Operações com vetor e versor

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1 Prof. Diogo Eduardo - Física 
OPERAÇÕES COM VETOR E VERSOR 
 
1. Analise Vetorial 
- Grandeza Escalar – Magnitude da Grandeza 
- Grandeza Vetorial – Módulo, Direção e Sentido 
 
2. Geometricamente 
 
Vetor ; Comprimento A . B ; Módulo de 
 
 
3. Igualdade de Vetores: 𝐴 = �⃗⃗�; |𝐴| = |�⃗⃗�| 
 
 𝐴/∕ �⃗⃗� - Mesmo módulo, sentido e são paralelos. 
 
*negativo do vetor: 𝐴 = −�⃗⃗� 
*vetor nulo: 𝐴 − 𝐴 = 0 
 
4. Operação de Vetores 
 
- Adição: 𝐴 + �⃗⃗� = �⃗⃗� + 𝐴; (𝐴 + �⃗⃗�) + 𝐶 = 𝐴 + (�⃗⃗� + 𝐶) 
 
- Subtração: 𝐴 − �⃗⃗� = 𝐴 + (−�⃗⃗�) 
 
- Multiplicação: 
# produto de um vetor por escalar: �⃗⃗� = 𝑘 ⋅ 𝐴 
 Se K > 0 - 𝐴 𝑒 �⃗⃗� mesmo sentido; 
 Se K < 0 – 𝐴 𝑒 �⃗⃗� sentido oposto; 
 Se K = 0 - �⃗⃗� é nulo 
 
 
A 
B 
 
2 Prof. Diogo Eduardo - Física 
4.1 Produto Escalar 
Analise: 𝐴 . �⃗⃗� = I𝐴I.I�⃗⃗�I. cosΘ 
Se 𝐴 ⊥ �⃗⃗� então 𝐴 . �⃗⃗� = 0 
Se 𝐴 // �⃗⃗� então 𝐴 . �⃗⃗� = I𝐴I.I�⃗⃗�I 
 
4.2 Produto Vetorial 
Versor: �̂� = 
�⃗� 
𝐼�⃗� 𝐼
 ; 𝐶 = 𝐴 . �⃗⃗� = I𝐴I.I�⃗⃗�I. cosΘ �̂� 
Os versores unitários I𝑖̂I = I𝑗̂I = I�̂�I = 1 
 
4.2.1 Produto Escalar 
 
𝑖̂ . 𝑖̂ = 𝑗̂ . 𝑗̂ = �̂� . �̂� = 1 
𝑖̂ . 𝑗̂ = 𝑗̂ . �̂� = �̂� . 𝑖̂ = 0 
 
 
4.2.2 Produto Vetorial 
 
𝑖̂ x 𝑖̂ = 𝑗̂ x 𝑗̂ = �̂� x �̂� = 0 
𝑖̂ x 𝑗̂ = �̂� 𝑗̂ x �̂� = 𝑖̂ �̂� x 𝑖̂ = 𝑗̂ 
 
5. Função Vetorial 
 
- Posição: 
r(t) = x(t) �̂� + y(t) 𝑗 ̂+ z(t) �̂� 
 
 
 
- Velocidade: V(t) = 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 ou V(t) = �̇�(t) 
V(t) = 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
�̂� + 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑗 ̂+ 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
�̂� ou V(t) = �̇�(t) + �̇�(t) + �̇�(t) 
 
 
𝑖̂ 
𝑗̂ 
�̂� 
 
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- Aceleração: a(t) = 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 ou a(t) = �̇�(t) 
a(t) = 
𝑑2𝑟(𝑡)
𝑑𝑡2
 ou a(t) = �̈�(t) 
 
a(t) = 
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑡
�̂� + 
𝑑𝑉𝑦
𝑑𝑡
𝑗 ̂+ 
𝑑𝑉𝑧
𝑑𝑡
�̂� ou a(t) = 𝑉�̇�(t) + 𝑉�̇�(t) + 𝑉�̇�(t) 
 
5.1 Integração 
 
V(t) = ∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡 
V(t) = ∫ 𝑎𝑥(𝑡)𝑑𝑡 �̂� + ∫𝑎𝑦(𝑡)𝑑𝑡 �̂� + ∫𝑎𝑧(𝑡)𝑑𝑡 �̂� 
 
r(t) = ∫𝑉(𝑡)𝑑𝑡 
r(t) = ∫𝑉𝑥(𝑡)𝑑𝑡 �̂� + ∫𝑉𝑦(𝑡)𝑑𝑡 �̂� + ∫𝑉𝑧(𝑡)𝑑𝑡 �̂� 
 
6. Gradiente 
V(x, y, z) – função escalar – (Energia Potencial) 
�⃗⃗� V ou 𝛻V 
 
�⃗⃗� = 
𝜕
𝜕𝑥
�̂� + 
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 ̂+ 
𝜕
𝜕𝑧
�̂� 
 
Observação sobre posição, Velocidade e aceleração: 
DERIVA DERIVA 
 
Posição - Velocidade - Aceleração 
 
INTEGRA INTEGRA