Aula 08 Métodos quantitativos Aplicados a Negócios

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Análise de séries temporais
Problema
A empresa ABC é do ramo de informática. Um dos carros-chefe da em-
presa é um novo modem que está tendo muita aceitação no mercado. Os 
diretores desejam fazer previsões de vendas para os próximos meses com 
base nos dados de venda dos últimos 24 meses.
A tabela abaixo apresenta o resultado das vendas:
Tabela 1 – número de modems vendidos
Mês Vendas (R$)
1 48
2 53
3 46
4 51
5 47
6 50
7 49
8 55
9 55
10 51
11 54
12 52
13 51
14 55
15 47
16 51
17 53
249
250
Análise de séries temporais
Mês Vendas (R$)
18 56
19 52
20 50
21 50
22 48
23 51
24 53
Desejamos construir um modelo matemático idealmente satisfatório 
dessa série temporal. Idealmente deveríamos procurar definir e medir os 
muitos fatores que determinam as variações da quantidade vendida e então 
estabelecer as relações matemáticas entre esses fatores e a particular série 
em questão. No entanto, as determinantes das mudanças de uma série tem-
poral como essa são múltiplas, incluindo fatores como concorrência, prefe-
rências do consumidor, tecnologia, investimentos, clima, costumes e mais 
uma série de variáveis econômicas e não econômicas. 
A enormidade e a impraticabilidade da tarefa de medir todos esses fa-
tores e então relacioná-los matematicamente dificulta o enfoque chamado 
direto. Assim, a opção por um enfoque mais prático e indireto tem sido a 
opção de contorno dessas dificuldades.
Conceitos fundamentais
A análise de séries temporal clássica é essencialmente um método que 
busca quebrar uma série em distintos componentes que representam os 
efeitos de fatores explanatórios. Esses componentes são: (I) tendência; (II) 
flutuações cíclicas; (III) variações sazonais; e (IV) movimentos irregulares.
Série temporal
Uma série temporal é um conjunto de observações de uma variável quan-
titativa coletada no tempo. A série pode ser determinada em qualquer in-
tervalo de tempo, hora, dia, semana, mês, trimestre ou ano, dependendo do 
Análise de séries temporais
251
interesse do tomador de decisões ou das condições do estudo ou ainda da 
disponibilidade de informações.
Qualquer variável quantitativa pode ser medida no tempo e na área de 
negócios pode interessar fazer medidas de vendas, preços, inventários e 
assim por diante.
Gráfico de linhas
Como verificado no capítulo de análise de dados, o gráfico adequado 
para a apresentação dos dados de uma série temporal é um gráfico de 
linhas. Para o exemplo da venda dos modems, o gráfico correspondente é 
o apresentado a seguir:
Gráfico de linhas
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
1 24232221201918171615141312111092 3 4 5 6 7 8
Métodos de séries temporais
As técnicas que analisam o comportamento de dados do passado e do 
presente para predizer o futuro são chamadas de modelos de extrapolação. A 
forma geral de tais modelos é Ŷt+1 = f (Yt, Yt-1, Yt-2 ...), em que Ŷt+1 representa o valor 
predito para a variável em questão no período t + 1. Yt representa o valor da série 
no tempo t, Yt-1 representa o valor da série no tempo t – 1 e assim por diante.
O objetivo de um modelo de extrapolação é identificar a função f(.) que 
produza previsões de valores futuros da variável da série temporal.
252
Análise de séries temporais
Tendência
A tendência se refere a movimentos crescentes ou decrescentes de uma 
série temporal em um longo período de tempo.
Antes que uma tendência de uma particular série possa ser determinada, 
é geralmente necessário submeter os dados a algum tratamento prelimi-
nar, como, por exemplo, verificar a quantidade em relação a uma população 
determinada durante o período em que os dados foram coletados. Dessa 
forma, caracteriza-se a quantidade per capita.
O gráfico a seguir apresenta uma série com tendência crescente. Observe 
que a linha de tendência faz um ângulo significativamente maior que zero 
com o eixo X.
1050
1200
1350
1500
1650
1 20171395
Série temporal estacionária
Uma série temporal é dita estacionária se não há uma tendência de cresci-
mento ou decrescimento significativo nos dados através do tempo. Se a série 
temporal apresentar alguma dessas tendências, ela é dita não estacionária.
Em uma série estacionária, os dados estão espalhados no tempo de forma 
aleatória ao redor de uma reta paralela ao eixo X, que representa os valores da 
média dos dados, apresentando um equilíbrio estável. Uma série pode ser esta-
cionária durante um período e não estacionária durante outro período.
A série a seguir pode ser considerada estacionária. Observe que a linha de 
tendência da série é paralela ao eixo X. 
Análise de séries temporais
253
80
90
100
110
120
1 1082 3 4 5 6 7 9 11 12 13 14 15 16
Erro Médio Quadrático (EMQ)
Vários métodos podem ser utilizados para modelar dados de uma série 
temporal. Uma forma de avaliar qual é o melhor modelo é estudar qual ex-
plica melhor o comportamento da série em relação aos dados do passado. 
Podemos fazer essa verificação através da comparação dos dados reais (Y) 
com os dados decorrentes do ajuste do modelo (Ŷ).
Com base nas observações acima, podemos definir o Erro Médio Quadráti-
co (EMQ) correspondente a cada um dos modelos propostos. Aquele modelo 
com o menor erro médio quadrático será considerado o mais adequado.
O EMQ é definido como a soma da diferença entre os valores observados 
e valores reais dividida por n.
EMQ =
∑(Y – Ŷ)2
n
O EMQ é bastante próximo do critério de mínimos quadrados ordinários 
utilizado na construção do modelo de regressão linear simples.
254
Análise de séries temporais
Ciclo
Flutuações cíclicas ou movimentos cíclicos são movimentos de cresci-
mento ou decrescimento recorrentes em torno dos níveis de tendência.
Sazonalidade
Variações sazonais são ciclos que se completam dentro de um período de 
calendário regular, repetindo esse padrão básico ao longo de toda a série. Os 
maiores fatores que produzem esses padrões repetidos ocorrem em séries 
anuais que obedecem a variações sazonais devido ao clima e aos costumes.
Todos os anos, no período que antecede o inverno, há um crescimento 
da venda de roupas para o frio. Também há todo ano um crescimento de 
vendas em datas como o Dia das Mães, Dia dos Pais, Dia das Crianças e no 
período do Natal.
Movimentos irregulares
Movimentos irregulares são flutuações nas séries temporais que têm du-
ração curta, têm natureza errática e não seguem nenhuma regularidade re-
corrente ou outro padrão discernível. 
Método dos mínimos quadrados ordinários
Para situações nas quais é desejável ter uma equação matemática para 
descrever a tendência em uma série temporal, o método mais comumente 
usado é ajustar alguma forma de função polinomial para os dados. Nesta 
seção, vamos ilustrar o método geral através de um exemplo simples, ajus-
tando uma linha reta ao método dos mínimos quadrados.
O método dos mínimos quadrados
O método dos mínimos quadrados, quando usado para ajustar linhas 
retas de tendência em dados de séries temporais, é empregado principal-
mente porque é simples e prático e fornece o melhor ajustamento de acordo 
com um critério razoável.
Análise de séries temporais
255
No entanto, devemos alertar que o método de mínimos quadrados não 
tem o mesmo tipo de suporte teórico quando aplicado para ajustar retas na 
análise de regressão, conforme visto no capítulo 6.
A maior dificuldade é que as suposições probabilísticas feitas na análise de 
regressão simplesmente não são encontradas na análise de séries temporais. 
No exemplo que analisamos naquele capítulo, verificamos como gastos em 
pesquisa e desenvolvimento tecnológico podem afetar positivamente o fatura-
mento de empresas de informática. Naquele caso, o faturamento era considera-
do uma variável aleatória e o investimento uma variável fixa ou controlada.
Para a variável dependente, o modelo assumia distribuições de proba-
bilidade condicional dessa variável aleatória em torno de seus valores que 
caiam na reta de regressão. Os valores Y eram as médias das distribuições 
de probabilidadecondicional. Algumas suposições estavam implícitas nesse 
tipo de modelo: os desvios em torno da reta eram considerados erros alea-
tórios descritos por uma distribuição de probabilidades. As sucessivas ob-
servações da variável dependente foram assumidas como independentes. 
Por exemplo, os gastos da empresa B em p&d não dependiam dos gastos da 
empresa A, e assim por diante.
Se uma reta é ajustada, por exemplo, para uma série de tempo anual 
sobre vendas, o tempo é tratado como a variável independente X e as 
vendas como a variável independente Y. Não é razoável pensar que os des-
vios das vendas reais em um dado ano seja um erro aleatório. De fato, se os 
dados originais são anuais, os desvios em relação à reta podem ser devido 
a operações cíclicas ou fatores irregulares. Se a série for de um ano, não faz 
sentido pensar em fatores sazonais devidos ao clima ou costumes porque a 
série duraria um só período. 
Finalmente, a suposição de independência não é encontrada em uma 
série temporal. As vendas de um determinado mês certamente não são in-
dependentes do que foi vendido no mês anterior.
Ajustamento de uma reta
Como exemplo, vamos ajustar uma reta pelo método dos mínimos qua-
drados para as vendas de computadores de uma grande loja durante o perí-
odo de 1993 a 2007, conforme tabela a seguir:
256
Análise de séries temporais
Ano Tempo Vendas (R$)
1993 1 2.484
1994 2 2.767
1995 3 2.088
1996 4 3.611
1997 5 4.216
1998 6 4.665
1999 7 5.275
2000 8 5.616
2001 9 6.165
2002 10 6.720
2003 11 7.400
2004 12 7.975
2005 13 8.800
2006 14 9.520
2007 15 10.450
A reta de regressão pode ser expressa como Ŷ = a + b t. Os valores de “a” 
e “b” estimados através do método de regressão são substituídos na reta e o 
modelo linear que explica a relação.
O sistema de equações normais é dado então por:
y = a + b t
∑tY = a∑t + b∑t 2
Usualmente, quando uma equação de regressão é utilizada para séries 
temporais, os valores dos tempos são transformados para valores com 
poucos dígitos. Então, o ano 1993 será transformado para 1, o de 1994 para 2 
e assim por diante. Poderíamos também transformar os dados fazendo o ano 
central igual a 0, os anteriores –1, –2 ... e os posteriores 1, 2... Utilizaremos a 
primeira opção. Dessa forma, o sistema de equações normais será:
88 752 = 15a + 120b
8 666 864 = 120a + 1 240b
Análise de séries temporais
257
Resolvendo o sistema, encontraremos os valores de a = 1 435,43 e b = 
560,17. A reta de regressão será então: Ŷ = 1 435,43 + 560,17 t.
O gráfico que se segue representa os dados originais e a reta de regressão 
ajustada.
4 000
6 000
8 000
10 000
12 000
0 105 15
2 000
0
20
Gráfico de vendas
O valor de r2, o coeficiente de determinação, é igual a 0,987, ou seja, o ajuste é 
bastante bom para essa série. O valor de a = 1 453,43 tem a mesma interpretação 
que na reta de regressão. É o valor de vendas para t = 0, ou seja, para o ano 1992. 
Também b = 560,17 é a variação de vendas para a variação de um ano.
Projeção no tempo
Projeções na reta determinada podem ser obtidas se substituirmos t na 
reta por valores apropriados. Por exemplo, a projeção para vendas de com-
putador para o ano de 2008, por exemplo, pode ser realizada assumindo o 
valor t = 16 na reta de tendência. Então, os valores das vendas seriam Ŷ = 1 
435,43 + 560,17 t = 1 435,43 + 560,17 . (16) = 10 398,2, ou simplesmente 10 
398 computadores.
Essas estimativas podem ser feitas para mais um ou dois períodos, e ainda 
assim há um alto grau de incerteza. Se predições para mais tempo forem 
desejadas, estimativas de outros fatores teriam que ser acrescentados à esti-
mativa da tendência. 
Flutuações cíclicas
Como foi indicado previamente, quando uma série temporal consistir de 
dados anuais, ela poderá conter tendência, ciclo e elementos irregulares. As 
258
Análise de séries temporais
variações sazonais estarão ausentes, uma vez que elas ocorrem dentro de 
um ano. Então, desvios dos dados anuais em relação à reta de tendência são 
atribuíveis somente a fatores cíclicos e irregulares. 
Os desvios em relação à tendência são mais facilmente observados divi-
dindo o valor dos dados originais pelos valores correspondentes na linha de 
tendência para o mesmo período. Por convenção, o resultado da divisão do 
dado original pelo valor na linha de tendência é multiplicado por 100 para 
expressar os resultados como percentuais de tendência. 
Assim, se o dado original é exatamente igual ao valor estimado, a per-
centagem de tendência será igual a 100. Se o dado original é maior do que 
o valor estimado, o valor da percentagem de tendência será maior que 100, 
caso contrário será menor.
A expressão para a percentagem de tendência é então dada por:
Percentagem de tendência = (Y/Ŷ).100
Quando convertidos à percentagem de tendência, os dados contêm so-
mente os movimentos cíclicos e irregulares, uma vez que a divisão pela ten-
dência elimina aquele fator. O modelo multiplicativo para a análise fornece a 
lógica desse procedimento. Isto é, os dados originais são vistos como repre-
sentando os efeitos combinados de tendência, ciclo e fatores irregulares.
Em símbolos, T, C e I representam tendência, ciclo e fatores irregulares, 
respectivamente. Dividindo a série temporal original pelos resultados obti-
dos dos valores da tendência, produzem:
= T.C.I
T
Y
Ŷ
= C.I
As percentagens de tendência da série de vendas de computador mos-
trada no início desta seção está apresentada na tabela e no gráfico a seguir:
Tempo Vendas (R$) Yest. %Tend.
1 2.484 1 995,6 124,5
2 2.767 2 555,8 108,3
3 3.088 3 115,9 99,1
Análise de séries temporais
259
Tempo Vendas (R$) Yest. %Tend.
4 3.611 3 676,1 98,2
5 4.216 4 236,3 99,5
6 4.665 4 796,5 97,3
7 5.275 5 356,6 98,5
8 5.616 5 916,8 94,9
9 6.165 6 477,0 95,2
10 6.720 7 037,1 95,5
11 7.400 7 597,3 97,4
12 7.975 8 157,5 97,8
13 8.800 8 717,7 100,9
14 9.520 9 277,8 102,6
15 10.450 9 838,0 106,2
Percentagem de tendência
90
95
100
105
110
115
120
125
130
1 15141312111092 3 4 5 6 7 8
Tempo
Abaixo e acima da linha que representa 100% estão as percentagens que 
podem mostrar picos e vales durante o período estudado. Esses gráficos de 
flutuações cíclicas são muito úteis na área de negócios e aparecem frequen-
temente em jornais e periódicos econômicos. Eles podem ainda ser utilizados 
para verificar a amplitude das flutuações, da duração dos períodos de expansão 
e contração e para outros itens de interesse dos ciclos de negócios. 
260
Análise de séries temporais
Modelo de médias móveis
A técnica conhecida como médias móveis é provavelmente o método 
de extrapolação mais simples para dados estacionários. Com essa técnica, o 
valor predito para a série temporal no período t + 1, denotado Ŷt+1, é simples-
mente a média das k observações anteriores da série, isto é:
Ŷt+1 = (Yt + Yt-1 + ... + Yt-k+1)
K
O valor k determina quantas observações prévias serão incluídas na média 
móvel. Não há um valor de k que seja teoricamente melhor que outro, sendo 
assim devemos tentar vários valores para escolher o melhor.
O primeiro exemplo do capítulo forneceu informações da quantidade de 
modems vendidos durante um período de 24 meses. A tabela a seguir repro-
duz a quantidade das vendas. Observe que para k = 2, o valor Ŷ3 = 50,5 é a 
média entre Y1 = 48 e Y2 = 53. O valor Ŷ4 = 49,5 é a média entre Y2 = 53 e Y3 = 
46, e assim por diante. 
Mês Vendas (R$)
Ŷ p/ média móveis Ŷ p/ média móveis
2 meses 4 meses
1 48
2 53
3 46 50,5
4 51 49,5
5 47 48,5 49,5
6 50 49 49,25
7 49 48,5 48,5
8 55 49,5 49,25
9 55 52 50,25
10 51 55 52,25
11 54 53 52,5
12 52 52,5 53,75
13 51 53 53
14 55 51,5 52
Análise de séries temporais
261
Mês Vendas (R$)
Ŷ p/ média móveis Ŷ p/ média móveis
2 meses 4 meses
15 47 53 53
16 51 51 51,25
17 53 49 51
18 56 52 51,50
19 52 54,5 51,75
20 50 54 53
21 50 51 52,75
22 48 50 52
23 51 49 50
24 53 49,5 49,75
EMQ 9,55 9,35
Procedimento semelhante se aplica a outros valores de k. Para k = 4, em 
queŶ5 = (Y1 + Y2 + Y3 + Y4)/4, os valores restantes são calculados com igual 
procedimento. O gráfico a seguir apresenta as três séries. A série 1 corres-
ponde aos dados reais. A série 2 e a série 3 correspondem às médias móveis 
com k = 2 e k = 4, respectivamente.
Média móvel com k = 2 e k = 4
44
46
48
50
52
54
56
58
1 15131193 5 7 17 19 21 23
Série 1
Série 2
Série 3
Os gráficos mostram que os valores preditos tendem a ser menos volá-
teis, ou mais suaves, do que os dados reais. Isso ocorre porque o método 
de médias móveis retira os picos e os vales. Esse método então é conhecido 
como método de suavização ou alisamento. Quanto maior for o valor de k, 
maior será a suavização, como pode ser observado no gráfico anterior. 
262
Análise de séries temporais
Podemos verificar a acurácia relativa das duas funções de previsão atra-
vés da comparação entre os erros médios quadráticos. Os valores dos erros 
médios quadráticos para k = 2 e k = 4 são determinados pela expressão do 
EMQ e são dados na tabela. O EMQ(k = 2) = 9,55 e EMQ(k = 4) = 9,35. O modelo 
com quatro médias é um pouco melhor do que o modelo com duas médias.
Previsão com o modelo de médias móveis
Supondo que o modelo com média móvel de 2 meses para a venda de 
modems possa ser aceito como satisfatório, a predição do número de modems 
a ser vendido no vigésimo-quinto mês é calculado como:
 (Y24 + Y23) =
 (53 + 51)
2 2
 = 52Ŷ25 = 
Para fazer previsões além de um único período e do conjunto de dados da 
série temporal usando a técnica de médias móveis, devemos substituir os va-
lores previstos por valores reais não observados. Por exemplo, suponha que 
ao final do período 24 desejamos prever o número de modems que serão 
vendidos nos períodos 25 e 26. Usando a média móvel de dois períodos, a 
previsão para o período 26 será:
Ŷ26 =
 (Y25 + Y24)
 2
No entanto, não sabemos o valor real de Y25. Temos que substituir Y25 por 
Ŷ25 na equação passada, assim:
 (Ŷ25 + Y24) (52 + 53)
2 2
 = 52,5Ŷ26 = = 
Método de médias móveis 
para estudar sazonalidade
Para derivar um conjunto de índices de uma série caracterizada por um 
padrão sazonal estável, cerca de cinco a nove anos de dados mensais ou trimes-
trais são necessários. Um padrão de sazonalidade estável significa que picos e 
vales geralmente ocorrem nos mesmos meses ou trimestres a cada ano.
Análise de séries temporais
263
Um exemplo de valores de vendas de televisores em uma rede de lojas de 
departamentos no país durante um período de cinco anos; medidos a cada 
trimestre, será útil para ilustrar o método.
Tabela 2 – Vendas de televisão
Ano Trimestre
Vendas 
(em milhares 
de reais)
2003 I 942
2003 II 1355,4
2003 III 1168,8
2003 IV 1248,3
2004 I 998,5
2004 II 1470
2004 III 1297,1
2004 IV 1311,2
2005 I 1113,5
2005 II 1565,2
2005 III 1410,9
2005 IV 1484
2006 I 1152,4
2006 II 1653,5
2006 III 1442,6
2006 IV 1535,8
2007 I 1267,1
2007 II 1678,7
2007 III 1527
2007 IV 1625,3
O gráfico a seguir representa a série correspondente aos valores de venda 
de televisão no período:
264
Análise de séries temporais
Vendas de televisão
750
1 000
1 250
1 500
1 750
1 15131193 5 7 17 19
Os dados revelam que nos dois primeiros trimestres de cada semestre, ou 
seja, no primeiro e no terceiro trimestres, há uma queda no valor das vendas 
de televisão.
O processo de determinação das médias móveis consistirá em calcular 
inicialmente a soma das vendas em 2003 (942; 1 355,4; 1 168,8 e 1 248,3) cor-
respondentes aos quatro primeiros valores de venda. O resultado encontra-
do foi de 4 714,5, como pode ser observado na tabela a seguir:
Ano Trimestre
Vendas 
(em milhares 
de reais)
Total 1
2003 I 942
2003 II 1.355,4
2003 III 1.168,8 4.714,5
2003 IV 1.248,3 4.771
2004 I 998,5 4.885,6
2004 II 1.470 5.013,9
2004 III 1.297,1 5.076,8
2004 IV 1.311,2 5.191,8
2005 I 1.113,5 5.287
2005 II 1.565,2 5.400,8
2005 III 1.410,9 5.573,6
2005 IV 1.484 5.612,5
Análise de séries temporais
265
Ano Trimestre
Vendas 
(em milhares 
de reais)
Total 1
2006 I 1.152,4 5.700,8
2006 II 1.653,5 5.732,5
2006 III 1.442,6 5.784,3
2006 IV 1.535,8 5.899
2007 I 1.267,1 5.924,2
2007 II 1.678,7 6.008,6
2007 III 1.527 6.098,1
2007 IV 1.625,3
Este processo deve ser continuado a partir do II trimestre de 2003. Então 
o valor R$4.771,00 é o resultado da soma dos quatro valores subsequentes 
(R$1.355,40; R$1.168,80; R$1.248,30 e R$998,50). Dessa forma, completa-se a 
quarta coluna da tabela, Total 1, como resultado da soma de quatro valores.
A coluna seguinte, Total 2, será o resultado da soma de dois em dois 
valores. Assim, o total R$9.485,50 é o resultado da soma de R$4.714,50 e 
R$4.771,00. O Total 2 é o resultado então da soma de oito valores. Ver desta-
que na tabela a seguir:
Ano Trimestre
Vendas 
(em milhares 
de reais)
Total 1 Total 2
2003 I 942
2003 II 1.355,4
2003 III 1.168,8 4.714,5 9.485,5
2003 IV 1.248,3 4.771 9.656,6
2004 I 998,5 4.885,6 9.899,5
2004 II 1.470 5.013,9 10.090,7
2004 III 1.297,1 5.076,8 10.268,6
2004 IV 1.311,2 5.191,8 10.478,8
2005 I 1.113,5 5.287 10.687,8
2005 II 1.565,2 5.400,8 10.974,4
266
Análise de séries temporais
Ano Trimestre
Vendas 
(em milhares 
de reais)
Total 1 Total 2
2005 III 1.410,9 5.573,6 11.186,1
2005 IV 1.484 5.612,5 11.313,3
2006 I 1.152,4 5.700,8 11.433,3
2006 II 1.653,5 5.732,5 11.516,8
2006 III 1.442,6 5.784,3 11.683,3
2006 IV 1.535,8 5.899 11.823,2
2007 I 1.267,1 5.924,2 11.932,8
2007 II 1.678,7 6.008,6 12.106,7
2007 III 1.527 6.098,1
2007 IV 1.625,3
Os outros valores da coluna Total 2 são calculados da mesma forma.
Agora, é possível calcularmos as médias de vendas para cada período 
de 8 trimestres, dividindo-se o Total 2 por 8. Essas determinações estão 
na seguinte tabela:
Ano Trimestre
Vendas 
(em milhares 
de reais)
Total 1 Total 2 Média móvel
2003 I 942
2003 II 1.355,4
2003 III 1.168,8 4.714,5 9.485,5 1.185,69
2003 IV 1.248,3 4.771 9.656,6 1.207,08
2004 I 998,5 4.885,6 9.899,5 1.237,44
2004 II 1.470 5.013,9 10.090,7 1.261,34
2004 III 1.297,1 5.076,8 10268,6 1.283,58
2004 IV 1.311,2 5.191,8 10.478,8 1.309,85
2005 I 1.113,5 5.287 10.687,8 1.335,98
2005 II 1.565,2 5.400,8 10.974,4 1.371,8
2005 III 1.410,9 5.573,6 11.186,1 1.398,26
Análise de séries temporais
267
Ano Trimestre
Vendas 
(em milhares 
de reais)
Total 1 Total 2 Média móvel
2005 IV 1.484,00 5.612,50 11.313,30 1.414,16
2006 I 1.152,40 5.700,80 11.433,30 1.429,16
2006 II 1.653,50 5.732,50 11.516,80 1.439,60
2006 III 1.442,60 5.784,30 11.683,30 1.460,41
2006 IV 1.535,80 5.899,00 11.823,20 1.477,90
2007 I 1.267,10 5.924,20 11.932,80 1.491,60
2007 II 1.678,70 6.008,60 12.106,70 1.513,34
2007 III 1.527,00 6.098,10
2007 IV 1.625,30
O gráfico a seguir apresenta a série original das vendas e a nova série de 
médias móveis sem a influência da sazonalidade.
750
1 000
1 250
1 500
1 750
1 15131193 5 7 17 19
Observe que essa série de médias móveis não é igual à reta que se obteria 
se utilizássemos o método de mínimos quadrados, procedimento que resulta 
na reta de regressão ou tendência. A tabela que se segue apresenta os dois re-
sultados para efeito de comparação. Pode-se observar que os valores são bem 
próximos.
Ano Trimestre Média móvel Regressão
2003 III 1.185,69 1.181,3
2003 IV 1.207,08 1.205,4
2004 I 1.237,44 1.229,6
268
Análise de séries temporais
Ano Trimestre Média móvel Regressão
2004 II 1.261,34 1.253,7
2004 III 1.283,58 1.277,9
2004 IV 1.309,85 1.302,0
2005 I 1.335,98 1.326,1
2005 II 1.371,80 1.350,3
2005 III 1.398,26 1.374,4
2005 IV 1.414,16 1.398,6
2006 I 1.429,16 1.422,7
2006 II 1.439,60 1.446,9
2006 III 1.460,41 1.471,0
2006 IV 1.477,90 1.495,2
2007 I 1.491,60 1.519,3
2007 II 1.513,34 1.543,5
É útil verificar algumas informações reveladas no gráfico dos dados origi-
nais e os dados das médias móveis. Os dados originais foram estabelecidos 
trimestralmente e contêm todos os componentes dos movimentos de ten-
dência, ciclo, sazonale movimentos irregulares.
Embora o período nesse exemplo seja um pouco curto para que a 
tendência seja revelada, podemos observar que as vendas de televisão 
tendem a crescer durante todo o período. Movimentos irregulares estão 
presentes. A média móvel, que passa suavemente entre os dados, segue 
uma tendência crescente. Se as flutuações cíclicas estão claramente in-
dicadas, podemos ser capazes de observar como as médias móveis as 
descrevem bem.
Retirada da sazonalidade
A percentagem da média móvel é dada pela razão entre os dados originais 
e os das médias móveis multiplicada por 100, como de costume. 
Análise de séries temporais
269
Ano Trimestre
Vendas 
(em milhares 
de reais)
Média móvel Percentagem m. móveis
2003 I 942
2003 II 1.355,4
2003 III 1.168,8 1.185,69 98,60
2003 IV 1.248,3 1.207,08 103,40
2004 I 998,5 1.237,44 80,70
2004 II 1.470 1.261,34 116,50
2004 III 1.297,1 1.283,58 101,10
2004 IV 1.311,2 1.309,85 100,10
2005 I 1.113,5 1.335,98 83,30
2005 II 1.565,2 1.371,80 114,10
2005 III 1.410,9 1.398,26 100,90
2005 IV 1.484 1.414,16 104,90
2006 I 1.152,4 1.429,16 80,60
2006 II 1.653,5 1.439,60 114,90
2006 III 1.442,6 1.460,41 98,80
2006 IV 1.535,8 1.477,90 103,90
2007 I 1.267,1 1.491,60 84,90
2007 II 1.678,7 1.513,34 110,90
2007 III 1.527
2007 IV 1.625,3
Esses valores podem ser apresentados através de um gráfico com centro 
no valor 100%. Podemos ver no gráfico que os movimentos de tendência 
e de ciclo não estão mais presentes. A linha base 100 representa o nível de 
média móvel ou base tendência-ciclo. As flutuações acima e abaixo desta 
linha revelam claramente o movimento sazonal repetitivo das vendas de te-
levisão. Como notado antes, a componente irregular também está presente. 
Verifique essas observações no gráfico a seguir:
270
Análise de séries temporais
80
90
100
110
120
1 15131193 5 7
Percentagem de médias móveis
161412108642
O próximo passo no procedimento é remover o efeito dos movimentos ir-
regulares. Isso é conseguido através do cálculo de médias das percentagens 
das médias móveis para o mesmo trimestre. Isto é, calculamos as médias de 
todos os primeiros trimestres e depois de todos os segundos trimestres, e 
assim por diante. 
Ano Trimestre Percentagem m. móveis
2003 I
2003 II
2003 III 98,60
2003 IV 103,40
2004 I 80,70
2004 II 116,50
2004 III 101,10
2004 IV 100,10
2005 I 83,30
2005 II 114,10
2005 III 100,90
2005 IV 104,90
2006 I 80,60
2006 II 114,90
Análise de séries temporais
271
Ano Trimestre Percentagem m. móveis
2006 III 98,80
2006 IV 103,90
2007 I 84,90
2007 II 110,90
2007 III
2007 IV
Percentagem de médias móveis por trimestre:
Ano Trimestre I Trimestre II Trimestre III Trimestre IV
2003 – – 98,60 103,40
2004 80,70 116,50 101,10 100,10
2005 83,10 114,10 100,90 104,90
2006 80,60 114,90 98,80 103,90
2007 84,90 110,90 – –
Média 82,02 114,48 99,84 103,67
Quando dividimos o valor dos dados originais de valor de venda pelas per-
centagens médias das médias móveis por trimestre e multiplicamos por 100, 
encontramos os valores estimados para trimestre, retirando a sazonalidade. 
Então, para o primeiro valor de vendas R$942 milhões pelo índice sazonal de 
82,02 e multiplicando-se esse resultado por 100, obtemos o valor de R$1.148,53 
milhões. O mesmo procedimento é realizado para todos os outros trimestres:
Ano Trimestre
Vendas 
(em milhares 
de reais)
Índice de 
sazonalidade
Valores sem 
sazonalidade
2003 I 942 82,02 1.148,50
2003 II 1.355,4 114,48 1.183,96
2003 III 1.168,8 99,84 1.170,67
2003 IV 1.248,3 103,67 1.204,11
2004 I 998,5 82,02 1.217,39
272
Análise de séries temporais
Ano Trimestre
Vendas 
(em milhares 
de reais)
Índice de 
sazonalidade
Valores sem 
sazonalidade
2004 II 1.470 114,48 1.284,07
2004 III 1.297,1 99,84 1.299,18
2004 IV 1.311,2 103,67 1.264,78
2005 I 1.113,5 82,02 1.357,60
2005 II 1.565,2 114,48 1.367,23
2005 III 1.410,9 99,84 1.413,16
2005 IV 1.484 103,67 1.431,47
2006 I 1.152,4 82,02 1.405,02
2006 II 1.653,5 114,48 1.444,36
2006 III 1.442,6 99,84 1.444,91
2006 IV 1.535,8 103,67 1.481,43
2007 I 1.267,1 82,02 1.544,87
2007 II 1.678,7 114,48 1.466,37
2007 III 1.527 99,84 1.529,45
2007 IV 1.625,3 103,67 1.567,76
O gráfico seguinte apresenta os valores sem sazonalidade.
1050
1200
1350
1500
1650
1 1395
Valores sem sazonalidade
17
Podemos observar no gráfico a tendência subjacente e os movimentos 
irregulares. Comparando com os dados originais, observamos que o movi-
mento sazonal já não se encontra mais presente.
Análise de séries temporais
273
Outros métodos de previsão
Além dos métodos apresentados, várias outras propostas podem ser in-
crementadas para o estudo de séries temporais. Para os métodos de médias 
móveis apresentados, podemos observar que todos os dados do passado 
têm o mesmo peso. No entanto, muitas vezes os dados mais recentes podem 
influenciar mais fortemente as previsões. A técnica conhecida como médias 
móveis ponderadas permite assinalar diferentes pesos para os dados que par-
ticiparão como base de previsões.
Também a técnica conhecida como alisamento exponencial permite a pon-
deração de dados provenientes de dados estacionários. Nesse caso, busca-se 
a melhor combinação de pesos para os dados de tal forma que dados mais 
recentes tenham maior peso e também buscando encontrar o melhor valor 
dos ponderadores para obtenção de menor erro médio quadrático. Uma série 
estacionária pode ter efeitos de sazonalidade tanto aditivos como multiplicati-
vos. Essa consideração leva também à construção de modelos particulares.
Para estudar tendência, é proposto um modelo de médias móveis duplas. 
Essa técnica envolve tomar médias de médias. O alisamento exponencial 
duplo é uma derivação dessa técnica que implica considerar também pon-
derações. O método de Holt faz parte dessas técnicas. Além de considerar 
a tendência, dados não estacionários podem adicionalmente apresentar 
sazonalidade. Aqui também os efeitos sazonais podem ser de nature-
za aditiva ou multiplicativa. O método de Holt-Winter é outra técnica que 
pode ser aplicada a séries temporais que exibem efeitos de tendência e 
sazonalidade. 
Alguns modelos podem ser considerados como uma representação pro-
babilística de uma série temporal. Nesse caso, o modelo é caracterizado 
como um processo estocástico ou uma função aleatória. Esses modelos, con-
siderados através do método de Box & Jenkins, consistem em três estágios. 
O primeiro, de identificação, propicia verificar se a série temporal pode ser 
descrita através de uma combinação de médias móveis e termos de auto-
correlação. No segundo estágio, estimação, os dados da série temporal são 
usados para estimar os parâmetros do modelo tentativa; e o terceiro estágio, 
teste-diagnóstico, consiste em testes para examinar os desvios do modelo 
ajustado para determinar a adequação dos modelos. 
274
Análise de séries temporais
Atividades de aplicação
 A tabela a seguir mostra os resultados da produção de um componen-
te eletrônico em uma fábrica. Os dados servirão para a resolução dos 
exercícios de 1 a 4.
Ano Produção (em 1 000) Ano Produção (em 1 000)
1994 1 286,40 2001 1 547,50
1995 1 324,40 2002 1 585,50
1996 1 368,70 2003 1 625,20
1997 1 426,90 2004 1 684,30
1998 1 478,60 2005 1 738,10
1999 1 511,10 2006 1 801,10
2000 1 533,40 2007 1 855,40
1. Determine a forma do modelo através do método de mínimos qua-
drados.
2. Construa os gráficos de linha e o gráfico da regressão.
3. Quais os valores esperados de venda do componente eletrônico para 
os anos de 2008 e 2009?
4. Faça uma análise das flutuações cíclicas através do cálculo da percen-
tagem de tendência.
 As despesas em novas instalações e equipamentos das indústrias ma-
nufatureiras no período de 1987 a 2006, em milhões de reais, são apre-
sentadas na tabela a seguir. Faça as análises propostas nos exercícios 
de 5 a 7 acompanhadas dos respectivos gráficos:
Ano Despesas Ano Despesas
1987 11,44 1997 22,45
1988 14,97 1998 26,991989 15,96 1999 28,51
1990 11,44 2000 28,37
1991 12,08 2001 31,68
1992 14,48 2002 31,95
Análise de séries temporais
275
Ano Despesas Ano Despesas
1993 13,68 2003 29,99
1994 14,68 2004 31,35
1995 15,69 2005 38,01
1996 18,58 2006 46,10
5. Utilizar a técnica de médias móveis com k = 2 para fazer a previsão de 
vendas de automóveis para os anos de 2007 e 2008.
6. Fazer as mesmas previsões do exercício 5 utilizando a técnica de mé-
dias móveis com k = 4.
7. Comparar os resultados obtidos nos exercícios 5 e 6 através da deter-
minação do Erro Médio Quadrático (EMQ) de cada ano. Qual técnica 
mostrou-se mais adequada para a análise proposta?
8. A tabela a seguir apresenta as vendas mensais em milhões de reais por 
parte de fábricas de carros de passageiros para o período de janeiro 
de 2003 a dezembro de 2007. Determinar uma nova série utilizando a 
primeira etapa do método de médias móveis para retirada da sazona-
lidade.
Ano Mês Vendas Ano Mês Vendas
2004 Janeiro 545,00 2006 Janeiro 666,00
Fevereiro 528,40 Fevereiro 716,10
Março 594,40 Março 765,20
Abril 627,20 Abril 736,90
Maio 684,40 Maio 798,00
Junho 738,40 Junho 761,60
Julho 464,30 Julho 393,60
Agosto 254,00 Agosto 371,00
Setembro 454,20 Setembro 808,80
Outubro 365,40 Outubro 841,70
Novembro 341,10 Novembro 827,40
 Dezembro 570,60 Dezembro 666,20
276
Análise de séries temporais
Ano Mês Vendas Ano Mês Vendas
2005 Janeiro 678,10 2007 Janeiro 859,80
Fevereiro 719,00 Fevereiro 815,50
Março 815,90 Março 882,80
Abril 736,60 Abril 786,60
Maio 716,70 Maio 880,10
Junho 761,30 Junho 873,30
Julho 468,00 Julho 677,50
Agosto 457,60 Agosto 415,70
Setembro 712,00 Setembro 666,10
Outubro 758,60 Outubro 887,20
Novembro 736,60 Novembro 827,10
 Dezembro 593,20 Dezembro 745
Gabarito
1. Com o quadro a seguir, é possível determinar o sistema de equações 
normais da análise de regressão:
∑Y = na + b∑X
∑XY = a∑X + b∑X2
 Observe que os anos (X) podem ser reescritos de 1 a 14 ou da forma 
como está na tabela, de dois em dois anos, para se fazer ΣX = 0. Isso 
facilita as contas e o sistema pode ser escrito como:
∑Y = na
∑XY = b∑X2
X Y XY X2 Yest
–13 1 286,4 –16 723,2 169 1 287,08
–11 1 324,4 –14 568,4 121 1 328,26
Análise de séries temporais
277
X Y XY X2 Yest
–9 1 368,7 –12 318,3 81 1 369,44
–7 1 426,9 –9 988,3 49 1 410,62
–5 1 478,6 –7 393,0 25 1 451,80
–3 1 511,1 –4 533,3 9 1 492,99
–1 1 533,4 -1 533,4 1 1 534,17
1 1 547,5 1 547,5 1 1 575,35
3 1 585,5 4 756,5 9 1 616,53
5 1 625,2 8 126,0 25 1 657,71
7 1 684,3 11 790,1 49 1 698,89
9 1 738,1 15 642,9 81 1 740,07
11 1 801,1 19 812,1 121 1 781,25
13 1 855,4 24 120,2 169 1 822,43
0 21 766,6 18 737,4 910
 Dessa forma:
a = ∑Y
n
b = 
∑XY
∑X2
 Assim,
21 766,6
1 554,76
14
= =a
18 737, 4
20,59
910
= =b
 O modelo será então:
 Ŷ = a + bX = 1557,76 + 20,59X.
278
Análise de séries temporais
2. O gráfico adequado para representar uma série temporal é o chamado 
gráfico de linhas:
Gráfico de linhas
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
Ve
nd
as
1 141312111098765432
Tempo
Para a análise de regressão entre os pontos, traça-se a reta de regressão 
ou reta de tendência:
Gráfico de regressão
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
Ve
nd
as
0
Tempo
5 10 15
3. Os valores esperados de venda para os anos de 2008 e 2009 podem 
ser obtidos substituindo os valores correspondentes a esses anos na 
equação da reta de regressão. Para 2008, o valor de X será igual a 15 e 
para 2009 será igual a 17. Assim:
 Para X = 15,
Análise de séries temporais
279
 Ŷ = 1 557,76 + 20,59X = 1 557,76 + 20,59(15) = 1 863,615.
 Ou seja, o valor esperado de vendas para 2008 é de 1 863 615 compo-
nentes.
 Para X = 17,
 Ŷ = 1 557,76 + 20,59X = 1 557,76 + 20,59(17) = 1 904,796.
 Ou seja, o valor esperado de vendas para 2009 é de 1 904 796 com-
ponentes.
4. As flutuações cíclicas podem ser verificadas através da determinação 
da percentagem de tendência, Y .100
Ŷ
 
  
.
Y Yest (Y/Yest)100
1 286,4 1 287,08 99,95
1 324,4 1 328,26 99,71
1 368,7 1 369,44 99,95
1 426,9 1 410,62 101,15
1 478,6 1 451,80 101,85
1 511,1 1 492,99 101,21
1 533,4 1 534,17 99,95
1 547,5 1 575,35 98,23
1 585,5 1 616,53 98,08
1 625,2 1 657,71 98,04
1 684,3 1 698,89 99,14
1 738,1 1 740,07 99,89
1 801,1 1 781,25 101,11
1 855,4 1 822,43 101,81
280
Análise de séries temporais
Percentagem de tendência
90,00
92,00
94,00
96,00
98,00
100,00
102,00
104,00
%
 te
nd
ên
ci
a
0
Tempo
15
106,00
108,00
110,00
105
 Observa-se que os dados oscilam em torno do valor 100%.
5. As médias móveis para k = 2 são determinadas como as médias dos 
dois anos anteriores. O valor 13,21 é a média entre 11,44 e 14,97. O 
valor 15,47 é a média entre 14,97 e 15,96, e assim por diante.
Ano Despesas k = 2
1987 11,44
1988 14,97
1989 15,96 13,21
1990 11,44 15,47
1991 12,08 13,70
1992 14,48 11,76
1993 13,68 13,28
1994 14,68 14,08
1995 15,69 14,18
1996 18,58 15,19
1997 22,45 17,14
1998 26,99 20,52
1999 28,51 24,72
2000 28,37 27,75
Análise de séries temporais
281
Ano Despesas k = 2
2001 31,68 28,44
2002 31,95 30,03
2003 29,99 31,82
2004 31,35 30,97
2005 38,01 30,67
2006 46,10 34,68
Média móvel para k = 2
0
5
10
15
20
25
30
35
D
es
pe
sa
s
1
Tempo
3 17 19
40
45
50
13 159 1175
Série 1
Série 2
 A previsão para 2007 é feita como a média entre os anos 2005 e 2006, 
então:
 
2005 2006
2007
38,01 46,10ˆ 42,06
2 2
+ += = =
Y Y
Y
 O valor previsto de despesas para 2007 é de R$42,06 milhões.
 A previsão para 2008 é feita como a média entre os anos 2006 e 2007. 
Como o valor para 2007 não é conhecido, utiliza-se o valor calculado 
da estimativa Ŷ2007 = 42,06:
 
2006 2007
2008
ˆ 46,10 42,06ˆ 44,08
2 2
+ += = =
Y Y
Y
 O valor previsto de despesas para 2008 é de R$44,08 milhões.
282
Análise de séries temporais
6. As médias móveis para k = 4 são determinadas como as médias dos 
quatro anos anteriores. O valor 13,45 é a média entre 11,44, 14,97, 
15,96 e 11,44. O valor 13,61 é a média entre 14,97, 15,96, 11,44 e 12,08 
e assim por diante.
Ano Despesas k = 4
1987 11,44
1988 14,97
1989 15,96
1990 11,44
1991 12,08 13,45
1992 14,48 13,61
1993 13,68 13,49
1994 14,68 12,92
1995 15,69 13,73
1996 18,58 14,63
1997 22,45 15,66
1998 26,99 17,85
1999 28,51 20,93
2000 28,37 24,13
2001 31,68 26,58
2002 31,95 28,89
2003 29,99 30,13
2004 31,35 30,50
2005 38,01 31,24
2006 46,10 32,83
Análise de séries temporais
283
Média móvel para k = 4
0
10
20
30
D
es
pe
sa
s
1
Tempo
3 17 19
40
50
13 159 1175
Despesas
k = 4
 A previsão para 2007 é feita como a média entre os anos 2003, 2004, 
2005 e 2006, então:
 
2003 2004 2005 2006
2007
29,99 31,35 38,01 46,10ˆ 36,36
4 4
+ + + + + += = =
Y Y Y Y
Y
 O valor previsto de despesas para 2007 é de R$36,36 milhões.
 A previsão para 2008 é feita como a média entre os anos 2004, 2005, 
2006 e 2007. Como o valor para 2007 não é conhecido, utiliza-se o va-
lor calculado da estimativa Ŷ2007 = 36,36.
 
2004 2005 2006 2007
2008
ˆ 31,35 38,01 46,10 36,36ˆ 37,96
4 4
+ + + + + += = =
Y Y Y Y
Y
 O valor previsto de despesas para 2008 é de R$ 37,96 milhões.
7. Comparar o EMQ para k = 2 e para k = 4.
Ano Despesas k = 2 k = 4 EMQ k = 2 EMQ k = 4
1987 11,44
1988 14,97
1989 15,96 13,21 7,5900
1990 11,44 15,47 16,2006
284
Análise de séries temporais
Ano Despesas k = 2 k = 4 EMQ k = 2 EMQ k = 4
1991 12,08 13,70 13,45 2,6244 1,8838
1992 14,48 11,76 13,61 7,3984 0,7526
1993 13,68 13,28 13,49 0,1600 0,0361
1994 14,68 14,08 12,92 0,3600 3,0976
1995 15,69 14,18 13,73 2,2801 3,8416
1996 18,58 15,19 14,63 11,5260 15,5828
1997 22,45 17,14 15,66 28,2492 46,1381
1998 26,99 20,52 17,85 41,9256 83,5396
1999 28,51 24,72 20,93 14,3641 57,4943
2000 28,37 27,75 24,13 0,3844 17,9564
2001 31,68 28,44 26,58 10,4976 26,0100
2002 31,95 30,03 28,89 3,7056 9,3789
2003 29,99 31,82 30,13 3,3306 0,0189
2004 31,35 30,97 30,50 0,1444 0,7268
2005 38,01 30,67 31,24 53,8756 45,7991
200646,10 34,68 32,83 130,4164 176,2256
 EMQ = 19 30,53
 EMQ(k = 2) = 19 e EMQ(k = 4) = 30,53.
 Como o EMQ para média móvel com dois valores é menor do que para 
quatro, o método é mais adequado para duas médias.
 Observando os valores previstos para 2007, percebemos que o valor 
previsto para as despesas para k = 2 é de R$42,02 milhões, enquanto 
para k = 4 o valor das despesas previstas é de R$36,36 milhões. De fato, o 
valor previsto para 2007 com duas médias parece ser o mais adequado. 
8. As médias móveis calculadas a seguir correspondem a médias que 
envolvem 13 medidas cada uma e 24 valores, conforme técnica 
apresenta no texto.
Análise de séries temporais
285
Ano Mês Vendas Total 1 Total 2 Média móvel
2004 Janeiro 545,00
Fevereiro 528,40
Março 594,40
Abril 627,20
Maio 684,40
Junho 738,40
Julho 464,30
Agosto 254,00
Setembro 454,20
Outubro 365,40
Novembro 341,10 6 167,40 12 467,90 519,50
 Dezembro 570,60 6 300,50 12 791,60 532,98
2005 Janeiro 678,10 6 491,10 13 203,70 550,15
Fevereiro 719,00 6 712,60 13 534,60 563,94
Março 815,90 6 822,00 13 676,30 569,85
Abril 736,60 6 854,30 13 731,50 572,15
Maio 716,70 6 877,20 13 758,10 573,25
Junho 761,30 6 880,90 13 965,40 581,89
Julho 468,00 7 084,50 14 426,80 601,12
Agosto 457,60 7 342,30 15 077,80 628,24
Setembro 712,00 7 735,50 15 866,50 661,10
Outubro 758,60 8 131,00 16 284,60 678,53
Novembro 736,60 8 153,60 16 295,10 678,96
 Dezembro 593,20 8 141,50 16 280,10 678,34
2006 Janeiro 666,00 8 138,60 16 226,50 676,10
Fevereiro 716,10 8 087,90 16 176,10 674,00
Março 765,20 8 088,20 16 257,70 677,40
Abril 736,90 8 169,50 16 339,30 680,80
286
Análise de séries temporais
Ano Mês Vendas Total 1 Total 2 Média móvel
Maio 798,00 8 169,80 16 265,20 677,72
Junho 761,60 8 095,40 16 104,20 671,01
Julho 393,60 8 008,80 16 114,40 671,43
Agosto 371,00 8 105,60 16 294,30 678,93
Setembro 808,80 8 188,70 16 468,20 686,18
Outubro 841,70 8 279,50 16 632,00 693,00
Novembro 827,40 8 352,50 16 898,80 704,12
 Dezembro 666,20 8 546,30 17 192,00 716,33
2007 Janeiro 859,80 8 645,70 17 409,00 725,38
Fevereiro 815,50 8 763,30 17 576,30 732,35
Março 882,80 8 813,00 17 708,10 737,84
Abril 786,60 8 895,10 17 901,90 745,91
Maio 880,10 9 006,80 18 297,50 762,40
Junho 873,30 9 290,70 18 626,10 776,09
Julho 677,50 9 335,40 18 528,10 772,00
Agosto 415,70 9 192,70 18 430,90 767,95
Setembro 666,10 9 238,20 18 476,10 769,84
Outubro 887,20 9 237,90 18 554,60 773,11
Novembro 827,10 9 316,70
 Dezembro 745,00 
Análise de séries temporais
287
 O gráfico a seguir apresenta a retirada da sazonalidade propiciada 
pelo método:
Gráfico de linhas
300,00
600,00
700,00
800,00
Ve
nd
as
Tempo
900,00
1000,00
400,00
500,00
Série 1
Série 2
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34
288
Análise de séries temporais