ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA ALGEBRA LINEAR

Prévia do material em texto

ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA – ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
Um bioquímico está estudando uma bactéria capaz de combater 
determinada doença. Ele sabe que, para tal, certo genótipo deve controlar as 
características necessárias para combater a doença. O genótipo desejado é 
constituído por dois alelos dominantes (ou seja, genótipo AA). 
 
Dessa forma, o bioquímico montou uma tabela que indica a probabilidade do 
cruzamento das bactérias que carregam os três diferentes genótipos (AA, Aa e 
aa) resultar em indivíduos com o genótipo de interesse AA. 
A tabela é: 
 
Tabela genótipos de origem 
AA x AA AA x Aa AA x aa 
Probabilidade de genótipos AA 100% 50% 0% 
Probabilidade de genótipos Aa 0% 50% 100% 
Probabilidade de genótipos aa 0% 0% 0% 
 
O pesquisador denominou a população de indivíduos com o genótipo AA de x1 
a população de indivíduos Aa de x 2 e a população de indivíduos aa de x3. Com 
isso, definiu equações que descrevem a probabilidade de indivíduos de cada 
genótipo estarem presentes em uma próxima geração, considerando que um dos 
indivíduos de origem possui sempre o genótipo AA: 
 
X1( n ) = 1 • X1( n-1 ) +1/2 • X2(n-1) 
X2( n ) =1/2 • X 2( n-1 )1 • X3( n-1) 
X3( n) = 0 
 
Por fim, o bioquímico traduziu essas equações na forma de uma transformação 
linear: 
 
T: ℝ 3 → ℝ3;[
 𝑿𝟏(𝒏))
𝑿𝟐(𝒏)
𝑿𝟑(𝒏)
 ] = [
𝟏 
𝟏
𝟐
 𝟎
𝟎 
𝟏
𝟐
 𝟏
𝟎 𝟎 𝟎
 ] *[
 𝑿𝟏(𝒏−𝟏))
𝑿𝟐(𝒏−𝟏)
𝑿𝟑(𝒏−𝟏)
 ] 
 
É importante ressaltar que o subscrito (n) indica a geração de bactérias à qual 
estamos nos referindo, enquanto que (n-1) se refere à geração anterior. Se 
analisarmos bem a expressão, veremos que se trata de uma cadeia de Markov. 
 
Adotemos como referência, ainda, o texto a presentado no Case. Além da 
transformação que descreve a proporção de indivíduos através das gerações, 
sabemos também a proporção inicial das bactérias estudadas com os três 
diferentes genótipos. São elas: X1 = 10%, X2 = 60% e X3 = 30%. Temos, portanto 
o seguinte vetor: 
 
[
 𝑿𝟏(𝟎)
𝑿𝟐(𝟎)
𝑿𝟑(𝟎)
]=[
𝟎, 𝟏 
𝟎, 𝟔 
𝟎, 𝟑 
 ] 
 
Com a equação que descreve a transformação linear em mãos, somos 
capazes de estimar a população de indivíduos c om genótipo AA através das 
mais diversas gerações. A partir disso, v amos propor, então, algumas 
perguntas: 
 
1) Qual a população de bactérias com genótipo Aa (ou se já, x2) na° primeira 
geração? E na segunda geração? 
• Primeira geração 
 
Montagem dos dados e resolução através, da multiplicação de matrizes. 
 
[
𝟏 𝟎, 𝟓 𝟎
𝟎 𝟎, 𝟓 𝟏
𝟎 𝟎 𝟎
]*[
𝟎, 𝟏 
𝟎, 𝟔 
𝟎, 𝟑 
 ]=[
𝟏 ∗ 𝟎, 𝟏 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟔 + 𝟎 ∗ 𝟎, 𝟑
𝟎 ∗ 𝟎, 𝟏 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟔 + 𝟏 ∗ 𝟎, 𝟑
𝟎 ∗ 𝟎, 𝟏 + 𝟎 ∗ 𝟎, 𝟔 + 𝟎 ∗ 𝟎, 𝟑
]=[
𝟎, 𝟒 
𝟎, 𝟔 
𝟎
 ] 
 
Onde na primeira geração x2 irá ficar sendo representado por 0,6*100=60%. 
• Segunda geração 
 
Na segunda geração utilizou-se o mesmo método acima, obtendo-se a matriz: 
 
[
𝟏 𝟎, 𝟓 𝟎
𝟎 𝟎, 𝟓 𝟏
𝟎 𝟎 𝟎
]*[
𝟎, 𝟒 
𝟎, 𝟔 
𝟎 
 ]=[
𝟏 ∗ 𝟎, 𝟒 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟔 + 𝟎 ∗ 𝟎
𝟎 ∗ 𝟎, 𝟒 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟔 + 𝟏 ∗ 𝟎
𝟎 ∗ 𝟎, 𝟒 + 𝟎 ∗ 𝟎, 𝟔 + 𝟎 ∗ 𝟎
]=[
𝟎, 𝟕 
𝟎, 𝟑 
𝟎
 ] 
 
Onde na segunda geração x2 irá ficar sendo representado por 0,3*100=30%. 
 
R= Através método da multiplicação de matrizes linha x coluna, podemos 
observar que as populações de bactérias com genótipo Aa na primeira geração 
será de 0,6 ou de 60%, já na segunda geração a população das bactérias 
diminuíram para 0,3 que pode ser representado por 30%. 
Obs. afim de deixar o sistema mais simples para resolver, utilizei números 
decimais aos invéses de fracionados. Onde transformei 1/2 para 0,5. 
 
2) Qual a população de bactérias com gene tipo aa (ou seja, x3) na terceira 
geração? Essa proporção se altera na quarta geração? 
• Terceira geração 
 
[
𝟏 𝟎, 𝟓 𝟎
𝟎 𝟎, 𝟓 𝟏
𝟎 𝟎 𝟎
]*[
𝟎, 𝟕 
𝟎, 𝟑
𝟎 
 ]=[
𝟏 ∗ 𝟎, 𝟕 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟑 + 𝟎 ∗ 𝟎
𝟎 ∗ 𝟎, 𝟕 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟑 + 𝟏 ∗ 𝟎
𝟎 ∗ 𝟎, 𝟕 + 𝟎 ∗ 𝟎, 𝟑 + 𝟎 ∗ 𝟎
]=[
𝟎, 𝟖𝟓 
𝟎, 𝟏𝟓
𝟎
 ] 
 
Onde na segunda geração x3 irá ficar sendo representado por 0*100=0%. 
• Quarta geração 
 
[
𝟏 𝟎, 𝟓 𝟎
𝟎 𝟎, 𝟓 𝟏
𝟎 𝟎 𝟎
]*[
𝟎, 𝟖𝟓 
𝟎, 𝟏𝟓
𝟎 
 ]=[
𝟏 ∗ 𝟎, 𝟖𝟓 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟏𝟓 + 𝟎 ∗ 𝟎
𝟎 ∗ 𝟎, 𝟖𝟓 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟏𝟓 + 𝟏 ∗ 𝟎
𝟎 ∗ 𝟎, 𝟖𝟓 + 𝟎 ∗ 𝟎, 𝟏𝟓 + 𝟎 ∗ 𝟎
]=[
𝟎, 𝟗𝟐𝟓
𝟎, 𝟎𝟕𝟓
𝟎
 ] 
 
R= Podemos observar que na terceira geração a população de bactérias x3 com 
o genótipo aa e de 0% e permanecera inalterada na quarta geração sendo 
representado por 0*100=0%. 
 
3) Em qual geração a população de bactérias com genótipo AA atinge 
85% do total? 
 
 [
𝟏 𝟎, 𝟓 𝟎
𝟎 𝟎, 𝟓 𝟏
𝟎 𝟎 𝟎
]*[
𝟎, 𝟕 
𝟎, 𝟑
𝟎 
 ]=[
𝟏 ∗ 𝟎, 𝟕 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟑 + 𝟎 ∗ 𝟎
𝟎 ∗ 𝟎, 𝟕 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟑 + 𝟏 ∗ 𝟎
𝟎 ∗ 𝟎, 𝟕 + 𝟎 ∗ 𝟎, 𝟑 + 𝟎 ∗ 𝟎
]=[
𝟎, 𝟖𝟓 
𝟎, 𝟏𝟓
𝟎
 ] 
 
R= Utilizando os dados da matriz da terceira geração podemos obter o valor de 
x1 de 0,85, com esse valor podemos concluir que a população de bactérias com 
o genótipo AA atingira na terceira geração o valor de 0,85*100=85%. 
 
Com o gráfico construído a partir dos dados obtidos podemos observar de forma 
unificada de como as populações de bactérias: X1, X2, X3, se desenvolvem 
durante as gerações de acordo com o seu genótipo. 
 
 
 
 
 
Fontes de pesquisa. 
 
https://www.infoescola.com/matematica/operacoes-com-matrizes-multiplicacao/ 
1 2 3 4 5
Genótipos AA 10% 40% 70% 85% 93%
Genótipos aa 30% 0% 0% 0% 0%
Genótipos Aa 60% 60% 30% 15% 8%
10%
40%
70%
85%
92,5
30%
0% 0% 0% 0%
60% 60%
30%
15%
7,5%
-20%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
P
R
O
B
A
B
IL
ID
A
D
E 
D
E 
G
EN
Ó
TI
P
O
S 
CONTEXTUALIZADA ÁLGEBRA LINEAR
https://www.infoescola.com/matematica/operacoes-com-matrizes-multiplicacao/
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica) 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Gen%C3%B3tipo 
https://www.youtube.com/watch?reload=9&v=1AwvT_7x7gc 
https://www.mathway.com/pt/Algebra 
livro matemática fundamental; Giovani Bonjorno volume único. 
Livro de biologia; Demétrio Gowdak e Neide S. de Mattos volume unico 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Gen%C3%B3tipo
https://www.youtube.com/watch?reload=9&v=1AwvT_7x7gc
https://www.mathway.com/pt/Algebra