Apostila CCL Dayse Versao Beta em revisão

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Apostila de CCL
2020
Versão Beta (em revisão)
Dayse Cavalcanti e Mariana Santos Matos Cavalca
RESUMO
A primeira versão desta apostila foi desenvolvida em 2019.2 durante o estágio docência da aluna
Dayse M. Cavalcanti do Mestrado Acadêmico em Engenharia Elétrica da Universidade do Estado
de Santa Catarina (UDESC) sob orientação da Profa Dra. Mariana S. M. Cavalca. O texto traz
uma descrição do conteúdo ministrado e das atividades desenvolvidas na disciplina de Controle
Clássico referente ao Departamento de Engenharia Elétrica da UDESC, contando com uma
pequena revisão de tópicos importantes para o andamento da mesma. O objetivo da disciplina é
o ensino dos conceitos básicos de controle, abordando: sistemas de controle, análise do lugar das
raízes, projeto de sistemas de controle via o lugar das raízes, análise da resposta em frequência,
projeto de sistemas de controle via resposta em frequência, e estruturas especiais de controle.
Espera-se que estas anotações sejam úteis como material auxiliar para os alunos das próximas
turmas.
http://lattes.cnpq.br/0330167921088635
https://www.udesc.br/cct/ppgeel
 http://lattes.cnpq.br/5869405234289458
Sumário
Símbolos 3
Introdução 7
1 O que é controlar? 9
1.1 Linha do tempo de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Definições e generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Classificação de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Procedimento para análise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Introdução aos Sistemas de Controle 16
2.1 Modelagem matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Função de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Diagrama de blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3 Espaço de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Linearização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Resposta dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Sistemas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.2 Sistemas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.3 Sistemas de ordens maiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1 BIBO estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.2 Estabilidade interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Constantes de erro estacionário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Ações Básicas de Controle 29
3.1 Ação liga-desliga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Ação proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Ação integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Ação derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Realização física de controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6 Compensação com realimentação interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Lugar Geométrico das Raízes 34
4.1 Esboço do diagrama do Lugar das Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Refinamento do diagrama do Lugar das Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Análise do Lugar das Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 Projeto de controladores por intermédio do Lugar das Raízes . . . . . . . . . . . 39
1
4.4.1 Controlador proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4.2 Controlador proporcional-integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4.3 Controlador proporcional-derivativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4.4 Controlador proporcional-integral-derivativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.5 Controlador lead e lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Considerações finais 43
2
Símbolos
j Unidade imaginária
t Variável de tempo
s Variável complexa
σ Constante real
ω Constante imaginária
θ Ângulo
p Polo
z Zero
u Ação de controle
x Estado
y Saída
r Referência
d Perturbação
n Ruído
A Matriz de estado
B Matriz de entrada
C Matriz de saída
D Matriz de transição
I Matriz identidade
f(t) Função no tempo
F (s) Função na frequência
ts Tempo de subida
ta Tempo de atraso
tp Tempo de pico
tac Tempo de acomodação
Mp Máximo sobressinal
τ Constante de tempo
ωn Frequência de ressonância do sistema sem amortecimento
α Coeficiente de amortecimento
ζ Grau de amortecimento
K Constante de ganho
Kp Ganho proporcional
Ki Ganho integral
Kd Ganho derivativo
ess Erro em estado estacionário
Kpe Constante de erro estacionário estático de posição
Kve Constante de erro estacionário estático de velocidade
Kae Constante de erro estacionário estático de aceleração
3
e∞MF Erro de malha fechada
Mg Margem de ganho
φMF Margem de fase
ωr Frequência de ressonância
Mr Máxima ressonância
ωc Frequência de corte
S Sensibilidade
T Sensibilidade complementar
4
Lista de Figuras
1 Quase controle de um tanque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Engenheiro moderno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1 Acionamento do pedal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Sistema de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Classificação de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Procedimento para o estudo de um sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Resposta sistema de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Resposta sistema de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Estabilidade no sentido de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Estabilidade assintótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 Ação de controle liga-desliga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Ação de controle proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Ação de controle integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Ação de controle derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Controladores P, I e D implementados por amplificadores operacionais . . . . . . 32
3.6 Controlador lag-lead implementados fisicamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1 Malha de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5
Lista de Tabelas
1.1 Marcos históricos no desenvolvimento de sistemas de controle . . . . . . . . . . . 11
2.1 Elementos de diferentes sistemas físicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Propriedades da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Pares de transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Símbolos utilizados em diagrama de blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Redução de diagramas de blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Sinais típicos de ensaios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Classificação de sistemas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.8 Tabela de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.9 Erro de estado estacionário em termos do ganho K . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1 Lugar das raízes para funções de transferência típicas . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6
IntroduçãoControle e automação têm desempenhado um papel essencial no avanço de ciência e tecno-
logia, fundamentando-se nos princípios da elétrica, mecânica e computação para o domínio de
máquinas e processos. Seu objetivo básico é projetar e construir sistemas de modo a garantir
qualidade de vida para o homem, reduzindo seu esforço físico e mental em atividades consideradas
repetitivas ou perigosas. Neste contexto, o controle clássico abrange boa parte dos controladores
industriais utilizados atualmente, tanto por sua confiabilidade quanto pela simplicidade.
Figura 1: Quase controle de um tanque
Fonte: Automação e cartoons (2019)
A disciplina de Controle Clássico (CCL001) do curso de Engenharia Elétrica da Universidade
do Estado de Santa Catarina (UDESC) busca apresentar aos alunos os conceitos de controle
analógico através de aulas expositivas, tarefas em sala, trabalhos e práticas de laboratório. Os
tópicos de aula podem ser divididos em: sistemas de controle, análise do lugar das raízes, projeto
de sistemas de controle via o lugar das raízes, análise da resposta em frequência, projeto de
sistemas de controle via a resposta em frequência e estruturas especiais de controle.
Sobre a organização da apostila, os tópicos contém uma fundamentação teórica e dedução
matemática, propostas de algoritmos, exemplos e exercícios. Além disso, recomenda-se a leitura
de [1], [2] e [3], complementada por [4], [5], [6], [7] e [8]. Incentiva-se também o uso de programas
7
https://automacaoecartoons.com/2019/01/23/controle-pid/
de computador para simulação de sistemas de controle, como MATLAB e Scilab.
Ao final do curso, o aluno deverá estar apto a distinguir sistemas de malha aberta e malha
fechada, projetar controladores para sistemas em malha fechada, verificar o desempenho dos
controladores através de simulações e implementar controladores em processos reais.
Figura 2: Engenheiro moderno
Fonte: Automação e cartoons (2018)
8
https://www.mathworks.com/products/matlab.html
https://www.scilab.org/download/6.0.2
https://automacaoecartoons.com/2018/11/06/engenharia-controle-automacao-mecatronica/
Capítulo 1
O que é controlar?
A resposta mais direta para essa pergunta é: “Impor comportamento”. Em engenharia, o
objetivo de fato é fazer com que uma planta siga um determinado comportamento, o que é feito
através de controladores.
Um exemplo usual de sistemas de controle é o de controle de velocidade de um carro [9].
Supõe-se que se deseja manter a velocidade de um veículo constante sem a intervenção do mo-
torista em um trajeto em linha reta e sem obstáculos. Um algoritmo básico de controle poderia
ser:
Algoritmo 1 Controle de um carro em malha aberta
1: Definir a velocidade desejada
2: if motorista não está dirigindo then
3: Dirija sozinho
4: end if
Como não há conexão direta entre a saída e a entrada do sistema, em um terreno acidentado,
o veículo vai acelerar nas descidas e sofrer nas subidas. Isso é chamado de controle em malha
aberta. Pôr um sensor para medir a velocidade do carro proporciona o cálculo do erro entre a
velocidade atual e a referência, fechando a malha de controle.
Algoritmo 2 Controle de um carro em malha fechada
1: Definir a velocidade desejada
2: Ler a velocidade atual
3: if velocidade atual < velocidade desejada then
4: Aumente a velocidade
5: else
6: Diminua a velocidade
7: end if
Infelizmente esse controlador aciona e solta o pedal com frequência, o que causará dano aos
atuadores. O valor médio dessa ação é a referência, mas a velocidade do carro pode oscilar bas-
tante em torno dela (Fig. 1.1a). Uma solução para este problema é fazer com que o acionamento
seja suave, mantendo o pedal em um ângulo bom o suficiente para o carro continuar seguindo a
referência (Fig. 1.1b).
9
Figura 1.1: Acionamento do pedal
Tempo
Referência
(a)
Tempo
Referência
(b)
Outras questões como cruzamentos, rotatórias, semáforos, faixas de pedestre e demais carros
são extremamente relevantes no desenvolvimento de um sistema de controle de um veículo. Para
tratar as decisões a serem tomadas nessas situações, existe uma gama de técnicas de controle
que já foram testadas, aprimoradas e funcionam nas mais diferentes situações com leves ajustes,
além de várias ainda em desenvolvimento.
1.1 Linha do tempo de controle
Alguns marcos históricos no desenvolvimento de sistemas de controle são citados na Tab. 1.1.
Destaca-se que o período de desenvolvimento de sistemas de controle automático se deu entre
1769 e 1868. Por volta de 1950, ocorre uma mudança no foco dos problemas de controle, saindo
do design de um de vários sistemas que funcionam para o de um sistema ótimo em determinado
sentido. Nos anos 1960, as plantas ficam mais complexas com aumento do número de entradas e
saídas. Atualmente, as aplicações da teoria de controle não se limitam ao contexto de engenharia
e passam a incluir os mais variados tipos de sistemas, como biológicos e econômicos.
10
Tabela 1.1: Marcos históricos no desenvolvimento de sistemas de controle
300 AC a 1 AC Desenvolvimento do mecanismo regulador de bóia
1620 Cornelius Drebbel inventa o regulador de temperatura, o primeiro
sistema com retroação
1681 Dennis Papin inventa o primeiro controlador de pressão para cal-
deiras a vapor
1765 I. Polzunov inventa o regulador de bóia para nível de água, o
primeiro sistema automático com retroação
1769 Desenvolvimento da máquina a vapor e do regulador de esferas
de James Watt, o primeiro controlador automático com retroação
usado em processo industrial
1800 Conceito de intercambialidade de partes manufaturadas de Eli
Whitney dá início à produção em massa
1868 J. C. Maxwell formula um modelo matemático para o controle
regulador de uma máquina a vapor
1876 I. A. Vyshnegradskii formula uma teoria matemática de regulado-
res
1913 Desenvolvimento da máquina de montagem mecanizada de Henry
Ford para a produção automobilística
1922 N. Minorsky trabalha com a direção automática a bordo de navios
da marinha americana
1927 H. Black tem a ideia de feedback e H. W. Bode analisa as restrições
de amplificadores com retroação
1932 H. Nyquist desenvolve um método para analisar a estabilidade de
sistemas
1934 H. L. Hazen publica artigos sobre teoria e design de servomeca-
nismos
1940 Desenvolvimento dos métodos matemáticos analíticos, até aqui o
projeto de sistemas de controle envolvia uma abordagem de ensaio
e erro
1950 Desenvolvimento e uso de métodos no plano s e a abordagem do
lugar das raízes
1952 Instituto de Tecnologia de Massachusetts (MIT) desenvolve o co-
mando numérico para o controle dos eixos de máquinas
1954 George Devol desenvolve a transferência programada de itens, o
primeiro projeto de robô industrial
1961 Robô Unimate, baseado nos projetos de Devol, é instalado para
alimentar máquinas de embutimento
1970 Desenvolvidos modelos em variáveis de estado, controle ótimo e
controle adaptativo
1980 Utilização de computadores digitais como componentes de con-
trole tornou-se rotina, estudo do projeto de sistemas de controle
robusto
1990 Empresas orientadas para a exportação de produtos manufatura-
dos enfatizam a automação
1994 Controle com retroação é usado amplamente em automóveis
Fonte: Adaptado de Dorf e Bishop (2011)
11
Como mencionado, há algumas vertentes no estudo de controle:
• Controle ótimo;
• Controle robusto;
• Controle adaptativo.
Contudo, as técnicas de controle são comumente classificadas em dois grandes grupos:
• Técnicas no domínio da frequência;
• Técnicas no domínio do tempo.
O primeiro é limitado pela relação entrada-saída, normalmente trabalhando no domínio da
frequência com o modelo do sistema em função de transferência, e inclui as técnicas:
• Controle liga/desliga (do inglês, on/off );
• Controle auto-operado;
• Controle proporcional (P);
• Controle proporcional-derivativo (D);
• Controle proporcional-integral (I);
• Controle proporcional-integral-derivativo (PID) e variações;
• Avanço de fase;
• Atraso de fase;
• Avanço e atraso de fase;
• Dentre outras.
Enquanto o segundoestuda a condição total do sistema, trabalhando no domínio do tempo
com o modelo do sistema em equações diferenciais, e inclui as técnicas:
• Controle multivariável;
• Controle adaptativo;
• Controle ótimo;
• Controle não linear;
• Controle preditivo;
• Controle robusto;
• Controle inteligente;
• Dentre outras.
Ao longo do curso e nesta apostila serão tratados somente os controladores do primeiro grupo.
12
1.2 Definições e generalidades
Antes de iniciar o estudo de sistemas de controle, é necessário apresentar alguns termos
básicos:
• Variáveis de entrada ou manipuladas ou ação de controle (u): Ações ou influências externas,
ou seja, quantidade ou condição que é manipulada.
• Variáveis de saída ou controladas (y): Resposta do sistema, ou seja, quantidade ou condição
que é medida e/ou controlada.
• Variáveis internas (x): Elementos que descrevem o comportamento do sistema.
• Planta: Objeto, parte de equipamento ou máquina.Em alguns
estudos,
planta,
processo e
sistema são
análogos.
• Processo: Operação ou desenvolvimento.
• Sistema: Combinação de componentes que agem em conjunto e realizam uma função.
• Modelo: Representação física ou matemática do sistema de forma simplificada.
• Restrição: Limitação física ou operacional do processo.
• Perturbação: Sinal interno ou externo que afeta a saída do sistema.
• Falha: Mudança da estrutura ou parâmetro do sistema em relação à condição nominal, ou
seja, funcionamento inadequado.
• Realimentação: Retroação, feedback ou retorno da informação.
A título de exemplo, um sistema genérico é representado na Fig. 1.2. Ao se analisar um
sistema, busca-se encontrar as relações de causa e efeito que existem entre suas entradas e saídas
[2].
Figura 1.2: Sistema de controle
Processo
Entrada Saída
(a)
Processo
Saída
Atuador
Entrada
(b)
Processo
Saída
Controlador
Entrada
Sensor
+
-
(c)
Fonte: Adaptado de Maya e Leonardi (2011)
13
1.3 Classificação de sistemas
Sistemas podem ser classificados segundo vários critérios, como a natureza dos elementos que
os compõem, contudo, em engenharia, existem alguns mais usualmente empregados [1, 2], o quais
estão descritos na Fig. 1.3.
Figura 1.3: Classificação de sistemas
Sistema
Possui	realimentação?
Segue	os	princípios	da
homogeneidade	e
superposição?
Depende	de	condições
iniciais?
Os	parâmetros	estão
concentrados	em	pontos
definidos?
Os	parâmetros	variam
com	o	passar	do	tempo?
Malha	fechada
Malha	aberta
Linear
Não-linear
Dinâmico
Estático
Concentrados
Distribuídos
Variante	no	tempo
Invariante	no	tempo
Sim
Não
Sim
Não
Sim
Não
Sim
Não
Sim
Não
Uma	entrada	e	uma	saída
(do	inglês,	single-input
single-output	ou	SISO)
Uma	entrada	e
múltiplas	saídas
(SIMO)
Múltiplas	entradas	e
uma	saída	(MISO)
Múltiplas	entras	e	múltiplas
saídas	(do	inglês,	multiple-
input	multiple-output	ou
MIMO)
Qual	o	número	de
entradas	e	saídas?
O	princípio	da	homogeneidade	diz	que,	se	a	resposta	
de	um	sistema	à	uma	excitação	u1(t)	for	y1(t),	a	resposta	
deste	sistema	à	uma	excitação	m	vezes	maior,	ou	seja,	
mu1(t),	é	my1(t).	Já	o	princípio	da	superposição	afirma	
que	se	a	resposta	de	um	sistema	para	uma	excitação	
u1(t)	for	y1(t)	e	a	resposta	a	outra	excitação	u2(t)	for	y2(t),	
a	resposta	da	soma	das	excitações,	isto	é,	u1(t)	+	u2(t),	
corresponde	à	y1(t)	+	y2(t).
Os	parâmetros	podem	estar	concentrados	em	pontos	
definidos	do	sistema	ou	distribuídos	ao	longo	dele.
Sistemas	estáticos	respondem	instantaneamente	à	
excitações,	não	dependendo	de	condições	iniciais	
ou	passadas,	ao	passo	que	sistemas	com	memória	
são	ditos	dinâmicos.
Malha	aberta	significa	que	não	existe	comunicação	entre	
a	entrada	e	a	saída	do	sistema,	neste	caso,	deve-se	conhecer	
o	comportamento	da	planta	por	completo	e	garantir	a	
ausência	de	pertubações,	de	modo	que	cada	entrada	
corresponde	à	uma	operação	fixa	ou	programada.	Já	em	
malha	fechada,	a	ação	de	controle	é	baseada	no	erro	entre	
os	sinais	de	entrada	e	saída,	regulando	a	saída	para	
acompanhar	a	referência	ou	rastreando	as	variações	desta.
14
De um modo geral, deseja-se trabalhar com sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT),
ou que possam ser aproximados para tanto em determinado ponto de operação.
1.4 Procedimento para análise
Um passo-a-passo para o estudo de sistemas é descrito na Fig. 1.4. A primeira etapa para o
controle de processos é o desenvolvimento de modelos representativos do sistema a ser controlado.
Em seguida, estes modelos são validados através de simulação e testes. Por fim, são feitas
alterações para que o comportamento do sistema satisfaça às especificações de projeto. Repetem-
se os passos até que os requisitos sejam atingidos.
Figura 1.4: Procedimento para o estudo de um sistema
Modelagem	física
Elaboração	de	um	modelo	
descritivo	do	sistema.
Modelagem	matemática Simulação Síntese
Estabelecimento	de	equações	
matemáticas	que	descrevem	
o	comportamento	do	sistema.
Integração	das	equações	
analiticamente,	numericamente	
ou	analogicamente.
Modificações	no	sistema	para	que	
seu	comportamento	satisfaça	
às	especificações.
SISTEMA
Lembrando que, previamente, deve-se avaliar a estabilidade, controlabilidade e observabi-
lidade do sistema. Diz-se que um sistema é estável se todo estado inicial finito produz uma
resposta limitada. Este é dito controlável se existir um sinal de entrada que leve um estado de
um ponto no tempo a outro. Por fim, um sistema é dito observável se, para qualquer estado
inicial desconhecido, há um tempo finito, e suficiente, para se determinar esse estado através das
entradas e saídas do sistema.
15
Capítulo 2
Introdução aos Sistemas de Controle
Para um melhor proveito do curso de controle, é interessante revisar alguns conceitos básicos
sobre sistemas, como:
• Transformada de Laplace;
• Modelagem matemática;
• Análise de sistemas de 1a e 2a ordem;
• Estabilidade absoluta e relativa;
• Erro em regime permanente.
Contudo, ressalta-se que Introdução aos Sistemas de Controle (ISC) é outra disciplina da
Engenharia Elétrica, de tal modo, apenas alguns assuntos serão abordados aqui.
2.1 Modelagem matemática
A etapa de descrição do sistema por meio da modelagem matemática parte da análise do
princípio de funcionamento do sistema. Dependendo do grau de complexidade do modelo, requi-
sitos de processo, restrições e perturbações, pode-se resultar em uma interpretação simples do
seu comportamento. Uma técnica de modelagem é a identificação de sistemas, onde se descrevem
as equações a partir da relação entre as entradas e saídas do sistema.
Sistemas mecânicos, sejam eles rotacionais, translacionais ou híbridos, podem ser modelados
por meio de leis físicas, como as leis de Newton ou as equações de Lagrange. Em sistemas elétricos
normalmente se aplicam as leis de Kirchhoff e a lei de Ohm. Por outro lado, sistemas fluídicos
trabalham com a variação da diferença de nível e vazão, enquanto sistemas térmicos tratam a
variação de temperatura e calor. A Tab. 2.1 traz essas informações em detalhes.
16
Tabela 2.1: Elementos de diferentes sistemas físicos
Sistema Fluxo Esforço Armazenador
de fluxo
Armazenador
de esforço
Dissipador
Elétrico Corrente, I Tensão, V Capacitor,
I = C dVdt
Indutor,
V = LdIdt
Resistor,
I = VR
Mecânico
translacional
Força, F Velocidade
linear, v
Massa,
F = M dvdt
Mola, v = 1K
dF
dt Atrito
viscoso,
F = Bv
Mecânico
rotacional
Torque, τ Velocidade
angular, ω
Inércia,
τ = J dωdt
Mola torcional,
ω = 1K
dF
dt
Atrito
viscoso
rotacional,
τ = Bω
Fluido Vazão, Q Pressão, P Reservatório,
Q = C dPdt
Inércia fluida,
P = I dQdt
Resistência
fluida,
Q = PR
Térmico Fluxo de
calor, q
Temperatura,
T
Corpo,
q = C dTdt
- Resistência
térmica,
q = TR
Fonte: Adaptado de Meneghetti (2007)
Ressalta-se que sistemas diferentes podem possuir o mesmo modelo matemático embora com
notações diferentes, isto é, mesma ordem e correspondentes termo a termo. Tais sistemas são
denominados análogos e é plausível estabelecer uma conexão entre seus comportamentos.
2.1.1 Função detransferência
Primeiramente, denota-se uma variável complexa como s = σ+ jω, onde as constantes σ e ω
são, respectivamente, a parte real e a imaginária, enquanto uma função F (s) é dita complexa se
possuir o formato F = Fx + jFy, onde Fx e Fy são quantidades reais [1]. O teorema de Euler,
cos θ + j sin θ = ejθ, relaciona funções sinusoidais e exponenciais, tornando possível expressar
senos e cossenos em termos de uma função exponencial.
Isto posto, a transformada de Laplace (Eq. 2.1) gera uma função de variável s (frequência)
a partir de uma função de variável t (tempo), facilitando a solução de equações diferenciais ao
converte-las para equações algébricas.
L [f(t)] = F (s) =
∫ ∞
0
e−stdt[f(t)] =
∫ ∞
0
f(t)e−stdt (2.1)
As Tab. 2.2 e 2.3 apresentam, respectivamente, as propriedades da transformada de Laplace
e alguns pares.
17
Tabela 2.2: Propriedades da transformada de Laplace
Nomenclatura Descrição
Homogeneidade L [af(t)] = aL [f(t)] = aF (s)
Aditividade L [f1(t)± f2(t)] = L [f1(t)]±L [f2(t)] = F1(s)± F2(s)
Translação no tempo L [f(t− a)] = e−asF (s)
Mudança de escala de tempo L [f( 1α )] = αF (αs)
Translação no domínio da frequência L [eatf(t)] = F (s− a)
Valor final limt→∞ f(t) = lims→0 sF (s)
Valor inicial limt→0 f(t) = lims→∞ sF (s)
Diferenciação L [ d
n
dtn f(t)] = s
nF (s)− sn−1f(0)− sn−2ḟ − · · · −
(n−1)
f(0)
Integração L [
∫
f(t)dt] = F (s)s +
f−1(s)
s , f
−1(0) =
∫
f(t)dt|t=0
Integral da convolução L [
∫ t
0
f1(t− τ)f2(τ)] = F1(s)F2(s)
Fonte: Adaptado de Ogata (2010)
Tabela 2.3: Pares de transformada de Laplace
f(t) F(s)
δ(t) 1
1(t) 1s
t 1s2
tn−1
(n−1)! , n ∈ N
∗ 1
sn
tn, n ∈ N∗ n!sn+1
e−at 1s+a
teat 1(s+a)2
1
(n−1)! t
n−1e−at, n ∈ N∗ 1(s+a)n
tne−at, n ∈ N∗ n!(s+a)n+1
sinωt ωs2+ω2
cosωt ss2+ω2
sinhωt ωs2−ω2
coshωt ss2−ω2
1
a (1− e
−at) 1s(s+a)
1
b−a (e
−at − e−bt) 1(s+a)(s+b)
1
b−a (be
−bt − ae−at) s(s+a)(s+b)
1
ab [1 +
1
a−b (be
−at − e−at)] 1s(s+a)(s+b)
1
a2 (1− e
−at − ate−at) 1s(s+a)2
1
a2 (at− 1 + e
−at) 1s2(s+a)
e−at sinωt ω(s+a)2+ω2
e−at cosωt s+a(s+a)2+ω2
ωn√
1−ζ2
e−ζωnt sin(ωn
√
1− ζ2t), 0 < ζ < 1 ω
2
n
s2+2ζωns+ω2n
1√
1−ζ2
e−ζωnt sin(ωn
√
1− ζ2t− φ), 0 < ζ < 1, φ = tan−1(
√
1−ζ2
ζ ), 0 < φ <
π
2
s
s2+2ζωns+ω2n
18
1− cosωt ω
2
s(s2+ω2)
ωt− sinωt ω
3
s2(s2+ω2)
sinωt− ωt cosωt 2ω
3
(s2+ω2)2
1
2ω t sinωt
s
(s2+ω2)2
t cosωt s
2−ω2
(s2+ω2)2
1
ω22−ω21
(cosω1t− cosω2t), ω21 6= ω22 s(s2+ω21)(s2+ω22)
1
2ω (sinωt+ ωt cosωt)
s2
(s2+ω2)2
Fonte: Adaptado de Ogata (2010)
A transformada inversa de Laplace (Eq. 2.2) permite realizar a operação contrária, isto é,
obter f(t) a partir de F (s) para t ≥ 0. Contudo, é comum se utilizar o método da decomposição
em frações parciais em conjunto com as Tab. 2.3 e 2.2 para tanto.
L −1[F (s)] = f(t) =
1
2πj
∫ c+j∞
c−j∞
F (s)estds (2.2)
A partir disto, dado um SLIT SISO descrito pela Eq. 2.3,
a0
(n)
y(t) + a1
(n−1)
y(t) + · · ·+ an−1 ˙y(t) + any(t) = b0
(m)
x(t) + b1
(m−1)
x(t) + · · ·+ bm−1 ˙x(t) + bmx(t) (2.3)
Uma função de transferência pode ser utilizada para caracterizar a relação entrada-saída
deste sistema, sendo definida como a razão da transformada de Laplace da saída pela da entrada.
Assumindo condições iniciais nulas, o comportamento dinâmico do sistema é representado por
uma equação algébrica em s na Eq. 2.4.
G(s) =
L [saı́da]
L [entrada]
=
Y (s)
X(s)
=
b0s
m + b1s
m−1 + · · ·+ bm−1s+ bm
a0sn + a1sn−1 + · · ·+ an−1s+ an
(2.4)
Uma representação mais usual da função de transferência de um sistema é descrita na Eq. 2.5.
G(s) =
K(s+ z1)(s+ z2) · · · (s+ zm)
(s+ p1)(s+ p2) · · · (s+ pn)
(2.5)
A ordem da equação diferencial que descreve o modelo de um sistema, isto é, a ordem mais
elevada da derivada da variável de saída, é dita a ordem do sistema. Além disso, define-se K
como uma constante de ganho do sistema, os polos (p) da função de transferência como as raízes
do denominador e os zeros (z) como as raízes do numerador. Os polos são os valores de s para
os quais a função de transferência é infinita, ou seja, fazem o denominador ser zero, enquanto os
zeros são os valores de s para os quais a função de transferência é igual a zero.
Se a função de transferência de um sistema é conhecida, pode-se estudar sua saída ao aplicar
diferentes entradas, de modo a compreender o comportamento do sistema como um todo. Por
outro lado, caso não te tenha a função de transferência, esta pode ser encontrada experimental-
mente.
19
2.1.2 Diagrama de blocos
Um diagrama de blocos é uma representação gráfica de modelos que busca resumir a comple-
xidade dos cálculos matemáticos por meio de funções equivalentes. Dado um sistema, pode-se
construir um ou mais diagramas que o represente. Enquanto, dado um diagrama, pode-se reduzi-
lo ao diagrama equivalente mais simples possível, o qual fornece diretamente a respectiva função
de transferência [2].
Os símbolos utilizados nesta representação são apresentados na Tab. 2.4.
Tabela 2.4: Símbolos utilizados em diagrama de blocos
Nomenclatura Representação Função
Bloco operacional Blocos que contém uma funçãode transferência.
Somador
Operação na qual o símbolo em
cada seta indica se os sinais de-
vem ser somados ou subtraídos.
Ramificação
Ponto onde o sinal de um bloco
parte para outro bloco ou para
um somador.
Para simplificar um diagrama de blocos, consideram-se os três casos de reduções propostos
na Tab. 2.5.
Tabela 2.5: Redução de diagramas de blocos
Nomenclatura Bloco original Bloco equivalente
Blocos em série G2G1 G1G2
Ramos em paralelo
G1
G2
+ +
G1+G2
Malhas de realimentação
G1
G2
+ -
G1/(1+G1G2)
A fórmula de Mason (Eq. 2.6) permite a redução imediata. Sendo, F a função de transferência
resultante ou o ganho completo entre a entrada e a saída, Gk o ganho do caminho de avanço de
número k que liga a entrada à saída e ∆ o determinante do gráfico, onde os L são os ganhos das
malhas do diagrama que não se tocam. Ressalta-se que o ∆k não contempla o ganho das malhas
que tenham um ou mais pontos de contato com o caminho de avanço k.
F (s) =
∑N
k=1Gk∆k
∆
∆ = 1 +
∑
Li +
∑
LiLj +
∑
LiLjLk + · · ·
(2.6)
20
2.1.3 Espaço de estados
O estado do sistema é definido como o conjunto de informações no instante t do vetor de
estado, sendo o espaço de estado o espaço de n dimensões onde os eixos coordenados representam
os componentes do vetor de estado [2]. Assim, a representação em espaço de estados (Eq. 2.7)
é um modelo matemático que relaciona as variáveis de entrada, saída e estado de um sistema
dinâmico por meio de equações diferenciais de primeira ordem, podendo ser descrito tanto no
domínio do tempo quanto no da frequência.
ẋ(t) = Ax(t) +Bu(t)
y(t) = Cx(t) +Du(t)
(2.7)
Sobre a nomenclatura, x é o vetor de estado (de tamanho n× 1), y é o vetor de saída (q× 1),
u é o vetor de entrada ou controle (p×1), A é a matriz de estado (n×n), B é a matriz de entrada
(n× p), C é a matriz de saída (q × n) e D é a matriz de transição ou alimentação direta (q × p,
mas normalmente é 0). Uma matriz m× n é uma tabela de números com m linhas e n colunas,
onde aij corresponde ao elemento da i linha e j coluna, é importante lembrar que a ordem das
matrizes influencia em algumas operações.
Aplicando a transformada de Laplace sob condições nulas no SLIT é possível relacionar espaço
de estados e função de transferência:
sX(s) = AX(s) +BU(s)
Y (s) = CX(s) +DU(s)
rearranjando,
(sI −A)X(s) = BU(s)
X(s) = (sI −A)−1B
e substituindo em Y ,
Y (s) = [C(sI −A)−1B +D]U(s)
tem-se:
Y (s)
U(s)
= C(sI −A)−1B +D (2.8)
2.2 Linearização
Sabendo que praticamente todos os sistemas reais são não-lineares e que as técnicas de pro-
jeto de controladores para este tipo de sistema são complexas e não garantem desempenho, é
importante tratar do processo de linearização, assim, é possível conferir a estabilidade e entender
a dinâmica destes sistemas, além de acelerar simulações.
Caso a não-linearidade seja suave (dinâmica ou contínua), isto é, diferenciável, uma lineariza-
ção pode ser feita. Esse procedimento é realizado à mão resolvendo o Jacobianoou ajustando um
modelo através de programas com funções de identificação de sistemas ou métodos de resposta
em frequência. São exemplos de não-linearidades duras (estáticas ou descontínuas), a saturação
dos atuadores, zona morta e histerese.
21
Assumindo que as variáveis de um sistema não-linear variam pouco de um ponto de operação,
a relação entre a entrada e a saída é dada por y = f(x). Se a condição normal de operação
corresponde à x e y, tal relação pode ser expandida em série de Taylor em torno deste ponto
como na Eq. 2.9.
y = f(x) +
df
dx
(x− x) + 1
2!
d2f
dx2
(x− x)2 + · · · (2.9)
As derivadas são avaliadas em x = x, assim, se a variação é pequena, pode-se ignorar termos
de ordens grandes em termos de x− x. Reescrevendo a equação:
y = y +K(x− x)
∴ y − y = K(x− x)
(2.10)
Sendo y = f(x) e K = dfdx |x=x. A Eq. 2.10 é reformulada de modo que y − y é proporcional
à x− x, resultando em um modelo linear do sistema perto do ponto de operação x = x, y = y.
É usual se escolher o estado estacionário como ponto de operação, pois os estados estão em
equilíbrio. Outra alternativa é o trimming, onde se encontra um ponto de equilíbrio com o ajuste
dos sinais de entrada. Por via de regra, a linearização ocorre em pontos de operação com baixo
erro, ou seja, com boa representação.
2.3 Resposta dinâmica
A resposta dinâmica completa de um sistema se divide em duas partes: a componente natural
ou resposta transitória e a componente forçada ou resposta em regime permanente [2]. No
domínio do tempo, a resposta transitória é a solução geral da equação diferencial homogênea,
enquanto a resposta forçada é a solução particular da equação completa. Já no domínio da
frequência, a transitória provém das frações parciais que contém os polos do sistema e a forçada
contém os polos do sinal de entrada.
Para facilitar a analise da resposta, estabeleceram-se sinais típicos de ensaios (Tab. 2.6),
mediante os quais se pode predizer o comportamento de outros sinais.
22
Tabela 2.6: Sinais típicos de ensaios
Nomenclatura Representação gráfica Representação matemática
Impulso f(t) =
{
A t = 0
0 t 6= 0
Degrau f(t) =
{
A t ≥ 0
0 t < 0
Rampa f(t) =
{
At t ≥ 0
0 t < 0
Parábola f(t) =
{
A t
2
2 t ≥ 0
0 t < 0
A isso estão associadas algumas grandezas utilizadas como especificações de desempenho do
sistemas [1]:
• Tempo de subida ou rise time (ts): tempo necessário para que a saída atinja o valor final
pela primeira vez.
• Tempo de atraso ou delay time (ta): tempo para o sinal alcançar 50% do valor final.
• Tempo de pico ou peak time (tp): tempo para o sinal atingir o primeiro pico de sobressinal.
• Tempo de acomodação ou settling time (tac): tempo para que a resposta alcance e perma-
neça dentro de uma faixa em torno do valor final.
• Máximo sobressinal ou overshoot (Mp): valor máximo de pico da curva de resposta em
relação ao valor final.
2.3.1 Sistemas de primeira ordem
Os sistemas de primeira ordem, são expressos por equações do tipo:
ẏ(t) + ay(t) = Ku(t) (2.11)
sendo a > 0 e K > 0. A função de transferência resultante é apresentada na Eq. 2.12.
G(s) =
K
s+ a
=
Kg
τs+ 1
(2.12)
sendo a constante de ganho estático do sistema definida por Kg = Ka e a constante de tempo por
τ = 1a . Quanto às especificações de desempenho, tem-se:
tac = 3T ou 4T
ts = 2, 2T
(2.13)
23
sendo T o período. A dinâmica dos sistemas de primeira ordem é caracterizada por um compor-
tamento uniforme.
Figura 2.1: Resposta sistema de primeira ordem
Fonte: Ogata (2010)
2.3.2 Sistemas de segunda ordem
Os sistemas de segunda ordem são expressos por equações do tipo:
ÿ(t) + pẏ(t) + qy(t) = Ku(t) (2.14)
sendo p, q e K constantes. A função de transferência resultante é apresentada na Eq. 2.15.
G(s) =
K
s2 + ps+ q
=
K
s2 + 2αs+ ω2n
=
Kg
( sωn )
2 + 2ζ( sωn ) + 1
(2.15)
sendo ωn igual à frequência de ressonância do sistema sem amortecimento, α igual ao coeficiente
de amortecimento, ζ igual ao grau de amortecimento, Kg igual à constante de ganho generalizada
e K igual à constante de ganho imprópria.
A dinâmica deste tipo de sistema varia com o valor dos parâmetros, podendo-se considerar
os casos da Tab. 2.7.
Tabela 2.7: Classificação de sistemas de segunda ordem
Grau de amortecimento Polos Resposta característica
ζ > 1 Reais e diferentes Sobreamortecida
ζ = 1 Reais e iguais Criticamente amortecida
0 < ζ < 1 Complexos conjugados Subamortecida
24
Quanto às especificações de desempenho, tem-se:
ta = 4τ =
4
ζωn
tp =
π
ωn
√
1− ζ2
Mp = e
ζπ√
1−ζ2
(2.16)
Figura 2.2: Resposta sistema de segunda ordem
Fonte: Ogata (2010)
2.3.3 Sistemas de ordens maiores
Generalizando, é possível analisar a dinâmica de sistemas complexos a partir de sistemas
básicos, ou seja, de primeira e segunda ordem. Por exemplo, a expansão da função de transfe-
rência de um sistema qualquer que possui apenas polos reais simples e zeros quaisquer, porém
em número menor do que os polos, resulta em frações parciais de primeira ordem, assim, esse
sistema pode ser considerado como uma soma ou superposição de sistemas de primeira ordem
[2]. De mesmo modo, sistemas com polos complexos ou imaginários podem vir de sistemas de
segunda ordem, em especial quando há dois polos dominantes, isto é, que estão de 5 a 10 vezes
mais próximos do eixo imaginário do que os demais, ou polos e zeros adicionais muito próximos
ou que se cancelam.
2.4 Estabilidade
Estabilidade pode ser definida como estado de equilíbrio ou condição do que se mantém
constante. Em engenharia, é comum se estabelecer condições de estabilidade a partir dos modelos
matemáticos dos sistemas. De modo geral, a estabilidade absoluta é uma condição, isto é, se um
sistema é estável ou instável, para toda a extensão de valores, enquanto a estabilidade relativa
afirma que, se um sistema é estável, pode-se determinar o grau de estabilidade do mesmo.
25
2.4.1 BIBO estabilidade
A BIBO (bounded input-bounded ouput) estabilidade determina que toda entrada limitada
produz uma saída limitada. Assim, um sistema é dito BIBO estável se, e somente se, todos os
polos ou autovalores tem, no caso contínuo, parte real negativa, o que é equivalente a estarem
localizados no semiplano s esquerdo.
O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz auxilia essa análise em sistemas complexos. Se
a equação característica do sistema pode ser escrita como:
Q(s) = ans
n + an−1s
n−1 + an−2s
n−2 + · · ·+ a1s+ a0 (2.17)
Constrói-se a Tab. 2.8, onde a coluna de referência (primeira coluna) é formada pelas potências
positivas decrescentes de s, as duas primeiras linhas são formadas pelos coeficientes do polinômio
dispostos em ordem decrescente dos expoentes de s de mesma paridade e as demais linhas são
formadas por combinações dos elementos passados.
Tabela 2.8: Tabela de Routh-Hurwitz
sn an an−2 an−4 · · ·
sn−1 an−1 an−3 an−5 · · ·
sn−2 b1 b2 b3 · · ·
sn−1 c1 c2 c3 · · ·
...
...
...
...
...
s δ
1 y
sendo,
b1 =
an−1an−2 − anan−3
an−1
b2 =
an−1an−4 − anan−5
an−1
c1 =
b1an−3 − an−1b2
b1
c2 =
b1an−5 − an−1b3
b1
...
(2.18)
Determina-se que o número de raízes de Q(s) com parte real positiva é igual ao número de
mudanças de sinal encontradas nos coeficientes da coluna principal.
Alguns casos especiais fazem com que seja necessário analisar a tabela de Routh-Hurwitz
de forma diferente. Um deles é a presença de uma linha completa de zeros na tabela, onde os
coeficientes da derivada irão substituir esta linha. Outro ocorre quando apenas um termo da
primeira coluna é nulo, podendo-se substituí-lo por um número � positivo muito pequeno, assim,
diz-se que há um par de raízes imaginárias se o sinal do coeficiente acima do � for o mesmo do
coeficiente abaixo e que há uma mudança de sinal caso os sinais sejam opostos.
26
2.4.2 Estabilidade interna
Considera-se que um ponto de equilíbrio xe é marginalmente estável ou estável no sentido de
Lyapunov se, começando perto do ponto de equilíbrio, os estados do sistema permanecem perto
dele ao longo do tempo. Matematicamente, dado ε > 0 qualquer, existe um δ(ε)> 0 tal que
‖x(t0)− xe‖ ≤ δ que implica ‖x(t)− xe‖ ≤ ε para todo t > t0.
Figura 2.3: Estabilidade no sentido de Lyapunov
x(0)
x(t)
t
εδ
Fonte: Adaptado de Math24 (2019)
Um sistema é dito assintoticamente estável se tende ao seu ponto de equilíbrio com o passar
do tempo, ou seja, um ponto xe é dito assintoticamente estável se for estável no sentido de
Lyapunov e se ‖x(t)− xe‖ → 0 a medida que t→∞.
Figura 2.4: Estabilidade assintótica
x(0)
x(t)
t
ε→0δ
Fonte: Adaptado de Math24 (2019)
2.5 Constantes de erro estacionário
Sendo E(s) igual ao sinal de o erro e R(s) igual ao sinal de entrada, o erro em estado
estacionário pode ser dado em termos da função de transferência de malha fechada T (s) ou de
malha aberta G(s), de forma geral:
ess = lim
s→∞
e(t) = lim
s→0
sE(s) (2.19)
Este erro pode ser causado pela incapacidade de um sistema em seguir um determinado tipo
27
https://www.math24.net/stability-theory-basic-concepts/
https://www.math24.net/stability-theory-basic-concepts/
de referência, de tal modo, a constante de erro estático pode ser utilizada como especificação em
projeto de sistemas de controle.
As constantes de erro estático de posição, velocidade e aceleração são dadas, respectivamente,
pelas Eq. 2.20, 2.21 e 2.22.
Kpe = lim
s→0
G(s) = G(0) (2.20)
Kve = lim
s→0
sG(s) (2.21)
Kae = lim
s→0
s2G(s) (2.22)
Assim, os erros em termos do ganho K para diferentes tipos de sistemas quando submetidos
a diferentes entradas são traduzidos por:
Tabela 2.9: Erro de estado estacionário em termos do ganho K
Tipo do sistema Entrada em degrau Entrada em rampa unitária Entrada do tipo parábola
0 11+K ∞ ∞
1 0 1K ∞
2 0 0 1K
Fonte: Adaptado de Ogata (2010)
28
Capítulo 3
Ações Básicas de Controle
Dada a necessidade de se projetar um controlador, deve-se decidir o seu tipo, eletrônico,
elétrico, mecânico, pneumático, hidráulico ou uma combinação destes, bem como a configuração,
em série ou por feedback [10]. Neste contexto, as ações de controle são as operações matemáticas
que atuam sobre o sinal de erro com o objetivo de produzir o sinal de entrada a ser aplicado na
planta para satisfazer o escopo do projeto.
3.1 Ação liga-desliga
Este tipo de ação possui duas posições fixas: ligado (on) ou desligado (off ), sendo estas um
valor máximo ou mínimo dependendo do sinal do erro calculado. Na prática, deve-se cogitar
uma pequena diferença entre os valores de erro devido à inconsistência em zero, de modo que
seja preciso que o valor de erro ultrapasse e− ou e+ para que haja a mudança de estado.
Figura 3.1: Ação de controle liga-desliga
+ -
e U1
U2
(a) ideal
+ -
e U1
U2
e+e-
(b) com histerese
Sendo:
u(t) =
{
U1, se e(t) > 0
U2, se e(t) < 0
(3.1)
Esta ação é considerada a mais simples e econômica, porém possui limitações no compor-
tamento dinâmico e em regime permanente, o que restringe suas aplicações à sistemas que não
exigem precisão.
29
3.2 Ação proporcional
Aqui o sinal de controle aplicado na planta é proporcional à amplitude do valor do sinal de
erro, tido como um ajuste no ganho do sistema.
Figura 3.2: Ação de controle proporcional
Kp+ -
e
Sendo Kp o ganho proporcional, tem-se:
u(t) = Kpe(t) (3.2)
Suas principais características podem ser resumidas em:
• Reagir agressivamente ao erro;
• Limitar-se ao LR;
• Não aumentar o tipo da função de transferência em malha aberta;
• Poder saturar o controlador;
• Baixo custo.
De modo geral, um ganho proporcional alto gera um sinal de saída alto. Este aumento
diminui o erro de regime permanente e aumenta o tempo de acomodação, o que torna o sistema
mais oscilatório e pode causar instabilidade. Por outro lado, ganhos baixos podem não corrigir
a dinâmica. O erro do offset é inversamente proporcional ao ganho.
3.3 Ação integral
Esta ação produz um sinal proporcional à integral do valor do sinal de erro, ou seja, o erro
acumulado, tida como uma função armazenadora de energia.
Figura 3.3: Ação de controle integral
Ki/s+ -
e
30
Sendo Ki o ganho integral, tem-se:
u(t) =
1
Ki
∫ t
0
e(τ)dτ (3.3)
Suas principais características podem ser resumidas em:
• Eliminar o erro de regime permanente em malha fechada;
• Tender a piorar o transitório;
• Causar oscilações.
Por isto, esta ação é utilizada em aplicações onde a resposta transitória é aceitável e a em
regime é insatisfatória. Caso o ganho seja muito baixo, o sistema pode demorar para atingir
a referência, contudo, se for muito alto, o sistema pode se tornar instável. Para resolver a
questão das oscilações ou erro de seguimento constante, tem-se as estratégias anti-windup como
o integrador modificado ou o back calculating e tracking.
3.4 Ação derivativa
Esta ação produz um sinal proporcional à derivada do valor do sinal de erro, ou seja, a
velocidade de variação do erro, tendo uma característica antecipativa.
Figura 3.4: Ação de controle derivativa
sKd+ -
e
Sendo Kd o ganho derivativo, tem-se:
u(t) = Kd
de(t)
dt
(3.4)
Suas principais características podem ser resumidas em:
• Melhorar o transitório;
• Amplificar ruídos;
• Tender a piorar o regime permanente.
Por isto, esta ação é utilizada em aplicações onde a resposta em regime é aceitável e a transi-
tória é insatisfatória, já que diminui o tempo de resposta ao fornecer uma correção antecipada do
erro. Não é recomendada para processos em que se espera uma resposta rápida à perturbações,
pois pode amplificar ruídos e saturar os atuadores.
31
3.5 Realização física de controladores
Os modelos dos controladores correspondente às ações P (Fig. 3.5a), I (Fig. 3.5b) e D
(Fig. 3.5c) podem ser implementados por meio de circuitos analógicos.
Figura 3.5: Controladores P, I e D implementados por amplificadores operacionais
(a) (b) (c)
Proporcionando as devidas relações entrada-saída:
VoP =
−R2
R1
Vi (3.5)
voI (t) =
−1
RC
∫ t
t0
vs(t)dt+ vo(t0) (3.6)
voD = −RC
dvs(t)
dt
(3.7)
Como possui mais zeros do que polos, o controlador PD é não-causal, portanto não é possível
implementá-lo da forma convencional por circuitos passivos, contudo, pode-se acrescentar um
filtro ou lead, o que resulta numa alteração no formato da equação. De mesmo modo, o controla-
dor PID, o qual combina as 3 ações, deve ser feito por circuitos ativos, porém, alternativamente,
é possível implementá-lo em circuitos passivos adicionando-se um polo de ordem superior.
O controlador lag-lead pode ser representado tanto por circuitos ativos (Fig. 3.6a) quanto
passivos (Fig. 3.6b), sendo uma junção das ações lag e lead [5].
32
Figura 3.6: Controlador lag-lead implementados fisicamente
(a) (b)
Fonte: Adaptado de Nise (2012)
3.6 Compensação com realimentação interna
A realimentação interna é comum em processos MIMO com variáveis em dinâmicas opostas
ou em processos cujo elemento sensor calcula automaticamente a variável e suas derivadas. Al-
gumas de suas desvantagens são: aumento da complexidade e custo devido ao numero maior de
componentes do sistema, perda de ganho já que este é reduzido por um fator 11+GH em relação
ao sistema de malha aberta, e possibilidade de instabilidade, pois um sistema estável em malha
aberta não necessariamente o será em malha fechada. Quanto ao projeto, se os requisitos forem
dependentes e/ou as dinâmicas forem muito distintas, faz-se dois projetos em cascata, senão,
calcula-se a malha equivalente e se projeta a total.
33
Capítulo 4
Lugar Geométrico das Raízes
O método do lugar das raízes (LR ou LGR) sugere localizar as raízes da equação característica
de sistemas realimentados no plano complexo em função da variação de um parâmetro, de 0 a∞,
e desenhar sua trajetória, permitindo analisar graficamente o processo. Usualmente o parâmetro
utilizado é a constante K, um compensador do sistema de controle que possibilita a sintonia
do controlador, porém, é possível fazer um lugar geométrico generalizado no qual se consideram
variações de outras características.
O plano s é representado por um gráfico bidimensional, no qual os polos são identificados
por × e os zeros por ◦. A localizaçãodos polos determina a natureza dos modos do sistema,
enquanto a dos zeros determina a proporção em que estes são combinados. Assim, diz-se que a
estabilidade do sistema pode ser determinada pelos polos da função de transferência, enquanto
os zeros influenciam na robustez.
Dada a malha de controle da Fig. 4.1.
Figura 4.1: Malha de controle
G(s)
Y(s)
K
R(s)
H(s)
+ -
A função de transferência em malha fechada é dada por
T (s) =
KG(s)
1 +KG(s)H(s)
(4.1)
Os polos de malha fechada são as raízes do polinômio característico (PC) dado por
PC(s) = 1 +KG(s)H(s) = 0
ou,
KG(s)H(s) = −1
A partir disso, definem-se duas condições para que um determinado ponto s seja polo de T(s):
34
• Condição angular ou de fase: ∠G(s)H(s) = 360◦N − 180◦
• Condição de módulo: |KG(s)H(s)| = 1
4.1 Esboço do diagrama do Lugar das Raízes
O número de etapas para o esboço do diagrama do lugar das raízes varia de acordo com
o grau de refinamento necessário, aqui serão apresentadas 7 [1]. Partindo do pressuposto de
que a equação característica foi escrita tal que o parâmetro de interesse K aparece como um
multiplicador e fatorada em termos de polos e zeros, sendo pMA = polos de malha aberta,
zMA = zeros de malha aberta, npMA = número de polos de malha aberta, nzMA = número de
zeros de malha aberta, np = número de polos, nz = número de zeros, seguem-se os passos:
1. Marcar os polos e zeros da malha aberta no plano s: os ramos do LR partirão dos polos de
malha aberta em direção aos zeros de malha aberta.
2. Determinar o número de ramos em s: será igual ao número de polos de malha aberta, pois
cada ramo parte de um polo de malha aberta.
3. Determinar os seguimentos do LR que pertencem ao eixo real: pela condição de fase, são
segmentos à esquerda de um número ímpar de singularidades (polos ou zeros de malha
aberta).
4. Determinar o número de ramos que vão a infinito: será igual ao número de polos de malha
aberta menos o número de zeros de malha aberta, ou seja, ramos que não convergirem a
zeros irão a infinito.
5. Determinar os pontos de quebra do eixo real: são os pontos de separação ou chegada, sendo
encontrados nos pontos em que a derivada de K é em relação a σ é nula.
6. Determinar as assíntotas: são retas que apontam a direção final dos ramos que vão para
infinito, sendo obtidas através das condições de módulo e fase, e definidas em função de σ e
ω. Assim, o número de assíntotas é igual ao número de ramos que vão para infinito, sendo
o ponto de partida σa igual à
∑
pMA−
∑
zMA
npMA−nzMA e os ângulos θa(n) iguais à
360n−180
npMA−nzMA .
7. Determinar os pontos de cruzamento com o eixo imaginário (jω): para tanto tem-se duas
opções, a primeira sugere empregar o critério de Routh-Hurwitz e determinar os valores
de ganho K que anulam uma linha inteira da tabela, utilizando-os na linha acima para a
encontrar as raízes do polinômio auxiliar restante, as quais indicarão os pontos de cruza-
mento, enquanto a segunda propõe fazer s = jω na equação característica, igualando as
partes real e imaginária à 0 e resolvendo para ω (frequência de cruzamento) e K (ganho
no ponto de cruzamento).
O lugar das raízes sempre é simétrico em relação ao eixo real. Os ramos saem dos polos de
malha aberta e vão para os zeros de malha aberta ou zeros fictícios matemáticos, isto é, os ramos
são repelidos pelos polos e atraídos pelos zeros.
No generalizado, onde, ao invés de se variar o ganho, consideram-se variações de outras
características, a condição de módulo permanece e a de fase muda, bem como algumas regras:
3. Segmentos no eixo real: existem à esquerda de um número par de singularidades.
6. Assíntota: tem ângulo θa(n) igual à 2πnnp−nz .
35
4.2 Refinamento do diagrama do Lugar das Raízes
Os passos da seção anterior auxiliam no desenho de um esboço rápido do lugar das raízes, o
qual aponta modificações necessárias para melhoria da estabilidade e adequação do comporta-
mento dinâmico numa primeira análise. Contudo, é interessante fazer um refinamento de forma
a obter informações mais completas.
Pode-se aprimorar o formato das linhas situadas fora do eixo real, calibrar os ramos por meio
da condição de modulo ou por processos gráficos, com o objetivo de determinar os pontos de
interesse, bem como ajustar com precisão a forma e localização dos ramos fora do eixo real através
da condição angular ou ainda determinar os ângulos de partida de polos complexo-conjugados
[2].
Por exemplo, o ângulo de partida de um polo complexo será igual à 180 −
∑
(a soma dos
ângulos entre os demais polos de malha aberta e o polo em questão)+
∑
(a soma dos ângulos
entre os zeros e o polo em questão), enquanto o de chegada em um zero complexo será igual à
180−
∑
(a soma dos ângulos entre os demais zeros de malha aberta e o zero em questão) +
∑
(a
soma dos ângulos entre os polos e o zero em questão).
4.3 Análise do Lugar das Raízes
Baseado no diagrama do lugar das raízes, seleciona-se o ganho e se determina o modo domi-
nante da resposta. A escolha dos parâmetros e especificações é feita com base na resposta que
se deseja. A sensibilidade da raiz a um parâmetro é dada por Sr1β =
δr1
δβ/β [3].
A Tab 4.1 apresenta o lugar das raízes para algumas funções de transferência.
Tabela 4.1: Lugar das raízes para funções de transferência típicas
F(s) LR
K
sτ1+1
K
(sτ1+1)(sτ2+1)
K
(sτ1+1)(sτ2+1)(sτ3+1)
36
K
s
K
s(sτ1+1)
K
s(sτ1+1)(sτ2+1)
K(sτa+1)
s(sτ1+1)(sτ2+1)
K
s2
K
s2(sτ1+1)
K(sτa+1)
s2(sτ1+1)
, τa > τ1
37
K
s3
K(sτa+1)
s3
K(sτa+1)(sτb+1)
s3
K(sτa+1)
s2(sτ1+1)(sτ2+1)
K(sτa+1)(sτb+1)
s(sτ1+1)(sτ2+1)(sτ3+1)(sτ4+1)
Fonte: Adaptado de Meneghetti (2007)
Lembrando que o semiplano direito corresponde à região de instabilidade, os polos domi-
nantes são aqueles que se encontram no semiplano esquerdo próximos ao eixo imaginário. De
modo similar, são ditos zeros lentos aqueles que estão mais próximos do eixo imaginário quando
comparados aos polos dominantes, enquanto os zeros rápidos são aqueles que estão afastados.
38
4.4 Projeto de controladores por intermédio do Lugar das
Raízes
O projeto de controladores utilizando o LR comumente utiliza a hipótese de que a malha
de controle fechada pode ser aproximada por um sistema de segunda ordem padrão (2OP),
considerando-se que os dois polos dominantes não são influenciados pelos zeros e polos de ordem
superior ou que estes se anulam.
Controladores permitem alterar a função de transferência global do sistema de forma que
sua resposta satisfaça as especificações propostas, sendo normalmente inserido no ramo direito
do sistema, na região de baixa potência, porém também podendo ser localizado no ramo de
realimentação ou fazer parte das malhas internas de realimentação [2].
Os requisitos de projeto podem ser listados:
1. Em termos de valores de máximo pico, tempos de acomodação, tempo de subida ou tempo
de pico.
2. Em função dos valores do coeficiente de amortecimento e da frequência natural.
3. Na posição dos polos de segunda ordem.
∗ Também se pode definir um requisito para o erro em regime permanente, o qual é traduzido
em termos do ganho do processo ou do tipo do sistema da malha aberta.
Após definido os polos dominantes de malha fechada, projeta-se o controlador. Mesmo que
o processo não resulte em uma malha de 2OP com 0 < ξ < 1, pode-se utilizar das equações e
avaliar as aproximações. Isto posto, os problemas a serem resolvidos envolvem o desempenho em
regime transitório, a precisão em regime permanente e as condições de estabilidade
4.4.1 Controlador proporcional
Pela equação geral, nota-se que não acrescenta polos ou zeros.
U(s) = KpE(s)
C(s) =
U(s)
E(s)
= Kp = Kc
(4.2)
Então, sugere-se o procedimento de projeto ou algoritmo como:
des =
desejado! Algoritmo 3 Controlador P
1: Traduzir os requisitos de desempenho em ξdes e/ou ωndes , sendo s1des e s2des encontrados por
s = −ξdes.ωndes ± ωddes .j
2: if s1des e s2des /∈ LR (condição de fase) then
3: Outro controlador → Saida
4: end if
5: Calcular Kc (condição de módulo)
6: Avaliar a aproximação de 2OP
39
4.4.2Controlador proporcional-integral
Pela equação geral, nota-se que adiciona um polo na origem, isto é, em p = 0, e um zero em
z = KiKp .
U(s) = KpE(s) +
Ki
s
E(s)
C(s) =
U(s)
E(s)
= Kp +
Ki
s
=
Kc(s+ zc)
s
(4.3)
Então, sugere-se o algoritmo:
Algoritmo 4 Controlador PI
1: Traduzir os requisitos de desempenho em s1des e s2des
2: if Tipo desejado não for atendido incluindo um integrador then
3: Outro controlador
4: end if
5: Calcular θ para s1,2des considerando G(s)H(s)
1
s (condição de fase)
6: if θ > 180◦ e zc ficar no SPG then
7: Calcular zc a partir de θ
8: end if
9: Calcular Kc (condição de módulo) para s+zcs G(s)H(s)
10: Avaliar a aproximação de 2OP
Observa-se que primeiramente se inclui o integrador na planta, e então, a partido do LR
resultante, determina-se os valores de zc e Kc.
4.4.3 Controlador proporcional-derivativo
Pela equação geral, nota-se que adiciona um zero em z = −KpKd .
U(s) = KpE(s) +KdsE(s)
C(s) =
U(s)
E(s)
= Kp + sKd = Kd(s+
Kp
Kd
) = Kc(s+ zc)
(4.4)
Então, sugere-se o algoritmo:
40
Algoritmo 5 Controlador PD
1: Traduzir os requisitos de desempenho em s1,2des
2: if s1des e s2des ∈ LR (condição de fase) then
3: Controlador P
4: else
5: Determinar θ
6: end if
7: if θ > 180◦ then
8: Calcular zc por ∆θ (trigonometria)
9: else
10: Outro controlador
11: end if
12: Calcular Kc por condição de módulo de C(s)G(s)
13: Avaliar a aproximação de 2OP
A diferenciação do sinal ocasionada pelo zero amplifica os ruídos de sinal.
4.4.4 Controlador proporcional-integral-derivativo
A forma do controlador PID é a combinação das três ações exploradas:
C(s) = Kp +
Ki
s
+Kds = Kp(1 +
1
Tis
+ Tds) (4.5)
Seu projeto consiste na ponderação entre as ações de controle integral e derivativa, ou seja,
entre as características de regime estacionário e transitório, de modo a atender os requisitos, o
que pode ser feito dos seguintes modos:
1. Com o auxílio de software.
2. Por método algébrico ou analítico.
3. Por cancelamento de polos.
Na proposta 2, com C(s) = Kc
ΠMm=0(s+zcm)
ΠNn=0(s+pcn)
, o PCMF (s) = KplantaΠ(s+ zp)KcΠ(s+ zcm) +
Π(s+pj)Π(s+pcn). Se os requisitos de projeto forem atendidos para s1,2des → p1desep2des , então
PCdes(s) = (s+ p1des)(s+ p2des)Π(s+ pde ordem superior).
Enquanto a solução 3 se resume ao posicionamento dos dois zeros e o ganho do controlador,
onde se sugere utilizar um zero para cancelar um polo da planta e o outro para forçar que os
ramos do LR passem nos polos de malha fechada desejados.
4.4.5 Controlador lead e lag
A compensação avanço ou lead é análoga ao PD, melhorando o transitório, enquanto a com-
pensação atraso ou lag é análoga ao PI, melhorando o regime permanente, logo, um controlador
avanço-atraso une as duas características. Seu formato geral é apresentado na Eq 4.6.
C(s) =
Kc(s+ zc)
s+ pc
(4.6)
41
Como se tem três graus de liberdade, isto é, Kc, pc e zc, o projeto completo é realizado
por software ou método algébrico, porém é possível simplificar. Algumas sugestões de projeto
incluem:
1. Deixar Kc, pc e zc livres, de modo que se tem maior probabilidade de encontrar solução,
sendo necessário o auxílio de software.
2. Fixar zc ou pc de 5 a 10 vezes mais longe de s1,2des , o que reduz o número de graus de
liberdade para dois.
3. Usar uma ou duas singularidades de C(s) para cancelar singularidades de G(s).
4. Usar a proporção zcpc fazendo kc = 1 para alterar as constantes de erro estacionário.
A solução 2 propõe reduzir o número de graus de liberdade por cancelamento de um zero
ou polo da planta com um zero ou polo do controlador de modo a projetar a singularidade
restante analogamente aos casos do PD, lembrando-se que nunca se deve cancelar integradores
e singularidades no SPD. Assim, avalia-se o valor de θ para s1,2des , se θ > 180◦ é necessário zc,
assim, aloca-se pc de 5 a 10, ou ainda 10 a 20, vezes mais afastado de s1,2des , caso contrário, é
necessário pc, logo, aloca-se zc nesta posição.
Em geral, para implementar a solução 3, são escolhas para cancelar: polos mais lentos que o
requisito, zeros de MA ou singularidades que atrapalhem a hipótese de 2OP.
É possível tomar dois rumos para a escolha de zc e pc na solução 4. Primeiramente, pode-se
posicioná-los próximos a origem, o que tende a ser um controle mais barato e com u(t) menor,
porém possivelmente terá cauda. Ou ainda, fazê-los de 5 a 10, ou ainda 10 a 20, vezes mais
distantes que os polos dominantes, resultando em um melhor transitório, contudo, u(t) maior e
componentes de C(s) mais caros.
42
Considerações finais
Como dicas finais, recomenda-se fortemente a leitura da bibliografia base, em especial os livros
[2] e [1], bem como a procura por outras fontes de aprendizado, por exemplo, os cursos online
de Introdução ao Controle de Sistemas, Controle de Sistemas no Plano-s e Controle Usando a
Resposta em Frequência do Coursera, ou ainda os MATLAB Tech talks de Control Systems. A
série de vídeos Identificação e Modelagem do Luis Antonio Aguirre se aprofunda em técnicas de
modelagem de sistemas. Já, para mais informações sobre a Transformada de Laplace, o MIT e o
meSalva disponibilizam materiais interessantes. Os vídeos da playlist Routh-Hurwitz Criterion do
Brian Douglas tratam da construção e análise da Tabela de Routh-Hurwitz. Exemplos de esboço
do diagrama de Bode podem ser vistos com Kathleen Wage e Ahmed Abu-Hajar, e de Nyquist
com Kat Kim. Por fim, quanto aos softwares, existem diversos materiais disponibilizados pelas
próprias empresas, como a playlist Getting Started with MATLAB da MathWorks e a página de
Tutorials do Scilab.
Bons estudos!
43
https://www.coursera.org/learn/controle
https://www.coursera.org/learn/controle-s
https://www.coursera.org/learn/resposta-frequencia
https://www.coursera.org/learn/resposta-frequencia
https://www.mathworks.com/videos/tech-talks/controls.html
https://www.youtube.com/watch?v=TWdgSG0sMlQ&list=PLALrL4i0Pz6DrrCkkJ-k-_S3qi1bFzUUu
https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03sc-differential-equations-fall-2011/unit-iii-fourier-series-and-laplace-transform/laplace-transform-basics/
https://www.youtube.com/watch?v=GrRWAOqF2p0&list=PLf1lowbdbFIDLLHAbjYvvHdod-OjiNsXd
https://www.youtube.com/watch?v=WBCZBOB3LCA&list=PLUMWjy5jgHK0zTjna57eZX4RoZlJtG3L4
https://www.youtube.com/watch?v=ZiXRL4QWqIU
https://www.youtube.com/watch?v=WQzu2rnHG9A
https://www.youtube.com/watch?v=32RbwQddfQQ&list=PLmK1EnKxphikZ4mmCz2NccSnHZb7v1wV-&index=72
https://www.youtube.com/watch?v=OHxR8iMHDWw&list=PL7CAABC40B2825C8B
https://www.scilab.org/tutorials
Referências Bibliográficas
[1] Ogata, Katsuhiko: Engenharia de controle moderno. Pearson, São Paulo, 5a edição, 2010,
ISBN 9788576058106.
[2] Maya, Paulo Alvaro e Leonardi, Fabrizio: Controle essencial. Pearson, São Paulo, 2011,
ISBN 9788576057000.
[3] Dorf, Richard C. e Bishop, Robert H: Sistemas de controle modernos. LTC, Rio de Janeiro,
11a edição, 2011, ISBN 9788521617143.
[4] Ogata, Katsuhiko: Engenharia de controle moderno. Prentice Hall do Brasil, Rio de Janeiro,
1982.
[5] Nise, Norman S: Engenharia de sistemas de controle. LTC, Rio de Janeiro, 6a edição, 2012,
ISBN 9788521621355.
[6] Kuo, Benjamin C: Automatic control systems. J. Wiley, New York, NY, 7a edição, 1995,
ISBN 0471366080.
[7] Hemerly, Elder Moreira: Controle por computador de sistemas dinâmicos. Blucher, São
Paulo, 2a edição, 2000, ISBN 8521202660.
[8] Aguierre, Luis Antonio: Introdução à identificação de sistemas: técnicas lineares e não
lineares aplicadas a sistemas reais. Ed. da UFMG, Belo Horizonte, 3a edição, 2007,
ISBN 9788570415844.
[9] MathWorks: Understanding Control Systems, 2016. https://www.mathworks.com/videos/
series/understanding-control-systems-123420.html.
[10] Araújo, Fábio M. U.: Sistemas de Controle, 2007. https://www.dca.ufrn.br/~meneghet/
FTP/Controle/scv20071.pdf.
44
https://www.mathworks.com/videos/series/understanding-control-systems-123420.html
https://www.mathworks.com/videos/series/understanding-control-systems-123420.html
https://www.dca.ufrn.br/~meneghet/FTP/Controle/scv20071.pdfhttps://www.dca.ufrn.br/~meneghet/FTP/Controle/scv20071.pdf
	Símbolos
	Introdução
	1 O que é controlar?
	1.1 Linha do tempo de controle
	1.2 Definições e generalidades
	1.3 Classificação de sistemas
	1.4 Procedimento para análise
	2 Introdução aos Sistemas de Controle
	2.1 Modelagem matemática
	2.1.1 Função de transferência
	2.1.2 Diagrama de blocos
	2.1.3 Espaço de estados
	2.2 Linearização
	2.3 Resposta dinâmica
	2.3.1 Sistemas de primeira ordem
	2.3.2 Sistemas de segunda ordem
	2.3.3 Sistemas de ordens maiores
	2.4 Estabilidade
	2.4.1 BIBO estabilidade
	2.4.2 Estabilidade interna
	2.5 Constantes de erro estacionário
	3 Ações Básicas de Controle
	3.1 Ação liga-desliga
	3.2 Ação proporcional
	3.3 Ação integral
	3.4 Ação derivativa
	3.5 Realização física de controladores
	3.6 Compensação com realimentação interna
	4 Lugar Geométrico das Raízes
	4.1 Esboço do diagrama do Lugar das Raízes
	4.2 Refinamento do diagrama do Lugar das Raízes
	4.3 Análise do Lugar das Raízes
	4.4 Projeto de controladores por intermédio do Lugar das Raízes
	4.4.1 Controlador proporcional
	4.4.2 Controlador proporcional-integral
	4.4.3 Controlador proporcional-derivativo
	4.4.4 Controlador proporcional-integral-derivativo
	4.4.5 Controlador lead e lag
	Considerações finais