Resolução Comentada - FUVEST 2020 - Questão do número real x - Produto Notável

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA E OUTRAS
INCÓGNITAS 
ESSA RESOLUÇÃO É UM OFERECIMENTO DE
PROF. JOHNNY
Este material tem como objetivo não só resolver o exercício, mas também
explicar a parte teórica envolvida. Se quiser assistir a resolução acesse no
YOUTUBE o canal Matemática e outras incógnitas
Aqui temos uma questão clássica de manipulação algébrica, para
resolvê-la você precisa lembrar do produto notável cubo da
diferença.
A maioria deve se lembrar bem do quadrado da diferença e do
quadrado da soma, o clássico: "o quadrado do primeiro mais/menos
duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do
segundo. Exemplo: 
(x + a)² = x² + 2.x.a + a²
(x - a)² = x² - 2.x.a + a²
Porém na questão nós temos um cubo da diferença, com isso quando
abrirmos a equação ficará um pouco diferente.
SOBRE A QUESTÃO
RESOLUÇÃO COMENTADA
FUVEST 2020
QUESTÃO
PROF. JOHNNY
CANAL MATEMÁTICA E OUTRAS INCÓGNITAS - YOUTUBE
P. 01
Vamos olhar para (x + a)³ primeiro. Podemos reescrever: 
(x + a)³ = (x + a)² . (x + a)
Aplicando o quadrado da soma teremos:
(x² + 2.x.a + a²) . (x + a)
Aplicando a distributiva teremos:
x³ + x².a + 2.x².a + 2.x.a² + x.a² + a³
x³ + 3.x².a + 3.x.a² + a³
Com isso temos o padrão, sempre que virmos um cubo da soma
podemos usar esses passos:
1° Passo: Por a senha (1331)
2° Passo: Pegar o primeiro termo e crescer seu expoente da direita
para a esquerda, de 0 a 3.
3° Passo: Fazer o mesmo com o segundo termo, só que dessa vez
indo da esquerda para a direita.
Exemplo: (x + 2)³
1° Passo: 
1 3 3 1
2° Passo:
1.x³ 3.x² 3.x¹ 1.x
3° Passo:
1.x³.2 + 3.x².2¹ + 3.x¹.2² + 1.x .2³
x³ + 6.x² + 12.x + 8
Para o cubo da diferença o procedimento continua o mesmo, a única
mudança são os sinais que se alternam. 
Exemplo: (x - 2)³
x³ - 6.x² + 12.x - 8
SOBRE A QUESTÃO
P. 02RESOLUÇÃO COMENTADA - FUVEST 2020
0
00
RESOLVENDO
Temos que:
3.x² - 9x + 7 = (x - a)³ - (x - b)³
Vamos abrir os cubos das diferenças:
1° Passo: Por a senha
3.x² - 9x + 7 = 1 3 3 1 - (1 3 3 1 )
2° Passo: Por o primeiro termo crescendo o expoente da direita para a esquerda
(expoente 0 não precisa por, já que qualquer coisa elevado a zero é 1)
3.x² - 9x + 7 = 1.x³ 3.x² 3.x 1 - (1.x³ 3.x² 3.x 1 )
3° Passo: Fazer o mesmo com o segundo termo, só que agora da esquerda para a
direita
3.x² - 9x + 7 = 1.x³ 3.x².a 3.x.a² 1.a³ - (1.x³ 3.x².b 3.x.b² 1b³)
Agora basta por os sinais se alternando:
3.x² - 9x + 7 = x³ - 3.x².a + 3.x.a² - a³ - (x³ - 3.x².b + 3.x.b² - b³)
Fazendo o jogo de sinais:
3.x² - 9x + 7 = x³ - 3.x².a + 3.x.a² - a³ - x³ + 3.x².b - 3.x.b² + b³
É possível cortar o x³ e vamos agrupar o resto:
3.x² - 9x + 7 = - 3.x².a + 3.x².b + 3.x.a² - 3.x.b² - a³ + b³
Fatorando:
3.x² - 9x + 7 = x² (-3.a + 3.b) + x (3.a² - 3.b²) - a³ + b³
Com isso sabemos que quem está com junto com o x² tem valores iguais, o mesmo
funciona para o x e para o termo independente:
3 = 3.b - 3.a (I)
-9 = 3.a² - 3.b² (II)
7 = b³ - a³
Com (I) e (II) conseguimos tirar o seguinte:
(I) 1 = b - a b= 1 + a
(II) -3 = a² - b² -3 = (a - b)(a + b)
Substituindo:
-3 = (a - (1 + a))(a + (1 + a))
-3 = -1 . (2a + 1) a=1
Em (I) 
1 = b - 1 b=2
 
Para aprender mais matemática acesse no YOUTUBE o canal Matemática e outras incógnitas 
ALTERNATIVA A
Como queremos a + b = 1 + 2 = 3