Apostila 2

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FÍSICA - ELETRICIDADE
UNIDADE 2 - POTENCIAL ELÉTRICO
Evelin da Luz Garcia
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Introdução
Caro, aluno, nesta unidade você aprenderá como utilizar o conceito de energia na eletricidade. Para tal, iremos
relacionar os fenômenos eletrostáticos com o potencial elétrico; isto permitirá o melhor entendimento de
algumas aplicações que você provavelmente percebe no seu dia-a-dia. Mas, antes disso, você já se perguntou
como uma carga elétrica se movimenta no espaço? E qual a relação do trabalho com a energia da carga elétrica?
Estenderemos nossa discussão para o estudo dos capacitores. Você perceberá que eles são dispositivos que
armazenam carga. A física dos capacitores pode ser aplicada a várias situações que envolvem campos elétricos
por exemplo, o campo elétrico existente na atmosfera da Terra que é modelado como um gigantesco capacitor
esférico que se descarrega parcialmente através de relâmpagos. Também veremos que a capacidade de
armazenamento de carga dos capacitores é medida a partir da capacitância.
Você saberá como é constituído um capacitor e como ele se comporta quando instalado no circuito, em série ou
em paralelo. Quais benefícios eles trazem para o circuito? Qual a importância de associá-los? Eles estão em
diversos equipamentos que usamos no cotidiano e em geral não sabemos das propriedades fundamentais que
eles carregam. O estudo dos capacitores fornece uma nova maneira de interpretarmos a energia potencial
elétrica além de ser um dispositivo possível de armazenar cargas elétricas. De acordo com Hewitt (2015),
entende-se que a energia armazenada em um capacitor carregado está relacionada ao campo elétrico existente
no espaço entre os condutores. Outro ponto a ser destacado é que a energia potencial elétrica é armazenada no
próprio campo elétrico, sendo definida de acordo com sua localização no interior do mesmo. E se inserirmos um
material isolante entre as placas condutoras? O que mudará no dispositivo? Qual seria o objetivo de inserir um
material isolante? Para encontrar as respostas das questões acima, faremos um estudo desta unidade.
2.1 Potencial elétrico
Conforme expõe Jewett e Serway (2014), uma força elétrica conservativa F, dada pela expressão, , atua na
carga elétrica que, por sua vez, cria um campo elétrico devido à distribuição de outras cargas ao seu redor. Se a
carga, que está imersa no campo elétrico, sofrer um pequeno deslocamento no espaço o campo E realizará um
trabalho sobre a carga, que pode ser escrito como:
 (1)
e, em geral, ocorre a alteração na energia potencial do sistema. Conforme apontam Sears e Zemansky (2015),
esta alteração pode ser escrita por uma quantidade:
 (2)
desta forma, para um deslocamento finito da carga de um ponto A para um ponto B, a variação da energia
potencial é:
 (3)
Analisando a equação (1) podemos reescrever a variação na energia potencial elétrica como:
 (4)
e concluiremos que a variação da energia potencial elétrica é igual ao valor negativo do trabalho realizado pelo
campo elétrico E sobre a carga elétrica q. Fazendo uma interpretação sobre a energia potencial elétrica podemos
verificar que quando uma carga é deslocada pelo campo elétrico de uma região com energia potencial mais alta
(Ua) até uma região com energia mais baixa (Ub), o realizado sobre a carga é . Porém, se atrabalho positivo
carga é “empurrada” de um ponto em que a energia potencial é menor (Ua) até um ponto em que a energia
potencial tem valor mais elevado (Ub), o trabalho realizado sobre a carga será negativo. (SEARS; ZEMANSKY,
2015).
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A partir da razão entre a energia potencial e a carga elétrica, obtemos uma nova grandeza, chamada potencial
 ( ):elétrico V
 (5)
sendo sua unidade, pelo SI, o Volt (V).
Ainda de acordo com Sears e Zemansky (2015), um instrumento muito utilizado para medir a diferença de
potencial entre dois pontos é o voltímetro. Eles têm a capacidade de medir diferenças de potencial da ordem de
1μV até 10 V. Um exemplo prático em que podemos ler a diferença de potencial é em pilhas. Ela possui umap
diferença de potencial entre os dois terminais (negativo e positivo).
2.1.1 Potencial elétrico em um campo elétrico
A diferença de potencial elétrico ( ) pode ser escrita em termos do campo elétrico, seja ele variável ou
uniforme, de uma carga que se desloca entre dois pontos A e B:
 (6)
Para visualizar melhor esse conceito, suponha uma carga elétrica positiva entre duas placas planas paralelas
eletrizadas com cargas de sinais opostos, como mostra a figura a seguir. A carga, imersa em um campo elétrico
uniforme, se deslocará para a região de menor potencial elétrico devido a ação da força eletrostática atrativa.
Figura 1 - Carga positiva entre duas placas eletrizadas. O potencial elétrico é proporcional a separação d e ao q 
campo elétrico.
Fonte: TELLES; TELLES, 2015. p. 84
VOCÊ O CONHECE?
Michael Faraday nasceu em 22 de setembro de 1791 em Londres, Inglaterra. Aos 22 anos
começou a trabalhar como assistente de laboratório com Humphry Davy (Royal Society). Junto
de seu professor, viajaram por várias universidades e laboratórios europeus, o que permitiu
que Faraday aprimorasse seus conhecimentos e técnicas experimentais. Teve grande
influência sobre a Química e a Física. Em 1825, Faraday tornou-se membro da Royal Society e
diretor de seu laboratório. Dentre suas contribuições, podemos citar: a descoberta de vários
compostos orgânicos, incluindo o benzeno; a descoberta de que a matéria tem propriedades
magnéticas e que a indução eletromagnética, precursora da geração de energia, teve grandes
contribuições para o estudo da eletroquímica e, sobretudo, da eletrólise.
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Fonte: TELLES; TELLES, 2015. p. 84
Para esta região entre as placas podemos escrever a variação de energia potencial, como:
 (7)
Como o campo E é constante, podemos removê-lo do interior da integral e nos preocuparmos apenas com o
deslocamento , o que nos fornece:
 (8)
Retornando à equação (6) e associando-a com a equação (8), conseguiremos escrever uma expressão geral da
variação da energia elétrica em função do campo E e da carga q:
 (9)
De acordo com a equação (8), “todos os pontos em um campo E uniforme possuem o mesmo valor de potencial
elétrico. ” (SERWAY, 2015, p. 48). À essa distribuição contínua com o mesmo potencial elétrico, chamamos
superfície equipotencial.
2.1.2 Superfícies equipotenciais
Em um campo elétrico existem diversos pontos com o mesmo valor de potencial elétrico V que são
representadas por superfícies equipotenciais. Elas possuem a mesma ideia das linhas de campo elétrico,
entretanto são perpendiculares a E. A figura a seguir mostra diferentes modos das superfícies equipotenciais e
linhas de campo elétrico.
Figura 2 - Superfícies equipotenciais perpendiculares as linhas de campo elétrico para: a) uma carga puntiforme 
positiva; b) duas cargas puntiformes de sinais opostos; c) duas cargas puntiformes de carga positiva.
Fonte: SEARS; ZEMANSKY, 2015. p. 88.
Portanto, conforme explica Jewett e Serway (2014), as superfícies equipotenciais associadas a um campo elétrico
uniforme consistem em uma família de planos paralelos que são todos perpendiculares ao campo.
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As superfícies equipotenciais são compostas por pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico e
nelas o campo elétrico não exerce trabalho líquido sobre uma partícula carregada quando a partícula seW
desloca de um ponto a outro. Entende-se, portanto, que para em qualquer trajetória que ligue dois
pontos e pertencentes a uma superfície equipotencial. (JEWETT; SERWAY, 2014).i j
2.2 Potencial elétrico para distribuições discretas de cargas
De acordo com Jewett e Serway (2014), podemos determinar o campo elétrico de uma carga puntiforme da
seguinte maneira:
utilizando a equação acima, o potencial elétrico V (equação 6) pode ser reescrito da seguinte forma:
 (10)
mas e se nos depararmos com um conjunto de cargas elétricas distribuídas no espaço? Devemos usar um sistema
que calcule o potencial para este tipo de distribuição. Para isso, ainda deacordo com os autores, devemos aplicar
o principio de superposição para o potencial V:
 (11)
isto significa que o potencial de um conjunto de cargas é dado pela soma dos potenciais criados pelas cargas
individuais. Estendendo esta analogia para a energia potencial elétrica U de um sistema de cargas:
 (12)
deslocar uma carga de um ponto a outro requer a realização de um trabalho de um agente externo. Esse trabalho
aparece no sistema em forma de energia potencial U, quando as cargas estão separadas por uma distância .r
(JEWETT; SERWAY, 2014). Para cargas de mesmo sinal, a energia U será positiva e o trabalho será positivo, pois
o agente externo tentará aproximar as duas cargas. Agora, se as cargas tiverem sinais opostos, a energia U será
negativa e o trabalho será negativo, pois o agente externo estará atuando contra a força atrativa das cargas.
2.3 Potencial elétrico para uma distribuição contínua de 
cargas
Na distribuição contínua de cargas, calculamos um elemento diferencial do potencial, chamado em um ponto
P no espaço. Para isso, escolhemos um elemento diferencial de carga e integramos sobre toda a distribuição da
seguinte maneira:
VOCÊ SABIA?
Os mapas topográficos, utilizados pelos alpinistas e excursionistas, são elaborados com a ideia
de superfície equipotencial, pois as linhas de contorno no mapa ligam pontos de mesma altura
e com mesma energia potencial gravitacional. Quando as linhas de contorno possuem
pequenas distâncias entre elas, significa que ocorrem variações de altura muito grandes em
uma mesma distância horizontal. E a distância entre as linhas é maior quando a variação de
altura é pequena (SEARS; ZEMANSKY, 2015).
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 (13)
Você pode perceber que substituímos o somatório da equação (11) por uma integral. Vamos demonstrar abaixo
como obter o potencial V para algumas simetrias.
• Fio de carga: Supondo um fio de comprimento L que possui uma densidade de linear de carga (positiva) 
igual a , como mostra a figura a seguir.
Figura 3 - Haste com densidade linear de carga λ.
Fonte: Elaborada pela autora, 2019.
Para encontrar o potencial elétrico V no ponto P que está a uma distância d da linha, considere um pequeno
elemento diferencial da linha. A distância entre e o ponto P pode ser obtida pelo teorema de Pitágoras 
 e o elemento .
Figura 4 - Encontrando o potencial elétrico V no ponto P.
Fonte: Elaborada pela autora, 2019
Substituindo na equação (13), o potencial de até :
•
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 (14)
• Disco de carga: para uma carga elétrica Q que está distribuída ao redor de um fino anel de raio R, com 
densidade superficial de carga , como mostra a figura a seguir.
Figura 5 - Um disco uniformemente carregado de rio R situado em um plano perpendicular ao eixo x.
Fonte: JEWETT; SERWAY, 2014. p. 57.
Fazendo uso da equação (13) temos:
e, considerando que o elemento de carga e o 
 (15)
Jewett e Serway (2014), apontam para uma estratégia quando estivermos diante de problemas que envolvam o
cálculo do potencial elétrico estabelecido por uma distribuição de carga. Tal estratégia consiste em quatro
etapas. Clique nas abas para conhecê-las.
1) Conceitualização
A primeira etapa é denominada de . Nesta, devemos pensar sobre as prováveis causasconceitualização
individuais ou a carga de distribuição do problema para depois imaginar que tipo de potencial seria usado.
2) Categorização
Na segunda etapa, ocorre a . Será definida se estaremos trabalhando com uma distribuição decategorização
cargas pontuais ou contínuas.
•
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3) Análise
A terceira etapa é de . Nela, devemos lembrar que o potencial elétrico é uma grandeza escalar, de modoanálise
que não há componentes a serem considerados. Devemos calcular pelo princípio da superposição a soma
algébrica dos potenciais criados individualmente pelas cargas, atentando-nos aos sinais. Quando trabalhamos
com cargas pontuais ou cargas de dimensões finitas, em geral, definimos V=0 em um ponto infinitamente
distante das cargas. No entanto, se a distribuição de cargas se estender ao infinito, deve-se selecionar outro
ponto próximo que deverá ser tratado como a referência.
4) Finalização
Na quarta e última etapa temos a . Nela devemos verificar se a expressão do potencial está consistentefinalização
com a representação mental e a simetria traçada na etapa de conceitualização. Imagine parâmetros variáveis,
como diferentes distâncias do ponto de observação das cargas ou diferentes raios de corpos circulares. Assim,
poderemos observar se o resultado matemático muda da mesma maneira que o resultado lógico previamente
estabelecido.
2.4 Equação de Laplace e o potencial elétrico
Anteriormente obtivemos o potencial elétrico para diferentes distribuições de cargas com certa simetria e para
pontos do espaço em que as equações eram fáceis de serem resolvidas. (SILVA et al, 2014). Porém, para qualquer
lugar do espaço, a determinação do potencial pode ser uma tarefa difícil se resolver. De acordo com Notarus
(2012), o método de cálculo de potencial mais geral é baseado na solução da equação de Laplace com condições
de contorno conhecidas.
Para regiões onde a densidade de carga elétrica é nula (ρ=0), temos que:
que é conhecida como equação de Laplace. Nosso objetivo é obter o potencial na região em que não há cargas
elétricas. Em coordenadas cartesianas, a equação de Laplace é escrita como:
já para as coordenadas cilíndricas podemos escrever o laplaciano como:
e em coordenadas esféricas:
A seguir, estudaremos um dispositivo que consiste em dois condutores com cargas iguais e opostas, são os
chamados capacitores; além disso, veremos também a relação estabelecida entre a carga Q e a diferença de
potencial entre os condutores, denominada de capacitância.
2.5 Capacitores
De acordo com Hewitt (2015), ao movimentar uma carga elétrica de um ponto a outro no espaço é necessário a
realização de trabalho, que é calculado através de , cujo trabalho realizado é armazenado na forma de energia
potencial eletrostática. A relação entre o potencial e a carga é denominada capacitância. Um dispositivo que
armazena carga elétrica e potencial em forma de energia é chamado de capacitor, ilustrado na figura a seguir,
encontrado geralmente em circuito elétrico ligado por fios condutores e que formam um ou mais ramos
fechados. (HEWITT, 2015). Os capacitores possuem várias aplicações práticas, como em em máquinasflash
fotográficas, nos sensores de , em receptores de rádio e televisores. (SEARS; ZEMANSKY, 2014). Emairbags
grande escala, podemos encontrar capacitores que alimentam lasers em laboratórios nacionais de pesquisa.
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Figura 6 - Capacitor de placas paralelas com área A, separadas por uma distância d.
Fonte: JEWETT; SERWAY, 2014. p. 62.
Conforme expõe Hewitt (2014), um capacitor simples é constituído por duas placas paralelas que estão
separadas por uma distância d. Estas placas podem estar conectadas a uma bateria, por exemplo, de forma que
elétrons de um dos terminais são transferidos para a placa e a outra é carregada com cargas positivas. A carga
elétrica armazenada nas placas é proporcional à diferença de potencial V, ou seja, quanto mais intensa for a
voltagem da bateria e mais próximas estiverem as placas, maior será a quantidade de carga armazenada nas
placas. Quando as placas atingirem o equilíbrio, a diferença de potencial entre elas é o mesmo potencial da
bateria. A relação entre a carga Q e o potencial V, através da equação da capacitância C do capacitor:
 (16)
a unidade da capacitância é Farad (F), onde 1F = 1 Coulomb/Volt = 1 C/V.
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Percebe-se que, quanto maior for a capacitância do capacitor, maior será a carga acumulada para uma dada
diferença de potencial.
2.5.1 Capacitores no vácuo
As placas do capacitor podem estar separadas pelo vácuo ou por um material isolante. Neste momento, vamos
considerar capacitores no vácuo. Conforme apontam Jewett e Serway (2014), um capacitor simples constituído
por duas placas planas paralelas de área A, separadas por uma pequena distância d, em que as cargas se
distribuem uniformementesobre as superfícies, cria um campo elétrico E, uniforme entre as placas. Este campo
pode ser escrito em função da densidade superficial de carga σ acumulada nas placas, da área e da carga do
seguinte modo:
 (17)
onde . A partir dessa função podemos escrever a diferença de potencial entre as placas por:
substituindo o potencial V na equação da capacitância:
 (18)
ainda segundo as ideias de Jewett e Serway (2014), a capacitância só depende da forma e da distância entre as
placas do capacitor, no vácuo. Se existir um material entre as placas, as propriedades do capacitor são
influenciadas.
2.5.2 Energia armazenada no capacitor
Já vimos que a energia potencial elétrica U armazenada no capacitor é igual ao trabalho necessário para separar
as cargas. Conforme apontam Jewett e Serway (2014), quando o capacitor é carregado, a diferença de potencial
encontrada entre as placas é determinada por:
e o trabalho necessário para separar as cargas de sinais opostos é escrito como . Igualando o trabalho
com a energia potencial U:
 (19)
O que nos informa a energia total armazenada no capacitor até obter a carga final Q.
VOCÊ SABIA?
O primeiro modelo de capacitor foi descoberto em 1746 e chamado de “garrafa de Leiden”
devido ao físico holandês Pieter van Musschenbroek que tentava introduzir carga na água de
um recipiente ligado através de um fio de cobre carregado. Na época a garrafa chamou muita
atenção pela quantidade de carga que ela poderia armazenar. Com isso, houveram muitas
pesquisas em relação a outros aspectos como temperatura da água e tipo de vidro. Logo se
descobriu que a água não era necessária, e que foi mais eficiente cobrir as paredes interna e
externa da garrafa com uma folha metálica, deixando a folha interna em contato com a haste
metálica. (NUSSENZVEIG, 1998).
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 (19)
O que nos informa a energia total armazenada no capacitor até obter a carga final Q.
Para um capacitor plano simples, a energia pode ser escrita como:
 (20)
no caso de uma esfera, temos que é o potencial em sua superfície totalmente carregada. Entende-se que a
equação , sendo o potencial médio da esfera durante o processo de carregamento.
2.5.3 Densidade de energia
A energia acumulada no capacitor está localizada na região do campo elétrico, ou seja, entre as placas do
capacitor. Essa energia por unidade de volume é denominada de densidade de energia e pode ser escrita dau 
seguinte maneira:
substituindo o valor da capacitância e ,
 (21)
A seguir, estudaremos a definição de um capacitor com dielétricos e as consequências para a carga, a diferença
de potencial e a capacitância. No entanto, tudo estará dependendo do tipo de material que o constitui. Vamos ao
estudo!
2.5.4 Dielétricos
Em 1837, Cavendish e Faraday descobriram que a capacitância sofria uma alteração ao inserir um isolante, ou
dielétrico, entre as placas, conforme ilustra a figura a seguir. Para eles, a inserção do material isolante possuía
três objetivos: primeiro, mantinha as placas separadas mesmo a uma distância muito pequena; em segundo, a
diferença de potencial entre as placas aumenta com a presença do isolante e o acúmulo de cargas será maior; por
fim, a capacitância aumenta por um fator igual a e que depende da natureza do material que está sendoK
inserido entre as placas. (NUSSENZVEIG, 1997).
VOCÊ QUER LER?
O gerador de Van der Graaff consiste em um dispositivo que produz grandes potenciais, em
que a carga é conduzida para a superfície interna de um grande consultor esférico através de
uma correia carregada. Em uma visão didático-pedagógica no ensino aprendizagem dos
conteúdos da eletrostática, o autor Damião de Souza Carvalho, apresenta a dissertação de
Mestrado Profissional em Ensino de Física. Seu trabalho pode ser encontrado neste link <
>.http://www1.fisica.org.br/mnpef/sites/default/files/dissertacao_damiao.pdf
http://www1.fisica.org.br/mnpef/sites/default/files/dissertacao_damiao.pdf
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Figura 7 - Capacitor plano com um dielétrico entre as de placas.
Fonte: JEWETT; SERWAY, 2014. p. 65.
Esse fator adimensional é denominado e definido por:constante dielétrico
 (22)
onde é a capacitância original.
Podemos escrever uma nova função para a capacitância quando ele está preenchido com um dielétrico da
seguinte maneira:
 (23)
em relação à distância d, o que ocorre na prática é que o menor valor de d é limitado por uma descarga elétrica
que pode ocorrer através do meio dielétrico que separa as placas. Para qualquer separação d, o capacitor pode
receber uma tensão máxima sem ocorrer a sua descarga e isto depende da do dielétricorigidez dielétrica
(maior campo elétrico possível). (JEWETT; SERWAY, 2014).
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Muitos materiais isolantes possuem rigidez e constante dielétrica, como mostra a tabela a seguir. É importante
que você perceba que o menor valor de constante dielétrica K é do ar e possui valor igual a 1.
Figura 8 - Valores da constante dielétrica e rigidez dielétrica para alguns materiais isolantes.
Fonte: Elaborada pela autora, baseada em JEWETT; SERWAY, 2014.
Conforme apontam Jewett e Serway (2014), em problemas em que estamos modificando um capacitor
(inserindo um dielétrico, por exemplo), devemos observar se as modificações estão sendo realizadas enquanto o
capacitor estiver conectado a uma bateria ou desconectado a ela. Se o capacitor se mantiver conectado a ela, a
tensão permanecerá a mesma. Já se o capacitor se desconectar da bateria, ele atuará como um sistema isolado,
mantendo a sua carga atual.
2.6 Associações de capacitores
Muitos capacitores já possuem valores de capacitância e voltagens padronizados de fábrica. Entretanto, você
pode necessitar de capacitores com valores que não existem no mercado para vender, para isso é necessário
fazer a combinações para obter os valores desejados. Assim, poderemos estabelecer tanto associações em série
CASO
Como sabemos, o dielétrico atua como um corpo isolante entre duas superfícies condutoras
que acumulam cargas elétricas. Nas células vivas, a membrana se comporta como um dielétrico
entre as placas de um capacitor; ela é feita de duas placas de moléculas de lipídios, com suas
extremidades insolúveis em água, localizadas na superfície interior e suas extremidades
solúveis em água nas superfícies exteriores. Fluidos condutores em ambos os lados da
membrana (água com íons negativos dentro da célula, água com íons positivos fora) funcionam
como placas carregadas de um capacitar, e a membrana não condutora funciona como um
dielétrico com constante dielétrica aproximadamente igual a 10. Como a diferença de
potencial através da membrana é aproximadamente igual a 0,07 V e a espessura da
membrana d é aproximadamente igual a 7 x 10-9 m, o campo elétrico E= V/d na membrana é
aproximadamente igual a 107 V/m - um valor próximo da resistência dielétrica da membrana.
Se a membrana fosse feita de ar, e E seriam mais elevados por um fator de e
ocorreria uma ruptura dielétrica. (SEARS; ZEMANSKY, 2015).
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fazer a combinações para obter os valores desejados. Assim, poderemos estabelecer tanto associações em série
como em paralelo entre eles; perceberemos que, nestas associações, os capacitores estarão ligados a uma bateria
e as consequências de sua retirada. Assim, estudaremos situações diversas que envolvam alterações na carga, no
potencial elétrico ou no campo elétrico com a retirada da bateria.
2.6.1 Capacitores em série
Os capacitores associados em série apresentam algumas características. Para fazer esta análise, vamos supor
dois capacitores ligados em série a uma bateria que possui uma diferença de potencial ΔV, conforme mostra a
figura a seguir. Uma das placas do capacitor 1 está conectada a um dos terminais da bateria e uma das placas do
capacitor 2 está ligada no outro terminal da bateria. As outras duas placas dos capacitores 1 e 2 estão conectadas
entre si. Inicialmente a associação está sem o transporte de carga nos capacitores, entretanto no momento em
que o circuito é fechado e a bateria é ligada as cargas começam a ser transferidas.
Figura9 - Dois capacitores ligados em série a uma bateria com diferença de potencial ΔV.
Fonte: JEWETT; SERWAY, 2014. p. 66.
A figura acima ilustra a representação de dois capacitores ligados em série a uma bateria. O último diagrama
mostra a capacitância equivalente dada por: . Todos os três diagramas são equivalentes. Podemos
explicar que, ao ligar a bateria, os elétrons do terminal negativo da bateria são transferidos para a placa da
direita do capacitor 2. Estes elétrons induzem uma quantidade de carga positiva na outra placa do capacitor,
ficando ambas as placas com a mesma quantidade de carga, mas de sinais opostos. Na placa da direita do
capacitor 1 são acumuladas cargas negativas, devido às cargas positivas na placa do capacitor 2 e com isso cargas
positivas são acumuladas na placa da esquerda do capacitor 1. Dessa forma, podemos concluir que as
quantidades de carga acumulada nas quatro placas dos capacitores ligados em série são iguais, se diferindo
apenas nos sinais, portanto:
em relação a diferença de potencial na associação, ela é dividida entre o número de capacitores existente na
associação, neste caso:
se os capacitores possuírem valores diferentes de capacitância, a diferença de potencial recebida pelo capacitor é
de forma proporcional, ou seja, quanto maior for o valor da capacitância maior será o valor de . (JEWET;
SERWAY, 2014).
Se aplicarmos a equação da capacitância para a associação em série, podemos escrever uma equação geral para a 
( ), dada por:capacitância equivalente 
Esta equação mostra que para obter a capacitância equivalente devemos somar o inverso das capacitâncias
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Esta equação mostra que para obter a capacitância equivalente devemos somar o inverso das capacitâncias
individuais e que é sempre menor que a capacitância individual.
A seguir, estudaremos outro tipo de associação entre os capacitores, a associação em paralelo. Veremos que
numa associação em paralelo de dois capacitores, as placas do lado esquerdo estão conectadas ao terminal
positivo a bateria, e as placas do lado direito conectadas ao terminal negativo. Ao ligar uma bateria a este
circuito, os capacitores atingem sua carga máxima. Vamos lá!
2.6.2 Capacitores em paralelo
Da mesma forma que a associação de capacitores em série apresenta suas peculiaridades, os capacitores
organizados em paralelo também têm. A figura a seguir mostra dois capacitores associados. As placas da direita
do capacitor 1 e 2 estão ligados, ao mesmo tempo, com o terminal negativo da bateria e têm o mesmo valor de
potencial negativo que a bateria. Já as placas da esquerda estão ligadas no terminal positivo da bateria e
possuem o mesmo valor de potencial.
Figura 10 - Dois capacitores ligados em paralelo a uma bateria com diferença de potencial ΔV.
Fonte: JEWETT; SERWAY, 2014, p. 65.
A figura acima ilustra a representação de dois capacitores ligados em paralelo a uma bateria. O último diagrama
VOCÊ QUER VER?
Alguns assuntos tratados até aqui poderão ser estudados também no vídeo intitulado: Física
Geral III – Aula 4 – Potencial Elétrico. Ele apresenta os conceitos de energia potencial e
potencial elétrico, além de passar exemplos com o cálculo de distribuição de cargas
puntiformes. Assista clicando em: < >.https://www.youtube.com/watch?v=g5BhOVeT6JM
https://www.youtube.com/watch?v=g5BhOVeT6JM
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A figura acima ilustra a representação de dois capacitores ligados em paralelo a uma bateria. O último diagrama
mostra a capacitância equivalente dos capacitores em paralelo dada por: . Todos os três diagramas
são equivalentes.
Conforme expõem Jewett e Serway (2014), a diferença de potencial encontrada em cada capacitor é a mesma e
igual a da bateria, ou seja:
De acordo com esses autores, após ligar a bateria, as placas ficam carregadas com cargas de mesmo sinal dos
terminais acoplados e a carga total armazenada é dada pela soma das cargas nos capacitores individuais:
ainda, se desejar substituir a associação de dois ou mais capacitores a um único capacitor que tenha a mesma
carga total e a mesma , você deve encontrar uma combinação equivalente, dada por:
A capacitância equivalente de uma associação em paralelo é obtida pela soma das capacitâncias individuais.
Portanto, a é sempre maior que qualquer capacitância individual. Observe que tanto na associação em série
como na associação em paralelo, o capacitor está ligado a uma bateria. No entanto, o que acontece se a bateria
for removida? Quando um capacitor é removido da bateria e as placas são afastadas, a carga permanece a mesma
e o campo elétrico também, pois o campo elétrico de placas maiores é independente da distância para campos
uniformes. Já a diferença de potencial entre as placas aumenta conforme a distância de separação aumenta. Esta
situação ocorre porque o campo elétrico é a medida da razão da diferença de potencial pela distância. A energia
armazenada aumenta, pois, ela é tanto proporcional para a carga quanto para a diferença de potencial.
2.6.2 Tipos de capacitores
Muitos capacitores são construídos em circuitos integrados (chips), mas alguns dispositivos elétricos ainda usam
capacitores independentes. Eles possuem diversas aplicações e são classificados de acordo com o material do seu
dielétrico. Os tipos mais encontrados são: capacitores cerâmicos, capacitores de filme plástico, capacitores
eletrolíticos de alumínio ou tântalo, capacitores variáveis e entre outros. Capacitores comerciais são geralmente
feitos utilizando uma lâmina de metal entrelaçada com um dielétrico como placas finas de papel embebido em
parafina. Estas camadas alternativas de lâmina de metal e dielétrico são enroladas em um formato de cilindro
para formar um pequeno pacote. Já os capacitores de alta tensão são placas de metal imersas em óleo de silicone.
Os capacitores de pequena dimensão geralmente são construídos de materiais cerâmicos. (JEWETT; SERWAY,
2014).
Capacitores variáveis possuem capacitância na ordem de picoFarad (pF) e consistem em dois conjuntos
entrelaçados de placas de metal, um fixo e outro móvel, com ar como dielétrico. Eles podem ser classificados de
acordo com a sua construção, quanto ao seu eixo (comum ou trimmer) ou quanto às suas secções (pode ser
duplo ou quádruplo).
Um capacitor eletrolítico geralmente é utilizado para armazenar grandes quantidades de carga com tensões
relativamente baixas. Este dispositivo consiste em um eletrodo constituído de um fluido condutor e o outro
eletrodo é formado de uma folha de alumínio em que na sua superfície é formada uma camada de óxido de
alumínio (processo eletroquímico), servindo como dielétrico. Nestes capacitores é possível obter grandes
valores de capacitância específica em um pequeno volume. Ao fazer uso do capacitor eletrolítico em circuito, eles
devem ser instalados de com a polaridade correta. Caso contrário, a camada de óxido de alumínio é removida e
não ocorre o armazenamento de energia no capacitor.
VAMOS PRATICAR?
Caro estudante, para que você possa se apropriar cada vez mais dos conhecimentos adquiridos
nesta unidade, disponibilizamos uma lista de exercícios. Realize as atividades e, na sequência,
confira as respostas.
Lembre-se: a prática é um dos caminhos mais assertivos para se ter domínio sobre os
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Síntese
Nesta unidade analisamos vários aspectos que envolvem o potencial elétrico como uma grandeza escalar e que
resulta em uma maneira mais simples de descrever alguns fenômenos eletrostáticos. Vimos que esse assunto
possui grande valor prático em muitas aplicações. Além disso, estudamos que os capacitores são dispositivos que
armazenam carga e cuja capacidade de armazenamento é medida através da capacitância. Os capacitores são
amplamente usados em circuitos elétricos e eletrônicos, como sintetizadores de frequência em receptores de
rádio ou na proteção de circuitos contra oscilações de tensão.
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
• definir o potencial elétrico e como se relaciona com o campo elétrico;
• conhecer como se dá a representação do campo elétrico entre superfíciescondutoras;
• aprender como se calcula o potencial elétrico para distribuições contínuas e discretas de cargas no 
espaço, além do potencial para diferentes simetrias;
• conhecer as características de um capacitor no circuito em série e em paralelo. Quais são os tipos de 
capacitores que podem ser encontrados e suas funções no circuito.
• entender o que ocorre quando desconectamos um capacitor de uma bateria em termos de carga, 
diferença de potencial e energia acumulada.
Bibliografia
BRESCANSIN, L. M. Física Geral III. Aula 4 – . Parte I. 46:14 min. Canal UNIVESP. UniversidadePotencial Elétrico
Virtual de São Paulo, 2013. Disponível em: < >. Acesso em: 13https://www.youtube.com/watch?v=g5BhOVeT6JM
/09/2019.
CARVALHO, D. S. Utilização do gerador eletrostático de Van de Graaff, de baixo custo, na aprendizagem
. 103 p. 2016. Dissertação (Mestrado Nacional Profissional em Ensino de Física) -dos conceitos de eletrostática
Universidade Federal de Roraima. Boa Vista, 2016. Disponível em: < http://www1.fisica.org.br/mnpef/sites
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HEWITT, P. G. . 12. ed. Porto Alegre: Ed. Bookman, 2015.Física conceitual
JEWETT, J. W. Jr; SERWAY, R. A. . 1. ed. São Paulo: Ed. Cengage Learning, 2014.Princípios de física
NOTAROS, B. M. . São Paulo: Ed. Pearson, 2012.Eletromagnetismo
NUSSENZVEIG, H. M. . 1. ed. São Paulo: Ed. Blüncher, 1997.Curso de Física Básica 3 - eletromagnetismo
SILVA, C. E. et al. . São Paulo: Ed. Pearson, 2014.Eletromagnetismo
TELLES, J. M.; TELLES D. A. . v. 3. 1. ed. São Paulo:Física com aplicação tecnológica Eletromagnetismo 
Blucher, 2015.
TIPLER, P. A.; MOSCA G. . v. 3. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.Física para cientistas e engenheiros 
ZEMANSKY, S.; YOUNG, H. D. . 14. ed. São Paulo: Ed. Pearson, 2015.Física III Eletromagnetismo 
Lembre-se: a prática é um dos caminhos mais assertivos para se ter domínio sobre os
conceitos aprendidos. Bons estudos!
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https://www.youtube.com/watch?v=g5BhOVeT6JM
http://www1.fisica.org.br/mnpef/sites/default/files/dissertacao_damiao.pdf
http://www1.fisica.org.br/mnpef/sites/default/files/dissertacao_damiao.pdf
https://laureatebrasil.blackboard.com/bbcswebdav/institution/laureate/conteudos/ENG_FISELE_19/unidade_2/ebook/exercicios_fisele2.pdf
https://laureatebrasil.blackboard.com/bbcswebdav/institution/laureate/conteudos/ENG_FISELE_19/unidade_2/ebook/gabarito_fisele2.pdf
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ZEMANSKY, S.; YOUNG, H. D. . 14. ed. São Paulo: Ed. Pearson, 2015.Física III Eletromagnetismo 
	Introdução
	2.1 Potencial elétrico
	2.1.1 Potencial elétrico em um campo elétrico
	2.1.2 Superfícies equipotenciais
	2.2 Potencial elétrico para distribuições discretas de cargas
	2.3 Potencial elétrico para uma distribuição contínua de cargas
	2.4 Equação de Laplace e o potencial elétrico
	2.5 Capacitores
	2.5.1 Capacitores no vácuo
	2.5.2 Energia armazenada no capacitor
	2.5.3 Densidade de energia
	2.5.4 Dielétricos
	2.6 Associações de capacitores
	2.6.1 Capacitores em série
	2.6.2 Capacitores em paralelo
	2.6.2 Tipos de capacitores
	Síntese
	Bibliografia