AP3 - GA - 2016 1-Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP3 – Geometria Anal´ıtica I – 18/06/2016
Considere os pontos A = (−2, 1) e B = (2, 3) do plano para responder as questo˜es 1 e 2.
Questa˜o 1 (1,5 ponto): Encontre as equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa por A e B e
fac¸a um esboc¸o da reta r.
OBS.: Na˜o se esquec¸am de nomear os eixos coordenados.
Questa˜o 2 (1,0 ponto): Encontre a equac¸a˜o cartesiana da reta s que e´ a paralela a` reta r e passa
por C = (1, 1).
Soluc¸a˜o:
(1) Como a reta r passa pelos pontos A e B temos que
−→
AB = (4, 2) ‖ r. Se (4, 2) ‖ r e
A = (−2, 1) ∈ r, enta˜o
r :
{
x = 4t− 2
y = 2t+ 1 ; t ∈ R
sa˜o equac¸o˜es parame´tricas da reta r.
O gra´fico da reta r esta´ na figura abaixo:
Figura 1: Reta r que passa pelos pontos A e B.
(2) Notemos primeiro que, como o vetor (4, 2) e´ paralelo a` reta r, (4, 2) sera´ paralelo a` reta s. Para
encontrar a equac¸a˜o cartesiana de s, note que (2,−4) ⊥ s e, portanto, s possui a seguinte forma:
2x− 4y = d,
onde d e´ um nu´mero real. Como o ponto C = (1, 1) pertence a` reta s, 2 ·1−4 ·1 = d⇐⇒ d = −2.
Portanto, 2x− 4y = −2, ou equivalentemente, x− 2y = −1 e´ a equac¸a˜o cartesiana de s.
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Questa˜o 3 (2,5 pontos): Sejam P = (1,−6) e r : y = 32x− 2. Calcule a distaˆncia de P a` reta
r e o ponto Q ∈ r tal que d(P, r) = d(P,Q).
Soluc¸a˜o:
(3) E´ fa´cil ver que a equac¸a˜o cartesiana da reta r e´ 3x− 2y = 4 e as equac¸o˜es parame´tricas sa˜o
r :
{
x = 2t
y = 3t− 2 ; t ∈ R.
Seja s a reta que passa por P e e´ perpendicular a` reta r. Note que Q = r ∩ s.
Como s ⊥ r e (3,−2) ⊥ r, enta˜o (2, 3) ⊥ s. Logo, s e´ da forma 2x+3y = d, onde d e´ um nu´mero
real. Para encontrar d, utilizaremos o ponto P que pertence a s: 2 · 1+ 3 · (−6) = d⇐⇒ d = −16.
Portanto, 2x+ 3y = −16 e´ a equac¸a˜o cartesiana de r.
Resolvendo o sistema {
3x− 2y = 4
2x+ 3y = −16 ,
obtemos (x, y) = (−20/13,−56/13). Logo, Q = (−20/13,−56/13).
Assim,
d(P,Q) = 11√
13
.
Considere a coˆnica C : 9x2 − 18x+ 25y2 − 50y = 191 para responder as questo˜es 4 e 5.
Questa˜o 4 (2,0 pontos): Classifique a coˆnica C e determine centro, focos(apenas um foco se for
o caso), ve´rtices(focais e imagina´rios se for o caso, ou apenas um ve´rtice se for o caso), reta focal,
reta na˜o focal, excentricidade e ass´ıntotas(se for o caso).
Questa˜o 5 (1,0 pontos): Fac¸a um esboc¸o da coˆnica C contendo todos os elementos encontrados
no item anterior.
OBS.: Na˜o se esquec¸am de nomear os eixos coordenados.
Soluc¸a˜o:
(5) Completando os quadrados obtemos:
9x2 − 18x+ 25y2 − 50y = 191
⇔ 9(x2 − 2x+ 1) + 25(y2 − 2y + 1) = 191 + 9 + 25
⇔ 9(x− 1)2 + 25(y − 1)2 = 225
⇔ (x− 1)
2
25 +
(y − 1)2
9 = 1
Logo, a equac¸a˜o representa uma elipse. Assim,
• a = 5, b = 3 e c = √a2 − b2 = √52 − 32 = √16 = 4;
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• excentricidade: e = 4/5;
• centro: C = (1, 1);
• reta focal: y = 1;
• ve´rtices: (1± 5, 1)⇒ A1 = (−4, 1) e A2 = (6, 1);
• focos: (1± 4, 1)⇒ F1 = (−3, 1) e F2 = (5, 1);
• reta na˜o-focal: x = 1;
• ve´rtices na˜o focais: (1, 1± 3)⇒ B1 = (1,−2) e A2 = (1, 4).
(6) Veja figura 2.
Figura 2: Elipse da questa˜o 4
Questa˜o 6 (2,0 pontos): Considere a regia˜o do plano dada pelo sistema de desigualdades
R :
{
y + 1 > x
(y − 1)2 ≤ (x−1)2
.
Fac¸a um esboc¸o detalhado de R, determinando os pontos de intersec¸a˜o entre os trac¸os que limitam
a regia˜o.
Soluc¸a˜o:
Queremos encontrar a regia˜o R dada pela intersec¸a˜o das regio˜es R1 e R2, onde
R1 : y + 1 > x
R2 : (y − 1)2 ≤ (x− 1)2 .
A regia˜o R1 e´ limitada pela curva C1 : x− y = 1, que e´ uma reta crescente que passa pelos pontos
(1, 0) e (0,−1). Esta reta divide o plano em duas partes, sendo uma delas a regia˜o R1. Para
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descobrir qual regia˜o e´ a procurada, vamos substituir as coordenadas de um ponto pertencente a
umas das regio˜es para verificar se ele pertence R1. Vejamos, enta˜o, se o ponto (0, 0) pertence a
regia˜o R1:
0 + 1 > 0⇐⇒ 1 > 0.
Como 1 > 0, a regia˜o que procuramos e´ a que conte´m (0, 0), ou seja, a que esta´ acima da curva C1.
A regia˜o R2 e´ limitada pela curva C2 : (y − 1)2 = (x−1)2 , que e´ uma para´bola com ve´rtice no ponto
(1, 1), reta focal paralela ao eixo OX e concavidade voltada para a direta. E´ fa´cil ver que C2 corta
o eixo OX no ponto (3, 0).
A curva C2 divide o plano em duas regio˜es, sendo uma contendo o ponto (2, 1) e a outra que na˜o
conte´m. Vejamos enta˜o se a regia˜o R2 conte´m tal ponto. Substituindo as coordenadas (2, 1) na
inequac¸a˜o (y − 1)2 ≤ (x−1)2 obtemos:
(1− 1)2 ≤ (2− 1)2 ⇐⇒ 0 ≤
1
2 .
Como 0 ≤ 12 , conclu´ımos que o ponto (2, 1) pertence a regia˜o procurada.
Na figura abaixo, destacamos em azul mais escuro a regia˜o R dada pela intersec¸a˜o das regio˜es R1
e R2.
Figura 3: Regia˜o R.
Para finalizar, precisamos encontrar os pontos de intersec¸a˜o P e Q entre as curvas C1 e C2. Para
isso e´ necessa´rio resolver o seguinte sistema:{
x− y = 1
(y − 1)2 = (x−1)2 .
Resolvendo o sistema encontramos os pontos P = (3/2, 1/2) e Q = (3, 2), que esta˜o marcados na
figura acima. Lembrando que estes pontos na˜o pertencem a` regia˜o R.
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