LIsta de Exercícios - Análise Combinatória - Com Gabarito Comentado - Prof Aruã Dias

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1. (Fuvest 2013) Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato Brasileiro, sendo 
seis deles paulistas. Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus adversários. A 
porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é 
a) menor que 7%. 
b) maior que 7%, mas menor que 10%. 
c) maior que 10%, mas menor que 13%. 
d) maior que 13%, mas menor que 16%. 
e) maior que 16%. 
 
2. (Enem 2019) Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma 
locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 
1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 
na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados 
crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura. 
 
 
 
De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que 
podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por 
a) 4 3 3 212 12 12 12C C C C   
b) 4 3 3 212 8 5 2C C C C+ + + 
c) 4 3 212 8 5C 2 C C   
d) 4 3 212 12 12C 2 C C+  + 
e) 4 3 3 212 8 5 2C C C C   
 
3. (Enem 2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de 
abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para 
compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para 
realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio 
campo, e o segundo seria o time visitante. 
 
A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos 
times do jogo de abertura podem ser calculadas através de 
a) uma combinação e um arranjo, respectivamente. 
b) um arranjo e uma combinação, respectivamente. 
c) um arranjo e uma permutação, respectivamente. 
d) duas combinações. 
e) dois arranjos. 
 
4. (Enem 2016) O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, 
entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro. 
Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico 
do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não 
poderão ser ambos canhotos. 
 
Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição? 
a) 
10! 4!
2! 8! 2! 2!
−
 
 
 
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b) 
10! 4!
8! 2!
− 
c) 
10!
2
2! 8!
−

 
d) 
6!
4 4
4!
+  
e) 
6!
6 4
4!
+  
 
5. (Ebmsp 2017) Cada uma das 12 pessoas inscritas para participar de um trabalho voluntário 
recebeu um crachá com um número de identificação distinto – de 1 a 12 – de acordo com a 
ordem de inscrição. 
 
Desejando-se organizar grupos formados por três pessoas que não estejam identificadas por 
três números consecutivos, o número máximo possível de grupos distintos que se pode formar 
é 
a) 230 
b) 225 
c) 220 
d) 215 
e) 210 
 
6. (Enem 2018) O Salão do Automóvel de São Paulo é um evento no qual vários fabricantes 
expõem seus modelos mais recentes de veículos, mostrando, principalmente, suas inovações 
em design e tecnologia. 
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 4 fev. 2015 (adaptado). 
 
 
Uma montadora pretende participar desse evento com dois estandes, um na entrada e outro na 
região central do salão, expondo, em cada um deles, um carro compacto e uma caminhonete. 
Para compor os estandes, foram disponibilizados pela montadora quatro carros compactos, de 
modelos distintos, e seis caminhonetes de diferentes cores para serem escolhidos aqueles que 
serão expostos. A posição dos carros dentro de cada estande é irrelevante. 
 
Uma expressão que fornece a quantidade de maneiras diferentes que os estandes podem ser 
compostos é 
a) 410A 
b) 410C 
c) 2 24 6C C 2 2   
d) 2 24 6A A 2 2   
e) 2 24 6C C 
 
7. (Fuvest 2018) Doze pontos são assinalados sobre quatro segmentos de reta de forma que 
três pontos sobre três segmentos distintos nunca são colineares, como na figura. 
 
 
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O número de triângulos distintos que podem ser desenhados com os vértices nos pontos 
assinalados é 
a) 200. 
b) 204. 
c) 208. 
d) 212. 
e) 220. 
 
8. (Ebmsp 2018) Os professores X e Y receberam ajuda financeira para levarem três alunos 
de cada um deles a um encontro científico. Na relação de possíveis integrantes desse grupo, 
foram selecionados, dos alunos de X, 4 homens e 3 mulheres e, dos alunos de Y, 3 
homens e 4 mulheres. 
 
Sabendo-se que os professores não têm alunos em comum, pode-se afirmar que o número 
máximo de formas distintas de se compor um grupo com 3 estudantes homens e 3 
estudantes mulheres, para ir ao encontro, é 
a) 144 
b) 161 
c) 324 
d) 468 
e) 485 
 
9. (Ebmsp 2017.2) Um grupo de idosos formado por 3 homens e X mulheres, alunos de um 
curso de teatro, reuniu-se em uma sala para uma leitura conjunta de um texto a ser encenado. 
Sabe-se que, antes do início da leitura, as mulheres cumprimentaram os homens e se 
cumprimentaram entre si, mas os homens cumprimentaram, apenas, as mulheres; esse 
comportamento resultou em um total de cumprimentos de número par e que não excedeu a 42. 
Com base nessa informação, pode-se afirmar que a quantidade de possíveis valores distintos 
para X é 
 
A) 2 
B) 3 
C) 4 
D) 5 
E) 6 
 
10. (Ebmsp 2018.1) Os professores X e Y receberam ajuda financeira para levarem três alunos 
de cada um deles a um encontro científico. Na relação de possíveis integrantes desse grupo, 
foram selecionados, dos alunos de X, 4 homens e 3 mulheres e, dos alunos de Y, 3 homens e 
4 mulheres. 
Sabendo-se que os professores não têm alunos em comum, pode-se afirmar que o número 
máximo de formas distintas de se compor um grupo com 3 estudantes homens e 3 estudantes 
mulheres, para ir ao encontro, é 
 
A) 144 
B) 161 
 
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C) 324 
D) 468 
E) 485 
 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
O número total de jogos disputados é dado por 
 
20, 2
20!
A 20 19 380.
18!
= =  = 
 
Logo, como o número de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é 
 
6, 2
6!
A 6 5 30,
4!
= =  = 
 
segue que a porcentagem pedida é igual a 
 
30
100% 7,9%.
380
  
 
Resposta da questão 2: 
 [E] 
 
Existem 
12
4
 
 
 
 modos de escolher os vagões pintados na cor vermelha, 
8
3
 
 
 
 maneiras de 
escolher os vagões pintados na cor azul, 
5
3
 
 
 
 modos de escolher os vagões que serão 
pintados na cor verde e 
2
2
 
 
 
 maneiras de escolher os vagões pintados na cor amarela. 
Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 
12 8 5 2
.
4 3 3 2
       
         
       
 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Para o grupo A a ordem dos elementos não importa o que nos leva a pensar numa 
combinação. 
Mas no jogo de abertura existe o time que jogará em sua caso, então temos um arranjo. 
Logo a alternativa A é a correta. 
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
Desde que o número de maneiras de escolher dois tenistas quaisquer é 
10 10!
,
2 2! 8!
 
= 
 
 e o 
número de modos de escolher dois tenistas canhotos é 
4 4!
,
2 2! 2!
 
= 
 
 tem-se que o resultado é 
dado por 
10! 4!
.
2! 8! 2! 2!
−
 
 
 
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Resposta da questão 5: 
 [E] 
 
De 1 até 12, temos 10 números consecutivos, pois o primeiro deles não pode ser o 11 e nem 
o 12. 
Total de grupos formados por 3 pessoas: 
12,3
12!
C 220
3! 9!
= =

 
 
Portanto, o número máximo de grupos que se pode formar de modo que os crachás nãos 
sejam identificados por três números consecutivos será: 
220 10 210.− = 
 
Resposta da questão 6: 
 [C] 
 
Em relação aos carros que ficarão na entrada, existem 4 maneiras de escolher o compacto e 
6 modosde escolher a caminhonete. Já para o estande da região central, tem-se 3 escolhas 
para o compacto e 5 para a caminhonete. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que o 
número de possibilidades para compor os estandes é igual a 
6 4
4 6 3 5 2 2
2 2
4 6
2 2.
2 2
   
   =      
   
   
=      
   
 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
Há 
12 12!
220
3 3! 9!
 
= = 
 
 maneiras de escolher três pontos quaisquer. Dentre essas 
possibilidades, devemos descontar aquelas em que não se pode formar um triângulo. Temos 
dois segmentos de reta que apresentam quatro pontos cada um, resultando, portanto, em 
4
2 2 4 8
3
 
 =  = 
 
 possibilidades. 
A resposta é 220 8 212.− = 
 
Resposta da questão 8: 
 [E] 
 
Considere a tabela, que explicita as possibilidades de escolhas para X e Y. 
 
X Y 
homem mulher homem mulher 
0 3 3 0 
1 2 2 1 
2 1 1 2 
3 0 0 3 
 
Portanto, o resultado é dado por 
 
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4 3 3 4 4 3 3 4 4 4
1 1 144 324 16
1 2 2 1 2 1 1 2 3 3
485.
                   
+    +    +  = + + +                   
                   
=
 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Resposta da questão 10: 
 [E]