Portfólio 4º Semestre Licenciatura em Matemática

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UNIVERSIDADE NORTE DO PARÁ
ALEXANDRE DE SOUZA RODRIGUES
 Lógica e argumentação matemática por meio de deduções e provas formais.
 
 
 Itacoatiara-Am
2020
ALEXANDRE DE SOUZA RODRIGUES
Lógica e argumentação matemática por meio de deduções e provas formais.
Portfólio apresentado no curso de Licenciatura em Matemática à Universidade Pitágoras Unopar, como requisito para a conclusão das disciplinas: Elementos da Matemática I, Geometria Plana, Geometria Espacial, História da Matemática, Geometria Analítica, Ed- Educação Ambiental, Práticas Pedagógicas em matemática: Olhar Lógica- Matemática para o cotidiano e Educação de Jovens e Adultos (Dependência).
 
Itacoatiara-Am 2020
 
 
 SUMÁRIO
1- INTRODUÇÃO...................................................................................................4
2- DESENVOLVIMENTO.......................................................................................5
3- CONSIDERAÇÕES FINAIS...............................................................................9
4- REFERÊNCIAS..............................................................................................11
.1. INTRODUÇÃO 
 
 Em Matemática estamos sempre tentando descobrir coisas novas e querendo saber se uma afirmação é verdadeira ou falsa. Em muitos casos, a intuição nos mostra a verdade, mas em outros ela pode nos pregar uma peça. Nesses momentos, somo levados a buscar em recurso mais eficiente que nos permita afirmar com certeza o que queremos.
A lógica formal surge com Aristóteles. Como indica o termo grego Órganon, nome dado ao conjunto dos escritos lógicos de Aristóteles, a lógica é um instrumento do pensamento para pensarmos corretamente. A lógica não se refere a nenhum ser, a nenhuma coisa, ou a algum objeto particular, nem a nenhum conteúdo, mas a forma do pensamento.
Ainda segundo Aristóteles a Lógica é o que devemos estudar e aprender antes de iniciar uma investigação filosófica ou cientifica, pois somente ela pode indicar qual o tipo de proposição, de raciocínio, de demonstração, de prova, e de definição que uma determinada ciência deve usar (Chauí,1994). A lógica é uma disciplina que fornece as leis ou regras ou normas ideais de pensamento e o modo de aplica-las para demonstrar a verdade.
A lógica também estabelece os fundamentos necessários para as demonstrações pois dada uma certa hipótese, a lógica permite verificar quais são as suas consequências ; dada uma certa conclusão, a lógica permite verificar se é verdadeira ou falsa (Chauí, 1994). 
2. DESENVOLVIMENTO
 Neste capítulo iremos discutir sobre o desenvolvimento da Lógica tanto no campo da Filosofia quanto no campo da Matemática, explicitando alguns filósofos e matemáticos que se preocuparam de alguma forma com o desenvolvimento ou aprimoramento da Lógica. Separamos este capítulo em duas partes, uma falando sobre a Lógica na Filosofia e outro sobre a Lógica na Matemática. No tópico sobre a Lógica como campo da Filosofia apresentaremos a estruturação da Lógica por Aristóteles e uma inserção didática encontrada por Euler para ensinar Lógica a uma jovem princesa. Seguindo para o tópico sobre a Lógica na Matemática, veremos a idealização e desenvolvimento do campo da Lógica Matemática. Não foi de nosso interesse nos debruçarmos sobre o período da Lógica escolástica, destinando a ela uma pequena parte no início do tópico sobre a Lógica como campo da Matemática.
A história da lógica pode ser dividida, com simplificação ligeiramente excessiva em três estágios: (1) lógica Grega, (2) lógica escolástica e (3) lógica matemática. No primeiro estágio, as fórmulas lógicas consistiam de palavras da linguagem ordinária, sujeitas às regras sintáticas usuais. No segundo estágio, a lógica era tirada da linguagem ordinária, mas caracterizada por regras sintáticas diferenciadas e funções semânticas especializadas. No terceiro estágio, a lógica ficou marcada pelo uso de uma linguagem artificial em que palavras e sinais têm funções semânticas muito limitadas. Ao passo que nos dois primeiros estágios teoremas lógicos eram derivados da linguagem ordinária, a lógica do terceiro estágio procede de maneira oposta – primeiro ela constrói um sistema puramente formal e só depois procura uma interpretação na fala comum. (BOYER, 1974, p. 428)
Ao nos perguntarmos sobre a origem da Lógica formal, voltamos ao século IV a.C. e nos deparamos com Aristóteles (384-322 a.C.) em sua obra Organon. Não se sabe ao certo se houve algum outro estudo anterior sobre as formas do discurso, porém, caso haja, os escritos não se perpetuaram até os dias atuais. Organon é uma obra formada por um conjunto de 6 escritos sobre a arte de filosofar, a arte de exercitar a filosofia.
     Utilizando os escritos de Aristóteles, o Organon visa falar sobre a linguagem e o estudo dos métodos corretos de argumentação. 
 O sistema de livros que a tradição liceal formulou com os escritos lógicos de Aristóteles e discípulos, destinado à escola peripatética, intitula-se Organon, que se traduz por órgão, instrumento. órgão é elemento de aparelho, e nesta acepção Aristóteles inventou o nome: elemento do aparelho analítico, a Analítica, que a escolástica latina batizou com o nome de Lógica. O aparelho inclui, além da Analítica, a Gramática e a Retórica, mas os fundamentos do trívio constam deste compêndio do pensamento rigoroso e não paralogista dos livros orgânicos, fonte da lógica formal, a pontos de o próprio Aristóteles reconhecer que, antes dele, nada havia a citar, apesar da penosidade que sofreu em busca de eventuais fontes anteriores, de onde o seu exercício analítico e retórico constituir o primeiro na escola grega e, por efeito, nas demais escolas. (GOMES apud ARISTÓTELES, 1985, p. 9)
A primeira parte da obra começa falando sobre categorias. Ao introduzir o conceito de substância, o termo de uma proposição, Aristóteles afirma que as substâncias não admitem algo contrário. Porém, apesar de ser una, pode receber simultaneamente qualificações contrárias, dependendo da situação. Isso pode acabar sendo problemático, pois não saberíamos se uma afirmação é verdadeira ou falsa. Na segunda parte, intitulada “Da interpretação”, Aristóteles começa explicando conceitos gramaticais para que possa inserir a ideia de proposição e principalmente de proposição categórica. As duas partes seguintes, denominadas sucessivamente como “Analíticos anteriores” e “Analíticos posteriores”, Aristóteles discute as formas corretas de argumentação, abordando conceitos como o de silogismo. Para Aristóteles, “O silogismo é uma locução em que, uma vez certas suposições sejam feitas, alguma coisa distinta delas se segue necessariamente devido à mera presença das suposições como tais” (ARISTÓTELES, 2010, p.112). Está definição de silogismo é encontrada em Analíticos Anteriores (livro I). Outras definições de silogismo podem ser encontradas na obra como na parte denominada “Tópicos”: “O silogismo é um discurso argumentativo no qual uma vez formuladas certas coisas, alguma coisa distinta dessas coisas resulta necessariamente através delas pura e simplesmente” (ARISTÓTELES, 2010, p.347). Não se sabe ao certo o motivo que levou Aristóteles a desenvolver a Lógica formal. Porém, pode-se observar que algumas partes de suas obras sugerem uma possível motivação para tal. A sexta parte da obra Organon, denominada “Refutações sofísticas”, trabalha em cima das falácias, essas por muitas vezes utilizadas pelos sofistas. Sabe-se que os Sofistas foram adversários e diversamente alvos decríticas por parte de Platão e Aristóteles. Com isso, os sofistas podem ter impulsionado Aristóteles a pesquisar sobre os modos válidos de argumentação. Os escritos de Aristóteles a respeito da Lógica dedutiva foram de extrema importância para diversas gerações posteriores, de forma que nenhuma mudança substancial ocorreu na Lógica durante aproximadamente 2000 anos. Uma grande mudança ocorreu somente a partir de Frege, Russell e Whitehead. Além disso, seus escritos se mostraram importantes para diversas áreas, entre elas, a Matemática, a ciência e a linguagem. Apesar de se preocupar de certa forma com o ensino da Lógica, levando em conta as exemplificações que utilizou em seus escritos, os textos de Aristóteles não eram de fácil entendimento para grande parte dos leitores. Assim, ao pensarmos em um momento da história em que houve um maior zelo ao se ensinar Lógica, podemos pensar em Euler e suas cartas a uma princesa da Alemanha.
 Em 1740, Frederico II ao assumir trono da Prússia, com o intuito de revitalizar a Academia de Ciências em Berlim, convida Leonhard Euler (1707-1783) a assumir uma posição na sua Academia de Ciências da Prússia. O convite foi aceito e em 1741 Euler se mudou para Berlim. 
 Uma das primeiras iniciativas do rei da Prússia foi revitalizar a academia de ciências em Berlim, que havia declinado nas últimas décadas. Para lhe dar um prestígio equivalente ao da academia de ciências da França, Frederick II procura o mais importante cientista da época, convidando Euler a se juntar a sua Academia real de ciências da Prússia (MUSIELAK, 2014, p. 3, tradução nossa).
Em 1760, no auge de sua carreira como diretor do Departamento de Matemática da Academia de Ciências da Prússia, Euler começou a instruir a princesa Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt por meio de cartas. Não se sabe ao certo quando Euler conheceu a princesa e nem o motivo que levou uma princesa, de apenas 15 anos, a educar-se com Euler. Porém, acredita-se que o intuito era de preparar a princesa para algo maior que apenas sua curiosidade. 
Especula-se que Euler visitou o futuro Margrave em seu castelo em Berlim com o objetivo de servir de tutor às suas filhas. Em 1782, Condorcet insinuou que a princesa desejava receber de Euler algumas lições de física. Todavia, em 1760, Charlotte já era abadessa-coadjutor da abadia de Herford e é mais provável que as cartas tinham a intenção de prepará-la para governar como uma princesa abadessa (MUSIELAK, 2014, p. 4, tradução nossa).
Em 19 de abril de 1760, Euler escreve sua primeira carta destinada à princesa, que na época tinha apenas 15 anos. Durante 2 anos foram escritas 234 cartas em língua francesa, língua utilizada pela corte da Prússia.
As cartas continham conteúdos sobre diversas áreas, como: Física, Ciência, Astronomia, Música, Lógica, Teologia e Filosofia. Pela complexidade dos assuntos, principalmente para uma pessoa de 15 anos, Euler tomou alguns cuidados em relação ao ensino desses conteúdos como a utilização de desenhos, tabelas e esquemas gráficos como artifícios didáticos a fim de buscar uma melhor compreensão por parte da destinatária. Em 1766, a convite da imperadora russa Catarina II, Euler retornou para a Academia de Ciências de São Petersburgo. Lá, em 1768, foi publicado uma coletânea de 3 livros contendo cópias das cartas de Euler para a princesa Friederike Charlotte.
Posteriormente, Euler perdeu quase totalmente a visão depois de uma doença. Alguém na Rússia deve ter lido as cópias das cartas que Euler havia escrito a princesa e descobriu a riqueza científica e filosófica que elas continham. O propósito e a profundidade dos tópicos tratados por Euler fizeram da coleção de cartas uma enciclopédia única. A imperatriz incentivou a publicação das cartas, com o intuito de tornar a ciência acessível a uma ampla variedade de leitores. Ela estava correta. Publicado em 1768, originalmente em língua francesa, Lettres à une Princesse d’Allemagne sur divers sujets de Physique & de Philosophie tornou-se rapidamente um sucesso. No final do século XVIII, a trilogia de livros foi traduzida para quase todas as línguas europeias, passando por diversas impressões. (MUSIELAK, 2014, p. 5, tradução nossa)
Foram destinadas pelo menos 7 cartas para ensinar conceitos de Lógica à princesa. É difícil saber em que ponto começa o ensino da Lógica, pois há uma introdução ao conceito filosófico de noção, que serviria posteriormente para o entendimento de proposição. Aqui consideramos a primeira carta sobre o estudo da Lógica, aquela que introduz o conceito de proposição. Euler passou um mês debruçando-se em temas da Lógica clássica, sendo a primeira carta datada de 10 de fevereiro de 1761. Antes de falar sobre Lógica, Euler dissertou sobre a importância da linguagem para o exercício das abstrações, pois, no uso da linguagem, empregamos palavras, que nada mais são que símbolos, correspondentes a ideias ou objetos. A fim de ensinar sobre os processos válidos de argumentação, Euler propôs o estudo da Lógica. Pela profundidade e complexidade do tema, Euler utilizou representações visuais como um auxílio didático para uma melhor compreensão da natureza dos objetos por meio da visão. Euler começou sua inserção didática utilizando diagramas para melhor elucidar os 4 tipos de proposições categóricas. De acordo com Euler, uma substância contém um número infinito de objetos individuais, então poderíamos pensá-la como um espaço no qual todos esses objetos estariam contidos. Assim, Euler representou com um círculo o espaço no qual todos os objetos referentes a uma certa substância estariam ali inseridos. Na figura 3 podemos ver como Euler tratou o tema. O mesmo artifício foi utilizado para ensinar as formas válidas de argumentação.
Ao pensarmos na Lógica formal como campo da Matemática, temos que ter em mente que a Lógica por muito tempo não esteve associada diretamente a Matemática. Segundo Ferreirós (2010), a Lógica passou por um grande crescimento na Idade Média (sec. V – sec. XV), porém, naquela época, a Lógica não se comunicava com a Matemática. Enquanto a Lógica era uma das “artes” do Trivium (Lógica ou dialética, gramática e retórica), que correspondia a ciência da linguagem, a Matemática estava ligada ao Quadrivium (aritmética, música, geometria e astronomia), ciência da matéria e das quantidades5 . As ideias de pensar em uma linguagem universal ou até mesmo um modelo de raciocínio lógico para o cálculo, só vieram no século XVII com as ideias de mathesis universalis, de René Descartes (1596-1650), língua characterica e calculus ratiocinator, de Leibniz. Por também ser filósofo, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) foi o primeiro a se preocupar com a algebrização da Lógica. Segundo (BOYER, 1974), ele desejava criar um sistema que “formalizasse” e “algebrizasse” a Lógica, introduzindo símbolos que fossem facilmente compreendidos, a fim de tornar a Lógica uma linguagem universal. Seus estudos fluíram pela integração entre a Lógica proposicional e as operações fundamentais da álgebra, correlacionando conceitos como disjunção e soma; conjunção e multiplicação. Outros autores também deram a devida atenção ao tema.
No final do século XIX e início do século XX, muitos trabalhos sobre a lógica matemática e a fundamentação da Matemática tiveram uma maior recepção por parte de filósofos que de matemáticos, principalmente por causa do empenho de pesquisadores que eram tanto filósofos quanto matemáticos, como Frege e Bertrand Russel (1872-1970), que tiveram contribuições igualmente grandiosas à Filosofia, como a idealização da Filosofia analítica.
Convêm enfatizar que estas novas contribuições vieram sobretudo de matemáticos com um notório interesse pela filosofia e pelos árduos problemas dos fundamentos do conhecimento matemático. Suas contribuições reorientaram os caminhos da tradição lógica e retrospectivamente pode-se dizer que arrancaram da filosofia um campo que até então havia sido considerado próprio, para formar uma nova disciplina caracteristicamente matemática. (FERREIRÓS, 2010, p. 281)3. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Pela sua importância no desenvolvimento do pensamento, acreditamos que conceitos de Lógica devem ser trabalhados na escola básica. Sua ligação com a Matemática se tornou intensa de tal forma, que as aulas dessa disciplina são um campo fértil para a sua aprendizagem, não somente por meio de demonstrações, mas de outras formas que fazem sua aprendizagem ocorrer indiretamente. Em um certo contexto que mesmo não trabalhando a Lógica como conteúdo, os indivíduos são capazes de desenvolver e compreender os processos corretos de argumentação apenas por meio de exemplificações. Como vimos, a Lógica pode ser tratada de forma indireta em diversos conteúdos, como foi mostrado para as áreas de geometria e probabilidade. Mesmo sendo apenas um meio para um determinado fim, a Lógica não deixa de ser trabalhada. Tornando progressivo o desenvolvimento de seus conceitos, sendo desenvolvido no decorrer da sua vida escolar. Essa forma dual de se pensar o ensino de Lógica pode proporcionar uma aprendizagem do objetivo final, o conteúdo proposto, e o desenvolvimento do pensamento lógico dedutivo. Cabe ao professor saber diagnosticar em que momento deve-se utilizar esse recurso, não forçando uma utilização desnecessária sem o fim estipulado pela metodologia. Por isso, é de extrema importância que o professor tenha, mesmo que basicamente, contato com a Lógica formal em sua formação, além de conhecimento das possibilidades de usa-la em sua carreira docente. A metodologia por si só não faz sentido sem uma ideia de uso reflexivo do mesmo, buscando uma aprendizagem crítica e significativa. Caso contrário, não passará de um meio para se empurrar um ensino sistemático de Lógica formal. 
Ao pensarmos em uma inserção didática utilizando a manipulação de um baralho para melhorar a compreensão de problemas probabilísticos, o uso da Lógica proposicional aparece na escolha de quais cartas seriam consideradas como favoráveis para a contagem probabilística. Por exemplo, na pergunta (a) da figura 17, o estudante deve entender quais cartas fariam parte do conjunto de casos favoráveis. Dessa forma, caso um indivíduo queira saber a probabilidade de retirar uma carta de paus ou uma dama, deve contar como casos favoráveis as cartas de paus e as damas, incluindo a dama de paus. Essa escolha não é aleatória, ela respeita a ideia de que ter apenas uma proposição simples verdadeira é suficiente para a validade do argumento. Assim, retirar apenas uma carta de paus, mesmo não sendo uma dama, é suficiente para atingir o objetivo desejado. Já com o conectivo “e”, somente o caso em que as duas proposições simples sejam verdadeiras, será contado como caso favorável. Caso queiramos retirar uma carta de copas e de número 2, a única carta possível é retirarmos o 2 de copas, pois somente a veracidade de ambas acarreta a validade do argumento. Uma outra forma de trabalhar a Lógica em um contexto probabilístico a fim de perceber as relações de ordem entre a probabilidade de conjunções, disjunções e proposições simples. Em um certo exemplo, encontrado em Azevedo e Vaz (2018).
Ao pensarmos no ensino de Matemática, a Lógica deve ser tratada não de forma conteudista, como um ponto fixo dentro do currículo de Matemática, mas como uma ferramenta de ensino visando uma melhor aprendizagem de um conteúdo. Mesmo trabalhando a Lógica como um meio para que o fim seja a aprendizagem de outro conteúdo, seu ensino e o seu desenvolvimento acabam sendo trabalhados de forma indireta. O ensino de Lógica, assim, [...] não deve ser um ponto programático localizado em algum momento específico da estrutura curricular, mas sim deve ser uma preocupação metodológica presente sempre que algum ponto do programa permitir ou que o interesse da turma justificar uma exploração mais detalhada. (DRUCK, 1998, p.10) O seu ensino não deve ser pautado em conteúdo, mas deve ser trabalhado por meio de uma abordagem indireta e metodológica, tornando a aprendizagem mais crítica e não tão mecanizada. Segundo Soares (2004) pautar o ensino de Lógica com o ensino de conectivos, tabelas verdade e diagramas de Venn, acaba sendo uma reprodução de fórmulas e algoritmos, não havendo assim, reflexão sobre os seus aspectos. Em algumas áreas do programa de Matemática, a Lógica é mais facilmente observada. Em conteúdos ligados a Geometria, por exemplo, o pensamento dedutivo é utilizado de forma constante. Tanto no ensino fundamental quanto no ensino médio, a Geometria é uma das áreas da Matemática na qual o raciocínio dedutivo é visto com mais frequência, principalmente nos textos com orientações curriculares e em livros didáticos.
 
 
REFERENCIAS
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ARISTÓTELES. Órganon. Trad. Edson Bini. 2.ed. Bauru: EDIPRO, 2010. ARISTÓTELES. 
 Órganon. Trad. Pinharanda Gomes. v. I e II. Lisboa: Guimarães Editores, 1985. Disponível em: https://marcosfabionuva.files.wordpress.com/2011/08/organon-i-trad-pinharandagomes.pdf Acesso em 28 ago. 2018.
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