PAPMEM - Janeiro 2021 - Aula 01 - Lugares Geométricos II

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Lugares geométricos com coordenadas 
 
Comecemos com um exemplo. 
 
Problema 
Um ponto e uma reta são dados e estão fixos. 
Para cada ponto construa o quadrado no sentido 
anti-horário. Qual é o lugar geométrico do ponto ? 
 
Essa pergunta significa: quando percorre a reta , como se 
move o ponto ? 
 
Hoje temos a facilidade de poder usar o Geogebra para pesquisar o LG e o resultado é o 
seguinte: 
Curioso! 
O LG parece ser uma reta que faz com a reta . 
Demonstrar que esse LG é realmente uma reta que faz com a reta dada, passando 
por um ponto ainda desconhecido não é tarefa fácil se pensarmos apenas em geometria 
sintética. 
Vamos então colocar coordenadas e ver o que podemos 
descobrir. 
A primeira parte é escolher um sistema adequado de 
coordenadas. 
Vamos colocar então e para a reta , . 
Seja . Temos então: 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ e girando de no sentido anti-horário obtemos ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 
Assim, 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
Temos então as equações paramétricas do LG: 
{
 
 
 
 
Eliminando o parâmetro encontramos , ou seja, . 
Isso mostra que o LG é uma reta de coeficiente angular que passa pelo ponto 
 
 
Muitas vezes podemos conseguir um lugar geométrico introduzindo coordenadas 
adequadas ao problema dado. Vamos, a seguir, recordar as equações as cônicas: 
 
 
 
 
 
 
Circunferência 
 
Centro: 
Raio = 
 
 
 
 
 
 
Elipse 
Eixo maior: 
Eixo menor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hipérbole 
 
Eixo transverso: 
Eixo não transverso: 
Assíntotas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parábola 
 
Foco: (
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
Foco: ( 
 
 
) 
 
ou 
 
 
 
 
 
 
Vamos agora resolver diversos problemas. 
 
Problema 1 
É dado um segmento de comprimento 6. 
Determine o LG dos pontos cuja distância ao ponto é o dobro da distância ao ponto 
 . 
 
Solução 
É fácil encontrar dois pontos com essa propriedade. Veja a figura a seguir: 
 
Na figura vemos que . 
Entretanto, no plano, onde estão todos os pontos com essa propriedade? 
Vamos colocar coordenadas. 
Consideremos um sistema de eixos onde . 
Considerando que temos: 
 
√ √ 
Elevando ao quadrado e desenvolvendo, 
 
 
 
 
Completando o quadrado, 
 
 
 
 
O lugar geométrico é, portanto, a circunferência de centro e raio 4. Essa é 
justamente a circunferência de diâmetro do desenho anterior. 
 
Problema 2 
É dado o segmento de comprimento 2. Determine o lugar geométrico dos pontos 
tais que . 
 
Solução 
Estabelecemos um sistema de coordenadas onde . 
Considerando temos: 
 
 
 
 
 
O LG procurado é a circunferência de centro 
no ponto médio de e raio 2. 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3 
É dada uma circunferência de centro e raio 1, e uma reta passando por . Para cada 
ponto da circunferência considere o ponto tal que . Seja o ponto 
médio de Determine o lugar geométrico de quando o ponto percorre a 
circunferência. 
Solução 
Consideremos um sistema de coordenadas 
onde e com o eixo X passando pela 
reta . 
A equação da circunferência é . 
Tomando sobre essa circunferência 
temos que . 
A abscissa de é porque o triângulo é 
isósceles . Assim, como é médio de sua abscissa é 
 
 
 
 
 
 sua 
ordenada é 
 
 
 . 
 (
 
 
 
 
 
) 
Para obter o LG de observe que: 
 
 
 
 
 
 
 
ou seja, 
 
 
 
Elevando ao quadrado e somando, 
 
 
 
ou ainda, 
 
(
 
 )
 
 
(
 
 )
 
 
O LG de é, portanto, a elipse 
definida pela equação acima. 
 
 
 
 
 
 
Problema 4 
Um retângulo tem base igual a 4 e altura igual a 2. Sejam as retas que contém as 
diagonais do retângulo. O ponto é tal que o produto de suas distâncias às duas retas é 
igual a 4. Determine o LG de . 
 
 
Solução 
O sistema de coordenadas conveniente 
tem a origem no ponto de interseção das 
retas e os eixos sobre as bissetrizes dos 
ângulos formados por elas. A unidade dos 
eixos foi escolhida de forma conveniente. 
 
Dessa forma a equação das retas são: 
 
Seja . 
Utilizando a fórmula de distância de um ponto a uma reta temos: 
 
| |
√ 
 
| |
√ 
 
| | 
| | 
Trocando os nomes das coordenadas de temos 
| | 
ou ainda 
 
 
 
 
 
 
 
Temos então duas hipérboles conjugadas definidas pelas equações acima. 
 
 
Problema 5 
O ponto dista 3 unidades de uma reta . A circunferência tem centro e raio 1. O 
ponto é o centro de uma circunferência que é tangente exteriormente a e também 
tangente a . Determine o lugar geométrico de . 
 
 
 
 
Solução 
Estabelecemos um sistema de coordenadas com o eixo X sobre a reta e com o eixo Y 
passando por . 
 
Seja . 
No triângulo retângulo que aparece na figura acima temos: 
 
Desenvolvendo, 
 
 
 
 
 
 
O LG do ponto é a parábola descrita pela equação acima. O vértice é o ponto 
 e o foco é o ponto .