Continuidade de uma Função de duas Variáveis

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Filipe Carlitos Alfredo
CD
Continuidade de uma Função de varias Variáveis
Uma função = = é CONTÍNUA NO PONTO se:
· ;
· ;
· =;
Caso particular do 
Seja f : D ⊂ → uma função de duas variáveis e (, ) D.
Dizemos que f é contínua em (, ) se satisfaz as condições:
(i) f (, ) existe
(ii) existe
(iii) = f (, )
Uma função é CONTÍNUA quando é contínua em todos os pontos de seu domínio.
Proposição:
Sejam f e g funções de duas variáveis contínuas no ponto (, ), então:
· f +g é contínua em (, )
· f- g é contínua em (, )
· f .g é contínua em (, )
· f /g é contínua em (, ) , desde que g(, )0
Sejam w= f(u) e z= g. Se g é contínua em (, ) e f é contínua em (, ) , então a função composta f og é contínua em (, ) .
A partir das proposições anteriores podemos afirmar que:
· Uma função polinomial de duas variáveis é contínua em 
· Uma função racional de duas variáveis é contínua em todos os pontos do seu domínio.
· Uma função é CONTÍNUA quando é contínua em todos os pontos de seu domínio.
Exemplo :	 se (x, y) (0, 0)
 Vamos verificar se a função f (x, y) = 	 
	 0, se (x, y) = (0, 0) 
é contínua em (0, 0) .
Resolução: Devemos verificar se f satisfaz as condições citadas acima, então temos:
(i) Como f (0, 0) = 0, a primeira condição está satisfeita. 
(ii) Consideremos = {(x, y) ; x = 0} . Notemos que é exatamente o eixo y e é um caminho que passa pelo ponto (0, 0) . Assim: =
Considere agora = {(x, y) ; y = kx}. Note que é o conjunto de retas que passam pelo ponto (0, 0) . Assim:
Considerando e então não existe. Logo, f(x, y) não é contínua em (0, 0).
Bibliografia 
GALVÃO, Lauro César e NUNES, Luiz Fernando. Apostila-Cálculo Diferencial e Integral II. Universidade Tecnológica Federal do Paraná.
DE FIGUEIREDO, Elisandra Bär. Et all. Apostila de cálculo Diferencial e integral ii.UDESC.2012