���
� = �� + �, (4) 
 
���
�
��� =
�
�
�� + �, (5) 
 
Relacionando E com p, tem-se: 
� − ���� = ���
�, (6) 
 
9 
 
Isolando E da equação (4): 
 
� = ��� − �� + ���
�, (7) 
Substituindo (4) em (6): 
�� − ��
��� = ���� − ���
�
+ 2���� − ������
� = ����, (8) 
 
���� = ������� − �����
�
= ��������
�
+ ������
�
− 2���������, (9) 
 
���� ��� ∗�� = ���� 
 
Substituindo (9) em (8): 
���� − ������
� = �����(1− ����)→
1
��
−
1
���
=
(1− ����)
����
, (10) 
Assumindo que: 
�
���
=
�
ℎ��
=
��
ℎ
 
 
1
���
=
��
ℎ�
; 
1
��
=
�
ℎ�
 (11) 
 
Substituindo os dados encontrados em (11) na equação (10). 
�
ℎ�
−
��
ℎ�
=
(1− ����)
���
�
→ ∆� = � − �� = ℎ
(1− ����)
���
, (12) 
 
Na equação (12) tem-se o deslocamento de Compton, que dá a relação do 
comprimento de onda com o ângulo. 
 
9. Mostre que a energia de recuo do elétron no espalhamento Compton é dada 
por, 
 
� = �� �
�����²�
(� + �)− �²���²�
� + ���
�, ���� � =
��
���²
 
 
A energia de recuo do elétron é dada por: 
 
� = �� + ���
�, (1) 
 
onde a energia cinética é dada por: 
 
�� = �� − ��, (2) 
 
Dividindo a equação (2) por ��: 
 
��
��
= 1−
��
��
, (3) 
���� �� = ℎ� 
 
10 
 
��
��
=
1
(1− ����)� + 1
 (4) 
 
Fazendo as substituições em (3): 
 
��
ℎ�
= 1 −
1
(1− ����)� + 1
→ 
��
ℎ�
=
(1− ����)�
(1− ����)� + 1
, (5) 
 
���� (1− ����)=
2��²(
�
2)
1 + ��²(
�
2)
 
Aplicando identidades trigonométricas em (5): 
 
��
ℎ�
=
�
2��� �
�
2�
1 + ��� �
�
2�
��
�
2��²(�/2)
1 + ��²(
�
2)
�� + 1
=
2�
2� + 1+
1
��²(
�
2)
, (6) 
 
���� �� �
�
2
� = ���(� + 1) 
Reescrevendo a equação (6): 
��
ℎ�
=
2�
2� + 1 + ���(� + 1)² 
, (7) 
���� ��� =
1− ���²�
���²�
 
Reescrevendo a equação (7): 
��
ℎ�
=
2�
2� + 1+
1 − ���²�
���²�
(� + 1)² 
 
 
��
ℎ�
=
2����²�
(� + 1)� − �²���²� 
 
�� =
2����²�
(� + 1)� − �²���²� 
∗ℎ�, (8) 
Substituindo (8) em (1): 
� = ℎ� �
2����²�
(� + 1)� − �²���²� 
� + ���² 
 
10. Considere um material cristalino em que a distância entre os planos 
atômicos é igual a � (veja Figura 1). 
 
a) Encontre a relação entre o comprimento de onda � dos raios-X incidentes 
e a distância �, no caso de uma interferência construtiva. 
 
11 
 
b) No caso de um dado cristal, em que � = �; �� Å, foi observado um máximo 
de primeira ordem em � = �.�°. Determine o comprimento de onda dos raios-
X incidentes. 
 
 
Figura 1: Difração de raios-X por uma rede cristalina, onde a distância entre os planos atômicos é 
igual a �. 
 
 
a) 
A interferência construtiva é dada por 2� = ��, assim o valor de x precisa ser 
determinado. 
 
 
 
Pela figura acima temos que ���� =
�.�.
���
=
�
�
, isolando x, há � = � ∗����. 
Substituindo o valor encontrado de x, em 2� = �� → 2����� = ��, e essa é a 
relação entre a distância e o comprimento de onda. 
 
b) 
2����� = �� 
2 ∗2,82∗sin 0,7 = 1.� 
λ = 0,0689Å

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