LEITURA COMPLEMENTAR ÁLGEBRA

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Um sistema linear pode ter apenas duas soluções?
Texto baseado nas notas de aula do prof. Alveri Alves Sant’Ana
Informalmente, podemos pensar cada equação linear como se fosse um “plano
no espaço”. Assim, se dois ou mais planos (um sistema linear) se intersectam
em dois pontos distintos, digamos P1 e P2, então todo e qualquer ponto que
estiver na reta que passa pelos pontos P1 e P2 estará na intersecção dos planos
em questão e, portanto, o sistema linear terá infinitas soluções.
Pensando de forma matricial, se A é uma matriz m × n e b é uma matriz-
coluna m × 1, então podemos considerar o sistema linear Ax = b. Digamos
que v e w sejam duas soluções distintas deste sistema. Assim, devemos ter
Av = b = Aw, de modo que Av = Aw. Denotando por 0 a matriz-coluna
nula e usando as propriedades operatórias das matrizes que conhecemos desde
a escola básica, segue que Av − Aw = 0, ou seja, A(v −w) = 0, de modo que
v −w é uma solução não nula do sistema linear homogêneo Ax = 0.
Lembre-se que todo sistema homogêneo Ax = 0 admite x = 0 como solução
(chamada de solução trivial). No entanto, como veremos, essa solução trivial
pode não ser a única solução do sistema homogêneo. Veja que no momento em
que o sistema homogêneo admitir uma solução não trivial x, qualquer múltiplo
escalar kx (com k ∈ R) dessa solução será também solução de Ax = 0, visto
que A(kx) = k · Ax = k · 0 = 0. Logo, se v e w são duas soluções distintas de
Ax = b, então para todo k ∈ R, temos que x = v + k · (w − v) será solução de
Ax = b, visto que A(v + k · (w − v)) = A(v) + k ·A(w − v) = b + k · 0 = b.
Portanto, se o sitema linear admite duas soluções distintas, então ele admitirá
infinitas soluções.
Conjunto Solução de Sistemas Lineares
Com base no racioćınio acima, parece haver uma relação entre soluções de
um sistema linear Ax = b com as soluções do sistema linear homogêneo Ax = 0.
Como vimos, a diferença entre duas soluções particulares de um sistema linear
Ax = b resulta numa solução particular do sistema homogêneo Ax = 0 (sistema
linear homogêneo associado a matriz A). Note que a matriz de coeficientes A
destes dois sistema é a mesma. O próximo resultado vai esclarecer este ponto.
Suponhamos que o sistema linear Ax = b é posśıvel, isto é, que admite pelo
menos uma solução. Consideremos v0 uma solução particular deste sistema.
Assim, devemos ter Av0 = b. Vamos denotar por S o conjunto solução do
sistema Ax = b, e por SH o conjunto-solução do sistema linear homogêneo
Ax = 0 associado a matriz A. Temos então o seguinte resultado:
S = SH + v0 := {u + v0 : u ∈ SH}
Em outra palavras, se um sistema linear Ax = b é posśıvel, seu conjunto
solução é formado por todos os vetores que se escrevem como soma de uma
solução particular v0 deste sistema com uma solução qualquer u do sistema
homogêneo Ax = 0. Vejamos a seguir um exemplo para ilustrar.
1
Exemplo: Determine o conjunto solução do sistema de equações lineares
dado abaixo: 
x1 +x2 +2x3 +x4 = 1
−x1 +2x4 = 2
2x1 −x2 −2x3 −x4 = −1
2x2 +4x3 +3x4 = 3
Solução. Vamos denotar por A a matriz de coeficientes e por b a matriz-
coluna dos termos independentes deste sistema. Assim, temos
A =

1 1 2 1
−1 0 0 2
2 −1 −2 −1
0 2 4 3
 e b =

1
2
−1
3

Após uma rápida analisada nos dados, percebemos que a última coluna de A
é igual a coluna de termos independentes do sistema, de onde segue facilmente
que (0, 0, 0, 1) ∈ R4 é uma solução particular do sistema Ax = b, pois
0

1
−1
2
0
 + 0

1
0
−1
2
 + 0

2
0
−2
4
 + 1

1
2
−1
3
 =

1
2
−1
3

Assim, conhecendo uma solução particular do sistema Ax = b, podemos
resolver o sistema linear homogêneo Ax = 0 e aplicar o argumento desenvolvido
acima para obter o conjunto-solução do sistema Ax = b. Operando nas linhas
do sistema homogêneo mencionado, obtemos
1 1 2 1 | 0
−1 0 0 2 | 0
2 −1 −2 −1 | 0
0 2 4 3 | 0
 ∼ · · · ∼

1 0 0 0 | 0
0 1 2 0 | 0
0 0 0 1 | 0
0 0 0 0 | 0

Assim, o conjunto-solulção do sistema homogêneo é dado por
SH = {(0,−2x3, x3, 0) : x3 ∈ R}
e, consequentemente, o conjunto-solução S do sistema Ax = b será dado por
S = SH + (0, 0, 0, 1), ou seja, temos
S = {(0,−2x3, x3, 1) : x3 ∈ R}
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