01_revisao

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CONCEITOS 
FUNDAMENTAIS
1
REVER
OBJETIVOS
• Números complexos 
• Adição de senoídes 
• Regra de Cramer 
• Funções polinomiais 
• Expansão em frações parciais
2
MOTIVAÇÃO
• Além do cálculo diferencial e integral, estes conceitos são 
fundamentais para dominar a arte de todas as engenharias modernas 
e a arte de todas as áreas de pesquisa - exatas ou não! 
• Ou sendo mais sucinto: Não sabendo isso, você não fez um curso de 
nível superior. 
• Mas eu faço direito… ou eu faço medicina … ou eu faço enfermagem 
… ou eu faço humanas. Bom saibam que todas estas áreas se 
beneficiam destes conhecimentos de forma direta ou indireta. 
• E a frase única para estudar bem isso: Se não souber estes tópicos 
direito vai reprovar! 
3
O IMAGINÁRIO LIGADO AO REAL
NÚMEROS COMPLEXOS
• No inicio dos tempos conhecia-se apenas o indefinido, bom até hoje na Australia tem tribos 
que não entendem nenhum valor numérico além de “um”. 
• Com a agricultura e pecuária (talvez) surgiu a necessidade da contagem, e o primeiro 
conjunto surgiu os inteiros sem o zero (1,2,3) 
• Com a civilização e a escrita surgem os números fracionais, com os filósofos gregos surgem 
os números irracionais 
• Com os filósofos indianos surge o zero 
• Com os banqueiros europeus surgem os números negativos (aqui está o conjunto dos reais) 
• Com a raiz quadrada surge e a resolução de equações de terceiro grau aparece o conceito 
de número imaginário : 
• E com ela o conjunto de números imaginários 
j = −1
4
JUNTE A REALIDADE A IMAGINAÇÃO
NÚMEROS COMPLEXOS
• O número complexo é formado por um par de números, um real e 
um imaginário (como em coordenadas cartesianas) : 
• Os números a e b pertencem ao reais, mas b é multiplicado pela 
raiz quadrada de -1, ele é a parte imaginária e a é a parte real. 
Z = a + jb
Im
Re
Zb
a
5
DEFINIÇÃO
FUNÇÃO REAL E IMAGINÁRIO
• Dado o número complexo Z: 
• A função Re: 
• A função Im:
Re(Z ) = a
Z = a + jb
Im(Z ) = b
6
TRANSFORMAÇÃO CARTESIANO POLAR E VICE VERSA
NOTAÇÃO POLAR
• Um número complexo pode ser expresso por: 
• Onde r é a distancia da origem até o ponto Z e angulo teta é o 
arco entre o eixo x e a semi reta da origem até Z. 
Z = r∠θ
Im
Re
Zb
a
r
θ
a = r cos θ
b = r sin θ
r = a2 + b2
θ = arctan
b
a
7
POLAR - CARTESIANO E VICE VERSA
CONVERSÃO
Z = r∠θ Z = r(cos θ + j sin θ)
r = a2 + b2
θ = arctan
b
a
Z = a + jb Z = r∠θ
Módulo:
Fase
Cuidado na calculadora, normalmente ela calcula tudo no 1o e no 2o quadrante!
8
NUMERICAMENTE:
NOTAÇÃO DE EULER
Z = a + jb = r cos θ + jr sin θ
ejθ = cos θ + j sin θ
Z = r ⋅ ejθ
9
DEFINIÇÃO
CONJUGADO COMPLEXO
• Dado 
• O conjugado complexo 
• Propriedades
Z = a + jb = r ⋅ ejθ
Z * = a − jb = r ⋅ e−jθ
Z + Z * = (a + jb) + (a − jb) = 2a = 2Re(Z )
Z ⋅ Z * = (a + jb) ⋅ (a − jb) = a2 + b2 = r2
10
PROPRIEDADES
NÚMEROS COMPLEXOS
1e±jπ = − 1
1e±jnπ = − 1 Se n inteiro impar 
1e±2njπ = + 1 Se n inteiro 
1ejπ/2 = j
1e−jπ/2 = − j
11
TRANSFORMAR NA FORMA POLAR
EXERCÍCIOS
z = 2 + j3
z = − 2 + j
z = − 2 − j3
z = 1 − j3
TRANSFORMAR NA FORMA CARTESIANA
z = 2ejπ/3
z = 4e−j3π/4
z = 2ejπ/2
z = 3e−j3π
z = 2ej4π
z = 2e−j4π
12
SOMA E SUBTRAÇÃO
OPERAÇÕES COM COMPLEXOS
• Soma/subtrai as partes reais 
• Soma/subtrai as partes imaginárias
Z1 = 3 + j4
Z2 = 2 + j3
Z1 + Z2 = (3 + j4) + (2 + j3) = (3 + 2) + j(4 + 3) = 5 + j7
Z1 = 3 + j2
Z2 = 1 + j3
Z1 − Z2 = (3 + j2) − (1 + j3) = (3 − 1) + j(2 − 3) = 2 − j
13
MULTIPLICAÇÃO
OPERAÇÕES COM COMPLEXOS
Z1 = 3 + j4 = 5ej53,1
∘
Z2 = 2 + j3 = 13ej56,3
∘
Z1 ⋅ Z2 = 5ej53.1
∘ 13ej56,3∘
Z1 ⋅ Z2 = 5 13ej(53.1
∘+j56,3∘)
Z1 ⋅ Z2 = 5 13ej109,4
∘
14
DIVISÃO
OPERAÇÕES COM COMPLEXOS
Z1 = 3 + j4 = 5ej53,1
∘
Z2 = 2 + j3 = 13ej56,3
∘
Z1
Z2
=
5ej53,1∘
13ej56,3∘
Z1
Z2
=
5
13
ej(53,1∘−56,3∘)
Z1
Z2
=
5
13
ej3,2∘
15
POTENCIAÇÃO
OPERAÇÕES COM COMPLEXOS
Z1 = 3 + j4 = 5ej53,1
∘
Z1
2 = (5ej53,1∘)2
Z1
2 = (5)2 (ej53,1∘)2
Z1
2 = 25 (e2⋅j53,1∘)
Z1
2 = 25ej106,2∘
Z1 = (5ej53,1∘)1/2
Z1 = 5 (ej53,1∘)1/2
Z1 = 5 (ej53,1∘/2)
Z1 = 5ej26,55
∘
16
PARA Z1 E Z2, REALIZAR AS OPERAÇÕES
EXERCÍCIO
Z1 = 2ejπ/4 Z2 = 8ejπ/3
Z1 − Z2
1
Z1
Z1
Z2
Z2
17
FUNÇÃO COMPLEXA DE UMA VARIÁVEL REAL
EXEMPLO
• Determine X(⍵) na forma cartesiana e determine sua parte real e 
imaginária
X(ω) =
2 + jω
3 + j4ω
X(ω) =
2 + jω
3 + j4ω
⋅
3 − j4ω
3 − j4ω
X(ω) =
6 + 4ω2 − j5ω
9 + 16ω2
X(ω) =
(6 + 4ω2) − j5ω
9 + 16ω2
X(ω) =
6 + 4ω2
9 + 16ω2
− j
5ω2
9 + 16ω2
Re Im
18
FUNÇÃO COMPLEXA DE UMA VARIÁVEL REAL
EXEMPLO
• Expresse a função do exemplo anterior na forma polar
X(ω) =
2 + jω
3 + j4ω
X(ω) =
4 + ω2ej arctan ω/2
9 + 16ω2ej arctan 4ω/3
X(ω) =
4 + ω2
9 + 16ω2
ej(arctan ω/2 − arctan 4ω/3)
19
SOMA DE SENOIDES
SENOIDES
• Duas senoides com a mesma freqüência e fases diferentes se 
somam para formar uma única senoide de mesma freqüência 
C cos (ω0t + θ) = C cos θ cos ω0t − C sin θ sin ω0t
a = C cos θ
b = C sin θ
C cos (ω0t + θ) = a cos ω0t − b sin ω0t
C = a2 + b2
θ = arctan
−b
a
Fasor
ω0
C
20
TRANSFORMAÇÃO FATORIAL COMPLEXA
SENOIDES E COMPLEXOS
• Podemos associar a uma senoide um número complexo - 
transformação do domínio do tempo para o domínio da 
freqüência 
• Todas as operações matemáticas possíveis com complexos se 
aplicam as senoides de mesma freqüência 
i(t) = I cos(ωt + θ)
i(t) = Re(Iej(ωt+θ))
i(t) = Iejθ
Dominio do tempo
Domínio da freqüência 
21
SINAIS 
SENOIDE E EXPONENCIAL
• Com uma senoide exponencialmente amortecida podemos 
descrever a maioria dos sinais usados em engenharia 
• O pouco restante é descrito como uma soma de senoides em uma 
série de Fourier 
y(t) = Aeσt cos(ωt + θ)
22
EXEMPLO
t(s)
x(t)
� = 0
! > 0
23
σ < 0
EXEMPLO
t(s)
x(t)
� = 0
! > 0
24
EXEMPLO
t(s)
x(t)
� < 0
! = 0
25
EXEMPLO
t(s)
x(t)
� = 0
! = 0
26
REGRA DE CRAMER
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
• Resolver equações lineares simultâneas 
• Primeiro transformamos em uma equação matricial : A.X = Y 
• A variável xk é: 
• Onde Dk é o determinante da matriz A substituindo a coluna k-ésima por Y.
a11x1 + a12x2 . . . a1nxn = y1
a21x1 + a22x2 . . . a2nxn = y2. . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 . . . amnxn = ym
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n. . . . . . . . .
am1 +am2 . . . amn
⋅
x1
x2. . .
xn
=
y1
y2. . .
ym
xk =
|Dk |
|A |
27
RESOLVER O SISTEMA UTILIZANDO CRAMER 
EXEMPLO 
2x1 + x2 + x3 = 3
x1 + 3x2 − x3 = 7
x1 + x2 + x3 = 1
28
ESCREVER NA FORMA MATRICIAL
SOLUÇÃO
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n. . . . . . . . .
am1 +am2 . . . amn
⋅
x1
x2. . .
xn
=
y1
y2. . .
ym
[
2 1 1
1 3 −1
1 1 1 ] ⋅
x1
x2
x3
= [
3
7
1]
A ⋅ X = Y
29
CALCULAR O DETERMINANTE DE A
SOLUÇÃO
|A | =
2 1 1
1 3 −1
1 1 1
=
2 1 1
1 3 −1
1 1 1
2 1
1 3
1 1
+
-
|A | = (2 ⋅ 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ −1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ⋅ 1) − (1 ⋅ 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ −1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 ⋅ 1)
|A | = (6 − 1 + 1) − (3 − 2 + 1) = 6 − 2 = 4
30
OS VALORES DAS VARIÁVEIS SÃO
SOLUÇÃO
x1 =
3 1 1
7 3 −1
1 1 1
4
=
8
4
= 2
x2 =
2 3 1
1 7 −1
1 1 1
4
=
4
4
= 1
x3 =
2 1 3
1 3 7
1 1 1
4
=
−8
4
= − 2
[
2 1 1
1 3 −1
1 1 1 ] ⋅
x1
x2
x3
= [
3
7
1]
31
RESOLVER OS SISTEMAS DE EQUAÇÕES
EXERCÍCIOS
x1 + x2 + x3 = 1
x1 + 2x2 + 3x3 = 3
x1 − x2 = − 3
x1 + x2 + x3 + x4 = 4
x1 + x2 + x3 − x4 = 2
x1 + x2 − x3 − x4 = 0
x1 − x2 − x3 − x4 = − 2
x1 − 2x2 + 3x3 = 2
x1 − x3 + 7x4 = 3
x1 − x3 + 7x4 = 3
−2x2 + 3x3 − 4x4 = 4
32
−1,2,0 Det = 01,1,1,1
FUNÇÃO QUE É UMA RAZÃO DE POLINÔMIOS 
FUNÇÃO RACIONAL
• Durante a analise de sistemas lineares chegamos a funções que são 
frações de polinômios F(x) 
• F(x) é impropria se m > n, pode ser separada na forma de um 
polinômio mais uma função própria 
• F(x) é própria se m < n, a função pode ser expandida em funções 
parciais.
F(x) =
bmxm + bm−1xm−1 + … + b1x + b0
anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0
F(x) =
P(x)
Q(x)
33
EXPANDIR A FUNÇÃO POLINOMIAL 
EXEMPLO
F(x) =
2x3 + 9x2 + 11x + 2
x2 + 4x + 3
1 - Dividir os polinômios é possível:
2x3 + 9x2 + 11x + 2 |x2 + 4x + 3
−(2x3+ 8x2 + 6x) 2x + 1
0 + x2 + 5x + 2
−(x2 + 4x + 3)
Restox − 1
F(x) = 2x + 1 +
x − 1
x2 + 4x + 3
Polinomio Própria
34
A FUNÇÃO PRÓPRIA PODE SER EXPANDIDA EM FUNÇÕES 
PARCIAIS
EXEMPLO
F(x) = 2x + 1 +
x − 1
x2 + 4x + 3
2 - Transformar o polinômio de segundo grau em uma multiplicação de dois 
polinômios :
x − 1
x2 + 4x + 3
=
x − 1
(x + 1)(x + 3)
Ache as raises do polinômio (formula 
de Báskara) 
(x-r1)(x-r2)
r1,2 =
−b ± b2 − 4ac
2a
r1 =
−4 + 42 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3
2
= − 1
r2 =
−4 − 42 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3
2
= − 3
35
CONTINUAÇÃO 
EXEMPLO
2 - Eliminação de frações
x − 1
(x + 1)(x + 3)
=
a
x + 1
+
b
x + 3
a(x + 3) + b(x + 1) = x − 1Onde:
Separando os termos em x :
{ ax + bx = x3a + b = − 1 = { a + b = 13a + b = − 1
Resolvendo a = -1 e b=2
F(x) = 2x + 1 −
1
x + 1
+
2
x + 3
36
FATORES DISTINTOS DE Q(X)
MÉTODO DE HEAVISIDE
• Q(x) tem fatores distintos (não repetem). Sendo: 
• F(x) pode ser escrita na forma: 
• Onde os lambdas são as raizes de Q(x)
F(x) =
P(x)
Q(x)
F(x) =
bmxm + bm−1xm−1 + … + b1x + b0
xn + an−1xn−1 + … + a1x + a0
F(x) =
k1
x − λ1
+
k2
x − λ2
+ … +
kn
x − λn
37
CONTINUAÇÃO
MÉTODO DE HEAVISIDE
• Para determinar k1: 
• Todos os temos desaparecem menos k1:
(x − λ1)F(x) = k1 +
k2(x − λ1)
x − λ2
+
k3(x − λ1)
x − λ3
+ … +
kn(x − λ1)
x − λn x=λ1
k1 = (x − λ1)F(x) x=λ1
kr = (x − λr)F(x) x=λr
r = 1,2,3…, n
38
EXPANDIR
EXEMPLO
F(x) =
2x2 + 9x − 11
(x + 1)(x − 2)(x + 3)
F(x) =
k1
x + 1
+
k2
x − 2
+
k3
x + 3
k1 =
2x2 + 9x − 11
(x + 1)(x − 2)(x + 3)
(x + 1)
x=−1
=
2 − 9 − 11
(−1 − 2)(−1 + 3)
= 3
k2 =
2x2 + 9x − 11
(x + 1)(x − 2)(x + 3)
(x + 2)
x=2
=
8 + 18 − 11
(2 + 1)(2 + 3)
= 1
k3 =
2x2 + 9x − 11
(x + 1)(x − 2)(x + 3)
(x + 3)
x=−3
=
18 − 27 − 11
(−3 + 1)(−3 − 2)
= − 2
F(x) =
3
x + 1
+
1
x − 2
−
2
x + 3
39
RAIZES COMPLEXAS DE Q(X)
EXEMPLO
F(x) =
4x2 + 2x + 18
(x + 1)(x2 + 4x + 13)
λ1 =
−b + b2 − 4ac
2a
=
−4 + 16 − 52
2
= − 2 + j3
λ1 =
−4 − 16 − 52
2
= − 2 − j3
F(x) =
4x2 + 2x + 18
(x + 1)(x + 2 − j3)(x + 2 + j3)
F(x) =
k1
x + 1
+
k2
x + 2 − j3
+
k3
x + 2 + j3
40
CONTINUAÇÃO
EXEMPLO
k1 =
4x2 + 2x + 18
(x + 1)(x2 + 4x + 13)
(x + 1)
x=−1
= 2
k2 =
4x2 + 2x + 18
(x + 1)(x + 2 − j3)(x + 2 + j3)
(x + 2 − j3)
x=−2+j3
= 1 + j2
F(x) =
2
x + 1
+
1 + j2
x + 2 − j3
−
1 − j2
x + 2 + j3
k3 =
4x2 + 2x + 18
(x + 1)(x + 2 + j3)(x + 2 + j3)
(x + 2 − j3)
x=−2−j3
= 1 − j2
41
ALTERNATIVA
FATORES QUADRÁTICOS
• As vezes precisamos combinar os termos resultantes em fatores 
quadráticos 
• Para determinar c1 e c2 devemos resolver a equação associando 
os temos de mesmo grau:
F(x) =
4x2 + 2x + 18
(x + 1)(x2 + 4x + 13)
F(x) =
k1
x + 1
+
c1x + c2
x2 + 4x + 13
k1 =
4x2 + 2x + 18
(x + 1)(x2 + 4x + 13)
(x + 1)
x=−1
= 2
4x2 + 2x + 18 = (2)(x2 + 4x + 13) + (c1x + c2)(x + 1)
42
CONTINUAÇÃO
FATORES QUADRATICOS
4x2 + 2x + 18 = (2)(x2 + 4x + 13) + (c1x + c2)(x + 1)
4x2 + 2x + 18 = (2 + c1)x2 + (8 + c1 + c2)x + (26 + c2)
4x2 + 2x + 18 = 2x2 + 8x + 26 + c1x2 + c1x + c2x + c2
2 +c1 = 4
8 +c1 +c2 = 2
26 +c2 = 18
c1 = 2,c2 = − 8
F(x) =
2
x + 1
+
2x − 8
x2 + 4x + 13
43
EXPANDIR O POLINOMIO
EXERCÍCIO
F(x) =
2x2 + 4x + 5
x(x2 + 2x + 5)
44
SUPONHA A FUNÇÃO 
FATORES REPETIDOS DE Q(X)
F(x) =
P(x)
(x − λ)r(x − α1)(x − α2)…(x − αj)
F(x) =
a0
(x − λ)r
+
a1
(x − λ)r−1
+ … +
ar−1
x − λ
+
k1
x − α1
+
k2
x − α2
+ … +
kj
x − αj
k1,k2 … são os fatores não repetidos, usa-se Heaviside
O resto dos termos usa-se:
x = λ
(x − λ)rF(x)
x=λ
= a0
d
dx
(x − λ)rF(x)
x=λ
= a1
aj =
1
j!
dj
dx j
(x − λ)rF(x)
x=λ
45
EXPANDIR
EXERCÍCIO
F(x) =
4x3 + 16x2 + 23x + 13
(x + 1)3(x + 2)
F(x) =
a0
(x + 1)3
+
a1
(x + 1)2
+
a3
x + 1
+
k1
x + 2
k1 =
4x3 + 16x2 + 23x + 13
(x + 1)3(x + 2)
(x + 2)
x=−2
=
−32 + 64 − 46 + 13
−1
= 1
a0 =
4x3 + 16x2 + 23x + 13
(x + 1)3(x + 2)
(x + 1)3
x=−1
=
−4 + 16 − 23 + 13
1
= 2
46
CONTINUAÇÃO
EXERCÍCIO
a1 =
d
dx [ 4x
3 + 16x2 + 23x + 13
(x + 2) ]
x=−1
a1 =
(12x2 + 32x + 23)(x + 2) − (4x3 + 16x2 + 23x + 13)(1)
(x + 2)2
x=−1
Regra do quociente: ( fg )
′�
=
gf′�− fg′�
g2
a1 =
8x3 + 40x2 + 64x + 33
x2 + 4x + 4
x=−1
= 1
47
CONTINUAÇÃO
EXERCÍCIO
a1 =
1
2!
d
dx [ 8x
3 + 40x2 + 64x + 33
x2 + 4x + 4 ]
x=−1
= 3
F(x) =
2
(x + 1)3
+
1
(x + 1)2
+
3
x + 1
+
1
x + 2
Se for mais difícil, é melhor entender o processo e usar um CAS software, ex. Matlab 
48
FIXAÇÃO
EXERCÍCIOS
• Determine a expansão em frações parciais, no papel, das 
seguintes funções racionais:
H1(s) =
s2 + 5s + 6
s3 + s2 + s + 1
r1 = j, r2 = − j, r3 = − 1
H2(s) =
s3 + s2 + s + 1
s2 + 5s + 6
H3(s) =
1
(s + 1)2(s2 + 1)
H4(s) =
s2 + 5s + 6
3s2 + 2s + 1
49
VETOR
MATRIZES
• Uma entidade especificada por n números em uma certa ordem é 
um vetor n-dimensional
x = [x1 x2 … xn]
x =
x1
x2…
xn
50
MATRIZ
MATRIZES
• Uma entidade especificada por m x n elementos é uma matriz 
bidimensional m x n 
A =
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
⋮ ⋮ ⋮
am1 am2 … amn
51
EQUAÇÃO MATRICIAL
MATRIZES
• Um sistema de equações pode ser representado por uma equação 
matricial:
y1
y2
⋮
ym
=
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a1n
⋮ ⋮ ⋮
am1 am2 … amn
x11
x21
⋮
xn
A =
y1 = a11x1 + a12x2 + … + a1nxn
y2 = a21x1 + a22 + … + a2nxn
⋮
ym = am1x1 + am2x2 + … + amnxn
y = Ax
52
MATRIZ QUADRADA
MATRIZES
A =
2 0 0
0 1 0
0 0 5
I =
1 0 0 … 0
0 1 0 … 0
0 0 1 … 0
⋮ ⋮ ⋮ … ⋮
0 0 0 … 1
Matriz identidade ou unitária :
Matrizes são iguais se forem da mesma ordem e tiverem os mesmo elementos nas mesmas 
posições.
53
MATRIZ TRANSPOSTA
MATRIZES
A = [
2 1
3 2
1 3]
AT = [2 3 11 2 3]
54
ALGEBRA MATRICIAL
MATRIZES 
• Adição, para duas matrizes da mesma ordem:
A + B = (aij + bij)
A =
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
⋮ ⋮ ⋮
am1 am2 … amn
B =
b11 b12 … b1n
b21 b22 … b2n
⋮ ⋮ ⋮
bm1 bm2 … bmn
A + B =
a11 + b11 a12 + b12 … a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 … a2n + b2n
⋮ ⋮ ⋮
am1 + bm1 am2 + bm2 … amn + bmn
55
MULTIPLICAÇÃO
ALGEBRA MATRICIAL
• O número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas em 
B
A ⋅ B =
n
∑
k=1
(aik ⋅ bkj)
[
2 3
1 1
3 1][
1 3 1 2
2 1 1 1]
c11 = a11b11 + a12b21 = 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 = 8
c12 = a11b12 + a12b22 = 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 1 = 9
c13 = 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 = 5
c14 = 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 = 7
c21 = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 = 3
c22 = 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 = 4
c23 = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 = 2
c24 = 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 = 3
c31 = 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 = 5
c32 = 3 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 = 10
c33 = 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 = 4
c34 = 3 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 = 7
[
2 3
1 1
3 1][
1 3 1 2
2 1 1 1] =
8 9 5 7
3 4 2 3
5 10 4 7
56
PROPRIEDADES
MATRIZES
• Uma matriz multiplicada por um escalar equivale a multiplicar 
cada elemento da matriz pelo escalar 
• A.B ≠ B.A 
• A.I=I.A 
• |A.B|=|A|.|B| 
• A derivada / integral de uma matriz de funções é a integral / 
derivada de cada elemento da matriz
57
CAPITULO B - P.B. LATHI
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
• B2, B3, B31, B33, B34 
• B. P. LATHI Sinais e Sistemas Lineares, 2ª edição, Bookman 
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