Fundamentos Matematicos - Magno Felipe -2a webconferencia - Mod A DIG

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Fundamentos Matemáticos
Prof Magno Teixeira
§ Trigonometria § Derivada § Integral Indefinida
§ Integral Definida § Exemplos Práticos § Resolução de Exercícios
II Webconferência
 A palavra trigonometria vem do grego (trigonon = “triângulo” e metron = 
“medida”)
 Ela é utilizada também em outras áreas de estudo como física, química, biologia, 
geografia, astronomia, medicina, engenharia, etc.
Em relação ao ângulo , temos:
 a = hipotenusa;
 c = cateto oposto;
 b = cateto adjacente.
RELAÇÕES:
 Seno () = c/a;
 Cosseno () = b/a;
 Tangente () = c/b.
Teorema de Pitágoras: a² = b² + c²
Fundamentos da Trigonometria
Ângulos Notáveis
 Determine a altura da aeronave:
Exemplo
 Determine a altura da aeronave:
Resposta:
h = 500 m
sen 30° = h/1000 → 0,5 = h/1000 → h = 500 m
Exemplo
 Determine a altura da aeronave:
Exemplo
 Determine a altura da aeronave:
Resposta:
h = 1500 m
tg 45° = h / 1500
1 = h / 1500
h = 1500 m 
Exemplo
 Determine a altura da aeronave, dados os valores da figura em 
quilômetros (km):
Exemplo
 Determine a altura da aeronave, dados os valores da figura em 
quilômetros (km):
Resposta:
h = 4 km
Teorema de Pitágoras
5² = h² + 3²
h² = 25 - 9
h = √16
Exemplo
O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 1, 
com centro localizado no ponto C = (0, 0) no plano 
cartesiano. 
Os eixos x e y desse plano são chamados, 
respectivamente, de eixo dos cossenos e eixo dos 
senos.
Ciclo Trigonométrico
Raio do ciclo = 1 Eixos: seno, cosseno e 
tangente
Ciclo Trigonométrico
Ciclo Trigonométrico
Determine:
 Seno de 120°
 Seno 90°
 Cosseno de 300°
 Seno de 360°
 Seno de 150°
 Cosseno de 180°
 Cosseno 270°
Exemplo
 Realizar regra de 3 utilizando π rad = 180° ou 2π rad = 360°
Realize as conversões:
 π/2 rad 
 60°
 45°
 π/6 rad
 3π/2 rad
 360°
Conversão Graus - Radianos
Aplicando-se o Teorema de Pitágoras:
sen²(θ) + cos²(θ) = 1
Relação Fundamental da Trigonometria
Relação Fundamental da Trigonometria
01. Considerando sen(x)=3/5, determine cos(x).
02. Considerando cos(x)=1/3, determine sen(x).
Relação Fundamental da Trigonometria
01. Considerando sen(x)=3/5, determine cos(x).
02. Considerando cos(x)=1/3, determine sen(x).
(3/5)² + cos²(θ) = 1
cos²(θ) = 1 – 9/25 = 16/25
cos (θ) = 4/5
sen²(θ) + (1/3)² = 1
sen²(θ) = 1 – 1/9 = 8/9
sen (θ) = 2√2/3
O cálculo diferencial e integral, ou 
simplesmente Cálculo, é um ramo 
importante da matemática, desenvolvido 
a partir da Álgebra, Geometria e 
Trigonometria.
Introdução ao Cálculo
Foi criado como uma ferramenta auxiliar 
em várias áreas das ciências exatas. 
Desenvolvido simultaneamente por 
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e 
por Isaac Newton (1643-1727), em 
trabalhos independentes. 
Leibniz e Newton 
Cálculo diferencial e Integral
Com o advento do Teorema Fundamental 
do Cálculo, estabeleceu-se uma conexão 
entre os dois ramos do cálculo: o Cálculo 
Diferencial e o Cálculo Integral.
O cálculo diferencial surgiu do problema da 
tangente, enquanto o cálculo integral 
surgiu de um problema aparentemente não 
relacionado, o problema da área. 
Problemas 
Um pouco de história
O professor de Isaac Newton em 
Cambridge, Isaac Barrow, descobriu que 
esses dois problemas estão de fato 
estritamente relacionados, ao perceber 
que a derivação e a integração são 
processos inversos.
Ou seja, o processo da derivação é o 
inverso da integração. 
Isaac Newton 
Um pouco de história
Derivada reta tangente a curva da função→
Quando aplicar???
Quando aplicar???
Integral área abaixo da curva da função→
O processo de encontrar a derivada de uma função é 
chamado "diferenciação". 
Sendo uma função y - ou f(x) - sua derivada é 
representada por:
 y’ ou f’(x) ou dy/dx ou df(x)/dx
Notações de derivadas
Tabela (Principais funções)
Principais derivadas
1- Calcule a derivada das funções abaixo:
a) f(x) = x²
b) y = 20
c) f(x) = 5x³
d) y = x³
e) f(x) = cos (x)
f) y = sen (x)
g) f(x) = ln |x|
h) y = x³ + 1000
Exercícios
Regra do Produto
Regra do Quociente
Sendo u = f(x) e v = g(x), temos:
Regra do Produto e do Quociente
Exercícios
2- Calcule a derivada das funções abaixo:
a) f(x) = 2
b) y = 2x³/x²
c) f(x) = x³
d) y = 4/x² - 23.ex
e) f(x) = x².ln |x|
f) y = cos(x).sen(x)
g) f(x) = cos(x)sen(x)
h) y = (2x + 5)/(3x -2)
A integral pode ser chamada de 
antiderivada, uma vez que é um processo 
que inverte a derivada de funções.
Integrais
Integrais
O processo de encontrar o valor de uma 
integral é chamado integração.
Integrais
Existem dois conceitos relacionados:
 as integrais indefinidas 
 as integrais definidas 
A integral indefinida que calcula a área total soba curva
Integrais Indefinidas
Tabela
Encontre a integral indefinida das seguintes funções:
a) f(x) = 2x³
b) y = 4x³ + 2x + 25
c) f(x) = 1/x
d) y = cos (x)
e) f(x) = 1/x³
f) f(x) = 25.cos(x)
Exercícios
Diferentemente da integral indefinida que calcula a área total 
soba curva, a integral definida calcula a área abaixo de uma 
função em um intervalo específico. 
Integrais Definidas
Calcule a integral definida das seguintes funções, no intervalo 
1 a 2:
a) f(x) = 4x + 3
b) y = 1/x²
Exercícios
Calcule a integral definida das seguintes funções, no intervalo 
0 a π:
a) f(x) = 13.cos(x)
b) y = sen (x) + 2
Exercícios
PRÓXIMOS
PASSOS
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OBRIGADO
Magno Felipe Teixeira magno.felipe.teixeira@sereducacional.comProf. executor
OBRIGADO(A)
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	Fundamentos de Trigonometria
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	Ciclo Trigonométrico
	Exemplo:
	Conversão Graus/Radianos_clipboard7
	Relação Fundamental da Trigonometria
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	Cálculo_clipboard0
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	Quando aplicar os conceitos de Cálculo???
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	Noções de Derivadas_clipboard1
	Noções de Derivadas
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	Tabela
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	Exemplo
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