SISTEMAIS ESTRUTURAIS1

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SISTEMAS 
ESTRUTURAIS I
Mario Guidoux Gonzaga
Diagramas de 
esforços cortantes e 
de momento fletor
Introdução
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Construir um diagrama de esforços cortantes e momento fletor em 
viga biapoiada.
  Relacionar diagramas de esforços cortantes e momento fletor.
  Realizar os traçados dos diagramas de esforços cortantes e momento 
fletor em pórtico biapoiado.
Introdução
O esforço cortante e o momento fletor são dois tipos de esforços que 
atuam sobre as estruturas. O primeiro é relativo a cargas de cisalhamento, 
que têm tendência ao corte da estrutura. Já o segundo é resultado da 
flexão da estrutura.
Os diagramas de esforço cortante e momento fletor são importantes 
para você identificar os pontos mais solicitados das estruturas. Neste 
capítulo, você vai conhecer e aprender a calcular esses diagramas.
Diagrama de esforços cortantes e momento 
fletor em viga biapoiada
O cisalhamento é uma ação de corte ou fatiamento que pode fazer com que 
uma viga seja quebrada (GARRISON, 2018). A fl exão, por outro lado, ocorre 
quando uma viga recebe uma carga; a fl exão é diretamente proporcional à 
carga aplicada no elemento estrutural. Tanto o cisalhamento quanto a fl exão 
podem romper a estrutura se os seus valores excederem o suportado pelo 
elemento estrutural.
Para conhecer o limite de carga e evitar que as estruturas colapsem, foi 
criado um sistema de quantificação do cisalhamento e da flexão. No caso do 
cisalhamento, as quantificações são conhecidas como esforço cortante; no 
caso da flexão, como momento fletor (GARRISON, 2018).
Esforço cortante
Como você já sabe, o esforço cortante é aquele que tende a causar o cisalha-
mento de uma peça. O valor numérico do esforço cortante em um ponto de 
uma viga é igual ao somatório de todas as forças que atuam para cima ou para 
baixo e que estão à esquerda do ponto estudado. Como padrão, consideram-
-se positivas as forças de baixo para cima e negativas aquelas de cima para 
baixo. Observe, na Figura 1, os valores do esforço cortante atuando em uma 
viga biapoiada.
Figura 1. Diagrama de esforço cortante.
Fonte: Garrison (2018, p. 143).
Diagramas de esforços cortantes e de momento fletor2
Momento fletor
O momento fl etor é a magnitude do efeito de fl exão em qualquer ponto de 
uma viga. O valor do momento fl etor é encontrado pela multiplicação do valor 
das forças pela distância perpendicular. Para encontrar o momento fl etor em 
qualquer ponto de uma viga, somam-se todos os momentos fl etores à esquerda 
do ponto analisado (GARRISON, 2018). Na Figura 2, você pode ver os mo-
mentos fl etores na mesma viga da Figura 1. Observe como o momento fl etor 
é encontrado pela soma das cargas multiplicadas pela distância — 4 metros 
se você olhar para o apoio A e 2 metros se olhar para o apoio G.
Figura 2. Diagrama de momento fletor.
Fonte: Garrison (2018, p. 143).
Agora que você já sabe calcular e traçar os diagramas de esforço cortante e 
momento fletor para cargas concentradas, você vai ver como fazer isso no caso 
de cargas distribuídas, que adicionam um pouco mais de complexidade à tarefa.
3Diagramas de esforços cortantes e de momento fletor
Cargas distribuídas são aquelas que distribuem a força por determinada 
distância. Normalmente, elas são utilizadas para calcular esforços constantes 
que ocorrem em toda uma viga, como uma laje ou uma parede. O esforço 
cortante de uma carga distribuída em uma viga biapoiada segue as mesmas 
regras da carga pontual. Ou seja, você precisa traçar um gráfico em que são 
somadas todas as forças atuando à esquerda do ponto observado.
Os momentos fletores também são calculados pela soma das forças multi-
plicadas pelas distâncias até o ponto analisado. A diferença é que é necessário 
calcular a força resultante da carga distribuída para cada um dos pontos ana-
lisados. Essa força será utilizada para calcular os momentos fletores.
Existem três tipos básicos de cargas quanto à sua natureza: pontuais ou 
concentradas; uniformemente distribuídas (CUDs); e uniformemente variáveis 
(CUVs). Observe, na Figura 3, como são representadas as aplicações de cada tipo.
Figura 3. Tipos de carga.
Fonte: Adaptada de Garrison (2018).
Diagramas de esforços cortantes e de momento fletor4
As cargas resultantes das cargas distribuídas (CUDs e CUVs) são iguais 
à área do retângulo ou triângulo gerado por elas e atuam no centroide das 
figuras — centro do retângulo e ⅓ da maior carga no triângulo, representado 
em vermelho na Figura 3.
Observe, na Figura 4, um diagrama de esforço cortante e momento fletor em 
uma viga com 6 metros de comprimento. Sobre toda a extensão da viga, atua 
uma carga distribuída de 4 kN/m. Repare que foi realizada uma análise de metro 
em metro, suficiente para entender o funcionamento estrutural desse elemento.
Figura 4. Diagramas de esforço cortante e momento fletor.
Fonte: Garrison (2018, p. 147).
5Diagramas de esforços cortantes e de momento fletor
Veja, no Quadro 1, a sequência de cálculos necessários para traçar o dia-
grama de momento fletor da viga da Figura 4. Para cada ponto da viga, é preciso 
calcular a resultante da força distribuída e o seu ponto de atuação — sempre 
no centro da carga para CUD.
Momento fletor em A = + (12 kN × 0 m) = 0 kN.m
Momento fletor em B = + (12 kN × 1 m) – (4 kN/m × 1 m × 0,5 m) = 12 – 2 = 10 kN.m
Momento fletor em C = + (12 kN × 2 m) – (4 kN/m × 2 m × 1 m) = 24 – 8 = 16 kN.m
Momento fletor em D = + (12 kN × 3 m) – (4 kN/m × 3 m × 1,5 m) = 36 – 18 = 18 kN.m
Momento fletor em E = + (12 kN × 4 m) – (4 kN/m × 4 m × 2 m) = 48 – 32 = 16 kN.m
Momento fletor em F = + (12 kN × 5 m) – (4 kN/m × 5 m × 2,5 m) = 60 – 50 = 10 kN.m
Momento fletor em G = + (12 kN × 6 m) – (4 kN/m × 6 m × 3 m) = 72 – 72 = 0 kN.m
Quadro 1. Cálculos para traçar o diagrama de momento fletor da viga da Figura 4
Relação entre diagramas de esforços cortantes 
e momento fletor
Como você viu, diferentes tipos de carga geram diferentes gráfi cos de es-
forço cortante e de momento fl etor. Nos dois exemplos anteriores — Figuras 
1, 2 e 4 —, você pôde observar como uma carga concentrada gerou um 
diagrama de cortante com um corte vertical abrupto e um momento fl etor 
com linhas diagonais, enquanto a carga distribuída gerou um diagrama de 
cortante com linhas diagonais e um diagrama de momento fl etor com uma 
linha curva parabólica.
O formato desses gráficos não é exclusivo aos exemplos apresentados 
anteriormente. O formato dos gráficos de cortante e momento fletor segue 
algumas regras. Como os exemplos são repetitivos, Garrison (2018) exemplifica 
três tipos recorrentes de gráficos:
1. viga com uma carga pontual centralizada;
2. viga com uma carga pontual não centralizada;
3. viga sustentando uma carga uniformemente distribuída ao longo de 
toda a sua extensão.
Diagramas de esforços cortantes e de momento fletor6
A seguir, você vai ver um exemplo de cada tipo de carregamento com os 
cálculos necessários para os gráficos.
Viga com uma carga pontual centralizada
Esse é o tipo mais simples de carregamento. Na Figura 5, você pode ver um 
exemplo em que um elemento biapoiado possui um carregamento concentrado 
exatamente no seu centro. Por estar no centro, a carga é distribuída igualmente pe-
los dois apoios e gera diagramas de esforço cortante e momento fl etor simétricos.
Figura 5. Viga com carga pontual centralizada.
Fonte: Garrison (2018, p. 150).
O diagrama de esforço cortante é muito simples, iniciando com metade 
do carregamento (P/2) positivo sobre o apoio A, o que se mantém em linha 
reta até o centro da viga, onde está o carregamento (P) que leva o cortante até 
7Diagramas de esforços cortantes e de momento fletor
o ponto P/2 negativo. A partir desse ponto, o diagrama vai em linha reta até 
o apoio B, onde a reação leva o cortante novamente ao zero. Já o momento 
fletor tem seu ponto máximo no mesmo ponto onde atua a carga. Assim, o 
carregamento no apoio A (P/2) é multiplicado pela distânciaentre o ponto A 
(L/2), resultando em PL/4 (GARRISON, 2018).
Viga com uma carga pontual não centralizada
O diagrama que você pode ver na Figura 6 é muito parecido com o da Figura 5. 
A única diferença é a posição da carga, que agora é assimétrica. A distribuição da 
carga nos apoios também não é simétrica; ela depende da posição do carregamento. 
Assim, quanto mais próximo do apoio estiver o carregamento, maior a reação. 
A reação pode ser calculada pelo somatório dos momentos em um dos apoios.
Figura 6. Viga com carga pontual não centralizada.
Fonte: Garrison (2018, p. 151).
Diagramas de esforços cortantes e de momento fletor8
O diagrama de esforço cortante se inicia sobre o apoio A, com a reação 
nele. A partir desse ponto, o cortante vai em linha reta até o ponto onde 
atua a carga. Nele, ocorre o corte característico das cargas pontuais com a 
direção com o mesmo módulo da carga. A partir daí, o diagrama segue em 
linha reta até o segundo apoio, onde a reação leva o cortante novamente 
até o zero.
O diagrama de momento fletor também é bem parecido com o apre-
sentado na Figura 5, com o momento máximo sobre o ponto onde atua o 
carregamento. Novamente, como condição das vigas isométricas, o momento 
é igual a zero junto aos apoios; portanto, forma-se um triângulo assimétrico 
no diagrama.
Viga sustentando uma carga uniformemente 
distribuída ao longo de toda a sua extensão
A carga distribuída adiciona uma complexidade maior aos diagramas, 
mas os princípios do desenho são os mesmos dos dois casos anteriores, 
como você pode ver na Figura 7. Para o cálculo das reações nos apoios, 
considere a força resultante da carga distribuída. Você sempre deve calcular 
a área da carga e aplicar o valor ao centroide da fi gura. No caso da carga 
uniformemente distribuída, faça a área do retângulo e aplique-a sobre o 
centro da viga.
O diagrama de cortante inicia, como sempre, pelo ponto mais à esquerda da 
viga, onde a reação é igual à metade da carga. A partir desse ponto, o esforço 
cortante vai avançando em diagonal na razão da carga distribuída até o apoio 
B, onde a reação do apoio leva o cortante novamente ao zero.
A carga distribuída é expressa em kN/m. Logo, se existe uma carga distribuída de 
1 kN/m, o diagrama de cortante avança 1 kN por metro, do ponto A até o ponto B.
9Diagramas de esforços cortantes e de momento fletor
Figura 7. Viga sustentando carga uniformemente distribuída.
Fonte: Garrison (2018, p. 152).
O momento fletor é um pouco mais complexo, diferente dos exemplos 
anteriores. No caso das cargas distribuídas, o momento fletor se desenvolve em 
uma parábola, com o ponto de maior módulo no centroide da carga. Considere 
novamente o Quadro 1, que ilustra o cálculo da viga da Figura 4, você pode 
ver o cálculo que gera essa parábola.
Traçados dos diagramas de esforços cortantes 
e momento fletor em pórtico biapoiado
Os diagramas de esforço cortante e momento fl etor de pórticos biapoiados 
seguem a mesma lógica dos diagramas que representam vigas biapoiadas. 
Diagramas de esforços cortantes e de momento fletor10
Afi nal, estruturalmente, os pórticos podem ser entendidos como agrupamentos 
de vigas. A grande diferença entre as vigas e os pórticos é que precisam ser 
consideradas as cargas transmitidas de um elemento do pórtico para o outro, 
por se tratar de um conjunto estrutural solidário.
No pórtico representado na Figura 8, existem três elementos: dois verticais 
e um horizontal. No elemento vertical delimitado pelos pontos 1 e 2, existe 
uma carga concentrada de 12 tf aplicada a 2 metros do apoio simples. Já na 
barra entre os pontos 2 e 3, atua uma carga distribuída de 5 tf/m. O apoio 1 é 
de primeira ordem, restringindo apenas o movimento na vertical, enquanto 
o apoio 2 é de segunda ordem, restringindo o movimento tanto na vertical 
quanto na horizontal.
Figura 8. Pórtico biapoiado.
Fonte: Adaptada de Cascão (2009).
Uma maneira simples de você compreender as forças atuando em um 
pórtico é por meio da decomposição do sistema estrutural (pórtico) nos seus 
componentes mais simples (vigas), como você pode observar na Figura 9. Nela, 
estão representadas as cargas atuando nos elementos e as cargas e momentos 
transmitidos de um elemento a outro.
11Diagramas de esforços cortantes e de momento fletor
Figura 9. Decomposição do pórtico em elemen-
tos mais simples.
Fonte: Adaptada de Cascão (2009).
Dentro de cada um dos elementos, valem as mesmas regras que você já 
aprendeu para as vigas. Os esforços cortantes sempre são iguais a zero nas 
extremidades dos elementos. Isso ocorre devido à soma das cargas e às rea-
ções, que, para manter a estrutura parada, devem ser iguais a zero. Devido à 
natureza dos apoios, alguns dos elementos transmitem momento para os outros; 
a transmissão de momento é representada por uma seta em três quartos de 
círculo, como você pode ver na Figura 9.
Veja, na Figura 10, como são familiares os diagramas de esforço cortante 
desse pórtico. Analisando o elemento delimitado pelos pontos 1 e 2, você pode 
ver que existe apenas uma carga concentrada atuando a 2 metros do apoio 1. 
Portanto, o cortante inicia em zero junto ao apoio 1, passa para 12 tf no ponto 
onde está aplicada a carga e vai em linha reta até o ponto 2. Nele, a reação 
transmitida desde o apoio 4 exerce uma força contrária à carga concentrada 
de mesmo módulo e sentido oposto, levando o cortante de volta ao zero.
Diagramas de esforços cortantes e de momento fletor12
Figura 10. Diagrama de esforços cortantes de pórtico 
biapoiado.
Fonte: Adaptada de Cascão (2009).
Na seção 2 e 3, a carga distribuída atua como nas vigas, ou seja, na diagonal 
de um apoio para outro. As reações junto aos pontos 2 e 3 são assimétricas 
devido à transmissão das duas cargas que atuam nos elementos verticais. Logo, 
o diagrama de esforço cortante também fica assimétrico. Sobre a barra, entre 
os pontos 3 e 4, atuam apenas a carga transmitida desde a barra delimitada 
pelos pontos 1 e 2 — observe como o módulo (12 tf) é o mesmo — e a reação 
no apoio 4, que impede o movimento horizontal.
Observe a Figura 11. Assim como no diagrama de esforço cortante, o 
momento fletor segue a mesma lógica das vigas isostáticas. Há linhas retas 
na diagonal para as cargas pontuais e parábolas para as distribuídas. Para a 
barra entre os pontos 1 e 2, atua apenas a carga pontual de 12 tf. Como ela 
está a 3 metros do ponto 2, que restringe o seu movimento, a multiplicação é 
igual a 36 tf/m junto ao apoio.
13Diagramas de esforços cortantes e de momento fletor
Figura 11. Diagrama de momentos de pórtico biapoiado.
Fonte: Adaptada de Cascão (2009).
A barra entre os pontos 2 e 3 exige, assim como no esforço cortante, a 
consideração de todas as cargas atuando no pórtico. Por isso, embora seja 
uma carga uniformemente distribuída, o diagrama de momentos se mantém 
assimétrico, saindo dos 36 tf/m transmitidos da barra entre os pontos 1 e 2 e 
indo até os 60 tf/m resultantes da restrição de movimento do apoio 4. Assim 
como nas vigas, o ponto onde o momento é máximo coincide com o ponto 
onde o cortante cruza o eixo zero. Para calcular essa distância, basta fazer 
uma operação de semelhança de triângulos.
No caso do exemplo apresentado, existe uma viga de 6 metros. Se você observar a 
Figura 10, vai ver que o cortante é de 11 tf e 19 tf junto aos apoios. Portanto, fazendo 
a semelhança de triângulos, chega-se a uma distância de 2,2 metros do ponto 2.
O método mais simples para calcular esse ponto é: (L/∑F) × F2, ou seja, o comprimento 
da barra dividido pela soma dos esforços cortantes nos dois extremos da viga vezes 
o esforço cortante em um dos apoios da viga.
Diagramas de esforços cortantes e de momento fletor14
A barra entre os pontos 3 e 4, como você já sabe, absorve todas as 
cargas horizontais que atuam no pórtico, devido ao apoio de segunda 
ordem que não permite o movimento horizontal. Logo, sobre ela atuam 
todos os momentos presentes no pórtico, que se iniciam em 60 tf/m e vão 
até 0 tf/mno apoio 4.
CASCÃO, M. Estruturas isostáticas. Rio de Janeiro: Oficina de Textos, 2009.
GARRISON, P. Fundamentos de estruturas. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018.
15Diagramas de esforços cortantes e de momento fletor