3 MEDIDAS DIRETAS - PROPAGAÇÃO DE ERROS

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MEDIDAS DIRETAS – TEORIAS DE DESVIO 
 
Estudamos na aula anterior, como expressar uma medida através 
de uma única leitura efetuada, ou seja, 
V = (V ± δva) onde V = valor estimado 
 δva = desvio avaliado, precisão do 
instrumento = Δv/2. 
No entanto, o mais correto é executar a medição várias vezes, de 
forma independente, ou seja, várias pessoas medir a mesma grandeza 
e a partir daí, fazer o tratamento dos dados obtidos. 
Em Laboratório, estamos envolvidos com medidas e essas, 
geralmente, são afetadas por erros de várias causas. Algumas dessas 
causas tem origem na precisão e na exatidão do instrumento de medida. 
Vimos que um instrumento é preciso se a sua resolução (menor 
divisão da escala) for pequena e se uma leitura qualquer efetuada por 
este instrumento for acompanhada de pequena incerteza. 
Um instrumento de medida é exato ou bem calibrado, se a 
diferença entre uma leitura obtida por ele e outra, obtida por um 
instrumento padrão, for pequena. 
Com relação ao processo experimental, podemos classificar os 
erros em grosseiros, sistemáticos e estatísticos. 
a) Erros grosseiros: são causados por imperícia ou displicência 
do operador. Exemplo: erro na calibração do instrumento; erros 
de leitura; erro de cálculo, etc. Estes erros devem ser 
totalmente eliminados. 
b) Erros sistemáticos: são aqueles que sempre ocorrem em um 
sentido e estão ligados à exatidão dos instrumentos de medida 
ou a utilização inadequada de procedimento e/ou de conceitos 
físicos. Estes erros devem ser minimizados pelo uso de 
instrumento de boa exatidão e através de procedimentos e de 
conceitos físicos adequados. 
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c) Erros estatísticos: aleatórios, casuais, acidentais ou 
estocásticos, são aqueles que variam tanto para mais quanto 
para menos de uma leitura para outra. Estes erros estão 
ligados à precisão dos instrumentos de medida ou a 
modificações instantâneas nas condições experimentais e 
obedecem a leis Estatísticas bem determinadas. Vejamos 
então. 
 
ERRO DE UMA MEDIDA EXPERIMENTAL: é a diferença entre o 
valor medido (ou experimental) e o valor real da medida, ou seja, 
E = Vexp - Vv 
A fim de sabermos se o erro de uma medida é “pequeno” ou 
“grande” em relação ao valor verdadeiro, definimos o erro relativo, isto 
é, 
ER = E / Vv ou ER = (Vexp - Vv) / Vv 
Chamamos de erro percentual, o erro relativo multiplicado por 100, 
ou seja, 
Ep = ER x 100 = (Vexp - Vv) / Vv x 100 
Como o valor verdadeiro de uma grandeza é desconhecido (ou 
quase sempre), nós não podemos calcular o erro do valor experimental. 
Daí, nós substituímos este valor por um valor mais próximo dele, isto é, 
o seu valor médio. 
VALOR MÉDIO DE UMA SÉRIE DE LEITURAS 
É a média aritmética das leituras, ou seja, 
V = ∑ Vi 
Conhecendo então o valor médio de uma série de leituras, o desvio (ou 
erro) de uma leitura é definido como sendo 
δvi = Vi - V 
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Onde Vi são as leituras independentes e V o valor médio. 
 
DESVIO MÉDIO DE UMA SÉRIE DE LEITURAS 
 Como o valor médio é somente o melhor valor estimado (mais 
próximo do verdadeiro) e não o verdadeiro, devemos expressar o 
resultado final da medida através de um intervalo de confiança centrado 
em V. Podemos calcular o valor médio dos desvios individuais, δvi, e 
através deste valor, definir a amplitude do intervalo de confiança da 
medida. Então, 
δV = ∑ δvi. Desenvolvendo esta equação, teremos: 
 δV = ∑ (Vi - V) = =1/N [ ∑ 𝑉i - ∑ V] 
 δV = 1/N [NV - NV] = 0, ou seja, a média dos desvios é igual 
a zero. Isto acontece pelo fato dos desvios negativos das medidas 
anulares os desvios positivos. Para resolvermos este problema, ou 
calculamos a soma dos módulos dos desvios individuais ou calculamos 
a soma dos seus quadrados. Vejamos então. 
SOMA DE MÓDULOS – DESVIO MÉDIO ABSOLUTO 
δV = ∑ |Vi| 
Então, o resultado final da medida será dado por: 
VV = (V ± δV) 
Onde V é o valor médio das N medidas e δV é a incerteza do valor médio 
= desvio médio absoluto. 
Desta forma, o valor verdadeiro, desconhecido, deve estar dentro de um 
intervalo dado por: 
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 І________________________І______________________І 
 (V - δV) ≤ V ≤ (V + δV) 
 
SOMA DE SOMA DE QUADRADOS – DESVIO PADRÃO DO VALOR 
MÉDIO (OU DA MÉDIA) 
ᴦvm = ∑ (δVi)2 
Portanto, o valor verdadeiro da grandeza deve estar compreendido em 
um intervalo dado por: 
 
VV = (V ± ᴦvm) 
 
 І________________________І______________________І 
 (V - ᴦvm) ≤ V ≤ (V + ᴦvm) 
 
Onde V é o valor médio das N medidas e ᴦvm é a incerteza do valor médio 
dada pelo desvio padrão. 
O intervalo de confiança que contém o valor verdadeiro de uma medida, 
dado pelo desvio padrão da média, VV = (V ± ᴦvm), contém 68,3% de 
chance de encontrar o valor verdadeiro da medida (isto acontece pelo 
fato dos desvios das nossas medidas de Laboratório obedecerem a uma 
função de distribuição normal). 
Em muitas situações (ou problemas), optamos pelo desvio padrão do 
valor médio, embora o intervalo de confiança dado pelo desvio médio 
absoluto, Vv = (V - δV) ser bem maior do que o intervalo definido pelo 
desvio padrão do valor médio, pois, quanto menor (ou mais estreito) for 
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o intervalo de confiança do valor verdadeiro, menor a variação das 
leituras. Daí, o desvio padrão da média ser preferível em relação ao 
desvio médio absoluto. 
Vejamos um exemplo. 
Em uma série de 80 leituras de um comprimento de uma peça x forma 
encontrados os seguintes valores, com uma frequência absoluta N. 
Leituras (i) X (mm) Ni 
1 22,25 8 
2 22,27 8 
3 22,29 32 
4 22,31 20 
5 22,33 12 
 
Faça o tratamento dos dados, ou seja, escreva a medida através do 
valor médio das leituras e do desvio padrão da média. 
Solução: 
Queremos o intervalo de confiança que contém 68,3% de chance de se 
encontrar o valor verdadeiro, ou seja, 
xV = (x ± ᴦxm) 
Cálculo de x 
x = ∑ xi = 
, . , . , . , . , . 
 
x = 22,295 mm; (não arredondar o valor médio aqui) 
Cálculo do ᴦvm 
ᴦxm = ∑ (δxi)2 
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δxi = xi - x 
δx1 = x1 - x = (22,25 – 22,295)2 . 8 = 0,0162 mm 
δx2 = x2 - x = (22,27 – 22,295)2 . 8 = 0,0018 mm 
δx3 = x3- x = (22,29 – 22,295)2 . 32 = 0,0008 mm 
δx4 = x4- x = (22,31 – 22,295)2 . 20 = 0,0125 mm 
δx5 = xi5- x = (22,33 – 22,295)2 .12 = 0,0147 mm 
δxi2 = 0,0460 mm 
Então, ᴦxm = ∑ (δxi)2 = ᴦxm = √0,0460) = 0,002680951 mm 
Então, 
xV = (22,295 ± 0,002680951) mm 
Observação: i) se o primeiro algarismo da incerteza (0,002680951) for 
1,2,ou 3, arredondamos esta incerteza par 2 algarismos significativos e 
a precisão do valor médio, será a da incerteza. Daí, a resposta para o 
nosso exercício será; 
xV = (22,2950 ± 0,0027) mm. 
Observação: ii) se o primeiro algarismo da incerteza for 4,5,6,7,8,ou 9 
arredondamos esta incerteza par 1 algarismos significativo e a 
precisão do valor médio, continua sendo a da incerteza. 
 
DISPERSÃO DE UM CONJUNTO DE LEITURAS 
 
 Um parâmetro que indica o quanto um conjunto de leituras varia 
(ou flutua) em torno do valor médio, chama-se variância, e está muito 
ligado ao conceito de dispersão de um conjunto de leituras. 
 É possível mostrar que a variância de um conjunto de leituras é 
dada por: 
ᴦx2 = (1/N – 1). Σ (δvi)2 
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e 
ᴦx= ∑ (δxi)2 é o desvio padrão das leituras. 
 A variância mostra o grau de dispersão das leituras, ou seja, 
quanto maior a variância (e, consequentemente,o desvio padrão das 
leituras), mais dispersas (ou afastadas) estarão as leituras em torno do 
valor médio e, quanto menor for a variância, mais próximas da média 
estarão as leituras. 
 Portanto, uma leitura qualquer, ou 68,3% das leituras, no mínimo, 
(por razões já explicadas) estarão contidas em um intervalo de 
confiança dadopor 
Xi = (X ± ᴦx) 
Onde, Xi é o intervalo que contém uma leitura qualquer ou 68,3% das 
leituras; 𝑋 é o valor médio e ᴦx o desvio padrão das leituras. 
 І________________________І______________________І 
 (𝑋 - ᴦx) ≤ 𝑋 ≤ (V + ᴦx) 
 
RELAÇÃO ENTRE O DESVIO PADRÃO DA MÉDIA, ᴦvm, E O DESVIO 
PADRÃO DAS LEITURAS, ᴦv. 
ᴦvm = ᴦv/√𝑁 
DESVIO ACEITÁVEL 
Se uma leitura qualquer tiver um desvio maior ou igual a 3 vezes o 
desvio padrão das leituras, ᴦx, provavelmente deve ter havido um erro 
grosseiro nessa leitura e ela deve ser abandonada e refazer todo o 
tratamento estatístico. Então, 
 |δvi| ≤ 3. ᴦx, 
 
 
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Exemplo. 
Seja a série de dados a seguir. 
a) escreva o intervalo que contém 68,3% de se encontrar o valor 
verdadeiro da medida; 
b) escreva o intervalo que contém 68,3% das leituras ou uma leitura 
qualquer; 
c) dentre as medidas, existe alguma inaceitável? Explique. 
 
Dados Xi (m) Ni 
1 34,4 22 
2 34,5 35 
3 34,6 40 
4 34,7 20 
 
Solução: 
a) xV = (x ± ᴦxm) 
x = ∑ xv = 
, . , . , . , . 
 
x = 34,5495726 m 
Cálculo do ᴦvm 
ᴦxm = ∑ (δxi)2 
 δxi = xi - x 
δx1 = x1 - x = (34,4 – 34,550)2 . 22 = 0,495 m 
δx2 = x2 - x = (34,5 – 34,550)2 . 35 = 0,0875 m 
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δx3 = x3- x = (34,6 – 34,550)2 . 40 = 0,1000 m 
δx4 = x4- x = (34,7 – 34,550)2 . 20 = 0,4500 m 
δxi2 = 1,1325 m 
Então, ᴦxm = ∑ (δxi)2 = ᴦxm = 1,1325) = 0,009095639 m 
Então, 
xV = (34,550 ± 0,009) m 
b) Xi = (X ± ᴦx) 
ᴦvm = ᴦv/√𝑁; ᴦx, = ᴦvm .√𝑁 = 0,009095639 . √117 = 0,09838437 m Então, 
Xi = (34,55 ± 0,10) m 
c) Existirá alguma medida inaceitável, se |δvi| ≥ 3. ᴦx, . Então, 
3. ᴦx = 3 .0,10 = 0,30 m; 
 
|δx1| = |x1 − x| = (34,4 – 34,550) = 0,15 m ≤ 0,30 m 
|δx2| = |x2 − x| = (34,5 – 34,550) = 0,05 m ≤ 0,30 m 
|δx3| = |x3 − x| = (34,6 – 34,550) = 0,05 m ≤ 0,30 m 
|δx4| = |x4 − x| = (34,7 – 34,550) = 0,15 m ≤ 0,30 m 
Portanto, todas as medidas são aceitáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
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