Apostila_de_Resistncia_dos_Materiais_EDF

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE 
DAS 
ESTRUTURAS I 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
SUMÁRIO 
 
1 REVISÃO DE FORÇA, MOMENTO E SISTEMA DE UNIDADES ....................................... 3 
2 INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ......................................................... 13 
3 GEOMETRIA DAS MASSAS ........................................................................................... 16 
4 ESTUDO DOS ESFORÇOS SIMPLES .............................................................................. 30 
5 TEORIA DA TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES: ........................................................ 35 
6 ESTUDO SOBRE O ENSAIO DE TRAÇÃO ESTÁTICA DO AÇO DÚCTIL: ..................... 41 
7 PRISMA DE SEÇÃO CONSTANTE SUJEITO À INFLUÊNCIA DO PESO PRÓPRIO: .... 49 
8 TEORIA DO CISALHAMENTO TRANSVERSAL SIMPLES: ............................................ 53 
9 CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA .............................................................. 60 
10 TEORIA DA FLEXÃO RETA ........................................................................................... 70 
11 TORÇÃO SIMPLES ......................................................................................................... 75 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
1 REVISÃO DE FORÇA, MOMENTO E SISTEMA DE UNIDADES 
1.1 FORÇA 
Em Física, força é uma grandeza que provoca movimento ou deformação de um corpo. 
Existem vários tipos de força: força elétrica, força magnética, força de atrito, força peso, etc. 
Força é uma grandeza vetorial e, como tal, possui características peculiares. São as 
características: 
 Módulo é a intensidade da força aplicada; 
 Direção é reta ao longo da qual ela atua; 
 Sentido é dizer para que lado da reta em questão o esforço foi feito: esquerda, direita, 
norte, sul, leste, oeste. 
 
 
1.1.1 FORÇA RESULTANTE 
Duas ou mais forças constituem um sistema de forças, sendo que cada uma delas é chamada 
de componente. 
 
 
(https://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Dinamica/leisdenewton.php) 
Todo sistema de forças pode ser substituído por uma única força chamada resultante, que 
produz o mesmo efeito das componentes. 
 
https://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Dinamica/leisdenewton.php)
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 (https://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Dinamica/leisdenewton.php) 
1.1.2 FORÇAS COINCIDENTES 
Quando as forças agem numa mesma linha de ação são chamadas de coincidentes.A 
resultante destas forças terá a mesma linha de ação das componentes, com intensidade e 
sentido igual à soma algébrica das componentes. 
 
 
1.1.3 FORÇAS CONCORRENTES 
Forças concorrentes são forças que atuam em um mesmo ponto de aplicação, mas em 
diferentes linhas de ação. 
 
Essas forças podem ser somadas de duas maneiras: Método analítico e método gráfico. 
 
 Método Analítico: 
i. Decomposição das forças: 
 
 
 
 
 
https://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Dinamica/leisdenewton.php)
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
ii. Somar componentes coincidentes e compor: 
 
 
 Método Gráfico: 
i. Desenhar as forças em escala: 
 
 
 
ii. Regra do paralelogramo: 
 
 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
iii. Traçar a resultante e medir com escala: 
 
 
1.2 MOMENTO 
Momento é o produto de uma força F pela distância d a um ponto do eixo → tendência da força 
F provocar uma rotação em torno de um eixo. 
 
 
 
Observe que = . .  
Mas F . sen = F 
Logo, M = d . F 
Unidade (Sistema Internacional): [N] . [m] = N. m 
 
1.2.1 EQUILÍBRIO ESTÁTICO 
Para que um determinado corpo esteja em equilíbrio, é necessário que: 
 A resultante do sistema de forças atuante sobre um corpo seja nula. 
 A resultante dos momentos atuantes em relação a um ponto qualquer do plano de 
forças seja nula. 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
x 10 x 10 x 10 x 10 
: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 
x 10 x 10 
1.3 SISTEMAS DE UNIDADES 
As unidades básicas do Sistema Internacional são: 
 
GRANDEZA NOME SÍMBOLO 
Comprimento Metro m 
Área Metro quadrado m 
Volume Metro cúbico m 
Massa Quilograma Kg 
Tensão Pascal Pa 
Força Newton N 
 
Principais conversões de unidades: 
 Comprimento: 
 
km hm dam m dm cm mm 
 
Para converter as unidades de comprimento deve-se multiplicar ou dividir por 10. Convertendo 
as unidades da esquerda para a direita deve multiplicar, e convertendo as unidades da direita 
para a esquerda deve dividir. Por exemplo: 
 
 
 
 
 
km hm dam m dm cm mm 
0,001 0,01 0,1 1,0 10,0 100,0 1000,0 
 
 
 
 Área: 
 
km² hm² dam² m² dm² cm² mm² 
 
 
0,01 hm = 0,1 dam = 1,0 m = 10 dm = 100 cm 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
x 100 x 100 x 100 x 100 
: 100 : 100 : 10 : 100 : 10 : 10
x 100 x 100 
x 1000 x 1000 x 1000 x 1000
: 1000: 1000 : 1000
x 1000x 1000
: 1000 : 1000 : 1000
Para converter as unidades de volume deve-se multiplicar ou dividir por 100. Convertendo as 
unidades da esquerda para a direita deve multiplicar, e convertendo as unidades da direita para 
a esquerda deve dividir. Por exemplo: 
 
 
 
 
 
km hm dam m dm cm mm 
0,000001 0,0001 0,01 1,0 100,0 10000,0 1000000,0 
 
 
 
 Volume: 
 
km hm dam m dm cm mm 
 
Para converter as unidades de volume deve-se multiplicar ou dividir por 1000. Convertendo as 
unidades da esquerda para a direita deve multiplicar, e convertendo as unidades da direita para 
a esquerda deve dividir. Por exemplo: 
 
 
 
 
 
km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ 
10-9 10-6 10-3 1,0 10³ 106 109 
 
 
 
 
 Força: 
 
 
 
 
 
0,0001 hm = 0,01dam = 1,0 m = 100 dm = 10000 cm 
1 tf = 1000 kgf = 10000 N = 10 kN 
0,000001 hm = 0,001dam = 1,0 m = 1000 dm = 1000000 cm 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
A tabela abaixo mostra as principais conversões de unidade de força: 
 
 N kgf kN tf 
1 Newton (N) 1 10-1 10-3 10-4 
1 Quilograma força (kgf) 10 1 10-2 10-3 
1 Quilonewton (kN) 10³ 10² 1 10-1 
1 Tonelada força (tf) 104 10³ 10 1 
 
 
 Tensão: 
 
As conversões das unidades de tensão são as seguintes: 
 
 Pa kPa MPa GPa 
²
 ²
 
²
 
1Pa 1 10 10 10 10 10 10 1 10 
1 kPa 10 1 10 10 1 10 10 10 10 
1MPa 10 10 1 10 10 1 10 10 10 
1GPa 10 10 10 1 10 10 10 10 10 
1 kN/m² 10 1 10 10 1 10 10 10 10 
1 N/mm² 10 10 1 10 10 1 10 10 10 
1 
kgf/cm² 
10 10 10 10 10 10 1 10 10 
1 N/m² 1 10 10 10 10 10 10 1 10 
1 N/cm² 10 10 10 10 10 10 10 10 1 
 
 
 
 
 
1 Pa = 10-3 kPa = 10-6 MPa = 10-9 GPa 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
Convertendo / para / : 
 
1
1 =
10 
10 = 10 x 10 = 10 = 10 
 
 
Convertendo / para / : 
 
1
1 =
10
10 = 10 x 10 = 10 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
1.4 EXERCÍCIOS 
1.4.1 Transforme as unidades a seguir conforme solicitado: 
a) 10 tf = ___________________________ N 
b) 10 kgf = ___________________________ N 
c) 10 N = ___________________________ kN 
d) 10 kN = ___________________________ tf 
e) 10 tf = ___________________________ kgf 
f) 10 kN = ___________________________ N 
g) 10 MPa = ___________________________ kgf/cm² 
h) 10 kgf/cm² = ___________________________ MPa 
i) 10 MPa = ___________________________ kgf/mm² 
j) 10 kgf/cm² = ___________________________ N/dm² 
k) 10 MPa = ___________________________ kPa 
l) 10 MPa = ___________________________ GPa 
m) 10 GPa = ___________________________ kgf/cm² 
n) 10 MPa = ___________________________ tf/cm² 
o) 10 kgf/cm² = ___________________________ N/mm² 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
1.4.2 Para os sistemas de forças e momentos apresentados abaixo, determine a resultante 
das forças e dos momentos em relação a origem dos eixos cartesianos. 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
f) 
 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
2 INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
2.1 OBJETIVO DO ESTUDO DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS. 
Conhecendo-se os materiais, os formatos e as dimensõesdas peças, por meio da Resistência 
dos Materiais, podem-se determinar os esforços que as mesmas resistirão. 
Conhecendo-se os esforços que atuarão nas peças pode-se, por meio da Resistência dos 
Materiais, determinar o material, o formato e as dimensões que as mesmas deverão ter. 
No nosso curso, procuraremos estudar: 
 Peças que possam ser associadas a barras de eixo retilíneo. 
 Peças que obedeçam à Lei deHooke. 
 Peças com pequenas deformações. 
 
OBS.: Peças que não obedeçam a qualquer uma das três condições acima deverão ser 
estudadas por outras teorias estruturais, tais como a Resistência dos Materiais Avançada e a 
Teoria da Elasticidade. 
 
A Resistência dos Materiais, em nosso curso, fornecerá os fundamentos para a compreensão e 
o estudo das seguintes estruturas: 
 Do dia adia; 
 Da natureza; 
 De pedra e de alvenaria; 
 De madeira; 
 De aço, de alumínio; 
 De concreto simples e armado; 
 De equipamentos. 
 
No nosso curso, usaremos mais frequentemente a unidade Newton (N) ou quilograma- força 
(kgf) como unidade de força. 
 
2.2 O FENÔMENO DA DEFORMAÇÃO 
Na Resistência dos Materiais os corpos, sob a ação das cargas (forças) externas, serão 
sempre considerados deformáveis. A intensidade da deformação dependerá, obviamente, do 
tipo da carga (estática, dinâmica, etc.), da intensidade da mesma, do material do qual o corpo é 
constituído e do formato geométrico do mesmo. Para efeito de estudo em Resistência dos 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Materiais, serão considerados dois tipos de deformações a seguir: 
 
a) Deformação elástica: é aquela que desaparece, dentro dos limites mensuráveis, quando são 
retiradas todas as forças exteriores aplicadas, retornando o corpo ao seu estado inicial. 
 
b) Deformação plástica, permanente ou residual: é aquela que permanece mesmo após a 
retirada das forças exteriores. O corpo não mais retorna ao estado inicial. 
2.3 CORPO PRISMÁTICO 
Quando se desloca uma seção plana no espaço, esta gera um volume chamado de corpo 
prismático. 
Exemplo: se houver o deslocamento de um círculo no espaço, será gerado um corpo 
prismático cilíndrico. Para que o deslocamento da seção plana seja um corpo prismático, 
deverão ser atendidas a duas condições: 
 
a) A curvatura efetuada pela seção plana deverá ser pequena quando comparada com as 
outras dimensões geradas. 
b) Uma das dimensões geradas deve se sobressair em relação às outras. 
 
S = seção transversal do corpo 
 = eixo longitudinal do corpo 
 
2.4 COMO CONSIDERAR A GRANDEZA DA FORÇA NA RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS 
Para se ter uma noção mais precisa da grandeza da força, a mesma deverá estar relacionada 
com sua área de aplicação. A esta força associada com a área de aplicação, dá-se o nome de 
TENSÃO (pressão) 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
Exemplo: Um peso de 30.000 kgf colocado uniformemente sobre uma área de 2 m2, provoca 
que tensão sobre a mesma (em MPa)? 
 
 
ã =
ç
á =
30.000 
2 = 15000 ²
= 1,5
²
= 0,15 
 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
3 GEOMETRIA DAS MASSAS 
3.1 CENTROS DEGRAVIDADE: 
3.1.1 Ponto material: 
É uma parcela ideal da matéria, sem dimensão. No dizer de Newton – um ponto arrancado 
no seio da matéria. 
3.1.2 Peso de um ponto material: 
Com bastante aproximação, pode-se dizer que o peso de um ponto material é uma força 
única orientada para o centro da Terra. 
3.1.3 Sistema material: 
É um conjunto de pontos materiais, formando um corpo definido. 
3.1.4 Peso de um sistema material: 
Se a maior dimensão do sistema material, não ultrapassar certos limites, pode-se supor 
que os pesos dos pontos materiais que o constituem, são todos paralelos e de mesmo 
sentido, pois o centro da Terra está suficientemente distante para considerá-los paralelos e 
não concorrentes. Podesedizerentãoqueopesodeumsistemamaterialéaresultantedetodosos 
pesos dos pontos materiais que constituem o sistema material. 
3.1.5 Centro de gravidade de um sistema material: 
É o ponto central onde está aplicado o suporte do peso do sistema material. O centro de 
gravidade é também chamado de baricentro. 
3.1.6 Determinação do centro de gravidade: 
O centro de gravidade (G) é determinado por meio de coordenadas ( x , y e z ), por meio das 
expressões das coordenadas do centro de forças paralelas. 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
̅ =
∑ ×
∑ 
 
=
∑ ×
∑ 
 
̅ =
∑ ×
∑ 
 
3.2 OBSERVAÇÕES: 
Por ser de maior aplicação na disciplina de Resistência dos Materiais, estudaremos 
apenas os centros de gravidade das superfícies planas, embora existam centros de 
gravidade de linhas e de volumes. 
Linha diametral é a linha que une os pontos médios dos segmentos paralelos ao lado de 
um polígono, e que são limitados pelos mesmos lados adjacentes. 
Quando a figura admite uma linha diametral, o centro de gravidade está nessa linha. 
Quando a figura admite um plano ou um eixo de simetria, o centro de gravidade está 
contido nesse plano ou nesse eixo. 
3.3 CENTRO DE GRAVIDADE DAS SUPERFÍCIESPLANAS: 
3.3.1 Centro de gravidade do paralelogramo e do retângulo: 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Ambos têm duas linhas diametrais, portanto o centro de gravidade encontra-se na 
interseção das mesmas, que são as suas diagonais. 
 
 
3.3.2 Centro de gravidade do triângulo: 
As medianas de um triângulo são linhas diametrais, pois dividem ao meio as cordas 
paralelas às bases; portanto o centro de gravidade encontra-se no cruzamento das 
mesmas. 
 
 
3.3.3 Centro de gravidade do círculo: 
Encontra-se no centro do círculo. 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
3.3.4 Centro de gravidade do semicírculo: 
Encontra-se a 0,424 x R, contado a partir do diâmetro. 
 
 
 
3.3.5 Centro de gravidade do quadrante de círculo 
O centro de gravidade acha-se sobre o eixo de simetria e a 0,424 . Raio, medidos 
paralelamente aos raios ortogonais. 
 
 
3.3.6 Centro de gravidade de figuras compostas 
Para se calcular o centro de gravidade de superfície composta por várias superfícies, faz-
se da seguinte maneira: divide-se a mesma em superfícies simples conhecidas (retângulo, 
triângulo, círculo, etc.), depois determina-se o CG de cada superfície isoladamente e as 
coordenadas do centro de gravidade da superfície composta serão calculadas da seguinte 
maneira: 
x =
∑ S ∙ x
S
=
S ∙ x + S ∙ x + S ∙ x
S + S + S
 ; y =
∑ S ∙ y
S
=
S ∙ y + S ∙ y + S ∙ y
S + S + S
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
3.3.7 Exercícios: 
Determinar as coordenadas do centro de gravida de das superfícies planas abaixo, em 
relação aos eixos indicados: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
d) 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
e) 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
g) 
 
 
h) 
 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
3.4 MOMENTO DE INÉRCIA DE UM PONTO MATERIAL: 
Pode ser em relação a um plano, a um eixo, ou a um ponto e é, por definição, o produto da 
massa do ponto pelo quadrado da distância ao plano, ao eixo ou ao ponto, 
respectivamente. 
 O momento de inércia relativo ao plano chama-se momento de inércia planar. 
 O momento de inércia relativo ao eixo chama-se momento de inércia axial. 
 O momento de inércia relativo ao ponto chama-se momento de inércia polar. 
O momento de inércia axial é o que tem maior aplicação prática na engenharia e é 
designado simplesmente por “momento de inércia”. 
Existem momentos de inércia de linhas, de superfície se de volumes, mas os momentos 
de inércia de superfícies são mais frequentemente utilizados na engenharia. 
 
 
 
3.5 MOMENTO DE INÉRCIA DE SUPERFÍCIES PLANAS EM RELAÇÃOA UM EIXO. 
3.5.1 Definição: 
É a soma dos produtos dos elementos de superfície pelos quadrados das distâncias ao 
eixo considerado. Será adotada a letra “J” para representar o momento de inércia das 
superfícies planas. 
 
Unidades: m4, dm4, cm4, mm4, etc. 
 
 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
3.5.2 Momento de inércia de um retângulo em relação a um eixo baricêntrico e paralelo a 
um dos lados:3.5.3 Momento de inércia de um triângulo em relação a um eixo baricêntrico e paralelo à 
base: 
 
 
 
 
 
3.5.4 Momento de inércia de um círculo em relação a um eixo passando pelo diâmetro: 
J =
b. h³
36 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
OBS.: O momento de inércia de um círculo em relação ao seu centro (momento de inércia 
polar) vale: 
 
 
 
 
 
 
 
3.5.5 Momento de inércia de uma elipse em relação a um de seus eixos: 
 
 
 
 
3.6 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS: 
J =
π . R
4 
J =
π . R
2 
J =
π . a . b
4 
a = semi-eixo maior 
b = semi-eixo menor 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
As áreas compostas aparecem com frequência na prática e a determinação dos momentos 
de inércia e feita dividindo-se as mesmas em figuras cujos momentos de inércia se saiba 
determinar, somando-se os mesmos no final. Às vezes torna-se mais fácil a divisão em 
áreas fictícias cujos momentos de inércia deverão ser subtraídos do total. 
3.6.1 Teorema de Steiner (aplicado ao momento de inércia de superfícies): 
O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo, é igual ao momento 
de inércia dessa superfície, em relação a um eixo paralelo, passando pelo centro de 
gravidade, mais o produto da área, pelo quadrado da distância entre os dois eixos”. 
 
 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
3.6.2 Exercícios sobre momento de inércia de superfícies planas: 
Determinar o momento de inércia das superfícies abaixo, em relação aos eixos indicados: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
d) 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
g) 
 
 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
4 ESTUDO DOS ESFORÇOS SIMPLES 
4.1 MÉTODO DAS SEÇÕES IDEALIZADAS: 
É utilizado para se determinar a intensidade das forças internas, numa determinada seção a 
partir do conhecimento das forças internas solicitantes. Neste método, a seção transversal em 
estudo divide a o corpo em parte da esquerda (E) e parte da direita (D). Uma dessas duas 
partes será retirada e para se manter o equilíbrio inicial, será aplicado sobre a seção 
transversal, um sistema de forças equivalente ao da parte que foi retirada. 
 
 
 
 
Pelos desenhos acima se verifica que a força N da direita é equilibrada por dois sistemas de 
forças: 
 
a) Pela força N da esquerda. 
b) Pela soma das forças internas exercidas pela esquerda sobre a direita 
 
Então a força N da esquerda e a somatória das forças internas da esquerda sobre a direita, são 
sistemas equivalentes e daí o Princípio da Equivalênciaque diz que: “Os esforços interiores 
resistentes exercidos através da superfície de corte ou seção, pela parte da esquerda sobre a 
parte da direita do corpo, constituem um sistema equivalente ao conjunto das forças exteriores 
ativas e reativas aplicadas na parte da esquerda e vice-versa.”. 
4.2 CLASSIFICAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES DE UMASEÇÃO NORMAL: 
A resultante R de todas as forças internas quando aplicada no centro de gravidade da seção, 
produzirá também um momento M. A resultante R será decomposta em duas componentes: 
força normal (N) e força cortante (Q). O momento M será decomposto em momento fletor (Mf) e 
momento torsor (Mt). 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
4.2.1 FORÇA NORMAL OU AXIAL ( N ): 
Provoca o efeito de tração ou compressão no corpo. A força atua perpendicularmente em 
relação à seção transversal. 
 
 
 
4.2.2 FORÇA CORTANTE ( Q ) : 
Provoca o efeito de cisalhamento (corte) no corpo. A força atua paralelamente à seção 
transversal. 
 
 
 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
4.2.3 MOMENTO FLETOR (Mf): 
Provoca o efeito de flexão no corpo. 
 
 
 
4.2.4 MOMENTO TORSOR (Mt): 
Provoca o efeito de torção no corpo. 
 
 
 
 
4.2.5 OBSERVAÇÕES: 
a) Serão chamados de esforços simples quando ele for o único atuante no corpo 
b) A tração, a compressão e a flexão, tendem a provocar o afastamento ou a aproximação 
das partes constituintes dos corpos. 
c) O corte e a torção tendem a provocar o deslizamento recíproco das partes constituintes dos 
corpos. 
 
 
 
 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
4.3 TENSÃO MÉDIA: 
É utilizada para se avaliar a intensidade das forças internas. Serão consideradas três tipos de 
tensões: 
rô tensão média interna  
R = resultante das forças localizadas de um lado de S. 
S = área da seção transversal em estudo. 
____________________________________________________________________________ 
(sigma)  tensão normal média  
N = força normal média. 
S = área da seção transversal emestudo. 
____________________________________________________________________________ 
(tal)  tensão tangencial média  
Q = força tangencial média. 
S = área da seção transversal em estudo. 
____________________________________________________________________________ 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
4.4 EXERCÍCIOS 
4.4.1 Determinar a relação matemática existente entre as tensões  
 
4.4.2 Um determinado material apresenta uma tensão tangencial média resistente () igual a 3 
tf /cm2 e dele deverá ser confeccionado um corpo com seção circular, de diâmetro médio (D) 
igual a 2 cm. A intensidade máxima das forças internas (R) que aparecerá será de 15 tf. Qual 
será a tensão normal média resistente () que aparecerá no material? Transformar o resultado 
para MPa. 
 
4.4.3 Determinar a intensidade máxima das forças internas em um corpo de seção 
quadrangular de lado igual a 2cm, sabendo-se que o material do qual o mesmo é feito 
apresenta uma tensão tangencial média resistente igual 3 tf/cm2 e uma tensão normal média 
igual a 4tf/cm2. 
 
4.4.4 Determinar a área que deve ter um corpo para resistir a uma força normal 
detraçãode10tf, sabendo-se que o material do qual o mesmo é feito apresenta uma tensão 
média interna igual a 2500 kgf / cm2 e uma tensão tangencial média igual a 150 MPa. 
 
4.4.5 Calcular o diâmetro que deve ter um corpo para suportar uma força cortante de 4 tf, 
sabendo-se que a intensidade máxima das forças internas será de 5 tf e que a tensão normal 
média será de 50 MPa. 
 
4.4.6 Determinar a força interna máxima que aparecerá num corpo de diâmetro igual a 20 mm, 
quando o mesmo estiver submetido a uma força normal máxima de 24.930 kgf. Considere a 
tensão tangencial média resistente do material igual a 800 MPa. 
 
4.4.7 Sabe-se que a intensidade máxima das forças internas de uma peça deseção retangular 
vale 15 tf, a tensão normal média interna vale 37,5 MPa e a tensão tangencial média vale 50 
MPa. Determinar o valor da altura do retângulo sabendo-se que a largura deverá ser de 6 cm. 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
5 TEORIA DA TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES: 
5.1 GENERALIDADES: 
A seção de uma peça está sujeita à tração ou compressão simples, quando a resultante das 
forças atuantes sobre esta seção, está dirigida segundo o eixo da peça. 
A tração provoca um alongamento do eixo e uma contração da seção da peça. 
 
A compressão provoca um encurtamento do eixo e uma dilatação da seção da peça. 
 
5.2 DEFORMAÇÃO LONGITUDINAL ABSOLUTA (L): 
É o acréscimo ou a diminuição do comprimento da peça, expressa em unidades de 
comprimento. 
 
TRAÇÃO: 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
∆ = − 
COMPRESSÃO: 
 
 
∆ = − 
5.3 DEFORMAÇÃO LONGITUDINAL RELATIVA, ESPECÍFICA, UNITÁRIA OU 
PERCENTUAL (e): 
É a razão entre a deformação absoluta e o comprimento inicial sendo, portanto, um número 
adimensional. 
 
ε =
L
L 
 
5.4 TENSÃO NORMAL MÉDIA (  ): 
É a razão entre a força (carga) normal (N) e a área de aplicação da mesma(S). 
 
σ =
N
S 
 
5.5 LEI DE HOOKE OU LEI DA PROPORCIONALIDADE: 
“Até certo limite, a tensão mantém-se proporcional à deformação”. 
 
Equação matemática: 
= . 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 = módulo de elasticidade longitudinal de Young, determinável em laboratório. 
5.6 DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL RELATIVA ( ): 
ε = − . ε 
 
ε =Deformação Transversal Específica 
 = Coeficiente de Poisson 
ε =Deformação longitudinal específica 
5.7 PROBLEMA DO DIMENSIONAMENTO: 
Consiste na determinação do material, forma e dimensões das seções da peça, a partir do 
conhecimento das cargas e consequentemente das deformações que poderão aparecer. 
5.8 PROBLEMA DE VERIFICAÇÃO DE TENSÕES: 
Consiste em se determinar os máximos esforços que poderão atuar na peça, a partir do 
conhecimento do material, da forma e das dimensões das seções da peça. 
5.9 COEFICIENTE DE SEGURANÇA (n): 
Utilizado na determinação da grandeza da tensão admissível para um material. Seu valor 
depende da precisão com que são conhecidas as forças exteriores, da precisão com que são 
calculadas as tensões nos elementos da estrutura e da homogeneidade dos materiais 
utilizados. O valor do coeficiente de segurança deve ser maior ou igual a 1(um). 
 
=
ã 
ã í 
ou 
ã í =
ã 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
5.10 EXERCÍCIOS: 
5.10.1 Um corpo sem solicitação de carga apresenta um comprimento igual a 20 cm. Aplicando-
se uma carga de tração de 1.000 kgf passa a ter um comprimento igual a 24 cm. Determinar a 
deformação longitudinal absoluta e a percentual. 
 
5.10.2 Uma peça com diâmetro igual a 2 cm está submetida a uma força de compressão de 
12.000 kgf. Determinar a tensão normal média (em MPa) atuante na mesma. 
 
5.10.3 Uma barra constituída por uma liga de aço 1040, com diâmetro 2 cm e comprimento 2 m 
é submetida à tração por uma força de 10 tf e sofre um alongamento absoluto de 3 mm. 
Determinar o módulo de elasticidade do material da barra (em GPa), considerando válida a Lei 
de Hooke. 
 
5.10.4 Uma peça constituída por uma liga de alumínio 1100, tem 3 m de comprimento e seção 
transversal retangular de 3 cm por 1 cm. Determinar o alongamento absoluto produzido por 
uma força axial de 13.800 kgf, sabendo-se que E0 = 69GPa. 
 
5.10.5 Um tirante de aço inoxidável 405, de 6 m de comprimento e 12 mm de diâmetro, deve 
resistir a uma carga de 10.000 kgf. Qual será a sua distensão (em mm), considerando E0 = 
20.000kgf/mm2? 
 
5.10.6 Qual o coeficiente de segurança para um cabo, com 20 mm de diâmetro, que está 
suportando um peso de 5.024 kgf, sabendo-se que a tensão de ruptura para o material do cabo 
vale 640 MPa. 
 
5.10.7 Uma barra de aço com E0 = 2.000.000 kgf / cm2 é tracionada axialmente por uma força 
de 10 tf. Sabendo-se que o material trabalha dentro do limite de elasticidade (limite de validade 
da Lei de Hooke) e que S0 = 2 cm2 e L0 = 6 cm, determinar: 
a) A deformação absoluta longitudinal. 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
b) A deformação específica longitudinal. 
c) A deformação específica transversal considerando o coeficiente de Poisson do aço( ) =0,30. 
 
5.10.8 Uma peça de concreto simples deverá suportar umaforça axial de compressão de 54 tf. 
Considerando a validade da Lei de Hooke,determinar: 
a) A área mínima necessária para a seção transversal da peça, considerando a tensão 
admissível ou de segurança para o concreto,σ= 18MPa. 
b) O encurtamento percentual da peça, considerando o módulo de elasticidade do concreto 
igual a 25GPa. 
c) A deformação relativa transversal da peça, considerando o coeficiente de Poisson do 
concreto (ϑ)=0,20. 
 
5.10.9 Uma peça constituída por uma liga de aço 1020, cujo módulo de elasticidade vale 207 
GPa, de seção quadrada, e comprimento 5 m, sofre um alongamento de 2 mm, para uma carga 
de 13.248 kgf. Calcular o lado do quadrado e a tensão de tração resultante sabendo-se que é 
válida a Lei de Hooke. 
 
 
5.10.10 Determine o diâmetro d das barras de aço de uma prensa, que deverá suportar 
uma força máxima de compressão de 50.000 kgf sabendo-se que a tensão máxima suportada 
pelo material da barra é de 1.125 kgf / cm2. Considere um coeficiente de segurança igual a 1,5. 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
5.10.11 A barra de aço da figura abaixo, tem seção transversal de área S = 10 cm2 e está 
submetida pelas forças axiais indicadas. Determinar o alongamento absoluto da barra, 
sabendo-se que E0 = 207 GPa. 
 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
6 ESTUDO SOBRE O ENSAIO DE TRAÇÃO ESTÁTICA DO AÇO DÚCTIL: 
6.1 MATERIAL DÚCTIL: 
É aquele que sofre grandes deformações antes de se romper. 
6.2 OBJETIVO DO ESTUDO: 
Determinar as características de resistência às solicitações estáticas de tração. 
6.3 CORPO-DE-PROVA: 
Porção do material a ensaiar com formas e dimensões apropriadas ao ensaio, de acordo com 
as normas técnicas. Em geral são de seções circulares ou retangulares. A NBR ISO 6892 
prescreve os conceitos e procedimentos gerais para a elaboração dos corpos-de-prova. 
 
 
ELEMENTOS DO CORPO-DE-PROVA: 
 
1 - CABEÇAS: servem para adaptar as garras da máquina. Devem ter diâmetro maior do que a 
parte útil para se garantir que a ruptura ocorrerá na parte útil. 
 
2 - PARTE ÚTIL ( L0 ): parte usada para se efetuar todas as medições necessárias. 
 
3 - CONCORDÂNCIAS: unem as partes 1e 2. 
6.4 MÁQUINA DE ENSAIO 
Os ensaios de tração são geralmente realizados na máquina universal que é assim chamada 
porque serve para a realização de vários ensaios. Deve apresentar os seguintes órgãos 
principais: 
a) De produção e aplicação dos esforços, através de dispositivo hidráulico por pressão de óleo 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
injetado em pistões. 
b) De medição dos esforços aplicados através de um dinamômetro. 
c) De um dispositivo diagramógrafo para traçado automático do diagrama do ensaio. 
 
6.5 DIAGRAMAS DO ENSAIO: 
Basicamente são dois os tipos de diagramas para o ensaio detração: 
 
a) DIAGRAMA FORÇA x DEFORMAÇÃO ABSOLUTA (N x L): 
 
b) DIAGRAMA TENSÃO x DEFORMAÇÃO RELATIVA (x ) 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
6.5.1 FASES DOENSAIO: 
a) FASE ELÁSTICA (trecho OB): se subdivide em: 
Fase elástica linear ou proporcional: trecho reto OA 
Fase elástica não linear ou não proporcional: trecho AB. 
 
b) FASE PLÁSTICA (trecho BD): se subdivide em: 
Fase de escoamento: trecho BC. 
Fase de endurecimento: trecho CD. 
 
c) FASE DE RUPTURA (trecho DE): se subdivide em: 
Fase de estricção: trecho DE. 
Fase de ruptura final ou propriamente dita: ponto E. 
6.5.2 FASE ELÁSTICA ( trecho OB): 
 Nesta fase há predominância das deformações elásticas sobre as deformações 
plásticas. 
 Nesta fase as deformações são reversíveis, isto é, desaparecem à medida que são 
retiradas as forças. 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
a) Fase elástica proporcional ( trecho OA): 
É válida a Lei de Hooke, o que significa que as deformações relativas longitudinais () crescem 
em proporção direta com as tensões normais aplicadas (), ou seja: = E0. 
 
b) Fase elástica não proporcional ( trecho AB): 
Inicia-se o Efeito de Poisson, que é a contração da seção transversal do corpo. 
Esta contração pode ser calculada pela expressão:transv = -  . long 
Onde = coeficiente de Poisson, que pode variar de acordo com o tipo de material. 
6.5.3 FASE PLÁSTICA ( trecho BD): 
Há predominância das deformações plásticas sobre as elásticas. 
 
a) Fase de escoamento ( trecho BC): 
Nesta fase o aço dúctil escoa ou flui como um líquido de elevadíssima viscosidade. 
Devem ser anotados os limites inferior e superior de escoamento, que será tanto mais elevado 
quanto maior for a velocidade do ensaio. Estes valores são utilizados na classificação do aço. 
 
b) Fase de endurecimento ( trecho CD): 
Também chamada de fase de encruamento do aço. 
6.5.4 FASE DE RUPTURA ( trecho DE): 
a) Fase de estricção ( trecho DE ): 
Nesta fase ocorre o fuso de estricção que é o estrangulamento notável e rápido da região 
mais debilitada do corpo. 
As deformações não mais se distribuem pelo volume do corpo. 
 
 
 
b) Ruptura final ou propriamente dita ( ponto E): 
Ocorre um estrondo e a separação do corpo em duas partes. 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
6.6 CONSEQUÊNCIAS DA OPERAÇÃO DE CARGA-DESCARGA E RECARGA: 
 
a) Aumento da elasticidade do material: a ordenada do ponto M é superior à ordenada do 
ponto E. 
b) Diminuição da ductibilidade (capacidade dealongamento plástico) do material, antes da 
ruptura. 
c) Perda da capacidade de escoar, isto é, no diagrama de recarga não mais observamos a 
“linha quebrada”. 
 
6.6.1 DETERMINAÇÃODAS TENSÕES VERDADEIRAS (INSTANTÂNEAS) 
O diagrama de tensões verdadeiras é obtido considerando-se as tensões instantâneas, ou 
seja, aquelas obtidas pela divisão da carga pela área instantânea S, que a partir de certo ponto 
torna-se menor do que a área inicial S0. Devido a dificuldades práticas para a determinação 
destas áreas instantâneas, consideram- se as tensões de rotina, obtidas pela divisão da carga 
pela área inicial S0, obtendo-se, assim, o diagrama de tensões de rotina. 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
6.7 EXERCÍCIOS: 
a) Dado o diagrama abaixo, determinar: 
 
a.1) O limite inferior de escoamento. 
a.2) O limite de resistência estática do material. 
a.3) A tensão na qual ocorreu efetivamente a ruptura. 
a.4) No primeiro instante em que a carga atingiu 13 tf, determinar: 
a.4.1) A deformação absoluta total. 
a.4.2) A deformação absoluta elástica. 
a.4.3) A deformação absoluta plástica. 
a.4.4) A deformação relativa total. 
a.4.5) A deformação relativa elástica. 
a.4.6) A deformação relativa plástica. 
a.4.7) O encurtamento total relativo da seção transversal, considerando o coeficiente de 
Poisson igual a 0,3. 
a.5) Módulo de elasticidade do material. 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
b) Dado o diagrama abaixo, determinar: 
 
 
b.1) O limite de proporcionalidade do material. 
b.2) O limite de elasticidade teórica. 
b.3) O limite superior de escoamento. 
b.4) O limite inferior de escoamento. 
b.5) O limite de resistência estática do material. 
b.6) A tensão na qual ocorreu efetivamente a ruptura. 
b.7) O módulo de elasticidade longitudinal de Young em GPa, considerando a deformação 
específica longitudinal igual a 0,25%, no final da fase de elasticidade linear. 
b.8) O encurtamento total relativo da seção transversal no instante do abandono da fase de 
escoamento, considerando o coeficiente de Poisson igual a0,3. 
b.9) Determinar no primeiro instante em que a carga atingiu 125.600 N, as deformações: 
b.9.1) Percentual total. 
b.9.2) Percentual elástica. 
b.9.3) Percentual plástica. 
b.9.4) Absoluta total. 
b.9.5) Absoluta elástica. 
b.9.6) Absoluta plástica. 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
7 PRISMA DE SEÇÃO CONSTANTE SUJEITO À INFLUÊNCIA DO PESO PRÓPRIO: 
Dado o prisma seguinte, de seções constantes, deseja-se conhecer o valor da tensão existente 
na seção S, distante x da extremidade livre, quando atuarem, simultaneamente, a carga N e o 
peso próprio P da parte do prisma situado abaixo de S. 
 
 
N = carga aplicada na extremidade livre. 
P = peso próprio da parte do prisma, situada abaixo de S. 
x = distância da extremidade livre até a seção S. 
L = comprimento total do prisma. 
 
A tensão que aparecerá na seção S será a soma de duas tensões: 
a) Tensão devido à força N: σN= N /S 
b) Tensão devido ao peso próprio do prisma situado abaixo de S: σP= P / S 
 
Então: 
σ = σ + σ 
 
σ = 
N
+ 
P
 
 
Sendo o peso específico do material do qual é feito o prisma, temos: 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
LP LN L 
γ =
peso
volume =
P
V , mas V = S. x ∴ γ =
P
S . X ∴ P = γ . S . x 
 
Então: 
 
σ = 
N
S
+ 
γ . S . x 
S
 
 
= + . 
 
 
Para x = 0 σ = 
 
Para x = L σ = + γ . L 
 
7.1 CÁLCULO DA DEFORMAÇÃO ABSOLUTAPRINCIPAL: 
Dado o prisma abaixo, de seção constante, deseja-se calcular a deformação absoluta (L), de 
toda a peça, quando atuarem simultaneamente a força normal (N) e todo o peso próprio do 
prisma. Será utilizado, para este cálculo, o Princípio da Superposição dos Efeitos, 
considerando que o material trabalha no regime de validade da Lei de Hooke. 
 
 
 
∆L =
N. L
E ∙ S ∆L =
P. (L 2)⁄
E . S 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
∆L =
N. L
E . S +
P. L
2. E . S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
7.2 EXERCICIOS: 
a) Uma barra de seção transversal circular e de comprimento 3 m, deverá suportar em sua 
extremidade inferior livre, uma força axial de 8000 kgf, tal como mostra a figura abaixo. 
Calcular: 
a.1) Seu diâmetro levando-se em conta também o seu peso próprio. 
a.2) A tensão na seção distante 1 m do engastamento. 
a.3) A tensão máxima atual. 
a.4) A tensão mínima atual. 
 
 
 
Dados: 
t = 400 MPa 
γ = 7,85 tf / m3 
L = 3 m 
 
 
 
 
 
b) Determinar a área da seção transversal de uma barra de aço colocada na posição vertical e 
presa pela extremidade superior e que deve suportar em sua extremidade inferior a carga de 
102.000 kgf. O comprimento da barra é de 220 m, a tensão admissível é de 400 MPa e o peso 
específico do aço é de 7,85 kgf/dm3. Determinar também o alongamento total da barra 
considerando E0 = 210GPa. 
 
c) Calcular o comprimento máximo que poderá ter uma peça constituída pela liga 7075 de 
alumínio, se for colocada na posição vertical, para suportar com segurança o seu peso próprio. 
Calcular também o comprimento necessário para haver ruptura e o alongamento absoluto 
máximo. 
Considere: t = 80 MPa 
  R = 228 MPa 
 γ = 2,8 g / cm3 
E0 = 71 GPa. 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
8 TEORIA DO CISALHAMENTO TRANSVERSAL SIMPLES: 
8.1 GENERALIDADES: 
Para que uma seção transversal S, de uma peça, esteja submetida ao esforço de cisalhamento 
simples, devem existir simultaneamente as seguintes condições: 
A resultante R das forças exteriores, situadas de um lado de S, deve ser tangente e passar 
pelo centro de gravidade de S. 
O esforço normal N, atuante em S deve ser nulo. 
O momento resultante M, atuante em S deve ser nulo implicando em que e sejam nulos. 
 
 
Em geral o cisalhamento é acompanhado por um momento fletor, mas pode acontecer que em 
algumas seções, isoladas da peça, o momento fletor torna-se nulo existindo então, 
cisalhamento simples. 
8.2 CONSIDERAÇÕES: 
Considera-se, para fins de estudo, as seções S e S1 distantes x uma da outra. Imagina-se que 
a seção S se mantenha fixa e S1 sofra um deslizamento em relação a S e a peça seja reta e as 
forças complanares. 
 
 
O momento provocado em S1 pela força cortante atuante na seção S será: M = Q.x. 
Para que o prisma elementar de comprimento x esteja solicitado por cisalhamento simples 
será necessário que x seja bem pequeno para que Q e M sejam desprezáveis. 
Se x não for desprezável, haverá concomitância de cisalhamento com flexão pura na seção 
S1. 
 
 
Q 
S
1 Q + Q 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
8.3 DEFORMAÇÃO POR DESLIZAMENTOPURO: 
 
 
A força cortante provoca um deslizamento na seção S1, passando-a da posição CD para a 
nova posição C’D’. Com isto, todas as fibras participam do mesmo deslizamento absoluto V 
e do mesmo deslizamento unitário ou específico . 
 
Em geral, o ângulo  é pequeno e medido em radianos; então pode-se escrever que a tangente 
de  e igual ao próprio ângulo . 
 
tg α = α = △
△
 Também chamado de desvio angular ou distorção. 
 
Sendo α pequeno, a distensão longitudinal pode ser desprezável (comprimento AC= 
comprimento AC’). 
8.4 LEI DE HOOKEGENERALIZADA: 
As tensões tangenciais são proporcionais às distorções angulares. Ou seja: 
 
Onde: 
 = tensão tangencial. 
G = módulo de rigidez ou módulo de elasticidade tangencial. 
α = deslizamento unitário, específico, desvio angular ou distorção. 
 = G . α
α 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
8.5 TENSÃO MÉDIATANGENCIAL: 
Em consequência do Postulado de Bernoulli e da Lei de Hooke, conclui-se que a tensão  é 
distribuída uniformemente ao longo da seção submetida ao cisalhamento. 
 
Então a tensão média vale: 
 
é = 
 
8.6 ENSAIO DE CISALHAMENTO: 
Os ensaios de cisalhamento são feitos, normalmente, em produtos acabados tais como rebites, 
pinos, parafusos, barras, chapas e cordões de solda porque a forma do produto final afeta a 
resistência ao cisalhamento. È também por este motivo que não existem normaspara a 
especificação dos corpos de prova, sendo que cada empresa desenvolve seus próprios 
modelos em função das suas necessidades. 
A máquina utilizada para a realização dos ensaios é, normalmente, a máquina universal de 
ensaios, adaptada com dispositivos apropriados. Ao se ensaiar o material, deve-se observar 
sempre quais e quantas seções estarão sendo submetidas ao esforço de cisalhamento como, 
por exemplo: 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 Dispositivo tipo guilhotina ou tesoura mecânica: aplica o esforço de cisalhamento em 
uma seção. 
 
 
 Sistema de três anéis: neste dispositivo o esforço de cisalhamento é aplicado em duas 
seções simultaneamente; portanto o cálculo da tensão de cisalhamento é feito dividindo-
se a carga aplicada pelo dobro da área cisalhada. 
 
 
Observação: na prática, a tensão de cisalhamento equivale a 75% da tensão de tração, ou 
seja: = 0,75 .  
=
.
 
= 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
8.7 EXERCÍCIOS: 
8.7.1 Calcular o diâmetro de um rebite necessário para unir duas chapas conforme indicado 
na figura abaixo, sendo a tensão admissível à tração, do material do rebite, igual a 124,84 MPa. 
Considere F = 29.400 N e 1 MPa = 1 N/mm2. 
 
 
8.7.2 Considerando a figura anterior, calcular a quantidade de rebites necessária para unir as 
duas chapas, sendo o diâmetro de cada rebite igual a 4mm, a tensão admissível à tração do 
material dos rebites igual a 650 MPa e a força F = 20.000 N. 
 
8.7.3 Qual a tensão de cisalhamento que aparecerá em um rebite com 6mm de diâmetro, 
utilizado para unir duas chapas de aço sujeitas a um esforço cortante de 10.000 N? 
 
 
8.7.4 Duas chapas de aço deverão ser unidas por meio de 3 rebites conforme a figura abaixo. 
Sabendo-se que essas chapas deverão resistir a uma força cortante de 30.000 N, qual deverá 
ser o diâmetro de cada rebite, considerando a tensão de tração do material do rebite igual a 
650MPa. 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
8.7.5 Determinar a força que devemos aplicar em uma tesoura para cisalhar uma barra de 
aço, de diâmetro igual a 5mm sendo a tensão de ruptura ao cisalhamento igual a 500 MPa. 
 
8.7.6 Calcular o valor da tensão de ruptura por cisalhamento de um material, sabendo-se que 
para romper um corpo feito com esse material, com diâmetro de 5 mm foi necessário aplicar 
2.500 kgf no sistema de três anéis. 
 
8.7.7 Determinar a taxa de trabalho ao cisalhamento para um material, sabendo- se que dele 
foi confeccionado um corpo de prova com raio igual a 2,5 mm, tendo o mesmo resistido a uma 
força de cisalhamento máxima de 2.400 kgf com o sistema de três anéis. Considere um 
coeficiente de segurança igual a1,5. 
 
8.7.8 Calcular o coeficiente de segurança ao cisalhamento, para um material, sabendo-se que 
dele foi confeccionado um corpo de prova de seção quadrangular de lado igual a 2,5 cm, tendo 
o mesmo resistido a uma força máxima de cisalhamento de 52.500 kgf, aplicada com o sistema 
de três anéis. Considere uma taxa de trabalho igual a 300MPa. 
 
8.7.9 Considere-se o pino de 12,5 mm de diâmetro, da junta da figura abaixo. A força P é igual 
a 37,50 kN. Admitindo a distribuição uniforme das tensões de cisalhamento, qual o valor 
dessas tensões, em qualquer um dos planos a-a ou b- b? 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
8.7.10 De acordo com a figura abaixo, a força P tende a fazer deslizar a peça superior ao longo 
da inferior, segundo o plano de contato. Sendo P = 40kN, qual a tensão de cisalhamento nesse 
plano? 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
9 CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA 
9.1 VÍNCULO 
É todo elemento que oferece qualquer restrição ao movimento de um corpo. Os vínculos 
determinam as forças reativas ou reações pois só há reação quando há movimento impedido. 
No desenho abaixo, a parede vertical não oferece reação sobre o corpo, sujeito á ação da força 
F, pois a mesma não está impedindo o movimento do corpo. 
 
 
 
Já, no desenho a seguir, existe reação da parede vertical, de valor modular igual, mesma 
direção e sentido contrário à força F. 
 
 
 
No desenho anterior, o vínculo é o mais elementar possível, pois se dá pelo simples contato 
direto das superfícies. No entanto os vínculos podem ser constituídos por aparelhagens 
concebidas com a intenção de impedir movimentos em algumas direções. O vínculo pode ser 
um apoio ou uma transmissão ou ligação. 
9.2 APOIO 
É todo vínculo exterior à estrutura considerada. 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
9.3 TRANSMISSÃO OU LIGAÇÃO 
É todo vínculo contido na estrutura considerada. 
 
 
 
 
 
OBS.: Como podemos perceber, as designações “apoio” e “transmissão ou ligação”, dependem 
exclusivamente do ponto de vista do observador, não há distinção física mas meramente 
técnica. 
9.4 TIPOS DE VÍNCULOS 
Na prática os sistemas frequentemente se deslocam num único plano em que atuam todas as 
forças que solicitam a estrutura. Portanto existem apenas 3 graus de liberdade e, portanto, três 
tipos de vínculos. 
 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
9.4.1 Vínculo do 1º gênero, apoio do 1º gênero ou apoio simples 
Restringe um movimento, permitindo dois graus de liberdade. 
 
 
 
9.4.2 Vínculo do 2º gênero, apoio do 2º gênero, rótula ou articulação 
Restringe dois movimentos, permitindo um grau de liberdade. 
 
 
 
 
(a): apoio ideal. 
(b): Situação prática – preocupação em enfraquecer a resistência à 
tração, reduzindo a seção de concreto. 
(c) e (d): outro aspecto do apoio do 2º gênero, constituído por duas 
hastes biarticuladas e concorrentes. 
(e): representação esquemática. 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
9.4.3 Vínculo do 3º gênero, apoio do 3º gênero, engastamento ou engaste 
Restringe os 3 movimentos, não permitindo nenhum grau de liberdade. 
 
 
(a): imagem prática do vínculo. (b): esquematização do desenho (a). (c) : representação esquemática. 
 
9.5 ESTRUTURA ISOSTÁTICA 
Uma estrutura é dita isostática quando o número de incógnitas (reações) é igual ao número de 
equações universais da Estática. No caso de todas as forças estarem localizadas num único 
plano serão em número de 3. O equilíbrio da estrutura é estável, não havendo nenhum grau de 
liberdade na mesma. As equações para o caso de todas as forças estarem localizadas num 
único plano, são: 
 
= = = 
 
9.6 ESTRUTURA HIPOSTÁTICA 
Uma estrutura é dita hipostática quando o número de incógnitas (reações) é menor do que o 
número de equações universais da Estática. O equilíbrio é instável, pois os vínculos não são 
suficientes para assegurarem o equilíbrio contra carregamento exterior, havendo ainda alguns 
graus de liberdade. Exemplo: 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
9.7 ESTRUTURA HIPERESTÁTICA 
Uma estrutura é dita hiperestática quando o número de incógnitas (reações) é maior do que o 
número de equações universais da Estática. O equilíbrio é estável, mas existem excesso 
vínculos, tornando o sistema de equações indeterminado. As reações de apoio terão que ser 
determinadas pelas equações da Estática, juntamente com as equações que ligam as 
deformações elásticas. Exemplo: 
 
 
9.8 VIGAS 
São estruturas formadas por barras de eixo plano, submetida a esforços contidos no plano das 
mesmas e serão objeto de nosso estudo, neste capítulo, por serem largamente utilizadas na 
prática. 
9.8.1 VIGA EM BALANÇO OU ENGASTADA 
Quando a mesma está apoiada em uma só extremidade, sendo que nem o eixo, nem a seção 
transversal possam girar nesse ponto. Exemplo: 
 
 
9.8.2 VIGA SIMPLES 
É aquela articulada nas duas extremidades, sendo que os apoios articulados devem ser um 
fixo e outro móvel. Exemplos: 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
9.8.3 VIGA SIMPLES COM BALANÇOS 
É aquela simplesmente apoiada, e que se prolonga além de um ou de ambos os apoios. 
Exemplos: 
 
 
9.9 TIPOS DE CARREGAMENTOS 
Os carregamentos permanentes estáticos podem ser: 
9.9.1 Carregamento concentrado 
Quando aplicado em áreas bem pequenas, como por exemplo, a carga de um pilarsobre uma 
viga ou uma laje. 
 
 
9.9.2 Carregamento distribuído 
Pode ser uniforme ou variar segundo uma lei qualquer. É, em geral, expresso por unidade de 
força por unidade de comprimento. Exemplo: carga de uma parede sobre uma viga. 
 
 
 
 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
9.9.3 Carregamento binário 
Quando atuar determinado momento na estrutura. 
 
 
 
9.10 MOMENTO FLETOR 
Numa seção S, é a soma algébrica dos momentos produzido por todas as forças externas, 
ativas e reativas, que estão localizadas de um lado de S (lado esquerdo ou lado direito). 
Exemplo: 
 
 
 
Se escolhermos calcular o momento fletor (Mf) na seção S com as forças que estão à 
esquerda, teremos: 
 
 
 
As forças que entrarão no cálculo serão: P1 (ativa) e V1 (reativa). 
 
Convenção de sinais: considerando-se a viga colocada horizontalmente, o momento fletor é 
positivo, quando tende a fletir a viga com a concavidade voltada para cima e negativo em caso 
contrário. 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
Processo prático para se determinar o sinal algébrico das parcelas, no cálculo do momento 
fletor: as forças dirigidas de baixo para cima, produzem momentos positivos; as forças dirigidas 
de cima para baixo, produzem momentos negativos. 
Na figura (b) deste item, temos: MfS = V1.x - P1.y 
9.11 FORÇA CORTANTE 
Na figura do item 6.10, força cortante, na seção S, é a resultante (Q), das forças localizadas à 
esquerda ou à direita de S, projetada sobre a seção considerada. 
 
Convenção de sinais: as forças localizadas à esquerda da seção produzem força cortante 
positiva se estiverem orientadas para cima., e as forças localizada à direita da seção produzem 
força cortante positiva se estiverem orientas para baixo. 
 
Na figura abaixo, temos: 
 
 
 
9.12 EXPRESSÕES DO MOMENTO FLETOR E DA FORÇA CORTANTE 
São as expressões em função de x para se determinar o momento fletor e a força cortante em 
todas as seções da viga. Exemplos: 
MfS = 6.x – 0,6.x 2 
QS = 6 – 1,2.x 
x = distância da seção ao apoio da esquerda – por exemplo 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
9.13 DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES (DMF) E DE ESFORÇOS CORTANTES 
(DEC) 
São as representações gráficas da função f(x) dos momentos fletores e das forças cortantes. 
As abscissas indicam a posição da seção em relação ao apoio da esquerda (por exemplo) e as 
ordenadas os valores dos momentos fletores ou das forças cortantes. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
9.14 EXERCÍCIOS 
9.14.1 Traçar os diagramas de esforços simples para as barras abaixo: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
g) 
 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
10 TEORIA DA FLEXÃO RETA 
10.1 TIPOS DE FLEXÃO 
10.1.1 Flexão pura 
uma seção está solicitada por flexão pura quando só atuar momento fletor na mesma. Só 
aparecem tensões normais (σ) nessa seção. 
10.1.2 Flexão simples 
Quando atuar na seção, simultaneamente, momento fletor e força cortante. Na seção 
aparecem tensões normais (σ), concomitantemente com tensões tangenciais (τ). 
 
 
 
No trecho AB temos flexão simples, pois estão evidentes as presenças do momento fletor e da 
força cortante. 
No trecho BC temos flexão pura, pois só existe momento fletor. 
No trecho CD temos flexão simples, pois estão evidentes as presenças do momento fletor e da 
força cortante. 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
10.2 COMPORTAMENTO DA VIGA 
Imaginamos que a viga é formada por um número infinito de fibras que se encurvarão devido à 
ação do momento fletor. Em caso de momento fletor positivo, as fibras da parte inferior serão 
distendidas (serão tracionadas) e as da parte superior serão encurtadas (serão comprimidas). 
Essas variações de comprimento dão origem a tensões normais (σ) nas fibras. 
10.3 SUPERFÍCIE NEUTRA OU CAMADA NEUTRA 
É formada pelo conjunto de fibras que formam uma superfície plana e que não sofrem tração 
nem compressão, quando atuar momento fletor na viga. 
10.4 EIXO NEUTRO OU LINHA NEUTRA 
É a interseção da superfície neutra com a seção transversal considerada. Todas as fibras que 
estão de um mesmo lado, em relação ao eixo neutro estão submetidas ao mesmo esforço 
(tração ou compressão). 
 
10.5 TENSÕES NORMAIS NAS VIGAS SUBMETIDAS À FLEXÃO 
Em uma seção transversal, a tensão normal em uma fibra que dista y da linha neutra, é 
calculada pela fórmula: 
 
Onde: 
σ= tensão normal na fibra em estudo. 
M = momento fletor que atua na seção transversal. 
J = momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra (LN). 
y = distância da linha neutra à fibra em estudo. 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
10.6 POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA 
Quando a viga trabalha em regime totalmente elástico, a linha neutra passa pelo centro de 
gravidade da seção transversal. Entretanto à medida que o regime plástico avança das fibras 
exteriores para dentro, muda de posição. Estudaremos os casos em que a linha neutra passa 
pelo centro de gravidade da seção. 
10.7 MÓDULO DE RESISTÊNCIA (W) 
Sabemos que σ = . y, porém se a fibra em estudo for a que estiver mais afastada da linha 
neutra, teremos: 
 
σ = σ á 
 
y = c 
 
Então: σ = σ á = . c = = 
 
W = = módulo de resistência da seção transversal. Sua unidade é a de um comprimento 
elevado à terceira potência. As seções de perfis metálicos têm os valores de W fornecidos em 
manuais e tabelas. 
10.8 TENSÕES TANGENCIAIS NAS VIGAS SUBMETIDAS À FLEXÃO 
Nas vigas submetidas à flexão, podem aparecer tensões tangenciais (de cisalhamento) nas 
seções transversais e longitudinais. No desenho abaixo, a tensão de cisalhamento nas fibras 
que distam y0 da linha neutra vale: 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
Onde: 
Q = força cortante que atua na seção. 
MS = momento estático da parte situada acima de y0, em relação à linha neutra. 
b = largura da seção. 
J = momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro. 
 
No caso de seções retangulares, temos: 
 
 
 
Onde: τ= tensão de cisalhamento nos pontos que distam y0 da linha neutra. 
h = altura da seção. 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
10.9 EXERCÍCIOS 
10.9.1 Dada a viga, abaixo, determinar: 
a) As tensões normais extremas que suporta. (com o momento fletor máximo). 
b) As tensões normais extremas na seção C (seção média). 
c) O diagrama de tensões normais, considerando regime totalmente elástico. 
 
 
 
10.9.2 Dada a viga, abaixo, determinar: 
a) As tensões normais extremas (de flexão). 
b) A tensão normal de flexão na fibra que dista 2,5 cm da borda superior, na seção média. 
 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
11 TORÇÃO SIMPLES 
11.1 INTRODUÇÃO 
O caso mais simples de torção ocorre quando nas duas extremidades de uma peça atuarem 
dois momentos de mesmos módulos e sentidos contrários. 
 
 
 
A torção simples é raramente encontrada na prática, pois se a peça estiver na vertical, basta o 
seu peso próprio para provocar um esforço normal. Se a peça estiver na horizontal, aparecerá 
também um momento fletor e um esforço cortante. É fundamental, porém, do ponto de vista 
teórico, o estudo da torção simples. 
11.2 CARACTERIZAÇÃO ESTÁTICA 
Uma seção transversal de uma peça prismática está solicitada por torção simples, quando as 
forças exteriores exercidas de um lado dessa seção transversal, se reduzem ao seu baricentro 
dando exclusivamente um conjugado de torção Mt = Mx, cujo eixo é ortogonal à seção 
transversal. Todas as outras características de solicitação se anulam. 
 
 
 
11.3 EFEITOS DA TORÇÃO: 
Produzir um deslocamento angular de uma seção transversal, em relação à outra. 
Dar origem a tensões de cisalhamento nas seções transversais das barras. 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
11.4 PROVA EXPERIMENTAL 
Ao se submeter uma peça cilíndrica tubular de pequena espessura, ao ensaio de torção, 
quadrados traçados sob a superfície da mesma, transformam-se em rombos (losangos) e as 
geratrizes deformam-se segundo hélices circulares. 
 
 
 
11.5 DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES 
As tensões são tangenciais (τ), e para seções circulares maciças ouocas podem ser 
calculadas pela seguinte fórmula: 
 
 
 
Onde: 
Mt = momento de torção. 
Jp = momento de inércia polar da seção. 
 
Para o círculo: 
 
 
r = distância da fibra em estudo ao eixo de rotação. 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
11.6 CÁLCULO DA DEFORMAÇÃO – O ÂNGULO DE TORÇÃO 
Consideremos a peça abaixo, de comprimento unitário e sujeita à torção: 
 
 
Então temos: 
α= deformação ou distorção. 
g = elemento que mede a deformação. É a medida do deslocamento sofrido por um ponto da 
seção, devido à rotação da mesma, com relação a uma seção colocada a uma distância 
unitária. A medida é numericamente igual ao ângulo α. Considerando a validade da Lei de 
Hooke, temos: 
τ= t = G . α
τ= tensão tangencial. 
G = módulo de elasticidade tangencial ou módulo de rigidez. 
α= deformação ou distorção. 
11.7 TENSÕES MÁXIMAS: 
11.7.1 Para seção circular maciça: 
τ= t → é máxima quando r = R (na periferia) 
 
 
α 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
11.7.2 Para seção circular ôca: 
Seja Re = raio externo 
Ri = raio interno 
 
 
 
11.8 CONDIÇÕES DE ESTABILIDADE À TORÇÃO DOS SÓLIDOS DE SEÇÃO CIRCULAR 
ks = tensão admissível, à torção, do material do qual é feito a peça. 
11.8.1 Para seção circular maciça: 
 
 
 
11.8.2 Para seção circular oca: 
 
 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
11.9 VIGAS DE SEÇÕES NÃO CIRCULARES 
Se as seções não forem circulares, observa-se: 
 A teoria e a prática demonstram que as seções não se conservam planas e sim 
abauladas. 
 As fibras mais solicitadas não são aquelas mais afastadas do eixo de torção e sim 
aquelas que se acham sempre próximas da superfície mais vizinha do eixo. 
11.10 MOMENTOS MÁXIMOS DE TORÇÃO QUE PODEM SER SUPORTADOS POR 
ALGUMAS SEÇÕES 
11.10.1 Seção em elipse 
 
11.10.2 Seção retangular 
 
11.10.3 Seção circular maciça 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
11.10.4 Seção circular oca 
 
 
11.11 CÁLCULO DO ÂNGULO DE TORÇÃO DO EIXO (β) 
 
 
 
tanα = α ⇒ pois o ângulo é pequeno e dado em radianos. 
tanα = α = ` ⇒ VV` = l. α 
 
Sabemos que: arco vv´ = β . R 
Como α é pequeno podemos fazer: arco vv´ = segmento vv´ 
 
 
Então: β ∙ R = α ∙ l ⟹ β = α ∙ 1 
 
β 
α 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Temos que: τ = G ∙ α ⟹ α = τ G 2 
 
 τ = ∙ 3 
 
Substituindo a expressão 2 e 3 em 1 temos: 
 
β =
τ
G ∙
l
R =
M . R
J
G ∙
l
R =
M . R
G. J ∙
l
R =
M . l
G. J 
 
 
β =
M ∙ l
G ∙ J (radianos) 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
11.12 EXERCÍCIOS 
11.12.1 Calcular o diâmetro de um eixo maciço, capaz de transmitir um momento de 
torção de 500 kgf.m, considerando ks = 7,5 kgf/mm2. 
 
11.12.2 Calcular o momento de torção máximo, em kgf.m, que pode suportar um eixo 
maciço de diâmetro igual a 100 mm, sendo a tensão admissível do material igual a 10 kgf/mm2. 
 
11.12.3 Calcular o ângulo de torção do eixo de uma peça de seção circular com diâmetro 
80 mm e submetida a um momento de torção de 6000 kgf.m. O comprimento da peça é de 2 m 
e o módulo de rigidez é de 2.000.000 kgf/cm2. 
 
11.12.4 Um eixo de seção circular de diâmetro igual a 44,45 mm está submetido a um 
momento de torção Mt = 1000 N.m. Calcular a tensão máxima de cisalhamento, e o 
deslocamento angular correspondente a 1 m de comprimento. O valor do módulo de rigidez é 
de 80 GPa. 
 
11.12.5 Considere-se um eixo circular de seção cheia e outro de seção vazada; este 
último tem diâmetro interno igual a ¾ do externo. Admitindo para ambos os eixos, o mesmo Mt 
e a mesma tensão máxima de cisalhamento, comparar os pesos por unidade de comprimento 
desses eixos de mesmo material.