05_filtros

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FILTROS
�1
PLANO S
CONSTELAÇÃO DE POLOS E ZEROS
• Em cada zero da função H(s) a resposta é zero 
• Em cada polo da função H(s) a resposta é infinito 
• Veja a função:
H(s) = k
s + 2
(s + 1 − j5)(s + j5)
H(s) = k
s + 2
s2 + 2s + 26
jω
σO
X
X
−2
−1 + j5
−1 − j5
Plano s
ω0
ω0
jωd
−jωd
−α
- o = zeros 
- x = polos
ω0 = α2 + ω2d
�2
PLANO S
CONSTELAÇÃO DE POLOS E ZEROS
• Para determinar o valor de k precisamos de um valor de H(s) em 
algum s que não seja uma freqüência critica. Vamos supor H(0)=1
1 = k
0 + 2
02 + 0s + 26
k = 13
jω
σO
X
X
−2
−1 + j5
−1 − j5
Plano s
ω0
ω0
jωd
−jωd
−α
- o = zeros 
- x = polos
ω0 = α2 + ω2d
�3
FIXAÇÃO
EXERCÍCIO
• Represente a constelação de polos e zeros das funções 
I(s) =
s + 9,5
(s + 8)(s + 0,5)
V(s) =
2s − 8
(s + 8)(s + 0,5)
�4
CONSTRUÇÃO
DIAGRAMAS DE BODE
• Indicamos H(jw) em dB: 
• Determinação das assíntotas: Vamos fatorar H(s) para mostrar 
seus polos e zeros . Exemplo:
HdB = 20 log |H( jω) |
H(s) = 1 +
s
a
H( jω) = 1 +
jω
a
|H( jω) | = 1 +
ω2
a2
HdB = 20 log |H( jω) | = 20 log 1 +
ω2
a2
�5
CONSTRUÇÃO
DIAGRAMAS DE BODE
• Continuando : 
• Quando 𝜔 << a 
• Quando 𝜔 >> a 
• Em 𝜔=1, HdB = 0; em 𝜔=10 a HdB = 20dB; 𝜔=100a HdB = 40dB
HdB = 20 log |H( jω) | = 20 log 1 +
ω2
a2
HdB = 20 log |H( jω) | = 20 log 1 = 0dB
HdB = 20 log |H( jω) | = 20 log
ω
a
�6
CONSTRUÇÃO
DIAGRAMAS DE BODE
• Continuando : 
• Em 𝜔=1, HdB = 0; em 𝜔=10 a HdB = 20dB; 𝜔=100a HdB = 40dB 
• A assíntota tem uma inclinação de 20dB por década (um aumento 
de 10 vezes na freqüência. Como a HdB cresce 6dB quando a 
frequência dobra, um valor alternativo é 6dB / oitava. 
�7
CONSTRUÇÃO
DIAGRAMAS DE BODE
• Continuando : 
• A duas assíntotas se encontram em a. Quando w = a:
aa
10
a
100
10a 100a
20dB
40dB
ω > > a → HdB = 20 log
ω
aω < < a → HdB = 0dB
�8
CONSTRUÇÃO
DIAGRAMAS DE BODE
• Continuando : 
• Quando w = a: 
• Na verdade temos uma curva suave perto desta região:
aa
10
a
100
10a 100a
20dB
40dB
ω > > a → HdB = 20 log
ω
aω < < a → HdB = 0dB
ω = a → HdB = 20 log 1 +
a
a
= 3dB
�9
EXERCÍCIO 
DIAGRAMA DE BODE
• Construir o diagrama de bode da impedancia de entrada Z(s) da 
rede: H(s) = Z(s) = R + sL = 20 + 0,2s
H(s) = 20 (1 + s100 )
HdB = 20 log 20 (1 + ω100 )
ω > > a → HdB = 26dB + 20 log
ω
a
ω < < a → HdB = 20 log 20 = 26dB
HdB = 26dB + 20 log
100
100
= 26 + 0dB
HdB = 26dB + 20 log
1000
100
= 26 + 20dB
�10
EXERCÍCIO 
DIAGRAMA DE BODE
• Resultado :
H(s) = Z(s) = R + sL = 20 + 0,2s
H(s) = 20 (1 + s100 )
ω > > a → HdB = 26dB + 20 log
ω
a
ω < < a → HdB = 20 log 20 = 26dB
100101 1000 10000
20dB
40dB
�11
RESPOSTA EM FASE 
DIAGRAMA DE BODE
• Exemplo de um sistema de zero simples :
∠ |H( jω) | = arctan
ω
a
H(s) = 1 +
s
a
ω ≤ 0.1a → ∠ |H( jω) | = 0∘
ω ≥ 10a → ∠ |H( jω) | = 90∘
aa
10
a
100
10a 100a
45∘
90∘
�12
EXEMPLO
DIAGRAMA DE BODE
H(s) = Z(s) = R + sL = 20 + 0,2s
H(s) = 20 (1 + s100 )
ω ≤ 10 → ∠ |H( jω) | = 0∘
ω ≥ 1000 → ∠ |H( jω) | = 90∘
100101 1000
45∘
90∘
Fazer o diagrama de fase do circuito do exemplo anterior
�13
FILTRO PASSA BAIXA 
PROJETO DE FILTROS
• Um filtro passa baixa de primeira ordem pode ser feito com um 
resistor em série com um capacitor
H(s) =
Vo(s)
Vi(s)
=
1/sC
R + 1/sC
H(s) = =
1/sC
R + 1/sC
⋅
sC
sC
H(s) = =
1
sRC + 1
A freqüência de corte:
ωc =
1
RC
�14
FILTRO PASSA BAIXA 
PROJETO DE FILTROS
• Um filtro passa baixa de primeira ordem pode ser feito com um 
resistor em série com um capacitor
H(s) = =
1
sRC + 1
A freqüência de corte:
ωc =
1
RC
H(s) = =
1
s
ωc
+ 1
A função transferencia é:
�15
FILTRO PASSA BAIXA 
PROJETO DE FILTROS
• Um filtro passa baixa de primeira ordem pode ser feito com um 
resistor em série com um capacitor
Diagrama de Bode:
ωc =
1
RC
H(s) = =
1
s
ωc
+ 1
H( jω) =
1
jω
ωc
+ 1
HdB = 20 log |H( jω) | = 20 log 1 +
ω2
ω2c
−1
HdB = − 20 log 1 +
ω2
ω2c
O digrama fica invertido em relação comparado ao exemplo anterior
�16
FILTRO PASSA BAIXA 
PROJETO DE FILTROS
• Um filtro passa baixa de primeira ordem pode ser feito com um 
resistor em série com um capacitor
Diagrama de Bode:
HdB = − 20 log 1 +
ω2
ω2c
O digrama fica invertido em relação comparado ao exemplo anterior
�17
FILTRO PASSA BAIXA
DIAGRAMAS DE BODE
• Continuando : 
• Quando 𝜔 << a 
• Quando 𝜔 >> a 
• Em 𝜔=1, HdB = 0; em 𝜔=10 a HdB = -20dB; 𝜔=100a HdB = -40dB
HdB = − 20 log |H( jω) | = − 20 log 1 +
ω2
a2
HdB = − 20 log |H( jω) | = − 20 log 1 = 0dB
HdB = − 20 log |H( jω) | = − 20 log
ω
a
�18
FILTRO PASSA BAIXA 
PROJETO DE FILTROS
• Um filtro passa baixa de primeira ordem pode ser feito com um 
resistor em série com um capacitor
Diagrama de Bode:
HdB = − 20 log 1 +
ω2
ω2c
O diagrama fica invertido em relação comparado ao exemplo anterior
ω ≤ 0,1ωc → ∠ |H( jω) | = 0∘
ω ≥ 10ωc → ∠ |H( jω) | = − 90∘
∠ |H( jω) | = − arctan
ω
ωc
�19
FILTRO PASSA BAIXA
PROJETO DE FILTROS
�20
EXEMPLO
PROJETO DE FILTROS
• Projetar um filtro passa baixa com freqüência de corte de 3kHz, 
usando um resistor de 4k7 ohms 
11,29nF
�21
FILTRO PASSA BAIXA RL
PROJETO DE FILTROS
• Determinar a função transferencia do circuito RL abaixo 
H(s) =
Vo(s)
Vi(s)
=
R
R + sL
H(s) =
1
1 + sLR
ωc =
R
L
H(s) =
1
1 + sωc
HdB = − 20 log 1 +
ω2
ω2c
ω ≤ 0,1ωc → ∠ |H( jω) | = 0∘
ω ≥ 10ωc → ∠ |H( jω) | = − 90∘
∠ |H( jω) | = − arctan
ω
ωc
�22
FILTRO PASSA ALTA 
PROJETO DE FILTROS
• Um filtro passa alta de primeira ordem pode ser feito com um 
resistor em série com um capacitor:
H(s) =
Vo(s)
Vi(s)
=
R
R + 1sC
H(s) =
R
R + 1/sC
⋅
1/R
1/R
H(s) =
1
1 + 1sRC
ωc =
1
RC
H(s) =
1
1 + ωcs
�23
FILTRO PASSA ALTA 
PROJETO DE FILTROS
• Um filtro passa alta de primeira ordem pode ser feito com um 
resistor em série com um capacitor:
ωc =
1
RCH(s) =
1
1 + ωcs
Diagrama de Bode:
H( jω) =
1
ωc
jω + 1
HdB = − 20 log 1 +
ω2c
ω2
�24
FILTRO PASSA ALTA 
PROJETO DE FILTROS
• Um filtro passa alta de primeira ordem pode ser feito com um 
resistor em série com um capacitor:
ωc =
1
RC
Diagrama de Bode:
H( jω) =
1
ωc
jω + 1
HdB = − 20 log 1 +
ω2c
ω2
�25
FILTRO PASSA ALTA
DIAGRAMAS DE BODE
• Continuando : 
• Quando 𝜔 << 𝜔c 
• Quando 𝜔 >> 𝜔c 
• São -20dB/ década para freqüências menores que 𝜔c
HdB = − 20 log |H( jω) | = − 20 log 1 = − ∞dB
HdB = − 20 log |H( jω) | = − 0dB
HdB = − 20 log 1 +
ω2c
ω2
�26
FILTRO PASSA ALTA
DIAGRAMAS DE BODE
HdB = − 20 log 1 +
ω2c
ω2
ω ≤ 0,1ωc → ∠ |H( jω) | = 90∘
ω ≥ 10ωc → ∠ |H( jω) | = 0∘
∠ |H( jω) | = − arctan
ωc
ω
�27
INTRODUÇÃO
FILTROS PASSA FAIXA
BW = ωc2 − ωc1
�28
BLOCOS EM CASCATA
FILTROS PASSA FAIXA
BW = ωc2 − ωc1
�29
INTRODUÇÃO
FILTROS REJEITA FAIXA
�30