Álgebra Linear

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2. Álgebra Linear
2.1. Sistemas Lineares
2.1.1. Equações Lineares
Equação Linear é uma equação na forma:
3x− 4y + 2z = 5
pois as variáveis que compõem está equação são lineares. De uma forma genérica, uma equação
linear pode ser representada por:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn = b
sendo x1, x2, x3, . . . , xn as variáveis da equação, a1, a2, a3, . . . , an são os coeficientes das variáveis
e b é o termo independente.
2.1.2. Sistemas de Equações Lineares
Um sistema linear é o conjunto de equações lineares consideradas simultaneamente. De
maneira mais geral, um sistema de m equações com n variáveis, ou simplesmente um sistema lin-
ear, é uma coleção de m equações lineares cada uma delas com n variáveis. Representamos um sistema
linear por:



a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + . . . + a3nxn = b3
...
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = bm
Exemplo 2.1: Exemplos de sistemas lineares.
a)
{
x− 3y = −3
2x + y = 8
b)
{
x− 3y = 7
2x− 6y = 7
c)



x + 2y + 3z = 6
2x− 3y + 2z = 14
3x + y − z = −2
d)



2x1 − x2 + 3x3 + 5x4 = 0
−3x1 + 2x3 − x4 = 0
x1 + x2 − 3x3 = 0
x3 − 4x4 = 0
2.1.3. Solução de um Sistema Linear
Os valores das variáveis que satisfazem simultaneamente todas as equações do sistema linear,
constituem o conjunto solução do sistema. Esses valores são chamados de ráızes do sistema de equações
lineares.
1
Considerando o sistema linear
{
x− 3y = −3
2x + y = 8
podemos verificar que x = 3 e y = 2 constituem a solução para este sistema. Vejamos:
x− 3y = −3
(3)− 3 (2) = −3
3− 6 = −3
−3 = −3
e
2x + y = 8
2 (3) + (2) = 8
6 + 2 = 8
8 = 8
Exemplo 2.2: Verificar se x = 5, y = −3 e z = 1 formam uma solução para o sistema linear.
{
x + 2y − 3z = −4
2x + y − 3z = 4
Para verificarmos se os valores dados formam uma solução para o sistema apresentado basta
substituir os respectivos valores das variáveis no sistema linear. Assim:
x + 2y − 3z = −4 e 2x + y − 3z = 4
(5) + 2 (−3)− 3 (1) = −4 2 (5) + (−3)− 3 (1) = 4
5− 6− 3 = −4 10− 3− 3 = 4
−4 = −4 4 = 4
Portanto, x = 5, y = −3 e z = 1 formam uma solução para o sistema linear.
2.1.3.1. Sistema Compat́ıvel
Um sistema linear é compat́ıvel quando admite solução, isto é, quando possui ráızes.
Sistema Determinado
Um sistema compat́ıvel é determinado quando admite uma única solução.
Exemplo 2.3: Sistema compat́ıvel determinado.
{
x− 3y = −3
2x + y = 8
2
Pois, x = 3 e y = 2 constituem a única solução para o sistema.
Sistema Indeterminado
Um sistema compat́ıvel é indeterminado quando admite infinitas soluções.
Exemplo 2.4: Sistema compat́ıvel indeterminado.
{
x + 2y − 3z = −4
2x + y − 3z = 4
Pois, x = 5, y = −3 e z = 1 constituem uma solução para o sistema, mas x = 2, y = −6 e
z = −2 também constituem uma solução para o sistema.
De uma forma genérica, podemos representar as soluções do sistema por:
x = α + 4;
y = α− 4;
z = α.
2.1.3.2. Sistema Inconpat́ıvel
Um sistema linear é incompat́ıvel quando não admite solução, isto é, quando não possui ráızes.
Exemplo 2.5: Sistema incompat́ıvel.
{
4a− 3b = 12
4a− 3b = 9
O sistema é incompat́ıvel, pois a equação 4x− 3y não pode ser simultaneamente igual a 12 e igual
a 9 para os mesmos valores de a e b.
2.1.4. Sistemas Equivalentes
Dois sistemas lineares são equivalentes quando admitem a mesma solução.
Exemplo 2.6: Sistemas equivalentes.
{
3x− 9y = −9
−4x− 2y = −16 e
{
x− 3y = −3
2x + y = 8
Os sistemas dados são ditos equivalentes pois admitem como solução do sistema x = 3 e y = 2.
3
2.1.5. Sistemas e Matrizes
Todo sistema linear com m equações e n incógnitas na forma,



a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + . . . + a3nxn = b3
...
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = bm
pode ser representado na forma matricial por:


a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
a31 a32 a33 . . . a3n
...
...
...
...
am1 am2 am3 . . . amn


·


x1
x2
x3
...
xn


=


b1
b2
b3
...
bm


ou,
A ·X = B
sendo:
A =


a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
a31 a32 a33 . . . a3n
...
...
...
...
am1 am2 am3 . . . amn


a matriz dos coeficientes,
X =


x1
x2
x3
...
xn


a matriz das incógnitas e
B =


b1
b2
b3
...
bm


a matriz dos termos independentes.
4
Uma outra matriz que podemos associar ao sistema é


a11 a12 a13 . . . a1n b1
a21 a22 a23 . . . a2n b2
a31 a32 a33 . . . a3n b3
...
...
...
...
...
am1 am2 am3 . . . amn bm


que chamamos de matriz ampliada do sistema. Cada linha desta matriz é uma representação
abreviada da equação correspondente no sistema.
Exemplo 2.7: Representação de sistemas na forma matricial.
Seja o sistema



x + 2y + 3z = 6
2x− 3y + 2z = 14
3x + y − z = −2
, então:
temos na forma matricial,


1 2 3
2 −3 2
3 1 −1

 ·


x
y
z

 =


6
14
−2


e em termos da matriz ampliada do sistema,


1 2 3 6
2 −3 2 14
3 1 −1 −2


2.1.6. Operações Elementares
Para resolvermos um sistema linear, podemos efetuar algumas operações de forma a trans-
formá-lo em um sistema equivalente, mais simples. São três as operações elementares sobre as linhas de um
sistema.
1. Permutação de duas linhas;
2. Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero;
3. Substituição de uma equação por ela mesma somada de uma outra equação multiplicada
por um número real diferente de zero.
Exemplo 2.8: Operações elementares sobre um sistema linear.
Seja o sistema



−3x + y − z = −1
2x + y + 2z = 0
x− y + z = 1
, então:
5
1. Permutação de duas linhas.
L1 ←→ L3



x− y + z = 1
2x + y + 2z = 0
−3x + y − z = −1
2. Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero.
L3 −→ −1 · L3



x− y + z = 1
2x + y + 2z = 0
3x− y + z = 1
3. Substituição de uma equação por ela mesma somada de uma outra equação multiplicada por um
número real diferente de zero.
L3 −→ L3 − 3L1



x− y + z = 1
2x + y + 2z = 0
2y − 2z = −2
2.1.7. Sistemas Escalonados
Um sistema escalonado é um sistema na forma:



a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1
a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2
a33x3 + . . . + a3nxn = b3
...
...
amnxn = bm
sendo a11 6= 0, a22 6= 0, a33 6= 0, ... , amn 6= 0,
Exemplo 2.9: Sistema linear escalonado.



2x− y − z − 3t = 0
z − t = 1
2t = 2
Dado um sistema S qualquer, podemos encontrar um outro sistema na forma escalonada
equivalente a S, utilizando as operações elementares sobre o sistema linear S.
6
Exemplo 2.10: Dado o sistema S utilizar as operações elementares para obter um sistema linear
equivalente a S.
S =



x + 2y + 3z = 6
2x− 3y + 2z = 14
3x + y − z = −2
Para obter um sistema escalonado a S fazemos:
L2 −→ L2 − 2L1
S´=



x + 2y + 3z = 6
−7y − 4z = 2
3x + y − z = −2
L3 −→ L3 − 3L1
S´=



x + 2y + 3z = 6
−7y − 4z = 2
−5y − 10z = −20
L3 −→ −15L3
S´=



x + 2y + 3z = 6
−7y − 4z = 2
y + 2z = 4
L2 ←→ L3
S´=



x + 2y + 3z = 6
y + 2z = 4
−7y − 4z = 2
L3 −→ L3 + 7L2
S´=



x + 2y + 3z = 6
y + 2z = 4
10z = 30
Assim,



x + 2y + 3z = 6
2x− 3y + 2z = 14
3x + y − z = −2
≈



x + 2y + 3z = 6
y + 2z = 4
10z = 30
Dois sistemas equivalentes tem a mesma solução, então a solução do sistema S pode ser obtido
através do sistema escalonado, ou seja:
7
S´=



x + 2y + 3z = 6
y + 2z = 4
10z = 30
10z = 30
z = 3
y + 2z = 4
y + 2 · 3 = 4
y + 6 = 4
y = −2
e
x + 2y + 3z = 6
x + 2 · (−2) + 3 · 3 = 6
x + 5 = 6
x = 1
Portanto, a solução do sistema é dado por x = 1, y = −2 e z = 3.
Observação:Como um sistema linear pode ser representado através de uma matriz ampliada do
sistema, podemos efetuar as mesmas operações sobre a matriz obtida.
2.1.8. Sistemas na Forma Escada
Representando o sistema linear por uma matriz ampliada do sistema, podemos definir o sistema
na forma escada por uma matriz na forma escada. Assim uma matriz m×n é linha reduzida a forma escada
se:
1. O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1;
2. Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros
elementos iguais a zero;
3. Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas;
Exemplo 2.11: Matriz do sistema S na forma escada.
Sendo,
S =



2x1 + x2 + 3x3 = 8
4x1 + 2x2 + 2x3 = 4
2x1 + 5x2 + 3x3 = −12
8
a matriz ampliada associada ao sistema S é dada por:
S =


2 1 3 8
4 2 2 4
2 5 3 −12


Aplicando as operações elementares em S obtemos a matriz Ś na forma escada dada por:
S´=


1 0 0 2
0 1 0 −5
0 0 1 3


que é representado na forma de sistema linear por:
S =



x1 + 0x2 + 0x3 = 2
0x1 + x2 + 0x3 = −5
0x1 + 0x2 + x3 = 3
isto é
S =



x1 = 2
x2 = −5
x3 = 3
2.1.9. Sistema Linear Homogêneo
Um sistema linear homogêneo é um sistema linear no qual todos os termos independentes são
nulos.
Exemplo 2.12: Sistema linear homogêneo.



2x + 3y + 4z = 0
3x− 2y + z = 0
x− y − z = 0
Todo sistema linear homogêneo tem pelo menos uma solução; essa solução, denominada solução
trivial, é, qualquer que seja o sistema xi = 0, i = 1, 2, 3, 4, 5, ... , m.
Exerćıcios Resolvidos
19. Resolva o sistema



x− y + z = 1
2x + y + 2z = 1
3x− y + z = 0
e discuta a solução.
Resolução:
Como o sistema pode ser representado pela matriz ampliada do sistema optaremos por resolver
dessa forma.
9


1 −1 1 1
2 1 2 0
3 −1 1 1


Assim:
L2 → L2 − 2L1

1 −1 1 1
0 3 0 −2
3 −1 1 1

 ≈
L3 → L3 − 3L1

1 −1 1 1
0 3 0 −2
0 2 −2 −2

 ≈
L3 → 12L3

1 −1 1 1
0 3 0 −2
0 1 −1 −1


≈
L3 → L3 − 23L2

1 −1 1 1
0 3 0 −2
0 0 1
1
3


voltando para a representação de sistema, temos:



x− y + z = 1
3y = −2
z =
1
3
então,
3y = −2
y = −2
3
x− y + z = 1
x−
(
−2
3
)
+
1
3
= 1
x + 1 = 1
x = 0
Logo o sistema é compat́ıvel e determinado e sua solção é S =
(
0,−2
3
,
1
3
)
.
20. Resolva o sistema



x− 2y − z = 1
2x + y − 3z = 0
x− 7y = 3
e discuta a sua solução.
Resolução:
Como o sistema pode ser representado pela matriz ampliada do sistema optaremos por resolver
dessa forma.


1 −2 −1 1
2 1 −3 0
1 −7 0 3


10
Assim:
L2 → L2 − 2L1

1 −2 −1 1
0 5 −1 −2
1 −7 0 3

 ≈
L3 → L3 − L1

1 −2 −1 1
0 5 −1 −2
0 −5 1 2

 ≈
L3 → L3 + L2

1 −2 −1 1
0 5 −1 −2
0 0 0 0


voltando para a representação de sistema, temos:
{
x− 2y − z = 1
5y − z = −2
então,
5y = −2 + z
y =
z − 2
5
e
x− 2y − z = 1
x− 2
(
z − 2
5
)
− z = 1
x +
4− 7z
5
= 1
x = 1− 4− 7z
5
x =
5− 4 + 7z
5
x =
1 + 7z
5
Logo o sistema é compat́ıvel e indeterminado e o conjunto das solções é S =
(
1 + 7z
5
,
z − 2
5
, z
)
.
21. Resolva o sistema



x− y + z = 1
2x− y + z = 4
x− 2y + 2z = 0
e discuta a sua solução.
Resolução:
11
Como o sistema pode ser representado pela matriz ampliada do sistema optaremos por resolver
dessa forma.


1 −1 1 1
2 −1 1 4
1 −2 2 0


Assim:
L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − L1

1 −1 1 1
0 1 −1 2
0 −1 1 −1


≈
L3 → L3 + L2


1 −1 1 1
0 1 −1 2
0 0 0 1


voltando para a representação de sistema, temos:



x− y + z = 1
y − z = −2
0 = 1
Como, 0 6= 1, então o sistema apresentado é incompat́ıvel.
22. Resolva o sistema S utilizando o método da matriz na forma escada.
S =



x + 2y = 10
2x− 2y = −4
3x + 5y = 26
Resolução:
Encontrando a matriz ampliada do sistema S, temos:


1 2 10
2 −2 −4
3 5 26


Assim,
L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − 3L1

1 2 10
0 −6 −24
0 −1 −4


≈
L2 → −16L2
L3 → −1L3

1 2 10
0 1 4
0 1 4


≈
L1 → L1 − 2L2
L3 → L3 − L2

1 0 2
0 1 4
0 0 0


então:
S =
{
x = 2
y = 4
Logo o sistema é compat́ıvel e determinado com solução s = (2, 4).
12
23. Utilizando o método da matriz na forma escada resolva o sistema



x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 − 3x2 − 2x3 = 5
.
Resolução:
Encontrando a matriz na forma escada, têm-se:


1 4 3 1
2 5 4 4
1 −3 −2 5


Assim,
L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − L1

1 4 3 1
0 −3 −2 2
0 −7 −5 4


≈
L2 → −13L2


1 4 3 1
0 1
2
3
−2
3
0 −7 −5 4


≈
L1 → L1 − 4L2
L3 → L3 + 7L2

1 0
1
3
11
3
0 1
2
3
−2
3
0 0 −1
3
−2
3


≈
L3 → −3L3


1 0
1
3
11
3
0 1
2
3
−2
3
0 0 1 2


≈
L1 → L1 − 13L3
L2 → L2 − 23L3

1 0 0 3
0 1 0 −2
0 0 1 2


então:
S =



x1 = 3
x2 = −2
x3 = 2
Logo a solução do sistema é S = (3,−2, 2).
24. Determine o valor de m para que o sistema linear



x + y = 1
2x + y = 2
3y = m
admita uma única solução.
Resolução:
Obtendo a matriz ampliada do sistema, temos:
13


1 1 1
2 1 2
0 1 m


assim,
L2 → L2 − 2L1

1 1 1
0 −1 0
0 1 m

 ≈
L2 → −1L2

1 1 1
0 1 0
0 1 m

 ≈
L1 → L1 − L2

1 0 1
0 1 0
0 1 m

 ≈
L3 → L3 − L2

1 0 1
0 1 0
0 0 m


na última linha temos necessáriamente que m = 0 para que o sistema seja compat́ıvel e determi-
nado.
25. Determine o valor de a para que a incógnita z do sistema S seja igual a 3.
S :



x + 3z = a
2x− 4y = −4
3x− 2y − 5z = 26
Resolução:
Obtento a matriz ampliada do sistema,


1 0 3 a
2 −4 0 −4
3 −2 −5 26


assim,
L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − 3L1

1 0 3 a
0 −4 −6 −4− 2a
0 −2 −14 26− 2a


≈
L2 → −14L2
L3 → −12L2

1 0 3 a
0 1
3
2
4 + 2a
4
0 1 7 13− a


≈
L3 → L3 − L1


1 0 3 a
0 1
3
2
4 + 2a
4
0 0 −11
2
24− 3a
2


≈
L3 → L3 − L2


1 0 0
2a + 72
11
0 1 0
a + 47
11
0 0 1
3a− 24
11


então, se z = 3, temos::
14
3a− 24
11
= 3
3a− 24 = 33
3a = 33 + 24
3a = 57
a =
57
3
a = 19
Portanto para que z = 3 o valor de a deve ser 19.
26. Faça o balanceamento da reação HF+SiO2 →SiF4+H2O, dissolução do vidro em HF.
Resolução:
Esta reação pode ser descrita da seguinte forma: x moléculas de HF reagem com y moléculas
de SiO2 produzindo z moléculas de SiF4 mais t moléculas de H2O, esquematicamente:
x ·HF + y · SiO2 → z · SiF4 + t ·H2O
Como os átomos não são modificados, o número de átomos de cada elemento no ińıcio da
reação deve ser igual ao número de átomos desse mesmo elemento, no fim da reação. Assim,
X para o hidrogênio (H) devemos ter x = 2t.
X para o fluor (F) devemos ter x = 4z.
X para o siĺıcio (Si) devemos ter y = z.
X para o oxigênio (O2) devemos ter 2y = t.
Portanto, das equações obtemos o sistema:



x = 2t
x = 4z
y = z
2y = t
≈



x− 2t = 0
x− 4z = 0
y − z = 0
2y − t = 0
obtendo a matriz ampliada do sistema, temos:


1 0 0 −2 0
1 0 −4 0 0
0 1 −1 0 0
0 2 0 −1 0


assim,
15
L2 → L2 − L1

1 0 0 −2 0
0 0 −4 2 0
0 1 −1 0 0
0 2 0 −1 0


≈
L2 ↔ L3

1 0 0 −2 0
0 1 −1 0 0
0 0 −4 2 0
0 2 0 −1 0


≈
L4 ↔ L4 − 2L2

1 0 0 −2 0
0 1 −1 0 0
0 0 −4 2 0
0 0 2 −1 0


L3 → −14L3

1 0 0 −2 0
0 1 −1 0 0
0 0 1 −1
2
0
0 0 2 −1 0


≈
L2 ↔ L2 + L3

1 0 0 −2 0
0 1 0 −1
2
0
0 0 1 −1
2
0
0 0 2 −1 0


≈
L4 ↔ L4 − 2L3

1 0 0 −2 0
0 1 0 −1
2
0
0 0 1 −1
2
0
0 0 0 0 0


então,



x− 2t = 0
y − 1
2
t = 0
z − 1
2
t = 0
≈



x = 2t
y =
1
2
t
z =
1
2
t
Admitindo, t = 2, temos:
x = 4
y = 1
z = 1
Logo, o balanceamento da reação HF+SiO2 →SiF4+H2O é dado por:
4HF + SiO2 → SiF4 + 2H2O
27. Uma industria qúımica produz três tipos de diferentes produtos: A, B e C. Cada um deles
é processado em duas máquinas, X e Y. Neste processo, cada uma das máquinas é utilizada durante os
seguintespeŕıodos de tempo:
I Uma tonelada do produto A requer 2 horas da máquina X e 2 horas da máquina Y;
I Uma tonelada do produto B requer 3 horas da máquina X e 2 horas da máquina Y;
I Uma tonelada do produto C requer 4 horas da máquina X e 3 horas da máquina Y.
A máquina X está dispońıvel 80 horas por semana, enquanto a máquina Y está dispońıvel 60 horas
por semana. Como a administração da fabrica não quer manter as dispendiosas máquinas X e Y paradas,
é preciso determinar quantas toneladas de cada produto devem ser manufaturadoas para que as máquinas
sejam utilizadas de maneira ótima. Supõe-se que a fábrica seja capaz de vender tanto quanto produza.
Resolução:
16
Para resolver este problema admitiremos a, b e c o número de toneladas dos produtos A, B e
C, respectivamente, a ser produzido. O número de horas dispońıvel para utilização da máquina X é de 80
horas, assim:
2a + 3b + 4c = 80
Da mesma forma, o número de horas dispońıvel na máquina Y é de 60 horas, assim:
2a + 2b + 3c = 60
Portanto, a solução do problema consiste em resolver o sistema formado pelas duas equações,
ou seja:
{
2a + 3b + 4c = 80
2a + 2b + 3c = 60
obtendo a matriz ampliada do sistema, temos:
[
2 3 4 80
2 2 3 60
]
assim,
L2 → L2 − L1
[
2 3 4 80
0 −1 −1 −20
] ≈
L1 → 12L1
L2 → −L2
 1
3
2
2 40
0 1 1 20


≈
L1 → L1 − 32L2
 1 0
1
2
10
0 1 1 20


então:



a +
1
2
c = 10
b + c = 20
≈



a = 10− 1
2
c
b = 20− c
Como o sistema é indeterminado, podemos escolher um valor para c, 0 ≤ c ≤ 20, ou seja, escolhemos
qual deve ser a produção do produto C e a partir deste valor obtemos os valores para os produtos A e B.
Vejamos:
Admitindo que queiramos uma produção de 8 toneladas para o produto C, então:
c = 8
logo,
a = 10− 1
2
c
a = 10− 1
2
· 8 = 6
e
17
b = 20− c
b = 20− 8 = 12
Portanto, uma solução para o problema é S = (6, 12, 8), ou seja uma produção de 6 toneladas
do produto A, 12 toneladas do produto B e 8 toneladas do protudo C.
28. Dado o sistema linear
{
2x− y = 5
4x− 2y = t
a) Determine um valor de t para o qual o sistema tenha uma solução.
b) Determine um valor de t para o qual o sistema não tenha uma solução.
Resolução:
Obtendo a matriz ampliada do sistema temos:
[
2 −1 5
4 −2 t
]
assim,
L1 → 12L1

 1 −
1
2
5
2
4 −2 t


≈
L2 → L2 − 4L1

 1 −
1
2
5
2
0 0 t


então:
a) Determine um valor de t para o qual o sistema tenha uma solução.
Para que o sistema tenha uma solução t = 0.
b) Determine um valor de t para o qual o sistema não tenha uma solução.
Para que o sistema não tenha solução t 6= 0.
b
Exerćıcios Propostos
61. Relacione os sistemas com as suas respectivas soluções.
S1 :
{
2x− 3y = 18
−x + 2y = −5 S2 :
{
3x− 5y = 29
−x + 6y = −27 S3 :
{
3x + 2y = 1
−2x− 3y = −5 S4 :
{
2x− 4y = −10
x + 3y = 5
18
S5 :



x− y + 4z = −5
2x + y − z = −4
−x + 2y + 2z = 10
S6 :



1
2
x− y − z = 5
2x + 3y + 2z = −7
x− 2y + z = 7
S7 :



x− 3y + z = 1
4x− 5y − z = −6
−2x− 7y + 2z = 6
S8 :



−x− y − 2z = 5
2x− 2y + z = −3
4x + 3y − z = −10
S9 :



x− 3y + 4z = 0
x + 4y − 3z = 0
−x− 3y + z = 0
S10 :



3x− 2y + 4z = −1
5x + 10y − 8z = −3
−2x− y + 5z = 6
a) (−1, 2) b) (3,−4) c) (−1, 0, 2) d) (2,−3,−1) e) (−2,−1,−1) f) (−1, 1, 1)
62. Sabendo que S = (1,−2,−3) é solução do sistema linear S =



2x− y + 4z = −9
x− y − z = 6
x− 3y − 2z = 13
, determine
qual sistema linear é equivalente ao sistema S.
a) S1 =



x− 3y + z = 4
2x− 3y − z = 11
x− y − z = 0
b) S2 =



x− y + 2z = −3
2x− y − 2z = −2
x− y + 2z = 0
c) S3 =



−x + y + z = −6
x− y − z = 6
x− 3y − 2z = 13
d) S4 =



−2x + y + z = 2
3x + 2y − 2z = 3
x− 4y + 2z = 6
e) S5 =



x− 3y + 4z = −5
5x− 2y − z = 12
3x + 3y − 2z = 3
f) S6 =



−x + y − z = 0
2x− 2y + 2z = 0
2x + 4y − 2z = 0
63. Resolva os sistemas por escalonamento.
a)
{
2x + 4y = 22
5x− 15y = −20 b)
{
2x + y = 0
3x + 3y = 3
c)
{
x + 2y = 8
3x− 4y = 4
d)



3x + 2y + z = 2
4x + 2y + 2z = 8
x− y + z = 4
e)



2x + 4y + 6z = −12
2x− 3y + 4z = 15
3x + 4y + 5z = −8
f)
{
x + y + 3z = 12
2x + 2y + 6z = 6
g)



2x1 + x2 + 3x3 = 8
4x1 + 2x2 + 2x3 = 4
2x1 + 5x2 + 3x3 = −12
h)



2x + 4y − 6z = 10
4x + 2y + 2z = 16
2x + 8y − 4z = 24
i)



x− 2y − z = 1
2x + y − 3z = 0
x− 7y = 3
64. Resolva os sistemas e discuta a solução.
a)
{
2x1 + x2 = 5
x1 − 3x2 = 6
b)
{
2x1 + x2 = 5
6x1 + 3x2 = 15
c)
{
2x1 + x2 = 5
6x1 + 3x2 = 10
d)
{
3x + 9y = 12
x− 2y = 1 e)



2x + 4y = 0
16x− 8y = 0
12x− 2y = 0
f)



3x + 2y − 5z = 8
2x− 4y − 2z = −4
x− 2y − 3z = −4
19
g)



2x + 4y + 6z = −6
3x− 2y − 4z = −38
x + 2y + 3z = −3
h)



x + 3z = −8
2x− 4y = −4
3x− 2y − 5z = 26
i)
{
6x + 2y + 4z = 0
−9x− 3y − 6z = 0
j)



x− y + z = 1
2x + y + 2z = 0
3x− y + z = 1
k)
{
x + y + z + 3t = 1
x + y − z + 2t = 0 l)



x + y + z = 2
x− y − z = −3
2x + y + 2z = 1
3x + 2y + 3z = 3
65. Dado o sistema linear



2x− 5y + 2z = 0
x + y + z = 0
2x + kz = 0
, determine o valor de k para que o sistema tenha
como única solução a solução trivial.
66. Determine uma condição que deve ser satisfeita pelos termos x, y e z para que o sistema


a + 2b = x
−3a + 4b = y
2a− b = z
seja compat́ıvel.
67. Determine uma condição que deve ser satisfeita pelos termos x, y e z para que o sistema


a + 2b = x
−2a + b = y
−a + b = z
seja compat́ıvel.
68. Calcular o valor de k para que seja compat́ıvel o sistema



x + 2y = −1
−3x + 4y = k
2x− y = −7
.
69. Determine uma condição que deve ser satisfeita pelos termos a e b para que o sistema{
3x + 9y = a
6x + 18y = b
seja compat́ıvel.
70. Faça o balanceamento das reações.
a) N2O5 →NO2+O2 b) (NH4)2CO3 →NH3+H2O+CO2
71. Um nutricionista está planejando uma refeição contendo os alimentos A, B e C. Cada grama
do alimento A contém 2 unidades de protéına, 3 unidades de gordura e 4 unidades de carboidratos. Cada
grama do alimento B contém 3 de protéınas, 2 unidades de gordura e 1 unidade de carboidratos. Cada
grama do alimento C contém 3 unidades de protéına, 3 unidades de gordura e 2 unidades de carbroidatos.
Se a refeição precisa conter exatamente 25 unidades de protéınas, 24 unidades de gordura e 21 unidades de
carboidratos, quantos gramas de cada tipo de alimento devem ser usados?
72. Para adubar um terreno acrescentando a cada 10 m2 140 gramas de nitrato, 190 gramas de
fosfato e 205 gramas de potássio.
Dispomos de quatro qualidades de adubo com as seguintes caracteŕısticas:
20
i. cada quilograma de adubo I custa R$5,00 e contém 10 gramas de nitrato, 10 gramas de
fosfato e 100 gramas de potássio;
ii. cada quilograma do adubo II custa R$6,00 e contém 10 gramas de nitrato, 100 gramas de
fosfato e 30 gramas de potássio;
iii. cada quilograma do adubo III custa R$5,00 e contém 50 gramas de nitrato, 20 gramas de
fosfato e 20 gramas de potássio;
iv. cada quilograma do adubo IV custa R$15,00 e contém 20 gramas de nitrato, 40 gramas
de fosfato e 35 gramas de potássio.
Quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se estamos dispostos
a gastar R$54,00 a cada 10 m2 com a adubação?
Respostas dos Exerćıcios Propostos
61. S2 = (3,−4) S4 = (−1, 2) S6 = (2,−3,−1)
S7 = (−1, 0, 2) S8 = (−2,−1,−1) S10 = (−1, 1, 1)
62. S3, S5 e S6
63. a) S = (5, 3) b) S = (−1, 2) c) S = (4, 2) d) S = (−4, 2, 10) e) S = (2,−1,−2)
f) Não tem solução g) S = (2,−5, 3) h) S = (2, 3, 1) i) S =
(
1 + 7z
5
,
z − 2
5
, z
)
64.
a) Sistema compat́ıvel e determinado no qual a solução é (3,−1).
b) Sistema compat́ıvel e indeterminado no qual as soluções podem ser
(
5− x2
2
, x2
)
.
c) Sistema incompat́ıvel.
d) Sistema incompat́ıvel.
e) Sistema compat́ıvel e determinado cuja solução é a solução trivial.
f) Sistema compat́ıvel e determinado cuja solução é (3, 2, 1).
g) Sistema compat́ıvele determinado cuja solução é
(
−41
4
,
29
8
)
.
h) Sistema compat́ıvel e determinado cuja solução é (4, 3,−4).
i) Sistema compat́ıvel e indeterminado cuja uma das soluções pode ser dada por
(
−y + 2z
3
, y, z
)
.
j) Sistema compat́ıvel e determinado cuja solução é
(
0,−2
3
,
1
3
)
.
k) Sistema compat́ıvel e indeterminado cuja uma das soluções é (5z − 2− y, y, z, 1− 2z).
l) Sistema compat́ıvel e determinado, sendo
(
−1
2
, 3,−1
2
)
sua única solução.
65. k = 2.
66. z − 2x + y + 3x
2
= 0.
67. z + x− 3y + 6x
5
= 0
68. k = 13.
21
69. b = 2a.
70. a) 2N2O5 → 4NO2+O2 b) (NH4)2CO3 → 2NH3+H2O+CO2.
71. 3,2 gramas de A, 4,2 gramas de B e 2,0 gramas de C.
72. Considerando x1 = Adubo I, x2 = Adubo II, x3 = Adubo III e x4 = Adubo IV então:
x1 = 0. 67kg, x2 = 0. 45kg, x3 = 1. 5kg, x4 = 2. 7kg
22
2.2. Espaço Vetorial
2.2.1. Introdução
Um espaço vetorial real é um conjunto chamado de V , não vazio, no qual são definidas duas
operações, a adição, V × V +7−→ V , e a multiplicação por um escalar, R×V ·7−→ V , tais que, para quaisquer
u, v e w ∈ R, são válidas as seguintes propriedades:
Adição: (u, v) 7−→ u + v.
1. u + v = v + u, ∀ u, v ∈ V . (comutativa)
2. u + (v + w) = (u + v) + w, ∀ u, v, w ∈ V . (associativa)
3. Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u. (elemento neutro da adição)
4. Existe −u ∈ V tal que u + (−u) = 0. (simétrico ou oposto)
Multiplicação: (α, v) 7−→ α · v.
5. α (u + v) = αu + αv. (distributiva)
6. (α + β) v = αv + βv. (distributiva)
7. α (βv) = (α · β) v. (associativa)
8. 1v = v. (elemento neutro da multiplicação)
Observações:
Os elementos do espaço vetorial V são chamados vetores, independentemente de sua natureza.
Se na definição acima tomarmos o conjunto C dos números complexos, V seria um espaço vetorial complexo.
Quando as operações de adição e multiplicação não forem as usuais, utilizamos os śımbolos
⊕ e ¯ para representá-las.
Exemplo 2.13: O conjunto dos vetores do espaço no R3, V = R3 = {(x, y, z) ; x, y, z ∈ R}.
A demostração é dada por:
1. u + v = v + u, ∀ u = (x1, y1, z1) , v = (x2, y2, z2) ∈ V .
u + v = (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)
= (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
= (x2 + x1, y2 + y1, z2 + z1)
= (x2, y2, z2) + (x1, y1, z1)
= v + u
2. u + (v + w) = (u + v) + w, ∀ u = (x1, y1, z1) , v = (x2, y2, z2) , w = (x3, y3, z3) ∈ V .
23
u + (v + w) = (x1, y1, z1) + [(x2, y2, z2) + (x3, y3, z3)]
= (x1, y1, z1) + (x2 + x3, y2 + y3, z2 + z3)
= (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3, z1 + z2 + z3)
= (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) + (x3, y3, z3)
= [(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)] + (x3, y3, z3)
= (u + v) + w
3. Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u,∀ u = (x1, y1, z1) , 0 = (0, 0, 0) ∈ V .
u + 0 = (x1, y1, z1) + (0, 0, 0)
= (x1 + 0, y1 + 0, z1 + 0)
= (x1, y1, z1)
= u
4. Existe −u ∈ V tal que u + (−u) = 0,∀ u = (x1, y1, z1) ∈ V .
u + (−u) = (x1, y1, z1) + (−x1,−y1,−z1)
= (x1 − x1, y1 − y1, z1 − z1)
= (0, 0, 0)
= 0
5. α (u + v) = αu + αv, ∀ u = (x1, y1, z1) , v = (x2, y2, z2) ∈ V .
α (u + v) = α [(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)]
= α (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
= (αx1 + αx2, αy1 + αy2, αz1 + αz2)
= (αx1, αy1, αz1) + (αx2, αy2, αz2)
= α (x1, y1, z1) + α (x2, y2, z2)
= αu + αv
6. (α + β) v = αv + βv, ∀ v = (x2, y2, z2) ∈ V .
(α + β) v = (α + β) (x2, y2, z2)
= ((α + β) x2, (α + β) y2, (α + β) z2)
= (αx2 + βx2, αy2 + βy2, αz2 + βz2)
= (αx2, αy2, αz2) + (βx2, βy2, βz2)
= α (x2, y2, z2) + β (x2, y2, z2)
= αv + βv
24
7. α (βv) = (α · β) v, ∀ v = (x2, y2, z2) ∈ V .
α (βv) = α (β (x2, y2, z2))
= α (βx2, βy2, βz2)
= (αβx2, αβy2, αβz2)
= αβ (x2, y2, z2)
= (α · β) v
8. 1v = v, ∀ v = (x2, y2, z2) ∈ V .
1v = 1 · (x2, y2, z2)
= (1 · x2, 1 · y2, 1 · z2)
= (x2, y2, z2)
Portanto, o conjunto dos vetores do espaço no R3 é um espaço vetorial.
Exemplo 2.14: Seja o espaço vetorial, V = M (m,n), o conjunto das matrizes reais m × n com
a soma e produto usuais. Verifique se M (2, 2) é um espaço vetorial.
Sendo, A =
[
a1 b1
c1 d1
]
, B =
[
a2 b2
c2 d2
]
e C =
[
a3 b3
c3 d3
]
, e ∀ α, β ∈ R.
A demostração é dada por :
1. A + B = B + A, ∀ A,B ∈ V .
A + B =
[
a1 b1
c1 d1
]
+
[
a2 b2
c2 d2
]
=
[
a1 + a2 b1 + b2
c1 + c2 d1 + d2
]
=
[
a2 + a1 b2 + b1
c2 + c1 d2 + d1
]
=
[
a2 b2
c2 d2
]
+
[
a1 b1
c1 d1
]
= B + A
2. A + (B + C) = (A + B) + C,∀ A, B,C ∈ V .
25
A + (B + C) =
[
a1 b1
c1 d1
]
+
([
a2 b2
c2 d2
]
+
[
a3 b3
c3 d3
])
=
[
a1 b1
c1 d1
]
+
[
a2 + a3 b2 + b3
c2 + c3 d2 + d3
]
=
[
a1 + a2 + a3 b1 + b2 + b3
c1 + c2 + c3 d1 + d2 + d3
]
=
[
a1 + a2 b1 + b2
c1 + c2 d1 + d2
]
+
[
a3 b3
c3 d3
]
=
([
a1 b1
c1 d1
]
+
[
a2 b2
c2 d2
])
+
[
a3 b3
c3 d3
]
= (A + B) + C
3. Existe 0 ∈ V tal que A + 0 = A, sendo 0 =
[
0 0
0 0
]
∈ M (2, 2).
A + 0 =
[
a1 b1
c1 d1
]
+
[
0 0
0 0
]
=
[
a1 + 0 b1 + 0
c1 + 0 d1 + 0
]
=
[
a1 b1
c1 d1
]
4. Existe −A ∈ V tal que A + (−A) = 0, sendo −A =
[
−a1 −b1
−c1 −d1
]
∈ M (2, 2).
A + (−A) =
[
a1 b1
c1 d1
]
+
[
−a1 −b1
−c1 −d1
]
=
[
a1 + (−a1) b1 + (−b1)
c1 + (−c1) d1 + (−d1)
]
=
[
0 0
0 0
]
= 0
5. α (A + B) = αA + αB.
26
α (A + B) = α
([
a1 b1
c1 d1
]
+
[
a2 b2
c2 d2
])
= α
[
a1 + a2 b1 + b2
c1 + c2 d1 + d2
]
=
[
α (a1 + a2) α (b1 + b2)
α (c1 + c2) α (d1 + d2)
]
=
[
αa1 + αa2 αb1 + αb2
αc1 + αc2 αd1 + αd2
]
=
[
αa1 αb1
αc1 αd1
]
+
[
αa2 αb2
αc2 αd2
]
= α
[
a1 b1
c1 d1
]
+ α
[
a2 b2
c2 d2
]
= αA + αB
6. (α + β)A = αA + βA.
(α + β) A = (α + β)
[
a1 b1
c1 d1
]
=
[
(α + β) a1 (α + β) b1
(α + β) c1 (α + β) d1
]
=
[
αa1 + βa1 αb1 + βb1
αc1 + βc1 αd1 + βd1
]
=
[
αa1 αb1
αc1 αd1
]
+
[
βa1 βb1
βc1 βd1
]
= α
[
a1 b1
c1 d1
]
+ β
[
a1 b1
c1 d1
]
= αA + βA
7. α (βA) = (α · β) A.
27
α (βA) = α
(
β
[
a1 b1
c1 d1
])
= α
[
βa1 βb1
βc1 βd1
]
=
[
αβa1 αβb1
αβc1 αβd1
]
=
[
(αβ) a1 (αβ) b1
(αβ) c1 (αβ) d1
]
= (αβ)
[
a1 b1
c1 d1
]
= (αβ)A
8. 1A = A, sendo 1 = I2 =
[
1 0
0 1
]
∈ M (2, 2).
1A =
[
1 0
0 1
]
·
[
a1 b1
c1 d1
]
=
[
1 · a1 + 0 · c1 1 · b1 + 0 · d1
0 · a1 + 1 · c1 0 · b1 + 1 · d1
]
=
[
a1 b1
c1 d1
]
= A
Exemplo 2.15: Seja o espaço vetorial V = Pn o conjunto dos polinômios e P2 o conjunto dos
polinômios de grau 2, P2 (x) = ax2 + bx + c. Verifique se P2 é um espaço vetorial.
Sendo, P 12 (x) = a1x
2 +b1x+c1, P 22 (x) = a2x
2 +b2x+c2 e P 32 (x) = a3x
2 +b3x+c3 , e ∀ α, β ∈ R.
A demostração é dada por :
1. P 12 (x) +P
2
2 (x) = P
2
2 (x) + P
1
2 (x) , ∀ P 12 (x) , P 22 (x) ∈ V .
P 12 (x) + P
2
2 (x) = a1x
2 + b1x + c1 + a2x2 + b2x + c2
= a2x2 + b2x + c2 + a1x2 + b1x + c1
= P 22 (x) + P
1
2 (x)
2. P 12 (x) +
(
P 22 (x) + P
3
2 (x)
)
=
(
P 12 (x) + P
2
2 (x)
)
+ P 32 (x) ,∀ P 12 (x) , P 22 (x) , P 32 (x) ∈ V .
28
P 12 (x) +
(
P 22 (x) + P
3
2 (x)
)
= a1x2 + b1x + c1 +
(
a2x
2 + b2x + c2 + a3x2 + b3x + c3
)
= a1x2 + b1x + c1 + a2x2 + b2x + c2 + a3x2 + b3x + c3
=
(
a1x
2 + b1x + c1 + a2x2 + b2x + c2
)
+ a3x2 + b3x + c3
=
(
P 12 (x) + P
2
2 (x)
)
+ P 32 (x)
3. Existe 0 ∈ V tal que P 12 (x) + 0 = P 12 (x) , sendo 0 = P 02 (x) = 0x2 + 0x + 0 ∈ P2 (x).
P 12 (x) + 0 = a1x
2 + b1x + c1 + 0x2 + 0x + 0
= a1x2 + b1x + c1
= P 12 (x)
4. Existe −P 12 (x) ∈ V tal que P 12 (x)+
(−P 12 (x)
)
= 0, sendo −P 12 (x) = −a1x2−b1x−c1 ∈ P2 (x).
P 12 (x) +
(−P 12 (x)
)
= a1x2 + b1x + c1 +
(−a1x2 − b1x− c1
)
= a1x2 + b1x + c1 − a1x2 − b1x− c1
= 0x2 + 0x + 0
= P 02 (x)
= 0
5. α
(
P 12 (x) + P
2
2 (x)
)
= αP 12 (x) + αP
2
2 (x).
α (+) = α
(
P 12 (x) + P
2
2 (x)
)
= α
(
a1x
2 + b1x + c1 + a2x2 + b2x + c2
)
= αa1x2 + αb1x + αc1 + αa2x2 + αb2x + αc2
= α
(
a1x
2 + b1x + c1
)
+ α
(
a2x
2 + b2x + c2
)
= αP 12 (x) + αP
2
2 (x)
6. (α + β)P 12 (x) = αP
1
2 (x) + βP
1
2 (x).
(α + β) P 12 (x) = (α + β)
(
a1x
2 + b1x + c1
)
= (α + β) a1x2 + (α + β) b1x + (α + β) c1
= αa1x2 + βa1x2 + αb1x + βb1x + αc1 + βc1
= αa1x2 + αb1x + αc1 + βa1x2 + βb1x + βc1
= α
(
a1x
2 + b1x + c1
)
+ β
(
a1x
2 + b1x + c1
)
= αP 12 (x) + βP
1
2 (x)
29
7. α
(
βP 12 (x)
)
= (α · β)P 12 (x).
α
(βP 12 (x)
)
= α
(
β
(
a1x
2 + b1x + c1
))
= α
(
βa1x
2 + βb1x + βc1
)
= αβa1x2 + αβb1x + αβc1
= αβ
(
a1x
2 + b1x + c1
)
= (α · β)P 12 (x)
8. 1P 12 (x) = P
1
2 (x), sendo 1 = P2 (x) = 0x
2 + 0x + 1 ∈ P2 (x).
1P 12 (x) =
(
0x2 + 0x + 1
) · (a1x2 + b1x + c1
)
= a1x2 + b1x + c1
= P 12 (x)
2.2.2. Subespaço Vetorial
Às vezes, é necessário determinar, dentro de um espaço vetorial V , subconjuntos W que sejam
eles próprios espaços vetoriais ”menores”. Estes conjuntos são chamados de subespaços de V .
Seja V um espaço vetorial sobre R. Um subespaço vetorial de V é um subconjunto W ⊂ V ,
tal que:
1. 0 ∈ W ; (elemento neutro)
2. ∀ u, v ∈ W, u + v ∈ W ;
3. ∀ α ∈ R e ∀ u ∈ W, então α · u ∈ W.
Proposição: Se W é um subespaço vetorial de V , então W também é um espaço vetorial sobre
R.
Exemplo 2.16: Seja o espaço vetorial V = R5 e W = {(0, x2, x3, x4, x5) ;xi ∈ R}, mostre que W
é um subespaço vetorial de V .
A demonstração é dada por:
1. 0 ∈ W ;
∃ 0 ∈ W, tal que 0 = (0, 0, 0, 0, 0) .
2. ∀ u, v ∈ W, u + v ∈ W ;
Sendo u = (0, x1, y1, z1, t1) e v = (0, x2, y2, z2, t2), então:
30
u + v = (0, x1, y1, z1, t1) + (0, x2, y2, z2, t2)
= (0, x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, t1 + t2)
Portanto, u + v ∈ W.
3. ∀ α ∈ R e ∀ u ∈ W, então α · u ∈ W.
Sendo ∀ α ∈ R e u = (0, x1, y1, z1, t1), então:
α · u = α (0, x1, y1, z1, t1)
= (0, αx1, αy1, αz1, αt1)
Portanto, α · u ∈ W.
Logo, W é um subespaço de V .
Exemplo 2.17: Seja, V = M (3, 3) e W o subconjunto das matrizes triangulares superiores.
Verifique se W é um subespaço vetorial de V .
A demonstração é dada por:
1. 0 ∈ W ;
Sendo uma matriz triangular superior de ordem 3 dada por


a11 a12 a13
0 a22 a23
0 0 a33

 , então ∃ 0 ∈
W, tal que 0 =


0 0 0
0 0 0
0 0 0

 .
2. ∀ A,B ∈ W, A + B ∈ W ;
Sendo A =


a11 a12 a13
0 a22 a23
0 0 a33

 e B =


b11 b12 b13
0 b22 b23
0 0 b33

 , então:
A + B =


a11 a12 a13
0 a22 a23
0 0 a33

 +


b11 b12 b13
0 b22 b23
0 0 b33


=


a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13
0 a22 + b22 a23 + b23
0 0 a33 + b33


Portanto, A + B ∈ W.
3. ∀ α ∈ R e ∀ A ∈ W, então α ·A ∈ W.
31
Sendo ∀ α ∈ R e A =


a11 a12 a13
0 a22 a23
0 0 a33

, então:
α · u = α


a11 a12 a13
0 a22 a23
0 0 a33


=


αa11 αa12 αa13
0 αa22 αa23
0 0 αa33


Portanto, α ·A ∈ W.
Logo, W é um subespaço de V .
Exemplo 2.18: Seja o espaço vetorial V = R2 e W =
{(
x, x2
)
; xi ∈ R
}
, verifique se W é um
subespaço vetorial de V .
A demonstração é dada por:
1. 0 ∈ W ;
∃ 0 ∈ W, tal que 0 = (0, 02) = (0, 0) .
2. ∀ u, v ∈ W, u + v ∈ W ;
Sendo u =
(
x1, x
2
1
)
e v =
(
x2, x
2
2
)
, então:
u + v =
(
x1, x
2
1
)
+
(
x2, x
2
2
)
=
(
x1 + x2, x21 + x
2
2
)
Como (x1 + x2)
2 = x21 + 2x1x2 + x
2
2 6= x21 + x22.
Portanto, u + v /∈ W.
Logo, W não é um subespaço de V .
Exemplo 2.19: Seja, V = R2 e W =
{
(x, y) ∈ R2; y = 2x}, mostre que W é um subespaço
vetorial de V .
A demonstração é dada por:
1. 0 ∈ W ;
Sendo y = 2x, então u = (x, 2x) então ∃ 0 ∈ W, tal que 0 = (0, 0) = (0, 2 · 0) = (0, 0) .
2. ∀ u, v ∈ W, u + v ∈ W ;
32
Sendo u = (x1, 2x1) e v = (x2, 2x2), então:
u + v = (x1, 2x1) + (x2, 2x2)
= (x1 + x2, 2x1 + 2x2)
= (x1 + x2, 2 (x1 + x2))
Portanto, u + v ∈ W.
3. ∀ α ∈ R e ∀ u ∈ W, então α · u ∈ W.
Sendo ∀ α ∈ R e u = (x1, 2x1), então:
α · u = α (x1, 2x1)
= (αx1, 2αx1)
= (αx1, 2 (αx1))
Portanto, α · u ∈ W.
Logo, W é um subespaço de V .
Exemplo 2.20: Seja o espaço vetorial V = R2 e S =
{
(x, y) ∈ R2; y = 4− 2x}, verifique se S é
um subespaço vetorial de V .
A demonstração é dada por:
1. 0 ∈ W ;
Sendo y = 4−2x, então u = (x, 4− 2x) então @0 ∈ W, tal que 0 = (0, 4− 2 · 0) = (0, 4) 6= (0, 0)
Logo, S não é um subespaço de V .
Exemplo 2.21: Seja o espaço vetorial V = R3 e W =
{
(x, y, z) ∈ R3; ax + by + cz = 0}, verifique
se W é um subespaço vetorial de V .
A demonstração é dada por:
1. 0 ∈ W ;
∃ 0 ∈ W, tal que 0 = (0, 0, 0), pois
a · 0 + b · 0 + c · 0 = 0
0 = 0
2. ∀ u, v ∈ W, u + v ∈ W ;
33
Sendo u = (x1, y1, z1) ∈ W =⇒ ax1+by1+cz1 = 0 e v = (x2, y2, z2) ∈ W =⇒ ax2+by2+cz2 =
0, então:
u + v = (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)
= (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
assim,
a (x1 + x2) + b (y1 + y2) + c (z1 + z2) = 0
ax1 + ax2 + by1 + by2 + cz1 + cz2 = 0
ax1 + by1 + cz1 + ax2 + by2 + cz2 = 0
(ax1 + by1 + cz1) + (ax2 + by2 + cz2) = 0
Portanto, u + v ∈ W.
3. ∀ α ∈ R e ∀ u ∈ W, então α · u ∈ W.
Sendo ∀ α ∈ R e u = (x1, y1, z1) ∈ W =⇒ ax1 + by1 + cz1 = 0, então:
α · u = α (x1, y1, z1)
= (αx1, αy1, αz1)
assim,
a (αx1) + b (αy1) + c (αz1) = 0
aαx1 + bαy1 + cαz1 = 0
α (ax1) + α (by1) + α (cz1) = 0
α (ax1 + by1 + cz1) = 0
Portanto, α · u ∈ W.
Logo, W é um subespaço de V .
Exerćıcios Resolvidos
29. Seja o espaço vetorial V = R2, verifique se S =
{
(x, y) ∈ R2; x > 0} é um subespaço de V .
Resolução:
A demonstração é dada por:
1. 0 ∈ W ;
∃ 0 ∈ W, tal que 0 = (0, 0), pois
34
x > 0
2. ∀ u, v ∈ W, u + v ∈ W ;
Sendo u = (x1, y1) ∈ W =⇒ x1 > 0 e v = (x2, y2) ∈ W =⇒ x2 > 0, então:
u + v = (x1, y1) + (x2, y2)
= (x1 + x2, y1 + y2)
assim,
x1 + x2 > 0
Portanto, u + v ∈ W.
3. ∀ α ∈ R e ∀ u ∈ W, então α · u ∈ W.
Sendo ∀ α ∈ R e u = (x1, y1) ∈ W =⇒ x1 > 0, então:
α · u = α (x1, y1)
= (αx1, αy1)
assim,
αx1 > 0
apenas quando α > 0, então, α · u ∈ W apenas quando α > 0 e não para ∀ α ∈ R.
Portanto, α · u /∈ W .
Logo, W não é um subespaço de V .
30. Dado o exemplo 2.21, demonstre que W é um subespaço de V utilizando uma outra forma.
Resolução:
Lembrando que o subespaço do exemplo 2.21 é dado por W =
{
(x, y, z) ∈ R3; ax + by + cz = 0},
uma outra postura para sua resolução é fazer:
ax + by + cz = 0
ax + by = −cz
z = − (ax + by)
c
assim,
35
W =
{
(x, y, z) ∈ R3; z = − (ax + by)
c
, c 6= 0
}
então:
1. 0 ∈ W ;
Sendo u =
(
x1, y1,− (ax1 + by1)
c
)
então ∃ 0 ∈ W, tal que 0 = (0, 0, 0), pois
− (a · 0 + b · 0)
c
= 0
0 = 0
2. ∀ u, v ∈ W, u + v ∈ W ;
Sendo u =
(
x1, y1,− (ax1 + by1)
c
)
e v =
(
x2, y2,− (ax2 + by2)
c
)
, então:
u + v =
(
x1, y1,− (ax1 + by1)
c
)
+
(
x2, y2,− (ax2 + by2)
c
)
=
(
x1 + x2, y1 + y2,−ax1 + by1
c
− ax2 + by2
c
)
=
(
x1 + x2, y1 + y2,−ax1 + by1 + ax2 + by2
c
)
=
(
x1 + x2, y1 + y2,−ax1 + ax2 + by1 + by2
c
)
=
(
x1 + x2, y1 + y2,−a (x1 + x2) + b (y1 + y2)
c
)
Portanto, u + v ∈ W.
3. ∀ α ∈ R e ∀ u ∈ W, então α · u ∈ W.
Sendo ∀ α ∈ R e u =
(
x1, y1,− (ax1 + by1)
c
)
, então:
α · u = α
(
x1, y1,− (ax1 + by1)
c
)
=
(
αx1, αy1,−αax1 + by1
c
)
=
(
αx1, αy1,−αax1 + αby1
c
)
=
(
αx1, αy1,−a (αx1) + b (αy1)
c
)
Portanto, α · u ∈ W.
Logo, W é um subespaço de V .
31. Mostre que o subconjunto W =
{
(x, y, z, t) ∈ R4;x + y = 0 e z − t = 0}é subespaço do espaço
vetorial de R4.
36
Resolução:
Sendo, x + y = 0 e z − t = 0, temos:
y = −x e z = t
então, W =
{
(x,−x, z, z) ∈ R4}
assim a demostração é dada por:
1. 0 ∈ W ;
Sendo u = (x1,−x1, z1, z1) então ∃ 0 ∈ W, tal que 0 = (0,−0, 0, 0) = (0, 0, 0, 0) .
2. ∀ u, v ∈ W, u + v ∈ W ;
Sendo u = (x1,−x1, z1, z1) e v = (x2,−x2, z2, z2), então:
u + v = (x1,−x1, z1, z1) + (x2,−x2, z2, z2)
= (x1 + x2,−x1 − x2, z1 + z2, z1 + z2)
= (x1 + x2,− (x1 + x2) , z1 + z2, z1 + z2)
Portanto, u + v ∈ W.
3. ∀ α ∈ R e ∀ u ∈ W, então α · u ∈ W.
Sendo ∀ α ∈ R e u = (x1,−x1, z1, z1), então:
α · u = α (x1,−x1, z1, z1)
= (αx1,−αx1, αz1, αz1)
= (αx1,− (αx1) , αz1, αz1)
Portanto, α · u ∈ W.
Logo, W é um subespaço de V .
Exerćıcios Propostos
73. Verifique se os subconjuntos de R3 são subespaços.
a) A =
{
(a, b, c) ∈ R3; c = 2} ;
b) B =
{
(a, b, c) ∈ R3; c = a + b} ;
c) C =
{
(a, b, c) ∈ R3; c > 0} ;
d) D =
{
(a, b, c) ∈ R3; a = c = 0} ;
37
e) E =
{
(a, b, c) ∈ R3; a = −c} ;
f) F =
{
(a, b, c) ∈ R3; b = 2a− 1} ;
74. Verifique quais dos subconjuntos seguintes do espaço vetorial M (2, 3) são subespaços.
a) W =
{[
a b c
d 0 0
]
: a, b, c, d ∈ R e b = a + c
}
;
b)X =
{[
a b c
d 0 0
]
: a, b, c, d ∈ R e c > 0
}
;
c) Y =
{[
a b c
d e f
]
: a, b, c, d, e, f ∈ R , a = −2c e f = 2e + d
}
;
75. Quais dos subconjuntos de P2 a seguir são subespaços?
a) G =
{
at2 + bt + c ∈ P2; a = 2c
}
;
b) H =
{
at2 + bt + c ∈ P2; b = 2c− 1
}
;
c) J =
{
at2 + bt + c ∈ P2; c = −1
}
;
76. Verifique se o subconjunto U =
{
(x, y, z, t) ∈ R4; 2x + y − t = 0 e z = 0}é um subespaço do
R4.
77. Seja S o subespaço de M (2, 2) definido por S =
{[
2a a + 2b
0 a− b
]
: a, b ∈ R
}
determine se:
a)
[
0 −2
0 1
]
∈ S b)
[
0 2
3 1
]
∈ S c)
[
2 3
0 0
]
∈ S d)
[
2 2
0 2
]
∈ S
78. Seja, V = R4, verifique se W =
{
(x, y, z, 0) ∈ R4; 2x + y + z = 1} é um subespaço de V .
2.2.3. Combinação Linear
Seja S um conjunto de vetores num espaço vetorial V , S = {v1, v2, v3, . . . , vn}, então podemos
obter um vetor v ∈ V , tal que:
v = a1v1 + a2v2 + a3v3 + . . . + anvn
sendo a1, a2, a3, . . . , an ∈ R.
Todos os vetores gerados pelos vetores de S formam um subconjunto W chamado de sube-
spaço gerado. O subespaço gerado por um subconjunto não vazio S de um espaço vetorial V é o conjunto
de todas as combinações lineares dos vetores em S.
Exemplo 2.22: Seja, V = R3 e S ∈ V , verifique se o vetor v = (2, 1, 5) é combinação linear dos
vetores em S = {(1, 2, 1) , (1, 0, 2) , (1, 1, 0)}.
38
Para que v seja uma combinação linear de S é necessário que:
(2, 1, 5) = α (1, 2, 1) + β (1, 0, 2) + γ (1, 1, 0)
(2, 1, 5) = (α, 2α, α) + (β, 0, 2β) + (γ, γ, 0)
(2, 1, 5) = (α + β + γ, 2α + γ, α + 2β)
Assim,



α + β + γ = 2
2α + γ = 1
α + 2β = 5
obtendo a matriz ampliada do sistema, temos:


1 1 1 2
2 0 1 1
1 2 0 5


obtendo a matriz do sistema na forma escada,
L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − L1

1 1 1 2
0 −2 −1 −3
0 1 −1 3


≈
L2 ↔ L3


1 1 1 2
0 1 −1 3
0 −2 −1 −3


≈
L1 → L1 − L2
L3 → L3 + 2L2

1 0 2 −1
0 1 −1 3
0 0 −3 3


≈
L3 → −13L3


1 0 2 −1
0 1 −1 3
0 0 1 −1


≈
L1 → L1 − 2L3
L2 → L2 + L3

1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 −1


então, α = 1, β = 2 e γ = −1, ou seja,
(2, 1, 5) = 1 (1, 2, 1) + 2 (1, 0, 2) + (−1) (1, 1, 0)
(2, 1, 5) = (1, 2, 1) + 2 (1, 0, 2)− (1, 1, 0)
Portanto, v é uma combinação linear dos vetores em S.
Exemplo 2.23: Considere o conjunto S de matrizes M (2, 3),
S =
{[
1 0 0
0 0 0
]
,
[
0 1 0
0 0 0
]
,
[
0 0 0
0 1 0
]
,
[
0 0 0
0 0 1
]}
verifique se A =
[
2 −1 0
0 4 5
]
é combinação linear de S.
Para que A seja combinação linear de S é necessário que:
39
[
2 −1 0
0 4 5
]
= a
[
1 0 0
0 0 0
]
+ b
[
0 1 0
0 0 0
]
+ c
[
0 0 0
0 1 0
]
+ d
[
0 0 0
0 0 1
]
[
2 −1 0
0 4 5
]
=
[
a 0 0
0 0 0
]
+
[
0 b 0
0 0 0
]
+
[
0 0 0
0 c 0
]
+
[
0 0 0
0 0 d
]
[
2 −1 0
0 4 5
]
=
[
a b 0
0 c d
]
pela condição de igualdade entre matrizes temos:
a = 2; b = −1; c = 4; d = 5
Portanto, A é combinação linear de S.
Exemplo 2.24: Seja, V = P2 e P =
{
v1 = 2t2 + t + 2, v2 = t2 − 2t, v3 = 5t2 − 5t + 2, v4 = −t2 − 3t− 2
}
,
determine se o vetor u = t2 + t + 2 é combinação linear de P .
Para u ser combinação linear de P é necessário que:
u = av1 + bv2 + cv3 + dv4
t2 + t + 2 = a
(
2t2 + t + 2
)
+ b
(
t2 − 2t) + c (5t2 − 5t + 2) + d (−t2 − 3t− 2)
t2 + t + 2 = 2at2 + at + 2a + bt2 − 2bt + 5ct2 − 5ct + 2c− dt2 − 3dt− 2d
t2 + t + 2 = 2at2 + bt2 + 5ct2 − dt2 + at− 2bt− 5ct− 3dt + 2a + 2c− 2d
t2 + t + 2 = (2a + b + 5c− d) t2 + (a− 2b− 5c− 3d) t + (2a + 2c− 2d)
pela igualdade entre polinômios temos:
2a + b + 5c− d = 1
a− 2b− 5c− 3d = 1
2a + 2c− 2d = 2
Obtendo a matriz ampliada do sistema,


2 1 5 −1 1
1 −2 −5 −3 1
2 0 2 −2 2


então,
L3 → 12L3


2 1 5 −1 1
1 −2 −5 −3 1
1 0 1 −1 1


≈
L1 ↔ L3


1 0 1 −1 1
1 −2 −5 −3 1
2 1 5 −1 1


≈
L2 → L2 − L1
L3 → L3 − 2L1

1 0 0 −1 1
0 −2 −6 −2 0
0 1 3 1 −1


40
≈
L2 ↔ L3


1 0 0 −1 1
0 1 3 1 −1
0 −2 −6 −2 0


≈
L3 → L3 + 2L2


1 0 0 −1 1
0 1 5 1 −1
0 0 0 0 2


assim, percebemos que o sistema é incompat́ıvel.
Portanto, u não é combinação linear de {v1, v2, v3, v4}.
Exemplo 2.25: Seja, V = R2, determine o valor de α e β para que o vetor u ∈ W seja combinação
linear dos vetores em S = {(1, 0) , (1, 2)}.
Admitindo u = (x, y) ∈ W , temos:
(x, y) = α (1, 0) + β (1, 2)
(x, y) = (α, 0) + (β, 2β)
(x, y) = (α + β, 2β)
assim,
{
α + β = x
2β = y
2β = y e α + β = x
β =
1
2
y α +
1
2
y = x
α = x− 1
2
y
α =
2x− y
2
então,
(x, y) = α (1, 0) + β (1, 2)
(x, y) =
(
2x− y
2
)
(1, 0) +
1
2
y (1, 2)
Portanto, α =
2x− y
2
e β =
1
2
y.
Exerćıcios Resolvidos
32. Seja, V = R3 e S = {u, v}, escreva o vetor w = (4, 1, 4) como sendo combinação linear de u
e v, sabendo que u = (1,−1, 2) e v = (2, 3, 0).
Para que w seja combinação linear de S é necessário que:
41
w = a · u + b · v
(4, 1, 4) = a (1,−1, 2) + b (2, 3, 0)
(4, 1, 4) = (a,−a, 2a) + (2b, 3b, 0)
(4, 1, 4) = (a + 2b,−a + 3b, 2a)
pela igualdade entre vetores, temos:



a + 2b = 4
−a + 3b = 1
2a = 4
assim,
2a = 4 ; a + 2b = 4 ; −a + 3b = 1
a = 2 2 + 2b = 4 −2 + 3 · 1 = 1
2b = 2 −2 + 3 = 1
b = 1 1 = 1
então,
w = a · u + b · v
w = 2 · u + 1 · v
w = 2u + v
Portanto, w é combinação linear de u e v e pode ser escrito como sendo w = 2u + v.
33. Sendo S = {(1, 0, 2) , (0, 0, 1) , (1,−1, 1)}, escreva o vetor (k,−2, 7) como combinação linear de
S.
Para que o vetor seja combinação linear é necessário que:
(k,−2, 7) = x (1, 0, 2) + y (0, 0, 1) + z (1,−1, 1)
(k,−2, 7) = (x, 0, 2x) + (0, 0, y) + (z,−z, z)
(k,−2, 7) = (x + z,−z, 2x + y + z)
assim,



x + z = k
−z = −2
2x + y + z = 7
≈


1 0 1 k
0 0 −1 −2
2 1 1 7


então,
42
L2 ↔ L3


1 0 1 k
2 1 1 7
0 0 −1 −2


≈
L2 → L2 − 2L1
L3 → −L3

1 0 1 k
0 1 −1 7− 2k
0 0 1 2


≈
L1 → L1 − L3
L2 → L2 + L3

1 0 0 k − 2
0 1 0 9− 2k
0 0 1 2


Portanto,
(k,−2, 7) = x (1, 0, 2) + y (0, 0, 1) + z (1,−1, 1)
(k,−2, 7) = (k − 2) (1, 0, 2) + (9− 2k) (0, 0, 1) + 2 (1,−1, 1)
34. Determine o valor de x para que o vetor v = (−4, x, 8) seja combinação linear dos vetores
v1 = (1, 2,−3) e v2 = (−1, 3, 4).
Fazendo,
v = αv1 + βv2
(3, x, 2) = α (1, 2, 3) + β (−1, 3, 4)
(3, x, 2) = (α, 2α, 3α) + (−β, 3β, 4β)
(3, x, 2) = (α− β, 2α + 3β, 3α + 4β)
pela igualdade de vetores,



α− β = 3
2α + 3β = x
3α + 4β = 2
≈


1 −1 3
2 3 x
3 4 2


assim,
L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − 3L1

1 −1 3
0 5 x− 6
0 7 −7


≈
L2 ↔ L3


1 −1 3
0 7 −7
0 5 x− 6


≈
L2 → 17L2


1 −1 3
0 1 −1
0 5 x− 6


≈
L3 → L3 − 5L2


1 −1 3
0 1 −1
0 0 x− 1


então, para que o sistema seja compat́ıvel e determinado é necessário que:
x− 1 = 0
x = 1
Portanto, para que v seja combinação linear de v1 e v2, x = 1.
43
35. Seja, V = R3 e W um subespaço de V gerado pelos vetores do subconjunto S = {(1,−1, 2) , (3, 1,−2)},
determine o subespaço W .
Admitindo v = (x, y, z) ∈ W , então v é combinação linear de S, logo
(x, y, z) = α (1,−1, 2) + β (3, 1,−2)
(x, y, z) = (α,−α, 2α) + (3β, β,−2β)
(x, y, z) = (α + 3β,−α + β, 2α− 2β)
assim,



α + 3β = x
−α + β = y
2α− 2β = z
≈


1 3 x
−1 1 y
2 −2 z


L2 → L2 + L1
L3 → L3 − 2L1

1 3 x
0 4 x + y
0 −8 z − 2x


≈
L3 → L3 + 2L2


1 3 x
0 4 x + y
0 0 z + 2y


Para que o sistema seja compat́ıvel e determinado é necessário que:
z + 2y = 0
z = −2y
Portanto,
W =
{
(x, y, z) ∈ R3; z = −2y} , ou W = {(x, y,−2y) ; x, y ∈ R}
36. Seja o espaço vetorial V = R3, determine o subespaço gerado pelo conjunto S = {(1, 2, 3)}
Admitindo, v = (x, y, z) ∈ W tal que,
(x, y, z) = α (1, 2, 3)
(x, y, z) = (α, 2α, 3α)
assim,
α = x ; y = 2α ; z = 3α
y = 2x z = 3x
Portanto,
W =
{
(x, y, z) ∈ R3; y = 2x e z = 3x} ou W = {(x, 2x, 3x) ; x ∈ R}
44
37. Seja V = M (2, 2) e o subconjunto S =
{[
1 −2
0 2
]
,
[
2 −1
1 3
]}
, determine o subespaço
W gerado por S.
Admitindo, A =
[
a b
c d
]
∈ W ,
[
a b
c d
]
= x
[
1 −2
0 2
]
+ y
[
2 −1
1 3
]
[
a b
c d
]
=
[
x −2x
0 2x
]
+
[
2y −y
y 3y
]
[
a bc d
]
=
[
x + 2y −2x− y
y 2x + 3y
]
assim,



x + 2y = a
−2x− y = b
y = c
2x + 3y = d
≈


1 2 a
−2 −1 b
0 1 c
2 3 d


então,
L2 ↔ L3


1 2 a
0 1 c
−2 −1 b
2 3 d


≈
L3 → L3 + 2L1
L4 → L4 − 2L1

1 2 a
0 1 c
0 3 b + 2a
0 −1 d− 2a


≈
L3 → L3 − 3L2
L4 → L4 + L2

1 2 a
0 1 c
0 0 b + 2a− 3c
0 0 d− 2a + c


logo,
b + 2a− 3c = 0 d− 2a + c = 0
b = 3c− 2a d = 2a− c
Portanto,
W =
{[
a b
c d
]
; a, b, c, d ∈ R, b = 3c− 2a e d = 2a− c
}
ou W =
{[
a 3c− 2a
c 2a− c
]
; a, c ∈ R
}
Exerćıcios Propostos
79. Considere o subespaço de R4 e S = [(1, 1,−2, 4) , (1, 1,−1, 2) , (1, 4,−4, 8)] determine se,
a) o vetor
(
2
3
, 1,−1, 2
)
é combinação linear de S;
b) o vetor (0, 0, 1, 1) é combinação linear de S.
45
80. Seja W o subespaço de M (3, 2) gerado por S =





0 0
1 1
0 0

 ,


0 1
0 −1
1 0

 ,


0 1
0 0
0 0





, deter-
mine se o vetor


0 2
3 4
5 0

 pertence a W .
81. Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,−1, 0, 0) , v2 = (2, 0, 1, 1) , v3 =
(−2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0,−1). Determine se o vetor v = (2,−3, 2, 2) é uma combinação linear de v1, v2, v3
e v4.
82. Considereando os vetores v1 = (1, 0, 0, 1) , v2 = (1,−1, 0, 0) e v3 = (0, 1, 2, 1) do R4, determine
quais dos vetores abaixo é combinação linear de [v1, v2, v3].
a) (−1, 4, 2, 2) b) (1, 2, 0, 1)
c) (−1, 1, 4, 3) d) (0, 1, 1, 0)
83. Dado os vetores A1 =
[
1 −1
0 3
]
, A2 =
[
1 1
0 2
]
e A3 =
[
2 2
−1 1
]
, determine se os
vetores a seguir são combinação linear de [A1, A2, A3].
a)
[
5 1
−1 9
]
b)
[
−3 −1
3 2
]
c)
[
3 −2
3 2
]
d)
[
1 0
2 1
]
84. Considere os vetores do conjunto de polinômios de grau dois, S =
[(
t2 − t) , (t2 − 2t + 1) , (−t2 + 1)],
determine se os poliñomios são combinação linear de S.
a) p (t) = 3t2 − 3t + 1 b) p (t) = t2 − t + 1
c) p (t) = t + 1 d) p (t) = 2t2 − t− 1
85. Seja V = R3. Determine o subespaço gerado pelo conjunto S = {(1,−2,−1) , (2, 1, 1)}.
86. Determine o valor de a para que o vetor (5, 9, a) seja combinação linear dos vetores [(1, 2,−1) , (2, 3,−2)].
87. Determine o valor de x para que o vetor (−2, x,−2x) seja combinação linear dos vetores
[(−3, 1, 2) , (−1, 0,−4)].
88. Determine o valor de y para que o vetor (−y, 2,−2) seja combinação linear dos vetores
[(5, 1, 4) , (−1, 0,−4)].
89. Seja V = R3. Determine o subespaço gerado pelo conjunto S = {(1, 2, 0) , (−1, 0, 1)}.
90. Seja V = M (2, 2). Represente o vetor
[
−1 12
−5 −6
]
como combinação linear do conjunto
S =
{[
1 0
0 2
]
,
[
1 1
0 0
]
,
[
0 3
−1 −2
]}
.
46
Respostas dos Exerćıcios Propostos
73. Os conjuntos B, D e E são subespaços de R3.
74. Os conjuntos W e Y são subespaços de M (2, 3).
75. O conjunto G é um subespaço de P2.
76. O conjunto U é um subespaço de R4.
77. item a) e c)
78. O conjunto W não é um subespaço de R4.
79. Apenas o item a)
80. O vetor não pertence ao conjunto W .
81. O vetor v é uma combinação linear de v1, v2, v3 e v4, v = 8 · v1 − 12v2 +
5
2
v3 + 0·
84. a) Não b) Não c) Não d) Sim
85. W =
{
(x, y, z) ∈ R3; x + 3y − 5z = 0}
86. a = −5
87. x =
2
3
88. y = −15
2
89. W =
{
(x, y, z) ∈ R3; 2x− 2y − 2z = 0}
90.
[
−1 12
−5 −6
]
= 2
[
1 0
0 2
]
− 3
[
1 1
0 0
]
+ 5
[
0 3
−1 −2
]
47