Aula teórica 10 Resistência ao escoamento

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GRS 139 - Mecânica de Fluidos para Engenharia
Resistência ao Escoamento de Fluidos
Prof. Luiz Fernando Coutinho de Oliveira
hf = 𝑓
L
D
V2
2g
Equação de Darcy −Weisbach
𝑄 = 𝑉𝐴 V =
4𝑄
𝜋𝐷2
hf = 𝑓
L
D
4𝑄
𝜋𝐷2
2
2×9,81
= 0,0826𝑓
L𝑄2
𝐷5
Análise dimensional: D → h, Pm, Rh, etc...
𝑅ℎ =
𝐴𝑚
𝑃𝑚
Para um conduto circular cheio: 𝑅ℎ =
𝐴𝑚
𝑃𝑚
=
𝜋𝐷2
4
𝜋𝐷
=
𝐷
4
Portanto: D = 4Rh
hf = 𝑓
L
𝑅ℎ
V2
8g
= 8,07× 10−5𝑓
L𝑄2
𝑅ℎ
5
hf = 𝑓
L
D
V2
2g
Equação de Darcy −Weisbach
f = F(Re, e/D)
𝑬𝒔𝒄𝒐𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑳𝒂𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓
𝜏𝑝 =
∆𝑝𝐷
4𝐿
𝜏𝑝 =
𝑅
2
𝑑𝑝
𝑑𝑟
Para um raio “r” qualquer: 𝜏 =
𝑟
2
𝑑𝑝
𝑑𝑟
𝑑𝑝
𝑑𝑟
=
2𝜏𝑝
𝑅
𝜏 =
𝑟
𝑅
𝜏𝑃 (1) 𝜏 = −𝜇
𝑑𝑉
𝑑𝑟
(2)
Igualando as equações 1 e 2, tem-se que: 
𝑟
𝑅
𝜏𝑃 = −𝜇
𝑑𝑉
𝑑𝑟
𝑑𝑉 = −
𝜏𝑃
𝜇𝑅
𝑟𝑑𝑟
Para r = R: V = 0 e para r = rz: V = Vz(r) 
0
𝑉𝑧(𝑟)
𝑑𝑉 = −
𝜏𝑃
𝜇𝑅
 
𝑅
𝑟𝑧
𝑟𝑑𝑟
 
0
𝑉𝑧(𝑟)
𝑑𝑉 = −
𝜏𝑃
𝜇𝑅
 
𝑅
𝑟
𝑟𝑑𝑟
𝑉𝑧 𝑟 = −
𝜏𝑃
2𝜇𝑅
𝑟2 − 𝑅2 =
𝜏𝑃
2𝜇𝑅
𝑅2 − 𝑟2 (3)
Por conceito: 𝑉 =
 𝐴 𝑉𝑧 𝑟 𝑑𝐴
 𝐴 𝑑𝐴
= 
 0
𝑅
𝑉𝑧 𝑟 2𝜋𝑟𝑑𝑟
 0
𝑅
2𝜋𝑟𝑑𝑟
(4)
Substituindo 3 em 4, tem-se que: 𝑉 = 
 𝑜
𝑅 𝜏𝑃
2𝜇𝑅
𝑅2− 𝑟2 2𝜋𝑟𝑑𝑟
 0
𝑅
2𝜋𝑟𝑑𝑟
 𝑉 = 
𝜏𝑃
2𝜇𝑅
 𝑜
𝑅
𝑟𝑅2− 𝑟3 𝑑𝑟
 0
𝑅
𝑟𝑑𝑟
= 
𝜏𝑃
𝜇𝑅
𝑅4
2
−
𝑅4
4
𝑅2
 𝑉 = 
𝜏𝑃
𝜇𝑅3
𝑅4
4
= 
𝜏𝑃𝑅
4𝜇
=
𝜏𝑃𝐷
8𝜇
(5)
𝜏𝑝 =
∆𝑝𝐷
4𝐿
(6) Substituindo 6 em 5, tem-se que: 𝑉 = 
∆𝑝𝐷
4𝐿
𝐷
8𝜇
∆𝑝 = 
32 𝑉𝜇𝐿
𝐷2
𝜌
𝜌
∆𝑝
𝜌
= 
32 𝑉𝜇𝐿
𝜌𝐷2
 𝑉/2𝑔
 𝑉/2𝑔
∆𝑝
𝜌𝑔
= 
64𝜇
𝜌 𝑉𝐷
𝐿
𝐷
 𝑉2
2𝑔
∆𝑝
𝛾
= 
64
𝑅𝑒
𝐿
𝐷
 𝑉2
2𝑔
ℎ𝑓 = 
64
𝑅𝑒
𝐿
𝐷
 𝑉2
2𝑔
hf = 𝑓
L
D
V2
2g
para regime laminar: 𝑓 = 
64
𝑅𝑒
Jean-Léonard-
Marie
Poiseuille
(1797-1869):
físico francês
Gotthilf Heinrich
Ludwig Hagen
(1797-1884):
físico e
engenheiro
hidráulico
alemão.
𝑬𝒙𝒑𝒆𝒓𝒊ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝑵𝒊𝒌𝒖𝒓𝒂𝒅𝒔𝒆 Johann Nikuradse (1894-
1979): engenheiro e físico
alemão
grão de areia
Região I: escoamento laminar e f
independe de e/D, devido ao efeito da
subcamada limite laminar
Região II: região crítica onde f não fica
caracterizado
Região III: tubos hidraulicamente lisos
com influência da subcamada limite
laminar e f = F(Re)
Região IV: transição entre o
escoamento turbulento
hidraulicamente liso e rugoso em que
f = F(Re, e/D)
Região V: turbulência completa em que
f = F(e/D)
Equações empíricas
 Escoamento hidraulicamente liso
Equação de Prandtl:
1
𝑓
= −2𝐿𝑜𝑔
2,51
𝑅𝑒 𝑓
 Escoamento de transição entre o escoamento turbulento
hidraulicamente liso e rugoso
 Escoamento com turbulência completa
Equação de Nikuradse:
1
𝑓
= 1,74 + 2𝐿𝑜𝑔
𝐷
2𝑒
Equação de Nikuradse:
1
𝑓
= −2𝐿𝑜𝑔
𝑒
3,7𝐷
Equação de Blasius: f = 0,3164Re-0,25 3000 < Re < 105
Paul Richard Heinrich Blasius
(1883-1970): engenheiro alemão
Equação de von Karmán:
1
𝑓
= 2𝐿𝑜𝑔 𝑅𝑒 𝑓 − 0,8
Theodore von Karmán (1881-
1963) físico húngaro-
americano
Equação de Colebrook-White:
1
𝑓
= −2𝐿𝑜𝑔
𝑒
3,7𝐷
+
2,51
𝑅𝑒 𝑓
Cyril Frank Colebrook (1910-
1997): físico britânico
Cedric Masey White (1898-
1993): hidráulico britânico 
Diagrama de Moody
Lewis Ferry Moody (1880-1953): engenheiro americano
Equação de Swamee − Jain (reproduz o diagrama de Moody)
𝑓 =
64
𝑅𝑒
8
+ 9,5 𝐿𝑛
𝑒
3,71𝐷
+
5,74
𝑅𝑒0,9
−
2500
𝑅𝑒
6 −16
0,125
Prabhata K.
Swamee: (1947)
Engenheiro civil e
hidráulico indiano
Akalank Kumar Jain
(1969): Engenheiro
civil e hidráulico
indiano
f = 0,057
EXEMPLOS
1º) Segundo a norma NBR 12216, a velocidade longitudinal máxima em decaantadores
de estação de tratamento de água para abastecimento, para fluxo laminar, não deve ser
superior ao valor resultante da seguinte expressão V = (Re/8)1/2Vs, em que Vs é a
velocidade de sedimentação das partículas em suspensão (2,5 cm/mim). Determine a
perda de carga no decantador cuja vazão é 10,8 L/s, largura B = 14 m, altura H = 4 m e
comprimento de 60 m. Verificar o atendimento da norma.
Am = BH = 14×4 = 56 m
2 Pm = B +2H = 14 + 2×4 = 22 m Rh = Am/ Pm = 2,55 m
Q = VA V = Q / A = 0,0108 / 56 = 0,000193 m/s
Re = 4 Rh V /  = 4×2,55×0,000193 /10
-6 = 1963,4 < 2000 regime laminar
Vmax = (Re/8)
1/2Vs = (1963,4/8)1/2(2,54/100×60) = 0,0044 m/s Ok!!!!!! 
ℎ𝑓 = 
64
𝑅𝑒
𝐿
𝐷
 𝑉2
2𝑔
=
64
𝑅𝑒
𝐿
4𝑅ℎ
 𝑉2
2𝑔
=
64
1963,4
60
4×2,55
0,0001932
2×9,81
= 3,64 × 10−10𝑚
EXEMPLOS
2º) Determine a perda carga para um conduto de PVC com 50 mm de diâmetro, 150 m de
comprimento que transporta uma vazão de 2,0 L/s.
A = D2/4 =  0,052/4 = 0,001963 m2
Re = VD /  = 1,02×0,05 /10-6 = 5,1×104
ℎ𝑓 = 𝑓
𝐿
𝐷
 𝑉2
2𝑔
= 0,0211
150
0,05
1,022
2×9,81
= 3,35m
Q = VA V = Q/A = 0,002/0,001963 m2 = 1,02 m/s
Regime turbulento e hidraulicamente liso
Equação de Blasius: f = 0,3164Re-0,25 3000 < Re < 105
f = 0,3164Re-0,25 = 0,3164×(5,1×104)-0,25 = 0,0211 
𝑅𝑒 𝑓 𝑒/𝐷 = 5,1×104 0,0211 0,0015/50 = 0,22 𝑜𝑘‼‼
EXEMPLOS
3º) Resolver o exercício anterior usando o diagrama de Moody e as equações de von
Karmán, Prandtl e Swamee-Jain
Equação de von Karmán:
1
𝑓
= 2𝐿𝑜𝑔 𝑅𝑒 𝑓 − 0,8 (𝑃𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)
Equação de Prandtl:
1
𝑓
= −2𝐿𝑜𝑔
2,51
𝑅𝑒 𝑓
(𝑃𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)
Rugosidade relativa e/D = 0,0015 / 50 = 0,00003
Re = VD /  = 1,02×0,05 /10-6 = 5,1×104 Diagrama de Moody f = 0,021 
Equação de Swamee − Jain 𝑓 =
64
𝑅𝑒
8
+ 9,5 𝐿𝑛
𝑒
3,71𝐷
+
5,74
𝑅𝑒0,9
−
2500
𝑅𝑒
6 −16
0,125
Equação f 𝑅𝑒 𝑓(e/D) hf (m)
Blasius 0,0211 0,222 3,35
von Karmán 0,0208 0,221 3,31
Prandtl 0,0208 0,221 3,31
Swamee 0,0208 0,221 3,31
Moody 0,0210 0,222 3,34
EXEMPLOS
4º) Qual a perda de carga do conduto do exercício anterior, caso o conduto seja de ferro
fundido e a vazão transportada o dobro?
Equação f 𝑅𝑒 𝑓(e/D) hf (m)
Colebrook 0,0316 94,166 20,06
Swamee 0,0318 94,523 20,21
Moody 0,0318 94,453 20,18
Regime turbulento de transição
Equação f 𝑅𝑒 𝑓(e/D) hf (m)
Nikuradse I 0,0307 197,258 88,01
Nikuradse II 0,0307 197,231 87,99
Swamee 0,0313 199,093 89,66
Moody 0,0310 198,172 88,83
5º) Qual a perda de carga do conduto do exercício anterior, caso o conduto seja de ferro
fundido e a vazão for de 8,5 L/s?
Regime turbulento rugoso
6º) Para a tubulação do 3º exemplo, determine a pressão no final da canalização, sabendo-
se que a carga piezométrica no início da canalização é 30 m, as cotas no início e final de
100 e 98 m, respectivamente e a perda de carga como sendo o valor médio determinada
pelos empregados na resolução do exercício.
Q = 2,0 L/s
D = 50 mm
V = 1,02 m/s
hf = 3,32 m 
P1/g = 30 m
z1 = 100 m
z2 = 96 m
a = 1,05
30 +100 + 1,05×1,022/2×9,81 = P2/g + 98 + 1,05×1,02
2/2×9,81 + 3,32
P1/g + z1 + a1V1
2/2g = P2/g + z2 + a2V2
2/2g + hf
P2/g = 28,68 m 
GRS 139 - Mecânica de Fluidos para Engenharia
Resistência ao Escoamento de Fluidos
nas Peças e Singulares
Prof. Luiz Fernando Coutinho de Oliveira
Para o alargamento brusco da seção de escoamento, ocorre a desaceleração do fluido em
um trecho pequeno da canalização, gerando uma zona de alta turbulência, dissipando
parte da energia total (Dh).
Aplicando o teorema de Bernoulli entre as seções 1 e 2 e considerando a = 1,0, tem-se que:
P1/g + z1 + a1V1
2/2g = P2/g + z2 + a2V2
2/2g + hf
(P2 – P1)A2 = ρQ V1 − V2 =
γV2A2
g
V1 − V2
hf = (V1
2 - V2
2)/2g + (P1 - P2)/g (1)
(P1 - P2)/g =
V2
g
V2 − V1 (2)
Substituindo 2 em 1, tem-se que: hf = 
𝑉1
2−𝑉2
2
2g
+ 
2V2
2g
V2 − V1
Perdas de carga acidentais ou localizadas
hf = 
𝑉1
2−𝑉2
2
2g
+ 
2V2
2g
V2 − V1
Q = 𝑉1𝐴1 = 𝑉2𝐴2 𝑉2 = (𝐴1/𝐴2)𝑉1 (4)
Substituindo 4 em 3, tem-se que: hf = 
𝑉1−(𝐴1/𝐴2)𝑉1
2
2g
hf = [1−(𝐴1/𝐴2)]
2𝑉1
2
2g
Fazendo K = [1−(𝐴1/𝐴2)]
2 hf = K
𝑉2
2g
Azevedo Netto (1982)
(3)hf = 
𝑉1
2−𝑉2
2+2𝑉2
2−2V1V2
2g
=
𝑉1
2 −2V1V2+𝑉2
2
2g
= 
𝑉1−𝑉2
2
2g
7º) Para a tubulação do 6º exemplo, determine a pressão no final da canalização, sabendo-
se, ao longo da tubulação foram instalados: 3 Tês de passagemdireta; 5 curvas de 90o; 1
válvula de gaveta; 1 válvula de globo e 1 válvula de retenção.
Q = 2,0 L/s
D = 50 mm
V = 1,02 m/s
hf = 3,32 m 
P1/g = 30 m
z1 = 100 m
z2 = 96 m
a = 1,05
30 +100 + 1,05×1,022/2×9,81 = P2/g + 98 + 1,05×1,02
2/2×9,81 + 4,19
P1/g + z1 + a1V1
2/2g = P2/g + z2 + a2V2
2/2g + hf
P2/g = 27,81 m 
Exemplo
peça quantidade K total
Tê de passagem direta 3 0,6 1,8
Curvas de 90 5 0,4 2
Válvula de gaveta 1 0,2 0,2
Válvula de globo 1 10 10
Válvula de retenção 1 2,5 2,5
Total 16,5
hf localizada = K
𝑉2
2g
= 16,5
1,022
2×9,81
= 0,87 𝑚
hf total= hf linear + hf localizada = 3,32 + 0,87 = 4,19 m