_INTRODUÇÃO

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2 
PRESIDENTE DA REPÚBLICA 
Luiz Inácio Lula da Si lva 
 
MINISTRO DA EDUCAÇÃO 
Fernando Haddad 
 
GOVERNADOR DO ESTADO DO PIAUÍ 
Well ington Dias 
 
REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
Luiz de Sousa Santos Júnior 
 
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DO MEC 
Carlos Eduardo Bielschowsky 
 
COORDENADOR GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL 
Celso Costa 
 
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DO PIAUÍ 
Antonio José Medeiros 
 
COORDENADOR GERAL DO CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA A DISTÂNCIA DA 
UFPI 
Gildásio Guedes Fernandes 
 
SUPERINTENDENTE DE EDUCAÇÃO SUPERIOR NO ESTADO DO PIAUÍ 
El iane Mendonça 
 
DIRETOR DO CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA 
Helder Nunes da Cunha 
 
COORDENADOR DO CURSO DE LICENCIATURA EM FÍSICA NA MODALIDADE DE 
EAD 
Miguel Arcanjo Costa 
 
CHEFE DO DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
Valdemiro da Paz Bri to 
 
COORDENADORA DE MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI 
Cleidinalva Maria Barbosa Olivei ra 
 
DIAGRAMAÇÃO 
Thamara Lisyane Pires de Olivei ra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 S237i santos, Maria de Nazaré Bandeira dos 
 Introdução à Física / Maria de Nazaré Bandeira dos 
 Santos - Teresina: UFPI/UAPI, 2008. 
 145p. il 
 
 
1. Medição, 2. Vetores, 3. Cinemática da Partícula, 4. Forças 
e Leis de Newton, 5. Teoria da Relatividade Especial ou Restrita. I. 
Universidade Federal do Piauí/Universidade Aberta do Piauí.II.Título. 
 
 
 CDU: 530 
 
 
 
 
3 
 
 
Este texto constitui o material instrucional da disciplina 
Introdução à Física, do Curso de Licenciatura em Física – 
Modalidade a Distância, oferecido pelo programa de Educação a 
Distância da Universidade Federal do Piauí (UAPI). 
A conteúdo da disciplina Introdução a Física, está dividido em 
cinco unidades, descritas abaixo, que visam, de um modo geral, 
propiciar aos estudantes iniciantes do Curso de Licenciatura em 
Física, uma visão satisfatória dos principais conceitos, leis, princípios 
e aplicações da Mecânica Básica. 
A Unidade 1, trata sobre Medição, onde apresentamos os 
conhecimentos essenciais do tema, incluindo desde grandezas 
físicas, unidades e padrões, até precisão, cálculo de erros e análise 
dimensional. 
A Unidade 2 expõe o conteúdo de Vetores, onde são 
mostradas as operações fundamentais com vetores, para tratamento 
vetorial e aplicação em problemas de Física Básica. 
Na Unidade 3, discorremos sobre Cinemática da Partícula, 
com o objetivo de mostrar as leis que descrevem o movimento dos 
corpos tratados como partículas. 
Na Unidade 4, tratamos das leis do movimento que explicam 
inclusive as causas dos movimentos, são as Leis de Newton para o 
Movimento. Essa unidade visa proporcionar, ao estudante de 
Física, o conhecimento, análise, interpretação e aplicação das Leis 
de Newton a situações do cotidiano. 
 
 
4 
Finalmente, a Unidade 5 trata de Noções e Princípios 
Básicos da Relatividade Restrita. 
Na elaboração deste material, utilizamos um grande número de 
recursos, tais como: aspectos históricos, saiba mais, reflita, desafio e 
atividades de aprendizagem e de fixação. Todos estes recursos, em 
conjunto, visam tornar a relação conteúdo-aluno a mais interativa e 
dinâmica possível. Buscamos sempre que possível, contextualizar 
os conteúdos em situações do cotidiano do aluno, para que o 
mesmo sinta uma maior “intimidade” com o que está sendo tratado. 
Enfim, esperamos que este texto consiga prender a atenção do 
estudante, proporcione-lhe aprendizagem e o ajude a desenvolver e 
aplicar seu raciocínio formal. 
Colocamo-nos a disposição de leitores e alunos para 
esclarecimentos e aguardamos suas críticas e sugestões, que 
certamente contribuirão para tornar esse texto mais eficiente, 
agradável e prazeroso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
UNIDADE 1. Medição 
1.1. Grandezas Físicas, Unidade e Padrões ................................... 11 
1.2. Sistemas de Unidades .............................................................. 14 
1.3. Padrões de Comprimento, Massa e Tempo ............................. 15 
1.3.1. Padrão de comprimento ......................................................... 15 
1.3.2. Padrão de massa ................................................................... 15 
1.3.3. Padrão de tempo ................................................................... 16 
1.4. Precisão de uma Medida e Algarismos Significativos ............... 17 
1.5. Atividade de Fixação ................................................................. 19 
1.6. Cálculos de Médias, Erros e Desvio Padrão ............................. 20 
1.7. Análise Dimensional ................................................................. 26 
1.8. Atividade de Fixação ................................................................. 26 
1.9. Experimente! ............................................................................. 28 
1.10 Referências Bibliográficas ....................................................... 30 
1.10.1. Livro texto ............................................................................ 30 
1.10.2. Bibliografia complementar ................................................... 30 
1.10.3. Web-bibliografia ................................................................... 30 
 
UNIDADE 2. Vetores 
2.1. Introdução ................................................................................. 33 
2.2. Adição de Vetores..................................................................... 34 
2.2.1. Método geométrico e aplicações ........................................... 35 
2.2.2. Método analítico ou das componentes e aplicações.............. 37 
2.3. Multiplicação de Vetores ........................................................... 40 
2.3.1. Multiplicação de um vetor por um escalar e aplicações ......... 41 
2.3.2. Produto escalar de dois vetores e aplicações ........................ 42 
2.3.2.1. Atividade de aprendizagem ................................................ 43 
 
 
6 
2.3.3. Produto vetorial de dois vetores e aplicações ........................ 43 
2.4. Atividade de Fixação ................................................................. 45 
2.5. Experimente! ............................................................................. 46 
2.6. Referências Bibliográficas ......................................................... 47 
2.6.1. Livro texto .............................................................................. 47 
2.6.2. Bibliografia complementar ...................................................... 47 
2.6.3. Web-bibliografia ..................................................................... 47 
 
UNIDADE 3. Cinemática da Partícula 
3.1. Introdução ................................................................................. 50 
3.2. Descrição Geral do Movimento de uma Partícula ..................... 53 
3.2.1. O movimento é relativo: posição e referencial ....................... 53 
3.2.2. Trajetória ................................................................................ 57 
3.2.3. Grandezas físicas gerais da cinemática ................................. 58 
3.2.4. Atividade de aprendizagem .................................................... 65 
3.3. Movimento de uma partícula com velocidade constante ........... 70 
3.4. Movimento de uma partícula com aceleração constante .......... 73 
3.4.1. Movimento retilíneo uniformemente variado .......................... 74 
3.4.2. Movimento circular e uniforme ............................................... 77 
3.4.3. Movimento circular uniformemente variado ........................... 82 
3.5. Movimentos combinados de uma partícula ............................... 83 
3.5.1. Lançamentooblíquo ............................................................... 84 
3.5.2. Lançamento horizontal ........................................................... 87 
3.6. Atividade de Fixação ................................................................. 87 
3.7. Experimente! ............................................................................. 88 
3.8. Referências Bibliográficas ......................................................... 89 
3.8.1. Livro texto .............................................................................. 89 
3.8.2. Bibliografia complementar ...................................................... 89 
3.8.3. Web-bibliografia ..................................................................... 89 
 
 
 
7 
UNIDADE 4. Forças e Leis de Newton 
4.1. Aristóteles explica o Movimento ............................................... 92 
4.2. Ptolomeu e o Movimento do Sol ............................................... 94 
4.3. Copérnico e o Movimento da Terra........................................... 94 
4.4. Galileu e a Torre Inclinada ........................................................ 95 
4.5. Newton e as Leis do Movimento dos Corpos ............................ 96 
4.5.1. Força e massa ....................................................................... 99 
4.5.2. A Primeira Lei de Newton – Lei da Inércia ........................... 100 
4.5.3. A Segunda Lei de Newton - Princípio Fundamental da 
Dinâmica ........................................................................................ 102 
4.5.4. A Terceira Lei de Newton – Lei da Ação e Reação ............. 106 
4.5.5. Aplicações das Leis de Newton ........................................... 108 
4.6. Atividade de Fixação........................... .................................... 110 
4.7. Experimente! ........................................................................... 111 
4.8. Referências Bibliográficas...................... ................................. 111 
4.8.1. Livro texto........................................................... .................. 111 
4.8.2. Bibliografia complementar.................................... ................ 112 
4.8.3. Web-bibliografia.................................................. ................. 112 
 
UNIDADE 5. Teoria da Relatividade Especial ou 
Restrita 
5.1. Introdução ............................................................................... 115 
5.2. O Princípio da Relatividade na Mecânica e na Eletrodinâmica119 
5.3. O Éter e o Experimento de Michelson-Morley ........................ 122 
5.4. Teoria da Relatividade Especial ou Restrita ........................... 124 
5.4.1. Generalidades...................................................................... 124 
5.4.2. Postulados da teoria da relatividade especial ou restrita ..... 125 
5.4.3. Conseqüências da relatividade de Einstein ......................... 127 
5.4.3.1. Simultaneidade ................................................................. 127 
5.4.3.2. Espaço-Tempo.................................................................. 128 
5.4.3.3. Dilatação do Tempo .......................................................... 130 
5.4.3.4. Contração do Comprimento .............................................. 133 
 
 
8 
5.4.3.5. As Transformações de Lorentz ......................................... 138 
5.4.3.6. Momento Relativístico ....................................................... 140 
5.4.3.7. A Relação Massa - Energia .............................................. 141 
5.5. A Teoria da Relatividade Geral ............................................... 142 
5.6. Atividade de Fixação ............................................................... 143 
5.7. Referências Bibliográficas ....................................................... 145 
5.7.1. Livro texto ............................................................................ 145 
5.7.2. Bibliografia complementar .................................................... 145 
5.7.3. Web-bibliografia ................................................................... 145 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
UNIDADE 1. Medição 
1.1. Grandezas Físicas, Unidade e Padrões .................................... 11 
1.2. Sistemas de Unidades .............................................................. 14 
1.3. Padrões de Comprimento, Massa e Tempo .............................. 15 
1.3.1. Padrão de comprimento ......................................................... 15 
1.3.2. Padrão de massa ................................................................... 15 
1.3.3. Padrão de tempo.................................................................... 16 
1.4. Precisão de uma Medida e Algarismos Significativos ............... 17 
1.5. Atividade de Fixação ................................................................. 19 
1.6. Cálculos de Médias, Erros e Desvio Padrão ............................. 20 
1.7. Análise Dimensional .................................................................. 26 
1.8. Atividade de Fixação ................................................................. 26 
1.9. Experimente! ............................................................................. 28 
1.10 Referências Bibliográficas ........................................................ 30 
1.10.1. Livro texto ............................................................................ 30 
1.10.2. Bibliografia complementar .................................................... 30 
1.10.3. Web-bibliografia ................................................................... 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
1.1. Grandezas Físicas, Unidades e Padrões 
Em nossa vida, freqüentemente, realizamos medidas e 
fazemos uso dela. Por exemplo, um motorista ao chegar em um 
posto de gasolina, pede que abasteça seu carro com R$ 50,00 
desse combustível, a “bomba” do posto, que já está programada 
para medir gasolina com o valor de R$ 2,681 por litro do 
combustível, mede 18,649 litros. Outra medida que comumente 
qualquer pessoa costuma fazer, é a de sua altura, obtendo por 
exemplo um valor de 1,750 m; um colega seu vai à mercearia e 
compra 5,50 kg de arroz. 
Em todas essas situações, e em outras que você poderá 
imaginar, é fácil perceber o envolvimento das medidas nas 
atividades diárias de qualquer pessoa. O quanto você conhece sobre 
algo depende de quão bem você pode medi-lo. Isto foi claramente 
expresso pelo famoso físico Lord Kelvin no século XIX. 
 
“Digo freqüentemente, que quando se pode medir algo e 
expressá-lo em números, alguma coisa se conhece sobre 
ele. Quando não se pode medi-lo, quando não se pode 
expressá-lo em números, o conhecimento que se tem 
dele é estéril e insatisfatório. Ele pode até ser um início 
para o conhecimento, mas ainda se avançou muito pouco 
em direção ao estágio da ciência, seja ele qual for”. 
 
As medidas científicas não são algo novo, mas remetem aos 
tempos antigos. No século III a. C. por exemplo, foram feitas 
medidas bastantes precisas sobre os tamanhos da Terra, da Lua e 
do Sol, bem como das distâncias entre eles. 
No estudo da física, por ser uma ciência essencialmente 
experimental, as medidas desempenham também um papel muito 
importante, pois os próprios conceitos fundamentais da física são as 
grandezas que usamos para expressar suas leis. Podemos citar 
 
 
 
 
William Thomson 
(1824-1907), físico 
irlandês ficou 
conhecido como 
Lord Kelvin ou Barão 
Kelvin de Largs. 
Filho de matemático, 
formou-se em 
Cambridge e 
dedicou-0se à 
ciência experimental. 
A partir de seus 
experimentos com 
os conceitos de 
trabalho e calor, 
deduziu o conceito 
de energia 
disponível, um dos 
principais temas da 
termodinâmica. 
Desenvolveu a 
escala 
termodinâmica de 
temperaturasabsolutas, que 
resolveu as 
dificuldades da 
termometria com as 
medições 
dependentes do 
material 
termométrico 
utilizado. 
Quem foi Lord 
Kelvin? 
 
12 
como grandezas físicas: comprimento, massa, tempo, temperatura, 
campo elétrico, velocidade, aceleração, campo magnético e campo 
gravitacional, força, pressão, densidade, volume, corrente elétrica 
etc. 
 
 
 
Ao se definir uma grandeza física estabelecemos uma série de 
procedimentos para medi-la e atribuir-lhe uma unidade, quantidade 
que se toma arbitrariamente para termos de comparação entre 
grandezas de uma mesma espécie. Por exemplo, suponha que você 
queira saber quantos litros de água cabem num dado garrafão. Para 
isso você pode enchê-lo completamente com água e, depois 
despejar essa água em garrafas com capacidade de um litro. Assim 
você descobre a capacidade do garrafão, 5 litros, por exemplo. 
Nesse procedimento você fez uma medição, ou seja, mediu o 
volume que o garrafão contém. Note que, para medir esse volume, 
você precisou usar outro volume que foi tomado como unidade de 
medida: o litro. Do mesmo modo, para medir o comprimento de uma 
corda, você precisa de outro comprimento tomado como unidade: o 
metro, por exemplo. Assim, você pode determinar quantos metros o 
comprimento da corda contém. 
CONCLUSÃO 
Tudo aquilo que pode ser medido utilizando-se um instrumento 
adequado, onde está registrada a unidade de medida, chama-se 
grandeza física. Medir uma grandeza física significa encontrar um 
número que indique quantas vezes ela contém uma unidade de 
medida. 
 
REFLITA! 
O que é uma 
grandeza física? Será 
todo observável que 
pode ser avaliado ou 
medi-do? 
Sobre tamanhos da 
Terra, da Lua e do 
Sol? 
Consulte o livro 
Física Conceitual de 
Paul G. Hewitt. 
Editora Bookman, 
Porto Alegre, 2002. 
Visite também o 
site:<http://www.zeni
te.nu/tema/> 
Quer saber mais! 
 
 
DESAFIO 
 
Cite outras grandezas físicas que você pode 
encontrar em seu dia-a-dia. 
SUGESTÃ0: Para conhecer mais sobre as diversas grandezas físicas e 
suas unidades, consulte os sites: 
www.demec.ufmg.br/disciplinas/ema003/SI.htm 
www.e-escola.pt/site/ftema.asp?tema=24&cana=2 
 
13 
 
 
Como vimos anteriormente, há tantas grandezas físicas que se 
torna difícil organizá-las, pois muitas não são independentes umas 
das outras. No entanto, entre todas as grandezas físicas envolvidas 
num dado sistema físico, podemos selecionar o menor número 
possível dessas, que fazem uma descrição física completa do 
sistema nos termos mais simples. Estas grandezas são chamadas 
de fundamentais. Daí então, atribuímos padrões para cada uma 
dessas grandezas fundamentais, sendo as demais grandezas 
derivadas. Um padrão é um modelo oficial de pesos e medidas 
legais que poderá ou não, ser reconhecido internacionalmente, é um 
aferidor da unidade. Por exemplo, a grandeza física massa, pode 
ser medida na unidade quilograma (kg), que por sua vez possui um 
modelo oficial internacionalmente reconhecido, chamado padrão de 
massa. A combinação de duas ou mais grandezas fundamentais 
resulta numa grandeza derivada, cujas unidades é uma combinação 
de unidades básicas. 
O padrão de qualquer medida deve ter as seguintes 
características: ser acessível, ser invariável no tempo e ter alta 
precisão. A busca de padrões com essas características, é uma 
importante tarefa científica dos físicos e pesquisadores em 
laboratórios de todo o mundo. 
Nos EUA, os Laboratórios do Instituto Nacional de Padrões e 
Tecnologia, antigo National Bureal of Standart, são os responsáveis 
pela manutenção, desenvolvimento e verificação dos padrões, tanto 
para pesquisadores de ciência básica como para cientistas e 
engenheiros na indústria. No Brasil, o órgão governamental 
incumbido nas questões relativas a padrões e unidades, é o Instituto 
Nacional de Metrologia, Normatização e Qualidade Industrial – 
 
14 
INMETRO (inserir <http://www.inmetro.gov.br/consumidor/unidLegais 
Med.asp>). 
 
1.2. Sistemas de Unidades 
A 14a. Conferência Geral sobre Pesos e Medidas (1971), 
selecionou como unidades básicas as sete unidades das 
grandezas fundamentais para formar a base do Sistema 
Internacional (SI) de unidades, apresentadas na Tab. 1, abaixo. 
Tabela 1- Unidades básicas do SI 
GRANDEZAS NOME SÍMBOLO 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
Corrente elétrica Ampère A 
Temperatura 
termodinâmica 
Kelvin K 
Quantidade de 
matéria 
mol mol 
Intensidade 
luminosa candela cd 
 
 
As demais unidades do sistema, denominadas derivadas, são 
definidas a partir das unidades fundamentais, tendo em vista 
expressões analíticas de leis físicas ou de equações de definição de 
grandezas. Por exemplos: área, velocidade, força, energia. 
Outros sistemas de unidades são ainda bastante utilizados no 
mundo inteiro, tais como, o sistema Gaussiano ou CGS (em 
mecânica) e o sistema britânico ou inglês. Em engenharia é muito 
comum se utilizar o sistema técnico. 
 
REFLITA! 
Você conseguiria 
imaginar um sistema 
de unidades de base 
que não inclua a 
grandeza física tempo? 
 
15 
1.3 Padrões de Comprimento, Massa e Tempo 
1.3.1. Padrão de comprimento 
O primeiro modelo de padrão internacional de comprimento, 
construído em 1889, foi uma barra de platina-irídio, chamada de 
metro padrão, mantida na Repartição Internacional de Pesos e 
Medidas, em Paris. Historicamente, o metro foi estabelecido como 
um décimo milionésimo (1/107) da distância do pólo norte ao 
equador, através do meridiano que passa por Paris. 
 Ao longo dos anos, com os avanços tecnológicos e as 
crescentes exigências de um padrão cada vez mais acessível, 
invariável e altamente preciso, o padrão de comprimento foi sendo 
redefinido. 
Em 1983 tivemos a última redefinição do metro, como a 
distância percorrida por uma onda luminosa em determinado 
intervalo de tempo. Segundo a 17a. Conferência Geral de Pesos e 
Medidas: 
“O metro é a distância percorrida pela luz, no vácuo, no 
intervalo de tempo de 1/299.792.458 do segundo”. 
1.3.2. Padrão de massa 
O padrão de massa do SI é um cilindro feito com uma liga de 
platina-irídio guardado também na Repartição Internacional de 
Pesos e Medidas, e designado, por acordo internacional, como 
sendo a massa de um quilograma. 
Na escala atômica, temos um segundo padrão de massa ou 
padrão secundário de massa, que não é uma unidade do sistema 
internacional. É a massa do átomo de C12, que por acordo 
internacional, foi designada como sendo uma massa de 12 unidades 
de massa atômica (abreviação u.m.a. ou simplesmente u), 
Sobre sistemas de 
unidades? Consulte o 
livro FISICA 1, 
Resnick, Halliday e 
Krane, editora LTC, 
Rio de Janeiro, 1996. 
Quer saber mais! 
 
 
 
16 
exatamente e por definição. As massas dos átomos podem ser 
comparadas entre si, com precisão maior do que se fossem 
comparadas com o quilograma padrão. A relação entre os dois 
padrões é 
1 u.m.a = 1,6605402 x 10-27 kg 
Precisamos de um segundo padrão de massa, porque as 
técnicas de laboratório atuais nos permitem comparar massas 
atômicas entre si, com muito maior precisão do que quando as 
comparamos com o quilograma padrão. Ainda está em estudos o 
desenvolvimento de um padrão de massa atômica para substituir o 
quilograma padrão. 
Uma unidade do SI correlata é o mol, que mede a quantidade 
de substância ou de matéria. Um mol de átomos de C12 tem uma 
massa de exatamente 12 gramas e contém uma quantidade de 
átomos numericamente igual à constante de Avogadro NA, que vale 
NA = 6,0221367x10
23 átomos por mol 
Este é um número determinado experimentalmente, com um 
incerteza de cerca de 1 parte em 1 milhão. 
1.3.3. Padrão de tempo 
Na maioria dos trabalhos científicos precisamos saber quanto 
dura um determinado evento? Por isso qualquer padrão de tempo 
deve ser capaz de responder a perguntas do tipo “Quando ocorre?” 
e “Quanto tempo dura?” 
Podemos usar qualquerfenômeno que se repete para medir o 
tempo. A medição é feita pela contagem das repetições e suas 
frações. Dos vários fenômenos repetitivos naturais, o movimento de 
rotação da Terra que determinar a duração dos dias, foi usado como 
REFLITA! 
Mencione alguns 
fenômenos repetitivos 
que ocorrem na 
natureza e que podem 
servir como um razoável 
padrão de tempo. 
 
17 
padrão de tempo durante séculos. Um segundo foi definido como a 
fração 1/86400 de um dia (período de 24 h). 
Várias tentativas de construção de padrão de tempo foram 
feitas ao longo dos anos, por exemplos relógios de cristal de 
quartzo, que operam baseados nas vibrações periódicas desse 
cristal alimentadas eletricamente. O melhor deles marca o tempo 
com um erro máximo acumulado de 5µs em um ano, mas mesmo 
essa precisão não é suficiente para a ciência e tecnologias atuais. 
Para suprir a necessidade de um padrão de tempo mais 
preciso, foram desenvolvidos relógios atômicos em vários países. 
Um relógio atômico baseado na freqüência característica emitida 
pelo átomo de césio, é mantido no Instituto Nacional de Padrões e 
Tecnologia dos EUA, formando a base para as Coordenadas de 
Tempo Universal (UTC) daquele país. 
O segundo, baseado no relógio de Césio, foi adotado como 
padrão internacional pela 13a. Conferência Geral de Pesos e 
Medidas, em 1967, com a seguinte definição: 
“Um segundo é o tempo de duração de 9.192.631.770 
vibrações de radiação (de um comprimento de onda específico) 
emitido pelo átomo de Césio” 
Dois relógios modernos de Césio poderiam funcionar por 
300.000 anos sem que suas leituras diferissem mais do que um 
segundo. 
 
1.4. Precisão de uma Medida e Algarismos Significativos 
Quanto melhor a qualidade de um instrumento de medida e 
mais sofisticadas as técnicas de medição, tanto maiores os níveis de 
precisão alcançáveis nos experimentos, isto é, os resultados das 
O que é precisão ou 
resolução de uma 
medida ou de um 
instrumento? 
Sobre Padrões de 
Comprimento, Massa e 
Tempo? 
Visite o site: 
www.ifi.unicamp.br/~grad
/f128/aulas/aula1.pdf 
Quer saber mais! 
 
 
18 
medições poderão conter mais algarismos significativos e, por 
conseqüência, reduzir a incerteza experimental do resultado. Tanto o 
número de algarismos significativos como a incerteza, nos dizem 
algo acerca da precisão estimada do resultado. Por exemplo, qual a 
medida mais precisa x = 3,03 m ou x = 3,03159 m? Quantos 
algarismos significativos têm cada medida? 
Observe que a segunda leitura foi obtida por um instrumento 
capaz de nos dar os décimos de milésimo da medida com certeza, 
isto é, a precisão do instrumento é de décimos de milésimos; 
enquanto a primeira leitura foi dada por um instrumento que nos 
forneceu apenas uma precisão de décimos da medida. Assim, 
através da primeira medida sabemos menos, sobre o valor da 
medida. 
Se ao medirmos com uma régua milimetrada, o comprimento 
de um disquete, encontrarmos um valor entre 8,8 e 8,9 cm, como 
mostrado na Fig. 1.1, quantos décimos de milímetros devemos 
considerar? É impossível precisar. 
 
 
 
 
 
 
 
O algarismo que deverá aparecer após o número 8 não carrega 
a mesma certeza que depositamos nos outros. Ele é por esta razão, 
denominado duvidoso ou avaliado, e os outros são algarismos 
 
LEMBRE-SE: 
Qualquer medida, 
independente da forma 
como é feita, carrega 
consigo uma imprecisão. 
Fig. 1.1 – Medida do comprimento de um disquete com uma 
régua milimetrada e a ampliação da leitura obtida. 
 
19 
corretos. Então, a medida do comprimento do disquete deverá ser 
expressa por quatro algarismos. Por exemplo, 8,83, 8,84 ou 8,86 cm. 
Os três algarismos dessas medidas são assim chamados, 
significativos. Algarismos significativos em uma medida são aqueles 
que sabemos estarem corretos e mais um avaliado ou duvidoso. 
Ao ler a medida de uma grandeza física é necessário 
observarmos a precisão do instrumento para que possamos utilizar 
os algarismos corretos e o primeiro algarismo duvidoso na 
expressão da leitura da medida. No nosso exemplo, não tem sentido 
registrarmos a medida do comprimento do azulejo como 8,843 cm. O 
algarismo 3 é desnecessário, porque o 4 que o antecede já é um 
algarismo duvidoso. 
Veja que é importante saber de fato, quantos algarismos 
significativos representam uma leitura dada por um instrumento de 
medida. Precisamos inclusive, ficar atentos também quando 
efetuamos cálculos com as medidas obtidas dos instrumentos, para 
não incluir demasiadamente algarismos nem excessivamente 
poucos. 
 
 
 
 
1.5. Atividade de Fixação 
1. Qual é a precisão de uma balança que nos dá a medida 3,5279 
kg? 
2. Uma pessoa, utilizando uma régua milimetrada, realiza a 
medição de uma haste metálica como mostra a Fig.1.2. Que 
leitura ela obtém? 
 
DESAFIO 
 
Pesquise sobre as regras usadas nas operações 
fundamentais com algarismos significativos. 
 
20 
3. Identifique quantos algarismos significativos e 
qual a precisão dos instrumentos, através das 
seguintes medidas: 
a) 20,20 m; 
b) 0,047 km; 
c) 4,00 m/s; 
4. Faça as operações e obtenha os resultados com o número 
correto de algarismos significativos. 
a) 2,4 m + 3,28 m + 2,319 m; 
b) 2,48 g x 3,14159 g; 
c) 9,8 g x 1,03 g; 
d) 45,98 h / 7,4 h. 
 
1.6. Cálculos de Médias, Erros e Desvio Padrão 
Como vimos anteriormente, no estudo da física estamos 
sempre envolvidos com medidas, e essas em geral, são afetadas 
por erros de diversas causas. Algumas destas causas têm origem na 
precisão e na exatidão dos instrumentos de medida. De forma 
simplificada, podemos dizer que um instrumento é preciso se a 
menor divisão de sua escala, chamada resolução, for pequena e, 
conseqüentemente, uma leitura (reprodutível) for acompanhada de 
pequena incerteza. O que é incerteza numa 
medida? 
Suponha que utilizemos uma régua graduada 
em centímetros para ler o comprimento de uma 
haste metálica, através de uma única leitura 
efetuada, conforme mostra a Fig. 1.3, abaixo. 
Fig.1.3: Medida de uma haste metálica 
com uma régua centimetrada 
Fig.1.2: medida de uma haste metálica 
com uma régua milimetrada. 
 
21 
O comprimento do objeto está entre 3 e 4 cm, podemos estimar 
a medida, por exemplo, para 3,8 cm, mas não podemos ter certeza. 
Podemos explicitar esta dúvida com o seguinte raciocínio: para que 
decidíssemos que o algarismo duvidoso fosse o oito, imaginamos 
subdivisões unitárias na escala (de 0,1 em 0,1cm), ao mesmo tempo 
em que observamos que a medida ultrapassou 3,5 cm, que é a 
metade da distância entre 3 e 4 cm. Assim, uma medida satisfatória 
para este caso, será 3,8 cm. Na verdade, isso significa que a 
extremidade do objeto deve estar além de 3,75 cm e aquém de 3,85 
cm. Logo a dúvida ou incerteza implícita na leitura pode ser 
explicitada, uma vez que, o comprimento do objeto (L) deva estar 
compreendido entre 3,75 e 3,85 cm, assim, 
3,75 cm ≤ L ≤ 3,85 cm. 
Esse intervalo dá-se o nome de intervalo de confiança da 
leitura, e essa leitura pode então ser escrita da seguinte forma: 
L = (3,80 ± 0,05) cm 
Observe que o zero após o oito foi escrito apenas para 
compatibilizar o valor da leitura com a sua incerteza, mas ao 
escrevermos a medida dessa forma, com três algarismos, 
continuamos tendo apenas dois algarismos significativos: o 
algarismo da unidade, que temos certeza, e o algarismo dos 
décimos que é o duvidoso. Isso percebemos claramente, 
observando os limites inferior e superior do intervalo que contém a 
medida L. 
Podemos generalizar para uma leitura estimada x , na qual a 
subdivisão avaliada é x∆ , da seguinte forma: 
2
x
xx
∆
±= ............................................ 1.1 
 
22 
Nessa expressão, x∆ é a subdivisão avaliada, que também 
podemos chamar de degrau da leitura, e o termo 
2
x∆
, metade da 
divisão avaliada, é chamado de imprecisão da leitura, imprecisão 
do instrumento ou desvioavaliado. Este é o critério da meia 
unidade na última casa. Alguns autores, por segurança, usam o 
critério da própria unidade avaliada, assim 
xxx ∆±= .................................1.2 
Vimos como expressar uma medida através de uma única 
leitura efetuada. Como uma leitura está sujeita a diversos tipos de 
erros, o mais correto seria executar a medição muitas vezes, isto é, 
N vezes, de forma independente, obtendo 1V , 2V , 3V , ... NV , e 
extrair do conjunto de leituras o seu valor médio, que será o 
resultado mais próximo possível do verdadeiro, ou mais provável. 
 O valor médio (V ) de uma série de leituras ( iV ) pode ser 
calculado da seguinte forma: 
∑=
N
iV
N
V
1
1
 .............................................. 1.3 
Onde iV é o valor da i-ésima leitura efetuada, escrita na forma 
implícita. 
Intuitivamente, percebemos que quanto maior for o número N 
de leituras efetuadas, mais próximo o valor médio V , deve estar do 
valor mais provável ou valor médio verdadeiro. 
Definimos o desvio de uma leitura particular i através da 
expressão 
VVV ii −=δ .............................................. 1.4 
Sobre algarismos 
significativos e 
incertezas? 
Visite o sites: 
http://efisica.if.usp.b
r/mecanica/basico/a
lgarismos/ 
http://efisica.if.usp.b
r/mecanica/universit
ario/incerteza/algari
smos/ 
Quer saber mais! 
 
 
23 
Quando executamos uma série de medições independentes, 
de uma determinada grandeza física, e calculamos seu valor mais 
provável ou valor médio, é de grande interesse encontrarmos o 
desvio médio associado a esta medida, para que possamos 
expressar seu resultado final através de um intervalo de confiança 
centrado em V . Com tal objetivo, podemos calcular o valor médio 
( Vδ ) dos desvios individuais (δVi) e, através dele, definir a amplitude 
do intervalo de confiança da medida. Como temos N desvios 
individuais, o desvio médio deve ser dado por 
i
N
i
V
N
V ∑
=
=
1
1
δδ ....................................... 1.5 
Lembrando que VVV ii −=δ , temos 
)(
1
1
VV
N
V i
N
i
−= ∑
=
δ ou ])[(
1
1
VNV
N
V
N
i
i −= ∑
=
δ ....1.6 
Por outro lado, através da definição dada para o valor médio 
V , podemos escrever 
VNV
N
i
i =∑
=1
 ..................................................1.7 
Substituindo a eq. (1.7) na eq. (1.6), encontramos 
0=Vδ .....................................................1.8 
o resultado é nulo, pois os desvios negativos (provenientes de 
leituras menores que o valor médio) anulam-se com os desvios 
positivos (provenientes de leituras maiores que o valor médio). 
Para contornar o problema da soma de desvios que se anulam, 
os desvios são definidos em termos da soma dos módulos dos 
desvios individuais. Assim sendo definimos: 
 
24 
- desvio médio absoluto (soma de módulos); 
- desvio relativo e percentual; 
- desvio padrão da média (soma de quadrados). 
O desvio médio absoluto ou simplesmente, desvio médio é 
dado por 
∑
=
=
N
i
iV
N
V
1
1
δδ ........................................ 1.8 
Nesse caso, o resultado final da medida deve ser expresso 
assim: 
VVV δ±= .................................... 1.9 
Onde V é o valor médio dos N dados obtidos e a incerteza é 
dada pelo desvio médio Vδ . A última expressão, Eq.(1.9), significa 
que o valor verdadeiro, desconhecido, deve estar dentro de um 
intervalo de confiança, esquematizado da seguinte forma: 
 
 
Não há garantias de que o valor verdadeiro esteja dentro deste 
intervalo, mas é provável que esteja. 
Os desvios relativo e percentual nos auxiliam a avaliar se um 
determinado desvio é “pequeno ou grande”, comparando-o com o 
valor médio. Isso é feito do seguinte modo: 
V
V
VR
δ
δ = ...................................... 1.10 
 
25 
Onde RVδ é o desvio relativo e dá a incerteza por unidade de 
medida da grandeza. A esse desvio multiplicado por 100 dá-se o 
nome de desvio percentual 
..................... 1.11 
O desvio padrão da média (soma de quadrados) é definido 
como o desvio padrão do valor médio das leituras, ou simplesmente, 
desvio padrão da média: 
 ∑
=
=
N
i
ivm V
N 1
2)(
1
δσ ..................... 1.12 
Com esse estudo, percebemos que o valor mais provável da 
medida de uma grandeza física se aproxima de seu valor médio, 
podendo desviar, para mais ou para menos, pelas quantidades Vδ 
ou vmσ . Assim, o valor verdadeiro escrito em função do intervalo de 
confiança dado pelo desvio padrão do valor médio, será 
)()( vmvvm VVV σσ +≤≤− 
ou ................. 1.13 
As últimas expressões, Eq.(1.13), mostram que o valor 
verdadeiro, deve estar dentro de um intervalo de confiança que 
podemos esquematizar da seguinte forma: 
 
 
Para um dado número de leituras efetuadas, quanto mais 
estreito for o intervalo de confiança do valor mais provável, menor 
será a variação dessa leitura. 
 
100x
V
V
Vp
δ
δ =
)( vmv VV σ±=
Cálculos de medias, 
erros e desvio 
padrão. 
Consulte SILVA, 
W.P. e SILVA, C. M. 
D. S. Tratamento de 
Dados 
Experimentais. 
Editora UFPB, João 
Pessoa, 1998. 
Saiba mais! 
 
 
26 
1.7. Análise Dimensional 
A cada grandeza física medida ou calculada podemos associar 
uma dimensão. As dimensões das grandezas não são afetadas 
pelas unidades dessas grandezas. Por exemplo, uma área continua 
sendo uma área, estando expressa em m2 ou em km2. 
Tal como foi feito para as grandezas fundamentais, podemos 
definir um conjunto de dimensões fundamentais, com base em 
padrões de medição independentes. Como a massa, o comprimento 
e o tempo são grandezas mecânicas elementares e independentes, 
podem servir como dimensões fundamentais, sendo representadas 
por M, L e T, respectivamente. Vamos usar colchetes [ ] para 
representar “a dimensão de”, por exemplo, se m é massa, x é 
distância, t tempo e a aceleração, as dimensões destas grandezas 
físicas são dadas respectivamente, por [m] = M, [x] = L, [t] = T e [a] 
= ML-2. 
A análise dimensional é muito importante no dia-a-dia de um 
físico, pois além de evitar erros ao escrever as equações, ela muitas 
vezes pode ajudar a resolvê-las. Qualquer equação deve ser 
dimensionalmente correta, ou seja, as dimensões devem ser as 
mesmas em ambos os membros da equação. 
 
1.8. Atividade de Fixação 
1. Resolva no mínimo 8 (oito) problemas da capítulo 1, do livro texto 
(Halliday, D., Resnick, R. e Krane, K. S. Física 1, LTC, 1996, Rio de 
Janeiro), distribuídos nas seções 3, 4, 5 e 6. 
 
2. Para medir o período de um pêndulo simples, um observador mediu 
um intervalo de tempo de 39,4 s para 30 oscilações. Depois, para 40 
oscilações, mediu 54,5 s. Numa terceira etapa, obteve 32,5 s para 25 
 
Sobre análise 
dimensional. 
Refaça os 
exemplos 4 e 5, 
resolvidos no livro 
FISICA 1, Resnick, 
Halliday e Krane, 
editora LTC, Rio de 
Janeiro, 1996, 
Cap.1, página 9. 
Saiba mais! 
 
27 
oscilações. Qual é o período do pêndulo em cada etapa? Qual o valor 
médio dos períodos obtidos? 
 
3. Dadas as leituras: 31,04,201 ±=L e 011,0452,02 ±=L , responda 
qual tem: 
a) a melhor precisão absoluta; 
b) a melhor precisão relativa. 
 
4. Em duas experiências diferentes sobre lançamento de projéteis, foram 
feitos vários lançamentos e ao final, obteve-se os seguintes alcances 
(em mm): 
EXPERIÊNCIA 1: L1 = 795; 805; 797; 800; 800; 803; 801; 803; 796; 
797; 803. 
EXPERIÊNCIA 2: L2 = 902; 902; 901; 902; 902; 902; 901; 902; 902; 
902. 
Desprezando os erros sistemáticos, faça o tratamento dos 
dados, calcule o desvio mais apropriado para L em cada experimento 
e expresse os dois alcances de forma mais adequada. 
 
5. Resolva no mínimo 8 (oito) problemas da capítulo 1, do livro texto 
(Halliday, D., Resnick, R. e Krane, K. S. Física 1, LTC, 1996, Rio de 
Janeiro), distribuídos nas seções 3, 4, 5 e 6. 
 
6. Para medir o período de um pêndulo simples, um observador mediu 
um intervalode tempo de 39,4 s para 30 oscilações. Depois, para 40 
oscilações, mediu 54,5 s. Numa terceira etapa, obteve 32,5 s para 25 
oscilações. Qual é o período do pêndulo em cada etapa? Qual o valor 
médio dos períodos obtidos? 
 
7. Dadas as leituras: 31,04,201 ±=L e 011,0452,02 ±=L , 
responda qual tem: 
a) a melhor precisão absoluta; 
b) a melhor precisão relativa. 
 
 
28 
8. Em duas experiências diferentes sobre lançamento de projéteis, foram 
feitos vários lançamentos e ao final, obteve-se os seguintes alcances 
(em mm): 
EXPERIÊNCIA 1: L1 = 795; 805; 797; 800; 800; 803; 801; 803; 796; 
797; 803. 
EXPERIÊNCIA 2: L2 = 902; 902; 901; 902; 902; 902; 901; 902; 902; 
902. 
Desprezando os erros sistemáticos, faça o tratamento dos 
dados, calcule o desvio mais apropriado para L em cada experimento 
e expresse os dois alcances de forma mais adequada. 
 
1.9. Experimente! 
MEDIÇÃO E TRATAMENTO DE DADOS EXPERIMENTAIS 
1. Objetivos 
• Distinguir grandezas físicas, unidades e padrões; 
• Reconhecer o sistema de unidade utilizado; 
• Fazer medidas utilizando corretamente o número de algarismos 
significativos; 
• Reconhecer a precisão de um instrumento de medida; 
• Fazer o tratamento de dados experimentais e definir o intervalo de 
confiança das leituras feitas nas medidas; 
2. Materiais 
• uma régua milimetrada 
• uma resma de papel A4 ou ofício 
3. Procedimento Experimental e Análise 
3.1. Meça, com uma régua milimetrada, a espessura de uma resma 
de papel, com uma única medida. 
REFLITA! 
Sobre os algarismos 
significativos. Cuidado 
na sua utilização. 
 
29 
A) Que grandeza física, que unidade e que padrão você utilizou na 
medida realizada? 
B) Você utilizou o sistema internacional de unidades? Explique. 
C) Expresse o valor obtido com seu intervalo de confiança. 
D) Qual o desvio médio e o desvio percentual da leitura mais 
provável? 
E) Qual a espessura média de cada folha? 
F) Qual o erro percentual obtido na leitura da medida de uma única 
folha? 
G) Estime o desvio percentual no caso da leitura ter sido feita 
usando-se somente 20 folhas. 
3.2. Faça 8 (oito) medidas, com uma régua milimetrada, da mesma 
resma de papel. 
A) Faça o tratamento dos dados, expressando finalmente, a medida 
com seu respectivo intervalo de confiança. 
B) Qual a espessura média de cada folha, obtida por esse processo? 
C) Qual o erro percentual obtido na leitura da medida de uma única 
folha? 
D) Estime o desvio percentual no caso da leitura ter sido feita 
usando-se somente 20 folhas. 
E) Se a medida da espessura da resma de papel fosse feita com um 
paquímetro, e se obtivesse 61,9 mm de desvio avaliado, faça 
análise seguinte. 
• Qual a precisão ou resolução do paquímetro usado? 
• Qual é a espessura média da de cada folha? 
• Qual deve ser o desvio percentual na espessura da folha? 
• Estime o desvio percentual no caso da leitura ter sido feita 
usando-se somente 20 folhas. 
4. Discussões e Conclusões 
A) Compare os métodos usados na medida da espessura da resma 
de papel, e discuta qual o mais preciso. 
 
30 
B) Faça uma crítica da experiência realizada e anote os 
conhecimento que você conseguiu construir, a partir dos dados, 
discussões e conclusões resultantes deste trabalho. 
 
1.10. Referências Bibliográficas 
1.10.1. Livro texto 
HALLIDAY, D., RESNICK, R., e KRANE, K. S. Física. Vol 1, 4A. ed., 
Editora LTC S.A., Rio de Janeiro, 1996. 
1.10.2. Bibliografia complementar 
HEWITT, Paul G. e BOOKMAN. Física Conceitual, Editora,Porto 
Alegre, 2002. 
SILVA, W.P. e SILVA, C. M. D. S. Tratamento de Dados 
Experimentais, Editora UFPB, João Pessoa, 1998. 
TIPLER, P. Física, Vol 1. 4a. ed. Editora Guanabara Dois, Rio da 
Janeiro, 1999. 
1.10.3. Web-bibliografia 
www.zenite.nu/tema/ 
www.demec.ufmg.br/disciplinas/ema003/SI.htm 
www.e-escola.pt/site/ftema.asp?tema=24&cana=2 
www.inmetro.gov.br/consumidor/unidLegaisMed.asp 
www.ifi.unicamp.br/~grad/f128/aulas/aula1.pdf 
http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/algarismos/ 
http://efisica.if.usp.br/mecanica/universitario/incerteza/algarismos/ 
 
31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
UNIDADE 2. Vetores 
2.1. Introdução ................................................................................. 33 
2.2. Adição de Vetores ..................................................................... 34 
2.2.1. Método geométrico e aplicações............................................ 35 
2.2.2. Método analítico ou das componentes e aplicações .............. 37 
2.3. Multiplicação de Vetores ........................................................... 40 
2.3.1. Multiplicação de um vetor por um escalar e aplicações ......... 41 
2.3.2. Produto escalar de dois vetores e aplicações ........................ 42 
2.3.2.1. Atividade de aprendizagem ................................................. 43 
2.3.3. Produto vetorial de dois vetores e aplicações ........................ 43 
2.4. Atividade de Fixação ................................................................. 45 
2.5. Experimente! ............................................................................. 46 
2.6. Referências Bibliográficas ......................................................... 47 
2.6.1. Livro texto .............................................................................. 47 
2.6.2. Bibliografia complementar ...................................................... 47 
2.6.3. Web-bibliografia ..................................................................... 47 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
2.1. Introdução 
Ao estudarmos os fenômenos físicos do dia-a-dia sempre nos 
deparamos com grandezas físicas, tais como: tempo, massa, 
energia temperatura, corrente elétrica etc, que são grandezas 
chamadas escalares. As grandezas escalares são aquelas que 
para serem bem compreendidas e, portanto, definidas, basta que se 
expresse a sua quantidade (módulo ou intensidade) e a unidade de 
medida. Por exemplo, a massa de um dado bloco é de 2,00 kg (qual 
a precisão desta balança?). As grandezas escalares são 
manipuladas matematicamente, pelas regras da álgebra ordinária. 
Nos deparamos também com grandezas vetoriais, aquelas 
grandezas representadas geometricamente por vetores, tais como: 
força, velocidade, aceleração, campo elétrico etc, que, para serem 
completamente definidas são necessários especificar seu módulo, 
direção e sentido. Observe que para você ter a informação completa 
sobre uma força que está sendo aplicada num bloco, você deve 
conhecer além de sua intensidade, sua direção e sentido; pois 
infinitas forças poderão atuar num bloco, se você não especificar 
pelo menos uma destas propriedades. As grandezas vetoriais são 
manipuladas matematicamente, pelas regras da álgebra vetorial. 
Observe que um vetor é um instrumento matemático que 
facilita a visualização e manipulação das grandezas física ditas 
vetoriais. Muitas das leis físicas podem ser expressas de forma 
compacta usando vetores, e as deduções que envolvem estas leis 
são freqüentemente muito simplificadas se usarmos esta 
representação. 
Nesta Unidade vamos nos deter ao formalismo vetorial e suas 
aplicações em mecânica básica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A lei do paralelogramo 
para a adição de 
vetores é tão intuitiva 
que sua origem é 
desconhecida. Pode ter 
aparecido com 
Aristóteles (384 – 322 a 
C.). Aparece na 
Mecânica de Herão 
(séc. I a C.) de 
Alexandria. Aparece 
também como o 
primeiro corolário no 
Principia Mathematica 
(1687) de Isaac Newton 
(1642-1727). No 
Principia, Newton lidou 
extensivamente com o 
que agora são 
consideradas entidades 
vetoriais (por exemplo, 
velocidade, força), mas 
nunca com o conceito 
de vetor. O estudo 
sistemático e o uso de 
vetores, já se deu no 
final século XIX. Os 
vetores bidimensionais 
surgiram com os 
números complexos por 
Argand (1768-1822) e 
Gauss (1777-1855). Foi 
muito usado por 
Hamilton,Grassmann, 
Lagrange e Laplace. 
Final do séc. XIX e 
início do séc. XX, 
Heaviside e Maxwell 
desenvolve-ram a 
análise vetorial. Os 
vetores hoje são a 
linguagem moderna de 
grande parte da física e 
da matemática 
aplicada. 
 
 
 
Quando surgiram 
os vetores? 
 
 
34 
2.2. Adição de Vetores 
Para representar um vetor num diagrama desenhamos uma 
flecha, como mostra a Fig. 2.1. O comprimento da flecha é 
proporcional ao módulo do vetor (isto é escolhe-se uma escala), e o 
sentido da flecha, é o sentido do vetor. 
De um modo geral, um vetor é representado 
em textos impressos por um símbolo em negrito, tal 
como d (é esta a notação que iremos utilizar), que 
denota o vetor com todas suas propriedades: 
módulo, direção e sentido. Na escrita manual 
normalmente colocamos uma flecha acima do 
símbolo para denotar uma grandeza vetorial, tal 
como d . Apenas o módulo do vetor é representado 
pelo letra d, em itálico. 
Consideremos dois vetores a e b como mostrados na Fig. 2.2. 
A adição de dois vetores a e b pode ser escrita da seguinte forma: 
a + b = s .................................... 2.1 
Como os vetores diferem de números ordinários, utilizamos 
regras diferentes em sua manipulação. O símbolo “+” na Eq. (2.1), 
tem um significado diferente do que possui na aritmética ou álgebra 
escalar, ele nos diz para efetuar um conjunto diferente de 
operações. 
A adição vetorial pode ser feita de duas formas ou métodos: 
• Método Geométrico e 
• Método Analítico ou das Componentes. 
 
 
 
Fig. 2.1: Diagrama representando um vetor 
d de módulo 24,0 u, direção 30° com a 
horizontal e sentido dado pela seta. 
Fig. 2.2: 
Representação de 
dois vetores a e b. 
 
35 
2.2.1. Método geométrico e aplicações 
Queremos efetuar a soma, expressa na Eq. (2.1), dos vetores a e b 
mostrados na Fig. (2.2), pelo método geométrico. As regras a serem 
seguidas para se realizar esta adição vetorial são as seguintes: 
I. trace o vetor a, preservando suas características, isto é, 
seu módulo (adote uma escala), sua direção e sentido, 
como mostrado na Fig. (2.3); 
II. desenhe o vetor b na mesma escala, com sua origem 
colocada na extremidade de a, certificando-se de que 
foram preservados sua direção e sentido; 
III. desenhe o vetor soma s obtido, com a origem na origem 
do vetor a, e extremidade na extremidade do vetor b. 
Se os vetores desta soma representarem deslocamentos, 
então o vetor s será o deslocamento equivalente, em comprimento, 
direção e sentido, aos deslocamentos sucessivos a e b. Esse 
procedimento pode ser generalizado para obter a soma de qualquer 
número de vetores. 
 
 
 
 
 
APLICAÇÃO 
Como você informaria para um amigo a posição de sua casa 
em relação ao seu Pólo de Apoio Presencial (PAP), de seu curso de 
EaD? 
 
Fig. 2.3: Vetor soma a + b = s, 
pelo método geométrico. 
 
DESAFIO 
 
Represente quatro vetores quaisquer, m, n, p, e y no 
plano, escolhidos por você, e efetue a soma vetorial 
pelo método geométrico. 
SUGESTÃO: Acesse o site de Laboratório Virtual de Física: 
http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm 
Faça o applet: Adição de Vetores I e II 
 
36 
Normalmente você dá ao seu amigo a posição de sua casa, 
fornecendo o nome da rua e o número da casa; quantas quadras ele 
tem que caminhar por sua rua, onde deve virar à direita ou à 
esquerda etc. Um mapa também ajudaria na localização. Você está 
usando a grandeza física deslocamento (que representa mudança 
de posição), que é uma grandeza física vetorial. 
Vamos admitir que você more na casa A, e que seu PAP fica 
localizado no ponto P, ambos representados no mapa da Fig 2.4. 
Quais os deslocamentos sucessivos que seu colega deverá fazer 
para ir do PAP à sua casa? E qual o deslocamento resultante entre 
sua casa e o PAP? 
 
 
 
 
 
 
 
Com uma régua milimetrada, você pode medir a distância entre 
os pontos A e P, anote o resultado obtido ___________ cm. Para 
obter a distância real, é preciso utilizar a escala do mapa. 
Consideremos que o mapa tenha sido feito na escala de 1,00 cm no 
mapa correspondendo a 10.000,00 m reais; logo, sua casa fica a 
uma distância da ordem de _____ m. 
Se você apenas informar ao seu amigo, que sua casa fica a 
________m do PAP, ele será capaz de localizá-la? 
 
Sobre as 
propriedades da 
adição vetorial. 
Consulte o livro 
FISICA 1, Cap. 2, 
Resnick, Halliday e 
Krane, editora LTC, 
Rio de Janeiro, 1996. 
Saiba mais! 
 
 
Fig. 2.4: Mapa mostrando a casa no ponto A e o PAP no ponto P 
 
37 
Provavelmente não, porque outras casas estarão também a 
essa mesma distância do PAP, como ilustra o próprio mapa. 
Que informações adicionais você deveria fornecer ao seu 
amigo, para que ele consiga chegar até sua casa, e ainda calcule o 
deslocamento que ele teria que fazer neste percurso? Ajude-o a 
resolver esta situação. 
2.2.2. Método Analítico ou das Componentes e Aplicações 
O método analítico envolve a decomposição de um vetor em 
suas componentes com relação a um sistema particular de 
coordenadas. Para adicionar vetores pelo método analítico ou das 
componentes, primeiramente, precisamos recordar como decompor 
um vetor em suas componentes. 
Considere agora o vetor a do plano xy, já mostrado na Fig. 2.2, 
formando um ângulo 1α com o eixo x. Considere também, que as 
coordenadas do plano xy, abcissa x e ordenada y, são orientadas, 
respectivamente, pelos vetores unitários i, j (vetores cujo módulo é 
igual a unidade), como mostra a Fig. 2.5. O vetor a em função de 
suas componentes pode ser escrito como 
jia yx aa += ........................ (2.2) 
Agora escreva as componentes do vetor a, em termos 
de seu módulo e de sua direção. 
Inversamente, também podemos calcular seu módulo 
em termos de suas componentes, bem como de sua 
direção. Faça isso agora. 
Suponha que desejamos, agora, adicionar ao vetor 
jia yx aa += , pelo método das componentes, um novo vetor 
Recorde como 
decompor um vetor em 
suas componentes 
escalares. Faça para o 
caso de um vetor no 
plano xy. 
 
Fig. 2.5: Vetor a tem componentes 
ax na direção de i e ay na direção j. 
y 
α1 
 
38 
jib yx bb += que forma um ângulo 2α , com o eixo 
x, como mostra a Fig. 2.6, obtendo um vetor s, tal 
que 
bas += ..................... (2.3) 
Podemos escrever a Eq. (2.3), como 
 )()( jijiji yxyxyx bbaass +++=+ 
ou ................ (2.4) 
 jiji )()( yyxxyx babass +++=+ 
Veja que, igualando as componentes de ambos os lados da Eq. 
(2.4), obtemos 
 xxx bas += 
 ou ............................ (2.5) 
 yyy bas += 
Estas duas equações algébricas, em conjunto, são 
equivalentes a relação vetorial da Eq. (2.3). 
 
 
 
 
Você deve ter encontrado o módulo e a direção do vetor s, 
dados por 
2222 )()()()( yyxxyx babasss +++=+= ...........(2.6) 
e 
Fig 2.6: Adição dos vetores a e b pelo método 
das componentes. 
 
 
DESAFIO 
 
Observe o vetor s, na Fig.2.6. 
Como poderíamos projetar suas componentes nas 
coordenadas do plano xy? Tente fazê-lo. Além de 
especificar as componentes de s, podemos também 
calcular seu módulo e direção. Tente encontrá-los? 
 
 
39 
xx
yy
x
y
ba
ba
s
s
tg
+
+
==ϕ ...................................................(2.7) 
onde ϕ é o ângulo que o vetor s faz com o eixo x. 
Assim, podemos escolher entre as descrições de um vetor em 
termos de suas componentes, xs e ys , e a equivalente descrição em 
termos de seu módulo s e direção ϕ . 
Enfim, a soma de vetores pelo método analítico ou das 
componentes, como mostrada na Fig.2.6, é efetuada da seguinte 
forma: (1) decompõe-se cada vetor em suas componentes, com 
atenção para seus sinais algébricos; (2) soma-se as componentes 
em cada eixo coordenad, levando em consideração o sinal algébrico. 
Assomas obtidas são as componentes do vetor soma, com 
estas podemos facilmente reconstruir o vetor s da Fig. 2.6. 
Agora consideremos um vetor V no espaço, cuja 
origem está num sistema de coordenadas cartesianas 
(xyz), orientadas, respectivamente, pelos vetores 
unitários i, j, k, e formando um ângulo β com o eixo z, 
como mostra a Fig 2.7. 
Ao traçarmos perpendiculares da extremidade do 
vetor, a cada um dos eixos, as grandezas xV , yV e zV 
formadas, são as componentes cartesianas do vetor V. 
Uma maneira fácil, que freqüentemente usamos, para 
representar graficamente as componentes em três 
dimensões (3D), é a seguinte: traçamos primeiramente a projeção 
do vetor V no plano xy (desenhe esta projeção), e a partir de sua 
extremidade, podemos encontrar as componentes individuais xV e 
yV , através de retas perpendiculares a estas coordenadas. O vetor V 
é completamente e univocamente especificado por essas 
Fig. 2.7: Vetor V no espaço 3D em 
função de suas componentes 
kjiV VVV ++= 
 
40 
componentes. Dadas xV , yV e zV podemos imediatamente 
reconstruir o vetor V em termos dos vetores unitários, como 
kjiV zyx VVV ++= ...................... (2.8) 
As componentes do vetor V são facilmente encontradas de 
suas definições. Da geometria da Fig. 2.7, e considerando o ângulo 
entre a projeção do vetor V no plano xy e a coordenada x, um ângulo 
θ podemos deduzir as componentes do vetor V, como 
θβCosVSenVx = 
θβSenVSenVy = ........................................(2.9) 
βVCosVz = 
Analogamente, ao que foi feito para duas dimensões, 
podemos escolher entre as descrições de um vetor em termos de 
suas componentes, xV , yV , e zV , e a equivalente descrição em 
termos de seu módulo V e direção, através de seus ângulos 
diretores. Encontre-os. 
 
2.3. Multiplicação de Vetores 
Assim como as escalares, grandezas vetoriais de dimensões 
diferentes podem ser multiplicadas, gerando assim, grandezas 
físicas de dimensões novas. Como os vetores têm direção e sentido, 
além de módulo, a multiplicação vetorial não pode seguir 
exatamente as mesmas regras algébricas da multiplicação escalar. 
Por esse motivo são estabelecidas novas regras para multiplicação 
de vetores. 
São definidos três tipos de operações básicas de multiplicação 
com vetores, a saber: 
Sobre componentes 
de um vetor em 3D. 
Consulte o livro: 
Resnick, Halliday e 
Krane, FISICA 1, 
Cap. 2, pág.36. 
Editora LTC, Rio de 
Janeiro, 1996. 
Saiba mais! 
 
 
41 
• Multiplicação de um vetor por um escalar; 
• Multiplicação de dois vetores resultando num escalar,é o 
chamado produto escalar, produto interno ou produto ponto; 
• Multiplicação de dois vetores resultando num vetor,é o chamado 
de produto vetorial, produto externo ou produto ponto. 
A seguir descreveremos cada tipo de operações. 
2.3.1. Multiplicação de um vetor por um escalar e aplicações 
 Observe que quando multiplicamos um vetor a por um 
escalar k, obtendo um vetor b, isto é, 
ab k= ...................................... (2.10) 
o módulo do vetor b é aumentado pelo fator k, sua direção 
não é alterada e seu sentido é definido pelo sinal do escalar 
k. Observe que, se k > 0, o vetor b terá mesmo sentido de a, 
e o vetor b terá sentido contrário de a se k < 0. Veja o que 
mostra a Fig. 2.8, b = 2a, o vetor b tem a mesma direção e sentido 
do vetor a, porém módulo igual ao dobro do módulo de a; temos 
também ac
2
3
−= , onde o vetor c tem mesma direção de a, porém 
sentido contrário e módulo 
2
3
 vezes o módulo do vetor a. 
Em Física encontramos muitas situações em que usamos este 
produto. Veja alguns exemplos: 
I. Segunda lei de Newton aF m= , nesta caso, veja que a força 
terá sempre mesma direção e sentido da aceleração, pois a 
massa m é um escalar sempre maior que zero. 
II. Momento linear vp m= . 
III. A força elástica rF k= etc 
Fig.2.8: Multiplicação de um 
vetor a pelo escalar k = 2 e 
pelo escalar k = -3/2. 
 
42 
Para dividir um vetor por um escalar, basta multiplicá-lo pelo 
inverso do escalar. Sendo assim, não é necessário definir divisão de 
um vetor por um escalar, pois a multiplicação já inclui estes casos. 
 
 
 
 
2.3.2 Produto escalar de dois vetores e aplicações 
O produto escalar entre dois vetores, é também conhecido 
como produto interno ou produto ponto. Este produto de dois vetores 
a e b quaisquer, é definido por 
αabCos=ba. .......................................... 2.11 
onde a é o módulo do vetor a, b é o módulo do vetor b e α é o 
ângulo entre os vetores a e b,como mostra a Fig. 2.9. Observe que 
este produto de dois vetores resulta num escalar. 
Pela definição de produto escalar, dada pela Eq. 2.11, este 
produto se resume, no produto do módulo de um vetor pela 
componente do outro vetor na direção do primeiro, como indica a 
Fig.2.9, pois )(. αbCosa=ba ou baCos )(. α=ba . 
A definição de um produto vetorial, nos permite escrever um 
número importante de grandezas físicas, tais como: 
• trabalho mecânico: dF.=Τ ; 
• energia potencial gravitacional: dg.=gU ; 
• potencial elétrico: dE.=eU ; 
Fig.2.9: Produto escalar 
entre os vetores a e b, que 
formam entre si um ângulo 
α . 
 
DESAFIO 
 
Encontre outras aplicações do produto de um escalar 
por um vetor. Consulte em revistas, livros ou mesmo 
na internet, outros exemplos de grandezas físicas 
que são dadas pelo produto de um escalar por um 
vetor. 
 
 
43 
• potência: vF.=P 
 
 
 
 
2.3.2.1. Atividade de aprendizagem 
1. Faça os produtos escalares entre os vetores unitários paralelos 
do plano cartesiano: i.i, j.j e k.k; 
2. Faça o produto escalar entre os vetores unitários 
perpendiculares entre si, do plano cartesiano: j.i; j.k e i.k. 
3. Com base nos resultados acima, como encontrar o trabalho 
realizado por uma força dada por kjiF 342 −+= aplicada 
sobre um bloco de massa M, produzindo no mesmo um 
deslocamento espacial dado por kjid 24 ++−= ? Qual o 
módulo e direção da força aplicada? 
2.3.3. Produto vetorial de dois vetores e aplicações 
O produto vetorial entre dois vetores é também conhecido 
como produto externo ou produto cruz. Este produto para dois 
vetores a e b quaisquer, é definido por 
ubac )( ϕabSenx == ....................................... (2.12) 
onde ϕ é o menor ângulo entre os vetores a e b, e u é um vetor 
unitário perpendicular ao plano formado pelos vetores a e b. 
Observe que este produto de dois vetores resulta num vetor, no 
nosso caso no vetor c, cuja direção, como já dissemos, é 
perpendicular ao plano formado pelos vetores que estão sendo 
multiplicados a e b, como mostrada na Fig. 2.10. O sentido de c é 
O produto vetorial de 
dois vetores a e b, 
resulta num vetor cuja 
direção é perpendicular 
ao plano formado pelos 
vetores multiplicados. 
Faça essa análise. 
 
DESAFIO 
 
 
Encontre outros exemplos de grandezas físicas, que 
são escritas em termos de um produto escalar de 
dois vetores. 
 
 
44 
dado pelo vetor unitário u, que por sua vez tem o sentido dado pela 
regra da mão direita. Como entender esta regra? 
Para entender a regra da mão direita, observe a Fig. 2.10, onde 
os vetores a e b foram desenhados com uma origem comum. 
Imagine um eixo perpendicular ao plano de a e b que passe pela 
origem. Coloque todos os seus dedos, com exceção do polegar, na 
direção do primeiro vetor do produto, o vetor a; rebata-o na direção 
do segundo vetor, o vetor b, pelo menor ângulo possível entre eles. 
A direção do polegar, que coincidirá com a direção do eixo 
perpendicular ao plano formado por a e b, será a direção do vetor 
resultante do produto vetorial bax , veja a Fig. 2.10a . Quando 
comutamos os vetores do produto, isto é, quando fazemos o produto 
abx , obtemos um vetor simétrico, mostrando que o poduto vetorial 
não obedece a propriedade comutativa de dois vetores. Veja na Fig.2.10b, dois sentidos (opostos) para o vetor c, que é perpendicular ao 
plano. 
 
 
 
 
 
 
Observe que os dois vetores a e b, formam um plano, e o vetor 
bac x= , apontando para cima, bem como o vetor abc x=′ , 
apontando para baixo, são antiparalelos e perpendiculares a este 
plano. Assim, 
cc ′−= 
ou .................................................... (2.13) 
Fig. 2.10: A regra da mão direita para produtos vetoriais: (a) para o produto c = 
a x b . (b) para o produto c` = b x a. 
(a) (b) 
 
45 
abba xx −= 
Existem muitas grandezas físicas que resultam do produto 
vetorial de dois vetores, tais como: 
• momento de uma força ou torque Frx=τ ; 
• momento angular FrL x= ; 
• força sobre uma carga em movimento em um campo magnético 
B , dada por BvF xq= 
 
 
 
2.4. Atividade de Fixação 
1. É possível que dois vetores com módulos diferentes possam ser 
combinados de modo a dar resultante nula? 
2. Uma grandeza física vetorial pode ter módulo igual a zero, se um 
dos seus componentes for diferente de zero? 
3. Você pode ordenar os acontecimentos no tempo. Por exemplo, o 
evento B pode preceder o evento C, porém seguir o evento A, 
dando a ordenação temporal A, B e C. Conseqüentemente, 
existe um sentido para o tempo, distinguindo o passado do 
presente e do futuro. Será que o tempo, então é uma grandeza 
vetorial? Se não, por quê? 
4. Explique em que sentido uma equação vetorial contém mais 
informações que uma equação escalar? 
5. Analise em que condições os seguintes produtos acontecem: 
A) a . b = 0 
B) a x b = 0 
C) a . b = ab 
 
DESAFIO 
 
Encontre outros exemplos de grandezas físicas, que 
são obtidas de um produto vetorial de vetores. 
 
 
46 
6. Usando a definição de produto interno entre dois vetores, mostre 
que: 
A) i . i = j . j = k . k = 1 
B) i. j = j . k = k . i = 0 
7. Usando a definição de produto externo entre dois vetores, 
mostre que: 
A) i x i = j x j = k x k = 0 
B) k x i = j 
C) j x k = i 
D) i x j = k 
E) j x i = - k 
8. Faça pelo menos oito poblemas, do capítulo 3 do nosso livro 
texto. 
9. Que força de atrito lhe permite andar, se num exercício de 
Cooper você desenvolve uma aceleração dada pelo vetor a = 3i 
+ 2j, sendo o plano xy, o plano do chão no qual você caminha? 
10. Uma mosca está presa numa caixa em forma de paralelepípedo 
de 5cm de aresta. Num dado instante ela está posicionada no 
interior da caixa, numa posição que projetada em cada arestas 
da caixa encontra-se 2 cm. Qual o vetor que melhor indica a 
posição da mosca no interior da caixa, considerando que as 
arestas podem ser orientadas por i, j e k? 
 
2.5. Experimente! 
Realize o exprimento, envolvendo Vetores, encontrado no site: 
http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.h
tml 
 
 
47 
2.6. Referências Bibliográficas 
2.6.1. Livro texto 
HALLIDAY, D., RESNICK, R., e KRANE, K. S. Física. Vol 1, 4A. ed., 
Editora LTC S.A., Rio de Janeiro, 1996. 
2.6.2. Bibliografia complementar 
HEWITT, Paul G. e BOOKMAN. Física Conceitual, Editora,Porto 
Alegre, 2002. 
NUSSENZVEIG, H. M., Curso de Física Básica, Vol 1, Editora 
Edgard Blucher, São Paulo, 1996. 
SERWAY, R. A. Física para Cientistas e Engenheiros com Física 
Moderna, Vol. 1. 3a. ed. Editora LTC S.A, Rio de Janeiro,1997 
TIPLER, P. Física, Vol 1. 4a. ed. Editora Guanabara Dois, Rio da 
Janeiro, 1999. 
2.6.3. Web-bibliografia 
http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm 
http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.h
tml 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
UNIDADE 3. Cinemática da Partícula 
3.1. Introdução ................................................................................. 50 
3.2. Descrição Geral do Movimento de uma Partícula ..................... 53 
3.2.1. O movimento é relativo: posição e referencial ....................... 53 
3.2.2. Trajetória ................................................................................ 57 
3.2.3. Grandezas físicas gerais da cinemática ................................ 58 
3.2.4. Atividade de aprendizagem ................................................... 65 
3.3. Movimento de uma partícula com velocidade constante .......... 70 
3.4. Movimento de uma partícula com aceleração constante .......... 73 
3.4.1. Movimento retilíneo uniformemente variado .......................... 74 
3.4.2. Movimento circular e uniforme ............................................... 77 
3.4.3. Movimento circular uniformemente variado ........................... 82 
3.5. Movimentos combinados de uma partícula ............................... 83 
3.5.1. Lançamento oblíquo .............................................................. 84 
3.5.2. Lançamento horizontal ........................................................... 87 
3.6. Atividade de Fixação ................................................................. 87 
3.7. Experimente! ............................................................................. 88 
3.8. Referências Bibliográficas ........................................................ 89 
3.8.1. Livro texto .............................................................................. 89 
3.8.2. Bibliografia complementar ..................................................... 89 
3.8.3. Web-bibliografia ..................................................................... 89 
 
 
 
 
 
 
50 
3.1. Introdução 
Desde a mais remota Antigüidade, o homem preocupou-se em 
explicar os fenômenos que a natureza punha à sua frente. O 
movimento dos corpos foi o alvo das primeiras atenções. 
Aristóteles, Arquimedes, Ptolomeu, Copérnico, Galileu, Kepler, 
Newton e Einstein, são alguns dos grandes expoentes que 
contribuíram para a evolução dos conhecimentos estudados pela 
Mecânica. Assim, a Mecânica é um dos mais antigos ramos da 
Física, e tem como objeto de estudo, o movimento e o repouso dos 
corpos. Mas veja que a Mecânica, mais precisamente a Mecânica 
Clássica, estuda o movimento dos corpos, sem levar em conta os 
movimentos microscópicos que acontecem no seu interior, tais 
como, oscilações de núcleos atômicos e movimentos de elétrons. 
Por exemplo, a Mecânica estuda o movimento de um automóvel 
numa estrada, no entanto, não se preocupa com a agitação dos 
átomos e moléculas da estrutura do automóvel. 
Por conveniência didática, o estudo da Mecânica é dividido em 
três partes: 
- Cinemática; 
- Estática e 
- Dinâmica. 
A Cinemática é a parte da Mecânica que trata do repouso e do 
movimento, apenas descrevendo-os, isto é, sem considerar as 
causas que determinam o estado de repouso ou as características 
do estado de movimento. As grandezas físicas envolvidas neste 
estudo são as fundamentais, comprimento e tempo, e as derivadas 
destas, tais como posição, deslocamento, velocidade e 
aceleração. 
 
 
 
 
 
 
 
Aristóteles (384 a 
322 a C.), foi um dos 
mais importantes 
filósofos da 
Antiguidade, 
dedicando-se 
também à política, à 
crítica e à ética. 
Particularmente na 
Física, sua obra 
refere-se ao estudo 
dos movimentos, 
incluindo o dos 
corpos celestes. 
Arquimedes (287-
212 a C.), foi 
considerado o pai da 
ciência mecânica. 
Ptolomeu (87-150 
d.C.) foi um grande 
astrônomo grego da 
Antiguidade; 
desenvolveu um 
modelo para o mundo 
no qual a Terra 
ocupava o centro, 
modelo esse que 
predominou até o 
início do século XVI. 
 
Começaram o 
estudo sobre 
movimentos 
 
 
51 
Estática é a parte da Mecânica que investiga o equilíbrio dos 
corpos sujeitos a forças, portanto, trata-se das forças aplicadas às 
massas. 
A Dinâmica é a parte da Mecânica que relaciona os 
movimentos com as forças a eles associadas e com as propriedades 
dos objetos que se deslocam, pois o movimento é determinadopela 
natureza e disposição de outros corpos que constituem sua 
vizinhança. Assim as grandezas físicas utilizadas na Dinâmica são 
as envolvidas em Cinemática e as envolvidas na Estática, isto é, 
deslocamento, velocidade, aceleração, tempo, massa e força. 
Esta unidade será dedicada ao estudo dos movimentos dos 
corpos, do ponto de vista da Cinemática, ou seja, iremos aqui, 
apenas fazer uma descrição dos movimentos dos corpos sem levar 
em consideração a influência da vizinhança (forças) sobre os 
mesmos. 
Em Cinemática podemos tratar um corpo em movimento de 
três formas diferentes, com grau de complexidades crescentes, a 
saber: 
- Podemos fazer um tratamento idealizado, considerando-o como 
partícula, ou seja, utilizando o modelo físico de partícula. 
- Podemos tratar o corpo como um conjunto de partículas que 
guardam relações fixas entre si, e considerar o movimento de 
todas elas simultaneamente. Neste caso, o corpo é um corpo 
rígido; 
- Podemos tratar um corpo como um conjunto de partículas que se 
movimentam entre si, enquanto o corpo se desloca. Este é o caso 
do movimento de corpos deformáveis. 
Assim sendo, a maneira mais simplificada de se estudar o 
movimento de um corpo é considerando-o como partícula, ou seja, 
 
Copérnico 
(1473-1543) 
 Foi um grande 
astrônomo, 
matemático, 
sacerdote, diplomata, 
médico e economista. 
Em seu livro: Sobre as 
Revoluções dos 
Corpos Celestes, 
apresentou a Teoria 
Heliocêntrica, que 
proporcionou uma vi-
são completamente 
nova do universo 
Galileu (1564-1642) 
fez sucessivos 
aperfeiçoamento na 
luneta, então recém-
inventada na Holanda. 
Com o uso deste 
instrumento, Galileu 
fez observações 
astronômicas, o que 
lhe ajudou a defender 
o odelo Heliocêntrico. 
Newton (1642-1727), 
promoveu o início de 
uma verdadeira 
revolução na ciência 
física, ao formular as 
três leis báicas da 
mecânica, isto é, os 
princípios 
fundamentais que são 
usados até hoje para 
analisar o movimento 
dos corpos. 
 
 
52 
consideramos um objeto complexo, sem dimensões como se fosse 
um único ponto com massa. 
Sabemos da experiência diária que, uma bola, por exemplo, ao 
se deslocar (movimento de translação), pode também girar em torno 
de seu próprio eixo (movimento de rotação) ou mesmo vibrar. 
Entretanto, se considerarmos a bola como uma partícula, estas 
complicações poderão se evitadas. Matematicamente, uma partícula 
é tratada como um ponto, um objeto sem dimensões, de tal maneira 
que rotações e vibrações não estão envolvidas em seu movimento, 
mas apenas translações. 
Na realidade, um objeto sem dimensões não existe na 
natureza, entretanto, mesmo que um corpo seja muito grande, em 
um problema particular, ele poderá sempre ser considerado como 
constituído de um grande número de partículas. Se estas partículas 
fazem parte de uma estrutura rígida que constitui o corpo, o estudo 
do movimento de uma das partículas substitui o estudo do 
movimento de translação do corpo como um todo. E assim, um 
corpo não precisa ser "pequeno", para ser tratado como partícula. 
Por outro lado, mesmo que o corpo apresente outros 
movimentos além do de translação, em uma dada situação 
particular, desprezando estes movimentos este corpo pode ser 
considerado uma partícula. Outra análise bastante comum, feita ao 
se considerar um corpo como partícula, é a que considera as 
dimensões do corpo em estudo, realmente desprezíveis, 
comparadas com as dimensões envolvidas no problema, por 
exemplo, no estudo do movimento da Terra em torno do Sol, as 
dimensões destes astros comparadas com as distâncias que os 
separa, são tais que, podemos considerá-los como partículas, e 
podemos, sem erro apreciável, descobrir muitas coisas sobre o 
movimento do Sol e dos planetas. 
Sobre translação, 
rotação e vibração. 
Consulte o site.... 
Saiba mais ! 
REFLITA! 
O estudo dos fenômenos 
mecânicos é um dos 
pilares da compreensão 
física da natureza, pois o 
movimento está presente 
em todos os fenômenos, 
de alguma forma. 
Relembre alguns desses 
fenômenos. 
 
53 
O modelo físico de partículas tem uma implicação que 
contribui para sua simplicidade, a de reduzir os movimentos do 
corpo, apenas para o de translação, pois uma partícula possui 
apenas movimento de translação. Observe que um carrinho 
descendo um plano inclinado satisfaz este requisito, ou seja, pode 
ser estudado satisfatoriamente por este modelo, no entanto, uma 
roda girante não satisfaz esta exigência, pois um ponto da periferia 
da roda move-se diferentemente de um ponto de seu eixo. 
 
3.2. Descrição Geral do Movimento de uma Partícula 
Estudaremos aqui, os conceitos básicos relacionados aos 
movimentos dos corpos, tais como, os conceitos de posição, 
referencial, trajetória, deslocamento, caminho percorrido, 
velocidades e acelerações. Estes conceitos, como já vimos, 
constituem a base da Cinemática, e são gerais, válidos para todo 
tipo de movimento. 
3.2.1. O movimento é relativo: posição e referencial 
Tudo na natureza se move, mesmo o que parece estar em 
repouso move-se relativamente ao Sol e às estrelas. Enquanto você 
está lendo este texto, está se movendo aproximadamente a 107.000 
km/h em relação ao Sol. E está se movendo ainda mais 
rapidamente, em relação ao centro de nossa galáxia. Quando 
discutimos o movimento de um corpo, descrevemos relativamente a 
alguma outra coisa. Por exemplo, se você caminha no corredor de 
um ônibus em movimento, sua rapidez ou velocidade em relação ao 
piso do ônibus, provavelmente é completamente diferente de sua 
velocidade em relação a uma pessoa numa posição fixa da estrada. 
Quando dizemos que um carro de Fórmula 1, alcança a velocidade 
de 400 km/h, queremos dizer que tal velocidade é relativa à estrada. 
 
54 
Assim, podemos dizer que o movimento é relativo, isto é, depende 
do que você toma como referencial. 
Em todos os casos em que você percebe que um objeto está 
em movimento, a posição do objeto em relação a você, está 
variando com o decorrer do tempo. Da mesma forma, você identifica 
que uma lâmpada do teto de seu quarto está em repouso em relação 
as paredes, porque ela continua sempre na mesma posição com o 
passar do tempo. 
Então, para definir movimento e repouso de um dado corpo, 
necessitamos ter noção de sua posição ou posições ocupadas em 
relação a um dado referencial. 
 
 
 
Você deve ter observado que, para definir a posição de uma 
partícula precisamos tomar algo como referência, formalmente 
podemos considerar este referencial como um sólido ou conjunto de 
sólidos indeformáveis, por exemplo, as paredes, o chão e o teto da 
sala, conjunto esse, dotado de um sistema de eixos coordenados 
mutuamente ortogonais, orientados por seus respectivos vetores 
unitários, como mostra a Fig. 3.1, onde é dada a posição de uma 
lâmpada em relação a um canto da sala, que constitui o referencial 
Oxyz. Para descobrir se essa partícula está em repouso ou em 
movimento, precisamos ainda medir o intervalo de tempo, de modo 
que, junto ao sólido de referência, deverá existir um relógio. 
Assim, de fato, podemos generalizar o conceito de referencial 
como, um conjunto indeformável de sólidos dotados de um sistema 
de eixos coordenados mutuamente ortogonais orientados por seus 
respectivos vetores unitários, e um relógio. 
REFLITA! 
Um corpo pode estar em 
movimento em relação a 
um certo observador e 
estar em repouso em 
relação a um outro 
observador? Dê 
exemplos dessa 
situação. 
REFLITA1 
Podemos generalizar 
conceito de referencial, 
como um conjunto 
indeformável de 
sólidos dotados de um 
sistema de eixos 
coordenadas 
mutuamente 
ortogonais, orientados 
por seus respectivos 
vetores unitários, e um 
relógio. Dê exemplos 
de corpos em 
movimento com seus 
respectivos 
referenciais. 
 
DESAFIO 
 
Com as idéias discutidas até agora, construa o 
conceito de movimento e repouso. 
 
 
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Agora você está preparado