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Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 2 de 144 1. Conceitos básicos Muitas vezes nos deparamos com as seguintes expressões no dia a dia: “a probabilidade de cair um piano na sua cabeça é pequena”, “a probabilidade de reeleição é grande”, etc. Mas, o que queremos dizer com isso? Na verdade, isso está muito relacionado com o conceito de “frequência”. Quando se afirma que a probabilidade de algo ocorrer é pequena, está sendo dito que, dado um determinado conjunto de resultados possíveis, o evento em questão ocorre em poucas das realizações deste. Não entendeu? Vamos a um exemplo. Suponha o lançamento de uma moeda não viciada, isso é, que possui uma cara e uma coroa. Qual a probabilidade de ocorrer “cara”, por exemplo? Com efeito, há duas possibilidades de realização deste evento: cara ou coroa, entretanto nós só estamos interessados no resultado “cara”, ou seja, em uma destas possibilidades. Portanto, a probabilidade de dar “cara” em um lançamento é: 鶏岫潔欠堅欠岻 噺 喧剣嫌嫌件決件健件穴欠穴結嫌 穴結 穴欠堅 g潔欠堅欠g喧剣嫌嫌件決件健件穴欠穴結嫌 穴結 穴欠堅 g潔欠堅欠g 剣憲 g潔剣堅剣欠g 噺 層匝 -Professor, então, ao lançar uma moeda não viciada, na metade dos lançamentos eu obterei “cara”? Não é bem assim! Veja, antes de lançar a moeda, a probabilidade de dar “cara” é de オ, porém pode ser que isso não ocorra. Suponha a realização de três lançamentos seguidos, pode ser que o resultado seja: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 3 de 144 なえ 噺 潔剣堅剣欠 にえ 噺 潔剣堅剣欠 ぬえ 噺 潔欠堅欠 Isso quer dizer que a moeda é viciada? Pode ser, mas só com esse resultado não há como saber, pois este resultado é possível em uma moeda não viciada. A partir deste resultado você poderia inferir erroneamente inferir que a probabilidade de dar “cara” não é de ½, mas de: 鶏岫潔欠堅欠岻 噺 喧剣嫌嫌件決件健件穴欠穴結嫌 穴結 穴欠堅 g潔欠堅欠g喧剣嫌嫌件決件健件穴欠穴結嫌 穴結 穴欠堅 g潔欠堅欠g 剣憲 g潔剣堅剣欠g 噺 層惣 Se você pensou assim, pense de novo! A forma correta de definir a probabilidade de ocorrência de um evento é encontrar qual a frequência de sua ocorrência com relação a todas as outras ocorrências possíveis quando o número de experimentos tende ao infinito. No nosso caso: 鶏岫潔欠堅欠岻津蝦著 噺 喧剣嫌嫌件決件健件穴欠穴結嫌 穴結 穴欠堅 g潔欠堅欠g喧剣嫌嫌件決件健件穴欠穴結嫌 穴結 穴欠堅 g潔欠堅欠g 剣憲 g潔剣堅剣欠g 噺 層匝 Sendo 券 o número de vezes que você realiza o experimento e a expressão 蝦 タ significando que o mesmo tende para o infinito. Portanto, se você realizar um experimento infinitas vezes, sendo o nosso experimento o lançamento da moeda, a probabilidade de ocorrência de um determinado evento (no caso exemplo, dar “cara”) será dada pela relação à priori entre a quantidade de vezes em que é possível sua ocorrência dividida pela quantidade de vezes que todos os outros eventos são possíveis (no caso, quantas “caras” e “coroas” existem em uma moeda). Aí sim, se você jogar a moeda infinitas vezes, metade das vezes a face “cara” será o resultado. Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 4 de 144 Nós podemos aprofundar este conceito de forma mais teórica, de forma a facilitar o entendimento. Se você lançar a moeda uma vez, quais são todos os resultados possíveis? も 噺 岫系欠堅欠岻┹ 岫系剣堅剣欠岻 E se você lançar duas vezes? も 噺 岫系欠堅欠┸ 系剣堅剣欠岻┹ 岫系剣堅剣欠┸ 系欠堅欠岻┹ 岫系欠堅欠┸ 系欠堅欠岻┹ 岫系剣堅剣欠┸ 系剣堅剣欠岻 Este conjunto formado por todas as realizações possíveis (que, no caso, chamamos de も) chama-se espaço amostral. Com base neste espaço amostral podemos atribuir uma probabilidade para um determinado evento, sendo este dado por um subconjunto de 岫も岻. Por exemplo, no caso de um lançamento único da moeda, qual a probabilidade de dar “cara”? Nós já vimos esta resposta e sabemos que se trata da probabilidade de ocorrência do subconjunto dado por 岫潔欠堅欠岻 do espaço amostral 岫潔欠堅欠┸ 潔剣堅剣欠岻. Belezinha? Mas, e a probabilidade de ocorrer pelo menos 1 cara em dois lançamentos? Bom, olhando nosso espaço amostral definido acima para este caso mostra que isso ocorre em 3 dos 4 lançamentos possíveis. Neste caso, cada um daqueles parênteses tem 岾怠替 噺 ど┸にの 噺 にのガ峇 de chance de ocorrer. Mas, nossa pergunta abrange 3 (três) daqueles casos, isso é, três daquelas realizações atendem ao nosso requisito. Portanto, a probabilidade de ocorrência do subconjunto do espaço amostral composto pelos resultados nos quais ocorrem pelo menos uma cara é de: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 5 de 144 鶏岫な 潔欠堅欠 欠剣 兼結券剣嫌岻 噺 なね 髪 なね 髪 なね 噺 惣想 Assim, teoricamente, para um determinado evento A qualquer, sua probabilidade de ocorrência é de: 皿岫冊岻 噺 晒四珊仔嗣餐纂珊纂蚕 纂蚕 士蚕子蚕史 刺四蚕 伺算伺司司蚕 冊晒四珊仔嗣餐纂珊纂蚕 纂蚕 蚕残蚕仕蚕仔嗣伺史 仔伺 蚕史使珊ç伺 珊仕伺史嗣司珊残 Maravilha? Vá comer um chocolate e relaxar um pouco, mas volte logo em seguida! 2. Diagrama de Venn e propriedades Gente, a primeira coisa e mais óbvia é que toda probabilidade se situa entre 0 e 1. Não há como um evento ocorrer mais de 100% das vezes ou menos de 0% das vezes. Essa é a própria ideia da frequência relativa que já estudamos! Portanto, dado qualquer evento “A”: ど 判 鶏岫畦岻 判 な Assim, a ideia de probabilidade se aproxima muito do conceito de frequência relativa, haja vista estarmos considerando que o experimento poderia ser realizado várias vezes e que o resultado sempre seria o mesmo. Isso é chamado de “Abordagem Frequentista da Probabilidade”. Uma forma interessante de vocês visualizarem probabilidades é pelo diagrama de Venn: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 6 de 144 Olhem pessoal, aquele círculo no meio representa o evento A no espaço amostral representado pela “caixa U”. Perceba que o círculo não ocupa mais do que a caixa toda nem menos do 0% da caixa, isso é, a probabilidade de ocorrência de “A” está entre 0 e 1. Obs. Muitas vezes você irá me ver referir a probabilidades como números entre 0 e 1 ou 0% e 100%. Não é loucura do teacher! Toda probabilidade, com o intuito de facilitar a visualização, pode ser multiplicada por 100 de forma que obtenhamos o resultado em percentual. Por exemplo, uma probabilidade de 0,5 é equivalente à 50%. Retornando! Então, outros dois casos interessantes, mas diametralmente opostos, são os casos de eventos certos e eventos impossíveis . Evento certo é aquele que coincide com o espaço amostral! Por exemplo, no nosso caso de “cara” e “coroa”, um evento certo seria aquele composto por todos os resultados nos quais ocorrem, ao menos, uma cara ou uma coroa. Ou seja, todo o espaço amostral! Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 7 de 144 Evento impossível é o caso oposto! Este evento seria composto por elementos não constantes no espaço amostral, por exemplo, o caso de um lançamento em que não ocorresse nem cara nem coroa! Outro conceito importante é o de “complementar”. Dada uma probabilidade de um evento “A” qualquer, a probabilidade de seu complementar 岫畦頂岻 é dada por: 鶏岫畦頂岻 噺 な 伐 鶏岫畦岻 Entendeu? O complementar da probabilidade de ocorrência de um evento é a probabilidade de sua não ocorrência! Para ficar bem legal e fácil, olhe o Diagrama de Vennabaixo: Dado um evento “A” qualquer, representado pelo círculo acima, o seu complementar é toda a parte vermelha da figura! Simples! Mas, agora que complica. Vamos a um exemplo para facilitar! Suponha dois grupos de pessoas concurseiras dentro de uma amostra com bacharéis em Engenharia, Direito e Economia, sendo que algumas passaram e que outras não passaram em concurso público. Podemos expressar os resultados da seguinte forma: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 9 de 144 Vocês têm de saber que a expressão usualmente utilizada para identificar a intersecção entre dois subconjuntos é “堪”. No nosso caso, se chamarmos os subconjuntos de Economistas e pessoas que passaram em concurso respectivamente de A e B, pode-se representar a intersecção entre os mesmos como 冊 堪 刷. -“E de quanto é essa probabilidade, professor”? Ora: 冊 堪 刷 噺 蚕算伺仔伺仕餐史嗣珊史 刺四蚕 使珊史史珊司珊仕嗣伺嗣珊残 纂珊 珊仕伺史嗣司珊 噺 惣宋匝惣宋 簡 宋┸ 層惣 E se eu te perguntar qual a probabilidade de encontrarmos economistas ou pessoas que passaram? Agora a coisa é diferente! Veja no diagrama para entender bem: Veja como aumentou a parte vermelha! Se uma ou outra condição for verdadeira, devemos computá-la! Chamamos a isso de “reunião” entre dois subconjuntos. Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 10 de 144 Vocês têm de saber que a expressão usualmente utilizada para identificar a reunião entre dois subconjuntos é “姦”. No nosso caso, se chamarmos os subconjuntos de Economistas e pessoas que passaram em concurso respectivamente de A e B, pode-se representar a reunião entre os mesmos como 冊 姦 刷. Como você encontraria tal probabilidade? -“Ora professor, faria como você fez anteriormente, somando as probabilidades”: 鶏岫結潔剣券剣兼件嫌建欠 剣憲 喧欠嫌嫌剣憲岻 噺 ひどにぬど 髪 ひどにぬど 噺 なぱどにぬど 簡 ど┸ばぱぬ Então, meu amigo, tem um erro aí! Você percebeu que você está contando o economista que passou duas vezes? Por exemplo, dos 90 que passaram, 30 já são economistas, podendo ser feito o mesmo raciocínio inverso. Em termos de Diagrama de Venn, seria o mesmo que somar: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 11 de 144 + Neste caso, você estará contando duas vezes aquela “partezinha” que é a intersecção entre ambos: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 12 de 144 Assim, o certo seria: 鶏岫結潔剣券剣兼件嫌建欠 剣憲 喧欠嫌嫌剣憲岻 噺 ひどにぬど 髪 ひどにぬど 伐 ぬどにぬど 噺 なのどにぬど 簡 ど┸はのに Genericamente, para dois eventos A e B quaisquer, podemos afirmar que: 皿岫冊 姦 刷岻 噺 皿岫冊岻 髪 皿岫刷岻 伐 皿岫冊 堪 刷岻 Mas, cuidado com o caso especial dos eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos! A fim de exemplificar este conceito, imagine o lançamento de um dado honesto de forma que nosso espaço amostral seja dado por: 岶な┹ に┹ ぬ┹ ね┹ の┹ は岼 Assim, somente uma destas realizações é possível, ou seja, o resultado só pode ser uma das faces do dado. Qual é a probabilidade de o resultado do lançamento gerar os números 4 ou 5? Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 13 de 144 Ora: 鶏岫ね 姦 の岻 噺 鶏岫ね岻 髪 鶏岫の岻 伐 鶏岫ね 堪 の岻 Vamos começar com o mais fácil, qual é a probabilidade de cair qualquer das faces de um dado? O dado tem 6 faces no total, de forma que a probabilidade de que qualquer delas seja o resultado é de: 鶏岫な岻 噺 鶏岫に岻 噺 鶏岫ぬ岻 噺 鶏岫ね岻 噺 鶏岫の岻 噺 鶏岫は岻 噺 なは Assim: 鶏岫ね 姦 の岻 噺 なは 髪 なは 伐 鶏岫ね 堪 の岻 E o último componente que se refere à intersecção entre os dois eventos? Qual é a probabilidade de ocorrer como resultado do experimento uma face do dado com número 4 e 5? É claro que é zero! Veja como seria a representação no Diagrama de Venn: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 14 de 144 Estes eventos não tem intersecção! Ou seja, quando um ocorre o outro não pode ocorrer! Assim, neste caso, aquele último componente de nossa fórmula será igual à zero, de forma que: 鶏岫ね 姦 の岻 噺 なは 髪 なは 噺 には 噺 層惣 Entendeu? Então, vamos adiante! M as, antes, vamos tratar de um tópico bem especifico. Obs. Propriedades Pessoal, este tópico é muito pouco cobrado em concursos públicos, porém é importante passarmos por ele, afinal não se sabe o que será pedido! Uma forma de ajudar a decorar tais propriedades é pensando que quando você tira o complemento de 堪 ou 姦, o resultado é inverter a “barriguinha” da operação. Assim, em termos nem um pouco formais , você deve pensar que: 岫堪岻頂 噺姦 岫姦岻頂 噺堪 Assim, para três conjuntos quaisquer chamados de “A”, “B” e “C”, destacam-se as seguintes propriedades: 層岻 岫冊 堪 刷岻算 噺 冊算 姦 刷算 匝岻 岫冊 姦 刷岻算 噺 冊算 堪 刷算 Beleza? Esta é a menos intuitiva das propriedades, assim, decore! Agora, as outras são bem mais fáceis de serem entendidas, tais como: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 15 de 144 惣岻 冊 堪 叶 噺 叶 Sendo (叶) um conjunto vazio, ou seja, sem nenhum elemento. Isso faz todo o sentido, dado que a intersecção de um conjunto “A” qualquer com outro conjunto vazio não pode conter nenhum elemento. 想岻 冊 堪 漸 噺 寓 Sendo (漸) representativo do espaço amostral. A intersecção de um conjunto “A” qualquer com o espaço amostral é o próprio conjunto “A”. Com base nestes dois últimos, fica fácil visualizar que: 捜岻 冊 姦 叶 噺 冊 掃岻 冊 姦 漸 噺 漸 Outras propriedades intuitivas relacionam um determinado conjunto com seu complementar, assim, sabendo-se que 鶏岫畦岻 髪 鶏岫畦頂岻 噺 な, tem-se que: 挿岻 冊 姦 冊算 噺 漸 掻岻 冊 堪 冊算 噺 叶 Para finalizar, devemos tratar de uma propriedade que relaciona intersecções e reuniões entre conjuntos: 操岻 冊 堪 岫刷 姦 察岻 噺 岫冊 堪 刷岻 姦 岫冊 堪 察岻 Com base nestes três conjuntos, pode-se desenhar o seguinte Diagrama de Venn: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 17 de 144 E se tivéssemos a informação a priori de que os economistas em questão se restringiriam àqueles que já passaram em concurso público? Ou seja, qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser economista, dado que o mesmo passou em concurso público? Você entende o que estou falando? A forma de avaliação não é a mesma, pois, neste caso, temos mais informações do que tínhamos anteriormente e, portanto, devemos nos utilizar dela! Essa é a ideia de probabilidade condicional! A forma usual de representarmos uma probabilidade condicional de um evento qualquer “A”, dado outro evento qualquer “B” é: 鶏岫畦】稽岻 E como poderíamos incorporar esta informação, ou seja, de que forma este cálculo pode ser realizado? Vamos pensar intuitivamente para podermos chegar à fórmula! Veja o Diagrama de Venn abaixo: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br18 de 144 Eu te pergunto, dado que ocorreu “B”, qual parte da figura representa a porção de “A” que pode ocorrer? Exatamente, a intersecção entre os dois conjuntos! Esta parte laranja representa a parcela do evento “A” que é compatível com a informação a priori. Mas, você já sabe que probabilidades são calculadas com base na divisão da quantidade de elementos “favoráveis” pelo espaço amostral! Qual é o espaço amostral no nosso exemplo? O tamanho de “B”! Agora fica fácil: 皿岫冊】刷岻 噺 皿岫冊 堪 刷岻皿岫刷岻 Esta fórmula é muito importante, assim vocês devem decorá-la, mas não deixem de entender de onde ela vem, ok? Nesse caso, 鶏岫畦岻 é a probabilidade a priori de “A”, o que pode ser “atualizado” com as novas informações de “B”, permitindo a obtenção da probabilidade a posteriori, 鶏岫畦】稽岻. “Beleza professor, mas me dê um exemplo, está tudo muito teórico”! Claro, é pra já! Retornando ao exemplo do nosso quadro acima, eu quero saber: 皿岫蚕算伺仔伺仕餐史嗣珊】使珊史史伺四岻 噺 ╂ Ou seja, eu quero saber qual a probabilidade de um indivíduo ser economista, dado que ele passou. Vamos aplicar a fórmula? O numerador nós já temos calculado: 畦 堪 稽 噺 結潔剣券剣兼件嫌建欠嫌 圏憲結 喧欠嫌嫌欠堅欠兼建剣建欠健 穴欠 欠兼剣嫌建堅欠 噺 ぬどにぬど 簡 ど┸なぬ Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 19 de 144 Ótimo! E o denominador? Trata-se da probabilidade de encontrar alguém que passou, o que não é difícil: 鶏岫喧欠嫌嫌剣憲岻 噺 ひどにぬど 簡 ど┸ぬひに Pronto: 皿岫蚕算伺仔伺仕餐史嗣珊】使珊史史伺四岻 噺 岾 ぬどにぬど峇岾 ひどにぬど峇 簡 宋┸ 惣惣想 Viram? A probabilidade de encontrar um economista que passou é menor do que encontrar um economista dado que estamos tratando só com os que passaram. A informação adicional nos ajudou a ter uma previsão com mais acurácia! Retornando à parte mais teórica, algo muito importante em termos de prova é o conceito de independência estatística ! -“O que é isso, professor”? Dois eventos são ditos independentes se: 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦岻 Isso não te lembra nada? Boa! O lançamento da moeda! Imagine que foram feitos dois lançamentos, qual a probabilidade de “cara” no próximo lançamento dado que “coroa” ocorreu no primeiro? Ora, a probabilidade de ocorrência de “cara” continua igual à ど┸の, pois o resultado do primeiro lançamento não afeta o segundo. Assim: 鶏岫潔欠堅欠 券剣 にえ】潔剣堅剣欠 券剣 なえ岻 噺 鶏岫潔欠堅欠岻 噺 ど┸の Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 20 de 144 Este é um exemplo de eventos independentes! A definição de eventos independentes perpassa pela necessidade de que a ocorrência de um não afete a probabilidade de ocorrência do outro. No caso de eventos independentes, podemos reescrever nossa fórmula da seguinte maneira: 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫稽岻 蝦 皿岫冊岻 糾 皿岫刷岻 噺 皿岫冊 堪 刷岻 Quer mais um exemplo? Suponha que você esteja desmanchando sua árvore de natal e que a mesma só possua bolas vermelha e prata. Sabendo-se que há 10 bolas vermelhas e 10 prateadas, se você fechar os olhos e tirar uma bola, qual a probabilidade de que a mesma seja vermelha? Bom, isso é fácil, há 20 bolas no total, sendo que 10 são vermelhas, assim: 鶏岫懸結堅兼結健月欠岻 噺 などにど 噺 ど┸の Suponha que você tirou uma bola vermelha! Agora, você decide tirar outra bola com os olhos vendados, repondo a que você já tirou. Qual a probabilidade de que a mesma seja vermelha? Ora, o evento relacionado à retirada da segunda bola independe do que houve da primeira vez, pois a bola foi reposta na árvore! Assim, fica fácil ver que: 鶏岫懸結堅兼結健月欠 にぇ】懸結堅兼結健月欠 なぇ岻 噺 鶏岫懸結堅兼結健月欠岻 噺 ど┸の Entendeu? Este é um caso de eventos independentes! Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 21 de 144 4. Teorema de Bayes À primeira vista você vai pensar que o Teorema de Byes não tem nada demais, pois ele é tão somente uma decorrência do que estudamos na seção anterior. Porém, preciso detalhá-lo para você, pois ele cai muito. Então, a maior parte dos exercícios de concurso você não vai precisar da fórmula por si só, porém, se estudarmos este tópico de uma maneira um pouco mais aprofundada, você saberá responder os exercícios de forma mas rápida! Uma coisinha básica que eu quero que vocês entendam, suponha dois eventos quaisquer “A” e “B” e aplique aquela “formulazinha” de probabilidade condicional que já estudamos de forma a encontrar a probabilidade de “A” dado “B” e a probabilidade de “B” dado “A”. Você vai chegar nisso: 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫稽岻 鶏岫稽】畦岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫畦岻 O que estas duas fórmulas têm em comum? Exatamente, o termo 皿岫冊 堪 刷岻! Suponha que você queira calcular 鶏岫畦】稽岻, então faça assim, substitua 鶏岫畦 堪 稽岻 de forma que: 鶏岫稽】畦岻 糾 鶏岫畦岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻 O que levará à: 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫稽】畦岻 糾 鶏岫畦岻鶏岫稽岻 Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 22 de 144 Entretanto, não conhecemos o denominador (essa é a premissa). Assim, queremos saber a probabilidade condicional de 畦 dado 稽, mas suponha que o resultado 畦 não é o único possível, sendo que poderia ter ocorrido 系, com 鶏岫系岻 塙 ど. Por exemplo, suponha que você tenha as probabilidades de um time de futebol ganhar se um determinado jogador jogar ou não. E se você quiser saber a probabilidade de o jogador ter jogado, dado que o time ganhou? Para isso o Teorema de Bayes é perfeito! Veja: 鶏岫稽岻 噺 喧堅剣決欠決件健件穴欠穴結 穴剣 建件兼結 訣欠券月欠堅 鶏岫畦岻 噺 喧堅剣決欠決件健件穴欠穴結 穴剣 倹剣訣欠穴剣堅 倹剣訣欠堅 鶏岫系岻 噺 喧堅剣決欠決件健件穴欠穴結 穴剣 倹剣訣欠穴剣堅 券ã剣 倹剣訣欠堅 Assim, o Teorema de Bayes garante que: 皿岫冊】刷岻 噺 皿岫刷】冊岻 糾 皿岫冊岻皿岫刷】冊岻 糾 皿岫冊岻 髪 皿岫刷】察岻 糾 皿岫察岻 -“Professor, este é o famoso e temível Teorema de Bayes”? É isso aí! A ideia deste teorema é que, a partir de informações das probabilidades a priori de “A” e de “B” e da probabilidade condicional de “B” dado “A” podemos obter a relação desejada. Perceba que o numerador é 皿岫冊 堪 刷岻, enquanto que o denominador é a própria probabilidade de o time ganhar! Este teorema é muito usado em exercícios que não fornecem 皿岫刷岻 diretamente, mas pela sua relação com demais eventos, no exemplo, o jogador jogar ou não. Muitos exercícios costumam dar estas informações para que você calcule a probabilidade condicional. Isso chove em concurso público. Mas, dá para resolver sem a fórmula, basta pensar um pouquinho, ok? Não tem nada demais mesmo, você só tem que entender o mecanismo de funcionamento do mesmo para responder alguns exercícios, tal como este: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 23 de 144 Exercício 1 (Analista Judiciário – FCC/2001) Numa cidade onde se publicam 2 jornais, A e B, sabe-se que entre n famílias: 160 assinam o jornal A, 35 assinam os dois jornais, 201 não assinam B e 155 assinam apenas um jornal. O valor de n e a probabilidade de que uma família selecionada ao acaso assinar A dado que assina B são dados respectivamente por: a) 180 e 160/266 b) 250 e 35/75 c) 266 e 7/13 d) 266 e 35/76 e) 266 e 35/266 Resolução Vamos lá pessoal! A ideia básica deste tipo de exercício é utilizar o Diagrama de Venn para podermos encontrar algum valor faltante, tal como n. Conselho, comece preenchendo a intersecção! Veja: O raciocínio é assim: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br24 de 144 1) Se 160 assinam o jornal A e 35 assinam os dois, 125 pessoas assinam só A. 2) 155 pessoas assinam só 1 jornal, como há 125 pessoas que assinam só A, 30 pessoas assinam só B 3) Como 201 pessoas não assinam B e 125 pessoas assinam só A, 76 pessoas não assinam nenhum. Portanto, o total de famílias é: 券 噺 なにの 髪 ぬの 髪 ぬど 髪 ばは 噺 匝掃掃 Isso não resolveu seu problema, pois há mais três alternativas com esta possibilidade. O que eles querem saber é: qual a probabilidade de assinar A dado que assina B. Isso foi só para te confundir. Uma maneira mais direta de perguntar a mesma coisa é: qual a probabilidade assinar os dois jornais, dado que assina B! Assim: 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫稽岻 Você já tem ambas as definições a partir do diagrama de Venn, basta substituir: 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫稽岻 噺 ぬの岫ぬの 髪 ぬど岻 噺 ぬどはの 噺 挿層惣 Alternativa (c). Boa pessoal! Vamos praticar, porque essa é a maneira mais fác il de aprender sobre probabilidades! Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 25 de 144 Exercício 2 (IRB – ESAF/2005) Sendo qx a probabilidade de uma pessoa de idade “x” falecer nesta idade e qy a probabilidade de uma pessoa de idade “y” falecer nesta idade e px = (1 - qx) e py = (1 – qy), pode-se afirmar que o resultado da equação (1 – px*py) indica a: a) Probabilidade de ambos estarem vivos b) Probabilidade de pelo menos um vivo c) Probabilidade de pelo menos um morto d) Probabilidade de ambos mortos e) Probabilidade de “x” vivo e “y” morto ou “y” vivo e “x” morto Resolução Questão interessante e puramente conceitual. Primeira coisa que você tem de perceber é que ambas as probabilidades são mutuamente exclusivas, pois não há como uma pessoa ter idade “x” e “y” ao mesmo tempo! Neste caso, nós já sabemos que: 鶏岫捲 結 検岻 噺 鶏岫捲岻 抜 鶏岫検岻 Esta é a probabilidade de que ambas as pessoas estejam vivas! -“Por que, professor”? Ora, qx (qy) não é a probabilidade de que uma pessoa de idade “x” (“y”) morra? Então, px = 1 – qx (py = 1 – qy) é a probabilidade de que uma pessoa de idade “x” (“y”) não morra! Neste caso, 1 – px*py é o complemento da probabilidade de ambas as pessoas estarem vivas. Qual é este complemento? Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 26 de 144 Ora, trata-se da probabilidade de, pelo menos, uma das pessoas estar morta! Alternativa (c). Exercício 3 (ICMS\SP – FCC\2009) Considere que numa cidade 40% da população adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso na cidade ser mulher? a) 44% b) 52% c) 50% d) 48% e) 56% Resolução Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 27 de 144 Esta questão é mais facilmente resolvida só com raciocínio! O que você tem de fazer é encontrar o quanto as mulheres representam da população total. A população se divide da seguinte forma: É assim: 1) 40% da população adulta é fumante e deste valor 40% são mulheres. Portanto, ど┸ね 抜 ど┸ね 噺 ど┸なは 噺 なはガ da população adulta total são mulheres que fumam. 2) 60% da população adulta não fuma e 60% das pessoas que não fumam são mulheres, assim ど┸は 抜 ど┸は 噺 ど┸ぬは 噺 ぬはガ da população adulta que não fuma são mulheres. Estes são eventos mutuamente exclusivos, assim a soma das mulheres que fumam mais as que não fumam é o total da população feminina. Portanto: 鶏剣喧 血結兼件券件券欠 噺 なはガ 髪 ぬはガ 噺 のにガ Alternativa (b). Exercício 4 Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 28 de 144 (Petrobrás – CESGRANRIO/2008) A tabela abaixo representa o peso de um grupo de pessoas e suas respectivas frequências. Não há observações coincidentes com os extremos das classes. Classes (em kgf) Frequências 40掬50 2 50掬60 5 60掬70 7 70掬80 8 80掬90 3 Uma pessoa de mais de 50 kgf será escolhida ao acaso. A probabilidade de que o peso desta pessoa esteja entre 60 e 80 kgf é de, aproximadamente: a) 65% b) 63% c) 60% d) 58% e) 55% Resolução Perceba que a questão já afirma que estamos tratando de pessoas com mais de 50 kgf, portanto, em termos de frequência relativa: Classes (em kgf) Frequências Relativa 50掬60 5 0,217391 60掬70 7 0,304348 70掬80 8 0,347826 80掬90 3 0,130435 Total 23 1 A probabilidade de estar no intervalo desejado é de ど┸ぬどねぬ 髪 ど┸ぬねばぱ 簡 ど┸はの 噺 掃捜ガ Alternativa (a). Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 29 de 144 (Petrobrás – CESGRANRIO/2005) Em um grupo de 40 homens e 60 mulheres, a probabilidade de um homem ser míope é de 0,05 e de uma mulher é de 0,1. Com base nestas informações responda às seguintes perguntas. Exercício 5 Selecionando uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de ela ser míope? a) 0,05 b) 0,06 c) 0,07 d) 0,08 e) 0,09 Resolução Esta questão é muito fácil! Basta encontrarmos o total de pessoas míopes na população e dividir este número pelo total da população de forma a que encontremos os elementos da fórmula: 鶏岫畦 噺 兼í剣喧結岻 噺 芸憲欠券建件穴欠穴結 穴結 懸結権結嫌 圏憲結 剣潔剣堅堅結 畦芸憲欠券建件穴欠穴結 穴結 結健結兼結券建剣嫌 券剣 結嫌喧欠ç剣 欠兼剣嫌建堅欠健 Temos 40 homens e 0,05 = 5% deles são míopes, assim: ねど 糾 ど┸どの 噺 匝 Existem dois homens míopes! E mulheres? Existem 60 mulheres e 10% delas são míopes, portanto: はど 糾 ど┸な 噺 掃 Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 30 de 144 Portanto, há 岫は 髪 に 噺 ぱ岻 míopes na população. Assim, a probabilidade de encontrar um míope é de: 鶏岫兼í剣喧結岻 噺 ぱなどど 噺 宋┸ 宋掻 Alternativa (d). Exercício 6 Selecionando um míope ao acaso, qual a probabilidade de o mesmo ser homem. a) 0,25 b) 0,27 c) 0,30 d) 0,33 e) 0,40 Resolução Olha o Teorema de Bayes aí gente! O que ele está te perguntando é: qual a probabilidade de alguém escolhido ao acaso ser homem dado que o mesmo é míope. Com base em nossa fórmula: 鶏岫月剣兼結兼】兼í剣喧結岻 噺 鶏岫月剣兼結兼 堪 兼í剣喧結岻鶏岫兼í剣喧結岻 O numerador deriva do que já encontramos, no caso sabemos que há dois homens míopes, portanto, a probabilidade de alguém ser homem e míope é de: 鶏岫月剣兼結兼 堪 兼í剣喧結岻 噺 になどど 噺 ど┸どに Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 31 de 144 Agora, a probabilidade de ser míope independentemente do sexo, com base no que encontramos no exercício anterior é de: 鶏岫兼í剣喧結岻 噺 ぱなどど 噺 ど┸どぱ Substituindo na fórmula: 鶏岫月剣兼結兼】兼í剣喧結岻 噺 鶏岫月剣兼結兼 堪 兼í剣喧結岻鶏岫兼í剣喧結岻 噺 ど┸どにど┸どぱ 噺 宋┸ 匝捜 Alternativa (a). Exercício 7 (Auditor da Previdência – ESAF/2002) Suponha que a probabilidade de um evento C seja 0,4 e que a probabilidade condicional do evento D dado que C ocorreu seja 0,2. Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de ocorrência de D e C. a) 0,5 b) 0,08 c) 0 d) 1 e) 0,6 Resolução Essa questão é só aplicar a fórmula: 鶏岫経】系岻 噺 鶏岫経 堪 系岻鶏岫系岻 蝦 ど┸に 噺 鶏岫経 堪 系岻ど┸ね 蝦 皿岫拶 堪 察岻 噺 宋┸ 宋掻 Estatística p/ AFRFB 2017Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 32 de 144 Alternativa (b). Exercício 8 (Auditor da Previdência – ESAF/2002) Considere um ensaio aleatório com espaço amostral {T,U,V,W}. Considere os eventos M = {T}, N={U,V} e S={W}. Assinale a opção correta relativamente à probabilidade de 捌 堪 錆 堪 傘. a) Não se pode determinar a probabilidade de intersecção. b) É o produto das probabilidades de M, N e S. c) A probabilidade é um, pois pelo menos um dos três deve ocorrer. d) A probabilidade de intersecção é de 1/3. e) A probabilidade de intersecção é nula, pois os eventos são mutuamente exclusivos. Resolução Pessoal, a forma mais fácil de visualizar a solução é com base no Diagrama de Venn: Ficou fácil enxergar, não? Não há intersecção entre os conjuntos, os eventos são mutuamente exclusivos. Alternativa (e). Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 33 de 144 Exercício 9 (BACEN – FCC/2005) Uma pessoa poderá investir seu dinheiro em três setores (A, B e C) da economia. Sabe-se que a probabilidade de uma empresa apresentar lucro é de 0,70 sendo empresa do setor A; 0,8 sendo empresa do setor B e 0,9 sendo empresa do setor C. Tem-se ainda que nesta economi a existem 750 empresas do setor A, 300 do setor B e 150 do setor C. Escolhendo aleatoriamente uma empresa pertencente a esses 3 setores e detectando-se que ela não apresenta lucro, a probabilidade dela pertencer ao setor A é de: a) 30% b) 40% c) 50% d) 75% e) 80% Resolução Isso é um caso típico de probabilidade condicional. Voltemos novamente ao Teorema de Bayes: 鶏岫畦】券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻 噺 鶏岫畦 堪 券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻鶏岫券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻 Vamos começar a calcular! O exercício nos deu as probabilidades de que as empresas tenham lucro, assim a probabilidade de que elas não tenham é o complementar destas últimas: 鶏岫畦 堪 券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻 噺 な 伐 ど┸ば 噺 ど┸ぬ 鶏岫稽 堪 券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻 噺 な 伐 ど┸ぱ 噺 ど┸に 鶏岫系 堪 券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻 噺 な 伐 ど┸ひ 噺 ど┸な Agora vamos encontrar a quantas empresas este valor corresponde, basta multiplicar a probabilidade pela quantidade de empresas: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 34 de 144 継兼喧堅結嫌欠嫌 畦 嫌結兼 健憲潔堅剣 噺 ど┸ぬ 糾 ばのど 噺 ににの 継兼喧堅結嫌欠嫌 稽 嫌結兼 健憲潔堅剣 噺 ど┸に 糾 ぬどど 噺 はど 継兼喧堅結嫌欠嫌 系 嫌結兼 健憲潔堅剣 噺 ど┸な 糾 なのど 噺 なの Agora ficou fácil! No total nós temos (ばのど 髪 なのど 髪 ぬどど 噺 なにどど) empresas. Deste total, (ににの 髪 なの 髪 はど 噺 ぬどど). Portanto, a probabilidade de uma empresa não ter lucro é de: 鶏岫券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻 噺 ぬどどなにどど No caso, a probabilidade de ser uma empresa A e não ter lucro é de: 鶏岫畦 堪 券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻 噺 ににのなにどど Agora aplique na fórmula: 鶏岫畦】券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻 噺 鶏岫畦 堪 券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻鶏岫券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻 噺 ににの【なにどどぬどど【なにどど 噺 ににのぬどど 噺 ど┸ばの 噺 挿捜ガ Alternativa (d). Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 35 de 144 Exercício 10 (CGU – ESAF/2008) Dois eventos são independentes se: a) 皿岫冊 堪 刷岻 噺 皿岫冊岻 髪 皿岫刷岻 b) 皿岫冊 堪 刷岻 噺 皿岫冊岻 閥 皿岫刷岻 c) 皿岫冊 堪 刷岻 噺 皿岫冊岻 伐 皿岫刷岻 d) 皿岫冊 堪 刷岻 噺 皿岫刷岻 髪 皿岫刷】冊岻 e) 皿岫冊 堪 刷岻 噺 皿岫冊岻 抜 皿岫刷岻 Resolução Questão conceitual. Basta nos lembrar daquele “mantra”, assim para dois eventos “A” e “B” quaisquer: 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫稽岻 Se os eventos são independentes a probabilidade de A dado B é igual à probabilidade de A, assim: 鶏岫畦岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫稽岻 Multiplicando invertido: 鶏岫畦 堪 稽岻 噺 鶏岫畦岻 抜 鶏岫稽岻 Alternativa (e). Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 36 de 144 Exercício 11 (Petrobrás – CESGRANRIO/2011) Dois eventos de um espaço amostral são independentes se e somente se: a) A informação e que um deles ocorreu não altera a probabilidade de ocorrência do outro. b) Um deles ocorrendo, o outro não poderá ocorrer. c) São disjuntos, ou seja, a probabilidade de ocorrerem juntos é negativa. d) São negativamente correlacionados. e) Têm a mesma probabilidade de ocorrer. Resolução Com base no que vimos no exercício acima, sabemos que dois eventos independentes têm a característica de que se um deles ocorrer, a probabilidade de ocorrência do outro não se altera. Gabarito (a). Exercício 12 (Petrobrás – CESGRANRIO/2005) Os eventos A e B são independentes e suas probabilidades são P(A) = 0,5 e P(B) = 0,4. Quanto vale 皿岫冊 姦 刷岻? a) 0,5 b) 0,6 c) 0,7 d) 0,8 e) 0,9 Resolução Esta resolução parte da nossa fórmula para reunião: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 37 de 144 鶏岫畦 姦 稽岻 噺 鶏岫畦岻 髪 鶏岫稽岻 伐 鶏岫畦 堪 稽岻 Como os eventos são independentes: 鶏岫畦 堪 稽岻 噺 鶏岫畦岻 糾 鶏岫稽岻 噺 ど┸の 糾 ど┸ね 噺 宋┸ 匝 Assim, vamos substituir na fórmula: 鶏岫畦 姦 稽岻 噺 鶏岫畦岻 髪 鶏岫稽岻 伐 鶏岫畦 堪 稽岻 噺 ど┸の 髪 ど┸ね 伐 ど┸に 噺 宋┸ 挿 Alternativa (c). Exercício 13 (CGU – ESAF/2008) Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando-se, ao acaso, três desses profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a: a) 0,10 b) 0,12 c) 0,15 d) 0,20 e) 0,24 Resolução Agora vamos nos utilizar de análise combinatória! O que nós temos de fazer é o seguinte, encontrar quantas combinações (pois a ordem em que os indivíduos forem escolhidos não importa) de três pessoas são possíveis em que o sexo de todas seja igual e dividir o resultado por todas as combinações Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 38 de 144 possíveis! Iremos fazer isso para os dois sexos. No caso dos homens, queremos saber quantas combinações de 3 homens são possíveis, dado que há 6 pessoas do sexo masculino: 系滞┸戴 噺 は┿岫は 伐 ぬ岻┿ ぬ┿ 噺 は 糾 の 糾 ねぬ 糾 に 糾 な 噺 匝宋 Realizando a mesma operação para as mulheres: 系替┸戴 噺 ね┿岫ね 伐 ぬ岻┿ ぬ┿ 噺 ねな 噺 想 Ótimo! Agora temos de encontrar todas as combinações possíveis, independentemente da disposição do grupo pelo sexo dos indivíduos. Neste caso, temos uma combinação de 10 elementos três a três: 系怠待┸戴 噺 など┿岫など 伐 ぬ岻┿ ぬ┿ 噺 など 糾 ひ 糾 ぱぬ 糾 に 糾 な 噺 層匝宋 Para encontrarmos a probabilidade do que é pedido na questão precisamos calcular o quanto aquelas combinações representam do total: 鶏岫兼結嫌兼剣 嫌結捲剣岻 噺 にどなにど 髪 ねなにど 噺 にねなにど 噺 宋┸ 匝 Alternativa (d). Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 39 de 144 Exercício 14 (ICMS\RJ – FGV\2007) A tabela abaixo representa a distribuição de 1000 pessoas classificadas por sexo e Estado Civil: Uma pessoa é selecionada ao acaso, a probabilidade de a mesma ser uma mulher ou viúva é de: a) 0,6 b) 0,2 c) 0,4 d) 0,7 e) 0,5 Resolução Vamos à nossa fórmula de reunião de probabilidades: 鶏岫兼憲健月結堅 姦 懸件ú懸欠岻 噺 鶏岫兼憲健月結堅岻 髪 鶏岫懸件ú懸欠岻 伐 鶏岫兼憲健月結堅 堪 懸件ú懸欠岻 Agora fica bem fácil! Dado quenosso espaço amostra é de 1000 indivíduos e que há 400 mulheres e 200 viúvos: 鶏岫兼憲健月結堅岻 噺 ねどどなどどど 噺 ど┸ね Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 40 de 144 鶏岫懸件ú懸剣岻 噺 にどどなどどど 噺 ど┸に Agora temos de encontrar a probabilidade de intersecção, com vistas a excluir a dupla contagem. No caso, há 100 mulheres e viúvas, o que representa 10% do total. Assim: 鶏岫兼憲健月結堅 姦 懸件ú懸欠岻 噺 鶏岫兼憲健月結堅岻 髪 鶏岫懸件ú懸欠岻 伐 鶏岫兼憲健月結堅 堪 懸件ú懸欠岻 噺 ど┸ね 髪 ど┸に 伐 ど┸な 噺 宋┸ 捜 Alternativa (e). Exercício 15 (ATA\MF – ESAF\2012) Uma caixa contém 3 bolas brancas e 2 pretas. Duas bolas são retiradas desta caixa, uma a uma e sem reposição, qual a probabilidade de serem da mesma cor? a) 55% b) 50% c) 40% d) 45% e) 35% Resolução Este tipo de questão sem muitas alternativas de combinações, eu sempre aconselho a vocês resolverem com base em raciocínio. Vamos a dois casos possíveis, duas bolas brancas ou duas bolas pretas. 1) 2 bolas pretas: na primeira extração haviam 5 bolas na caixa, sendo que destas duas eram pretas. Portanto, na 1ª extração a chance era de 2 para 5 de vir uma bola preta, enquanto que, na segunda, a chance era de 1 para 4, dado que uma bola preta já foi extraída. Portanto: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 41 de 144 鶏岫喧堅結建欠岻 噺 にの 糾 なね 噺 ににど 2) 2 bolas brancas: por raciocínio análogo, pode-se inferir que a chance de extrair uma bola branca na primeira vez era de 3 para 5, enquanto que na segunda era de 2 para 4. Assim: 鶏岫決堅欠券潔欠岻 噺 ぬの 糾 にね 噺 はにど Não há como os dois casos ocorrerem ao mesmo tempo, ou seja, os eventos são mutuamente exclusivos. Assim: 鶏岫決堅欠券潔欠 姦 喧堅結建欠岻 噺 鶏岫決堅欠券潔欠岻 髪 鶏岫喧堅結建欠岻 伐 鶏岫決堅欠券潔欠 堪 喧堅結建欠岻 噺 はにど 髪 ににど 噺 ぱにど 噺 宋┸ 想 噺 想宋ガ Alternativa (c). Pessoal, agora vou dar alguns exercícios mais teóricos e um pouco mais aprofundados. Estas questões eu tirei do exame da ANPEC (Associação Nacional dos Centros de Pós Graduação em Economia)! Apesar de elas não serem de nenhum concurso específico, o aprofundamento necessário para resolvê- las vai dar a vocês uma “maturidade intelectual”, o que ajuda a resolver as mais fácei s! (ANPEC – 2010) Sobre a teoria das probabilidades e considerando A, B e C três eventos quaisquer, mas com probabilidades de ocorrência diferentes de zero, julgue as afirmativas: Exercício 16 皿岫冊】刷岻皿岫刷】冊岻 噺 皿岫冊岻皿岫刷岻 Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 42 de 144 Resolução Vamos à nossa fórmula: 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫稽岻 鶏岫稽】畦岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫畦岻 Agora, basta dividir uma expressão pela outra: 鶏岫畦】稽岻鶏岫稽】畦岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫稽岻鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫畦岻 噺 鶏岫畦岻鶏岫稽岻 Gabarito: alternativa correta. Exercício 17 Se dois eventos são mutuamente exclusivos, eles são independentes. Resolução Questão importantíssima! Vamos ver se vocês entenderam o conceito de independência. Há como formalizar matematicamente esta resposta, mas eu prefiro utilizar a intuição. Se dois eventos “A” e “B” são mutuamente exclusivos isso significa que a ocorrência de um implica a não ocorrência do outro! Mas, isso é o oposto de independência, pois, Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 43 de 144 neste caso, a probabilidade da ocorrência de um dos eventos, tal como “A”, não poderia afetar a probabilidade de ocorrência de “B”. Entendeu a ideia? Portanto, alternativa errada. Exercício 18 Probabilidade é uma função que relaciona elementos do espaço amostral a valores no intervalo fechado entre 1 e zero. Resolução Esta é a própria definição formal de probabilidade, associando uma parcela do espaço amostral à sua totalidade, sendo que este valor estará definido entre os valores de 0 a 1. Alternativa correta. (ANPEC – 2011) Julgue as afirmativas: Exercício 19 Se 皿岫冊岻 噺 宋┸ 想, 皿岫刷岻 噺 宋┸ 掻 e 皿岫冊】刷岻 噺 宋┸ 匝, então 皿岫刷】冊岻 噺 宋┸ 想 Resolução Basta lembrarmos que existe um elemento comum entre as fórmulas de 鶏岫畦】稽岻 e 鶏岫稽】畦岻, dado por 鶏岫畦 堪 稽岻. Portanto: 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫稽岻 蝦 鶏岫畦 堪 稽岻 噺 鶏岫畦】稽岻 糾 鶏岫稽岻 Substituindo na fórmula de 鶏岫稽】畦岻: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 44 de 144 鶏岫稽】畦岻 噺 鶏岫畦】稽岻 糾 鶏岫稽岻鶏岫畦岻 Essa é a nossa fórmula do Teorema de Bayes. Substituindo os valores: 鶏岫稽】畦岻 噺 鶏岫畦】稽岻 糾 鶏岫稽岻鶏岫畦岻 噺 ど┸に 糾 ど┸ぱど┸ね 噺 宋┸ 想 Alternativa correta. Exercício 20 Se 皿岫冊岻 噺 宋, então 冊 噺 算伺仔斬四仔嗣伺 士珊子餐伺 Resolução Outra pegadinha! Não necessariamente, pois nem todo evento que tem probabilidade de ocorrência igual à zero corresponde a um conjunto vazio. Isso é meio que intuitivo, pense nisso! Alternativa errada. Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 45 de 144 Exercício 21 (BACEN – FCC/2006) A probabilidade de um associado de um clube pagar a sua mensalidade com atraso é de 5%. Entre 5 associados escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de pelo menos um pagar sua mensalidade sem atraso é de: a) 層 伐 宋┸ 操捜捜 b) 宋┸ 操捜捜 c) 想┸ 挿捜 糾 宋┸ 操捜捜 d) 捜 糾 宋┸ 操捜捜 e) 層 伐 宋┸ 宋捜捜 Resolução A resolução desta questão parece complicada, mas não é! A primeira coisa que vocês têm de perceber é que os eventos de diferentes associados atrasarem sua mensalidade são independentes. Portanto, a probabilidade de ocorrência de todos ao mesmo tempo é igual ao produto das probabilidades. Vamos chamar a probabilidade do indivíduo “i” atrasar o pagamento de (畦沈), assim: 鶏岫畦怠 堪 畦態 堪 畦戴 堪 畦替 堪 畦泰岻 噺 鶏岫畦怠岻 糾 鶏岫畦態岻 糾 鶏岫畦戴岻 糾 鶏岫畦替岻 糾 鶏岫畦泰岻 Portanto: 鶏岫畦怠岻 糾 鶏岫畦態岻 糾 鶏岫畦戴岻 糾 鶏岫畦替岻 糾 鶏岫畦泰岻 噺 ど┸どの 糾 ど┸どの 糾 ど┸どの 糾 ど┸どの 糾 ど┸どの 噺 ど┸どの泰 Esta é a probabilidade de que todos atrasem o pagamento! Então, な 伐 ど┸どの泰 é a probabilidade de que ao menos um associado não atrase o pagamento. Alternativa (e). Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 46 de 144 Exercício 22 (Integração Nacional – ESAF/2012) Uma turma de escola de 1º grau tem 30 alunos, dos quais 20 são meninas e 10 são meninos. Ao se escolher, ao acaso, três alunos da turma, sem reposição, qual a probabilidade de 2 dos 3 escolhidos serem meninas? a) ½ b) 12/27 c) 45/91 d) 95/203 e) 2/3 Resolução Bom, nós temos de escolher combinações possíveis das meninas de forma a preencher duas das vagas que precisamos preencher. A ordem não importa, assim: 系態待┸態 噺 にど┿岫にど 伐 に岻┿ に┿ 噺 にど 糾 なひに 糾 な 噺 層操宋 Como temos 10 meninos na escola, podemos encontrar o número de possibilidades apenas multiplicando estes dois números (tal como no exemplo do macho e da fêmea): 鶏剣嫌嫌件決件健件穴欠穴結嫌 噺 なひど 糾 など 噺 層操宋宋 Agora basta dividir este número pelo total de possibilidades! Isso será dado por todas as combinações possíveis, ou seja a combinação dos 30 elementos em conjuntos de três: 系戴待┸戴 噺 ぬど┿岫ぬど 伐 ぬ岻┿ ぬ┿ 噺 ぬど 糾 にひ 糾 にぱぬ 糾 に 糾 な 噺 想宋掃宋 Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br47 de 144 Assim, a probabilidade desejada é de: 鶏岫に兼結券件券欠嫌┸ な兼結券件券剣岻 噺 なひどどねどはど 噺 なひどねどは 噺 操捜匝宋惣 Alternativa (d). Exercício 23 (FINEP – CESGRANRIO/2011) Um sistema de detecção de temporais é composto por dois subsistemas, A e B, que operam independentemente. Se ocorrer temporal, o sistema A acionará o alarme com probabilidade 90%, e o sistema B com probabilidade 95%. Se não ocorrer temporal, a probabilidade d e que o sistema A acione o alarme, isto é, um falso alarme, é de 10%, e a probabilidade de que o sistema B acione o alarme é de 20%. O sistema foi acionado. A probabilidade de que ocorra um temporal é de, aproximadamente, a) 9/19 b) 185/215 c) 855/875 d) 995/1000 e) 995/1275 Resolução Essa questão é difícil! Atenção aos detalhes. A primeira coisa que você tem de entender é que temos 2 possibilidades: “o alarme soou sem temporal” e “o alarme soou com temporal”, dado que o nosso espaço amostral foi reduzido de forma a considerar que o alarme foi acionado! Assim, pense que devemos encontrar: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 48 de 144 鶏岫建結兼喧】嫌剣欠堅岻 噺 鶏岫建結兼喧剣堅欠健 結 嫌剣欠堅岻鶏岫嫌剣欠堅岻 A probabilidade de soar nós tiramos de uma reunião entre a probabilidade de soar com temporal e sem temporal, de forma que: 鶏岫嫌剣欠堅岻 噺 鶏岫嫌剣欠堅潔剣兼建結兼喧剣堅欠健 姦 嫌剣欠堅嫌結兼建結兼喧剣堅欠健岻 鶏岫嫌剣欠堅岻 噺 鶏岫嫌剣欠堅潔剣兼建結兼喧剣堅欠健岻 髪 鶏岫嫌剣欠堅嫌結兼建結兼喧剣堅欠健岻 伐 鶏岫嫌剣欠堅潔剣兼建結兼喧剣堅欠健 堪 嫌剣欠堅嫌結兼建結兼喧剣堅欠健岻 É fácil visualizar que o último elemento é igual à zero, pois não há intersecção entre os eventos. Assim: 鶏岫嫌剣欠堅岻 噺 鶏岫嫌剣欠堅潔剣兼建結兼喧剣堅欠健岻 髪 鶏岫嫌剣欠堅嫌結兼建結兼喧剣堅欠健岻 Mas, há mais de um alarme, portanto, a probabilidade de soar, com ou sem temporal, deve ser uma reunião das probabilidades de soar no alarme A e B: 鶏岫嫌剣欠堅岻 噺 鶏岫嫌剣欠堅潔剣兼建結兼喧剣堅欠健岻凋 勅 喋 髪 鶏岫嫌剣欠堅嫌結兼建結兼喧剣堅欠健岻凋 勅 喋 Se nós detalharmos as duas probabilidades: 鶏岫嫌剣欠堅潔剣兼建結兼喧剣堅欠健岻凋 勅 喋 噺 鶏岫g畦g嫌剣欠堅 姦 gBg嫌剣欠堅岻 鶏岫嫌剣欠堅嫌結兼建結兼喧剣堅欠健岻凋 勅 喋 噺 鶏岫g畦g嫌剣欠堅 姦 gBg嫌剣欠堅岻 Nós já sabemos que 鶏岫畦 姦 稽岻 噺 鶏岫畦岻 髪 鶏岫稽岻 伐 鶏岫畦 堪 稽岻, então vamos abrir estas expressões: 鶏岫嫌剣欠堅潔剣兼建結兼喧剣堅欠健岻凋 勅 喋 噺 鶏岫g畦g嫌剣欠堅岻 髪 鶏岫g稽g嫌剣欠堅岻 伐 鶏岫g畦g結g稽g嫌剣欠堅岻 鶏岫嫌剣欠堅嫌結兼建結兼喧剣堅欠健岻凋 勅 喋 噺 鶏岫g畦g嫌剣欠堅岻 髪 鶏岫g稽g嫌剣欠堅岻 伐 鶏岫g畦g結g稽g嫌剣欠堅岻 No enunciado é dito que ambos são independentes, de forma que: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 49 de 144 鶏岫嫌剣欠堅潔剣兼建結兼喧剣堅欠健岻凋 勅 喋 噺 鶏岫g畦g嫌剣欠堅岻 髪 鶏岫g稽g嫌剣欠堅岻 伐 鶏岫g畦g嫌剣欠堅岻 糾 鶏岫g稽g嫌剣欠堅岻 鶏岫嫌剣欠堅嫌結兼建結兼喧剣堅欠健岻凋 勅 喋 噺 鶏岫g畦g嫌剣欠堅岻 髪 鶏岫g稽g嫌剣欠堅岻 伐 鶏岫g畦g嫌剣欠堅岻 糾 鶏岫g稽g嫌剣欠堅岻 Agora, é só substituir os valores do enunciado: 鶏岫嫌剣欠堅潔剣兼建結兼喧剣堅欠健岻凋 勅 喋 噺 ど┸ひ 髪 ど┸ひの 伐 ど┸ひ 糾 ど┸ひの 噺 ど┸ひひの 鶏岫嫌剣欠堅嫌結兼建結兼喧剣堅欠健岻凋 勅 喋 噺 ど┸な 髪 ど┸に 伐 ど┸な 糾 ど┸に 噺 ど┸にぱ Assim, o espaço amostral é dado por: 皿岫史伺珊司岻 噺 層┸ 匝挿捜 Nós já calculamos a probabilidade de soar com temporal, aí é só calcular: 鶏岫建結兼喧】嫌剣欠堅岻 噺 鶏岫建結兼喧剣堅欠健 結 嫌剣欠堅岻鶏岫嫌剣欠堅岻 噺 ど┸ひひのな┸にばの Multiplicando o numerador e o denominador por 1000 chegamos à alternativa (e). Exercício 24 (FINEP – NCEUFRJ/2006) Um jogador está interessado em fazer apostas com base nos resultados obtidos com o lançamento de dois dados simultaneamente. Ele deseja determinar as probabilidades de dois tipos de resultados: a) a soma dos números que aparecem nos dois dados é menor do que 4; e b) o número que aparece em um dado é diferente do número que aparece no outro dado. As respostas corretas são, respectivamente: a) 1/9 e 5/6 b) 1/12 e 5/6 c) 1/9 e 5/12 d) 1/12 e 2/3 e) 1/6 e 5/12 Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 50 de 144 Resolução Vamos por partes, primeiro iremos determinar a probabilidade de que a soma das faces seja menor do que 4. As possibilidades de que a soma das faces seja menor do que 4 são: 岶岫な┸な岻┹ 岫な┸に岻┹ 岫に┸な岻岼 Ora, com base no princípio fundamental da contagem, são três combinações de um total de: は 券ú兼結堅剣嫌 喧剣嫌嫌í懸結件嫌 穴剣 穴欠穴剣 な 抜 は 券ú兼結堅剣嫌 喧剣嫌嫌í懸結件嫌 穴剣 穴欠穴剣 に 噺 惣掃 Assim: 鶏岫嫌剣兼欠 兼結券剣堅 圏憲結 ね岻 噺 ぬぬは 噺 層層匝 Beleza! Agora, vamos calcular a probabilidade de que os números dos dados sejam diferentes! É muito mais fácil calcularmos a probabilidade de que os mesmos sejam iguais e encontrar o complemento da mesma. As possibilidades de resultados iguais são: 岶岫な┸な岻┹ 岫に┸に岻┹ 岫ぬ┸ぬ岻┹ 岫ね┸ね岻┹ 岫の┸の岻┹ 岫は┸は岻岼 Ou seja, são 6 possibilidades de um total de 36! Assim: 鶏岫券え 件訣憲欠件嫌岻 噺 はぬは 噺 なは O complemento desta última é dado por: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 51 de 144 鶏岫券え 穴件血結堅結券建結嫌岻 噺 な 伐 なは 噺 捜掃 Portanto, alternativa (b). Exercício 25 (ATA – ESAF/2012) Sorteando-se um número de uma lista de 1 a 100, qual a probabilidade de o número ser divisível por 3 ou por 8? a) 41% b) 44% c) 42% d) 45% e) 43% Resolução Questão bem tranquila, mas tem que pensar um pouco. Primeira coisa é encontrar quantos números entre 1 e 100 são divisíveis por 3 e 8. Ora, pense comigo, quantos números que são múltiplos de 3 estão entre 1 e 100? Você precisa encontrar o maior valor possível de um múltiplo de 3 (捲) que seja menor do que 100, pois, neste caso, você encontrará quantos múltiplos de 3 existem neste intervalo. Se você calcular, verá que: 捲 噺 ぬぬ Pois, ぬ 抜 ぬぬ 噺 ひひ, enquanto que ぬ 抜 ぬね 噺 などに, o que é maior do que 100. Assim, existem 33 múltiplos de 3 que estão entre 1 e 100. Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 52 de 144 E múltiplos de 8? Se você pensar da mesma forma, vai perceber que: 捲 噺 なに Pois, ぱ 抜 なに 噺 ひは, enquanto que ぱ 抜 なぬ 噺 などね, o que é maior do que 100. Assim, existem 12 múltiplos de 8 que estão entre 1 e 100. Entretanto, existem números repetidos nesta lista, pois há números que são divisíveis por 3 e 8. Assim, qual é o Mínimo Múltiplo Comum (MMC, lembra do 2º grau?) entre 3 e 8? Assim, para encontrar os números que são múltiplos de ambos, precisamos multiplicar um pelo outro, o que nos dá o valor de 24. Agora, temos de encontrar a quantidade de múltiplos de 24 no intervalo de 1 a 100. Este é bem mais fácil: 捲 噺 ね Assim, a quantidade de múltiplos de 3 e 8 entre 1 e 100 é igual à quantidade de múltiplos de 3 mais os de 8, menos os valores conjuntos de ambos: 警ú健建件喧健剣嫌 噺 ぬぬ 髪 なに 伐 ね 噺 ねな Aí, fica fácil calcular a probabilidade. No caso, temos 100 possibilidades ao todo: 鶏岫兼憲健建件喧健剣嫌 穴結 ぬ 結 ぱ岻 噺 ねななどど 噺 想層ガ Alternativa (a). Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 53 de 144 Essa próxima questão vai trazer conteúdo novo, portanto resolvam comigo primeiro. Exercício 26 (STN – ESAF/2012) Com relação à teoria da Probabilidade, pode-se afirmar que: a) se A e B são eventos independentes, então P( A U B) = P(A) + P(B). b) se A, B e C são eventos quaisquer com P(C) ≠ 0, então P( A U B|C) = P (A|C) + P(B|C). c) a definição frequentista de probabilidade é fundamentada na ideia de repetição do experimento. d) A, B e C são eventos independentes se, e somente se, P(A ŀ B yC) = P(A). P(B). P(C). e) P(冊) + P(冊拍) = 0. Resolução Esta é muito difícil, vamos uma por uma! Letra (a). Se os eventos são independentes, a probabilidadecondicional é que muda, de forma que: 鶏岫畦 堪 稽岻 噺 鶏岫畦岻 抜 鶏岫稽岻 Errada. Letra (b) Vamos substituir a equação: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 54 de 144 鶏岫畦 姦 稽】系岻 噺 鶏岫岫畦 姦 稽岻 堪 系岻鶏岫系岻 Pelas propriedades vistas em aula, sabemos que: 鶏岫岫畦 姦 稽岻 堪 系岻鶏岫系岻 噺 鶏岫岫畦 堪 系岻 姦 岫稽 堪 系岻岻鶏岫系岻 噺 鶏岫畦 堪 系岻 髪 鶏岫稽 堪 系岻 伐 鶏岫岫畦 堪 系岻 堪 岫畦 堪 稽岻岻鶏岫系岻 Substituindo a probabilidade condicional: 鶏岫畦 姦 稽】系岻 噺 鶏岫畦 堪 系岻 髪 鶏岫稽 堪 系岻 伐 鶏岫岫畦 堪 系岻 堪 岫畦 堪 稽岻岻鶏岫系岻噺 鶏岫畦】系岻 髪 鶏岫稽】系岻 伐 鶏岫岫畦 堪 系岻 堪 岫畦 堪 稽岻岻鶏岫系岻 Alternativa errada. Letra (c). Esta está correta por definição. Já discutimos isso na aula. Letra (d). Esta é a mais complicada. Para que três eventos sejam independentes, é preciso que eles sejam independentes conjuntamente e entre si. Portanto, as condições necessárias e suficientes para que isso ocorra são: 皿岫冊 堪 刷岻 噺 皿岫冊岻 抜 皿岫刷岻 皿岫刷 堪 察岻 噺 皿岫刷岻 抜 皿岫察岻 皿岫冊 堪 察岻 噺 皿岫冊岻 抜 皿岫察岻 皿岫冊 堪 刷 堪 察岻 噺 皿岫冊岻 抜 皿岫刷岻 抜 皿岫察岻 Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 55 de 144 Todas devem ocorrer conjuntamente. Alternativa falsa. Letra (e). Aquele “tracinho” em cima do A significa o seu complemento. A soma de um conjunto com seu complemento é sempre igual à 1. Alternativa errada. Assim, o gabarito é (c). Exercício 27 (MPOG – ESAF/2012) Um jogo consiste em jogar uma moeda viciada cuja probabilidade de ocorrer coroa é igual a 1/6. Se ocorrer cara, seleciona-se, ao acaso, um número z do conjunto Z dado pelo int ervalo {z i N | 7 ≤ z ≤ 11}. Se ocorrer coroa, seleciona-se, ao acaso, um número p do intervalo P = {p i N | 1 ≤ p < 5}, em que N representa o conjunto dos números naturais. Maria lança uma moeda e observa o resultado. Após verificar o resultado, Maria retira, aleatoriamente, um número do conjunto que atende ao resultado obtido com o lançamento da moeda, ou seja: do conjunto Z se ocorreu cara ou do conjunto P se ocorreu coroa. Sabendo-se que o número selecionado por Maria é ímpar, então a probabilidade de ter ocorrido coroa no lançamento da moeda é igual a: a) 6/31 b) 1/2 c) 1/12 d) 1/7 e) 5/6 Resolução Trata-se de um exercício com o uso da Regra de Bayes. Qual a probabilidade de ter dado coroa dado que o número encontrado é ímpar. 鶏岫潔剣堅剣欠】件兼喧欠堅岻 噺 鶏岫件兼喧欠堅】潔剣堅剣欠岻 糾 鶏岫潔剣堅剣欠岻鶏岫件兼喧欠堅】潔剣堅剣欠岻 糾 鶏岫潔剣堅剣欠岻 髪 鶏岫件兼喧欠堅】潔欠堅欠岻 糾 鶏岫潔欠堅欠岻 Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 56 de 144 Bom, a probabilidade de termos um valor ímpar, dado que tiramos coroa é de 0,5, pois trata-se da metade dos casos do espaço amostral do evento coroa: 潔剣堅剣欠 噺 岶な┹ に┹ ぬ┹ ね岼 Já, a probabilidade de ser cara é de 0,6, pois o espaço amostral é: 潔剣堅欠 噺 岶ば┹ ぱ┹ ひ┹ など┹ なな岼 Assim, vamos substituir: 鶏岫潔剣堅剣欠】件兼喧欠堅岻 噺 ど┸の 抜 なは岾ど┸の 抜 なは峇 髪 岾ど┸は 抜 のは峇 噺 なば Alternativa (d). Exercício 28 (ICMS-RJ – 2014/FCC) Um lote de determinado artigo é formado por 8 bons e 4 defeituosos. Desse lote, é extraída uma amostra aleatória, sem reposição, de 3 artigos. A probabilidade dessa amostra conter no máximo um artigo bom é a) 13/100 b) 13/55 c) 7/55 d) 9/110 e) 9/55 Resolução Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 57 de 144 O total de combinações possíveis que podemos formar é: 系怠態┸戴 噺 なに┿ひ┿ ぬ┿ 噺 なに 抜 なな 抜 などぬ 抜 に 噺 ね 抜 なな 抜 の 噺 匝匝宋 A partir daí, precisamos encontrar a quantidade de combinações possíveis compostas só de artigos ruins e todas que seriam possíveis só com 1 artigo bom. 鯨ó 堅憲件券嫌 噺 系替┸戴 噺 ね┿な┿ ぬ┿ 噺 ね 抜 ぬ 抜 にぬ 抜 に 噺 想 Assim, há 4 combinações possíveis de só escolhermos 4 itens ruins. No caso de 1 item bom e outros 2 ruins, precisamos encontrar o total de combinações possíveis de itens ruins primeiro: に 堅憲件券嫌 噺 系替┸態 噺 ね┿に┿ に┿ 噺 ね 抜 ぬに 噺 掃 Bom, nós temos 6 possibilidades de escolhermos 2 ruins primeiro, seguindo-se a escolha de um item bom. É fácil perceber que o total de possibilidades será dado pela multiplicação deste total de combinações pelo total de itens bons ainda presentes na amostra. Assim: な 件建結兼 決剣兼 結 に 堅憲件券嫌 噺 は 抜 ぱ 噺 想掻 Portanto, a probabilidade de encontrarmos a combinação pedida no enunciado é: 鶏岫券剣 兼á捲件兼剣 な 決剣兼岻 噺 ねぱ 髪 ねににど 噺 のにににど 噺 なぬのの Alternativa (b). Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 58 de 144 Exercício 30 (ALESP – 2010\FCC) Numa pesquisa respondida por todos os funcionários de uma empresa, 75% declararam praticar exercícios físicos regularmente, 68% disseram que fazem todos os exames de rotina recomendados pelos médicos e 17% informaram que não possuem nenhum dos dois hábitos. Em relação ao total, os funcionários desta empresa que afirmaram que praticam exercícios físicos regularmente e fazem todos os exames de rotina recomendados pelos médicos representam a) 43% b) 60% c) 68% d) 83% e) 100% Resolução Questão que a gente usa para testar conhecimentos de Diagrama de Venn. Vamos supor, para fins de simplificação que haja 100 funcionários na empresa. Quantas pessoas não preenchem nenhum dos requisitos (exercícios e exames regulares)? なばガ 抜 などど 噺 なば 血憲券潔件剣券á堅件剣嫌 Portanto há 83 funcionários (83%) que preenchem um ou dois dos requisitos. Mas, o exercício quer os funcionários que preenchem os dois. Portanto, vamos usar um diagrama de Venn: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 59 de 144 Como encontrar a parte amarela? Vamos usar nossa fórmula: 皿岫冊 姦 刷岻 噺 皿岫冊岻 髪 皿岫刷岻 伐 皿岫冊 堪 刷岻 Rearranjando: 皿岫冊岻 髪 皿岫刷岻 伐 皿岫冊 姦 刷岻 噺 皿岫冊 堪 刷岻 Esta fórmula nos permite encontrar a probabilidade da intersecção! Aí é só substituir: 皿岫冊 堪 刷岻 噺 挿捜ガ 髪 掃掻ガ 伐 掻惣ガ 噺 掃宋ガ Alternativa (b). Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 60 de 144 Exercício 31 (INFRAERO – 2011\FCC) Em uma comunidade 10% de todos os adultos com mais de 60 anos têm certa doença. Um teste diagnostica corretamente 90% de todos os adultos com mais de 60 anos, como portadores da mesma e incorretamente 5% de todos aqueles que não têm a doença, como portadores da mesma. A probabilidade de um adulto com mais de 60 anos ter de fato a doença, sabendo que ele foi diagnosticado como portador da mesma é a) 1/3 b) 2/3 c) 1/5 d) 2/5 e) 3/5 Resolução Vamos fazer assim (sem Teorema de Bayes, só no raciocínio mesmo), imagine que essa população tenha 1000 indivíduos. Assim: ひどガ 嫌欠憲穴á懸結件嫌 噺 ひどど 喧結嫌嫌剣欠嫌 などガ 潔剣兼 欠 穴剣結券ç欠 噺 などど 喧結嫌嫌剣欠嫌 Como o teste diagnosticaria essa população? Ora, ele vai diagnosticar corretamente 90% da população com a doença e 5% de pessoas sem doença: 嫌欠憲穴á懸結件嫌 穴件欠訣券剣嫌建件潔欠穴剣嫌 潔剣兼 欠 穴剣結券ç欠 噺 のガ 抜 ひどど 噺 ねの 穴剣結券建結嫌 穴件欠訣券剣嫌建件潔欠穴剣嫌 潔剣兼 欠 穴剣結券ç欠 噺 ひどガ 抜 などど 噺 ひど Portanto, 135 (90+45) foram diagnosticadas com a doença. Porém, só 90 realmente a possui. Assim: 鶏岫穴剣結券ç欠】穴件欠訣券ó嫌建件潔剣 喧剣嫌件建件懸剣岻 噺 ひどなぬの 噺 にぬ Alternativa (b). Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 61 de 144 Exercício 32 (SEMAD – FUNCAB\2013) A probabilidade de você efetuar uma compra via Internet e não receber a mercadoria no tempo combinado é igual a 0,04. Você efetua duas compr as que são enviadas em tempos espaçados o suficiente para considerá-las como eventos independentes. Qual a probabilidade de uma ou mais compras não serem recebidas no tempo exato? A) 0,0768 B) 0,0016 C) 0,0384 D) 0,0784 Resolução Bom, a melhor forma de resolver isso é calcular a probabilidade de receber as duas mercadorias no prazo e fazer: な 伐 鶏岫堅結潔結決結堅 欠兼決欠嫌 券剣 喧堅欠権剣岻 Essa é a probabilidade de uma ou mais compras não serem recebidas no prazo. Como os eventos são independentes: 鶏岫堅結潔結決結堅 欠兼決欠嫌 券剣 喧堅欠権剣岻 噺 鶏岫堅結潔結決結堅 なぇ 券剣 喧堅欠権剣岻 抜 鶏岫堅結潔結決結堅 にぇ 券剣 喧堅欠権剣岻 鶏岫堅結潔結決結堅 欠兼決欠嫌 券剣 喧堅欠権剣岻 噺 ど┸ひは 抜 ど┸ひは 噺 ど┸ひになは Assim: な 伐 鶏岫堅結潔結決結堅 欠兼決欠嫌 券剣 喧堅欠権剣岻 噺 ど┸どばぱね Alternativa (d). Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 62 de 144 Exercício 33 (MPE\RO – FUNCAB\2012) No início dos anos 1990, a população do Cabralquistão apresentava as seguintes características demográficas: 30% dos habitantes eram naturais da província Malakai; 28% falavam Francês; 24% eram de Malakai e falavam Francês. Imagine que foi selecionado, ao acaso, um habitante desse país e considere as três seguintes quantidades: P(a) = probabilidade de ser natural de Malakai ou falar Francês. P(b) = probabilidade de nem ser de Malakai, nem falar Francês. P(c) = probabilidade de falar Francês, mas não ser de Malakai. Pode-se afirmar que: A) P(a) < P(b) < P(c). B) P(c) < P(b) < P(a). C) P(c) < P(a) < P(b). D) P(b) < P(c). E) P(a) > P(b) = P(c). Resolução Para facilitar este tipo de questão, sempre vale a pena dar um número para a população, no caso, vamos dizer que o total da população é de 100 pessoas. Assim, 30 pessoas são de Malakai, 28 falam francês e 24 tem as duas características. Vamos por no Diagrama de Venn: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 63 de 144 Assim, há 34 pessoas que falam francês ou são de Malakai de um total de 100, ou seja, 34%. A probabilidade de não ser de Malakai nem falar francês é o complemento da anterior, ou seja, 66%. Já, a probabilidade de falar francês, mas não ser de Malakai é 4%, pois há um total e 4 pessoas. Portanto, P(c)<P(a)<P(b). Alternativa (c). Exercício 34 (Prefeitura de Cuiabá – FUNCAB\2013) Após verificar que as contas de luz cobradas no corrente mês haviam sido atipicamente altas, um secretário municipal resolveu dar um desconto uniforme para todos os usuários. Assim, com base no aumento médio apurado naquelas contas para as quais já houvesse reclamação nos dois últimos meses, resultou que todas as contas do mês foram diminuídas em cerca de R$ 6,80. Assinale a afirmativa correta sobre o que ocorreu para o conjunto das contas: A) Somente a média aritmética se alterou. B) Somente a mediana se alterou. C) A média aritmética e a mediana se alteraram. D) Nem a média, nem a mediana se alteraram. E) Nada se pode afirmar sem saber quantas reclamações ocorreram. Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 64 de 144 Resolução Veja, suponha uma série de notas dadas por: No�a�┺ の┹ は┹ ば Méd�a 噺 は Med�a�a 噺 は Se somarmos 3 em cada unidade: No�a�┺ ぱ┹ ひ┹ など Méd�a 噺 ひ Med�a�a 噺 ひ Neste caso, tanto a média quanto o valor da mediana mudaram! Alternativa (c). O problema é que se considerarmos a posição da mediana, no caso, o 3º elemento, a mediana não muda! Com base nisso, a banca deu como certa a alternativa (a). Entretanto, com base no enunciado, não dá para inferir isso. A questão deveria ter sido anulada. Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 65 de 144 Exercício 35 (Prefeitura de Cuiabá – FUNCAB\2013) Uma urna contém uma bola vermelha e uma branca; outra contém duas bolas vermelhas e três brancas. Seleciona- se uma urna ao acaso e dela retira-se uma bola, ao acaso. Qual a probabilidade de que a bola assim retirada seja vermelha? A) 9/20 B) 1/2 C) 11/20 D) 3/7 E) 4/7 Resolução A chance de escolher qualquer uma das urnas é 0,5, pois há duas urnas que podem ser escolhidas ao acaso. No caso da primeira, a probabilidade da bola ser vermelha é 0,5, enquanto que na segunda é de 2/5. Para encontrarmos a probabilidade em questão, basta multiplicarmos a probabilidade de cada urna pela probabilidade de obtermos bola vermelha na mesma. Assim, a probabilidade de escolhermos uma bola vermelha é: 鶏岫決剣健欠 懸結堅兼結健月欠岻 噺 なに 抜 なに 髪 なに 抜 にの 噺 なね 髪 になど 噺 の 髪 ねにど 噺 操匝宋 Alternativa (a). Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 66 de 144 Esta próxima é uma boa você fazer comigo primeiro! Exercício 36 (SEPLAG MG – FUNCAB\2013) Analisando o gráfico abaixo, referente à densidade de probabilidade de uma determinada variável aleatória, o que se pode inferir sobre a assimetria da distribuição? A) Assimétrica positiva B) Assimétrica negativa C) Simétrica D) Malcomportada Resolução Assimetria positiva = Assimetria à direita. Assimetria negativa = Assimetria à esquerda. Guarde estes nomes que, às vezes, são utilizados pelas bancas. Alternativa (a). Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 67 de 144 (TCE ES – CESPE\2012) Suponha que 70% das pessoas que integrem um plenário sejam do sexo feminino e 30%, do sexo masculino, e que 20% das mulheres e 10% dos homens sejam favoráveis a determinada proposta, sendo todos os demais integrantes contrários a ela. A partir dessas informações, julgue os próximos itens. Exercício 37 A probabilidade de se selecionar aleatoriamente um indivíduo no plenário e ele ser do sexo feminino ou ser favorável à proposta é superior a 0,80. Resolução Ora, trata-se de uma questão em que temos de avaliar a probabilidade conjunta dos dois eventos “ser do sexo feminino” (vamos chamar de evento “A”) e “ser favorável à proposta” (vamos chamar de evento “B”). Assim, queremos saber: 鶏岫畦 姦 稽岻 Nós já sabemos que: 鶏岫畦 姦 稽岻 噺 鶏岫畦岻 髪 鶏岫稽岻 伐 鶏岫畦 堪 稽岻 Para calcular as probabilidades vamos supor que o plenário tenha 100 pessoas, afinal isso facilitará os cálculos. Portanto: 鶏岫畦岻 噺 建剣建欠健 穴結 兼憲健月結堅結嫌建剣建欠健 穴結 喧結嫌嫌剣欠嫌 券剣 喧健結券á堅件剣 噺 ばどガ Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 68 de 144 鶏岫稽岻 噺 建剣建欠健 穴結 喧結嫌嫌剣欠嫌 血欠懸剣堅á懸結件嫌 à 喧堅剣喧剣嫌建欠建剣建欠健 穴結 喧結嫌嫌剣欠嫌 券剣 喧健結券á堅件剣 噺 ばど 抜 にどガ 髪 ぬど 抜 などガなどど 噺 なばなどど 噺 なばガ 鶏岫畦 堪 稽岻 噺 兼憲健月結堅結嫌 血欠懸剣堅á懸結件嫌 à 喧堅剣喧剣嫌建欠建剣建欠健 穴結 喧結嫌嫌剣欠嫌 券剣 喧健結券á堅件剣 噺 にどガ 抜 ばどなどど 噺 なねガ Portanto: 鶏岫畦 姦 稽岻 噺 鶏岫畦岻 髪 鶏岫稽岻 伐 鶏岫畦 堪 稽岻 噺 ど┸ば 髪 ど┸なば 伐 ど┸なね 噺 ど┸ばぬ Portanto, alternativa errada. Exercício 38 A probabilidadede se selecionar aleatoriamente um indivíduo no plenário e ele ser um homem não favorável à proposta é igual a 0,27. Resolução Utilizando a aproximação que fizemos, considerando que há 100 pessoas no plenário, fica fácil calcular! O percentual de homens não favoráveis à proposta é de 100% - 10% = 90%. 鶏岫月剣兼結兼 堪 券ã剣 血欠懸剣堅á懸結健岻 噺 月剣兼結兼 結 券ã剣 血欠懸剣堅á懸結健 à 喧堅剣喧剣嫌建欠建剣建欠健 穴結 喧結嫌嫌剣欠嫌 券剣 喧健結券á堅件剣 噺 ひどガ 抜 ぬどなどど 噺 にばガ Alternativa verdadeira. Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 69 de 144 (AFT – CESPE/2013) Um auditor do trabalho deve analisar 20 processos: 5 a respeito de seguranca no trabalho, 7 a respeito de FGTS e 8 a respeito de jornada de trabalho. Considerando que esses processos sejam colocados sobre a mesa de trabalho do auditor, de maneira aleatória, formando uma pilha, julgue os itens que se seguem. Exercício 39 Considere que uma pilha com os 20 processos seja formada de maneira aleatória. Nesse caso, a probabilidade de o processo que esta na parte superior tratar de assunto relativo a FGTS será superior a 0,3. Resolução Neste caso, temos 20 possibilidades no total e queremos saber qual a probabilidade de que um processo escolhido ao acaso, que esteja no topo da pilha, seja de FGTS. Assim: 鶏岫繋罫劇鯨岻 噺 券え 穴結 喧堅剣潔結嫌嫌剣嫌 穴結 繋罫劇鯨券え 穴結 喧堅剣潔結嫌嫌剣嫌 建剣建欠件嫌 噺 ばにど 噺 宋┸ 惣捜 Alternativa correta. Exercício 40 Se os processos relativos a FGTS ficarem sempre na parte superior da pilha, então uma pilha com essa característica poderá ser formada de 13! × 7! maneiras distintas . Resolução Se isso acontecer, nós temos que reorganizar 13 processos (20 – 7), pois os outros 7 estão no topo da pilha. Assim, as possibilidades que temos são: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 70 de 144 層惣┿ Mas, além dessa reorganização, nós também podemos trocar os 7 processos de FGTS de lugar, de forma a mantê-los no topo da pilha. Assim, os processos de FGTS podem ser reorganizados de (ば┿) formas diferentes. Portanto, o total de formas que podemos organizar a pilha é: 挿┿ 抜 層惣┿ Alternativa correta. (CNJ – CESPE\2013) Considerando os dados da tabela acima, que mostra a quantidade e situação de processos, nos anos 2010, 2011 e 2012, em um tribunal, julgue os itens subsequentes. Exercício 41 Se, em 2011, 5 juízes atuavam no referido tribunal, então a relação juiz/processo era de, aproximadamente, 1:170. Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 71 de 144 Resolução O total de processos em 2011 é a soma dos processos em tramite, para parecer e julgados. Assim, a relação de juiz\processo é: 堅結健欠çã剣 倹憲件権d喧堅剣潔結嫌嫌剣 噺 のにねど 髪 ぬど 髪 のぱど 噺 のぱのど 噺 ななばど Alternativa correta. Exercício 42 A variável “ano” e uma variável qualitativa ordinal, uma vez que e possível definir uma ordem entre os anos. Resolução A variável ano é uma variável quantitativa e não qualitativa. Hora de lembrar dos conceitos da aula 00, ok? Alternativa errada Exercício 43 Se determinado processo esta em tramite, a probabilidade de ele ser do ano de 2012 é superior a 30%. Resolução Veja que o total de processos em tramite nos anos de 2010 a 2012 é: にどど 髪 にねど 髪 にはど 噺 ばどど Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 72 de 144 Assim, a probabilidade de que um processo em tramite escolhido ao acaso seja do ano de 2012 é: 鶏岫にどなに岻 噺 にはどばどど 簡 ぬば┸なねガ Alternativa verdadeira. Exercício 44 (BNDES – CESGRANRIO/2013) A Figura abaixo representa um histograma. Em relação às medidas de centralidade do histograma, considere as afirmativas abaixo. I – A média é maior que a mediana. II – A distribuição dos dados é unimodal. III – A moda é menor que a média. É correto o que se afirma em (A) II, apenas (B) III, apenas (C) I e II, apenas (D) II e III, apenas (E) I, II e III Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 73 de 144 Resolução O que está ocorrendo aqui? Trata-se de uma distribuição assimétrica à direita! Neste caso, com base no tipo de assimetria, podemos inferir sobre as posições da média, mediana e moda: Assim, as alternativas I e III são verdadeiras. Além disso, perceba que há uma única coluna que é a mais alta de todas! Ou seja, só há um valor (ou intervalo de valores) que é o mais alto possível, assim, há uma única moda (unimodal). Alternativa (e). Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 74 de 144 Exercício 45 (BNDES – CESGRANRIO/2013) Cinco pessoas devem ficar em fila, sendo que duas delas (João e Maria) precisam ficar sempre juntas. De quantas formas diferentes essas pessoas podem-se enfileirar? (A) 48 (B) 50 (C) 52 (D) 54 (E) 56 Resolução Esse exercício é relativamente fácil! Basta considerar João e Maria como uma pessoa só, calcular a quantidade de combinações possíveis e multiplicar por 2, afinal, os dois juntos pode significar primeiro o João e depois a Maria ou vice versa. Vamos lá, calcular quantas combinações são possíveis com 4 indivíduos. Isso é uma permutação de 4: ね┿ 噺 ね 抜 ぬ 抜 に 抜 な 噺 にね Multiplicando por 2: 系剣兼決件券欠ç�結嫌 噺 にね 抜 に 噺 ねぱ Alternativa (a). Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 75 de 144 Exercício 46 (BNDES – CESGRANRIO/2013) Compareceram a uma festa exatamente 20 homens com suas respectivas esposas. Quantos pares (A, B) podem ser formados, de maneira que A é um homem, B é uma mulher e A não é casado com B? (A) 20 (B) 40 (C) 210 (D) 380 (E) 400 Resolução Hora de lembrar o princípio da contagem! Cada homem pode estar com 19 mulheres diferentes, dado que ele não pode formar par com sua própria esposa. Neste caso, o total de combinações é dado pelo total de homens multiplicado pela quantidade de combinações que podem ser formadas com cada um: なひ 抜 にど 噺 ぬぱど Alternativa (d). Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 76 de 144 Exercício 47 (BNDES – CESGRANRIO/2011) Resolução Olhe no gráfico! Trata-se de uma distribuição assimétrica à direita! Assim: Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 77 de 144 Neste caso, a média é maior do que a mediana, que é maior do que a moda. Alternativa (e). Exercício 48 (BNDES – CESGRANRIO/2011) Resolução Vamos considerar que o total de fichas é 100, com o intuito de facilitar os cálculos. Estatística p/ AFRFB 2017 Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo