Nivelamento em Matemática

Prévia do material em texto

Matemática 
 
JOÃO JOSÉ SARAIVA DA FONSECA 
PAULO RUBENS BARRETO SILVA, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JOÃO JOSÉ SARAIVA DA FONSECA 
PAULO RUBENS BARRETO SILVA, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NIVELAMENTO EM MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª EDIÇÃO 
 
 
Sobral/2016 
4 Nivelamento de Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTA - Instituto Superior de Teologia Aplicada 
PRODIPE - Pró-Diretoria de Inovação Pedagógica 
 
 
Diretor-Presidente das Faculdades INTA 
Dr. Oscar Rodrigues Júnior 
 
Pró-Diretor de Inovação Pedagógica 
Prof. PHD João José Saraiva da Fonseca 
 
Coordenadora Pedagógica e de Avaliação 
Profª. Sonia Henrique Pereira da Fonseca 
 
Professore conteudistas 
João José Saraiva da Fonseca 
Paulo Rubens Barreto Silva 
 
Assessoria Pedagógica 
Sonia Henrique Pereira da Fonseca 
Evaneide Dourado Martins 
Juliany Simplício Camelo 
 
Design Instrucional 
Sonia Henrique Pereira da Fonseca 
Revisora de Português 
Neudiane Moreira Félix 
 
Revisora Crítica de Textos 
Anaisa Alves de Moura 
 
Diagramador 
José Edwalcyr Santos 
 
Diagramador Web 
Luiz Henrique Barbosa Lima 
 
Analista de Tecnologia Educacional 
Juliany Simplicio Camelo 
 
Produção Audiovisual 
Francisco Sidney Souza de Almeida (Editor) 
 
Operador de Câmera 
José Antônio Castro Braga 
4 Nivelamento de Matemática 
 
 
Avance com foco no seu aprendizado 
 
Estamos disponibilizando neste espaço de aprendizagem as videoaulas, 
um recurso tecnológico, com a intenção de contribuir com sua 
aprendizagem sobre os temas referente às unidades de estudo da 
disciplina. 
 
Guiando o estudo com as videoaulas 
 Leia o cada unidade de estudo e ao final assista as videoaulas 
para ampliar seu estudo e ou dirimir as duvidas sobre o tema. 
 
Regra de Três Simples
 
Regra de Três Composta
II 
Fórmula de Bhaskara
 
Equação do lº Grau 
 
Equação do 2° Grau
 
Equação Biquadrada
 
https://vimeo.com/album/3820396/video/156829844
https://vimeo.com/album/3820396/video/156829949
https://vimeo.com/album/3820396/video/156829864
https://vimeo.com/album/3820396/video/156829953
https://vimeo.com/album/3820396/video/156829938
https://vimeo.com/album/3820396/video/156829966
 
 
Sumário 
 
 
 
Apresentação .......................................................................................................... 
 
OPERAÇÕES MATEMÁTICAS - NÚMEROS INTEIROS 
Adição e subtração de números inteiros.................................................................................. 
Multiplicação e divisão de números inteiros........................................................................... 
Calculadoras......................................................................................................................................... 
Autoavaliação ............................................................................................................... ....................... 
 
FRAÇÕES 
Operações com frações........................................................................................................ ........... 
Frações equivalentes......................................................................................................................... 
Adicionando frações.......................................................................................................... ............... 
Adicionando frações com denominador diferente............................................................... 
Subtração de frações......................................................................................................... ............... 
Multiplicação de frações .................................................................................................... ............. 
Divisão de frações.................................................................................................. ............................ 
Autoavaliação ............................................................................................................... ....................... 
 
REGRA DE TRÊS 
Regra de três simples ....................................................................................................................... 
Grandezas diretamente proporcionais ...................................................................................... 
Grandezas inversamente proporcionais.................................................................................... 
Exercícios resolvidos ....................................................................................................... .................. 
Forma simplificada ............................................................................................................................ 
Problemas envolvendo torneiras .............................................................................................. ... 
Regra de três composta .................................................................................................................. 
Calculadora.................................................................................................................. ......................... 
Autoavaliação ............................................................................................................... ....................... 
1 
2 
3 
8 Nivelamento de Matemática 
PORCENTAGEM 
Calculando a porcentagem ............................................................................................................ 
Forma fracionária da porcentagem ........................................................................................... 
Forma decimal da porcentagem ................................................................................................. 
Operações com porcentagem ................................................................................................... ... 
“Lucro” trabalhando com porcentagens ................................................................................... 
“Desconto” trabalhando com porcentagens ........................................................................... 
A calculadora no cálculo de porcentagem .............................................................................. 
Autoavaliação ............................................................................................................... ....................... 
 
LÓGICA 
Autoavaliação ........................................................................................................................... ........... 
 
POTÊNCIAS 
Autoavaliação ............................................................................................................................. ......... 
 
RAIZ QUADRADA 
Autoavaliação .................................................................................. .................................................... 
 
RACIONALIZAÇÃO 
Definição de racionalização ................................................................................................. .......... 
Métodos de racionalização ............................................................................................................ 
Outro caso de racionalização – Aplicação ............................................................................... 
Autoavaliação ............................................................................................................................. ......... 
 
NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
Regras..................................................................................................................................................... 
Transformações de Notação Científica......................................................................................Representações com potência de dez ....................................................................................... 
Transformações envolvendo Potência de 10........................................................................... 
Autoavaliação ............................................................................................................................. ......... 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
Nivelamento de Matemática 9 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
Definição de Equações do Primeiro Grau................................................................................. 
Analogia com balança................................................................................................. ..................... 
Método longo ................................................................................................................ ..................... 
Soma e Subtração.............................................................................................................................. 
Divisão e Multiplicação...................................................................................................... .............. 
Regra prática........................................................................................................................................ 
Propriedade Distributiva .................................................................................................... ............. 
Propriedade Distributiva (normalmente) .................................................................................. 
Resolvendo Equações.......................................................................................................... ............. 
Igualdade implica igualdade ......................................................................................................... 
Casos adicionais ............................................................................................................ ..................... 
Autoavaliação ............................................................................................................... ....................... 
 
EQUAÇÃO DE 2º GRAU 
Definição ............................................................................................................................. .................. 
A fórmula de Bhaskara.................................................................................................................... 
A aplicação da fórmula ...................................................................................................... .............. 
Compreendendo o Delta ................................................................................................................ 
Soma e Produto............................................................................................................... ................... 
Equações com termos ausentes................................................................................................... 
Equações biquadradas......................................................................................................... ............ 
Autoavaliação ...................................................................................................................................... 
 
CONVERSÃO DE UNIDADES 
Aprendendo converter unidades................................................................................................ . 
Definição ................................................................................................................... ............................ 
Prefixos..................................................................................................................... .............................. 
Passos básicos a seguir.................................................................................................................... 
Conversão em unidades de cumprimento............................................................................... 
Unidades de área ............................................................................................................................... 
Conversão para unidades sem prefixo ...................................................................................... 
Conversão para unidades de volume......................................................................................... 
Conversão para litro......................................................................................................... ................. 
Autoavaliação ...................................................................................................................................... 
Bibliografia................................................................................................................. ........................... 
10 
11 
12 
10 Nivelamento de Matemática 
 
 
 
 
 
Nivelamento de Matemática 13 
Apresentação 
 
Todos nós já fizemos ou já ouvimos perguntas do tipo: 
 
 
A Matemática está presente em muitas situações no nosso dia a dia. Usamos 
os conceitos matemáticos de forma intuitiva. Um exemplo simples é quando vamos 
a uma loja ou fazemos uma compra e o vendedor dá um desconto ou um acréscimo 
na compra. Ou quando nos questionamos 
 Quanto vou gastar abastecendo o carro essa semana? 
 
 Será que tenho dinheiro suficiente para comprar aquele presente? 
 
Conhecimentos formais de matemática podem ajudar a lidar com essas 
situações que nos deparamos comumente. Apesar de parecerem, à primeira vista ser 
fácil de resolver, esses problemas, nem sempre têm fácil resolução por intermédio 
de cálculo mental e nos obriga a recorrer a realização de cálculos matemáticos. 
Esse material tem o objetivo de apresentar uma proposta de estudo da 
matemática que irá subsidiar disciplinas posteriores, em que a matemática surge 
como uma vertente importante. 
O Nivelamento de Matemática oportuniza uma revisão objetiva de conteúdos 
de Matemática da Educação Básica para que os estudantes possam desenvolver as 
habilidades básicas na área de conhecimento, permitindo atender às necessidades 
expressas nos objetivos de aprendizagem interdisciplinar. 
 
 
Os autores 
Porque eu preciso estudar Matemática? Qual é a importância da 
Matemática na minha vida? 
 
 
Nivelamento de Matemática 15 
Biografia do Autor 
 
João José Saraiva da Fonseca, Pós-Doutor em Educação pela Universidade de Aveiro em 
Portugal, Doutor em Educação pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte (2008), Mestre em 
Ciências da Educação pela Universidade Católica Portuguesa - Lisboa (1999) (validado no Brasil pela 
Universidade Federal do Ceará), Especialista em Educação Multicultural pela Universidade Católica 
Portuguesa - Lisboa (1994). Graduou-se em Ensino de Matemática e Ciências pela Escola Superior 
de Educação de Lisboa (validado no Brasil pela Universidade Estadual do Ceará). É pesquisador na 
área da produção de conteúdo para educação a distância. Atualmente desempenha a função de Pró- 
Diretor de Inovação Pedagógica das Faculdades INTA. 
 
 
Paulo Rubens Barreto Silva, Especialista em Ensino da Matemática (UECE), Graduado em 
Matemática (UECE). Curso Capri- Geometria (UFC) e Curso de Ensino da Matemática (UFP). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APRENDENDO A PENSAR 
O estudante deverá analisar o tema da disciplina 
em estudo a partir das ideias organizadas pelo 
professor-autor do material didático. 
Ap 
 
1 
OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 
CONHECIMENTOS 
Compreender as quatro operações matemáticas. 
 
HABILIDADES 
Identificar e resolver situação-problema envolvendo as quatro operações 
matemáticas 
 
ATITUDES 
Desenvolver cálculo mental envolvendo as quatro operações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nivelamento de Matemática 17 
 
 
Nivelamento de Matemática 19 
OperaçõesMatemáticas 
Nessa unidade propomos que você aprenda como fazer as principais operações 
matemáticas (adição, subtração, multiplicação e divisão), pois em matemática, a 
operação é qualquer tipo de procedimento realizado sobre certa quantidade de 
elementos, obedecendo sempre a uma mesma regra básica, condição essencial para 
a obtenção do resultado correto. 
 
 
Adição e subtração de números inteiros 
A adição e a subtração são bases de toda a matemática. Neste momento você 
devera aprender a realizar as operações matemáticas de adição e subtração. Para 
isso organizamos um conjunto de informações, oriundo de bancos de recursos 
informacionais abertos, envolvendo texto, vídeo e calculadora. Além disso, 
disponibilizamos exercícios para resolver e testar os seus conhecimentos. 
 
 
Adição e subtração de números inteiros positivos e negativos. 
 
 
 
 
Multiplicação e divisão de números inteiros 
Na multiplicação e divisão de números inteiros, devem ser seguidas algumas 
condições que se apresentam, com a ajuda dos recursos educacionais oportunizados 
pelas entidades já usadas na abordagem da adição e multiplicação. Além disso, 
disponibilizamos calculadoras para facilitar os seus cálculos. 
 
Multiplicação e divisão de números inteiros positivos e negativos. 
 
Calculadoras 
Realize as operações matemáticas com esta calculadora simples e prática no seu 
computador, smartphone e tablet. Calculadora no computador App de calculadora 
no smartphone e tablet IOS e tablet Android. 
Criar essa calculadora do link 
 
http://www.calculadoraonline.com.br/basica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 Nivelamento de Matemática 
http://www.calculadoraonline.com.br/basica
Nivelamento de Matemática 21 
Autoavaliação 
 
1. Se a turma tiver 15 homens e 20 mulheres, para calcular o número total 
de pessoas terá: 
 
a) 55 
b)30 
c)35 
d) 52 
 
 
2. Comprei 20 livros e depois comprei mais 13. Quantos livros comprei ao 
todo? 
 
 
3. Ao pagar R$ 400,00, liquidei uma dívida de R$ 1000,00. Quanto já havia 
pago dessa dívida? 
 
 
3) Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foi mandada pelos netos e as outras 
pelos filhos. Quantas rosas mandaram os filhos? 
 
 
4. Uma pessoa deposita R$ 600,00 num banco e, nos 4 meses seguintes, R$ 
500,00 a mais que no mês anterior. Quanto depositou ao todo? 
 
 
5. Quantos anos decorreram desde do descobrimento do Brasil até a 
proclamação da República? 
 
 
6. Numa escola são ministrados cursos de 4 séries, em 15 classes de cada 
série. Essas classes são orientadas por 20 psicólogas. Quantas classes 
orienta cada uma das psicólogas? 
 
 
7. A secretaria da saúde dispõe de 80000 doses de vacina para distribuir 
igualmente a 8 municípios. Secada município dispõe de 4 postos de 
saúde, quantas doses de vacina receberá cada posto? 
 
 
 
2 
FRAÇÕES 
CONHECIMENTO 
Compreender o conceito de fração como parte de um todo; 
Conhecer as formas de efetuar as quatro operações de fração. 
 
HABILIDADES 
Identificar as quatro operações de frações com denominadores iguais e diferentes; 
Identificar frações equivalentes e as diferentes representações de uma mesma 
fração. 
 
ATITUDES 
Aplicar operações para resolver problemas significativos envolvendo frações; 
Resolver problemas com frações expressas na forma decimal, envolvendo 
diferentes significados da adição, subtração, multiplicação e divisão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nivelamento de Matemática 23 
 
 
Nivelamento de Matemática 25 
Operações com frações 
Fração é considerada parte de um todo, que foi dividido em partes exatamente 
iguais. As frações podem ser escritas na forma de números e na forma de desenhos. 
Se partirmos uma pizza, teremos frações. 
 
Um meio Um quarto três oitavos 
 
 
O inteiro foi divido em 8 partes iguais, onde 1 delas foi pintada. 
 
O inteiro foi dividido em 8 partes iguais, onde 6 foram pintadas. 
1 
8 
6 
8 
26 Nivelamento de Matemática 
 
 
O inteiro foi dividido em 4 partes iguais, onde 2 foram pintadas. 
 
Na fração, a parte de cima é designada de numerador, e indica o número de 
partes do inteiro que foram utilizadas. A parte de baixo é nomeada de denominador, 
e indica a quantidade máxima de partes iguais em que o inteiro foi dividido. 
 
 
Frações equivalentes 
Algumas frações parecem diferentes, mas na realidade é a mesma. As frações 
equivalentes representam a mesma parte do todo. 
Vejamos alguns exemplos: 
Quatro oitavos dois quartos um meio 
 
É também possível simplificar frações por intermédio da divisão. 
Nivelamento de Matemática 27 
 
 
As frações equivalentes são o resultado da multiplicação ou divisão do 
numerador e denominador de uma fração pela mesma quantidade. 
Podemos verificar se as frações são equivalentes de uma forma bem prática. 
12: 2= 6:2= 3 16 2 8 2 4 
 
 
A fração 
12
 
16 
poderia também ter sido dividida direto por 4 obtendo desse 
modo 3 
4 
Agora repare na situação vivenciada quando desejamos simplificar, a fração 
3
 
4 
Se eu desejar simplificar 
entre si. 
3 eu não consigo, pois, 3 e 4 são números primos 
4 
 
Neste caso teremos uma fração irredutível. 
 
 
Adicionando frações 
Adicionando frações com o mesmo denominador. 
 
 
 
 
 
 
 
Um quarto um quarto dois quartos um meio 
28 Nivelamento de Matemática 
+ = 
 
 
 
 
Cinco oitavos um oitavo seis oitavos três quartos 
 
Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores 
e conservar o denominador. 
 
1 + 1 = 2 4 4 4 
 
Neste caso a fração pode ser simplificada desde que dividida em 
cima e em baixo pelo mesmo número, neste caso o dois e teremos, 
1 
2 
 
3 2 5 
7 7 7 
 
Mais uma vez se constata que a soma de frações com denominadores iguais é 
muito simples bastando somar os numeradores e manter o denominador. 
 
Nivelamento de Matemática 29 
 
 
 
Adicionando frações com denominador diferente 
 
 
Na situação apresentada, os denominadores são diferentes. Como devemos 
proceder? 
Você terá que encontrar uma maneira de os denominadores ficarem iguais. 
No caso apresentado, esse processo é fácil, pois sabemos que 1/4 é igual a 2/8 
 
Vejamos outro exemplo: 
 
30 Nivelamento de Matemática 
Para adicionar essas frações, temos que encontrar um denominador comum. 
Primeiramente vamos apresentar a lista de múltiplos de três: 
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,... 
 
Agora vamos apresentar a lista de múltiplos de seis 
6, 12, 18, 24... 
Neste momento vamos procurar o mínimo número comum aos múltiplos de 
três e seis ao mesmo tempo. 
Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ... 
 
Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, ... 
 
A resposta é seis. Esse é o menor denominador comum. 
 
Vamos agora tentar ficar com os denominadores iguais. 
 
Para isso você deverá multiplicar o numerador e denominador da fração por 
dois. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos analisar outro exemplo: 
1 7 
+ =? 
6 15 
 
 
Os denominadores são agora 6 e 15: 
 
Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... 
 
Múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, ... 
 
O menor denominador comum entre seis e quinze é trinta. 
Nivelamento de Matemática 31 
Para conseguir ter o mesmo denominador nas duas frações, teremos que 
multiplicar o denominador e numerador de 1/6 por cinco e multiplicar o denominador 
e numerador de 7/15 por dois. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e 
 
 
Agora que conseguimos ter os denominadores iguais, podemos adicionar os 
numeradores das frações. 
 
5 14 19 
+ = 
30 30 30 
 
Apresentando um outro exemplo: 
3 15 
+ =? 
8 12 
 
Os denominadores são agora 8 e 12: 
 
 
Múltiplos de 8: 16, 24, 32, 40, 48, 54, ... 
 
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, ... 
 
O menor denominador comum entre oito e doze é vinte e quatro. 
32 Nivelamento de Matemática 
Para conseguir ter o mesmodenominador nas duas frações, teremos de 
multiplicar o denominador e numerador de 3/8 por três e multiplicar o denominador 
e numerador de 5/12 por dois. 
 
 
Agora que conseguimos ter os denominadores iguais, podemos adicionar os 
numeradores das frações. 
 
9 10 19 
+ = 
24 24 24 
 
 
Vejamos outro exemplo: 
 
Nivelamento de Matemática 33 
 
 
 
 
 
 
Para simplificar o cálculo podemos também recorrer à outra estratégia de 
cálculo: 
 
 
Em primeiro lugar deveremos conseguir ter os denominadores iguais 
 
Para isso deveremos multiplicar o denominador e numerador de 1/3 por quatro 
34 Nivelamento de Matemática 
E multiplicar o denominador e numerador de 1/4 por três 
 
 
Com os denominadores iguais o cálculo da soma das frações seria realizado 
 
 
Outro exemplo: 
 
 
 
 
Nivelamento de Matemática 35 
Subtração de frações 
Para subtrair frações você deverá seguir três passos. 
 
- Se assegurar que os denominadores das duas frações são iguais; 
 
- Subtrair os numeradores; 
 
- Simplificar as frações se necessário. 
 
Exemplo 1 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
 
36 Nivelamento de Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3 
 
Nivelamento de Matemática 37 
 
 
 
 
 
Multiplicação de frações 
A multiplicação de frações envolve três momentos: 
 
1. Multiplicação do numerador pelo numerador; 
 
2. Multiplicação do denominador pelo denominador; 
 
3. Simplificação da fração resultado se necessário. 
Exemplo: 
 
1. Multiplicação do numerador pelo numerador. 
 
 
2. Multiplicação do denominador pelo denominador 
 
38 Nivelamento de Matemática 
3. Simplificação da fração resultado se necessário 
 
 
 
Outro exemplo: 
 
 
 
 
 
 
Nivelamento de Matemática 39 
Outro exemplo: 
 
 
 
 
 
 
Divisão de frações 
Quando se divide, na realidade estamos partindo algo em partes iguais. 
Quando se escreve, 
 
Na prática afirmamos quantos 1/6 estão presentes em 1/2. 
 
Recorremos a um exemplo bem simples aproveitando a situação da pizza. 
 
 
Podemos afirmar a propósito que 
40 Nivelamento de Matemática 
Que se trata de averiguar quantas vezes um sexto de fatia da pizza cabe em 
meia pizza. 
 
 
 
 
Para dividirmos uma fração por outra fração basta conservarmos a primeira 
fração e a multiplicarmos pelo inverso da segunda. 
 
 
 
 
Nivelamento de Matemática 41 
 
 
 
 
Outro exemplo: 
 
42 Nivelamento de Matemática 
Exemplo 
 
Nivelamento de Matemática 43 
Autoavaliaçaão 
 
1. Calcule as operações com frações: 
 
a) 3 + 1 = 
7 7 
 
b) 2 + 1 = 
5 2 
 
c) 5 – 3 = 
9 7 
 
d) 3 x 6 = 
5 3 
 
e) 1 : 1 = 
5 20 
 
 
2. Simplifique as frações: 
 
a) 18 
40 
 
b) 24 
36 
 
c) 20 
32 
 
d) 320 
400 
44 Nivelamento de Matemática 
3. Efetue operações com números decimais: 
 
a) 3,64 + 2,47 = 
 
b) 3,42 + 12,03 + 2,3 = 
 
c) 42,13 – 16,02 = 
 
d) 3,42 * 1,3 = 
 
e) 36,48 : 12 = 
Nivelamento de Matemática 45 
 
 
 
 
3 
REGRA DE TRÊS 
CONHECIMENTO 
Compreender a regra de três simples e composta e as grandezas diretamente 
proporcionais e inversamente proporcionais. 
 
HABILIDADES 
Identificar as grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais. 
 
ATITUDES 
Saber utilizar a regra de três simples e composta no cotidiano e resolver situação- 
problema que envolva a regra de três. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nivelamento de Matemática 47 
 
 
 
Regra de três 
http://blog.matematicaemconcursos.com.br/regra-de-tres-e-uma-moleza/ 
 
Você usa a regra de três diariamente, sem perceber, para descobrir incógnitas 
através de outros valores já conhecidos. Se você pensa que a Regra de Três não é 
muito usada, analise a situação a seguir e certamente mudará de opinião. 
 
 
Quando nos deparamos esse tipo de problema, sem percebermos aplicamos 
regra de três. É através dela, que resolvemos problemas com quatro valores, dos quais 
conhecemos apenas três, determinando um valor a partir dos três já conhecidos. 
Vamos exemplificar: 
1 revista = 5 reais. 
5 revistas = valor desconhecido 
 
Esse valor desconhecido atribuímos a letra x, na matemática chamado de 
incógnita. 
Incógnita é uma variável cujo valor deve ser determinado de forma a resolver 
uma equação ou inequação. Normalmente, é representada pelas letras x, y e z. 
Muito utilizada na matemática, como também em outras disciplinas, a regra 
de três é o processo destinado a resolver problemas que envolvam grandezas 
diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais, os quais podemos 
resolver com regra de três simples ou composta. 
 
 
Regra de três Simples 
A regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que 
envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Vejamos os passos 
usados numa regra de três simples: 
 Construir uma tabela, agrupando as grandezas em colunas e relacionando 
cada valor a sua grandeza; 
 Identificarseasgrandezassãodiretamenteouinversamenteproporcionais. 
 
 
 
Uma revista custa 5 reais. Quanto custarão 5 revistas? 
http://blog.matematicaemconcursos.com.br/regra-de-tres-e-uma-moleza/
50 Nivelamento de Matemática 
Grandezas diretamente proporcionais 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento em uma 
delas provoca o aumento na outra ou a diminuição em uma delas provoca uma 
diminuição na outra. 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao se multiplicar o 
valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é multiplicado por esse 
mesmo número positivo. 
Vamos ao exemplo: 
 
 
 
Quantidade de batatas Preço 
 
 
Quanto mais batatas você comprar, maior é o preço que você paga por elas. A 
grandeza quantidade de batatas e a grandeza preços) são diretamente proporcionais. 
Logo se observa que ao aumento em uma, provoca o aumento em outra. 
 
 
Quantidade de batatas Preço 
 
 
Se você comprar pouca batata você vai pagar preço menor. A diminuição em 
uma grandeza está provocando a diminuição na outra, por isso elas são diretamente 
proporcionais. 
 
 
Grandezas inversamente proporcionais. 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao se multiplicar o 
valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é dividido por esse 
mesmo número positivo. O mesmo é dizer que duas grandezas são inversamente 
proporcionais quando o aumento em uma delas provoca a diminuição na outra e 
vice-versa. 
 
 
Velocidade Tempo 
Nivelamento de Matemática 51 
= 
Se você dirige um carro com uma velocidade alta, menor é o tempo para você 
chegar ao local de destino. 
 
 
Velocidade Tempo 
 
 
Quanto menor a velocidade maior será o tempo para chegar ao local de destino. 
 
 
Exercícios resolvidos 
Apresentamos como um exemplo, uma situação do dia a dia envolvendo 
grandezas que são diretamente proporcionais: 
 
Exemplo1: 
 
 
Podemos perceber que quanto mais maçãs maior vai ser o preço. Temos duas 
grandezas diretamente proporcionais. 
Preço Quantidade 
10 2 
X 8 
 
10 2 
= 
�� 8 
=, então 2x = 10*8; 2x = 80; x= 
80
 
2 
 
 
Forma simplificada 
 
 
Preço Quantidade de maçãs 
10 2 
X 8 
Duas maçãs custam 10 reais. Quanto custam 8 maçãs? 
Duas maçãs custam 10 reais. Quanto custam 8 maçãs? 
x= 40 
52 Nivelamento de Matemática 
; 
Sabemos que duas maçãs custam 10 reais e queremos saber quanto custam 8 
maças? Basta cruzar para realizar a operação ou você poderá usar um método mais 
simples. 
Quem está oposto ao x é o 2 então o 2 fica embaixo de quem não está oposto 
o número 10, 8 , portanto você multiplica 10 por 8 
 
x = 
80 
= 
2 
 
 
Exemplo 2: 
 
Velocidade (km/h) Tempo (h) 
30 2 
60 x 
São grandezas inversamente proporcionais, porque quanto mais rápido você é 
menos tempo você chega a certo lugar, se você diminuir a velocidade você vai levar 
muito tempo para chegar a certo lugar, isso é representado comuma seta para cima 
e outra para baixo. 
 
30 �� 
= 
60 2 
, então x = 
60
 
60 
 
 
Problemas envolvendo torneiras 
 
 
Solução: Vamos construir uma tabela e verificar se as grandezas são diretamente 
ou inversamente proporcionais: 
 
litros minutos 
50 10 
x 30 
Um carro com velocidade de 30 km/h faz um percurso em duas horas. 
Se a velocidade dobrar, em quanto tempo ele fará o mesmo percurso? 
Uma torneira despeja 50 litros de água em 10 minutos. Quantos litros 
serão despejados por essa torneira em 30 minutos? 
x= 40 
x= 1h 
Nivelamento de Matemática 53 
As grandezas litros e minutos são diretamente proporcionais visto que, quanto 
mais tempo for utilizado, mais litros de água serão despejados. Logo, a equação 
descrita será obtida multiplicando-se os valores em X: 
10.x = 50.30 
10x = 1500 
x = 150 
 
 
Resposta: 150 litros 
 
Apresentamos outra situação do dia a dia, agora como exemplo de grande- 
zas inversamente proporcionais: 
 
 
Solução: Vamos construir uma tabela e verificar se as grandezas são diretamente 
ou inversamente proporcionais: 
 
Velocidade (km/h) Tempo (minutos) 
8 50 
16 x 
 
As grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais visto que, 
quanto maior for a sua velocidade, menor será o tempo que ele conseguirá concluir 
o seu percurso. Logo, a equação descrita será obtida multiplicando-se os valores em 
linha: 
 
16.x = 8.50 
16x = 400 
x = 25 
 
Resposta: 25 minutos. 
Um atleta, com velocidade constante de 8km/h, leva 50 minutos para 
percorrer um quarteirão. Se sua velocidade passar a ser de 16km/h, de 
forma constante, quanto tempo ele levará para percorrer esse mesmo 
quarteirão? 
54 Nivelamento de Matemática 
Regra de três composta 
Conceito ampliado da regra de três que, a partir de um conjunto relacionado 
de grandezas, diretamente e/ou inversamente proporcionais, é possível determinar 
o valor de uma incógnita. 
Uma regra de três é classificada como composta quando apresentar três ou 
mais grandezas. 
 
Vejamos os passos utilizados numa regra de três composta: 
 
 Identificar a incógnita; 
 
 Identificar as grandezas (inversamente ou diretamente proporcionais); 
 
 Inverta as grandezas que são inversamente proporcionais à incógnita e 
proceder com o cálculo normalmente. 
 Construir uma tabela, agrupando as grandezas em colunas e relacionando 
cada valor a sua respectiva grandeza. Começaremos colocando os valores 
na última linha da tabela e, em seguida, na linha acima. 
 Isolar a grandeza cujo valor é desconhecido. As grandezas que não forem 
destacadas serão relacionadas, uma de cada vez, com a grandeza que foi 
destacada para determinar se estas duas são diretamente ou inversamente 
proporcionais. Caso seja diretamente proporcional, colocaremos um d 
sobre esta grandeza não destacada; caso contrário, sendo inversamente 
proporcional, colocaremos uma letra i sobre esta grandeza não destacada; 
 Montar a equação da seguinte maneira: o valor desconhecido da grandeza 
destacada será igual ao valor conhecido da grandeza destacada que 
multiplica as frações das grandezas não destacadas da seguinte maneira: 
se a grandeza tiver a letra d acima, é só repetir a fração e, caso contrário, 
tiver a letra i, inverte-se a fração. 
 Resolver a equação. 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
Apresentamos como um exemplo, uma situação do dia a dia envolvendo a 
regra de três composta: 
Nivelamento de Matemática 55 
Exemplo 1: 
 
 
Solução: Vamos construir uma tabela, relacionando cada valor a sua respectiva 
grandeza, começando pela última linha e, em seguida, na linha acima. 
 
i d i 
 
nº de pedreiros nº de barracões tempo (dias) horas/dia 
18 10 20 x 
12 5 30 6 
Regra de três - exemplo (Foto: Colégio Qi) 
 
As grandezas número de pedreiros e horas/dia são inversamente proporcionais. 
As grandezas número de barracões e horas/ dia são diretamente proporcionais. 
As grandezas tempo (dias) e horas/dia são inversamente proporcionais. 
Logo, temos que: 
x= 6 x 12/18 x 10 / 5 x 30 / 20 
x = 12 
Resposta: 12 horas/dia 
 
Exemplo 2: 
 
 
Vamos identificar as grandezas: 
Operários Muro Dia Horas/dia 
 
20 1 45 6 
1 
X 15 8 
3 
Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas 
por dia. Calcule o número de horas por dia que deverão trabalhar 18 
pedreiros para fazer 10 barracões em 20 dias. 
Vinte operários constroem um muro em 45 dias trabalhando 6 horas 
por dia. Quantos operários serão necessários para construir a terça 
parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8 horas por dia? 
56 Nivelamento de Matemática 
* 
Vamos comparar a grandeza com a grandeza que possui a variável, no caso a 
grandeza dos operários. 
Começamos a fazer os seguintes questionamentos: 
 
 
 
Podemos observar que temos duas grandezas diretamente proporcionais e 
duas grandezas inversamente proporcionais. Então vamos inverter as grandezas 
inversamente proporcionais. 
Vamos ao cálculo: 
20 1 
= 
15 8 
* 
�� 1/3 45 6 
 
20 
�� 
15 8 
= 3 * * 
45 6 
20 4 
= 
�� 3 
 
 
 
5 
= 
1 
O oposto de x é 1 e multiplica 3*5 = 15, então 
�� 3 
 
A regra de três é comum em problemas do cotidiano, do ensino fundamental 
e médio, em concursos, ENEM e vestibulares. 
Passo-a-passo para resolver problemas envolvendo regra de três simples e 
composta. 
Se aumentar o número de operários eles conseguem fazer mais 
muros? Sim, então seta para cima. 
Se aumentar a quantidade de números de operários eles 
conseguem fazer o muro em mais ou menos dias? Em menos 
dias, então seta para baixo. 
Se aumentar a quantidade de operários vamos fazer o muro em 
mais horas ou menos horas? Menos horas, então seta para baixo. 
x= 15 operários. 
Nivelamento de Matemática 57 
5 
Calculadoras 
O trabalho com a regra de três composta pode ser simplificado com o recurso 
destas calculadoras quer esteja usando no seu computador, smartphone e tablet. 
 
 
 
Autoavaliação 
1. Três caminhões transportam 200m³ de areia. Para transportar 1600m³ de 
areia, quantos caminhões iguais a esse seriam necessários? 
 
 
2. A comida que restou para 3 náufragos seria suficiente para alimentá-los 
por 12 dias. Um deles resolveu saltar e tentar chegar em terra nadando. 
Com um náufrago a menos, qual será a duração dos alimentos? 
 
 
3. Para atender todas as ligações feitas a uma empresa são utilizadas 3 
telefonistas, atendendo cada uma delas, em média, a 125 ligações diárias. 
Aumentando-se para 5 o número de telefonistas, quantas ligações 
atenderá diariamente cada uma delas em média? 
 
 
4. Com a velocidade de 75 Km/h, um ônibus faz um trajeto em 40 min. 
Devido a um congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 
50 min. Qual a velocidade média desse ônibus? 
 
 
5. Em uma fábrica de cerveja, 34 funcionários trabalhando 7 horas por dia 
carregando 20 vans de transporte cada uma com 300 caixas de leite em 
pó. Para carregar 3/ dessas mesmas vans com 400 caixas do mesmo leite, 
28 funcionários irão precisar trabalhar durante: 
a) 7 h 
b) 6 h e 48 min 
c) 5 h 
d) 12 h 
 
 
 
4 
PORCENTAGEM 
CONHECIMENTO 
Compreender de forma introdutória a noção de porcentagem. 
 
HABILIDADE 
Diferenciar as formas fracionárias e decimais de porcentagem, utilizando-as para 
calcular lucro e desconto. 
 
ATITUDES 
Utilizar o conceito da razão para calcular porcentagem; 
Resolver problemas utilizando noção de porcentagem utilizando frações no 
cotidiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nivelamento de Matemática 59 
 
 
Nivelamento de Matemática 61 
Porcentagem 
As porcentagens estão presentes em diversas situações do dia a dia. Você 
já deve ter se defrontado com situações em que teve de recorrer ao conceito de 
porcentagem. Algumas dessas situações devem ter envolvido o cálculo de descontos 
ou do custo do atraso de uma parcela de um pagamento. Além das situações 
apresentadas, as porcentagens podemnos ajudar a reivindicar os nossos direitos 
e reclamar, por exemplo, por taxas e impostos cobrados. Propomos que usem a 
porcentagem em algumas situações comuns no dia a dia. Existem múltiplas formas 
de efetuar cálculos, envolvendo esse conceito e até é muito provável que você utilize 
a calculadora para realizar cálculos com porcentagens. 
 
1 
 
 
 
 50 
 
 
 
 
 100 
 
 
50% significa 50 quadrados verdes da totalidade dos 100 quadrados 
 
1 
 
 25 
 
 
 
 
 
 
 100 
 
 
25% significam 25 quadrados verdes da totalidade dos 100 quadrados 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 100 
 
 
100% correspondem à totalidade dos 100 quadrados 
62 Nivelamento de Matemática 
Uma porcentagem, também pode ser expressa como uma fração ou então 
como um número decimal. 
 
Metade da Pizza pode ser representada percentualmente por 50%, enquanto 
número decimal como 0,5 e enquanto fração como 1/2. 
 
 
Calculando a porcentagem 
O anúncio abaixo propõe que você compre uns sapatos femininos com 20% 
de desconto. 
 
 
A Francisca escolheu o modelo de sapatos vermelhos, apresentado abaixo, 
 
 
Qual o valor do desconto? Quanto a Francisca deverá pagar? 
 
Para resolver a situação dos sapatos que a Francisca deseja comprar e calcular 
o valor do desconto acompanhe o esquema a seguir. 
A totalidade do custo dos sapatos (100%) é de R$188,00 reais 
Nivelamento de Matemática 63 
Sendo que 100% do valor dos sapatos correspondem a R$188,00, qual será o 
valor do desconto que será dado à Francisca? 
Para fazer esse cálculo, poderá recorrer a regras de três simples. 
 
 
20 x 188 = 3760 
x = 3760 / 100 
x = 37,60 
 
 
Perceba que para calcular 20% de R$188,00, multiplicamos por 20 e dividimos 
por 100. 
O valor do desconto que a Francisca terá ao pagar os sapatos é de R$ 37,60. 
Desse modo, ela pagará pelos sapatos: R$188,00 – 37,60 = R$ 150,40. 
Propomos agora que realize o cálculo recorrendo á calculadora: 
Digite: 188,00 x 20% 
O resultado que aparecerá no seu visor é 37,60. 
 
Lembrando que 20% = 0,2 poderemos recorrer a outro cálculo: 
Digite: 188,00 x 0,2 
O resultado do valor do desconto que aparecerá no visor da calculadora será 37,60 
 
Na situação anterior, foi apresentada a situação da Francisca que teve 20% de 
desconto na compra dos seus sapatos vermelhos, o que a deixou muito feliz. Mas 
neste momento a Francisca está necessitando saber se tem dinheiro para pagar os 
sapatos, pois este mês, do seu salário bruto de R$1.500,00 reais, serão descontados 
500,00 de um vale que ela pediu há seis meses. Qual o percentual descontado do 
salário da Francisca este mês? 
R$ % 
188,00 100 
x 20 
64 Nivelamento de Matemática 
Para calcular o percentual do salário da Francisca que será descontado este 
mês, vamos proceder do modo seguinte: 
 
x% x 1.500,00 = 500,00 
 
ou 
 
x% = 500,00 / 1500,00 
 
x% = 0,33, ou seja, x% = 33,3/100 = 33,3% 
 
É equivalente a dizer que x% = 33,3%. 
 
 
Este mês a Francisca tem um desconto de 33% de seu salário bruto. Parece que 
ela vai repensar a compra dos sapatos, após ter realizado o cálculo desse percentual. 
Não esqueça que “por cento” significa uma parte de 100 e que a porcentagem 
é a fração de um número sobre 100. 
 
Vejamos alguns exemplos, comuns no nosso dia a dia: 
 
Exemplo I 
 
10% significa que estamos trabalhando com dez partes em 100, por exemplo: 
Eu comi 10% de uma pizza, isso significa que a minha pizza foi dividido em 100 
partes iguais e eu teria comido 10 dessas partes. Isso representa 10%. Portanto 10% 
significa 10 partes a cada 100. 
Exemplo II 
 
100% representa 100 partes em 100, ou seja, a totalidade como um todo. 50% 
representam 50 partes em 100, ou seja, metade de 100. 
 
 
Forma fracionária da porcentagem 
A porcentagem pode se explicar como forma de fração, Por exemplo: 10%, 
pode ser representado na forma 10 sobre 100 ou seja 10/100. 
35% pode ser escrito na forma de 35 sobre 100, ou seja, 
 
50% na forma de 50 sobre 100, ou seja, 
100% da forma de . 
Nivelamento de Matemática 65 
Forma decimal da porcentagem 
Do mesmo modo como uma porcentagem pode ser escrita na forma de uma 
fração, também pode ser escrito na forma decimal. 
Vejam o exemplo: 
 = 10% 
Se você fizer a divisão, 1 por 10 corresponde a 0,1. Contudo, você nem precisa 
fazer aquela conta para chegar ao resultado de 1 dividido por 10. É só colocar uma 
vírgula para trás. Então vai ficar 0,1 que equivale a 10% ou seja, 10% na forma decimal 
equivale a 0,1. 
Isso vai ser muito importante quando você começar a fazer as suas contas. 
Para calcular 25% na forma decimal é só colocar a vírgula duas casas decimais 
para trás, vai ficar igual a 0,25. Isso equivale a 25%. 
Agora pense que você chegou ao meio da noite a um aeroporto. Na Praça de 
Táxis 50% estão disponíveis para conduzi-lo à sua casa. Falar em 50% é o mesmo 
que dizer que metade da frota está disponível, ou seja, 0,5. Portanto para calcular 
50 dividido por 100 é só você colocar a vírgula duas casas decimais para trás. Desse 
modo, vai ficar 0,5 o que equivale a 50%. 
No caso de 100 sobre 100 essa fração é equivalente a 1 o que equivale a 100%. 
Para entender melhor imagine que você comeu um bolo inteiro, ou seja, você 
comeu 100% do bolo. 
 
 
Operações com porcentagens 
Agora vamos trabalhar com algumas operações matemáticas com frações. 
 
Numa operação matemática, o prefixo de pode ser substituído por uma 
multiplicação, por exemplo: 
Quando se fala de 20% de 64, isso significa que você pode multiplicar por 
64. O mesmo é escrever x 64= 12,8 
Outro exemplo, é a operação: 
5% de 60 
Escrever 5% é a mesma coisa que 5 sobre 100 a multiplicar por 60. 
5 /100 x 60 = 0,30 = 0,3 
66 Nivelamento de Matemática 
“Lucro” trabalhado com porcentagens 
O lucro significa o valor que você paga a mais pela mercadoria, em virtude do 
ganho pelo proprietário da loja que vende os produtos. 
 
Exemplo: 
 
Vamos supor que você tem um sapato que custa 200,00 reais. Esse sapato 
vai ser vendido pela loja com um lucro de 30% ou seja, esse sapato custou para 
o proprietário da loja 200,00 reais. Como o proprietário da loja tem que pagar as 
contas de água, luz, impostos, telefone, etc., ele precisa naturalmente ter lucro. Neste 
caso ele estipulou um lucro de 30%. 
Agora pergunta-se qual vai ser o preço da venda? 
 
O custo que é duzentos reais mais o lucro do proprietário da loja conduz a um 
aumento de 30 %. 
Para o cálculo basta colocar 30 sobre 100 vezes 200,00 
 .X 200,00 = 60,00 
Será que esse é valor que o consumidor vai pagar pelo produto? 
 
Claro que não, pois esse valor é apenas o aumento do lucro do proprietário da 
loja. Qual vai ser o real preço de venda do produto? 
200,00 + 60,00= 260,00 
 
Este cálculo é a forma mais longa, vamos observar uma forma mais direta. 
 
Sabendo que o produto teve um acréscimo de 30%, então multiplicaremos o 
valor inicial do produto por 1,3. 
Se o valor do lucro desejado fosse de 40% o valor inicial deveria ser multiplicado 
por 1,4. Neste caso 200,00 X 1,4 = 280,00. 
 
 
“Desconto” trabalhando com porcentagens 
Desconto significa redução do preço de uma mercadoria e pode ser associado, 
por exemplo, a Promoção ou Queima de Estoque. A loja diminui o valor do preço 
que o produto tinha anteriormente. Vamos ver agora como isso funciona: 
Nivelamento de Matemática 67 
Um sapato que tem um preço normal de 100,00 reais vai ser vendido com um 
desconto de 30%. Pergunta-se: Qual vai ser o preço de venda desse sapato? 
 
Para saber quanto é 30% de 100,00 somos obrigados a fazer o seguinte cálculo. 
30% vezes 100,00 = 30,00. O valor da venda do sapato de 100,00 tem comodesconto 
de 30,00, portanto o valor de venda final do sapato será de 70,00. 
Podemos calcular o valor final do produto com o desconto, utilizando outro 
método de cálculo: 
Como o sapato diminuiu 30%, você vai pagar 70% do valor inicial. Sendo assim, 
basta multiplicar os 100,00 reais iniciais por 0, 7. 
100 x 0,7=70,00 
 
 
Exemplo 
Vamos ver agora uma estratégia para trabalhar as porcentagens com descontos 
que facilitará os nossos cálculos. 
Se você tem um desconto de 10% você vai multiplicar por 0,9, porque você 
deixa de pagar 10%, e desse modo só será pago 90%, ou seja, 0,9. 
Vamos a outro exemplo? 
 
Se você tem desconto de 20% você paga 80% ou melhor, 0,8. Você vai 
multiplicar por 0,8. Se diminuir 20% você vai pagar 80% do produto, por isso você 
vai multiplicar por 0,8. 
Se diminuir 30% você vai pagar agora 70% do valor do produto, então você vai 
multiplicar por 0,7. 
Se você diminuir 5% você vai pagar 95 por cento, então você vai multiplicar 
por 0,95. 
 
 
A calculadora no cálculo de porcentagem 
Em sua vida profissional, a calculadora poderá ajudar a realizar cálculos mais 
complicados. 
Como calcular, por exemplo: 18% de 764,00? 
68 Nivelamento de Matemática 
Uma calculadora certamente ajudaria. 
Mas como você poderá calcular porcentagem na máquina de calcular? 
As calculadoras permitem o cálculo de porcentagem através de uma tecla com 
o símbolo (%). 
Aprenda, passo a passo, como calcular 18% de 764,00. 
1º passo: Digite o número 764 na calculadora. 
 
 
2º passo: Aperte a tecla que indica a operação de multiplicação. 
 
Nivelamento de Matemática 69 
3º passo: Digite o número 18. 
 
 
4º passo: Aperte a tecla %. 
 
 
 
 
Depois desse procedimento, o valor 137,52 que aparece no visor corresponde 
a 18% de 764,00. 
70 Nivelamento de Matemática 
Autoavaliação 
 
1. Observe o quadro onde se registrou a porcentagem do dia em que alguns 
animais passam a dormir. Calcule quantas horas por dia dorme um coala? 
 
ANIMAL PORCENTAGEM 
CAVALO 0,08% 
COLA 92% 
GATO 54% 
BOI 58% 
 
 
 
2. São Paulo recicla 35% das 360 toneladas diárias de latas usadas para óleo 
de soja e conservas. Os Estados Unidos reciclam 43%; e o Japão, 61%. 
Quantas toneladas de latas são recicladas por dia em São Paulo? 
 
 
3. Francisco sabe que a formação permanente é essencial para o cidadão 
do século XXI. Por tal motivo, inscreveu-se num curso de computação. O 
curso custa: 2 X R$ 160,00 ou R$ 300,00 à vista, com desconto de 30% 
para ex-alunos alunos da Escola Municipal Padre Tomé, que por sorte 
Francisco frequentou. Se pagar à vista quanto Francisco pagará pelo 
curso? 
 
 
4. João trabalha numa empresa e recebe de salário por mês R$ 1466,73, mas 
como João é muito eficiente foi promovido e vai ganhar um aumento de 
30%. Quanto será o salário de João? 
Nivelamento de Matemática 71 
 
 
 
 
5 
LÓGICA 
CONHECIMENTO 
Compreender a lógica simbólica, preocupando-se com a estrutura do raciocínio 
matemático. 
 
HABILIDADES 
Identificar, formular e resolver problemas utilizando com rigor lógico analisando a 
situação-problema. 
 
ATITUDES 
Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de raciocínio lógico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nivelamento de Matemática 73 
 
 
Nivelamento de Matemática 75 
Lógica 
A Lógica, do grego, “logos” significa palavra, pensamento, ideia, argumento, 
relato, razão lógica ou princípio lógico. É uma ciência de índole matemática ligada 
também à filosofia. 
A história da Lógica começa com os trabalhos de Aristóteles, filósofo grego (384- 
322 a.C.). Para Aristóteles a Lógica se liga ao cálculo proposicional. ”Proposições” são 
sentenças declarativas afirmativas ou negativas. Por exemplo: “Todos os animais são 
mortais” é afirmativa; “Nenhum animal é imortal” é negativa. Ainda na antiguidade 
grega, temos a Lógica da escola dos estoicos e megáricos (Euclides de Megara-400 
a.C.), que se apresenta de modo diferente da aristotélica, pois se liga ao cálculo de 
predicados (que são os quantificadores). 
A Lógica moderna inicia-se com George Boole (1815-1864) e De Morgan (1806- 
1871) quem formulou as leis que recebem seu nome e foi o primeiro a introduzir o 
termo e tornar rigorosa a ideia de Indução matemática. Depois destes veio G. Frege 
(1848-1925), consideradoo“maior lógico dostempos modernos”, Russel e Whitehead, 
como também Hilbert, Godel e Tarski. A lógica silogística aristotélica tradicional e a 
lógica simbólica moderna são exemplos de lógicas formais. 
A lógica formal, também chamada de lógica simbólica, preocupa–se com a 
estrutura do raciocínio. A lógica informal (ou cotidiana) estuda os aspectos da ar- 
gumentação válida que não depende exclusivamente da lógica formal. 
A lógica matemática é uma subárea da matemática que usa a lógica formal 
para estudar o raciocínio matemático, ou seja, explora as aplicações da lógica para 
as questões matemáticas 
Para melhor entendimento da unidade, recomendamos que vocês assistam 
aos vídeos propostos. Estes poderão ajudar a compreender à lógica e reforçar a 
ideia da interseção entre a matemática e a filosofia no âmbito dessa temática. 
 
Autoavaliação 
1. Qual das cinco representa a melhor comparação? 
“Água está para o gelo assim como leite está para...”. 
a) Mel30 
b) Mingau 
c) Café 
d) Queijo 
e) Biscoito 
 
 
2. As letras “ECHOOL” depois de colocadas em ordem, será o nome de... 
a) Um oceano 
b) UM país 
c) Uma cidade 
d) Um animal 
e) Um estado 
 
 
3. Para que a frase abaixo, depois de arrumada, faça sentido, que palavra 
deve ser retirada? 
“A roupa tempestade roeu o rato”. 
a) Tempestade 
b) Rato 
c) Roeu 
d) Roupa 
e) Os artigos 
 
 
 
4. Depois de doar um quarto de sua mesada ao irmão, e ganhar mais cinco 
reais, ele ficou com 20 reais. Qual era o valor de sua mesada? 
 
a) 10 reais 
b) 30 reais 
 
 
 
76 Nivelamento de Matemática 
Nivelamento de Matemática 77 
c) 20 reais 
d) 35 reais 
e) 25 reais 
 
 
5. Qual dos cinco itens representa a melhor comparação? 
“Árvore está para o chão assim como chaminé está para...”. 
a) Fumaça 
b) Tijolo 
c) Garagem 
d) Céu 
e) Casa 
 
 
 
6 
POTÊNCIAS 
CONHECIMENTOS 
Compreender o que é uma potência, potenciação, base e expoente e como se 
trabalha com potências negativas e se calcula as propriedades das potências. 
 
HABILIDADES 
Identificar potência de expoente negativo e sua utilidade prática. 
Identificar as bases e os expoentes de uma potência. 
 
ATITUDES 
Calcular potências com expoente e bases naturais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nivelamento de Matemática 79 
 
 
 
Potências 
A potenciação representa uma multiplicação de fatores iguais. Se temos a 
multiplicação: 3 x 3 x 3 x 3 x 3, podemos representá-la usando a potência 35, onde 3 
é a base e 5 o expoente. Leia-se: três elevado à quinta potência. O expoente define 
o número de vezes que a base será multiplicada por ela mesma. 
 
 
Recursos em vídeo 
A fundação Roberto Marinho produziu os vídeos sobre potenciação que 
poderão subsidiar o seu estudo sobre a potenciação, envolvendo o conceito e as 
operações com potências. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nivelamento de Matemática 81 
Potências e raiz: 
 
https://www.youtube.com/watch?v=cvrJH5dVzFI 
 
 
Operações com potências: 
 
https://www.youtube.com/watch?v=6k6X9CN9HgE 
 
 
Objetos de aprendizagem 
 
Os objetos de aprendizagem propostos procuram criar as condições 
para subsidiar o seu estudo sobre potências. 
http://www.funbrain.com/cgi-bin/ttt.cgi?A1=s&A2=4&A3=0 
http://www.youtube.com/watch?v=cvrJH5dVzFI
http://www.youtube.com/watch?v=cvrJH5dVzFI
http://www.youtube.com/watch?v=6k6X9CN9HgE
http://www.youtube.com/watch?v=6k6X9CN9HgE
http://www.funbrain.com/cgi-bin/ttt.cgi?A1=s&A2=4&A3=0
 
Autoavaliação 
 
 
1. Transforme numa só potência: 
a) 79 – 76 = 
b) 83* 8-6 = 
c) 64 + 65 = 
 
 
2. Calcular: 23; (-2)3; ; -23 
 
 
3. Calcular: (0,2)4; (0,1)3 
 
 
4. Calcular: 2-3; (-2)-3; -2-3 
 
 
5. O valor da expressão (-1)0 + (-6) : (-2) – 24 é: 
a) 20 
b) -12 
c) 19,5 
d) 12 
e) 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
82 Nivelamento de Matemática 
 
 
 
 
 
7 
RAIZ QUADRADA 
CONHECIMENTOS 
Compreender como é realizado o cálculo da raiz quadrada. 
 
HABILIDADES 
Identificar o cálculo da raiz quadrada de um número quadrado perfeito e números 
que não tem raiz quadrada. 
 
ATITUDES 
Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de raiz quadrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nivelamento de Matemática 85 
 
 
 
Raiz Quadrada 
Em matemática, uma raiz quadrada de um número x é um número que, quando 
multiplicado por si próprio, iguala a x. Por definição, a raiz quadrada de um número 
nunca terá um valor negativo. 
 
 
Recursos em vídeo 
Propomos que assistam aos vídeos abaixo produzidos pela Fundação Khan e 
Fundação Roberto Marinho para a Telescola, para relembrar os números irracionais. 
 
 
 
 
 
 
 
Nivelamento de Matemática 87 
 
O Telecurso apresentou o vídeo “Números irracionais e raiz 
quadrada” em que são abordados os principais conceitos referentes 
à Raiz Quadrada. 
https://www.youtube.com/watch?v=1FtnIpI-mlc 
 
A Fundação Khan produziu um conjunto de materiais específicos 
sobre a raiz quadrada 
 
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-basics/core-algebra- 
foundations/square-roots-for-college/v/understanding-square- 
roots 
 
 
Calculadora 
 
O cálculo da raiz quadrada fica fácil usando uma calculadora, quer 
esteja usando o seu computador, smartphone e tablet. App de 
calculadora no smartphone e tablet IOS 
 
 
Calculadora no computador 
 
http://www.calculadoraonline.com.br/cientifica 
http://www.youtube.com/watch?v=1FtnIpI-mlc
http://www.youtube.com/watch?v=1FtnIpI-mlc
http://www.calculadoraonline.com.br/cientifica
 
Autoavaliação 
1) Determine as raízes: 
a) √4 = 
b) √25 = 
c) √0 = 
d) -√25 = 
e) √81 = 
f) -√81 = 
g) √36 = 
h) -√1 = 
i) √400 = 
j) -√121 = 
k) √169 = 
l) -√900 = 
 
 
2) Calcule caso exista em Z: 
a) √4 = 
b) √-4 = 
c) -√4 = 
d) √64 = 
e) √-64 = 
f) -√64 = 
g) -√100 = 
h) √-100 = 
 
3) Calcule: 
a) √25 + √16 = 
b) √9 - √49 = 
c) √1 + √0 = 
d) √100 - √81 + √4 = 
e) -√36 + √121 + √9 = 
f) √144 + √169 -√81 = 
 
 
88 Nivelamento de Matemática 
 
 
 
 
 
8 
RACIONALIZAÇÃO 
 
CONHECIMENTO 
Conhecer a definição de racionalização, entender o processo de simplificação e 
racionalização de denominador de uma fração. 
 
HABILIDADE 
Identificar os métodos de racionalização 
 
ATITUDE 
Resolver exercícios que envolva racionalização. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nivelamento de Matemática 91 
 
 
Nivelamento de Matemática 93 
Definição de Racionalização 
Para você compreender Racionalização tem que ter um bom conhecimento em 
Raiz quadrado, potenciação, fatoração, frações e vários outros assuntos matemáticos. 
Racionalizar é o processo de transformar uma fração de denominador irracional 
em uma outra fração, equivalente, de denominador racional. 
1 
√2 
 
 
Tendo uma fração com denominador irracional temos que transformar essa 
fração em uma outra fração equivalente com denominador racional. 
1 
= 
1 
* 
√2 
= 
√2 
= 
√2 
√2 √2 √2 √2² 2 
 
Obtivemos outra fração equivalente a primeira, só que ela é uma fração com 
denominador racional. 
 
1 √2 
= 
√2 2 
São frações equivalentes. 
 
 
Para que serve? Sem a racionalização seria impossível obter o resultado decimal 
com uma precisão aceitável pelo método convencional da divisão. 
Exemplo: Calcular o valor decimal da fração 
1 
√2 
 
Vamos supor que você queira achar o valor numérico de 
achar √2· . 
√2 = 1, 4142135... 
1 
·, vamos começar 
√2 
 
Se você multiplicar 1,1 por 1,1 ainda está um pouco longe do número 2 se você 
pegar 1,4 chega mais perto. Você deve fazer tentativas de erros que vai aumentando 
gradativamente as casas decimais. 
1: 1, 4142135... 
94 Nivelamento de Matemática 
�� �� 
5 5 
Vai acontecer um problema quando você dividir o número 1 por esse valor 
numérico, pois tem infinitas casas depois da vírgula, então você fica impossibilitado 
de pegar um número e multiplicar por 1,4142135..., para achar o dividendo, você é 
obrigado a fazer arredondamento. 
Calcular o valor decimal da fração √2 
2 
√2 = 1,4142135... 
 
Se você pegar 1,4142135 ... dividido por 2 = 0,707... 
 
 
Métodos de Racionalização 
Quando houver um denominador com uma única raiz: 
√���� multiplique por √����−�� 
 
5 1 1 
· 
√3³ √33 = 
 
 
√33 = 
5
√3² 
=
 5√3² 
5√35
 5√35 3 
 
 
Para racionalizar temos que diminuir o expoente do índice que vai dar expoente 
3, duas raízes multiplicadas pelo mesmo índice você pode pegar a mesma base e 
somar os expoentes, depois você pode cortar os índice da raiz com o índice 5, então 
você consegue racionalizar. 
Outro exemplo: 
 
3 3 3 3 3 
2 2 √42 √42 √2.2.2.2 √23.2 √2 3 
3 = 3 ··.3 = 2. 3 = 2. = = 2* = √2 
√4 √4 √42 √43 4 2 2 
 
Quando houver um denominador com mais de uma raiz. 
a² - b² = (a + b) . (a – b) (diferença de quadrados). 
a³ + b³ = (a + b). (a² - ab+ b²) (soma de cubos) 
a³ - b³ =(a – b) . (a² + ab + b²) (diferença de cubos) 
 
 
2 
= 
2 
* 
√3− √2 
= 2. 
(√3− √2) 
= 
2( √3− √2) 
= 2 (√3 − √2)
 
√3+ √2 √3+ √2 √3− √2 √32− √2² 3−2 
Nivelamento de Matemática 95 
Outro exemplo: 
 
3 
= 
3 
. 
4+ √3 
= 
3 (4+√3) 
= 
3 (4+√3) 
= 
12+3√3 
4−√3 4−√3 4+ √3 4²− √3² 16−3 13 
 
 
12.1.2 Outro caso de racionalização - Aplicação 
Lembre-se (a-b) (a²+ab+b²) = a - b² 
 
3 3 3 3 3 3 3 3 3 7 7 √3²+ √3.2+ √2² 7 ( √9+ √6+ √4) 7 ( √9+ √6+ √4) 
3 3 = 3 3 . .3 3 3 = 3 3 = 
√3− √2 √3− √2 √3²+ √3.2+ √2² √3³− √2³ 3−2 
 
7 (
3
√9 + 
3
√6 + 
3
√4 
 
3 
= 
3 
. 
(√2+√3)−√5 
=
3(√2+√3)−√5) 
=
 
√2+√3+√5 √2+√3+√5 (√2+√3)−√5 (√2+√32)− √52 
 
 
3(√2+√3)−√5) 
=
 
(√22+2√2.√3+√32)−5 
 
 
 
 
 
3((√2+√3)−√5) 
= 
3((√2+√3)−√5 
* 
√6 
= 
3√6((√2+√3)−√5) 
(2+2√6+3)−5 
 
2√6 √6 2√62 
=
 
 
 
 
3√6(((√2+√3)−√5) 
=
 
12 
 
 
 
 
 
 
 √12+√18−√30 
= 
√2².3+√2.32−√30 
= 
2√3+3√2−√30 
4 4 4 
96 Nivelamento de Matemática 
Autoavaliação 
1. Racionalize a expressão abaixo: 
 
7 
a) 3 3 
√3− √2 
1 
b) 5 
√3² 
c) 16 + 2x2 
√2 
 
 
 
 
 
9 
NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
CONHECIMENTO 
Compreender as regras da notação científica e suas transformações. 
 
HABILIDADE 
Identificar os diferentes significados dos números com notação científica em 
outras áreas do conhecimento. 
Reconhecer quando utilizar o expoente positivo e negativo. 
 
ATITUDE 
Utilizar as regras e as propriedades básicas e a representação de potências por 
notação científica.. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nivelamento de Matemática 99 
 
 
Nivelamento de Matemática 101 
Notação Científica 
Nos vários ramos da ciência, números muito grandes ou muito pequenos são 
comuns. Para facilitar a escrita e a compreensão desses números foi criada uma 
padronização chamada de Notação Científica. O uso desta notação está baseado 
nas potências de 10 
Por exemplo, é mais fácil você escrever 6,02 * 10 ²³ do que 
602000000000000 
Outro exemplo de número demasiado grande: 100000000000 
Em notação científica ficaria: 1 × 1011 
Exemplo de número demasiado pequeno: 0,00000000001 
Em notação científica ficaria: 1 × 10−11 
Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo: 
m x 10e 
O número m é denominado mantissa e a ordem de grandeza. A mantissa, em 
módulo, deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10, e a ordem de grandeza, dada 
sob a forma de expoente, é o número que mais varia conforme o valor absoluto. 
 
Regras 
Para termos uma notação científica, há algumas regras a seguir. A notação é 
umnúmero do tipo A * 10 elevado a b onde: 
A (Mantissa) é um número real pertencente ao intervalo 1 a < 10. 
B (Ordem de grandeza) é um número inteiro tanto positivo como negativo. 
O valor absoluto de A (ignorando o sinal) deve ser no mínimo o número 1 e 
sempre menor que 10. 
Exemplos de Notações Científicas corretas: 
2,3. 106 
9,7 * 10-12 
-1,7*10-21 
Exemplo de Notações Científicas incorretas: 
14,3*105 Errado, o correto é 1,43*106 
10.107 Errado, o correto é 1.108 
 
Transformações de Notação Científica 
Basta observar o deslocamento da vírgula. Levando – se em consideração: 
Vírgula para esquerda, expoente positivo e vírgula para direita, expoente 
negativo. 
0,0000437 = 4,37* 10-5 Ficam entre o intervalo de 1 a 10. Como a vírgula andou 
5 casas para a direita o expoente fica negativo. 
5432, = 5,432 * 103 A vírgula andou 3 casas para a esquerda, por isso o expoente 
fica positivo. 
 
Representações com potência de dez 
Todo número pode ser escrito através de um produto por uma potência de dez. 
Exemplo: 
4 = 4 * 10 - 0 
400 = 4 * 10² 
0,4 = 4 * 10-1 Notem que os três casos foram convertidos estes três números 
na forma de um produto de um número por uma potência de 10. 
Como converter? 
Se os zeros estiverem à esquerda a potência de dez será negativa. 
0,004 – 4* 10 -2 
Se os zeros estiverem à direita a potência de dez será positiva. 
4000 * 10³ 
 
Transformações envolvendo Potência de 10 
Nós já vimos quando temos um produto com uma potência de 10 que nem 
sempre esse produto vai ser notação científica. Para ser notação científica a mantissa 
que é o número que multiplica a potência de 10 tem que ser entre o 1 e 10 , inclusive 
o 1 tem que ser sempre menor que 10. 
Vamos converter um número que está fora desse intervalo para uma notação 
científica: 
Se a mantissa aumentar o expoente diminui e se a mantissa diminui, o expoente 
aumenta. 
200 * 103 = 2 * 105 
 
 
102 Nivelamento de Matemática 
Nivelamento de Matemática 103 
Esse número não está dentro do intervalo entre 1 e 10. Para que ele fique 
dentro do intervalo temos que transformar esse 200 em 2 , foi diminuído duas casa 
da mantissa portanto o expoente vai ter que aumentar para compensar. 
0,02 * 103 = 2 * 10¹ 
 
200 *10 -4 = 2 * 10 -2 Vamos ao caso polemico 200 passou para 2 se a mantissa 
diminui a potência aumenta, porque -2 e não -6? Porque -2 é maior que -4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autoavaliação 
1. Como descremos 2,045 * 104 na forma decimal? 
 
2. Como descremos 7,5 * 10-5 na forma decimal? 
 
3. Escreva o número 256800000000 em notação científica. 
 
4. Escreva 0, 000000000000384 em notação científica. 
 
 
 
10 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
CONHECIMENTO 
Compreender a equação do primeiro grau nas quatro operações e propriedade 
distributiva não só na multiplicação, mas em cálculos de expressões. 
 
HABILIDADE 
Identificar os cálculos de equações do primeiro grau nas quatro operações 
utilizando a troca de sinais quando necessário; 
Identificar problemas que podem ser traduzidos por expressões algébricas e 
diferenciar uma expressão algébrica de uma equação. 
 
ATITUDE 
Resolver problemas significativos utilizando equações do primeiro grau. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nivelamento de Matemática 105 
 
 
Nivelamento de Matemática 107 
Definição de Equações do Primeiro Grau 
Vamos começar com a definição. Uma equação representa uma relação de 
igualdade entre duas expressões. Por exemplo: 2x + 1 = 3x-4. Então, a primeira 
expressão 2x + 1 = a segunda expressão 3x-4. Portanto, nós podemos dizer que 
tudo isso representa uma equação. 
x=4 
 
Equação muito simples, porque a obtêm-se direto o valor do x . 
x = 4 
X² - 5x + 6 = 0. 
 
Novamente nós temos uma relação de igualdade entre duas expressões e esse 
caso representa uma equação de segundo grau. 
 
 
Analogia com Balança 
 
Para nós entender melhor como funciona as 
equações do primeiro grau vamos dizer que equações 
são similares às balanças de dois pratos. Se a balança 
está em equilíbrio, então os dois pratos têm a mesma 
massa, ou seja, eles são iguais. Vamos supor que nós 
tenhamos aqui uma balança com 4 bolinhas azuis 
desse lado e duas bolinhas vermelhas desse outro lado. Eu não sei quanto pesa 
cada bolinha individualmente, mas eu sei que quatro bolinhas azuis equilibram 
duas bolinhas vermelhas. Pode-se perceber como a bola fica em equilíbrio. Então, 
podemos falar que nesse caso 4 bolinhas azuis que nós representamos por A é 
igual a duas bolinhas verdes 4 A=2V, nós temos aqui uma equação. Por que uma 
equação? Uma relação de igualdade entre esses dois termos. 
Novamente vamos fazer outra analogia. Se nós adicionarmos mais peso a 
qualquer lado da balança a mesma ficará desequilibrada. Então, na nossa balança 
anterior nós tínhamos 4 bolinhas azuis que equilibravam com duas bolinhas 
vermelhas. Mesmo eu não sabendo quanto vale em cada lado, eu posso dizer que: 
se os dois lados estão equilibrados e eu coloco qualquer coisa em um dos lados, isso 
naturalmente desequilibra a balança. E se eu pegasse uma bolinha branca colocasse 
108 Nivelamento de Matemática 
naturalmente na balança junto com as bolinhas vermelhas, penderia para esse lado, 
então, nós temos uma relação de desigualdade. Quatro bolinhas azuis é menor do 
que duas bolinhas vermelhas mais uma bolinha branca. 
Mas, se nós adicionarmos pesos iguais aos lados de uma balança, ela continuará 
equilibrada. Por exemplo: nós tínhamos quatro bolinhas azuis que equilibravam duas 
bolinhas vermelhas, então, novamente eu não sei quanto vale a bolinha vermelha e 
nem quanto vale a bolinha azul. Eu sei que essa quantidade equilibra com essa, e se 
as duas em contatos equilibram, se eu pegar uma outra bolinha, por exemplo, uma 
bolinha branca e colocar a mesma bolinha do outro lado da balança, necessariamente 
vai equilibrar. Mesmo eu não sabendo o quanto vale as bolinhas azuis e mesmo não 
sabendo quanto vale a bolinha branca. Intuitivo para você, não é mesmo? 
Quatro bolinhas azuis mais uma bolinha branca são iguais a duas bolinhas 
vermelhas mais uma bolinha branca. Continua uma bolinha branca de cada lado 
sendo a bolinha branca igual, ela equilibra novamente a nossa balança. Se nós 
dividirmos ou multiplicarmos igualmente ambos os lados da balança ela continuará 
equilibrada. Então nós temos duas bolinhas, lembra que quatro bolinhas azuis 
equilibravam com duas bolinhas vermelhas? Se eu cortar os dois lados na metade, 
também eu vou ter o equilíbrio, ou seja, se quatro equilibrava dois, dois agora com 
certeza vai equilibrar com um. Duas bolinhas azuis igual a uma bolinha verde. 
Como você já deve ter percebido nós passamos para vocês através dessa 
balança o conceito de soma dentro de uma equação, o conceito de multiplicação 
e divisão. E nós vamos tornar isso ainda mais intuitivo vendo o caso prático. Vamos 
compreender antes as regras de uma equação. 
 
 
Método longo 
Vamos supor que temos x + 3 = 5 
 
Se eu tenho x+3=5 esse termo é igual a esse outro termo, pense como se 
você tivesse os dois lados de uma balança. O que acontece? Você concorda que; se 
eu tirar três de cada lado, a balança vai continuar equilibrada? Sim, x+3 tirei o três 
desse lado e tirei o três do outro lado. Fiz a mesma operação dos dois lados. Então, 
vamos ver quanto vai dar? 
x + 3 = 3 vai dar x + 0, porque 3 – 3= 0 e 5 - 3 =2. Resumindo aqui x+ 0 vai dar 
x = 2. Perceba que esse método longo, a partir dele surge uma regrinha prática: x + 
Nivelamento de Matemática 109 
3 = 5. Eu posso pegar esse 3 passar para lá subtraindo, daí que surge a regra não é? 
De passar para o outro lado subtraindo. 
x + 3 = 5 
x = 5 – 3 = 2 
x = 2 
 
 
 
 
 
Soma e Subtração 
MÉTODO LONGO REGRA PRÁTICA 
 
X+3=5 X+3=5 
 
X+3-3=5-3 X=5-3 
 
X+0=2 X=2 
 
 
 
Divisão e Multiplicação 
Agora vamos fazer a comparação com aquele caso. Onde nós tínhamos uma 
balançae nós dividimos os pesos da balança em duas partes iguais, por exemplo: 
vamos utilizar o método longo. Eu tenho 2x = 10 uma parte da balança igual a outra 
parte da balança, correto? Então, se eu dividir as duas partes por dois vai continuar 
a mesma coisa, a balança vai continuar equilibrada, então, 2x = 10 divido essa parte 
por dois e divido essa parte por dois, então, 2x por 2 = x e 10 por 2 = 5. Esse é 
o método longo. Daí é que surge a regra prática, que é uma simplificação desse 
método 2x = 10. O dois está multiplicando e passa para o outro lado dividindo, 
então 2x = 10. 2 vai para baixo do 10. 
2x = 10 
X= 
X = 5 
Regra prática: Está somando? Passe para outro lado subtraindo. 
 
Regra prática: Está subtraindo passa para o outro lado somando. 
110 Nivelamento de Matemática 
Muitos alunos perguntam: Porque na divisão o dois não passa para o outro 
lado com o numero negativo? Porque na soma isso acontece se o dois está somando 
passa para o outro lado subtraindo. Porque que na divisão não passa para lá com 
sinal contrário? Então, por conta disso que se você pega esse 2 e passa para o outro 
lado dividindo ele não muda de sinal. Na verdade a regra prática é somente uma 
simplificação do método longo X = 5 e nós temos duas explicações: 
 
Regra Prática 
Se você está multiplicando passe para o outro lado dividindo e se você está 
dividindo passe para o outro lado multiplicando. 
 
Propriedade Distributiva 
Você vai usar muito essas propriedades não só na multiplicação, mas também em 
alguns cálculos de expressões, por exemplo: quando tiver um produto antecedendo 
uma operação de soma ou subtração é necessário distribuir esse produto entre 
todos os termos da respectiva operação. Vamos ver como isso funciona agora: 
2 (3 – x ) = 
6 - 2 x = 
 
Perceba que foi feito a distributiva, pois temos uma multiplicação que antecede 
uma subtração por causa disso eu tenho que faz era distributiva. 
Vamos ver agora um caso um pouquinho mais complicado: 
( x + 2 ). ( x + 2 ) = x² + 2x + 2x + 4 = x² + 4x + 4 
Novamente eu tenho uma multiplicação: 
X + 2 que está multiplicando uma soma e nesse caso vamos fazer a distributiva 
novamente, veja como fica. Vamos pegar o x multiplicar pelo primeiro termo depois 
pelo segundo termo depois e pegar o 2 multiplicar pelo primeiro termo depois pelo 
segundo termo. Perceba como fica: 
Não tenho mais nada para multiplicar por esse x, correto ? Então, vamos para o 2: 
2 xx = 2x 
2 x 2 = 4 
Perceba que não tem mais nada pra multiplicar. Então, agora eu vou simplificar 
essa expressão: 
X² + 2x + 2x = 4 x² + 4x + 4 
Nivelamento de Matemática 111 
Propriedade Distributiva (normalmente) 
Se tivermos uma sequência de divisões ou de multiplicações sem que exista 
uma soma ou subtração no meio, faça o produto normalmente. Por exemplo: 
2. ( x + 5 ) = 2x + 10 
 
Perceba que existe um produto antecedendo uma soma ou podendo ser 
também uma subtração. 
2 * x = 2x 
2 * 5 = 10 
Perceba que foi feito a distributiva, mas cuidado! Nesse outro caso, nós 
não temos nenhuma soma e nenhuma subtração, então, você não deve fazer a 
distributiva, faça a conta naturalmente. Tire o parêntese e faça a conta. 
2. ( X . 5 ) = 2. X . 5 = 10x 
 
Dois que multiplica x que multiplica 5 é a mesma coisa que dois que multiplica 
x que multiplica 5. Podemos multiplicar eventualmente o 5 pelo 2. Você pode 
multiplicar dois por x ou 2 por cinco direto, dois por 5 vai dar 10, então 10x. 
 
Resolvendo Equações 
O objetivo de toda equação; é encontrar o valor da incógnita, para isso, você 
sempre tem que tentar isolar o x. Outra coisa importantíssima sempre que possível 
teste a solução. 
5x -6 = 3x +8 
 
Como fazer? Você vai passar todos os termos que têm x para o lado esquerdo 
e todos os termos que têm números para o lado direito. 
5x – 6 = 3x + 8 
 
5x -3x = 8 + 6 
 
2x = 14 
 
14 
X = 
2 
 
x = 7 
112 Nivelamento de Matemática 
TESTANDO A SOLUÇÃO 
 
Eu obtive o valor de x = 7 
Isso significa que, se você pegar esse valor de x que deu 7e substituir pelo 
valor de x você tem que chegar a uma solução lógica. 
 
Então, substituindo sete aqui nessa equação 5 * 7 - 6 = 3* 7 +8 onde tinha x 
vou colocar 7 que foi a minha solução. Então ficou da seguinte forma: 
5 * 7 = 35 - 6 = 3 * 7 = 21 + 8 
35 – 6 = 29 
21 + 8 =29 
Olha só: 
29 = 29 
 
Então, realmente você chegou na solução x = 7 
 
 
Outro exemplo: 
Vamos fazer com um caso de uma fração. Vocês já sabem somar quando tem 
uma soma de frações. Você tem que tirar o mínimo múltiplo comum entre todos os 
termos. Então, se você pegar o 4, 7 e o 28 e tirar o mínimo múltiplo comum desses 
três termos, você vai chegar na resposta que o mínimo múltiplo comum é, 28. Então, 
o que vou fazer? 
6��−7 
+ 
3��−5 
- 
5��+78 
4 7 28 
 
7 (6��−7) 
+ 
4 (3��−5) 
- 
5��+78 
28 28 28 
 
 
42x – 49 +12x -20 -5x + 78 
42x + 12x – 5x = 78 + 49 + 20 
 
49 x = 147 
 
147 
x= 
49 
 
x = 3 
Nivelamento de Matemática 113 
Foi o que aconteceu aqui: 28 divide por sete, ou seja, divide embaixo e multi- 
plica em cima, 6 * 7 = 42 e 7 * 7 = - 49 Porque mais com menos igual a menos, 
mas mantém o sinal e quatro vezes três vai dar 12 e 4* 5 vai dar - 20 porque 4 vezes 
menos 5, mais com menos na multiplicação vai dar menos igual - 5x mais 78. 
Vamos passar todos os termos em x pra esquerda e todos os termos com 
números pra direita, então 42 foi positivo pela esquerda continua positivo e o mais 
12 estava na esquerda continua na esquerda positivo, o cinco x está positivo, aqui 
ele vai para esquerda. Vai ficar menos 5x, está somando passa para o outro lado 
subtraindo, então coloquei todos os números com x para a esquerda e vou colocar 
todos os números normais para a direita. Então 78 está na direita, mantendo, 49 está 
negativo passa para lá positivo e o número 20 passa para lá positivo. Resumindo: 
mudou de lado, mudou de sinal nesse caso, E agora o que podemos fazer? 
42 + 12 – 5 = 49 
78 + 49 + 20 = 147 
 
Você pode fazer o seguinte: 49 não está multiplicando? Passa para o outro lado 
dividido, então x é 147 sobre 49. 
 
E se você fizer essa continha, você vai chegar ao resultado que x é igual a 3. O 
que será feito agora? 
 
Testaremos esta solução para ver se realmente o x é =a 3. 
6��−7 
+ 
3��−5 
- 
5��+78 
4 7 28 
 
Onde tem x eu vou colocar 3 * 6 - sete sobre quatro + 3 * 3 – 5 sobre 7 = 5 
* 3 + 78 sobre 28. Então, resolvendo isso: seis vezes três vai dar 18 -7 que vai dar 
11 sobre 4. Três vezes três = 9 - 5 vai dar 4 sobre 7 e mantenho o denominador. E 
cinco vezes três mais 78 vai dar 93 mantém o denominador. Novamente vamos tirar 
o mínimo múltiplo comum de 4, 7 e 28 você já sabe que vai dar 28 . Então ficou da 
seguinte forma: 28 dividido por 4 vai dar 7 e sete vezes 11 = 77 
 
3*6-7 + 3*3-5 – 5*3+78 
4 7 28 
 
 
18-7 + 9-5 – 15+78 
4 7 28 
114 Nivelamento de Matemática 
11 + 4 - 93 
4 7 28 
 
 
77 + 16 – 93 
28 28 28 
 
 
 
Quando tenho duas frações com o mesmo denominador eu posso manter o 
denominador e somar os numeradores, então, vai ficar 28 mantenho 77 + 16 =93 
 
Deu o mesmo valor dos dois lados, então, realmente x = 3 é o resultado dessa 
equação. 
 
Igualdade implica igualdade 
Continue a equação na mesma linha, só que nesse caso para não ficar poluído 
e até para facilitar a compreensão é importante que você alterne os sinais de igual e 
implica que essa flechinha dupla, flechinha com duas barrinhas ou pelo sinal de que 
vale, a mesma coisa, uma flechinha com duas barras não é? Com dois sentidos, isso 
facilita a compreensão, por exemplo: 
2x + 3 = x + 4 
 
Uma igualdade implica numa outra e igualdade, então: 
2x + 3 = x + 4 nisso implica em 
2x – x => 4-3 isso implica em x igual a 1 
 
Tudo isso para não ficar aquele monte de igual, E o que acontece? Chega a 
hora que você se perde na equação. 
 
 
Casos Adicionais 
É possível que você tenha equações