Equações Diferenciais - AOL 1 - Respostas

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34264 . 7 - Equações Diferenciais - 20211.A 
Avaliação On-Line 1 (AOL 1) - Questionário 
Roger Sampaio Costa 
Nota finalEnviado: 17/02/21 10:01 (BRT) 
10/10 
1. Pergunta	1	
/1	
Leia	o	excerto	a	seguir:	
“O	teorema	fundamental	das	integrais	de	linha,	também	chamado	de	teorema	do	gradiente,	
diz	que	os	campos	gradientes	são	independentes	do	caminho,	o	que	significa	que	as	integrais	
de	linha	ao	longo	de	dois	caminhos	quaisquer	que	conectam	os	mesmos	pontos	inicial	e	final	
serão	iguais.”Fonte:	KHAN	ACADEMY.	“Teorema	fundamental	das	integrais	de	linha”.	
Disponível	em:	<https://bit.ly/2kJ6k3w>.	Acesso	em:	1	set.	2019.	
O	teorema	de	Green	é	usado	para	calcular	integrais	de	linha	complexas,	transformando-as	
em	integrais	duplas	mais	simples.	De	acordo	com	essas	informações	e	o	conteúdo	estudado	
sobre	o	teorema	de	Green,	calcule	a	integral	de	linha	(3y	−	 )dx	+	(7x	+	( 	+	1)dy,	
dada	a	curva	C:	 =	9.	Considerando	esses	dados,	pode-se	afirmar	que	o	resultado	
da	integral	é:	
Ocultar	opções	de	resposta		
1. 72	π.	
2. 18	π.	
3. 36	π.	
Resposta	correta	
4. 24	π.	
5. 40	π.	
2. Pergunta	2	
/1	
O	raio	de	convergência	indica	o	raio	em	torno	do	centro	da	série	no	qual	a	série	converge	
para	algum	valor.	Valores	superiores	ao	raio	indicam	que	a	série	diverge,	ou	seja,	existe	um	
número	R	tal	que	a	série	converge	se	|x−a|	<	R,	e	diverge	se	|x−a|	>	R.	
De	acordo	com	essas	informações	e	o	conteúdo	estudado	sobre	séries	de	potências,	dada	a	
série	∑(x−2)n	/	n,	pode-se	afirmar	que	o	raio	de	convergência	é	igual	a:	
Ocultar	opções	de	resposta		
1. R	=	2.	
2. R	=	½.	
3. R	=	4.	
4. R	=	1.	
Resposta	correta	
5. R	=	3.	
3. Pergunta	3	
/1	
A	expansão	de	uma	série	corresponde	a	atribuir	valores	aos	termos	da	série,	ou	seja,	variar	o	
termo	n	de	zero	ao	termo	que	deseja	na	expansão	da	série.	Tal	operação	é	fundamental	para	
a	análise	das	propriedades	de	uma	função,	já	que	permite	a	visualização	prática	de	seus	
termos.	
De	acordo	com	essas	informações	e	o	conteúdo	estudado	sobre	séries	de	potências,	dada	a	
função	f(x)	=	1/	x2	−1,	pode-se	afirmar	que	a	expansão	em	série	de	potências	em	torno	de	x0	=	
0	corresponde	a:	
Ocultar	opções	de	resposta		
1. ∑	nxn−1.		
2. −∑	x2n.		
Resposta	correta	
3. −∑	an.x2n.		
4. ∑	(n−1)x2.		
5. ∑	xn.		
4. Pergunta	4	
/1	
Quando	se	trata	de	intervalo	de	convergência,	o	teste	da	razão	é	o	teorema	mais	indicado	
para	sua	especificação.	No	entanto,	o	teste	da	razão	não	pode	determinar	a	convergência	nas	
extremidades	do	intervalo	de	convergência.	De	acordo	com	essas	informações	e	o	conteúdo	
estudado	sobre	séries	de	potências,	analise	as	afirmativas	a	seguir	e	assinale	V	para	a(s)	
verdadeira(s)	e	F	para	a(s)	falsa(s):	
I.	(	)	Se	uma	série	de	potências	é	absolutamente	convergente	em	um	dos	extremos	de	seu	
intervalo	de	convergência,	então	ela	também	converge	absolutamente	no	outro	extremo.	
II.	(	)	Se	uma	série	de	potências	converge	em	um	extremo	de	seu	intervalo	de	convergência	e	
diverge	no	outro,	então	a	convergência	naquele	extremo	é	condicional.	
III.	(	)	O	conjunto	de	valores	de	x	para	os	quais	a	série	de	potências	é	convergente	é	chamado	
de	intervalo	de	potências	da	série.	
IV.	(	)	Uma	série	de	potências	define	uma	função	que	tem	como	domínio	o	intervalo	de	
convergência.	
Agora,	assinale	a	alternativa	que	apresenta	a	sequência	correta:	
Ocultar	opções	de	resposta		
1. V,	F,	F,	V.	
2. V,	F,	V,	F.	
3. F,	V,	F,	F.	
4. V,	V,	F,	V.	
Resposta	correta	
5. V,	V,	F,	F.	
5. Pergunta	5	
/1	
O	desenvolvimento	de	funções	em	séries	de	potências	tem	diversas	aplicações,	tal	como	a	
resolução	de	equações	diferenciais.	Pode-se	também	aplicar	tal	recurso	para	realizar	
aproximações	de	funções	com	a	utilização	de	séries	de	Taylor	e	Maclaurin.	
De	acordo	com	essas	informações	e	o	conteúdo	estudado	sobre	séries	de	potências,	dada	a	
expansão	da	função	f(x)	=	(1+x)−1/2	em	uma	série	de	Taylor,	pode-se	afirmar	que	o	4º	termo	
da	série,	em	torno	de	a	=	0,	corresponde	a:	
Ocultar	opções	de	resposta		
1. 15x3	/	48.		
Resposta	correta	
2. 15x2	/	48.		
3. 10x3	/	24.	
4. 15x2	/	12.		
5. 5x3	/	48.		
6. Pergunta	6	
/1	
A	circulação	de	um	vetor	v	(conhecida	como	integral	de	linha),	ao	longo	de	uma	curva	c,	
corresponde	à	soma	dos	produtos	escalares	de	v	por	dr	ao	longo	da	curva	c,	sendo	dr	um	
vetor	elementar	que	tem	as	seguintes	características:	o	módulo	corresponde	ao	valor	do	
arco	da	curva,	a	direção	é	tangente	à	curva	e	o	sentido	é	o	mesmo	sentido	da	curva.	
Dada	a	superfície	S:	x2	+	y2	+	z2	=	9,	z	≥	0,	sua	respectiva	circunferência	de	borda	C:	x2	+	y2	=	9,	
z	=	0	e	o	campo	correspondente	F	=	yI.	xj,	calcule	o	valor	da	circulação	no	sentido	anti-
horário	ao	redor	da	curva	C.	Considerando	essas	informações	e	o	conteúdo	estudado	sobre	
teorema	de	Stokes,	pode-se	afirmar	que	o	valor	da	circulação	corresponde	a:	
Ocultar	opções	de	resposta		
1. 10π.	
2. −18π.	
Resposta	correta	
3. 18π.	
4. 12π.	
5. 20π	
7. Pergunta	7	
/1	
O	divergente	de	um	campo	vetorial	corresponde	a	um	operador	que	mede	a	magnitude	de	
fonte	de	um	campo	vetorial	em	um	dado	ponto,	ou	seja,	pode	ser	representado	como	um	
valor	escalar	que	mede	a	dispersão	dos	vetores	do	campo	em	um	ponto	específico.	O	
divergente	de	um	campo	vetorial,	dado	como	F	=	M(x,y,z)	I	+	N(x,y,z)j	+	P(x,y,z)k,	é	uma	
função	escalar:	div	F	=	dM/dx	+	dN/dy	+	dP/dz.		
Considerando	essas	informações	e	o	conteúdo	estudado	sobre	o	teorema	de	Stokes,	dado	o	
campo	vetorial	F	=	(2xz)	I	+	(xy)j	−	(z)k,	pode-se	afirmar	que	o	valor	do	divergente	
corresponde	a:	
Ocultar	opções	de	resposta		
1. a	2y	−	x	−1.	
2. a	2y	−	x.	
3. 2z	−	x	−	1.	
Resposta	correta	
4. a	2x	+	z.	
5. a	x	+	2z.	
8. Pergunta	8	
/1	
O	raio	de	convergência,	em	séries	de	potências,	indica	o	raio	da	circunferência	em	torno	do	
centro	da	série	dentro	da	qual	a	série	converge.	Ou	seja,	pode-se	garantir	a	convergência	no	
intervalo	aberto	(a	−	R,	a	+	R),	onde	a	é	o	centro	da	série.	
De	acordo	com	essas	informações	e	o	conteúdo	estudado	sobre	séries	de	potências,	analise	
as	afirmativas	a	seguir.	
I.	Se	R	é	o	raio	de	convergência	de	∑cn.xn,	então	(R)	1/2	é	o	raio	de	convergência	de	∑cn.x2n.	
II.	O	teste	da	razão	determina	a	convergência	nas	extremidades	do	intervalo	de	
convergência.	
III.	Se	limite	de	(Cn)	1/n	=	L>0,	então	a	série	∑cn(x	−	a)n	tem	raio	de	convergência	1/L.		
IV.	Se	uma	série	de	potências	é	convergente	para	valores	de	|x|	<	R	com	R	>	0,	então	R	é	
chamado	de	raio	de	convergência.	
Agora,	assinale	a	alternativa	que	apresenta	a	sequência	correta:	
Ocultar	opções	de	resposta		
1. I,	III	e	IV.	
Resposta	correta	
2. II,	III	e	IV.	
3. I,	II	e	IV.	
4. I	e	IV.	
5. II	e	III.	
9. Pergunta	9	
/1	
Leia	o	excerto	e	analise	a	figura	a	seguir:	
“Vamos	pensar	em	uma	roda	de	carro	que	apresenta	um	ponto	fixo	para	observação.	Agora,	
pensando	nessa	roda	em	movimento,	sobre	uma	rua	lisa,	vamos	observar	a	trajetória	desse	
ponto	fixo.	A	curva	descrita	por	esse	ponto	é	a	curva	cicloide.”Fonte:	CORDEIRO,	A.	C.	F.	O	
que	é	a	curva	cicloide:	ideias	centrais	no	ensino	da	matemática.	Trabalho	de	conclusão	de	
curso	(Licenciatura	em	matemática)	–	Instituto	Federal	de	Educação,	Ciência	e	Tecnologia,	
IFSP.	São	Paulo,	p.	88.	2013.	
	
questão 5.PNG 
 
De	acordo	com	essas	informações	e	o	conteúdo	estudado	sobre	o	teorema	de	Green,	calcule	a	
área	da	figura,	descrita	pelas	curvas	C1	e	C2,	dada	a	cicloide	abaixo	x=	t	−	sen(t),	y	=	1	−	
cos(t).	Considerando	esses	dados,	pode-se	afirmar	que	a	área	da	cicloide	corresponde	a:	
Ocultar	opções	de	resposta		
1. 3π.	
Resposta	correta	
2. 12	π.	
3. −3π.	
4. 6π.	
5. 9π.	
10. Pergunta	10	
/1	
A	série	de	Taylor	corresponde	à	representação	de	funções	como	séries	de	potências.	Uma	
das	aplicações	em	tal	conversão	é	a	resolução	de	equações	diferenciais	por	meio	de	série	de	
potencias.	
De	acordo	com	essas	informações	e	o	conteúdo	estudado	sobre	séries	de	potências,	dada	a	
função	f(x)	=	sen	x,	pode-se	afirmar	que	a	série	de	Taylor	correspondente	a:	
Ocultar	opções	de	resposta		
1. ∑	(−1)n	x2n+1	/	(2n+1)!	
Resposta	correta	
2.∑	(−1)n	x	/	(2n+1)!		
3. ∑	(−1)n	x2n+1	/	(2n)!		
4. ∑	(−n)n	x2n+1	/	(2n+1)!	
5. ∑	(−1)	x2n+1	/	(2n+1)!