Semana XIX

Prévia do material em texto

ENSINO REMOTO EMERGENCIAL – 9° ANO E.F.
Semana XIV : De 11 a 15/01/2021
Disciplina: Matemática.
Professor: Adriano Augusto Q Chaves
Carga horária semanal: 32h.
Unidade temática: Geometria
Objeto(s) do conhecimento: Demonstrações de relações entre os ângulos
formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal; Semelhança
de triângulos; Relações métricas no triângulo retângulo; Teorema de Pitágoras:
verificações experimentais e demonstração; Retas paralelas cortadas por
transversais; teorema de proporcionalidade e verificações experimentais.
Habilidade(s): (EF09MA10) Demonstrar relação simples entre os ângulos
formados por retas paralelas cortadas por uma transversal; (EF09MA12)
Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos
sejam semelhantes. (EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo
retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a
semelhança de triângulos; (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de
aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade
envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Conhecimento trabalhado: Retas cortadas por uma transversal; Razão e
proporção entre segmentos; Feixe de retas paralelas e retas transversal;
Teorema de Tales e suas aplicações; Figuras semelhantes; Semelhança de
polígonos; Casos de semelhança de triângulos; Elementos do triângulo
retângulo; Relações métricas no triângulo retângulo; Teorema de Pitágoras e
suas aplicações.
Retas oblíquas cortadas por uma transversal
Observe as retas r e s e a transversal t:
1
a
b
c
d
ef
g
h
r
s
a
b
c
d
ef
g
h
r
s
t
Escada
Os ângulos dessas duas retas com a reta transversal recebem as
seguinte nomenclaturas (nomes):
a e h, b e g : colaterais externos: colaterais (mesmo lado da transversal
t) externos (fora da região interna entre as duas paralelas);
a e g, b e h : alternos externos: alternos (em lados alternados em
relação à transversal t);
d e e, c e f : colaterais internos: internos (dentro da região interna entre
as duas paralelas);
c e e, d e f : alternos internos;
Temos ainda:
a e e, b e f, d e h, c e g : são ângulos correspondentes.
No caso de retas oblíquas não podemos enunciar propriedade alguma.
Retas paralelas intersectadas (cortadas) por uma transversal
Neste caso os ângulos recebem os mesmos nomes. Entretanto, no caso
em que r //s (r reta a é paralela a reta s), temos novas propriedades:
Dessas observações podemos concluir que:
 ângulos correspondentes são congruentes (têm a mesma medida).
Símbolo: (=) .
a≡e ; b≡f ; d≡h e c≡g
 ângulos alternos externos e internos são congruentes:
a≡g ; b≡h ; c≡e e d≡ f
 ângulos colaterais externos e internos são suplementares (têm soma
igual a 180°).
a+h=180 º ; b+g=180 º
d+e=180 º e c+f=180 º
2
r
s
t
h
e
c
b
d
f
g
a
Escada
Exemplos:
Considere r //s (r reta a é paralela a reta s) e t uma reta transversal. Dê nome
aos pares de ângulos destacados, diga a propriedade que os relaciona e calcule
o valor dos ângulos destacados.
a)
Resolução:
Os ângulos destacados são
alternos internos.
Propriedade: eles são congruentes
(têm a mesma medida).
Podemos calcular o valor de
cada ângulo, calculando antes o valor
de x (igualando os valores de suas
medidas):
3 x−13 °=5 x−28 °
3 x−5 x=−28 °+13°
−2x=−15 °
x=
−15°
−2
x=7,5 °
Agora calculamos o valor dos ângulos:
3 x−13 °=3(7,5 ° )−13 °=22,5 °−13 °=9,5 °
Logo os ângulos medem 9,5°
b)
Resolução:
Os ângulos destacados são
colaterais internos.
Propriedade: são ângulos
suplementares (a soma de suas
medidas é igual a 180°).
Podemos calcular o valor de
cada ângulo, calculando antes o valor
de x:
x−30 °+60 °+x=180°
x+x=180°−60 °+30°
2x=150°
x=
150°
2
x=75 °
Podemos agora calcular o valor de
cada ângulo:
x−30 °=75 °−30 °=45 °
60 °+ x=75°+60°=135°
Os ângulos são portanto, 45° e 135°.
Exercícios: 
1) Dê nome aos pares de ângulos destacados e os classifique. Diga a
propriedade que os relaciona (considere os pares de retas horizontais ou
verticais paralelas).
a) b) 
3
 
 r
s
t
5x - 28°
 3x - 13°
 
 
r
s
t
60°+ x
 x - 30°
Escada
c) d) 
e) f)
2) Encontre a medida de todos os ângulos assinalados, usando as informações
que aparecem nas figuras e sendo r//s.
a) a =120° b) a = 55°.
c) r//s, u//v ; a =70°. d)
4
a
b
c
r
s
s
r
c
u
v
a
b
a
c
r
s
b
y
x
64°
r
56°
s
z
Escada
e) Quais são os ângulos do triângulo AMN ? f) Determine x, y e z.
3) Nas figuras abaixo, r//s cortadas pela transversal t. Aplicando as
propriedades, calcule as medidas indicadas.
a) b)
c) d)
e) f)
5
r
x y
z
112°
t
s
 
 r
s
t
65°
a
b
 
 r
s
t
52°
y
x
 
 
 r
s
t
45°
n
m
 
 r
s
t
50°
 x + 20°
 
 
r
s
t
125°
2x + 15°
 
 
 
a
t
sr
120°
b
r
68°
A
N M
C B
s
54°
Escada
g) h)
4) Calcule as medidas desconhecidas indicadas nas figuras
a) b) 
Razão entre segmentos:
Razão entre dois segmentos é o quociente (divisão) entre suas medidas,
tomadas numa mesma unidade de medida.
Sejam os segmentos AB e CD :
Medida de AB : m(AB) = 3 cm m(CD) = 5 cm 
A razão entre os segmentos AB e CD , nessa ordem é:
AB
CD
=
3cm
5cm
ou 
AB
CD
=
3
5
=0,6
Exercícios:
5) Dados AB = 3cm; CD = 4cm; EF = 5 cm e GH = 2 cm, determine:
a)
AB
CD
= b)
GH
CD = c)
GH
EF = d)
AB
EF
=
e)
AB
GH
= f)
CD
AB
= g)
CD
EF
= h)
GH
AB
=
6
 
 
r
s
t
70°
 x + 30°
 
 r
s
 x + 
30°
5x
t
 r
s
t
150°
y
70°
 x
 
 
 
r
s
c
40°
110°
b
a
BA C D
Escada
6) Observe a figura abaixo onde m(AB) = m(BC) = m(CD), e determine as
razões a seguir pedidas. (Sugestão: Chame a medida do segmento AB de x.
Veja exemplo na letra i).
a)
AB
CD
= b)
AB
BC = c)
BD
CD = d)
CD
AD
= e)
AB
BD
=
f)
AB
AC
= g)
AD
AC
= h)
BC
CD
= i)
AD
AB
=
3 x
x
= 3
7) Sendo AB, BC, CD e DE, nessa ordem, segmentos proporcionais, determine
o valor de x nos seguintes casos:
a)AB = x, BC = 3 cm, CD = 10 cm e
DE = 6 cm
b)AB = 4cm, BC = x, CD = 2 cm e
DE = 4 cm
c)AB = 9cm, BC = 12 cm, CD = x e
DE = 4 cm
d)AB = 3cm, BC = 6cm, CD = 6cm e
DE = x
e)AB = x, BC = 8 cm, CD = 2 cm e
 DE = x
f)AB = 6cm, BC = x, CD = 2x e DE = 3
cm
Feixe de retas paralelas cortadas por transversais.
A um conjunto de três ou mais retas paralelas, em um mesmo plano,
chama-se de feixe de retas paralelas.
No desenho a seguir, as retas r, s e t formam um feixe de retas paralelas
e as retas a e b são transversais a esse feixe de retas paralelas.
7
r
s
t
a b
A
B
C
D
E
F
r//s//t
BA C D
Escada
Provaremos que se AB≡BC (se AB tem a mesma medida de BC), então
DE≡EF .
Inicialmente traçamos pelo ponto D o segmento DG paralelo à reta a.
Depois, traçamos por E o segmento EH também paralelo à reta a como
mostrado na figura a seguir.
Observando a figura anterior, temos:
• O polígono ABGD é um paralelogramo, pois AB // GD e AD // BG.
• BCHE é um paralelogramo, pois BC // EH e BE // CH.
• Como os lados opostos de um paralelogramo tem a mesma
medida, então AB≡DG e BC≡EH .
Como AB≡BC , temos que DG≡EH .
Considerando os triângulos DEG e EFH, temos:
• DG≡EH .
• α≡δ (ângulos correspondentes);
• β≡θ (ângulos correspondentes).
Então, pelo caso lado-ângulo-ângulo oposto (LAAo), os triângulos
DEG e EFH são congruentes. Como DE e EF são lados correspondentes
em triângulos congruentes, então DE≡EF .
Teorema de Tales:
“Um feixe de retas paralelas (r, s e t) determina, sobre duas restas
transversais (a e b) quaisquer, segmentos proporcionais.”
8
r
s
t
a b
A
B
C
D
E
F
r//s//t
α
δ
θ
β
G
H
Se um feixe de retas paralelas determinar segmentos congruentes sobre Se um feixe de retas paralelas determinar segmentos congruentes sobre 
uma transversal, esse feixe determinará segmentos congruentes sobre uma transversal, esse feixe determinará segmentos congruentessobre 
qualquer outra transversal.qualquer outra transversal.
r
s
t
a b
A
B
C
D
r//s//t
Escada
Sejam A, B, C e D, segmentos de retas determinados nas transversais a
e b, pelo feixe de paralelas. Da definição do teorema de Tales podemos obter
as seguintes proporções entre os segmentos:
A
B
=
C
D
; 
A
C
=
B
D
;
A+B
A
=
C+D
C
;
A+B
B
=
C+D
D
;
A−B
A
=
C−D
C
;
A−B
B
=
C−D
D
Exemplo:
Calcule o valor de x na figura a seguir, senso
r//s//t.
Pelo teorema de Tales:
x+3
16
=
x
12
12.(x+3)=16. x
12x+36=16 x
36=16x−12x
36=4 x
36
4
=x
9=x
8) Determine o valor de x nos feixes de retas paralelas:
a) b)
c) d)
e) f)
9
r
s
t
a b
16
 x +3
12
x
r
s
t
a b
10
 x
8
4
r
s
t
a b
10
 x
8
4
r
s
t
a b
x
 2
9
6
r
s
t
a b
3
 6
x
4
r
s
t
a b
x
 5
3
6
r
s
t
a b
4
 2
6
x
Escada
g) h)
i) j)
k) l)
9) Determine o valor de x nos triângulos, sendo MN // BC :
a) b)
10
r
s
t
a b
x
 10
2
3
r
s
t
a b
x
 10
4
6
5
x1
4
t
s
r
a b
r
s
t
a b
x
 10
4
8
r
s
t
a b
4
 x
10
5
r
s
t
a b
5
 x
15
9
M
8
 x
6
3
N
B C
A
M
x
 12
3
6
N
B C
A
Escada
c) d)
Semelhança
Para um pessoa comum, semelhante tem a ver com “muito parecido”. Ás
vezes escutamos alguém dizer que o filho é semelhante ao pai. Entretanto, em
geometria, a palavra semelhante quer dizer algo mais que parecido. Seu
significado é mais carregado de precisão: dois polígonos são semelhantes
quando possuem o mesmo número de lados e atendem às duas condições
seguintes:
Ângulos correspondentes congruentes (de mesma medida) e
Lados correspondentes proporcionais.
Observe os polígonos abaixo:
No caso dos dois pentágonos irregulares acima, temos:
• Â≡ ' ;
• Ê≡Ê ' ;
• Î≡Î ' ;
• Ô≡Ô ' ;
• Û≡Û '
11
Pares de ângulos correspondentes congruentes (de 
mesma medida).
E’
I’
O’
U’A’
A U
O
I
E
125°115°
80°
135°
85°
115° 125°
80°
135°
85°
4 cm
2 cm
2,4 cm 1,2 cm
3,5
 cm 1,75
 cm
3,8 cm
1,9 cm
2,
4 
cm
1,
2 
cm
M x
 12
3
18
N
B C
A
M
x
 10
23
N
B C
A
Escada
E ainda:
AE
A ' E '
=
EI
E ' I '
=
IO
I ' O'
=
OU
O 'U '
=
UA
U ' A '
Por isso, esses dois pentágonos são semelhantes, e escrevemos:
O símbolo “≃” é usado aqui para “afirmar que dois (ou mais) polígonos
são semelhantes.
Observe que a razão (divisão) entre qualquer lado do pentágono ABCDE
e o lado correspondente do pentágono A’B’C’D’E’ é igual a 2.
2,4
1,2
=
3,8
1,9
=
3,5
1,75
=
2,4
1,2
=
4
2
=2
Por isso, afirmamos que a razão de semelhança do pentágono ABCDE
para o pentágono A’B’C’D’E’ é igual a 2.
Exemplos:
I) Estes hexágonos são semelhantes (e isso é uma afirmação e não uma
pergunta).
A razão de semelhança entre os lados do hexágono ABCDEF e os do
hexágono A’B’C’D’E’F’ é:
AB
A ' B '
=
BC
B ' C '
=
CD
C ' D'
=
DE
D ' E '
=
EF
E ' F '
=
FA
F ' A '
3,9
2,6
=
2,28
1,52
=
2,28
1,52
=
3,9
2,6
=
2,28
1,52
=
2,28
1,52
=1,5
Essa razão indica que qualquer comprimento do hexágono ABCDEF é 1,5
o comprimento correspondente do hexágono A’B’C’D’E’F’.
12
Lados correspondentes proporcionais.
ABCDE ≃ A’B’C’D’E’ (os polígonos ABCDE e A’B’C’D’E’ são semelhantes)
A razão de semelhança entre dois polígonos semelhantes é a razão que 
existe entre qualquer lado do primeiro e o correspondente do segundo.
C
B
DE
F
A
A’ B’
F’
E’ D’
C’
3,9 cm
3,9 cm
2,
28
 c
m
2,
28
 c
m
2,28 cm
2,28 cm
1,52 cm
1,52 cm 1,
52
 c
m
1,
52
 c
m
2,6 cm
2,6 cm
Escada
Exercícios
10) (SARESP) Dois terrenos retangulares são semelhantes e a razão de
semelhança é 
2
5
. Se o terreno maior tem 50 m de frente e 150 m de
comprimento, quais são as dimensões do terreno menor?
11) Sabe-se que os dois triângulos a seguir são semelhantes. Determine o valor
de x.
12) A planta baixa de uma casa foi feita usando-se uma escala de redução
1
200
 (razão de semelhança). Nessa planta a sala de estar tem dimensões de
2 cm e 3 cm. Quais as dimensões reais da sala?
13) De acordo com a definição de polígonos semelhantes, assinale a
alternativa falsa:
A) Dois polígonos que possuem lados com medidas iguais são
semelhantes.
B) Dois polígonos que possuem ângulos congruentes são semelhantes.
C) Dois polígonos com ângulos retos são semelhante.
D) Dois polígonos que possuem lados correspondentes proporcionais e
ângulos correspondentes congruentes são semelhantes.
14) Sabendo-se que dois polígonos semelhantes tem razão de semelhança do
1° para o 2° de 
2
3
. Determine o perímetro do primeiro polígono, sabendo-se
que o perímetro do segundo é de 18 cm.
13
y
x
150
50
R
ua
x
Escada
15) Os pentágonos a seguir são semelhantes. Determine o valor de y.
Semelhança de triângulos
Vimos anteriormente que para que duas figuras sejam semelhantes é
preciso que os ângulos correspondentes sejam congruentes e os lados
correspondentes sejam proporcionais, o que para um pentágono, por exemplo,
significa realizar no mínimo 5 verificações de ângulos e outras 5, no mínimo,
para os lados, o que é uma tarefa às vezes trabalhosa. Entretanto para o caso
de triângulos esse trabalho pode ser bastante simplificados quando se aplica
os casos de semelhança, bastando conhecer algumas medidas entre dois ou
mais triângulos para determinar se eles são ou não semelhantes.
1° Caso AA ( Ângulo-Ângulo)
Veja!
A≡D (ângulo do vértice A é congruente com ângulo do vértice D);
B≡E (ângulo B congruente ao ângulo E).
(Se dois triângulos possuem dois ângulos respectivamente congruentes,
os terceiros ângulos também serão congruentes entre si: conclusão que você
chegará após se lembrar do teorema da soma dos ângulos internos de
qualquer triãngulo).
Logo os dois triângulos serão congruentes que escrevemos
matematicamente assim: ∆ ABC≃∆EDF .
14
 Se dois ângulos dos triângulos são respectivamente congruentes, podemos
 afirmar que esses triângulos são semelhantes.
A DC
B
F
E
Escada
2° Caso LAL ( Lado-Ângulo-lado)
Veja!
AB
DE
=
BC
EF
e B≡E => ∆ ABC≃∆EDF
3° Caso LLL ( Lado-Lado-lado)
Veja!
AB
DE
=
BC
EF
=
AC
DE
 => ∆ ABC≃∆EDF
15
 Se em dois triângulos, dois lados são respectivamente proporcionais e,
 se os ângulos formados por esses lados forem congruentes, podemos
 afirmar que esses triângulos são semelhantes.
 Se dois triângulos tiverem os três lados respectivamente proporcionais,
 podemos afirmar que eles são semelhantes.
A DC
B
F
E
A DC
B
F
E
Escada
Exercícios:
16) A seguir temos pares de triângulos. Podemos afirmar que cada par de
triângulos são semelhantes? Por quê?
a) b)
c) d)
Teorema fundamental da semelhança
Se traçarmos uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, essa
reta intercepta os outros dois lados do triângulo em pontos diferentes. O
triângulo formado é semelhante ao triângulo original.
Na figura a seguir o triângulo ABC ( ∆ ABC ), cortado por uma reta r
paralela ao lado BC (BC), intercepta os outros lados em D e E.
Podemos constatar, pelo caso de semelhança A-A que ∆ ABC≃∆CDE
Pois:
✔ O ângulo do vértice C é comum aos dois triângulos;
✔ O ângulo A é congruente ao ângulo D (são ângulos correspondentes);
✔ O ângulo B é congruente ao ângulo E (são ângulos correspondentes).
16
A
B
C
FE
D
G
H
I
K
J L
3
5
4
10
8
6
A
C
B
F
D E
3
4
5
9
10
7 15
20
6
8
A B
C
r
D E
Escada
Exemplo:
a) Na figura a seguir DE // BC.
Determine o valor de x.
Solução
CD
CA
=
DE
AB
3
9
=
x
15
3.15
9
=x
5=x
Exercícios:
17)Determine o que se pede,
sabendo-se que o segmento DE é
paralelo ao lado BC.
a) Quantos triângulos há na figura?
Quais são eles?
b) Qual o valor de x?
c) Qual o valor de y?
d) Qual o perímetro do ∆ ADE ?
e) Qual o perímetro do ∆ ABC ?
f) Qual a razão de semelhança entre
os lados dos triângulos?
g) Calcule a razão entre os perímetros
dos dois triângulos e verifique se há
proporcionalidade também em relação
aos perímetros dos triângulos?
18) Determine ovalor de x na figura a seguir, sabendo que a reta r é paralela
ao lado BC.
a) b)
17
A B
C
r
D Ex
3
6
15
A
B C
D E
x
6
10
y
15
A
B C
D E
4
4
x
3 r
A
B
Cx 6
r
2
3
D
E
Escada
19) Em cada item a seguir determine o valor de x, sabendo-se que ângulos
com marcas iguais (ou de mesmas cores) têm medidas iguais.
a) b)
20) Dado os triângulos retângulos ARE e OTE: 
Sabendo-se que OE = 10, TO = 8 e AE = 20, qual o valor de AR?
Em algumas situações do nosso dia a dia não podemos realizar
medições diretamente. Nesses casos lançamos mão de medidas
indiretas como nas situações seguintes.
21) Em uma determinada hora do dia, em um terreno plano, a sombra de uma
árvore mede 5 m. No mesmo instante, a sombra de uma haste de 60 cm mede
40 cm. Determine a altura da árvore.
18
x
1220
15
x
30
20
15
60 cm
40 cm 5 m
Escada
22) (Unesp-modificada) A sombra de um prédio, num terreno plano, numa 
determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo instante, próximo ao 
prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m. Qual altura do prédio, 
em metros?
23) (Unesp-modificada) Um observador situado num ponto O, localizado na
margem de um rio, precisa determinar sua distância até um ponto P, localizado
na outra margem, sem atravessar o rio. Para isso marca, com estacas, outros
pontos do lado da margem em que se encontra, de tal forma que P, O e B
estão alinhados entre si e P, A e C também. Além disso, OA é paralelo a BC, OA
= 25 m, BC = 40 m e OB = 30 m, conforme figura:
Qual a distância, em metros, do observador em O até o ponto P?
24) (Unicamp) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao
Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta.
Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 metros
sobre a rampa está a 1,5 metros de altura em relação ao solo. Calcule quantos
metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.
19
Escada
Relações métricas no triângulo retângulo:
As relações métricas relacionam entre si as medidas dos elementos de
um triângulo retângulo. São eles:
Sendo:
a: medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90°)
b: cateto 
c: cateto
h: altura relativa à hipotenusa
m: projeção do cateto b sobre a hipotenusa
n: projeção do cateto c sobre a hipotenusa
Relações métricas
Para encontrarmos as relações métricas, utilizaremos semelhança nos
triângulos da figura anterior. São eles: ∆ABC, ∆ABD e ∆ACD, a seguir
representados separadamente.
20
Escada
Os catetos formam o ângulo reto.
B
A
b
m
h
DB
A
Ca
cb
C
A
c
n
h
D
B
A
C
a
cb
m n
h
D
I) Sabendo-se que os triângulos ABC e ABD são semelhantes (∆ABC~ ∆ABD),
temos as seguintes proporções:
a
b
=
c
h
⇒ a⋅h=b⋅c
a
b
=
b
m
⇒ b2=a⋅m
II) Também da semelhança entre os triângulos ABC e ACD, temos a proporção:
a
c
=
c
n
⇒ c2=a⋅n
III) Finalmente da semelhança entre os triângulos ABD e ACD, temos as
proporções:
h
n
=
m
h
⇒ h2=m⋅n
IV) Sabemos ainda que a=m+n . E multiplicando-se ambos os membros dessa
igualdade por a, teremos:
a⋅a=a⋅m+a⋅n ou a2=a⋅m+a⋅n
Já sabemos que a⋅m=b2 e a⋅n=c2 e substituindo esse valores na equação
anterior, teremos:
a2=a⋅m+a⋅n
a2=b2+c2 ⇒ Esta última relação: “ O quadrado da hipotenusa é igual à soma
dos quadrados dos catetos” é também conhecida como teorema de Pitágoras.
Vejamos através de exemplos essas relações métricas separadamente.
a) O quadrado da medida da altura de um triângulo retângulo é igual ao
produto das projeções de seus catetos sobre a hipotenusa: h2=m⋅n
Calcule o valor de h na figura a seguir.
h2 = m.n
h2 = 25.16
h2 = 400
h = 20
21
Escada
B
A
C
25
h
16
b) O quadrado do cateto é igual ao produto da sua projeção pela hipotenusa:
b2=a⋅m ou c2=a⋅n .
Calcule o valor de y na figura a seguir.
b2 = a.m
122 = 24.y
144 = 24y
y = 6
Calcular o valor de b em:
Como a = m + n,
a = 9 + 3
a = 12
Então:
b2 = a.n
b2 = 12.3
b2 = 36
b = 6
c) O produto entre a hipotenusa a e a altura h(relativa à hipotenusa) de um
triângulo retângulo é sempre igual ao produto entre as medidas de seus
catetos b e c: a⋅h=b⋅c
Determine o valor de h na figura a
seguir.
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
a2 = b2 + c2
a2 = 122 + 162
a2 = 144 + 256
a2 = 400
a = 20 (de posse desse valor
podemos determinar h).
a.h = b.c
20h = 12.16
20h = 192
h = 9,6
Exercícios:
25) Aplique as relações métricas nos triângulos retângulos a seguir e
determine o valor de x em cada uma delas.
22
Escada
B
A
C
24
y
12
B
A
C
9
b
3
B
A
C
h
12
a
16
a) b)
c) d)
e) f)
26) Calcule os valores de h, m e n no triângulo retângulo:
27) Em um triângulo retângulo as projeções dos catetos sobre a hipotenusa
medem 6 cm e 8 cm. Determine a altura relativa à hipotenusa desse triângulo.
23
Escada
B
A
C
16
x
4
B
A
C
16
x
4
B
A
C
25
x
9
B
A
C
9
x
5
B
A
C
5
34
x
B
A
C
12
x 16
B
A
C
30
h
40
n m
50
28)A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm
e uma das projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse
triângulo.
29) Determine a medida das projeções em um triângulo retângulo cuja
hipotenusa mede 12 cm e um dos catetos 4 cm.
Teorema de Pitágoras
Vimos que os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais:
Os lados que formam o ângulo reto são chamados de catetos e o que se
opõe ao ângulo reto é chamado de hipotenusa.
Teorema de Pitágoras: Em qualquer triângulo retângulo vale a relação: "O
quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos",
ou seja:
a2 = b2 + c2
Exemplos:
Conhecendo-se as medidas de dois lados de um triângulo retângulo,
pode-se calcular a medida do terceiro lado, usando-se o teorema de Pitágoras:
a) a2 = b2 + c2
a2 = 82 + 62
a2 = 64 + 36
a2 = 100
√a2=√100
a = 10
b)
a2 = b2 + c2
132 = 52 + c2
169= 25 + c2 
169 - 25 = c2 
144 = c2 
√144=√c2
12 = c
Exercícios:
30)Encontre o valor de x:
a) b) c)
24
Hipotenusa: a
Cateto: b
C
at
et
o
: c
68
a
61
60
x
8,9
3,9
x
6
8
x
Escada
5
13
c
31) Um triângulo cujos lados medem 21cm, 28cm e 35cm é um triângulo
retângulo? (Sugestão:Aplique o teorema de Pitágoras para verificar e lembre-se
: o lado maior de um triângulo retângulo é a hipotenusa).
32) Na figura ao lado temos uma escada de 12 metros de comprimento
apoiada em um muro. A base da escada está distante do muro cerca de 8
metros. Determine a altura do muro.
33) No triângulo retângulo, conhecemos as medidas dos catetos. Calcule a
medida da hipotenusa.
34)Num retângulo com 21 cm de comprimento, as diagonais têm 29 cm. Qual é
a largura do retângulo?
35) No quadrilátero ao lado, calcule x.
36) Um quadrado tem lados de 10 cm. Calcule a medida de suas diagonais.
25
Piso
Muro
8 m
12 m
Escada
5
12
x
29
21
x
12
9
4
37) Em qualquer triângulo isósceles ABC, de base BC, a altura AH divide a base
ao meio. Lembrando-se disso, calcule a altura AH desse triângulo isósceles
Dados: CB = 8, AC = 5, AB = 5.
38) Calcule a medida das diagonais do trapézio da figura. (Lembre-se:
diagonais são segmentos de reta que ligam dois vértices não consecutivos).
26
A
C BH
12
16
9