Operações Algébricas ENEM

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Victor Lima 
@EXATAS.TUTORIA | @VICTORFTX 
Operações 
Algébricas 
RESUMOS + QUESTÕES RESOLVIDAS+MACETES 
 
 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 1 
 Razão é o resultado de uma divisão 
A
B
 
 Proporção é uma igualdade entre duas razões 
𝐴
𝐵
=
𝐶
𝐷
 
 
 Grandezas diretamente proporcionais 
 
 
É quando as razões entre os 
correspondentes forem iguais: 
𝐴
𝐵
=
𝐶
𝐷
= 𝐾 
 
EX: Velocidade e distância, Gravidade e Peso 
 
 Grandezas inversamente proporcionais 
 
É quando os números são diretamente 
proporcionais ao inverso dos 
correspondentes: 
𝐴
1
𝐵
=
𝐶
1
𝐷
= 𝐾 
 EX: Velocidade e Tempo 
 
 “ Regra de três simples ” se 
baseia em: 
o Agrupar grandezas da mesma espécie 
na mesma coluna; 
o Identificar se as grandezas são 
inversamente proporcionais ou não; 
o Usar a regra de meio pelos extremos 
para realizar o cálculo; 
 
 “ Regra de três composta ” 
se baseia em: 
o Utilizar três ou mais colunas para 
efetuar uma resolução de problema; 
o Separar as colunas pela quantidade de 
grandezas dadas na situação 
problema; 
o Diferenciar as grandezas pelas 
proporcionalidade com O PRINCIPAL 
EVENTO 
 
 
 
 
 
É uma proporção correlacionada 
a uma totalidade (100%). 
Definida por: 
 
Eventos totais--------------100% 
Evento requerido---------- P% 
 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 2 
 
Usa-se essas técnicas para resolver 
situações problemas que envolvem: 
o Divisão de grandes quantidades em grupos 
específicos; 
o Encontros de eventos que não coincidem com o 
tempo de partida. 
EX: médicos plantonistas que querem saber qual dia 
vão se encontrar sabendo que cada um faz plantão a 
cada 3, 5 e 7 dias 
 
 Mínimo múltiplo comum 
 
 
1º FATORAR; 
2ºCALCULO DO MMC: 
 
 Valor do MMC 
 
 
 
Máximo divisor comum 
 
 
1ºFATORAR; 
2ºCALCULO DO MDC: 
 
 Número que divide 
 Todos os elementos 
 Questões sobre eficiência: 
1.Um tanque possui duas torneiras, 
sendo uma de entrada, que o enche em 5 
horas, e outra de saída, que o esvazia em 
7 horas. Supondo que esse tanque esteja 
totalmente vazio e que as torneiras 
sejam abertas, ao mesmo tempo, às 15 
horas, então, ele ficará totalmente cheio 
às 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Logo, 
1
𝑡𝑅
=
1
𝑡𝐴
−
1
𝑡𝐵
 
1
𝑡𝑅
=
1
5
−
1
7
 = 2t=35: . t=17,5h 
 
Nesse caso o ralo se relaciona a uma vazão 
(variação de volume dividido pela variação de 
tempo) negativa e a torneira se relaciona 
com uma vazão negativa. 
 
 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 3 
 Questões sobre eficiência: 
2.Um tanque possui duas torneiras, a primeira 
torneira funciona sozinha enche um tanque em 3 
horas, a segunda torneira funciona sozinha o mesmo 
tanque em 6 horas. Em quanto tempo essas duas 
torneiras juntas, enchem esse mesmo tanque. 
 
 
RESOLUÇÃO: 
1
𝑡𝑅
=
1
𝑡𝐴
+
1
𝑡𝐵
 
1
𝑡𝑅
=
9
18
 Tr=2h 
 
3.Um tanque possui três torneiras. A primeira 
torneira sozinha enche este tanque em 9 horas. A 
segunda torneira enche em 12 horas e a terceira 
torneira enche esse tanque em 18 horas, trabalhando 
cada uma delas isoladamente. Em quanto tempo as 
três torneiras trabalhando juntas encherão esse 
tanque? 
 
RESOLUÇÃO: 
1
𝑡𝑅
=
1
𝑡𝐴
+
1
𝑡𝐵
+
1
𝑡𝐶
 
1
𝑡𝑅
=
1
9
+
1
12
+
1
18
 = Tr=4h 
 
 
4.Em uma fábrica de bebidas, a máquina que 
envasa refrigerantes é capaz de encher 150 
garrafas de 2 L a cada minuto e funcionar 
ininterruptamente durante 8 horas por dia.Para 
atender uma encomenda de 198 000 garrafas de 
2 L, a máquina é colocada para funcionar todos 
os dias, a partir do dia 10, sempre das 8 h às 16 
h. 
 
RESOLU RESOLUÇÃO: 
 150 garrafas/min X 60 minutos=9000 garrafas 
 9000 X 8 horas/dia= 72000 garrafas/dia 
 198000/72000= 2,75 dias= 2 dias e 6 horas 
 Resposta: dia 12 às 14h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 4 
 Questões sobre Proporção: 
 5.Um pintor dispõe de 35 litros de tinta vermelha e 
de 30 litros de tinta branca. Ele deseja misturar essas 
tintas na proporção de 5 litros de tinta vermelha para 
cada 3 litros de tinta branca para obter um tom de tinta 
mais claro. Para obter o maior volume possível de 
tinta misturada, ele deverá utilizar toda a tinta 
disponível de uma das cores e sobrará uma 
certa quantidade de tinta da outra cor. 
 
RESOLUÇÃO: 
(Tinta vermelha) (Tinta branca) 
5L ______________3L Brancos 
35L______________x L Brancos 
X= 21 L 
Logo, 30-21= 9L (SOBRA) 
6.ENEM:A Lei da Gravitação Universal, de Isaac 
Newton, estabelece a intensidade da força de atração 
entre duas massas. Ela é representada pela 
expressão: 
 
onde m1 e m2 correspondem às massas dos corpos, 
d à distância entre eles, G à constante universal da 
gravitação e F à força que um corpo exerce sobre o 
outro. O esquema representa as trajetórias circulares 
de cinco satélites, de mesma massa, orbitando a 
Terra. 
 
 
 
 
 
 
Qual o gráfico expressa as intensidades das 
forças que a Terra exerce sobre cada satélite em 
função do tempo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 5 
 
RESOLUÇÃO: 
Devido a proporcionalidade inversa da distância e da força 
gravitacional 
 
7. Uma indústria tem um reservatório de água com 
capacidade para 900 m³. Quando há necessidade 
de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser 
escoada. O escoamento da água é feito por seis 
ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está 
cheio. Esta indústria construirá um novo 
reservatório, com capacidade de 500 m³, cujo 
escoamento da água deverá ser realizado em 4 
horas, quando o reservatório estiver cheio. Os 
ralos utilizados no novo reservatório deverão ser 
idênticos aos do já existente. 
A quantidade de ralos do novo reservatório deverá 
ser igual a 
RESOLUÇÃO: 
Capacidade(m³) Raios Tempo(h) 
900 6 6 
500 X 4 
 
6
𝑥
=
900
500
 .
4
6
 
X=5 ralos 
8.Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem 
de um remédio que precisava dar a seu filho. Na 
bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas 
para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas. Se 
a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio 
a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal 
dele é de: 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
Gota Fração de Kilo Tempo(h) 
5 /2Kg 8 
30 Peso do filho 8 
 
 Coluna 
 Nula 
 Filho terá 12Kg 
9.ENEM 2015 
Uma confecção possuía 36 
funcionários, alcançando uma 
produtividade de 5 400 camisetas por 
dia, com uma jornada de trabalho diária 
dos funcionários de 6 horas. Entretanto, 
com o lançamento da nova coleção e de 
uma nova campanha de marketing, o 
número de encomendas cresceu de 
forma acentuada, aumentando a 
demanda diária para 21 600 camisetas. 
Buscando atender essa nova demanda, a 
empresa aumentou o quadro de 
funcionários para 96. Ainda assim, a 
carga horária de trabalho necessita ser 
ajustada. Compartilhe 
Qual deve ser a nova jornada de trabalho 
diária dos funcionários para que a 
empresa consiga atender a demanda? 
 RESOLUÇÃO: 
 
6
𝑥
=
5400
21600
 .
96
36
 
 X=9 horas/dia 
 
Camisetas Horass/dia Funcionários 
5400 6 36 
21600 X 96 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 6 
10.Estilo ENEM: Doze operários, em 90 dias, 
trabalhando8 horas por dia, fazem 36m de certo 
tecido. Podemos afirmar que, para fazer 12m do 
mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 operários, 
trabalhando 6 horas por dia levarão quantos dias: 
RESOLUÇÃO: 
Operários Dias Horas Comprimento Largura 
12 90 8 36 x 
15 y 6 12 2x 
 
90
𝑦
=
15
12
 .
6
8
.
36
12
.
𝑥
2𝑥
 
Y=64 dias 
11. Estilo ENEM: Uma certa mercadoria, que 
custava R$ 12,50 teve um aumento, passando a 
custar R$ 13,50. A majoração sobre o preço antigo 
é de: 
RESOLUÇÃO: 
13,50 – 12,50= R$ 1,00 
12,50_____100% 
1 _____x% x=8% 
12.ENEM: Uma escola lançou uma campanha para 
seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos 
não perecíveis para doar a uma comunidade carente 
da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos 
primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, 
arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados 
com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao 
grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos 
dias seguintes até o término da campanha. 
Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se 
mantido constante, a quantidade de alimentos 
arrecadados ao final do prazo estipulado seria de 
 
 
 
 RESOLUÇÃO: 
 
2
5
=
2
1
 .
12
𝑥
.
4
3
 x=800 
 O valor terá que se somar ao 
valor inicial( 120Kg). Logo: 
 800+120= 920 kg 
 
 
 
 
Alunos Dias Comida Tempo 
20 10 120 3 
50 20 x 4 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 7 
13.Estilo ENEM:O termômetro usado por X marca 
30ºC quando o correto seria marcar 31ºC, e marca 
36ºC, quando o correto seria marcar 40ºC. Tendo-se 
observado que a relação entre a temperatura real e a 
indicada pode ser estabelecida através de uma função 
afim, pode-se afirmar que, quando a temperatura real 
for igual a 25ºC, o termômetro estará marcando, em 
ºC 
 RESOLUÇÃO: 
A questão pode ser resolvida por conhecimentos prévios de 
função afim, porém a intenção dessa questão é abordar 
proporcionalidade 
 36 40 
 
 30 31 
 
 X 25 
36−𝑥
30−𝑥
=
15
31−25
 
X=26 
14.Estilo ENEM: Ao completarem, respectivamente, 
4, 5 e 2 meses de trabalho numa revendedora de 
automóveis, os funcionários? 
A, B e C receberam juntos uma gratificação de R$ 
5500,00. Sabendo-se que a quantia recebida por cada 
funcionário foi diretamente proporcional ao tempo de 
serviço de cada um na empresa, pode-se afirmar que 
o funcionário B recebeu, em reais: 
RESOLUÇÃO: 
Quantias: A,B,C MESES: 4,5,6 
São grandezas DIRETAMENTE proporcional, logo se tem a 
seguinte equação: 
A
4
=
B
5
=
C
2
= 𝐾 
 A = 4K 
 B=5K C=2K 
 Logo, tem-se: 
 A+B+C= 5500 A=2000 B=2500 C=1000 
 11 K=5500 K=500 
 
 
15.ENEM:A resistência mecânica S de uma viga de 
madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, 
é diretamente proporcional à sua largura (b) e ao 
quadrado de sua altura (d) e inversamente 
proporcional ao quadrado da distância entre os 
suportes da viga, que coincide com o seu 
comprimento (x), conforme ilustra a figura. A 
constante de proporcionalidade k é chamada de 
resistência da viga. 
 
 
 
 
 
 
A expressão que traduz a resistência S dessa viga 
de madeira é 
 RESOLUÇÃO: 
DIRETAMENTE PROPORCIONAL: d² b² 
INVERSAMENTE PROPORCIONAL: x² 
 
 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 8 
16. Enem 2010: A relação da resistência elétrica com 
as dimensões do condutor foi estudada por um grupo 
de cientistas por meio de vários experimentos de 
eletricidade. Eles verificaram que existe 
proporcionalidade entre: 
• resistência (R) e comprimento (ℓ), dada a mesma 
secção transversal (A); 
• resistência (R) e área da secção transversal (A), 
dado o mesmo comprimento (ℓ) e 
• comprimento (ℓ) e área da secção transversal (A), 
dada a mesma resistência (R). 
Considerando os resistores como fios, pode-se 
exemplificar o estudo das grandezas que influem na 
resistência elétrica utilizando as figuras seguintes. 
 
As figuras mostram que as proporcionalidades 
existentes entre resistência (R) e comprimento (ℓ), 
resistência (R) e área da secção transversal (A), e 
entre comprimento (ℓ) e área da secção transversal 
(A) são, respectivamente, 
a) direta, direta e direta. 
b) direta, direta e inversa. 
c) direta, inversa e direta. 
d) inversa, direta e direta. 
e) inversa, direta e inversa. 
 
 
 
 
 RESOLUÇÃO: 
 Na primeira figura como se dobrou o comprimento e assim 
 Dobrou a resistência, tem-se grandezas diretamente proporcionais 
 Na segunda figura se percebe a diminuição da resistência em função 
 Do aumento da área, são grandezas inversamente proporcionais 
 Na terceira figura, percebe-se com a mesma resistência, há o 
 Aumento da área e o aumento da área, são grandezas diretamente 
 Proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 9 
17.Estilo ENEM: o valor de uma certa geladeira 
decresce linearmente com o tempo t, como mostra o 
gráfico. sendo t=0, correspondente à data de hoje, em 
que tempo a geladeira valerá R$176,00? 
 
RESOLUÇÃO: 
1º MODO 
 400 2 
 
 176 x 
 
 80 7 
400−80
2−7
=
176−80
x−7
 
X=5,5 anos 
 2º MODO 
Tem-se uma função afim decrescente 
Função afim: f(x)=ax+b 
a= Δy/Δx=y1-y2/x1-x2 
a=400-80/2-7=-64 
O “b” é encontrado: 
X=7 e y=80 
F(7)=80 logo o b=528 
 F(x)=-64x+528 
 F(x)=176 .:-64x+528=176 
 X=5,5anos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%94
https://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%94
https://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%94
 
AUTOR: VICTOR LIMA 10 
18.ENEM: No Brasil, costumamos medir 
temperaturas utilizando a escala Celsius. Os países de 
língua inglesa utilizam a escala Farenheit. A relação 
entre essas duas escalas é dada pela expressão F = C 
× 1,8 + 32, em que F representa a medida da 
temperatura na escala Farenheit e C a medida da 
temperatura na escala Celsius.O gráfico que 
representa a relação entre essas duas grandezas é 
 
 
 
 
 
 RESOLUÇÃO: 
 Com o y=32 e sabendo que a função se trata de uma função 
 Afim, o gráfico que representa a função é: 
 
 
 
 Para encontrar o valor de “C”, pode-se igualar a função a zero 
 0=1,8C+32 
 C= -17,8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 11 
19.ENEM: Um administrador de um campo de 
futebol deseja recobri-lo com um tipo de grama que, 
em condições normais, cresce de acordo com o 
gráfico a seguir. 
 
Ele precisa ter o campo pronto no dia 11 de junho 
de 2012, e o comprimento mínimo da grama nesse 
dia deve ser igual a 7 cm. Supondo-se que o 
crescimento da grama se dê em condições normais, 
a grama deve ser plantada, no máximo, até o dia 
RESOLUÇÃO: 
X<5 
 11 5 
 
 7 x 
 
 5 2 
6
2
=
3
x−2
 
X=3 semanas 
 
 
 
 
 
 Para as questões de MMC e 
MDC 
 20.ESTILOENEM: Um certo cometa passa 
pela Terra de 12 em 12 anos. Outro de 16 em 16 
anos. Em 1970, os dois passaram pela Terra. 
Qual é a próxima ocasião em que os dois 
passarões pela Terra no mesmo ano? 
 
 RE RESOLUÇÃO: 
 12, 16 2 
 6, 8 2 
 3,4 2 
 3,2 2 
 3,1 3 
 1 , 1 
 
 
 RESPOSTA: No ano de 2018 
 
 1970 + 48 = 2018 
 
 
 
 
 
 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 12 
 
 
21.ENEM: Um arquiteto está reformando uma casa. 
De modo a contribuir com o meio ambiente, decide 
reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele 
dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 
de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. 
Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em 
pedaços de mesmo comprimento, sem deixar 
sobras, e de modo que as novas peças ficassem com 
o maior tamanho possível, mas de comprimento 
menor que 2 m. 
Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro 
deverá produzir 
RESOLUÇÃO: 
Realizando o MDC de 540, 810 e 1080 . Tem-se: 
MDC: 2 . 3³. 5 = 270 cm= 2,7 m 
 Como o comprimento deverá ser menor que 2, irá se 
retirar o múltiplo dois dos valores de MDC, dessa forma os valores 
que restaram são: 
3 . 3 . 3 . 5 = 135 ( MDC) 
 
Logo, irá se usar o fator( o valor do MDC) e iremos dividir pelos 
respectivos comprimento e em seguida multiplicaremos os 
valores pela quantidade ditada no corpo do texto. . 
540/135 = 4 peças 810/135 = 6 peças 1080/135= 8 
4 . 40 = 160 peças 6 . 30 = 180 peças 8 . 10 = 80 peças 
 
O total : 420 PEÇAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 13 
 
22. ENEM: O gerente de um cinema fornece 
anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano 
serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão 
vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna 
de um mesmo filme. Várias escolas podem ser 
escolhidas para receberem ingressos. Há alguns 
critérios para a distribuição dos ingressos: 
1) cada escola deverá receber ingressos para uma 
única sessão; 
2) todas as escolas contempladas deverão receber o 
mesmo número de ingressos; 
3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os 
ingressos serão distribuídos). 
O número mínimo de escolas que podem ser 
escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios 
estabelecidos, é 
 
RESOLUÇÃO: 
O MDC dos números: 320 e 400 é ( 24 . 5 = 80) 
80 será o maior número distribuído e assim para os valores é necessário 
se dividir os valores pelo MDC e assim se tem: 
 
400 / 80 = 5 
 Valor total: 9 
320 / 80 = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 14 
23. Estilo ENEM: Numa linha de produção, certo tipo 
de manutenção é feito na máquina A a cada 3 dias, na 
máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 
dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção 
nas três máquinas, após quantos dias as máquinas 
receberão manutenção no mesmo dia. 
RESOLUÇÃO: 
Temos que determinar o MMC entre os números 3, 4 e 6. 
Logo, a manutenção será feita após 12 dias nas três máquinas, e 
será no dia 14 de dezembro. 
24. Estilo ENEM: No almoxarifado de uma Unidade 
do Tribunal Regional Eleitoral há disponível: 11 
caixas de lápis, cada qual com 12 unidades; 9 caixas 
de borrachas, cada qual com 8 unidades; 8 
caixas de réguas, cada qual com 15 unidades. Sabe-se 
que: 
a) todos os objetos contidos nas caixas acima 
relacionadas 
deverão ser divididos em pacotes e encaminhados a 
diferentes 
setores dessa Unidade; 
b) todos os pacotes deverão conter a mesma 
quantidade de objetos 
c) cada pacote deverá conter um único tipo de objeto. 
Nessas condições, a menor quantidade de pacotes a 
serem 
distribuídos é um número compreendido entre 
RESOLUÇÃO: 
 
 Calcularemos o valores totais 
 Lápis: 11 x 12 unidades= 132 lápis 
 Borracha: 9 x 8 unidades = 72 TOTAL: 324 
 Régua: 8 x 15 = 120 
 Calculando o MDC: 
 MDC (132, 72 , 120) = 2² . 3 = 12 
 
 Realizando a divisão da quantidade total pelo valor 
 Do MDC, tem-se : 
 324 / 12 = 27 pacotes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 15 
 Progressões (PA & PG) 
 Definição de PA : Sequência numérica, a qual a razão 
( r ) é uma adição constante de um valor. 
 
A razão da PA pode ser classificada como: 
I)Crescente: r>0 
II)Decrescente: r<0 
III)Constante: r=0 
 
O termo geral de uma PA pode ser descrito como: 
 
 an=a1 +(n-1). r 
 
“n” : indica a posição do termo desejado dentro da 
sequência numérica; 
 an : É o termo que está na posição “n” 
“ r ”: é a diferença entre um valor e seu antecessor 
OBS: O termo matemático de uma PA pode ser descrito da 
seguinte forma: 
 a40= a 10 +30 . r a 1 5= a5 + 10 . r 
OBS: se ( a, b ,c ) formam uma PA é possível realizar o 
seguinte calculo pra encontrar o valor do termo do meio: 
 b= 
𝑎+𝑐
2
 
A soma de termos de uma PA: 
 Sn=
(𝑎1+an)n
2
 
 
 
 
 
 
Razão é um número fixo 
 
 
 
 
r= a2-a1 
 
 
OBS: quando a questão mencionar uma sequência de 
números em progressão aritmética, pode-se escrever: 
 ( x-r; x ; x+r ) 
Gráfico 
 
 
 
 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 16 
Definição de PG: Sequência numérica em que cada 
termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-
se ao anterior uma constante “ q ”, intitulada razão 
da PG. 
A razão “ q ” pode ser definida por : 
 𝑞 =
𝑎2
𝑎1
=
𝑎3
𝑎2
= ⋯ =
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
 
 
O termo geral da PG: 
 an= a1 . qn-1 
 
 Soma de termos de uma PG finita: 
 Sn= a1 ( qn -1 ) / q – 1 
 
Soma dos termos de uma PGA infinita : 
 S= a1 / 1 - q 
 
OBS: termos de uma sequência em progressão 
geométrica(exemplos): 
( x; x . q; x . q2 ) ou ( x / q ; x ; x . q) 
 
 
OBS: termo médio de uma PG: 
 am=√𝑎1 . 𝑎𝑛 
 
 Gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 17 
25. Etilo ENEM: A “Chicungungunya”, como a 
dengue e outras várias, é uma doença que preocupa 
a população de modo geral. Admite-se, 
hipoteticamente, que, em janeiro de 2014, houve 37 
casos de uma determinada doença, em fevereiro, 55 
novos casos ocorram, e assim por diante, com o 
número de novos casos aumentando a cada mês, 
como uma progressão aritmética. Continuidade 
assim, o total de casos, ao longo desse ano será: 
RESOLUÇÃO: 
r= 18 
a12==37+11 . 18 
a12=235 
S12=(37+235)6 
S12=1632 
26.Estilo ENEM: Um produtor rural teve problema 
em sua lavoura devido à ação de uma praga. Para 
tentar resolver esse problema, consultou um 
engenheiro agrônomo e foi orientado a pulverizar, 
uma vez ao dia, um novo tipo de pesticida, de acordo 
com as seguintes recomendações: 
• No primeiro dia, utilizar 3 litros desse pesticida. 
• A partir do segundo dia, acrescentar 2 litros à 
dosagem anterior e, assim, sucessivamente. 
Sabendo-se que, nesse processo, foram utilizados 483 
litros de pesticida, conclui-se que esse produto foi 
aplicado durante: 
RESOLUÇÃO: 
 
 
I) 
an= 3 +(n-1).2 
an=3+ 2n – 2 
na=2n + 1 
II) 
483=(3+an)n / 2 
483 . 2= (3+2n+1) n 
n2+2n-483 
ඥ𝛥 = 44 
Logo, tem-se : 
 
n=-2 ± 44 /2 
n1=21 
n2=-23 
 
 
Realizando o calculo da raiz quadrada de 
valores altos: 
O exemplo :19361936 
 
 
 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 18 
27.Estilo ENEM: Uma dona de casa gastou R$ 45,00 
na compra de três produtos cujos preços formam uma 
Progressão Aritmética. Sabendo que q diferença entre 
os preços do produto mais caro e do produto mais 
barato é de R$ 8,00, pode-se afirmar que o produto 
mais barato custou: 
 
RESOLUÇÃO: 
PA de 3 termos 
(x-r; x; x+r) 
x-r+x+x+r=45 
3x=45 
X=15 
 
28.ENEM: Atualmente existem muitos aplicativos de 
fazendas virtuais que, apesar de críticas, possuem 
uma enorme quantidade de usuários. Embora 
apresentem algumas diferenças de funcionamento, as 
fazendas virtuais possuem a mesma concepção: cada 
vez que o usuário cuida de sua fazenda ou da de seus 
amigos, ganha pontos, e, quanto mais pontos 
acumula, maior é seu nível de experiência. Em um 
aplicativo de fazenda virtual, o usuário precisa de 1 
000 pontos para atingir o nível 1. Acumulando mais 
1 200 pontos, atinge o nível 2; acumulando mais 1 
400 pontos, atinge o nível 3 e assim por diante, 
sempre com esse padrão. 
Um usuário que está no nível 15 de experiência 
acumulou 
 
RESOLUÇÃO: 
a1=1000 r=200 
a15=1000+ 14 x 200 
a15=1000+2800 
a15=3800 pontos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 19 
31.ENEM: O trabalho em empresas de festas exige 
dos profissionais conhecimentos de diferentes áreas. 
Na semana passada, todos os funcionários de uma 
dessas empresas estavam envolvidos na tarefa de 
determinar a quantidade de estrelas que seriam 
utilizadas na confecção de um painel de Natal.Um 
dos funcionários apresentou um esboço das 
primeiras cinco linhas do painel, que terá, no total, 
150 linhas. 
 
Após avaliar o esboço, cada um dos funcionários 
esboçou sua resposta: 
 FUNCIONÁRIO I: aproximadamente 200 estrelas. 
 FUNCIONÁRIO II: aproximadamente 6 000 
estrelas. 
 FUNCIONÁRIO III: aproximadamente 12 000 
estrelas. 
 FUNCIONÁRIO IV: aproximadamente 22 500 
estrelas. 
 
FUNCIONÁRIO V: aproximadamente 22 800 
estrelas. 
 Qual funcionário apresentou um resultado mais 
próximo da quantidade de estrelas necessária? 
RESOLUÇÃO: 
a150=a1 +(n-1). r 
a150=1 +149 . 1 =150 
 S150=
൫1+150൯150
2
= 1135 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 20 
São princípios que regem a contagem entre os métodos o 
princípio da contagem e as permutações. 
 
Pode-se exemplificar tal metodologia: 
33.Estilo ENEM: para se viajar de uma cidade A até 
uma outra cidade B, deve-se passar necessariamente 
pela cidade C ou pela cidade D. De acordo com a 
quantidade de caminhos existentes entre essas 
cidades, indicados na figura, quantos são os caminhos 
possíveis entre A e B? 
 
 
 
 RESOLUÇÃO: 
5 x 7 = 35 caminhos 
 35 + 48 = 83 caminhos 
6 x 8 = 48 caminhos. 
Logo, pode-se observar no exemplo que ao se contar a quantidade de 
caminhos se observou que percorrendo de A para C poderiam ser feito 
de 5 formas e de C para B de 7 formas, assim seriam 35 possibilidades, 
para de A até B o caminho poderia ser feito passando por D ao invés 
de passar por C, dessa forma o autor da questão redigiu com a lógica 
que o aluno teria que excluir um dos caminhos, por isso a opção pelo 
termo “OU”. 
 Regra do “ E ” e do “ OU ” 
 
As possibilidades devem se somar caso os eventos sejam excludentes, 
assim como o descrito na questão 33. Caso os eventos permitam se ter 
várias opções para a mesma finalidade e tenham as mesmas restrições, 
o evento se encaixa na regra do “ E “, e o produto deve ser realizado . 
 
 
 Fatorial 
 O produto do número com os números 
 naturais antecessores. Exemplo: 
 4 ! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 
 6 ! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 
!! 
 
 34 . ENEM: O setor de recursos 
humanos de uma empresa vai realizar 
uma entrevista com 120 candidatos a 
uma vaga de contador. Por sorteio, eles 
pretendem atribuir a cada candidato um 
número, colocar a lista de números em 
ordem numérica crescente e usá-la para 
convocar 
os interessados. Acontece que, por um 
defeito do computador, foram gerados 
números com 5 algarismos distintos e, 
em nenhum deles, apareceram dígitos 
pares. 
Em razão disso, a ordem de chamada do 
candidato que tiver recebido o número 
75 913 é 
 
 RESOLUÇÃO: 
 Permuta (1;3;5;7;9) = 5! 
1) 4! = 24 números iniciados em 1 
2) 4! = 24 números iniciados em 3 
3) 4! = 24 números iniciados em 5 
4) 3! = 6 números iniciados em 71 
5) 3! = 6 números iniciados em 73 
6) 2! = 2 números iniciados em 751 
7) 2! = 2 números iniciados em 753 
8) O número 75 913 
 O somatório é igual a 89 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 21 
 Permutações 
• Simples: é um caso particular de arranjo simples. 
Usado para formar anagramas sem letras repetidas 
 Pn= n ! 
• Com repetições: É a permuta de “ n “ objetos em 
que há a repetição de um ou mais elementos. 
(anagrama com letras repetidas) 
EX: anagrama : ARARA 
P= 5 ! / 3! . 2! 
Letras: 5 letras A repetidas : 3 letras R repetidas:2 
• Circular : é o numero de permutações possíveis que 
“ n “ objetos distintos podem ter quando dispostos em 
“ n “ lugares em um círculo. 
 Pcn=(n-1)! 
 
35. Estilo ENEM: deseja se dispor em filas cinco 
crianças: Marcelo, Rogerio, Reginaldo, Danielle e 
Marcio. Calcule o número das distintas maneiras que 
elas podem ser dispostas de modo que Rogerio e 
Reginaldo fique vizinhos 
 
 RESOLUÇÃO: 
 
 P4= 4 != 24 24 x 2= 48 
36. Estilo ENEM: De quantas maneiras diferentes oito 
crianças podem ser dispostas ao redor de um circulo em 
uma brincadeira de roda? 
 RESOLUÇÃO: 
 Pcn=(n-1)! = P8 =(8-1) ! = 7! = 5040 
 37.ENEM: Em um determinado ano, os 
computadores da receita federal de um país 
identificaram como inconsistentes 20% 
das declarações de imposto de renda que lhe foram 
encaminhadas. Uma declaração é classificada como 
inconsistente quando apresenta algum tipo de erro ou 
conflito nas informações prestadas. Essas 
declarações consideradas inconsistentes foram 
analisadas pelos auditores, que constataram que 25% 
delas eram fraudulentas. Constatou-se ainda 
que, dentre as declarações que não 
apresentaram inconsistências, 6,25% 
eram fraudulentas. 
Qual é a probabilidade de, nesse ano, a 
declaração de um contribuinte 
ser considerada inconsistente, dado que 
ela era fraudulenta? 
RESOLUÇÃO: 
Para esse caso irá se utilizar a razão entre os casos 
favoráveis e casos totais, tem-se: 
Iremos supor o valor 1000 para se calcular os valores 
com relação as porcentagens. 
 1000 x 20/100 = 200 de 25%= 50Fraudes 
 
1000 
 
 1000 x 80/100=800 de 6,25%=50 Fraudes 
 
 Totais de fraudes:100 Fraudes 
 
 P= CASOS FAVORAVEIS / CASOS TOTAIS 
 P= 50 / 100 = 0,5 
 
 
Para maioria das questões de probabilidade do enem 
que não envolvem combinação ou arranjo irá se 
utilizar: 
 𝑃 =
𝐶𝐴𝑆𝑂𝑆 𝐹𝐴𝑉𝑂𝑅𝐴𝑉𝐸𝐼𝑆 
𝐶𝐴𝑆𝑂𝑆 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐼𝑆
 
Casos favoráveis: probabilidade de acontecer o evento 
Casos totais: o somatório das probabilidadesde 
acontecer e não acontecer o evento. 
 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 22 
38. Enem: O diretor de uma escola convidou os 280 
alunos de terceiro ano a participarem de uma 
brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 
6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos 
personagens esconde um dos objetos em um dos 
cômodos da casa. 
O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi 
escondido por qual personagem e em qual cômodo da 
casa o objeto foi escondido. Todos os 
alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é 
sorteado e dá a sua resposta. 
As respostas devem ser sempre distintas das 
anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado 
mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver 
correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é 
encerrada. 
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta 
porque há: 
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas 
distintas 
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas 
distintas 
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas 
distintas 
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas 
distintas 
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas 
distintas 
 
RESOLUÇÃO: 
Cálculo das possibilidades: 5 x 6 x 9=270 possibilidades 
Se quantidade de alunos é 280 logo a resposta é a letra ”A” . 
39.Enem:Numa escola com 1.200 alunos foi realizada 
uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas 
línguas estrangeiras: inglês e espanhol. 
Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam 
inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer 
um desses idiomas. 
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e 
sabendo-se que ele não fala inglês, qual a 
probabilidade de que esse aluno fale espanhol? 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
I) 1200 = 600- X + X + 500 – X + 300 
X= 200 
II) Fala só espanhol: 
Y=500- x= 500 – 200 
Y= 300 
III) P= C.F. / C.. T 
P= 300 / 1200 
P=1 / 4 
 
 LEMBRETE 
 
O diagrama de Venn é utilizado como ferramenta para 
resolver questões de grupos em que ambos os grupos 
compartilham eventos. Por exemplo na questão 39 que no 
grupo de alunos tinham indivíduos que falavam os dois idiomas 
 
 
 
 
 
 
C 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 23 
40. Estilo ENEM: Duas das cinquenta cadeiras de 
uma sala serão ocupadas por dois alunos. Determine 
o número de maneiras distintas possíveis que esses 
alunos terão para escolher duas das cinquenta 
cadeiras para ocupá-las. 
RESOLUÇÃO: 
Iremos utilizar a regra do “ E ” 
___ E ___ 
 (50) (49) = 50 x 49 = 2450 
 
 Multiplica 
 
41. ENEM:Um adolescente vai a um parque de 
diversões tendo, prioritariamente, o desejo de ir a um 
brinquedo que se encontra na área IV, dentre as áreas 
I, II, III, IV e V existentes. O esquema ilustra o mapa 
do parque, com a localização da entrada, das cinco 
áreas com os brinquedos disponíveis e dos possíveis 
caminhos para se chegar a cada área. O adolescente 
não tem conhecimento do mapa do parque e decide ir 
caminhando da entrada até chegar à área IV 
 
Suponha que relativamente a cada ramificação, as 
opções existentes de percurso pelos caminhos 
apresentem iguais probabilidades de escolha, que a 
caminhada foi feita escolhendo ao acaso os caminhos 
existentes e que, ao 
tomar um caminho que chegue a uma área distinta da 
IV, o adolescente necessariamente passa por ela ou 
retorna. Nessas condições, a probabilidade de ele 
chegar à área IV sem passar por outras áreas e sem 
retornar é igual a 
 RESOLUÇÃO: 
 
I) 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 3= 1 / 12 
II) 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 =1 / 8 
 
TOTAL: 
 
1 / 8 + 1 / 12 = 5/ 24 
 
Anagramas 
 
São permutações que ocorrem com elementos e posições, 
geralmente se caracteriza por formar palavras com 
combinações de letrar de uma palavra. 
 
Sempre deve considerar a repetição de elementos como 
um fator limitante e deve ser colocado no caso de 
permutação. 
 
EXEMPLO: 
PALAVRA : ARARA 
3 : “ A “ 2 : “ R “ 
 
P = 5 ! / 3! . 2 ! = 10 Palavras 
 
 3+ 2 
 
C 
C 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 24 
42. Estilo ENEM: Ao preencher um cartão da loteria esportiva, 
André optou pelas seguintes marcações: 4 coluna um, 6 coluna 
do meio e 3 coluna dois. De quantas maneiras distintas André 
poderá marcar os cartões? 
 
RESOLUÇÃO: 
Se realizarmos o seguinte pensamento: 
 1ª coluna : A 2ªcoluna: B 3ªcoluna: C 
Fazemos uma análise e percebemos que as letras irão permu- 
tar e assim temos: 
 
P 13 4,6,3 = 13 ! / 4 ! * 6! * 3! = 60060 maneiras 
 
43. Estilo ENEM: de quantas maneiras seis pessoas 
podem ser colocadas em fila, se duas delas se recusam a 
ficar em posições adjacentes. 
 
RESOLUÇÃO: 
Irá se calcular o valor de probabilidades totais e posteriormente irá se calcular 
a probabilidade das duas pessoas estarem juntos e assim realizar a diferença 
e encontrar a resposta.. 
TOTAL: 
P6=6 ! = 720 Possibilidades 
Probabilidade de as duas pessoas estarem juntas: 
P2 x P5 = 2 * 120 = 240 Possibilidades 
Assim, temos: 
720 – 240 = 480 Possibilidades 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
C 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 25 
 44. ENEM:Uma pessoa comprou um aparelho sem 
fio para transmitir músicas a partir do seu computador 
para o rádio de seu quarto. Esse aparelho possui 
quatro chaves seletoras e cada uma pode estar na 
posição 0 ou 1. Cada escolha das posições dessas 
chaves corresponde a uma frequência diferente de 
transmissão. 
A quantidade de frequências diferentes que esse 
aparelho pode transmitir é determinada por 
RESOLUÇÃO: 24=16 
45. Estilo ENEM: Um professor, desejando 
apresentar as características que diferenciam 
problemas que envolvem agrupamentos simples 
(Permutação, Arranjo e Combinação), propôs as 
seguintes situações para análise: 
Situação I Dividir os 40 alunos da turma em 5 grupos. 
Situação II Dispor todos os 40 alunos da turma numa 
única fila. 
Situação III Formar, entre todos os alunos da turma, 
uma comissão de 4 alunos que ocuparão 4 cargos 
distintos para representar a sala. 
Situação IV Formar um grupo, com todos os alunos 
da turma, para representar a sala numa gincana 
escolar. 
A partir dessas informações, é correto afirmar que as 
situações I, II, III e IV constituem exemplos de 
agrupamentos simples que representam, 
respectivamente: 
A)Permutação, Combinação, Permutação e Arranjo. 
B)Combinação, Permutação, Arranjo e Combinação. 
C)Combinação, Permutação, Arranjo e Permutação. 
D)Arranjo, Permutação, Combinação e Arranjo. 
RESOLUÇÃO: 
Resposta é a letra “B”, uma vez que combinação consiste em dividir 
elementos em grupos em que a ordem não importe, o qual difere de 
arranjo, pois a ordem importa para a disposição dos elementos. Ademais, 
permutação só varia a ordem da disposição dos elementos 
46.Estilo ENEM: No meio da “invasão 
tecnológica” que toma conta de nossas vidas, dona 
Antônia esqueceu sua senha bancária justamente 
na hora de efetuar um saque. Ela lembra que a 
senha é formada por quatro algarismos distintos, 
sendo o primeiro 5 e o algarismo 6 aparece em 
alguma outra posição. Qual é o número máximo de 
tentativas que o banco deveria permitir para que 
dona Antônia consiga realizar o saque? 
RESOLUÇÃO: 
Questão de arranjo 
O exercício nos informa que o primeiro dígito é o número 5, 
e o número 6 estará em algum dos outros 3 dígitos. 
Sendo assim, teremos a seguinte situação. 
 
 
 
 
 3 . A8,2= 
8!
൫8−2൯!
= 
168POSSIBILIDADES 
 
47.Estilo ENEM: Durante uma operação policial, 15 
homens foram detidos e transportados para a delegacia 
em três transportes, o primeiro com seis lugares, o 
segundo com cinco lugares e o terceiro com quatro 
lugares. O número de maneiras, que os detidos podem 
ser transportados para delegacia, é: 
a) C15,6 . C15,5 . C15,4 
b) P6 . P5 . P4 
c) A15,6 . A15,5 . A15,4 
d) (P15) : (P6 + P5 + P4) 
e) C15,6 . C9,5 . C4,4 
 
 RESOLUÇÃO: 
 
C 
C 
C 
 
AUTOR: VICTOR LIMA 26 
A resposta é a Letra “E”. 
 No carro com 6 lugares, sabendo que temos 15 presos, a 
quantidade de opções será a combinação C15,6. 
No carro com 5 lugares, sabendo que 6 já estão no carro anterior, 
a quantidade de opções será a combinação C9,5. 
No carro com 4 lugares, sabendo que 11 presos já estão nos outros 
carros, a quantidade de opções será a combinação C4,4. 
 
48.Estilo ENEM:Para formar uma comissão com 
quatro policiais militares, estarão à disposição cinco 
oficiais e quatro praças. Quantas comissões distintas 
poderão ser formadas, de maneira que, em cada uma 
delas, haja, pelo menos, um oficial? 
RESOLUÇÃO: 
Calculando a quantidade total de comissões possíveis: 
C9,4 = 9!/4!(9-4)! 
C9,4 = 9!/4!5! 
C9,4 = 9.8.7.6/4.3.2 
C9,4 = 126 
 
Calculando a quantidade de comissões possíveis sem nenhum 
oficial: 
C4,4 = 1 
 
Total: 126 – 1 = 125 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C