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AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias AULA ATIVIDADE TUTOR Curso: Engenharias AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III Teleaula: 04 Parte 1- Transformada de Laplace Prezado(a) tutor(a), Nesta aula atividade o objetivo é aprofundar os estudos a respeito das transformadas de Laplace e sua associação com o estudo de problemas envolvendo as equações diferenciais ordinárias. Nesse sentido, será necessária a aplicação de conceitos estudados anteriormente, como as técnicas de derivação e integração, por exemplo, bem como os conceitos estudados na terceira aula e terceira unidade do material da disciplina. Bom trabalho! Questão 1 Por meio da avaliação de integrais impróprias é possível identificar a transformada de Laplace de diversas funções, desde que as integrais sejam convergentes. Considere a função de uma variável real definida por 𝑓(𝑡) = 𝑡𝑒−2𝑡 Determine a transformada de Laplace para a função 𝑓 empregando a definição de transformada, por meio do cálculo da integral imprópria correspondente. Gabarito: Sabemos que ℒ{𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡) ∞ 0 𝑑𝑡, sendo assim, ℒ{𝑡𝑒−2𝑡} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑡𝑒−2𝑡 ∞ 0 𝑑𝑡 = ∫ 𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑒−2𝑡 ∞ 0 𝑑𝑡 = lim 𝐴→∞ ∫ 𝑡𝑒−2𝑡𝑒−𝑠𝑡 𝐴 0 𝑑𝑡 = lim 𝐴→∞ ∫ 𝑡𝑒−(2+𝑠)𝑡 𝐴 0 𝑑𝑡 (I) No cálculo da integral: ∫ 𝑡𝑒−(2+𝑠)𝑡 𝑑𝑡 devemos aplicar a técnica de integração por partes. Considerando: AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias 𝑢 = 𝑡 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 𝑑𝑣 = 𝑒−(2+𝑠)𝑡𝑑𝑡 → 𝑣 = − 1 2 + 𝑠 𝑒−(2+𝑠)𝑡 segue que: ∫ 𝑡𝑒−(2+𝑠)𝑡 𝑑𝑡 = − 𝑡 2 + 𝑠 𝑒−(2+𝑠)𝑡 + 1 2 + 𝑠 ∫ 𝑒−(2+𝑠)𝑡 𝑑𝑡 = − 𝑡 2 + 𝑠 𝑒−(2+𝑠)𝑡 − ( 1 2 + 𝑠 ) 2 𝑒−(2+𝑠)𝑡 + 𝐶 Assim, ∫ 𝑡𝑒−(2+𝑠)𝑡 𝐴 0 𝑑𝑡 = − 𝐴 2 + 𝑠 𝑒−(2+𝑠)𝐴 − ( 1 2 + 𝑠 ) 2 𝑒−(2+𝑠)𝐴 + ( 1 2 + 𝑠 ) 2 Portanto, de (𝐼), temos que: ℒ{𝑡𝑒−2𝑡} = lim 𝐴→∞ [− 𝐴 2 + 𝑠 𝑒−(2+𝑠)𝐴 − ( 1 2 + 𝑠 ) 2 𝑒−(2+𝑠)𝐴 + ( 1 2 + 𝑠 ) 2 ] = ( 1 2 + 𝑠 ) 2 ou seja, ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) = ( 1 2 + 𝑠 ) 2 Questão 2 As propriedades das Transformadas de Laplace permitem a comparação entre diferentes funções, auxiliando, inclusive, na resolução de problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais ordinárias. Considere a função de uma variável real dada por 𝑓(𝑡) = 2𝑒−5𝑡senh(3𝑡) − 𝑒2𝑡 cos(2𝑡) + 𝑒−𝑡 Determine a transformada de Laplace associada à função 𝑓(𝑡). Observação: A função senh(𝑥) corresponde à função seno hiperbólico, a qual pode ser associada à função exponencial da seguinte forma: senh(𝑥) = 𝑒𝑥−𝑒−𝑥 2 . Gabarito: Sabemos que: ℒ{𝑒−𝑡} = 1 𝑠 + 1 ; ℒ{cos(2𝑡)} = 𝑠 𝑠2 + 4 ; ℒ{senh(3𝑡)} = 3 𝑠2 − 9 AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias Além disso, pelo primeiro teorema da translação segue que ℒ{𝑒𝑘𝑡𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠 − 𝑘) se ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠). Considerando essas informações e a linearidade da Transformada de Laplace segue que: ℒ{𝑓(𝑡)} = 2ℒ{𝑒−5𝑡senh(3𝑡)} − ℒ{𝑒2𝑡 cos(2𝑡)} + ℒ{𝑒−𝑡} = 2 ( 3 (𝑠 + 5)2 − 9 ) − ( 𝑠 (𝑠 − 2)2 + 4 ) + ( 1 𝑠 + 1 ) = 6 𝑠2 + 10𝑠 + 16 − 𝑠 𝑠2 − 4𝑠 + 8 + 1 𝑠 + 1 Portanto, a Transformada de Laplace da função 𝑓(𝑡) é dada por ℒ{𝑓(𝑡)} = 6 𝑠2 + 10𝑠 + 16 − 𝑠 𝑠2 − 4𝑠 + 8 + 1 𝑠 + 1 Questão 3 Para o estudo das transformadas inversas de Laplace, um dos conceitos muito utilizado é a expansão em frações parciais, o que permite a decomposição de uma razão de polinômios em uma soma de frações envolvendo polinômios com menores graus, permitindo a utilizando das informações sobre as principais transformadas de Laplace. Em relação a esse tema, determine a expansão em frações parciais do seguinte termo: 3𝑥 − 1 𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) Gabarito: Devemos determinar 𝐴, 𝐵 e 𝐶 tais que: 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥 − 3 + 𝐶 𝑥 + 1 = 3𝑥 − 1 𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) Assim, note que: 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥 − 3 + 𝐶 𝑥 + 1 = 𝐴(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) + 𝐵𝑥(𝑥 + 1) + 𝐶𝑥(𝑥 − 3) 𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 𝐴(𝑥2 − 2𝑥 − 3) + 𝐵(𝑥2 + 𝑥) + 𝐶(𝑥2 − 3𝑥) 𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = (𝐴 + 𝐵 + 𝐶)𝑥2 + (−2𝐴 + 𝐵 − 3𝐶)𝑥 + (−3𝐴) 𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) E assim, AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias 3𝑥 − 1 𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = (𝐴 + 𝐵 + 𝐶)𝑥2 + (−2𝐴 + 𝐵 − 3𝐶)𝑥 + (−3𝐴) 𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) Comparando os termos obtemos: 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 0 −2𝐴 + 𝐵 − 3𝐶 = 3 −3𝐴 = −1 Resolvendo o sistema linear podemos obter: 𝐴 = 1 3 𝐵 = 2 3 𝐶 = −1 Portanto, 3𝑥 − 1 𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 1 3 ⋅ 1 𝑥 + 2 3 ⋅ 1 𝑥 − 3 − 1 𝑥 + 1 = 1 3𝑥 + 2 3(𝑥 − 3) − 1 𝑥 + 1 Questão 4 Na resolução de um problema de valor inicial por meio de Transformadas de Laplace, um pesquisador obteve a seguinte função 𝐹(𝑠) = 𝑠2 − 𝑠 + 10 (𝑠 − 1)(𝑠2 + 4) que corresponde à Transformada de Laplace de uma função 𝑓(𝑡). Com base nas propriedades da transformada e transformada inversa de Laplace, determine a transformada inversa de Laplace da função 𝐹(𝑠). Gabarito: Empregando a expansão em frações parciais obtemos: 𝐹(𝑠) = 𝑠2 − 𝑠 + 10 (𝑠 − 1)(𝑠2 + 4) = 𝐴 𝑠 − 1 + 𝐵𝑠 + 𝐶 𝑠2 + 4 de onde obtemos o sistema de equações lineares: { 𝐴 + 𝐵 = 1 𝐶 − 𝐵 = −1 4𝐴 − 𝐶 = 10 com solução 𝐴 = 2, 𝐵 = −1 e 𝐶 = −2. Logo, AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias 𝐹(𝑠) = 2 𝑠 − 1 + −𝑠 − 2 𝑠2 + 4 = 2 𝑠 − 1 − 𝑠 𝑠2 + 4 − 2 𝑠2 + 4 Sendo assim, pela linearidade da Transformada Inversa de Laplace obtemos: ℒ−1{𝐹(𝑠)} = 2ℒ−1 { 1 𝑠 − 1 } − ℒ−1 { 𝑠 𝑠2 + 4 } − ℒ−1 { 2 𝑠2 + 4 } Portanto, 𝑓(𝑡) = ℒ−1{𝐹(𝑠)} = 2𝑒𝑡 − cos(2𝑡) − sen(2𝑡) Questão 5 As transformadas de Laplace podem ser aplicadas na resolução de um problema de valor inicial, permitindo a conversão da equação diferencial em uma equação algébrica. Sabendo que as transformadas de Laplace são operadores lineares e que ℒ{𝑦′} = 𝑠ℒ{𝑦} − 𝑦(0) resolva o seguinte problema de valor inicial empregando as transformadas de Laplace: { 𝑦′ − 3𝑦 = 𝑒2𝑡 𝑦(0) = 1 Gabarito: A transformada de Laplace é um operador linear. Assim, aplicando-a na resolução da EDO teremos ℒ{𝑦′ − 3𝑦} = ℒ{𝑒2𝑡} Sabemos que ℒ{𝑒2𝑡} = 1 𝑠−2 . Então, ℒ{𝑦′ − 3𝑦} = 1 𝑠 − 2 ℒ{𝑦′} − 3ℒ{𝑦} = 1 𝑠 − 2 𝑠ℒ{𝑦} − 𝑦(0) − 3ℒ{𝑦} = 1 𝑠 − 2 (𝑠 − 3)ℒ{𝑦} − 1 = 1 𝑠 − 2 (𝑠 − 3)ℒ{𝑦} = 1 𝑠 − 2 + 1 = 1 𝑠 − 2 + 𝑠 − 2 𝑠 − 2 = 𝑠 − 1 𝑠 − 2 ℒ{𝑦} = 𝑠 − 1 𝑠 − 2 ⋅ 1 𝑠 − 3 = 𝑠 − 1 (𝑠 − 2)(𝑠 − 3) AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias Podemos aplicar frações parciais na fatoração da última expressão obtida da seguinte forma: 𝑠 − 1 (𝑠 − 2)(𝑠 − 3) = 𝐴 𝑠 − 2 + 𝐵 𝑠 − 3 = (𝐴 + 𝐵)𝑠 + (−3𝐴 − 2𝐵) (𝑠 − 2)(𝑠 − 3) de onde segue que 𝐴 = −1, 𝐵 = 2 e, portanto, 𝑠 − 1 (𝑠 − 2)(𝑠 − 3) = − 1 𝑠 − 2 + 2 𝑠 − 3 Logo, ℒ{𝑦} = − 1 𝑠 − 2 + 2 𝑠 − 3 = − 1 𝑠 − 2 + 2 ⋅ 1 𝑠 − 3 Como ℒ{𝑒2𝑡} = 1 𝑠−2 e ℒ{𝑒3𝑡} = 1 𝑠−3 obtemos ℒ{𝑦} = −ℒ{𝑒2𝑡} + 2ℒ{𝑒3𝑡} = ℒ{−𝑒2𝑡 + 2𝑒3𝑡} Portanto, a solução do PVI será dada por 𝑦(𝑡) = −𝑒2𝑡 + 2𝑒3𝑡 Questão 6 As transformadas de Laplace podem ser empregadas também na resolução de problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais ordinárias de 2ª ordem, associadas a condições iniciais para a função em estudo e sua derivada de 1ª ordem. Com base nesse tema, determine a solução para o seguinte problema de valor inicial empregando transformadas de Laplace: { 𝑦′′ + 16𝑦 = 𝑓(𝑡) 𝑦(0) = 0 𝑦′(0) = 1 onde 𝑓(𝑡) = { 𝑐𝑜𝑠(4𝑡) , 0 ≤ 𝑡 < 𝜋 0, 𝑡 ≥ 𝜋 Observação: para a resolução desse problema é necessário considerar as propriedades envolvendo transformadas de Laplace e funções descontínuas. Além disso, sabendo que a função degrau unitário seja definida por 𝑢(𝑡 − 𝑐) = { 0, 0 ≤ 𝑡 < 𝑐 1, 𝑡 ≥ 𝑐 , 𝑐 ≥ 0AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias então podemos representar 𝑓(𝑡) em função da função degrau unitário por 𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(4𝑡) − 𝑐𝑜𝑠4(𝑡 − 𝜋)𝑢(𝑡 − 𝜋) Gabarito: Pelo segundo teorema da translação, associado às Transformadas de Laplace, sabemos que: ℒ{𝑦′′} + 16ℒ{𝑦} = ℒ{𝑓(𝑡)} 𝑠2ℒ{𝑦} − 𝑠𝑦(0) − 𝑦′(0) + 16ℒ{𝑦} = 1 + 𝑠 𝑠2 + 16 − 𝑠 𝑠2 + 16 𝑒−𝜋𝑠 (𝑠2 + 16)ℒ{𝑦} = 1 + 𝑠 𝑠2 + 16 − 𝑠 𝑠2 + 16 𝑒−𝜋𝑠 ℒ{𝑦} = 1 𝑠2 + 16 + 𝑠 (𝑠2 + 16)2 − 𝑠 (𝑠2 + 16)2 𝑒−𝜋𝑠 Consequentemente, 𝑦 = ℒ−1 { 1 𝑠2 + 16 } + ℒ−1 { 𝑠 (𝑠2 + 16)2 } − ℒ−1 { 𝑠 (𝑠2 + 16)2 𝑒−𝜋𝑠} 𝑦 = 1 4 ℒ−1 { 4 𝑠2 + 16 } + 1 8 ℒ−1 { 8𝑠 (𝑠2 + 16)2 } − 1 8 ℒ−1 { 8𝑠 (𝑠2 + 16)2 𝑒−𝜋𝑠} 𝑦 = 1 4 𝑠𝑒𝑛(4𝑡) + 1 8 𝑡 𝑠𝑒𝑛(4𝑡) − 1 8 (𝑡 − 𝜋) 𝑠𝑒𝑛(𝑡 − 𝜋) 𝑢(𝑡 − 𝜋) Portanto, a solução para o PVI apresentado é dada por 𝑦(𝑡) = { 1 4 sen(4𝑡) + 1 8 𝑡 sen(4𝑡), 0 ≤ 𝑡 < 𝜋 2 + 𝜋 8 sen(4𝑡), 𝑡 ≥ 𝜋 Parte 2: Estudo teórico complementar Agora você irá fazer um estudo dos temas dessa unidade. Para isso além de estudar o material do livro didático da disciplina, você deve acessar os links indicados e estudá-los. Como sugestão para favorecer a aprendizagem dos tópicos a seguir, faça esquemas destacando as principais informações. Os esquemas são uma boa estratégia de estudo, pois o ajudam a sintetizar as ideias principais e a relacioná-las entre si. Para acessar ao link encaminhado você deve estar na página (deve realizar o login) biblioteca virtual e deve abrir uma nova guia copiando nela o link que disponibilizarei. AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias Transformada de Laplace Livro: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno Autor: Boyce e DiPrima Capítulo: 6 (seções 6.1, 6.2) Link (acessar a biblioteca digital): https://bit.ly/38TI4yp Acessar o link e resolver os seguintes exercícios Seção Exercício Solução 6.2 1-23 somente os ímpares As respostas encontram- se ao final livro seção 6.2 https://bit.ly/2TYYWzS https://bit.ly/38TI4yp https://bit.ly/2TYYWzS
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