Atividade 2 (A2) CALCULO APLICADO VARIAS VARIAVES

Prévia do material em texto

Usuário 
 
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS 
GR0551211 - 202110.ead-29779045.06 
Teste ATIVIDADE 2 (A2) 
Iniciado 08/02/21 22:57 
Enviado 11/02/21 12:09 
Status Completada 
Resultado da 
tentativa 
10 em 10 pontos 
Tempo decorrido 61 horas, 12 minutos 
Resultados 
exibidos 
Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários 
 Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 
Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em 
cada etapa. Esse tipo de função é derivada fazendo o uso da chamada 
regra da cadeia. No caso de funções de duas variáveis, temos que observar 
quais são as variáveis independentes, as variáveis intermediárias e a 
variável dependente. Sabemos que podemos escrever . 
Se e e . 
 
Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
As variáveis e são as variáveis 
independentes. 
Resposta Correta: 
As variáveis e são as variáveis 
independentes. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a 
variável depende das variáveis e , pois . 
No entanto, as variáveis e dependem das 
variáveis e e essas últimas não possuem 
dependência de nenhuma outra variável. Dessa forma, 
concluímos que as variáveis e são as variáveis 
independentes. 
 
 
 Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de 
temperatura (T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando 
essa lei como a função , onde é uma constante dada, considere 
um gás com o volume de sob uma pressão de . O volume está 
aumentando a uma taxa de e a pressão está decrescendo a uma taxa 
de por segundo. 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura 
considerando as informações anteriores. (Use ). 
 
 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por 
segundo no instante dado. 
Resposta Correta: 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por 
segundo no instante dado. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos 
gases ideais , onde , temos . Pelas informações 
do enunciado, temos , , e . Derivando a 
função com relação ao tempo , pela regra da 
cadeia, temos: , onde e . Assim, . 
Portanto, a temperatura está diminuindo a uma taxa 
de por segundo no instante dado. 
 
 
 Pergunta 3 
1 em 1 pontos 
 
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor 
gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o 
ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que 
a derivada direcional é máxima para o vetor unitário do vetor gradiente. 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de 
máximo crescimento da função no ponto P(-1,1). 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas 
parciais da função e o vetor gradiente são: , e . 
Logo, . Como a direção de máximo crescimento se dá 
no vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor 
gradiente, temos que o vetor procurado é . 
 
 
 Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 
Chamamos de curva de nível da função o conjunto de todos os 
pares pertencentes ao domínio de tais que , onde é uma 
constante real. Utilizamos as curvas de nível para visualizar 
geometricamente o comportamento de uma função de duas variáveis. 
 
Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
A equação é uma curva de nível para a 
função para . 
Resposta Correta: 
A equação é uma curva de nível para a 
função para . 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela definição 
de curva de nível, temos que . Assim, igualando a 
função ao valor de , temos que . Portanto, a curva 
de nível da função para é dada pela equação . 
 
 
 Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 
Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de 
duas variáveis temos que o domínio desse tipo de função pode ser 
dado como o conjunto de pares ordenados pertencentes ao 
plano que satisfazem a lei de formação da função . Assim, para 
determinar o domínio da função precisamos verificar se não há 
restrições para os valores que e podem assumir. 
 
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
O domínio da função é o conjunto . 
Resposta Correta: 
O domínio da função é o conjunto . 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as 
seguintes restrições para os valores de e : 
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto 
é, 
(II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto 
é, 
Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta 
em . Logo, . 
 
 
 Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 
Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor 
normal a ele e um ponto pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é 
perpendicular à curva de nível que passa por um P, para determinar a 
equação de um plano tangente à função no ponto P, precisamos 
conhecer o vetor gradiente da função nesse ponto. Dessa forma, a equação 
do plano tangente pode ser escrita como . 
A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a 
equação do plano tangente à função no ponto P(1,-1). 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas 
parciais da função são: e . Calculando o valor 
da função e suas derivadas parciais no ponto P(1,-1) 
temos: , e . Assim, trocando essas informações 
na equação do plano obtemos 
. 
 
 
 Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, 
isto é, dada a função o vetor gradiente é o vetor . Dado um 
ponto , o vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio 
da seguinte expressão . 
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da 
função no ponto . 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, 
vamos calcular as derivadas parciais da função: 
- Derivada de em relação a (a variável é 
vista como constante): 
- Derivada de em relação a (a variável é 
vista como constante): . 
 
Calculando as derivadas parciais no ponto , 
temos e . Logo, o vetor gradiente é . 
 
 Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de 
aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a partir de um 
ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto 
de uma placa retangular é determinada por meio da função . 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no 
ponto na direção do vetor . 
 
 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
A temperatura está aumentando à taxa de 
aproximadamente 9,93 unidades. 
Resposta Correta: 
A temperatura está aumentando à taxa de 
aproximadamente 9,93 unidades. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas 
parciais da função e seu vetor gradiente são: 
, e . Assim, dado o ponto (3,4), temos . O 
vetor é unitário, então a derivada direcional irá nos 
fornecer a taxa de variação desejada: . 
 
 
 Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
Considere a função de duas variáveis , tal que as 
variáveis e são funções das variáveis e , isto 
é, e . A derivada da função com relação à variável é 
obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Já a derivada 
de com relação à variável é obtida por meio da expressão . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representaa derivada 
da função com relação às variáveis e , sabendo 
 
que e . 
 
 
Resposta Selecionada: 
 e 
Resposta Correta: 
 e 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra 
da cadeia, temos que a derivada parcial de com 
relação a é: . Já a derivada parcial de com 
relação a é: . 
 
 
 Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 
De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de 
uma função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o 
gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”. 
 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: 
Harbra, 1994. 
 
De acordo com essa definição e considerando a função e o ponto 
P(0,1), assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
 na direção de . 
Resposta Correta: 
 na direção de . 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas 
parciais da função e seu vetor gradiente são: 
, e . Assim, . Temos ainda que vetor unitário 
na direção de é o vetor . Portanto, a derivada 
direcional é . 
 
 
Quinta-feira, 11 de Fevereiro de 2021 12h10min22s BRT