Teorema de Tales e Semelhança de triângulos

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COLÉGIO NOBRE - 1º ANO
Ensino Médio
Aluno (a): _______________________________________________________________________________________________
Série: Turma:_____ Data: _____________________
Disciplina: Professor: AMINTAS APIVA AFONSO
TEOREMA DE THALES
Feixes de retas paralelas cortadas por retas transversais formam segmentos proporcionais. 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes quando é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que os ângulos correspondentes sejam dois a dois congruentes e os lados homólogos proporcionais.
Essa é a definição de triângulos semelhantes. Ela impõe duas condições para existir a semelhança:
· ângulos correspondentes dois a dois congruentes;
· lados homólogos proporcionais.
Entretanto, se uma dessas condições ocorre, então a outra “automaticamente” também se verifica.
Exemplo 1: O triângulo escaleno de lados medindo 7 cm, 8 cm e 9 cm é semelhante ao triângulo, também escaleno, de lados com medidas 14 cm, 16 cm e 18cm.
Basta verificar a proporcionalidade entre os lados:
Onde K é a razão de semelhança entre os dois triângulos. Implícita está a congruência entre os ângulos correspondentes, embora nem conheçamos os seus valores.
Porém, se um triângulo apresenta como medidas de seus ângulos 50°, 60° e 70°, ele é semelhante a todos os triângulos de ângulos congruentes a esses, independentemente de conhecermos as medidas de seus lados. Podemos garantir que os lados homólogos desses triângulos são proporcionais.
Exemplo 2: Os triângulos GHI e JKL apresentados são semelhantes.
L
6
K
12
G
6
8
3
I
4
H
J
De fato, os lados dos triângulos são proporcionais:
Além disso, , embora não conheçamos as medidas desses ângulos.
Teorema da bissetriz interna
“A bissetriz interna de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em dois segmentos respectivamente proporcionais aos outros dois lados desse triângulo.”
Teorema da bissetriz externa
“A bissetriz externa de um ângulo de um triângulo secciona o prolongamento do lado oposto e o divide em dois segmentos respectivamente proporcionais aos outros dois lados desse triângulo.”
Triângulo retângulo
Aplicações
1) Diagonal do quadrado
2) Altura do triângulo eqüilátero
Exercícios de fixação
2) Pedro está construindo uma fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe que a soma de x com y é 42 e que as retas r, s e t são paralelas.
A diferença x - y é:
a) 2.
b) 4.
c) 6.
d) 10.
e) 12.
3) 
A área do retângulo DEFB acima é:
a) 24
b) 160
c) 120
d) 20
e) 180
4) A sombra de um prédio, num terreno plano, numa determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m.
A altura do prédio, em metros, é
a) 25.
b) 29.
c) 30.
d) 45.
e) 75.
5) No Δ da figura a seguir, DE//BC nessas condições determine:
a) a medida x
b) o perímetro do Δ ABC
4) Após um tremor de terra, dois muros paralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente abalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas, como mostra a figura adiante. Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se interceptam? Despreze a espessura das barras.
a) 1,50 m
b) 1,75 m
c) 2,00 m
d) 2,25 m
e) 2,50 m
5) Na figura a seguir, o triângulo ABC é retângulo e isósceles e o retângulo nele inscrito tem lados que medem 4 cm e 2 cm.
Determine o perímetro do triângulo MBN.
6) Considerando-se as informações constantes no triângulo PQR (figura abaixo), pode-se concluir que a altura PR desse triângulo mede:
Obs.: Todas as medidas se referem à mesma unidade de comprimento
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
7) 
Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, que estacionou a 50 m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado a aproximadamente 30 m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura anterior. Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede, em m, aproximadamente:
a) 3,0
b) 3,5
c) 4,0
d) 4,5
e) 5,0
8) O valor de x abaixo é:
a) 15
b) 14
c) 13
d) 12
e) 11
9) Na figura abaixo, OP=2, AB=8, O é o centro dos círculos e åæ é tangente em P ao círculo menor. 
A área do disco maior é
a) 8π.
b) 10π.
c) 20π.
d) 64π.
e) 68π.
10) O valor do raio “r” do círculo inscrito no trapézio retângulo abaixo é:
					
		 
a) 8 cm
b) 7 cm
c) 6 cm
d) 5 cm
e) 4 cm
Exercícios propostos
1) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escrever um poema do qual extraímos o fragmento a seguir:
Às folhas tantas de um livro de Matemática,
um Quociente apaixonou-se um dia doidamente 
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez da sua uma vida paralela à dela,
até que se encontraram no Infinito.
"Quem és tu?" - indagou ele em ânsia radical.
Sou a soma dos quadrados dos catetos.
Mas pode me chamar de hipotenusa."
	(Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.)
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta:
a) "Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa."
b) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa."
c) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa."
d) "Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa."
2) Um triângulo retângulo tem catetos 6 cm e 8 cm. Determine:
a) a hipotenusa do triângulo.
b) a altura relativa a hipotenusa.
c) as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
3) (UFF) No Japão, numerosos lugares de peregrinação xintoístas e budistas abrigam tabuletas matemáticas chamadas de Sangaku, onde estão registrados belos problemas, quase sempre geométricos, que eram oferecidos aos Deuses. A figura a seguir, que é uma variante de um exemplar de Sangaku, é composta por cinco círculos que se tangenciam.
Sabendo que seus diâmetros satisfazem as relações AO = OB = AB/2 e DF = EC, pode-se concluir que DF/OB é igual a:
a) 0,65
b) 0,6555...
c) 0,666...
d) 0,7
e) 0,7333...
4) É dado um quadrado ABCD de lado 8. Traça-se uma circunferência centrada em 0 e de raio r. A circunferência tangencia o quadrado ABCD no lado BC e passa pelos vértices A e D, conforme a figura. Calcule o raio da circunferência.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Lista de Exercícios-Semelhança e Triângulo Retângulo
1) (Unicamp) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a 1,5 metros de altura em relação ao solo.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.
Resposta:
b) 20,5 m
2)(Unesp) Um obelisco de 12 m de altura projeta, num certo momento, uma sombra de 4,8 m de extensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa de 1,80 m de altura poderá se afastar do centro da base do obelisco, ao longo da sombra, para, em pé, continuar totalmente na sombra.
Resp: 4,08 m
3) (Fuvest) Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos com medidas 20 e 30 metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y, como indicado na figura adiante.
a) Exprima y em função de x.
b) Para que valores de x e de y a área ocupada pela casa será máxima?
Resp: a) y = 2/3(30-x)
b) Para x = 15 metros, y = 10 metros.
4)(Unesp) Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB, apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C, como na figura. Quando a extremidade B da haste toca o chão, a altura da extremidade A em relação ao chão é:
a) √3 m
b) 3/√3 m
c) (6√3)/5 m
d) (5√3)/6 m
e) 2√2 m
Alternativa D
5)(Cesgranrio)Certa noite, uma moça, de 1,50 m de altura, estava a dois metros de distância de um poste de luz de 4 m de altura. O comprimento da sombra da moça no chão era de:
a) 0,75 m
b) 1,20 m
c) 1,80 m
d) 2,40 m
e) 3,20 m
Alternativa B
6)(Unesp) Na figura, B é um ponto do segmento de reta AC e os ângulos DAB, DBE e BCE são reto
Se o segmento AD = 6 dm, o segmento AC = 11 dm e o segmento EC = 3 dm, as medidas possíveis de AB, em dm, são:
a) 4,5 e 6,5.
b) 7,5 e 3,5.
c) 8 e 3.
d) 7 e 4.
e) 9 e 2.
Alternativa E
7)(Unirio)
	
Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, que estacionou a 50 m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado a aproximadamente 30 m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura anterior. Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede, em m, aproximadamente:
a) 3,0
b) 3,5
c) 4,0
d) 4,5
e) 5,0
Alternativa A
8)(Puccamp) Os triângulos ABC e AED, representados na figura a seguir, são semelhantes, sendo o ângulo ADE congruente ao ângulo ACB
Se BC = 16 cm, AC = 20 cm, AD = 10 cm e AE = 10,4 cm, o perímetro do quadrilátero BCED, em centímetros, é
a) 32,6
b) 36,4
c) 40,8
d) 42,6
e) 44,4
Alternativa E
9)(Unesp) A sombra de um prédio, num terreno plano, numa determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m.
A altura do prédio, em metros, é
a) 25.
b) 29.
c) 30.
d) 45.
e) 75.
Alternativa A
10)(Unicamp) Um homem, de 1,80 m de altura, sobe uma ladeira com inclinação de 30°, conforme mostra a figura. No ponto A está um poste vertical de 5 metros de altura, com uma lâmpada no ponto B. Pede-se para:
a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima.
Resp: a) 2,25 m
11)(Pucpr)
A área do retângulo DEFB é:
a) 24
b) 160
c) 120
d) 20
e) 180
12)(Unesp) Um observador situado num ponto O, localizado na margem de um rio, precisa determinar sua distância até um ponto P, localizado na outra margem, sem atravessar o rio. Para isso marca, com estacas, outros pontos do lado da margem em que se encontra, de tal forma que P, O e B estão alinhados entre si e P, A e C também. Além disso, OA é paralelo a BC, OA = 25 m, BC = 40 m e OB = 30 m, conforme figura:
A distância, em metros, do observador em O até o ponto P, é:
a) 30.
b) 35.
c) 40.
d) 45.
e) 50.
Alternativa E
13)(Fei) Se em um triângulo os lados medem 9, 12 e 15 cm, então a altura relativa ao maior lado mede:
a) 8,0 cm
b) 7,2 cm
c) 6,0 cm
d) 5,6 cm
e) 4,3 cm
Alternativa B
14)(Mack) No triângulo retângulo em A da figura a seguir, h pode ser:
a) 2a/3.
b) 3a/4.
c) 4a/5.
d) 3a/5.
e) 2a/5.
Alternativa E
15) (Cesgranrio) As rodas de uma bicicleta, de modelo antigo, têm diâmetros de 110 cm e de 30 cm e seus centros distam 202 cm. A distância entre os pontos de contacto das rodas com o chão é igual a:
a) 198 cm
b) 184 cm
c) 172 cm
d) 160 cm
e) 145 cm
Alternativa A
16)(uFrs) Uma correia esticada passa em torno de três discos de 5 m de diâmetro, conforme a figura a seguir. Os pontos A, B e C representam os centros dos discos. A distância AC mede 26 m, e a distância BC mede 10 m. O comprimento da correia em metros é:
a) 60 m
b) (60 + 5π) m
c) 65 m
d) (60 + 10π) m
e) 65πm
Alternativa B
17) (Unirio) Na figura a seguir, determine o perímetro do triângulo ABC.
Resp: 100/7
18)(Enem) 
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a
a) 1,8 m.
b) 1,9 m.
c) 2,0 m.
d) 2,1 m.
e) 2,2 m.
Alternativa D
19)(FGV) As bases de um trapézio isósceles medem 20 m e 36 m, e a soma das medidas dos lados não paralelos é 20 m. A medida da altura desse trapézio é:
a) 6 m
b) 3 m
c) 8 m
d) 4 m
e) 10 m
Alternativa A
20)(Ufpe) Na figura abaixo, ABD e BCD são triângulos retângulos isósceles. Se AD = 4, qual é o comprimento de DC?
a) 4√2
b) 6
c) 7
d) 8
e) 8¥2
Alternativa D