06_fourier

Prévia do material em texto

UFABC
Transformada de 
Fourier
Eduardo S Ferreira
!1
Introdução
❖ Engenheiros eletricistas instintivamente pensam em 
sinais em termos de seu espectro de freqüência e 
pensam em sistemas em termos de resposta em 
freqüência
❖ Um sinal periódico pode ser representado como a soma 
de senóides de várias freqüências. 
!2
Sinais periódicos
❖ Um sinal periódico x(t) com período T0 possui a 
propriedade : 
❖ O menor valor de T0 que satisfaz a condição de 
periodicidade é o período fundamental de x(t).
❖ A área sob um sinal periódico x(t) para qualquer 
intervalo T0 é a mesma: 
x(t) = x(t + T0), ∀t
∫
a+T0
a
x(t)dt = ∫
b+T0
b
x(t)dt ∫T0 x(t)dt!3
Sinal periodico senoidal 
❖ Freqüência fundamental : 
❖ Freqüência angular fundamental:
❖ Período fundamental :
❖ Sinal periódico senoidal com n harmônicos - série 
trigonométrica de Fourier:
f0 =
ω0
2π
ω0 = 2πf0
T0 =
1
f0
x(t) = a0 +
∞
∑
n=1
an cos nω0t + bn sin ωnt
!4
Harmônico 
❖ O harmônico é uma freqüência múltipla inteira da 
freqüência fundamental
❖ Podemos construir praticamente todo o tipo de sinal 
periódico usando uma combinação de senos e cossenos. 
!5
Serie de Fourier
❖ Dada uma função periódica x(t), o teorema de Fourier 
diz que x(t) pode ser representada pela série infinita:
❖ Forma trigonometrica
❖
x(t) = a0 +
∞
∑
n=1
(an cos nω0t + bn sin ωnt)
!6
Algumas integrais uteis 
∫T0 sin(nω0t)dt = 0
∫T0 cos(nω0t)dt = 0
∫T0 sin(kω0t)cos(nω0t)dt = 0
∫T0 sin(kω0t)sin(nω0t)dt = 0,(k ≠ n)
∫T0 cos(kω0t)cos(nω0t)dt = 0,(k ≠ n)
∫T0 sin
2(nω0t)dt =
T0
2
∫T0 cos
2(nω0t)dt =
T0
2
!7
Determinação dos coeficientes
❖ Frequência fundamental:
❖ Valor médio (contínuo) de x(t):
❖ Termos an:
❖ Termos bn:
ω0 = 2πf0 =
2π
T0
a0 =
1
T0 ∫T0 x(t)dt
an =
2
T0 ∫T0 x(t)cos(nω0t)dt
bn =
2
T0 ∫T0 x(t)sin(nω0t)dt
!8
Exemplo
❖ A forma de onda abaixo representa a saída de um 
retificador senoidal. Obtenha a representação desta 
senoide na série de Fourier. 
T0 = 4s
f0 = 0,25Hz
ω0 = 0,5πrad /s
A partir do gráfico:
Podemos escrever a função cosseno 
retificada como:
v(t) =
Vm cos 0,5πt 0 ≤ t ≤ 1
0 1 < t < 3
Vm cos 0,5πt 3 ≤ t ≤ 4
!9
Exemplo
❖ Continuando 
T0 = 4s f0 = 0,25Hz ω0 = 0,5πrad /sA partir do gráfico:
Vamos arrumar para ficar mais 
simples:
v(t) = {Vm cos 0,5πt −1 ≤ t ≤ 10 1 < t < 3
!10
Exemplo
❖ Continuando 
T0 = 4s f0 = 0,25Hz ω0 = 0,5πrad /sA partir do gráfico:
Termo a0:
v(t) = {Vm cos 0,5πt −1 ≤ t ≤ 10 1 < t < 3
a0 =
1
T0 ∫T0 x(t)dt
a0 =
1
4 ∫
1
−1
Vm cos(0,5πt)dt +
1
4 ∫
3
1
0dt
a0 =
Vm
4 ( 2π sin(0,5πt))
1
−1
=
2Vm
4π (sin(0,5π) − sin(−0,5π))
1
−1
=
Vm
π
!11
Exemplo
❖ Continuando 
T0 = 4s f0 = 0,25Hz ω0 = 0,5πrad /sA partir do gráfico:
Termos an bn :
v(t) = {Vm cos 0,5πt −1 ≤ t ≤ 10 1 < t < 3 a0 = Vmπ
an =
2
T0 ∫T0 x(t)cos(nω0t)dt
an =
2
4 ∫
1
−1
Vm cos(0,5πt)cos(n0,5πt)dt
bn =
2
T0 ∫T0 x(t)sin(nω0t)dt
bn =
2
4 ∫
1
−1
Vm cos(0,5πt)sin(n0,5πt)dt = 0
∫T0 sin(kω0t)sin(nω0t)dt = 0,(k ≠ n)
!12
Exemplo
❖ Continuando 
T0 = 4s f0 = 0,25Hz ω0 = 0,5πrad /sA partir do gráfico:
Termos an bn :
v(t) = {Vm cos 0,5πt −1 ≤ t ≤ 10 1 < t < 3 a0 = Vmπ
a1 =
1
2 ∫
1
−1
Vm cos2(0,5πt)dt =
Vm
2
bn = 0
∫
1
−1
cos2(nω0t)dt =
1 − (−1)
2
=
2
2
= 1
!13
Exemplo
❖ Continuando 
T0 = 4s f0 = 0,25Hz ω0 = 0,5πrad /sA partir do gráfico:
Termos an bn :
v(t) = {Vm cos 0,5πt −1 ≤ t ≤ 10 1 < t < 3 a0 = Vmπ
a1 =
Vm
2
bn = 0
an =
Vm
2 ∫
1
−1
cos(0,5πt)cos(n0,5πt)dt
an =
Vm
2 [ 1π + πn sin(0,5π + 0,5πn)t + 1π − πn sin(0,5π − n0,5π)t]
1
−1
an =
Vm
2π(1 − n2) [sin(0,5π + 0,5πn) + sin(0,5π − n0,5π)]
!14
Exemplo
❖ Continuando 
T0 = 4s f0 = 0,25Hz ω0 = 0,5πrad /sA partir do gráfico:
Termos an bn :
v(t) = {Vm cos 0,5πt −1 ≤ t ≤ 10 1 < t < 3 a0 = Vmπ
a1 =
Vm
2
bn = 0
an =
Vm
2π(1 − n2) [sin(0,5π + 0,5πn) + sin(0,5π − n0,5π)]
sin A + sin B = 2 sin [ 12 (A + B)] cos [ 12 (A − B)]
an =
Vm
π(1 − n2) [sin(0,5π)cos(n0,5π)] =
Vm
π(1 − n2)
cos(n0,5π)
!15
Exemplo
❖ Continuando 
T0 = 4s f0 = 0,25Hz ω0 = 0,5πrad /sA partir do gráfico:
v(t) = {Vm cos 0,5πt −1 ≤ t ≤ 10 1 < t < 3
a0 =
Vm
π
a1 =
Vm
2
bn = 0an =
Vm
π(1 − n2)
cos(n0,5π)
v(t) =
Vm
π
+
Vm
2
cos(0,5πt)
∞
∑
n=2
Vm
π(1 − n2)
cos(0,5πn)cos n0,5πt
Usando até o 4 harmônico 
!16
Exemplo
❖ Continuando 
T0 = 4s f0 = 0,25Hz ω0 = 0,5πrad /s
a0 =
Vm
π
a1 =
Vm
2
bn = 0an =
Vm
π(1 − n2)
cos(n0,5π)
v(t) =
Vm
π
+
Vm
2
cos(0,5πt)
∞
∑
n=2
Vm
π(1 − n2)
cos(0,5πn)cos(n0,5πt)
In
te
ns
id
ad
e
-0,25
0
0,25
0,5
0,75
1
Freqüência angular (rad/s)
0 3,14159265358979 6,28318530717959
W
0,5π π
2π
Espectro de frequências 
Cn = a2n + b2n
θn = arctan
−bn
an
x(t) = a0
∞
∑
n=1
Cn cos(nω0t + θn)
Forma compacta:
!17
Exercício de fixação
❖ Determinar a serie de Fourier do sinal abaixo
2
1
π 2π 3π
3
2
−
2
π (sin(x) + sin(3x)3 + sin(5x)5 + …)!18
Simetria 
❖ Dizemos que f(t) possui a propriedade da simetria par 
se:
❖ Funções como t2, cos(3t), ln(cos(t)), sen2(7t) e uma 
constante C possuem simetria par , a troca de t por (-t) 
não muda o valor de nenhuma dessas funções. 
f(t) = f(−t)
!19
Simetria 
❖ Dizemos que f(t) possui a propriedade da simetria 
impar se:
❖ Funções como t, sen(t), cos(70t), sen2(7t) possuem 
simetria impar , a troca de t por (-t) não muda o valor de 
nenhuma dessas funções. 
f(t) = − f(−t)
!20
Simetria e a serie de Fourier 
f(t) = f(−t)
Tipo de simetria Característica Simplificação
Par
f(t) = − f(−t)Impar
bn = 0
an = 0
!21
Forma complexa da serie de Fourier
❖ Usando a identidade de Euler, podemos expressar a 
série de Fourier na forma complexa:
x(t) =
∞
∑
n=−∞
Dnejnω0t
Dn =
1
T0 ∫
+T0/2
−T0/2
x(t)e−jnω0tdt
!22
Exemplo
❖ Determinar os coeficientes Dn do sinal:
ω0 =
2π
T0
= 2rad /s
T0 = π
!23
Exemplo
❖ Determinar os coeficientes Dn do sinal:
ω0 =
2π
T0
= 2rad /sT0 = π x(t) =
∞
∑
n=−∞
Dnejnω0t
Dn =
1
T0 ∫
+T0/2
−T0/2
x(t)e−jnω0tdt
Dn =
1
π ∫
π
0
e
−t
2 e−jn2tdt =
1
π ∫
π
0
e−(0,5+j2n)tdt
Dn =
−1
π(0.5 + j2n)
e−(0,5+j2n)t
π
0
=
0,504
1 + j4n
!24
Exemplo
❖ Determinar os coeficientes Dn do sinal:
ω0 =
2π
T0
= 2rad /sT0 = π x(t) =
∞
∑
n=−∞
Dnejnω0t
Dn =
0,504
1 + j4n
x(t) = 0,504 [1 + 11 + j4 ej2t + 11 + j8 ej4t + … + 11 − j4 e−j2t + 11 + j8 e−j4t + …]
Observe que os termos Dn são conjugados
E temos frequências negativas ! 
!25
Exemplo
❖ Determinar os coeficientes Dn do sinal:
ω0 =
2π
T0
= 2rad /sT0 = π x(t) =
∞
∑
n=−∞
Dnejnω0t
Dn =
0,504
1 + j4n
D0 = 0,504
D1 =
0,504
1 + j4
|D1 | =
0,504
12 + 42
= 0,122 ∠ |D1 | = − arctan
4
1
= − 75,96∘
D−1 =
0,504
1 − j4
|D−1 | =
0,504
12 + 42
= 0,122 ∠ |D1 | = − arctan
−4
1
= 75,96∘
…
!26
Exemplo
❖ Determinar os coeficientes Dn do sinal:
ω0 =
2π
T0
= 2rad /sT0 = π x(t) =
∞
∑
n=−∞
Dnejnω0t Dn =
0,504
1 + j4n
Espectro de frequências 
0
0,15
0,3
0,45
0,6
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
|Dn |
ω → ω →
-90
-67,5
-45
-22,5
0
22,5
45
67,5
90
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
∠ |Dn |
!27
Exercícios de fixação
❖ Sugestão 
❖ Lathi 6.1-1, 6.3-8 
!28
Transformada de Fourier
❖ A transformada de Laplace é importante na analise de 
sistemas. 
❖ A transformada de Fourier é importante na analise de 
sinais. 
❖ Sinais não periódicos também podem ser representados 
pela integral de Fourier
est
ejωt
!29
Transformada de Fourier
❖ Definição :
X(ω) = ℱ[x(t)]
x(t) = ℱ−1[X(ω)]
X(ω) = ∫
∞
−∞
x(t)e−jωtdt
x(t) =
1
2π ∫
∞
−∞
X(ω)ejωtdω
!30
Exemplo
❖ Calcular a transformada de Fourier de: e−atu(t)
X(ω) = ℱ[x(t)]
X(ω) = ∫
∞
−∞
u(t)e−ate−jωtdt
X(ω) = ∫
∞
0
e−(a+jω)tdt =
−1
a + jω
∞
0
X(ω) =
1
a + jω
, a > 0
Transformado para polar:
X(ω) =
1
a2 + ω2
e−j arctan(ω/a) |X(ω) | =
1
a2 + ω2
∠X(ω) = − arctan
ω
a
!31
Exemplo
❖ Calcular a transformada de Fourier de: e−atu(t)
X(ω) = ℱ[x(t)] X(ω) =
1
a + jω
, a > 0 X(ω) =
1
a2 + ω2
e−j arctan(ω/a)
|X(ω) | =
1
a2 + ω2
∠X(ω) = − arctan
ω
a
!32
Linearidade
❖ A transformada de Fourier é linear:
ℱ[a1x(t) + a2x2(t)] = a1X1(ω) + a2X2(ω)
!33
Função de porta unitária❖ Defini-se função de porta unitária ret(x) como um pulso 
retangular de altura unitária e largura unitária, centrada 
na origem:
ret(x)
1/2-1/2
ret(x) =
0 |x | > 12
1
2 |x | =
1
2
1 |x | < 12
1
ret(x/T)
T/2-T/2
1
!34
Função Triângulo Unitário
❖ É um pulso triangular com altura e largura unitárias
1/2-1/2
1
Δ(x) =
0 |x | ≥ 12
1 − 2 |x | |x | < 12
!35
Função interpolação
❖ Ou função de filtragem por interpolação:
sinc(x) =
sin(x)
x
!36
Exemplos 
❖ Obter a transformada de Fourier para: x(t) = ret(t/τ)
X(ω) = ∫
∞
−∞
ret(t/τ)e−jωtdt
X(ω) = ∫
τ/2
−τ/2
e−jωtdt
X(ω) = −
1
jω
(e−jωτ/2 − ejωτ/2) =
2 sin ( ωτ2 )
ω
⋅
ωτ/2
ωτ/2
X(ω) = τ
2 sin ( ωτ2 )
ωτ
2
= τsinc ( ωτ2 )
ℱ[ret(t/τ)] = τsinc ( ωτ2 )
!37
Exemplos 
❖ Obter a transformada de Fourier para: x(t) = δ(t)
X(ω) = ∫
∞
−∞
δ(t)e−jωtdt = 1Por definição:
ω →
X(ω)1
x(t) = δ(t)
t →
!38
Exemplos 
❖ Obter a transformada inversa de Fourier para:
❖ O espectro de um sinal constante é um impulso em w = 0
δ(ω)
Por definição:
ω →
x(t)
1 X(ω) = 2πδ(ω)
t →
ℱ−1[δ(ω)] =
1
2π ∫
∞
−∞
δ(ω)ejωtdω =
1
2π
ℱ[1/2π] = δ(ω)
ℱ[1] = 2πδ(ω)
!39
Exemplos 
❖ Obter a transformada inversa de Fourier para:
❖ Portanto o espectro de uma exponencial de duração 
infinita é um único impulso em 
δ(ω − ω0)
Por definição: ℱ−1[δ(ω − ω0)] =
1
2π ∫
∞
−∞
δ(ω − ω0)ejωtdω =
1
2π
ejω0t
ℱ[ejω0t] = 2πδ(ω − ω0)
ℱ[e−jω0t] = 2πδ(ω + ω0)
ω = ω0
!40
Exemplos 
❖ Obter a transformada de Fourier para: x(t) = cos(ω0t)
ℱ[ejω0t] = 2πδ(ω − ω0)
ℱ[e−jω0t] = 2πδ(ω + ω0)
cos(ω0t) =
1
2 (e
jω0t + e−jω0t)
Lembrando que:
ℱ[cos(ω0t)] = π[δ(ω + ω0) + δ(ω − ω0]
ω →ω0−ω0
π
0
!41
Exemplos 
❖ Obter a transformada de Fourier para: x(t) =
∞
∑
n=−∞
Dnejnω0t
ℱ[ejω0t] = 2πδ(ω − ω0)
ℱ[e−jω0t] = 2πδ(ω + ω0)
cos(ω0t) =
1
2 (e
jω0t + e−jω0t)
Lembrando que:
ω →ω0−ω0
π
0
X(ω) =
∞
∑
n=−∞
Dnδ(ω − nω0)
−2ω0−3ω0 2ω0 3ω0
…
ω0
…
!42
Algumas propriedades 
ℱ[x(t − t0)] = X(ω)e−jωt0
ℱ[x(t)ejωt0] = X(ω − ω0)
ℱ[x * (t)] = X * (−ω)
X(−ω) = X * (ω)
Conjugado:
Deslocamento no tempo:
Escalamento: ℱ[x(at)] =
1
|a |
X ( ωa )
ℱ[x(−t)] = X (−ω)
Deslocamento na freqüência:
ℱ[x1(t) * x2(t)] = X1(ω)X2 (ω)Convolução no Tempo:
ℱ[x1(t)x2(t)] =
1
2π
X1(ω)X2 (ω)Convolução na freqüência:
ℱ [ d
nx
dtn ] = ( jω)nX(ω)Diferenciação no tempo:
ℱ [∫
t
−∞
x(u)du] = X(ω)jω + πX(0)δ(ω)Integração no tempo: !43
Tabelas - transformada de Fourier
x(t) X(ω)
e−atu(t)
1
a + jω
eatu(−t)
1
a − jω
a > 0
a > 0
e−a|t|
2a
a2 − ω2 a > 0
te−atu(t)
1
(a + jω)2 a > 0
tne−atu(t)
n!
(a + jω)n+1 a > 0
δ(t) 1
1 2πδ(ω)
ejω0t 2πδ(ω − ω0)
1
2
3
4
5
6
7
8
!44
Tabelas - transformada de Fourier
x(t) X(ω)
cos(ω0t) π[δ(ω + ω0) + δ(ω − ω0)]
u(t) πδ(ω) +
1
jω
sgn(t)
2
jω
e−at sin ω0tu(t)
ω0
(a + jω)2 + ω20
9
10
11
12
13
14
15
16
sin(ω0t) jπ[δ(ω + ω0) − δ(ω − ω0)]
cos(ω0t)u(t)
π
2
[δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)] +
jω
ω20 − ω2
sin(ω0t)u(t)
π
j2
[δ(ω − ω0) − δ(ω + ω0)] +
ω0
ω20 − ω2
e−at cos ω0tu(t)
a + jω
(a + jω)2 + ω20
a > 0
a > 0
!45
Transmissão de sinais
❖ Usando a convolução no tempo:
Y(ω) = H(ω)X(ω)
H(ω) = H(s) |s=jω
!46
Exemplo
❖ Determine a resposta de estado nulo do sistema LCTI:
Y(ω) = H(ω)X(ω)
H(ω) = H(s) |s=jω =
1
jω + 2
H(s) =
1
s + 2
x(t) = e−tu(t)
X(ω) =
1
jω + 1
Y(ω) =
1
( jω + 2)( jω + 1)
Y(ω) =
1
jω + 1
−
1
jω + 2
ℱ−1[Y(ω)] = (e−t − e−2t)u(t)
!47