apostila-20172-ciii (1)

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Institucionais das Exatas – Cálculo III – Prof.ª Patrícia Grudzinski da Silva
Obs.: Material desenvolvido para uso em sala de aula.
3. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
3.1) Funções de duas variáveis: Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais (x, y) de um conjunto D, um único valor real denotado por f(x,y). O segmento D é o domínio de f.
· Exemplos:
 
· Determinando o domínio natural de uma função de duas variáveis:
No geral, não podemos ter:
1) Denominador nulo; 
2) Valor negativo em radicais de índice par;
3) Logaritmo natural de um número negativo.
· Exemplos:
· Algumas funções representadas graficamente:
 
 
 Gráfico de sela
3.2) Curvas de Nível: 
Definição: As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são as curvas com equação f(x,y) = k, sendo k uma constante.
· Exs.: 
· Esboce as curvas de nível da função , para os valores K= - 6, 0, 6, 12.
Obs.: Construção manual!
Porém, para construções mais específicas e funções mais complexas, são utilizados softwares para o esboço gráfico, como representados nos seguintes exemplos:
Exemplo 1:  O parabolóide elíptico de revolução, cuja função é dada por:
	 
	              
	 
	     Curvas de nível
	 
	                  Gráfico
Exemplo 2:  Um parabolóide hiperbólico (sela de cavalo).
	 
	              
	 
	     Curvas de nível
	 
	               Gráfico
Exemplo 3: Um parabolóide elíptico magrinho
	 
	              
	 
	     Curvas de nível
	 
	       Gráfico
Exemplo 4:   Telhas  
	 
	              
	 
	     Curvas de nível
	 
	                       Gráfico
Exemplo 5:  Chapéu
	 
	              
	 
	     Curvas de nível
	 
	                  Gráfico
Exemplo 6: Uma asa de avião em formato cilíndrico
	 
	              
	 
	     Curvas de nível
	 
	                  Gráfico
Exemplo 7: Uma asa de avião em formato cilíndrico reto.
	 
	              
	 
	     Curvas de nível
	 
	                  Gráfico
EXERCÍCIOS:
1) Determine o domínio das funções:
2) Defina o valor das seguintes funções para cada uma das curvas de nível solicitadas:
3) A temperatura do ponto P(x,y) de uma chapa é dada por T(x,y) = 2x2 + y2 – 6. Determine a temperatura no ponto P(1,4).
3.3) Limites de Funções de duas variáveis
Definição: Seja f uma função de duas variáveis.
Escrevemos: , se: dado ε > 0, existe > 0 de modo que |f(x,y) – L| < ε sempre que (x, y) estiver no domínio de f e 0 < 
· Exs.:
a) 
b) 
*Obs.: Se quando ao longo do caminho C1 e quando ao longo do caminho C2, então não existe.
· Ex.:
· Caminho: y = 0
· Caminho: x = 0
	Conclusão: Não existe limite, pois L1L2.
	Como caminhos diferentes resultaram em limites diferentes, o não existe.
EXERCÍCIOS:
1) Calcule os limites em:
2) Mostre que não existe o: 
3.3.1) Continuidade
Definição: Uma função f de duas variáveis é dita contínua em (a, b) se:
	Dizemos que f é contínua em D, se f é contínua em todo o ponto (a, b) D. 
· Exs.:
a) é contínua em (1, 1), pois 
b) A função não é contínua em (1, 1), pois: 
 não existe, e 
c) A função não é contínua em (0,0), pois g(0,0) = 0 e não existe.
Exercícios:
1) Calcule o limite de quando em e verifique se as funções são contínuas neste ponto:
3.4) Derivadas Parciais:
Definição: 1) A derivada parcial de primeira ordem de f com relação a “x” no ponto (a, b), escrita 
é dada por: 
 desde que o limite exista.
Definição: 2) A derivada parcial de primeira ordem de f com relação a “y” no ponto (a, b), escrita
é dada por: 
desde que o limite exista.
· Exemplos:
Realiza-se a derivada da variável solicitada, considerando a outra como constante, logo, a outra variável não é derivada.
EXERCÍCIOS:
1) Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso:
3.4.1) Derivadas Parciais de Ordem Superior: Uma vez que as derivadas parciais fx e fy são funções de x e y, essas funções podem elas mesmas terem derivadas parciais.
	Isto origina quatro possíveis derivadas parciais de segunda ordem de f, as quais são: 
· Exemplos:
1) Calcular as derivadas parciais de segunda ordem de:
EXERCÍCIOS:
1) Achar as derivadas de segunda ordem das seguintes funções:
3.5) Máximos e Mínimos:
Definição: Uma função de duas variáveis tem um máximo local em (a, b) se , pata todo (x, y) máximo de (a, b).
	O número f(a, b) é chamado valor máximo local.
	Se , para todo (x, y) próximo de (a, b), então f(a, b) é um valor mínimo local. 
· Obs.: O significado de (x, y) próximo de (a, b) é dizer que (x, y) pertence a algum disco com centro em (a, b).
Teorema: Se uma função f tem um máximo ou um mínimo local em (a, b), então desde que essas derivadas parciais sejam contínuas.
Teste da segunda derivada
	Suponha que as segundas derivadas parciais de f sejam contínuas num disco com centro (a, b), e suponha que Seja 
	Este cálculo é do determinante hessiano, representado pela matriz das derivadas parciais de segunda ordem:
· Exemplos:
1) Determine os extremos relativos de 
2) Determine os pontos críticos de e classifique-os em máximo, mínimo ou ponto de sela.
3) Repetir o exemplo anterior para 
APLICAÇÕES DE DERIVADAS PARCIAIS – MÁXIMOS E MÍNIMOS
Passos para solucionar:
1º) pontos críticos: fx = 0 e fy = 0
2º) Calcular o determinante Hessiano: H(a,b). Se o valor for maior que zero, será máximo ou mínimo e precisa realizar o 3º passo, caso contrário será ponto de sela e finaliza.
3º) Verificar o sinal de fxx, se: fxx < 0 então é ponto de máximo; caso seja fxx > 0 então é ponto de mínimo.
		 
Concavidade da parabolóide voltada para baixo,		Concavidade da parabolóide voltada para cima,
indica ponto de máximo, e portanto fxx<0. 		indica ponto de mínimo, e portanto fxx>0. 
EXEMPLO:
1) Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 6m³ e com a menor área de superfície possível? 
EXERCÍCIOS – APLICAÇÕES DE DERIVADAS PARCIAIS :
1) Determine os pontos críticos de e classifique-os em máximo, mínimo ou ponto de sela. Reposta: (0, 1) e (0, -1) são pontos de sela; (1, 0) é ponto de mínimo local; (-1, 0) é ponto de máximo local. 
2) Encontre os pontos críticos de Classifique-os em máximos, mínimos e ponto de sela. Reposta: ( -½ , -¼ ) é ponto de sela; (1, -1) é ponto de mínimo local. 
3) Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 4m³ e com a menor área de superfície possível? Reposta: x = 2m, y = 2m, z = 1
4) Uma indústria produz dois produtos denotados por A e B. o lucro da indústria pela vende de x unidades do produto A e y unidades do produto B é dado por:
	
Supondo que toda a produção da indústria seja vendida, determinar a produção que maximiza o lucro. Reposta: (10, 30) é ponto de máximo
5) Uma determinada empresa produz dois produtos cujas quantidades são indicadas por x e y. Tais produtos são oferecidos ao mercado consumidor a preços unitários p1 e p2, respectivamente, que dependem de x e y conforme equações: e . O custo total da empresa para produzir e vender quantidades x e y dos produtos é dado por . Admitindo que toda produção da empresa seja absorvida pelo mercado, determine a produção que maximiza o lucro. Qual o lucro máximo? Resposta: (10, 30) =>3.600
 
4. INTEGRAL DUPLA:
4.1) Definição e Solução – Integrais Iteradas: Suponha que f seja uma função de duas variáveis, contínua no retângulo [a,b] X [c,d].
	Usaremos a notação significando que x é mantido constante e f(x,y) é integrada em relação a y, de y = c até y = d. esse procedimento é chamado de integração parcial em relação a y.
	De maneira inteiramente análoga faremos a integração parcial em relação a x, utilizando os limites a e b.
· Volume: Delimitado superiormente pelo gráfico z = f(x,y) e inferiormente pela região D.
 
EXEMPLOS:
1)Calcule as seguintes integrais iteradas:
 
2) Calcule , onde R = [0, 2] X [1, 2].
3) Calcule a integral , onde R é a região delimitada pelas funções: Faça um esboço desta região. 
4) Calcule a integral , onde R é a região delimitada pelas funções: Faça um esboço desta região. 
EXERCÍCIOS:
1) Calcule as integrais iteradas:
2) Calcule a integral , onde R é a região delimitada pelas funções: e ; . Resp.: 8/3 
3) Calcular , onde R é a região delimitada por: , ; Resp.: 1533/20 ou 76,65
 
4) Suponha que um engenheiro de minas extraiu um mineral com um formato peculiar conforme o gráfico a seguir. Calcule o volume deste mineral sabendo que é delimitado por e pelos planos . Resp.: 8/3 u.v.