LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS pdf

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LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÃO DE DUAS 
VARIÁVEIS
EDNELMA BRANCO MADEIRA
LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÃO 
DE DUAS VARIÁVEIS
O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um
valor (x0,y0), é o número L (se existir) e é representado por
Lyxf
yxyx

 ),(),( 00
),(lim
Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no
ponto (x0, y0), dizemos que a função é contínua neste ponto.
Caso contrário a função será descontínua no ponto.
LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÃO 
DE DUAS VARIÁVEIS
O conceito de limite de funções ordinárias pode ser estendido para
funções de várias variáveis. Assim, diz-se que f(x,y) tende para um valor
definido L (ou que lim f(x,y) = L), quando o par (x,y) se aproxima de
(xo,yo), se quanto mais perto (x,y) estiver de (xo,yo), mais perto f(x,y)
estará de L.
Lyxf
ou
Lyxf
yxyx
yy
xx
o
o
o





),(lim
 
),(lim
),(),( 0
PROPRIEDADE DOS LIMITES
 lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝐿 = 𝐿
 lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝐾. 𝑓 𝑥, 𝑦
𝐾. lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓 𝑥, 𝑦
𝐾. 𝐿
 lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
[𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝑔 𝑥, 𝑦 ]
lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓 𝑥, 𝑦 + lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑔 𝑥, 𝑦
𝐿 +𝑀
 lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
[𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝑔 𝑥, 𝑦 ]
lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓 𝑥, 𝑦 − lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑔 𝑥, 𝑦
𝐿 −𝑀
lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓 𝑥,𝑦
.𝑔 𝑥,𝑦
lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓 𝑥, 𝑦
lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑔 𝑥, 𝑦
𝐿
𝑀
 lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓 𝑥, 𝑦
lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓 𝑥, 𝑦
EXEMPLO 01
Calcule os limites abaixo:
a) lim
(𝑥;𝑦)→(−1;2)
𝑥4𝑦2−3𝑥𝑦
2𝑥+5𝑦
b) lim
(𝑥;𝑦)→(1;3)
ln(2𝑥 + 3𝑥𝑦 − 10)
c) lim
(𝑥;𝑦)→(0;2𝜋)
cos(2𝑥 + 𝑦)
d) lim
(𝑥;𝑦)→(0;0)
𝑒2𝑥𝑦
e) lim
(𝑥;𝑦)→(0;0)
10
3𝑥2−2𝑦²
EXEMPLO 01
Calcule os limites abaixo:
a) lim
(𝑥;𝑦)→(−1;2)
𝑥4𝑦2−3𝑥𝑦
2𝑥+5𝑦
−1 4. 22 − 3. −1 . 2
2. −1 + 5.2
10
8
b) lim
𝑥;𝑦)→(1;3
ln 2𝑥 + 3𝑥𝑦 − 10
ln(2.1 + 3.1.3 − 10)
ln 2 + 9 − 10
ln(1)
5
4
0
EXEMPLO 01
Calcule os limites abaixo:
c) lim
𝑥;𝑦)→(0;2𝜋
)co s( 2𝑥 + 𝑦
cos 2.0 + 2𝜋
cos 2𝜋
d) lim
𝑥;𝑦)→(0;0
𝑒2𝑥𝑦
𝑒2.0.0
𝑒0
e) lim
𝑥;𝑦)→(0;0
10
3𝑥2 − 2𝑦²
10
3.02 − 2.0²
10
0
1 1
+∞
EXERCÍCIO 01
Calcule os limites abaixo:
a) lim
𝑥;𝑦)→(−1;1
𝑥3𝑦 + 4
𝑥 + 𝑦 − 2
b) lim
𝑥;𝑦)→(1;2
ln 𝑥2 + 𝑥𝑦 − 1
c) lim
𝑥;𝑦)→(0; 𝜋 2
sin 𝑥 + 𝑦
d) lim
𝑥;𝑦)→(0;0
4
2𝑥2 − 𝑦²
EXERCÍCIO 01
Calcule os limites abaixo:
a) lim
𝑥;𝑦)→(−1;1
𝑥3𝑦+4
𝑥+𝑦−2
−1 3. 1 + 4
−1 + 1 − 2
−1.1 + 4
−2
−3
2
b) lim
𝑥;𝑦)→(1;2
ln 𝑥2 + 𝑥𝑦 − 1
ln(12 + 1.2 − 1)
ln 1 + 2 − 1
ln(2)
EXERCÍCIO 01
Calcule os limites abaixo:
c) lim
𝑥;𝑦)→(0; 𝜋 2
sin 𝑥 + 𝑦
sin(0 + 𝜋 2)
1
d) lim
𝑥;𝑦)→(0;0
4
2𝑥2 − 𝑦²
4
2.02 − 0²
4
0
+∞
EXEMPLO 02
Calcule os limites abaixo:
a) 𝒍𝒊𝒎
(𝒙;𝒚)→(𝟎;𝟎)
𝒙𝟐−𝒚²
𝒙𝟐+𝒚²
→
02−0²
02+0²
→
lim
𝑥=0
𝑦→0
02−𝑦²
02+𝑦²
→ lim
𝑥=0
𝑦→0
−𝑦²
𝑦²
→ lim
𝑥=0
𝑦→0
−1 →
lim
𝑥→0
𝑦=0
𝑥2−0²
𝑥2+0²
→ lim
𝑥→0
𝑦=0
𝑥²
𝑥²
→ lim
𝑥→0
𝑦=0
1 →
0
0
IND
−1
1
∄ 𝑁ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
EXEMPLO 02
Calcule os limites abaixo:
b) 𝒍𝒊𝒎
(𝒙;𝒚)→(𝟎;𝟎)
𝟔𝒙𝒚
𝟑𝒙𝟐+𝟑𝒚²
→
6.0.0
3.02+3.0²
→
lim
𝑥=0
𝑦→0
6.0.𝑦
3.02+3𝑦²
→ lim
𝑥=0
𝑦→0
0
3𝑦²
→ lim
𝑥=0
𝑦→0
0 →
lim
𝑥→0
𝑦=0
6.𝑥.0
3𝑥2+3.0²
→ lim
𝑥→0
𝑦=0
0
3𝑥²
→ lim
𝑥→0
𝑦=0
0 →
lim
𝑥→0
𝑦=𝑥
6.𝑥.𝑥
3𝑥2+3𝑥²
→ lim
𝑥→0
𝑦=𝑥
6𝑥²
6𝑥²
→ lim
𝑥→0
𝑦=𝑥
1 →
0
0
IND
1
0
0
∄ 𝑁ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
EXEMPLO 02
Calcule os limites abaixo:
c) 𝒍𝒊𝒎
(𝒙;𝒚)→(𝟎;𝟎)
𝒙𝒚²
𝒙𝟐+𝒚𝟒
→
0.0²
02+04
→
lim
𝑥→0
𝑦=0
𝑥𝑦²
𝑥2+𝑦4
→ lim
𝑥→0
𝑦=0
𝑥.0²
𝑥2.04
→ lim
𝑥→0
𝑦=0
0
𝑥²
→ lim
𝑥→0
𝑦=0
0 →
lim
𝑥=0
𝑦→0
𝑥𝑦²
𝑥2+𝑦4
→ lim
𝑥=0
𝑦→0
0𝑦²
02+𝑦4
→ lim
𝑥=0
𝑦→0
0
𝑦4
→ lim
𝑥=0
𝑦→0
0 →
lim
𝑥→0
𝑦=𝑥
𝑥𝑦²
𝑥2+𝑦4
→ lim
𝑥→0
𝑦=𝑥
𝑥.𝑥²
𝑥2+𝑥4
→ lim
𝑥→0
𝑦=𝑥
𝑥³
𝑥2.(1+𝑥2)
→ lim
𝑥→0
𝑦=𝑥
𝑥
1+𝑥²
→
0
1+0²
→
0
1
→
0
0
0
0
0
IND
EXEMPLO 02 - CONTINUAÇÃO
lim
𝑥→0
𝑦=𝑥²
𝑥𝑦²
𝑥2+𝑦4
→ lim
𝑥→0
𝑦=𝑥²
𝑥.(𝑥2)²
𝑥2+(𝑥²)4
→ lim
𝑥→0
𝑦=𝑥²
𝑥.𝑥4
𝑥2+𝑥8
→ lim
𝑥→0
𝑦=𝑥²
𝑥5
𝑥2.(1+𝑥6)
→ lim
𝑥→0
𝑦=𝑥²
𝑥³
1+𝑥6
→
0³
1+06
→
0
1
→
lim
𝑥=𝑦²
𝑦→0
𝑥𝑦²
𝑥2+𝑦4
→ lim
𝑥=𝑦²
𝑦→0
𝑦2.𝑦²
𝑦2 2+𝑦4
→ lim
𝑥=𝑦²
𝑦→0
𝑦4
𝑦4+𝑦4
→ lim
𝑥=𝑦²
𝑦→0
𝑦4
2𝑦4
→ lim
𝑥=𝑦²
𝑦→0
1
2
→
0
1
2
∄ 𝑁ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
EXERCÍCIO 02
Calcule o limite abaixo:
lim
𝑥;𝑦)→(0;0
4𝑥𝑦
2𝑥2 + 2𝑦²
EXERCÍCIO 02
𝒍𝒊𝒎
(𝒙;𝒚)→(𝟎;𝟎)
𝟒𝒙𝒚
𝟐𝒙𝟐+𝟐𝒚²
→
4.0.0
2.02+2.0²
→
lim
𝑥=0
𝑦→0
4.0.𝑦
2.02+2𝑦²
→ lim
𝑥=0
𝑦→0
0
2𝑦²
→ lim
𝑥=0
𝑦→0
0 →
lim
𝑥→0
𝑦=0
4.𝑥.0
2𝑥2+2.0²
→ lim
𝑥→0
𝑦=0
0
2𝑥²
→ lim
𝑥→0
𝑦=0
0 →
lim
𝑥→0
𝑦=𝑥
4.𝑥.𝑥
2𝑥2+2𝑥²
→ lim
𝑥→0
𝑦=𝑥
4𝑥²
4𝑥²
→ lim
𝑥→0
𝑦=𝑥
1 →
0
0
IND
0
0
1
∄ 𝑁ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
TEOREMA DO LIMITE DO PRODUTO ENTRE 
UMA FUNÇÃO QUE TENDE A ZERO E UMA 
FUNÇÃO LIMITADA
lim
(𝑥;𝑦)→(0;0)
𝑓 𝑥, 𝑦 . =
0
𝑔 𝑥, 𝑦
LIMITADA
lim
(𝑥;𝑦)→(0;0)
𝑓 𝑥, 𝑦 . =
𝑔 𝑥, 𝑦
0 NÃO LIMITADA
0
∄ 𝑁ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
EXEMPLO 01
𝒍𝒊𝒎
𝒙;𝒚)→(𝟎;𝟎
𝒙³
𝒙𝟐 + 𝒚²
→
0³
02 + 0²
→
lim
𝑥;𝑦)→(0;0
𝑥 . →
lim
𝑥=0
𝑦→0
𝑥²
𝑥2 + 𝑦²
→ lim
𝑥=0
𝑦→0
0²
02 + 𝑦²
→ lim
𝑥=0
𝑦→0
0
𝑦²
→ lim
𝑥=0
𝑦→0
0 →
lim
𝑥→0
𝑦=0
𝑥²
𝑥2 + 𝑦²
→ lim
𝑥→0
𝑦=0
𝑥²
𝑥2 + 0²
→ lim
𝑥→0
𝑦=0
𝑥²
𝑥2
→ lim
𝑥→0
𝑦=0
1 →
0
0
IND
𝑥²
𝑥2 + 𝑦²
LIMITADA
0
0
1
EXEMPLO 02
𝐥𝐢𝐦
𝒙;𝒚)→(0;0
𝒙²
𝒙2 + 𝒚²
→
0²
02 + 0²
→
lim
𝑥;𝑦)→(0;0
𝑥. →
lim
𝑥=0
𝑦→0
𝑥
𝑥2 + 𝑦²
→ lim
𝑥=0
𝑦→0
0
02 + 𝑦²
→ lim
𝑥=0
𝑦→0
0
𝑦²
→ lim
𝑥=0
𝑦→0
0 →
lim
𝑥→0
𝑦=0
𝑥
𝑥2 + 𝑦²
→ lim
𝑥→0
𝑦=0
𝑥
𝑥2 + 0²
→ lim
𝑥→0
𝑦=0
𝑥
𝑥2
→ lim
𝑥→0
𝑦=0
1
𝑥
→
0
0
IND
𝑥
𝑥2 + 𝑦²
NÃO LIMITADA
∄ 𝑁ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
+∞
0
EXERCÍCIO 01
𝐥𝐢𝐦
(𝒙;𝒚)→(𝟎;𝟎)
𝒙²
𝒙𝟐 + 𝒚²
Calcule o limite, caso exista:
EXERCÍCIO 01
Calcule o limite, caso exista:
lim
𝑥;𝑦)→(0;0
𝑥. =
lim
𝑥=0
𝑦→0
𝑥
𝑥2 + 𝑦²
→ lim
𝑥=0
𝑦→0
0
02 + 𝑦²
→ lim
𝑥=0
𝑦→0
0
𝑦²
→ lim
𝑥=0
𝑦→0
0
𝑦
→ lim
𝑥=0
𝑦→0
0 →
lim
𝑥→0
𝑦=0
𝑥
𝑥2 + 𝑦²
→ lim
𝑥→0
𝑦=0
𝑥
𝑥2 + 0²
→ lim
𝑥→0
𝑦=0
𝑥
𝑥2
→ lim
𝑥→0
𝑦=0
𝑥
𝑥
→ lim
𝑥→0
𝑦=0
1 →
𝐥𝐢𝐦
(𝒙;𝒚)→(𝟎;𝟎)
𝒙²
𝒙𝟐 + 𝒚²
𝑥
𝑥2 + 𝑦²
LIMITADA
0
0
1
OBRIGADO(A)
EDNELMA BRANCO 
MADEIRA
(93)992050785
270102988@prof.unama.br
PROFESSORA