RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - 200 exercícios resolvidos

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Sumário 
 
 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: TENSÃO .............................................................................. 3 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: DEFORMAÇÃO ................................................................. 20 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: TENSÃO E DEFORMAÇÃO ........................................... 35 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: CARGA AXIAL ................................................................. 41 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: TORÇÃO ............................................................................ 46 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: FLEXÃO ............................................................................. 70 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: CISALHAMENTO ............................................................. 99 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: DEFLEXÃO DE VIGAS E EIXOS ................................. 110 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: FLAMBAGEM DE COLUNAS ...................................... 115 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: TENSÕES COMPOSTAS ............................................. 117 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES ........................... 123 
EXERCICIOS COMPLEMENTARES RESOLVIDOS: TEMAS DIVERSOS ................ 129 
EXERCÍCIOS SOBRE CRITÉRIO DE RESISTÊNCIA DE VON MISES ......... 198 
REFERÊNCIAS .................................................................................................................. 216 
 
 
 
 
 
 
 | 3 P á g i n a
 
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EXERCICIOS RESOLVIDOS: TENSÃO. 
1. Uma barra de seção circular com 50 mm de diâmetro, é tracionada por uma carga normal de 
36 kN. Determinar a tensão normal atuante na barra. 
 
 
 | 4 P á g i n a
 
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2. A barra abaixo tem largura de 35 mm e espessura de 10 mm, constantes ao longo de seu 
comprimento. Determine as tensões normais nos diferentes trechos da barra para o 
carregamento abaixo. 
 
 
 | 5 P á g i n a
 
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3. Determine as tensões nos pinos localizados em A e B com diâmetros d=8mm e a tensão na 
barra BC para o conjunto abaixo. 
 
 | 6 P á g i n a
 
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4. Determinar o diâmetro da barra BC, se a tensão admissível é adm = 155 MPa. A viga é 
assumida ser parafusada em A. 
 
 
 | 7 P á g i n a
 
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5. Duas vigas de madeira são conectadas por um parafuso em B. Assumindo que as conexões 
em A, B, C e D exercem somente forças verticais nas vigas. Determine o diâmetro do parafuso 
em B e o diâmetro externo de sua arruela se a tensão admissível do parafuso é (adm)p = 150 
MPa e a tensão admissível da madeira é (adm)mad = 28 MPa. 
 
 
 | 8 P á g i n a
 
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6. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.16) Determinar a força normal, a força de cisalhamento e o 
momento na sessão que passa pelo ponto C. Usar P = 8 kN. 
 
 
 | 9 P á g i n a
 
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7. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.33) A coluna está submetida a uma força axial de 8 kN no seu 
topo. Supondo que a seção transversal tenha as dimensões mostradas na figura, determinar a 
tensão normal média que atua sobre a seção a-a. Mostrar essa distribuição de tensão atuando 
sobre a área da seção transversal. 
 
 
 | 10 P á g i n a
 
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8. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.36) A luminária de 50 lbf é suportada por duas hastes de aço 
acopladas por um anel em A. Determinar qual das hastes está sujeita à maior tensão normal 
média e calcular seu valor. Suponha que  = 60º. O diâmetro de cada haste é dado na figura. 
 
 
 | 11 P á g i n a
 
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9. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.37) A luminária de 50 lbf é suportada por duas hastes de aço 
acopladas por um anel em A. Determinar qual das hastes está sujeita à maior tensão normal 
média e calcular seu valor. Suponha que  = 45º. O diâmetro de cada haste é dado na figura. 
 
 
 | 12 P á g i n a
 
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10. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.38) A luminária de 50 lbf é suportada por duas hastes de aço 
acopladas por um anel em A. Determinar o ângulo da orientação de  de AC, de forma que a 
tensão normal média na haste AC seja o dobro da tensão normal média da haste AB. Qual é a 
intensidade dessa tensão em cada haste? O diâmetro de cada haste é indicado na figura. 
 
 
 | 13 P á g i n a
 
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11. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.53) O bloco plástico está submetido a uma força de 
compressão axial de 600 N. Supondo que as tampas superior e inferior distribuam a carga 
uniformemente por todo o bloco, determinar as tensões normal e de cisalhamento médias ao 
longo da seção a-a. 
 
 
 
 | 14 P á g i n a
 
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12. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.56) A junta está submetida à força de 6 kip do elemento axial. 
Determine a tensão normal média que atua nas seções AB e BC. Supor que o elemento é plano 
e tem 1,5 polegadas de espessura. 
 
 
 | 15 P á g i n a
 
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13. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.60) As barras da treliça têm uma área da seção transversal de 
1,25 pol2. Determinar a tensão normal média em cada elemento devido à carga P = 8 kip. Indicar 
se a tensão é de tração ou de compressão. 
 
 
 | 16 P á g i n a
 
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14. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.61) As barras da treliça têm uma área da seção transversal de 
1,25 pol2. Supondo que a tensão normal média máxima em cada barra não exceda 20 ksi, 
determinar a grandeza máxima P das cargas aplicadas à treliça. 
 
 
 | 17 P á g i n a
 
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15. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.79) O olhal (figura ao lado) é usado para suportar uma carga 
de 5 kip. Determinar seu diâmetro d, com aproximação de 1/8 pol, e a espessura h necessária, 
de modo que a arruela não penetre ou cisalhe o apoio. A tensão normal admissível do parafuso 
é adm = 21 ksi, e a tensão de cisalhamento admissível do material do apoio é adm = 5 ksi. 
 
 
 
 | 18 P á g i n a
 
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16. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.80) A junta sobreposta do elemento de madeira A de uma 
treliça está submetida a uma força de compressão de 5 kN. Determinar o diâmetro requerido d 
da haste de aço C e a altura h do elemento B se a tensão normal admissível do aço é (σadm)aço 
= 157 MPa e a tensão normal admissível da madeira é (σadm)mad = 2 MPa. O elemento B tem 50 
mm de espessura. 
 
 
 | 19 P á g i n a
 
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17. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.112) As duas hastes de alumínio suportam a carga vertical P = 
20 kN. Determinar seus diâmetros requeridos se o esforço de tração admissível para o alumínio 
for adm = 150 MPa. 
 
 
 | 20 P á g i n a
 
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EXERCICIOS RESOLVIDOS: DEFORMAÇÃO. 
18. A viga rígida AB está apoiada em duas colunas curtas como apresentado abaixo. A coluna 
AC é de aço e tem diâmetro de 20 mm, e a coluna BD é de alumínio e tem diâmetro de 40 mm. 
Determine o deslocamento do ponto F na viga AB se a carga de 90 kN é aplicada sobre este 
ponto. Tome 𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎, 𝐸𝑎𝑙 = 70 𝐺𝑃𝑎. 
 
 
 | 21 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
19. O conjunto abaixo consiste de um tubo de alumínio AB tendo uma área de 400 mm². Uma 
haste de aço de diâmetro 10 mm é conectada ao tubo AB por uma arruela e uma porca em B. Se 
uma força de 80 kN é aplicada na haste, determine o deslocamento da extremidade C. Tome 
𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎, 𝐸𝑎𝑙 = 70 𝐺𝑃𝑎. 
 
 
 | 22 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
20. O conjunto abaixo consiste de duas barras rígidas originalmente horizontais. Elas são 
suportadas por duas barras de área 25 mm² e 𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎. Se uma força verticalde 50 kN é 
aplicada na barra AB, determine o deslocamento em C, B e E. 
 
 
 | 23 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
21. A barra abaixo tem diâmetro de 5 mm e está fixa em A. Antes de apoiar a força P = 20 kN, há 
um gap entre a parede em B’ e a barra de 1 mm. Determine as reações em A e B’. Considere 
𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎. 
 
 
 | 24 P á g i n a
 
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22. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.5) A viga rígida está apoiada por um pino em A e pelos 
arames BD e CE. Se a deformação normal admissível máxima em cada arame for Ԑmax = 0,002 
mm/mm, qual será o deslocamento vertical máximo provocado pela carga P nos arames? 
 
 
 | 25 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
23. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.8) Duas Barras são usadas para suportar uma carga. Sem ela, 
o comprimento de AB é 5 pol, o de AC é 8 pol, e o anel em A tem coordenadas (0,0). Se a carga 
P atua sobre o anel em A, a deformação normal em AB torna-se ԐAB = 0,02 pol/pol e a 
deformação normal em AC torna-se ԐAC = 0,035 pol/pol. Determinar as coordenadas de posição 
do anel devido à carga. 
 
 | 26 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
24. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.9) Duas barras são usadas para suportar uma carga P. Sem 
ela, o comprimento de AB é 5 pol, o de AC é 8 pol, e o anel em A tem coordenadas (0,0). Se for 
aplicada uma carga P ao anel em A, de modo que ele se mova para a posição de coordenadas 
(0,25 pol, -0,73 pol), qual será a deformação normal em cada barra? 
 
 
 | 27 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
25. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.13) A chapa retangular está submetida à deformação 
mostrada pela linha tracejada. Determinar a deformação por cisalhamento média xy da chapa. 
 
 
 | 28 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
26. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.15) A chapa retangular está submetida à deformação 
mostrada pela linha tracejada. Determinar as deformações normais Ԑx, Ԑy, Ԑx’, Ԑy’. 
 
 
 | 29 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
27. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.17) A peça de plástico originalmente é retangular. Determinar 
a deformação por Cisalhamento xy nos cantos A e B se o plástico se distorce como mostrado 
pelas linhas tracejadas. 
 
 
 | 30 P á g i n a
 
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28. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.18) A peça de plástico originalmente é retangular. Determinar 
a deformação por cisalhamento xy nos cantos D e C se o plástico se distorce como mostrado 
pelas linhas tracejadas. 
 
 
 | 31 P á g i n a
 
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29. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.19) A peça de plástico originalmente é retangular. Determinar 
a deformação normal média que ocorre ao longo das diagonais AC e DB. 
 
 
 | 32 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
30. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.24) O quadrado deforma-se, indo para a posição mostrada 
pelas linhas tracejadas. Determinar a deformação por cisalhamento em cada um dos cantos A e 
C. O lado DB permanece horizontal. 
 
 
 | 33 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
31. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.25) O bloco é deformado, indo para a posição mostrada pelas 
linhas tracejadas. Determinar a deformação normal média ao longo da reta AB. 
 
 
 | 34 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
32. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.28) O elástico AB tem comprimento sem esticar de 1 pé. Se 
estiver preso em B e acoplado à superfície no ponto A’, determinar a deformação normal média 
do elástico. A superfície é definida pela função y= (x²) pé, onde x é dado em pé. 
 
 
 | 35 P á g i n a
 
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EXERCICIOS RESOLVIDOS: TENSÃO E DEFORMAÇÃO 
33. O diagrama tensão-deformação de um material é mostrado abaixo. Se um corpo-de-prova é 
carregado até 600 Mpa, determine a deformação permanente remanescente quando o corpo é 
descarregado. Calcule também o módulo de resiliência antes e após a aplicação do 
carregamento. 
 
 
 | 36 P á g i n a
 
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34. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 3.2) Os dados de um teste tensão-deformação de uma cerâmica 
são fornecidos na tabela. A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto. Construir o 
diagrama e determinar o módulo de elasticidade e o módulo de resiliência. 
 
 
 | 37 P á g i n a
 
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35. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 3.3) Os dados de um teste tensão-deformação de uma cerâmica 
são fornecidos na tabela. A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto. Construir o 
diagrama e determinar o módulo de tenacidade aproximado se a tensão de ruptura for de 53,4 
ksi. 
 
 
 | 38 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
36. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 3.4) Os dados de um teste tensão-deformação de uma cerâmica 
são fornecidos na tabela. A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto. Construir o 
diagrama e determinar o módulo de elasticidade e o módulo de resiliência. 
 
 
 | 39 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
37. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 3.18) Os arames de aço AB e AC suportam a massa de 200 kg. 
Supondo que a tensão normal admissível para eles seja adm = 130 MPa, determinar o diâmetro 
requerido para cada arame. Além disso, qual será o novo comprimento do arame AB depois que 
a carga for aplicada? Supor o comprimento sem deformação de AB como sendo 750 mm. Eaço = 
200 GPa. 
 
 
 | 40 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
38. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 3.24) A haste plástica é feita de Kevlar 49 e tem diâmetro de 10 
mm. Supondo que seja aplicada uma carga axial de 80 kN, determinar as mudanças em seu 
comprimento e em seu diâmetro. 
 
 
 | 41 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: CARGA AXIAL 
39. Uma barra de alumínio possuí uma seção transversal quadrada com 60 mm de lado, o seu 
comprimento é de 0,8 m. A carga axial aplicada na barra é de 30 kN. Determinar o seu 
alongamento. 𝐸𝑎𝑙 = 70 𝐺𝑃𝑎 
 
 | 42 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
40. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 4.6) O conjunto consiste de uma haste CB de aço A-36 e de 
uma haste BA de alumínio 6061-T6, cada uma com diâmetro de 1 pol. Se a haste está sujeita a 
uma carga axial P1 = 12 kip em A e P2 = 18 kip na conexão B, determinar o deslocamento da 
conexão e da extremidade A. O comprimento de cada segmento sem alongamento é mostrado 
na figura. Desprezar o tamanho das conexões em B e C e supor que sejam rígidas. 
 
 
 | 43 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
41. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 4.7) O conjunto consiste de uma haste CB de aço A-36 e de 
uma haste BA de alumínio 6061-T6, cada uma com diâmetro de 1 pol. Determinar as cargas 
aplicadas P1 e P2 se A desloca-se 0,08 pol para a direita e B desloca-se 0,02 pol para esquerda 
quando as cargas são aplicadas. O comprimento de cada segmento sem alongamento é 
mostrado na figura. Desprezar o tamanho das conexões em B e C e supor que sejam rígidas. 
 
 
 | 44 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
42. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 4.42) A coluna de concreto é reforçada com quatro barras de 
aço, cada uma com diâmetro de 18 mm. Determinar a tensão média do concreto e do aço se a 
coluna é submetida a uma carga axial de 800 kN. Eaço = 200 GPa e Ec = 25 GPa. 
 
 
 | 45 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
43. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 4.43) A coluna mostrada na figura é fabricada de concreto com 
alta resistência (Ec=29 GPa) e quatro barras de reforço de aço A36. Se a coluna é submetida a 
uma carga axial de 800 kN, determine o diâmetro necessário a cada barra para que um quarto 
da carga seja sustentada pelo aço e três quartos pelo concreto.| 46 P á g i n a
 
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EXERCICIOS RESOLVIDOS: TORÇÃO 
44. Um eixo maciço de raio c é sujeito a um torque T. Determine a fração de T que é resistida 
pelo material contido na região externa do eixo, de raio interno c/2 e raio externo c. 
 
 
 | 47 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
45. O acoplamento abaixo é usado para conectar dois eixos. Assumindo que a tensão de 
cisalhamento nos parafusos é uniforme, determine o numero de parafusos para que a máxima 
tensão de cisalhamento no eixo seja igual à tensão de cisalhamento nos parafusos. Cada 
parafuso tem diâmetro d e está distante R do centro do eixo. 
 
 | 48 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
46. Selecione dois eixos maciços para transmitir 200 CV de potência cada um, de forma que 
nenhuma deles ultrapasse a tensão de cisalhamento de 7 kgf/mm². Um desses eixos deve 
operar a 20 mm rpm, e o outro a 20.000 rpm. (1CV = 4500 kgf.m/min, α (rad/min) = 2 𝜋N (rpm)). 
 
 
 | 49 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
47. No conjunto mostrado abaixo, os dois eixos estão acoplados por duas engrenagens C e B. 
Determine o ângulo de torção na extremidade A do eixo AB onde um torque T = 45 N.m é 
aplicado. Cada eixo tem diâmetro de 20 mm e G = 80 GPa. 
 
 
 | 50 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
48. Uma barra circular em torção consiste de 2 partes. Determine o máximo torque possível se o 
ângulo de torção entre as extremidade da barra não deve exceder 0,02 radianos e a tensão de 
cisalhamento não deve exceder 28 MPa. Assumir G = 83 MPa. 
 
 
 | 51 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
49. O eixo está sujeito aos torques como apresentado abaixo. Se o módulo de cisalhamento é G 
= 80 GPa e o diâmetro do eixo é 14 mm, determine o deslocamento do dente P na engrenagem 
A. O eixo está engastado em E e o Mancal B permite que o eixo gire livremente. 
 
 | 52 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
50. Um motor de 200 kW gira a 250 rpm. Para a engrenagem em B é transmitido 90 kW e para a 
engrenagem em C 110 kW. Determine o menor diâmetro permissível d se a tensão admissível é 
de 50 MPa e o ângulo de torção entre o motor e a engrenagem C é limitado a 15°. Considerar G 
= 80 Gpa e 1 kW ≈ 60000 Nm/mim. 
 
 | 53 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
51. O eixo de raio c mostrado na figura é submetido à um torque distribuído t, medido como 
torque por unidade de comprimento do eixo. Determine o ângulo de torção do ponto A. 
 
 | 54 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
52. Um eixo circular é feito pela compressão de um tubo de alumínio em uma barra de latão, 
para formar uma seção de dois materiais, que então agem como uma unidade. (a) Se, devido à 
aplicação de um torque T, aparecer uma tensão de cisalhamento de 7 kgf/mm² nas fibras 
externas do eixo, qual é a magnitude do torque T? (b) Se o eixo tem 1 m de comprimento, qual 
será o ângulo de torção devido ao torque T? Para o alumínio E = 7 . 10³ kgf/mm², G = 2,8 . 10³ 
kgf/mm² e para latão E = 11,2 . 10³ kg f/mm², G = 4,28 . 10³ kgf/mm². 
 
 | 55 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
53. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.1) Um eixo é feito de liga de aço com tensão de cisalhamento 
admissível de τadm = 12 ksi. Supondo que o diâmetro do eixo seja de 1,5 pol, determinar o toque 
máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o toque máximo T’ se fosse feito um furo de 1 pol 
de diâmetro ao longo do eixo? Traçar o gráfico da distribuição cisalhamento-tensão ao longo de 
uma reta radial em cada caso. 
 
 
 | 56 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
54. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.5) O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para 
transmitir os torques aplicados ás engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento 
desenvolvida nos pontos C e D do eixo. Indicar a tensão de cisalhamento nos elementos de 
volume localizados nesses pontos. 
 
 
 | 57 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
55. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.6) O conjunto de dois seguimentos de tubos de aço 
galvanizado acoplados por uma redução em B. O tubo menor tem diâmetro externo de 0,75 pol e 
diâmetro interno de 0,68 pol, enquanto o tubo maior tem diâmetro externo de 1 pol e diâmetro 
interno de 0,86 pol. Supondo que o tubo esteja firmemente preso á parede em C, determinar a 
tensão de cisalhamento máximo desenvolvida em cada seção do tubo quando o conjugado 
mostrado é aplicado ao cabo da chave. 
 
 
 | 58 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
56. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.10) O eixo maciço tem diâmetro de 0,75 pol. Supondo que 
seja submetido aos torques mostrados, determinar a tensão de cisalhamento máxima 
desenvolvida nas regiões CD e EF. Os mancais em A e F permitem rotação livre do eixo. 
 
 
 | 59 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
57. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.25) O motor de engrenagens desenvolve 1/10 hp quando gira 
a 300 rev/min. Supondo que o eixo tenha diâmetro de ⅟₂ pol, determinar a tensão de 
cisalhamento máxima nele desenvolvida. 
 
 
 | 60 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
58. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.26) O motor de engrenagens desenvolve 1/10 hp quando gira 
a 300 rev/min. Supondo que a tensão de cisalhamento admissível para o eixo seja τadm = 4 ksi, 
determinar o menor diâmetro do eixo que pode ser usado com aproximação de 1/8 pol. 
 
 
 | 61 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
59. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.30) A bomba opera com um motor que tem potencia de 85 W. 
Supondo que o impulsor em B esteja girando a 150 ver/min, determinar a tensão de 
cisalhamento máximo desenvolvida em A, localizada no eixo de transmissão que tem 20 mm de 
diâmetro. 
 
 
 | 62 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
60. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.31) Um tubo de aço com diâmetro externo de d₁ = 2,5 pol 
transmite 35 hp quando gira a 2700 rev/min. Determine o diâmetro interno d₂ do tubo, com 
aproximação de 1/8 pol, se a tensão de cisalhamento admissível é Ƭmax = 10 ksi. 
 
 
 | 63 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
61. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.43) Um eixo está submetido a um torque T. Comparar a 
eficácia do tubo mostrado na figura com a de um eixo de seção maciça de raio c. Para isso, 
calcular a porcentagem de aumento na tensão de torção e no ângulo de torção por unidade de 
comprimento do tubo em relação aos valores do eixo de seção maciça. 
 
 
 | 64 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
62. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.46) O eixo de aço A-36 está composto pelos tubos AB e CD e 
por uma parte maciça BC. Apoia-se em mancais lisos que lhe permitem girar livremente. Se as 
extremidade estão sujeitas a torques de 85 N.m, qual o ângulo de torção da extremidade A em 
relação á extremidade D? Os tubos têm diâmetro externo de 30 mm e diâmetro interno de 20 
mm. A parte maciça tem diâmetro de 40 mm. 
 
 
 | 65 P á g i n a
 
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63. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.47) O eixo de aço A-36 está composto pelos tubos AB e CD e 
por uma parte maciça BC. Apoia-se em mancais lisos que lhe permitem girar livremente. Se as 
extremidade A e D estão sujeitas a torques de 85 N.m, qual o ângulo de torção da extremidade B 
da parte maciça á extremidade C? Os tubos têm diâmetro externo de 30 mm e diâmetro interno 
de 20 mm. A parte maciça tem diâmetro de 40 mm. 
 
 
 | 66 P á g i n a
 
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64. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.49) As engrenagens acopladas ao eixo de aço inoxidável 
ASTM-304 estão sujeitas aos torques mostrados. Determine o ângulo de torção da engrenagem 
C em relação à engrenagem B. O eixo tem diâmetro de 1,5 pol. 
 
 
 | 67 P ág i n a
 
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65. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.54) O eixo de aço A-36 tem 3 m de comprimento e diâmetro 
externo de 50 mm. Requer que transmita 35 kW de potência do motor E para o gerador G. 
Determinar a menor velocidade angular que o eixo pode ter se a máxima torção admissível é de 
1º. Adotar o módulo de elasticidade transversal igual a 75 GPa. 
 
 
 | 68 P á g i n a
 
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66. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.58) Os dois eixos são feitos de aço A-36. Cada um tem 
diâmetro de 1 pol, e eles estão apoiados por mancais em A, B e C, o que permite rotação livre. 
Supondo que o apoio D seja fixo, determinar o ângulo de torção da extremidade B quando os 
torques são aplicados ao conjunto como mostrado. 
 
 
 | 69 P á g i n a
 
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67. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.59) Os dois eixos são feitos de aço A-36. Cada um tem 
diâmetro de 1 pol, e eles estão apoiados por mancais em A, B e C, o que permite rotação livre. 
Supondo que o apoio D seja fixo, determinar o ângulo de torção da extremidade A quando os 
torques são aplicados ao conjunto como mostrado. 
 
 
 | 70 P á g i n a
 
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EXERCICIOS RESOLVIDOS: FLEXÃO 
68. Determine a posição do centroide da seção transversal do tipo T abaixo. 
 
2. Determine a posição do centroide da seção transversal do exemplo anterior, onde neste caso, 
os eixos de referência são posicionados de forma diferente. 
 
 
 | 71 P á g i n a
 
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69. Determine o momento de inércia da seção do tipo I com relação aos eixos y e z como 
mostrado abaixo. 
 
 | 72 P á g i n a
 
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70. Determine a tensão de flexão máxima na viga de seção do tipo I submetida a um 
carregamento distribuído como mostrado abaixo: 
 
 | 73 P á g i n a
 
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71. Uma viga estrutural em aço do tipo T usada em balanço, é carregada da forma mostrada na 
figura. Calcular a magnitude da carga P que provoca uma deformação longitudinal no ponto C de 
+527 x 10 –6 mm/mm (alongamento) e uma deformação longitudinal no ponto D de -73 x 10 –6 
mm/mm (encurtamento). (I = 2000 cm4 e Eaço = 21 x 10
3 kgf/mm2). 
 
 | 74 P á g i n a
 
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72. A viga composta abaixo é sujeita à um momento fletor de M = 2 kN.m. Determine pelo 
método da rigidez equivalente as tensões nos pontos B e C se Eaço = 200 GPa e Emad = 12 GPa. 
 
 | 75 P á g i n a
 
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73. Se o momento máximo no ski abaixo é 77,78 N.m, determine as tensões de flexão no aço e 
na madeira se a seção transversal do ski é como apresentado abaixo. Tome Eaço = 200 GPa e 
Emad = 12 GPa. 
 
 | 76 P á g i n a
 
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74. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.1) Desenhar os diagramas de força cortante e momento para o 
eixo. Os mancais em A e B exercem apenas reações verticais sobre o eixo. 
 
 
 | 77 P á g i n a
 
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 | 78 P á g i n a
 
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75. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.2) O eixo está submetido ás cargas provocadas pelas correias 
que passam sobre as duas polias. Desenhar os diagramas de força cortante e momento. Os 
mancais em A e B exercem apenas reações verticais sobre o eixo. 
 
 
 | 79 P á g i n a
 
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 | 80 P á g i n a
 
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76. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.3) Os três semáforos têm, cada um, massa de 10 kg e o tubo 
em balanço AB tem massa de 1,5 kg/m. Desenhar os diagramas de força cortante e momento 
para o tubo. Desprezar a massa da placa. 
 
 
 | 81 P á g i n a
 
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 | 82 P á g i n a
 
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77. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.5) O encontro de concreto armado é usado para apoiar as 
longarinas da plataforma de uma ponte. Desenhar seus diagramas de força cortante e momento 
quando ele é submetido ás cargas da longarina mostradas. Supor que as colunas A e B exercem 
apenas reações verticais sobre o encontro. 
 
 
 | 83 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
 
 
 | 84 P á g i n a
 
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 | 85 P á g i n a
 
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78. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.6) Desenhar os diagramas de força cortante e momento para o 
eixo. Os mancais em A e B exercem apenas reações verticais sobre ele. Expressar também a 
força cortante e o momento em função de x na região 125 mm < x < 725 mm. 
 
 
 | 86 P á g i n a
 
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 | 87 P á g i n a
 
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79. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.32) Desenhar os diagramas de força cortante e momento da 
viga de madeira e determinar a força cortante e o momento em toda a viga em função de x. 
 
 
 | 88 P á g i n a
 
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 | 89 P á g i n a
 
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80. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.42) Foram propostas duas soluções para o projeto de uma 
viga. Determinar qual delas suportará um momento M = 150 kN.m com a menor tensão normal 
de flexão. Qual é essa menor tensão? Com que porcentagem ele é mais eficiente? 
 
 
 | 90 P á g i n a
 
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81. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.47) A peça de máquina de alumínio está sujeita a um 
momento M = 75 N.m. Determinar a tensão normal de flexão nos pontos B e C da seção 
transversal. Desenhar os resultados em um elemento e volume localizado em cada um desses 
pontos. 
 
 
 | 91 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
82. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.48) A peça de máquina de alumínio está sujeito a um 
momento M = 75 N.m. Determinar as tensões normais de flexões máximas de tração e de 
compressão na peça. 
 
 
 | 92 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
83. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.55) A viga está sujeita a um momento de 15 kip.pés. 
Determinar a força resultante que a tensão produz nos flanges superior A e inferior B. Calcular 
também a tensão máxima desenvolvida na viga. 
 
 
 | 93 P á g i n a
 
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84. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.68) A seção transversal de uma viga está sujeito a um 
momento de 12 kip. Pés. Determinar a força resultante que a tensão produz na mesa (6 pol x 1 
pol). Calcular também a tensão máxima desenvolvida nesta seção transversal da viga. 
 
 
 | 94 P á g i n a
 
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85. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.71) Determinar a tensão normal de flexão máxima absoluta no 
eixo de 30 mm de diâmetro que está submetido a forças concentradas. As buchas nos apoios A 
e B suportam apenas forças verticais. 
 
 
 | 95 P á g i n a
 
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86. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.72) Determinar o menor diâmetro admissível do eixo 
submetido a forças concentradas. As buchas nos apoios A e B suportam apenas forças verticais 
e a tensão de flexão admissível é adm = 160 MPa. 
 
 
 | 96 P á g i n a
 
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87. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.73) A viga tem seção transversal retangular como mostrado. 
Determinar a maior carga P que pode ser suportada em suas extremidades em balanço, de 
modo que a tensão normal de flexão na viga não exceda adm = 10 MPa. 
 
 
 
 | 97 P á g i n a
 
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88. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.77) A viga está submetida ao carregamento mostrado. 
Determinar a dimensão a requerida da seção transversal se a tensão de flexão do material for 
adm = 150 MPa. 
 
 
 | 98 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenhariada Hora 
 
89. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.79) Determinar a intensidade da carga máxima P que pode ser 
aplicada à viga, supondo que ela seja de material com tensão de flexão admissível (adm)c = 16 
ksi na compressão e (adm)t = 18 ksi na tração. 
 
 
 | 99 P á g i n a
 
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EXERCICIOS RESOLVIDOS: CISALHAMENTO 
90. A viga abaixo é composta de duas pranchas de madeira formando um perfil do tipo T. 
Determine a máxima tensão cisalhante na cola necessária para mantê-las juntas. 
 
 
 | 100 P á g i n a
 
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 | 101 P á g i n a
 
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91. Se o cortante máximo no ski abaixo é 200 N, determine as tensões de cisalhamento no aço e 
na madeira se a seção transversal do ski é como apresentado abaixo. Tome Eaço = 200 GPa e 
Emad = 12 GPa. 
 
 | 102 P á g i n a
 
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92. Plote a distribuição de tensões de cisalhamento na seção transversal de uma viga do tipo I 
com força cortante V = 80 kN. 
 
 | 103 P á g i n a
 
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93. Determine a quantidade de pregos necessária para manter os elementos da viga abaixo de 
3m de comprimento, unidos quando submetida a um cortante de 2 kN. A tensão admissível dos 
pregos de diâmetro d = 2 mm é adm = 225 Mpa. 
 
 | 104 P á g i n a
 
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94. A viga abaixo é formada pela união de diferentes perfis parafusados entre si. Determine a 
máxima força cortante que a viga pode suportar se os parafusos resistem a uma força cortante 
de 11 kN e estão espaçados de 200 mm. 
 
 | 105 P á g i n a
 
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95. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 7.5) Se a viga T for submetida a um cisalhamento vertical V = 10 
kip, qual será a tensão de cisalhamento máximo nela desenvolvida? Calcular também o salto da 
tensão de cisalhamento na junção aba-alma AB. Desenhar a variação de intensidade da tensão 
de cisalhamento em toda a seção transversal. Mostrar que IEN = 532,04 pol⁴. 
 
 
 | 106 P á g i n a
 
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96. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 7.15) Determinar a tensão de cisalhamento máximo no eixo com 
seção transversal circular de raio r e sujeito à força cortante V. Expressar a resposta em termos 
da área A da seção transversal. 
 
 
 | 107 P á g i n a
 
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97. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 7.17) Determinar as maiores forças P nas extremidades que o 
elemento pode suportar, supondo que a tensão de cisalhamento admissível seja Ƭadm = 10 ksi. 
Os apoios em A e B exercem apenas reações verticais sobre a viga. 
 
 
 | 108 P á g i n a
 
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98. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 7.21) Os apoios em A e B exercem reações verticais sobre a 
viga de madeira. Supondo que a tensão de cisalhamento admissível seja Ƭadm = 400 psi, 
determinar a intensidade da maior carga distribuída w que pode ser aplicada sobre a viga. 
 
 
 | 109 P á g i n a
 
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99. Achar a máxima tensão de cisalhamento no plano ABDE do eixo de 12 mm de diâmetro, 
devido as esforços aplicados. 
 
 | 110 P á g i n a
 
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EXERCICIOS RESOLVIDOS: DEFLEXÃO DE VIGAS E EIXOS 
100. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 12.5) Determinar as equações da linha elástica da viga usando 
as coordenadas x1 e x2. Especificar a inclinação em A e a deflexão máxima. Considerar EI 
constante. 
 
 
 | 111 P á g i n a
 
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 | 112 P á g i n a
 
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101. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 12.30) O eixo suporta as cargas das três polias mostradas. 
Determinar a deflexão em seu centro e sua inclinação em A e B. Os mancais exercem apenas 
reações verticais sobre ele e EI é constante. 
 
 
 | 113 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
 
 
 | 114 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
102. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 12.49) A haste compõe-se de dois eixos para os quais o 
momento de inércia de AB é I e de BC é 21. Determinar a inclinação e a deflexão máxima da 
haste devido ao carregamento. O módulo de elasticidade é E. 
 
 
 | 115 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: FLAMBAGEM DE COLUNAS 
103. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 13.5) O elo de avião é feito de aço A-36 (E = 29000 ksi). 
Determinar o menor diâmetro da haste, com aproximação de 1/16 pol, que suportará a carga de 
4 kip sem sofrer flambagem. As extremidades estão presas por pinos. 
 
 
 | 116 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
104. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 13.16) O elo de aço ferramenta L-2 usado em uma máquina de 
forja é acoplado aos garfos por pinos nas extremidades. Determinar a carga máxima P que ele 
pode suportar sem sofrer flambagem. Usar um fator de segurança para flambagem de F.S. = 
1,75. Observar, na figura da esquerda, que as extremidades estão presas por pino para 
flambagem e, na da direita, que as extremidades estão engastadas. 
 
 
 | 117 P á g i n a
 
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EXERCICIOS RESOLVIDOS: TENSÕES COMPOSTAS 
105. Calcule o tensor de tensões no ponto C da viga de seção transversal retangular, b = 50 mm 
e h = 250 mm. 
 
 
 | 118 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
 
 
 | 119 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
106. A viga de madeira de seção 100 mm x 150 mm mostrada abaixo é usada para suportar uma 
carga uniformemente distribuída de 500 kgf. A carga aplicada age em um plano que faz um 
ângulo de 30º com a vertical. Calcular a máxima tensão no meio do vão e localizar o eixo neutro. 
 
 
 | 120 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
107. O bloco retangular de peso desprezível está sujeito a uma força vertical de 40 kN, a qual é 
aplicada em seus vértices. Determine a distribuição de tensão normal atuando sobre a seção 
ABCD. 
 
 
 | 121 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
108. Uma placa é sujeita à um carregamento uniforme devido ao vento conforme mostrado 
abaixo. Determine o estado de tensões nos pontos C e D situados na coluna de sustentação da 
placa de 100 mm de diâmetro. 
 
 
 | 122 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
 
 
 | 123 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES 
109. Considere uma barra de aço de 150 mm de largura e 10 mm de espessura sendo solicitada 
por uma força axial de 600 N. Determine as componentes das tensões atuantes sobre o plano 
definido pela seção a-a. 
 
 
 | 124 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
 
 
 | 125 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
110. Com o estado de tensão no ponto apresentado abaixo, determine as tensões principais e 
suas orientações e a máxima tensão de cisalhamento e sua orientação. 
 
 
 
 | 126 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
 
 
 | 127 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
111. As tensões calculadas sobre o ski são como mostrada na figura abaixo. Utilizando critérios 
de ruptura adequados, verifique se os pontos mostrados sobre a seção transversal do ski 
suportam o carregamento abaixo. Tome esc aço = 250 Mpa, rup mad = 26 MPa e rup mad = 6,2 
Mpa com um fator de segurança de 2. 
 
 
 | 128 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
 
 
P á g i n a | 129 
 
3 
EXERCICIOS COMPLEMENTARES RESOLVIDOS: TEMAS DIVERSOS 
 
112. Calcule a força de tração nas duas barras da estrutura abaixo. 
 
 
tan 1  
4 
tan   
4
 
 1 

  
arc tan (0,75) 

arc tan (1,333) 
1 36,87
0
 
 
  53,13
0
 
2 
3 
2 2 
 
 
Fx  0 :  F1cos (36,87
o
 )  F2 cos(53,13
o
 )  0 
 F1 
 
0,8  F2 0,6  0  F 1 
0,6 F2 

0,8 
F1  0,75 F2 
Fy  0 :  F1 sen (36,87
o
 )  F2 sen (53,13
o
 )  12.000  0 
F1 0,6  F2 0,8  12.000 
Colocando-se a força F1 na expressão acima, tem-se: 
 
0,75 F2 
 
0,6  F2 
 
0,8  12.000  F2  
12.000 
 9.600 N 
1,25 
F1  0,75 x 9600  F1  7.200 N 
 
113. Calcule a força de tração nos dois cabos da figura. 
 
P á g i n a | 130 
 
 
 
Fy  0 : F1  1.000  5.000  F2  0  F1  F2  6.000 
M1  0 : 1.000 x 0,7  5.000 x 1,8  F2 x 2,6  0  F2  3.730,8 N 
M2  0 : F1 x 2,6  1.000 x 1,9  5.000 x 0,8  0  F1  2.269,2 N 
 
114. Calcule as reações nos apoios da viga abaixo. 
 
 
 
 
 Fx  0 : H A  0 
Fy  0 : VA  14.000  VB  0  VA  VB  14.000 
MA  0 : 14.000 x 2,0  VB x 3,5  0  VB  8.000 N 
MB  0 : VA x 3,5  14.000 x 1,5  0  VA  6.000 N 
 
115. Calcule as reações no apoio da viga em balanço (ou viga cantilever). 
 
 
 
Fx  0 : Hb  0 
Fy  0 : Vb  1.000  0  Vb  1.000 
MO  0 : 1.000 x 3,0  Mb  0  Mb  3.000 N.m 
P á g i n a | 131 
 
116. Calcule as reações de apoio da viga de aço abaixo. Dado: s = 77 kN/m
3 
 
 
 
 
 
 
A carga q (N/m) é obtida multiplicando-se o peso específico pela área da seção 
transversal: 
A  6 x 100 x 2  6 x 300  3.000 mm
2
 
 
Ou: A  3.000 (10
6
 )m
2
  3,0 x10
3
 m
2
 
 
q  .A  77000(N / m
3
 ) x 3,0x10
3
 (m
2
 )  231 N / m 
 
 
 
 
 
 
Fx  0  H A  0 
Fy  0  VA  VB  q . L 
 
 
Então: VA  VB  231 x 9,0  2079 N 
P á g i n a | 132 
 
q L 
M B  0 
 
VA 
 VA 
q L 
2 
. L  q . L . 
L 
 0 
2 
 
 VB  
2
 
VA  VB 
231 x 9,0 
 
 
2 
 1039,5 N 
 
 
117. Calcule as reações de apoio da viga de aço abaixo. Dado: s = 77 kN/m
3 
 
 
 
 
 
 
Fx  0  H B  0 
Fy  0  VB  q . L 
L 
 231 x 9,0  2079 N 
 
 qL2 
Mo  0   q . L . 2 
 M B  0  M B   9355,5 N.m 
2 
 
 
Observação muito importante: A substituição de uma carga distribuída pela força 
resultante somente pode usada para calcularem-se as reações de apoio. Não deve ser 
usada para mais nada. 
P á g i n a | 133 
 
118. Calcule a tensão normal nos dois cabos da figura. Dados: 1 = 2 = 25,4 mm 
 
 
 
 
 
 
Área dos cabos 1 e 2: 
A1  A2 
 
 (12,7)
2
 
 
 A1  A2 
 
 506,7 mm
2
 
Tensão normal nos cabos 1 e 2: 
1 

2 
F1 

A1 
F2 

A2 
2.269,2(N) 
 
 
506,7 (mm
2
 ) 
3.730,8(N) 
 
 
506,7 (mm
2
 ) 
 
 4,48 
 
 7,36 
 
N / mm
2
 
 
N / mm
2
 
119. Calcule a tensão normal nas duas barras da treliça abaixo. Dados: 1 = 12,5 mm ; 2 = 
20,0 mm 
 
 
P á g i n a | 134 
 
F 
F 
F 
F 
Fx  0 :  F1 cos(45
o
 )  F2 cos(45
o
 )  0  F1  F2 
Fy  0 : F1sen(45
o
 )  F2 sen(45
o
 ) 5.000  0 
2 F1 0,707  5.000  F1  F2  3536,1 N 
 
 
Cálculo da tensão normal nas barras 1 e 2: 
1  
1 
A1 
3536,1 
(6,25)
2
 
 
 28,8 
 
N / mm
2
 
 
2  
2 
A2 
3536,1 
 
 
(10)
2
 
 11,3 N / mm
2
 
 
 
120. Calcule a tensão normal nas duas barras da treliça abaixo. As duas barras têm seção 
transversal circular. Dados: Barra tracionada = 15 mm ; Barra comprimida = 20 mm 
 
 
 
 
Fx  0 : F1  F2 cos(30
o
 )  0  F1   F2 0,866 
Fy  0 : F2 sen(30
o
 )  25.000  0  F2   50.000 N 
F1   (  50.000) . 0,866  F1  43.300 N 
 
 
Tensão normal nas barras 1 e 2: 
1  
1 
A1 
43.300 
(7,5)
2
 
 
 245,0 
 
N / mm
2
 
 
2  
2 
A2 
50.000 
 
 
(10)
2
 
 
  159,2 N / mm
2
 
P á g i n a | 135 
 
121. Uma barra, de seção transversal retangular, tem altura variável (como indicado) e 
largura b constante igual a 12 mm. Calcule a tensão normal no ponto de aplicação da força 
F e no engaste. Dado: F = 8.000 N 
 
 
 
 
  
F 

A 
8.000 
 
 
12 x15 
 44,44 N / mm
2
 
 
Engaste 
 
F 

A 
8.000 
 
 
12 x25 
 26,67 N / mm
2
 
 
 
122. Uma barra prismática está pendurada por uma de suas extremidades. Construa os 
diagramas de força normal e de tensão normal. Dados: : peso específico; A: área da 
seção transversal. 
 
 
 
Fazendo-se um corte imaginário à distância x os esforços que eram internos passam a 
ser externos. A parte recortada também tem que estar em equilíbrio, pois qualquer 
parte (ou ponto) de uma estrutura em equilíbrio também está em equilíbrio. N(x): 
representa a ação da parte de cima sobre a parte de baixo. 
P á g i n a | 136 
 
 Fy  0 : N(x)   A x  0  N(x)   A x 
 
N(x) 


A 
Ax 
A 
  x 
 
 
 
 
123. Uma barra prismática de seção transversal circular ( = 25 mm) e de comprimento L 
= 800 mm fica solicitada por uma força axial de tração F = 300 N. Calcule a tensão 
normal e a deformação linear específica sabendo que o alongamento da barra é de 2,0mm. 
 
  
F
 
A 
 
30.000 
(12,5)
2
 
 
 61,1 N / mm
2
 
 
 
  
L 
L 
 
2,0 (mm) 
800 (mm) 
 2,5 x 10

 
3
 
 
 
13. Um elástico tem comprimento não esticado igual a 30,0 cm. Calcule a deformação 
linear específica do elástico quando for esticado ao redor de um poste com diâmetro 
externo igual a 16 cm. 
 
 
P: Perímetro externo do poste: P  2R  2.8  50,27 cm 
  
L 
Li 
 
Lf Li
Li 
 
50,27  30 
30 
 
 0,68 
 
 
P á g i n a | 137 
 
F 
/ 
 
124. Uma barra prismática de seção transversal circular (d = 20 mm) fica solicitada por uma 
força axial de tração F= 6.000 N. Experimentalmente, determinou-se a deformação linear 
específica longitudinal 𝜀𝐿 = 3º /₀₀. Calcule a tensão normal, a variação do comprimento e do 
diâmetro da barra. Dado: v = 0,25. 
 
 
 x  
A
  
6.000 
(10)
2
 
 19,1 N / mm
2
 
 
 L  x  3 
o 
oo 
3 


1000 
 
0,003 
x 

y 
Lx 

Lx 
Ly 


Ly 
Lx 
 
Ly 
 x Lx 
 
 y Ly 
 3,0 x10

 
3
 .1500  Lx 
 
 4,5 mm 
Ly  d  y d 
  
y 

x 
 
y    x 
 
  0,25 x 3,0 x10

 
3
   7,5 x10

 
4
 
d   7,5 x10

 
4
 x 20  0,015 mm 
 
 
125. Calcule o volume final da barra do problema 
anterior. Vi : volume inicial da barra; Vf: volume final 
da barra 
 
Vi  Ai Li  (10) x 1.500  471.238,9 2 
 
(20  0,015)
2
 
mm
3
 
 
3 
Vf  Af Lf  
4
 x (1500 4,5)  471.943,9 mm 
V Vf - Vi  471.943,9  471.238,9  705 mm
3
 
P á g i n a | 138 
 
126. A figura abaixo mostra um diagrama Força-Alongamento de um ensaio de tração 
simples. A barra tem seção transversal circular (d = 30 mm) e comprimento inicial 
(referência) igual a 800 mm. Calcule: 
a) a tensão (ou limite) de proporcionalidade (P); 
b) a tensão (ou limite) de escoamento (Y); 
c) a tensão última (U); 
 
 
 
 
 
A  .R 
2
 
D
2
 


4 
.30
2
 
= 
4 
 
706,86 
 
mm
2
 
a) P 
 
b) 
 
10.000 


706,86 
 
 
12.000 



14,15 N / mm
2
 

16,98 N / mm
2
 
P 

 

14,15 MPa 
 
16,98 MPa 
Y 
 
 
c) U 
706,86 
20.000 


706,86 
 
28,29 N / mm
2
 
Y 
 
 
U 


28,29 MPa 
 
127. Calcule o módulo de Young () da barra do problema anterior. 
  . 
  
L 

L 
3mm 
 
 
800 mm 
 
   3,75 x 10
3
 
 
  


 
14,15 N / mm
2
 

   3.773,3 N / mm
2
 
 
Ou : 
 
 3,75 x10
3
 
  3.773,3 MPa 
 
 3,77 
 
GPa 
P á g i n a | 139 
 
128. Uma circunferência de raio R = 300 mm é desenhada em uma placa. Calcule ao 
aplicar-se a tensão normal x = 81,0 MPa os valores dos diâmetros ab e cd. Dados da 
placa:  = 120 GPa;  = 0,36 
 
 
 
Lei de Hooke:      x   x 
 
 
  
 x
 
x 

  
81x10
6
 


120x10
9
 
x  6,75 x 10

 
4
 
 x 
Lx 
Lx 
 Lx 
 
 6,75 x10

 
4
 x 600 
 
 0,405 mm 
LFab  600  0,405  600,405 mm 
 
 
Coeficiente de Poisson (): 
   
y
 
x 
 y    x = 
 
0,36x6,75x10

 
4
 = 
 
 2,43x10

 
4 y 
Ly 
Ly 
 Ly 
 
  2,43 x10

 
4
 x 600 
 
  0,1458 mm 
LFcd  600 0,1458  599,8542 mm 
 
 
129. Um bloco de massa m = 1.500 kg é sustentado por dois cabos de seção transversal 
circular. Sendo dados d1 = 8,0 mm; d2 = 12,0 mm; 1 = 70 GPa e 2 = 120 GPa, calcule: 
a) o valor do ângulo  sabendo σ1 = σ2 ; 
b) valor da tensão normal nas duas barras; 
c) a deformação linear específica das duas barras. 
P á g i n a | 140 
 
F 
F 
 
 
 
F y  0 
 
 F2 
 
sen  P  0 
 
 F2 
P 
 
 
sen 

F x  0  F1  F2 cos   0  F1 
P 
 
 
sen 
cos 

a) 1  2  
F1 
A1 
 
F2 
A2 
P cos 


 sen 
(4)
2
 
P 
 
 
 sen 
(6)
2
 
 
cos  
 
1 
16 36 
 
 arc cos
16
    63,61o 



b) 1  
1
 
A1 
P cos (63,61
o
 ) 
sen (63,61
o
 ) 
= 
(4)
2
 
 
1500  9,81 
16 
 
 
 0,496 
 
 145,2 N / mm
2
 
 
 2  
2
 
A2 
P 
 
 
 
sen (63,61
o
 ) 
(6)
2
 
1500  9,81 
 
 
 
0,8958 


36 
 
 
145,2 N / mm
2
 
 
 
c) Lei de Hooke:    

 1 1  1  1 
145,2 (N / mm
2
 ) 


70 x10
3
 (N / mm
2
 ) 
1  2,074 x 10

 
3
 
 
 
 2 2  2  2 
145,2 (N / mm
2
 ) 


120 x10
3
 (N / mm
2
 ) 
2  1,21 x 10

 
3
 

P á g i n a | 141 
 
130. Uma barra prismática de aço, com seção transversal circular, tem 6,0 metros de 
comprimento e está solicitada por uma força axial de tração F = 104 N. Sabendo-se 
que o alongamento da barra é de 2,5 mm e que  = 205 GPa, calcule: 
a) o diâmetro da barra; 
b) a tensão normal. 
 
 
a) L  
FL 
E A 
 2,5 
10
4
 x 6000 
205 x10
3
   R 
2
 
 R  6,1 mm 
 
 
Então: d = 12,2 mm 
 
 
b)   
F 

A 
10
4
 
(6,1)
2
 
 85,5 N / mm
2
 
 
 
131. Calcule o alongamento dos dois cabos da estrutura 
abaixo. Dados: 1 = 2 = 25,4 mm; L1 = L2 = 3,5 m; 1 = 2 = 70 
GPa 
 
 
 
 
 
 
 
L  F1 L1  L  2269,2 x 3500 
 
 
 0,22 mm 
 
 
E1 A1 
1 
70 x10
3
  506,7 
 
 
L  F2 L2  L  3730,8 x 3500  0,37 mm 
E2 A2 
1 
70 x10
3
  506,7 
1 
2 
P á g i n a | 142 
 
 
 
132. Calcule o alongamento das duas barras da treliça abaixo. 
Dados: 1 = 12,5 mm ; 2 = 20 mm; L1 = 1,0 m; L2 = 2,0 m; 1 = 205 GPa; 2 = 120 GPa 
 
 
 
 
 
 
 
L  F1 L1 
 
 L 

3536,1 x 1000 
 
 0,14 mm 
 
 
E1 A1 
1 
205 x10
3
  122,7 
 
 
L  F2 L2  L  3536,1 x 2000  0,19 mm 
E2 A2 
1 
120 x10
3
  314,2 
 
 
133. Calcule o deslocamento horizontal do ponto de aplicação da força de 200 kN. 
Dados: A = 800 mm2;  = 70 GPa 
 
 
 
 
 
H   Fi Li 200.000 x 5400  80.000 x 3600  250.000 x 1800  22,18 mm 
i1 
Ei Ai 70 x10
3
  800 70 x 10
3
  800 70 x10
3
 800
n 
1 
2 
P á g i n a | 143 
 
134. Duas barras de seção transversal circular são soldadas como mostra a figura. Sendo 
dados: 1= 14 mm; 2 = 8 mm; 1= 2 = 70 GPa, calcule: 
a) a tensão normal nas duas barras; 
b) o alongamento da barra. 
 
 
 
a) A1 
A2 
 (7)
2
 
 (4)
2
 
153,9 mm
2
 
50,3 mm
2
 
  
8000 


1 
153,9 
  
3000 


2 
50,3 
51,98 N / mm
2
 
 
59,64 N / mm
2
 
 
 
b) L 
3.000 x 500 
70 x103  50,3 
 
3.000 x 2000 


70 x 103 153,9 
5.000 x 2000 
70 x103 153,9 
 1,91 mm 
 
135. Calcule a tensão normal máxima e o alongamento da barra prismática abaixo. 
Dados: A = 7,1 x 10 4 m2;  = 120 GPa;  = 44.300 N/m3 
 
 
P á g i n a | 144 
 
 
 A tensão normal máxima ocorre no apoio: 
 máx 
 
F 
L 
A 
4.000 
7,1x10
4
 
 44.300 x 5  5,63 x10
6
 0,22 x10
6
 
 
N / m
2
 
 
máx  5,85 x10
6
 N / m
2
  5,85 MPa 
 
 
 Cálculo do alongamento: 
 
 
 
O alongamento máximo ocorre na extremidade livre: 
 
 
L máx 
4.000 x 3,0 
120 x109 7,1 x 10 4 
 
44300 52 
2 x 120 x 109 
 1,41 x 104  4,61 x106 m 
L máx  1,46 x 10
4
 m  0,146 mm 
 
 
 
P á g i n a | 145 
 
136. Calcule a tensão normal nas três barras da treliça abaixo e o deslocamento vertical do 
ponto de aplicação da força P. 
Dados: P = 15.000 N; 1 = 2 = 205 GPa; 1 = 2 = 2 x 10 

 
4 m2 
 
 
 
 
 
Diagrama de corpo livre: 
 
 
 
 

 F x  0   F1 cos 55
o 
 F1 cos 55
o 
 0 
 F y  0  2.F1sen55
o 
 F2  P  0 
 
De onde: 1,64 F1 + F2 = P (1) 
 
Temos uma equação e duas incógnitas, o problema é uma vez hiperestático. A outra 
equação virá da “compatibilidade dos deslocamentos 
P á g i n a | 146 
 
F2 L 2 
E 2 A 2 
cos 35
o
  
F1L1 
E1A1 
 F2 L 2 cos 35
o 
 F1L1 
 
 
Cálculo do comprimento da barra 1: L1 cos35
o = L2 
L1 
2,0 
 
 
cos35
o
 
 L1 

2,44 m 
Da equação de compatibilidade: 
F2 x 2,0 cos 35
o 
 F1 2,44  F2  1,49 F1 
 
(2) 
 
 
Colocando-se a equação (2) na equação (1), tem-se: 
1,64 F1 + 1,49 F1 = P 
3,13 F1 15.000  F1  4792 N 
F2 = 7.140 N 
Cálculo da tensão normal nas barras 1 e 2:: 
  
F1 



4792 
 
   23,96 
 
MPa 
1 
A1
 
2 x 10 
 4 1
 
  
F2 



7140 
 
   35,70 
 
MPa 
2 
A 2
 
2 x 10 
 4 2
 
Cálculo do deslocamento vertical do ponto de aplicação da força P: 
V  L 2 
F2 L 2 
E 2 A 2 
 
7140 x 2.000 


205 x 10 
9 
x 2 x 10 
 4
 
V  0,35 mm 
P á g i n a | 147 
 
137. A barra rígida (indeformável) AB, de peso desprezível, é rotulada em A, suspensa 
por dois cabos e suporta uma força P = 58.000 N. Calcule a tensão normal nos cabos 1 e 
2 e a reação vertical no apoio A. 
Dados: L1 = L2; 1 = 70 GPa; 2 = 205 GPa; 1 = 2 = 5 x 10 

 
4 m2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F y  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 VA  F1 













F2 















P  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1) 
 M A  0  F1 x2d  P x 3d  F2 x 4d  0 
De onde: 2 x F1  4 x F2  3 x P (2) 
Temos duas equações independentes da estática e três incógnitas. O Problema é uma 
vez hiperestático e a outra equação virá da compatibilidade dos deslocamentos. 
 
L1 
2d 
 
L 2 
4d 
 
 2L1 
 
 L 2 
P á g i n a | 148 
 
2 
F1L1 
E1A1 
 
F2 L 2 
E 2 A 2 
 2 
F1
 
70 x 10
9
 
 
F2 
205 x 10
9
 
 
 
De onde: F2 = 5,86 F1 (3) 
 
Colocando-se a equação (3) na equação (2), tem-se: 
 
 
2 x F1  4 x 5,86F1  3 x P 
25,44 F1 = 3 x 58.000  F1 = 6.839,6 N 
F2 = 40.080,1 N 
Cálculo da tensão normal nos cabos: 
 
  
F1 



6839,6 
 
   13,68 
 
MPa 
1 
A1
 
5 x 10 
 4 1
 
  
F2
 
 
40.080,6 





  80,16 
 
MPa 
2 
A 2
 
5 x 10 
 4 2
 
Cálculo da reação vertical no apoio A (equação (1): 
VA   F1  F2  P   6.839,6  40.080,1  58.000  11.080,3 N 
138. A barra prismática abaixo está presa em dois apoios indeformáveis e solicitada por 
uma força axial F. Determine as reações nos apoios A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 F x  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 H A  F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 H B  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1) 
P á g i n a | 149 
 
O problema é uma vez hiperestático. Vamos retirar um dos apoios e determinar o 
deslocamento que o apoio retirado está impedindo. 
 
 
Colocando-se o apoio retirado, tem-se: 
 
 
 
Compatibilidade dos deslocamentos: 
L1  L 2  
F.a 
EA 
 
H B .L 


EA 
H B 
F. a 
L 
 
 
H A  F  H B 
 
 H A  F  
F . a 
L 
 F 
L 

L 
F. a 
L 
 
 
F 
(L  a) 
L 
 
 H A  
F. b 
L 
 
139. A barra prismática abaixo está carregada axialmente por duas forças F1 e F2. 
Calcule: 
a) as reações nos apoios indeformáveis A e B; 
b) a tensão normal no meio da barra. 
Dados: F1 = 2.000 N; F2 = 3.500; Aseção transversal = 200 mm
2 
 
 
 
 
 
Superposição dos efeitos: 
P á g i n a | 150 
 
H 
H 
 
 
A A 
B B 
 
 
1 F1 . b 
A 
L
 
 
2.000 x 1,8 
 1.384,6 N 
2,6 
1 F1 . a 
B 
L
  
2.000 x 0,8 


2,6 
 
615,4 N 
 
 
 
 
 
 
2 F2 . b 
A 
L
  
3.500 x 0,6 


2,6 
 
807,7N 2 
F2 . a 
B 
L
 
 
3.500 x 2,0 
 2.692,3 N 
2,6 
 
 
 
 
 
 
H A 
1 2 
 1.384,6  807,7  576,9 N 
H B  
1
 
2 
 615,4  2.692,3  2.076,9 N 
Cálculo da tensão normal no meio da barra: 
F = força normal axial no meio da barra 
F =  HÁ + F1 =  576,9 + 2.000 = 1.423,1 N 
Ou: F =  HB + F2 =  2.076,9 + 3.500 = 1.423,1 N 
 
Então:   
F
 
A 
 
1.423,1 
200 
 7,1 N / mm 
2
 
 
ou : 
 
  7,1 MPa 
 
H H 
H H 
H 
H 
P á g i n a | 151 
 
140. A barra prismática está na posição indicada quando a força F = 0. Calcule as 
reações nos apoios rígidos A e B quando for aplicada a força F = 18.000 N. Dados:  
= 1,5 GPa;  = 5 x 10  3 m2 . 
 
OBS.: Se a barra não encostar no apoio B as reações são dadas por: 
HÁ = 18.000 N e HB = 0.0 
 
Vamos retirar o apoio B: 
 
 
L1  
F x 2.000 
EA 
 
18.000 x 2.000 


1,5x10
9 
x 5x10 
3
 
 
4,8 mm 
 
 
Colocando-se o apoio B, a reação HB deverá diminuir (encurtar) a barra de L1 – 2 mm. 
 
 
 
 
H B x 3.200 


1,5x10
9 
x 5x10 
3
 
 
4,8  2,0 
 
 H B 
 
 6.562,5 N 
H A  H B  F  H A  18.000  6.562,5  11.437,5 N 
P á g i n a | 152 
 
141. A barra prismática abaixo está livre de tensão quando a temperatura é igual a 20ºC. 
Sabendo que os engastes são indeformáveis calcule a tensão normal na barra quando a 
temperatura subir para 50ºC. 
Dados:  = 205 GPa;  = 11,7 x 10  6 /oC 
 
 
Retirando-se o apoio B, tem-se: 
 
 
 
 
 
Compatibilidade dos deslocamentos 
L F 

L T 
FL 
  L T 
EA 
  E  T 
  205x10
9
 x 11,7 x10

 
6
 x 30 
  71,95 x 10
6 
N / m 
2
 
 
 
Ou: compressão = 71,95 MPa 
 
P á g i n a | 153 
 
142. A barra prismática abaixo está livre de tensão quando a temperatura é igual a 25º C. 
Sabendo que os engastes A e B são indeformáveis calcule a tensão normal na barra 
quando a temperatura descer para  60ºC. 
Dados:  = 70 GPa;  = 21,6 x 10  6 /oC; L = 4,0 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Compatibilidade dos deslocamentos 
L F 

L T 
FL 
  L T 
EA 
  E  T 
 70 x10
9
 x 21,6x10

 
6
 x85 
 128,52 x 10 
6 
N / m 
2
 
 
Ou: tração = 128,52 MPa 
P á g i n a | 154 
 
143. Resolva o problema anterior considerando que à temperatura t =  60º C o apoio B 
se desloca de 3 mm e o apoio A continua indeformável. 
Dados:  = 70 GPa;  = 21,6 x 10  6 /oC; L = 4,0 m 
L F  3x 10 
 3 
 L T 
 
 
 
 
 x 4 
70 x10
9
 
FL 
 3 x10 
 3 
  L T 
EA 
L 
 3 x10 
 3 
  L T 
E 
 
 3 x10 

 
3
 21,6x 10
6
 x 4 x 85 
 x 4 


70 x10
9
 
7,344 x 10
3
  3x10
3
 
 
  76,02 x 10
6 
N / m 
2
 
 
Ou: tração = 76,02 MPa 
 
P á g i n a | 155 
 
144. A estrutura abaixo é perfeitamente ajustada aos engastes rígidos A e B quando a 
temperatura é igual a 18º C. Calcule a tensão normal nas barras 1 e 2 quando a 
temperatura subir para 100º C. 
Dados: 1 = 2 = 205 GPa; 1 = 2 = 12 x 10 

 
6 /oC; 1 = 600 mm
2 ; 2 = 300 mm
2 
 
 
 
 
 
 
 
L T  1 L1 T   2 L 2 T 
 
 
L T  12 x10 
 6
 x 500 x 82  12 x10 
 6
 x 400 x 82 = 0,8856 mm 
 
 
 
 
 
 
L F  
FL1 
E1A1 
 FL 2 
E 2 A 2 
 
 
L  F x 500 
 
F x 400 = 1,0569 x 10 – 5 . F 
F 
205 x10
3 
x 600 205 x 10
3
 x 300 
 
LF = LT 
 
então: 1,0569 x 10 – 5 . F = 0,8856 
F = 83.791,4 N 
 
P á g i n a | 156 
 
Cálculo da tensão normal: 
1  
F 

A1 
 
83.791,4 
 139,7 N / mm 
2
 
600 
 
Ou: 1 = 139,7 MPa 
 
 2  
F 
A 2 
 
83.791,4 


300 
279,3 N / mm 
2
 
 
Ou: 2 = 279,3 MPa 
 
145. A barra prismática está na posição indicada na figura abaixo quando a temperatura é 
igual a 25º C. Sabendo que apoios A e B são indeformáveis calcule a tensão normal na 
barra quando a temperatura for igual a: 
a) 10º C; 
b) 70º C; 
c) 105º C; 
Dados:  = 70 GPa; que  = 20 x 10  6 /oC 
 
 
 
a)  = 0,0 
b) L T  20 x10 
 6
 x 2.500 x 45  2,25 mm  2,5 mm 
Portanto, a barra não vai encostar no apoio B, então:  = 0,0 
c) L T  20 x10 
 6
 x 2.500 x 80  4,0 mm  2,5 mm
 
 
 
 
L F  
F x 2.500 
70 x10
3 
A 
 1,5 
 x 2.500 
 
 
70 x 10
3
 
  compressão  42 N / mm 
2
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 157 
 
146. As barras estão na posição indicada na figura abaixo quando a temperatura é igual a -
5º C. Determine a distância “d” que o ponto a se desloca quando a temperatura subir para 
40º C. Considere que a barra ab tenha coeficiente de dilatação térmica 
insignificante.Dados: 1 = 23 x 10 

 
6 /oC; 2 = 12 x 10 

 
6 /oC 
 
 
 
LT1  1L1 T  23 x 10 

 
6
 x 900 x 45  0,93 mm 
LT2   2 L 2 T  12 x 10 

 
6
 x 900 x 45  0,49 mm 
 
 
P á g i n a | 158 
 
LT1 
30 
LT2  
x 

290 
0,93 
30 
0,49 

 x 
290 
x 
290 
 
0,44 
30 
 x 
0,44 
. 290
 
30 
 4,25 mm 
d  0,49  4,25  4,74 mm 
 
 
147. Um tubo de alumínio mede 35 m à temperatura de 22º C. Um tubo de aço, à mesma 
temperatura, é 5 mm mais longo. Calcule em qual temperatura estes tubos terão o 
mesmo comprimento. 
Dados: Alumínio = 21,6 x 10 

 
6 /oC; S = 11,7 x 10 

 
6 /oC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35.000  LTAL  35.005  LTS 
35.000   AL L AL T  35.005  S LS T 
35.000  21,6 x10

 
6
 x 35.000 T  35.005 11,7 x10 

 
6
 x 35.005 x T 
35.000  0,756 T  35.005  0,410 T 
0,756 T  0,410 T 35.005  35.000 
 
0,346 T  5  T  14,45
o
 C 
 
T  22  14,45  T  36,45
o
 C 
 
 
Observação: à temperatura t = 36,45ºC têm-se os seguintes comprimentos: 
L AL 
LS 
 35.000  21,6 x10 

 
6
 x 35.000 x 14,45  35.010,92 mm 
 35.005 11,7 x10

 
6
 x 35.005 x 14,45  35.010,92 mm 
P á g i n a | 159 
 
F 
148. Calcule a tensão de cisalhamento média que ocorre na cola. 
 
 
 
 
 
  
F 


20.000 
 
  

2,5 
 
x 10 
 
6 N / m2 
 
 2,5 MPa 
m 
A 2 x 0,04 x 0,10 
m
 
 
 
Ou: 
 m  
A 


20.000 
 
 
2 x 40 x100 
 
  m 
 
 2,5 
 
N / mm 2 
 
 2,5 MPa 
 
 
 
 
149. Um bloco está solicitado por uma força F = 112 kN. Calcule: 
a) A tensão cisalhante média; 
b) O deslocamento do ponto d considerando-se que a face inferior não se desloca. 
Dados:  = 87,5 GPa;  = 0,25 
 
 
 
 
 
a) m 
 
F 

A 
112.000 
 
 
160 x 50 
 m  14 N / mm 
2
 
P á g i n a | 160 
 
b) 
 
 
tg     


80 
   80 


Lei de Hooke no cisalhamento:  G 


G  
E 

2(1  ) 
87,5 
 
 
2(1  0,25) 
 G  35 GPa 
 
 
  
 

G 
14 (N / mm 
2
 ) 


35 x 10
3
 (N / mm 
2
 ) 
  4 x 10

 
4
 
 
rad. 
 
 
  80 x 4 x 10

 
4
    0,032 mm 
 
 
 
 
150. Calcule a tensão de cisalhamento média no pino e a tensão normal de tração média 
no cabo da estrutura abaixo. 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 161 
 
 méd 
 
F 

A 
22.500 
3,14 x 10
2
 
  méd  71,7 N / mm 
2
 
 
 
 méd 
 
F 

A 
45.000 
3,14 x 7 
2
 
  méd  292,5 N / mm 
2
 
 
 
151. Calcule a tensão de cisalhamento nos parafusos da ligação abaixo. Dados: F = 
35.000 N; d = 19,05 mm 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso n = 4 e nA = 1 (corte simples) 
 
 
 méd 
 
F 

A 
35.000 
4 x1 x 3,14 x(9,525) 
2
 
  méd  30,7 N / mm 
2
 
 
 
 
 
152. Calcule o diâmetro dos parafusos da ligação abaixo. 
 
Dados: F = 200.000 N;   95 N / mm 
2
 
 
 
 
 
 
Para este problema: n = 8 e nA = 1 (corte simples) 
P á g i n a | 162 
 
F 
méd  
A
  95 
200.000 
8 x 1x 3,14 x(R) 
2
 
 R  9,15 mm 
 
 
Portanto: d = 18,3 mm 
 
 
153. Calcule a tensão de cisalhamento nos parafusos da ligação abaixo e a tensão 
normal nas chapas. Dado: d = 12 mm 
 
 
 
 
 
 
1ª opção: F = 15.000 N; n = 6; nA = 1 
 
 
 méd 
 
F 

A 
15.000 
6 x1 x 3,14 x(6) 
2
 
 méd  22,1 N / mm 
2
 
 
 
  
F 

A 
15.000 


3x 100 
  50 N / mm 
2
 
 
 
2ª opção: F = 30.000 N; n = 6; nA = 2 
 
 méd 
 
F 

A 
30.000 
6 x 2 x 3,14 x(6) 
2  méd  22,1 N / mm 
2
 
 
 
  
F 

A 
30.000 


6 x100 
  50 N / mm 
2
 
P á g i n a | 163 
 
F 
154. Um suporte para televisão é sustentado por um pino de 8 mm de diâmetro. Calcule a 
tensão de cisalhamento média no pino sabendo que a massa da televisão é igual a 25 kg. 
 
 
 
 
 
Observação: a força cisalhante no pino é provocada pelo binário exigido para o equilíbrio 
de momentos fletores. 
 
 
 
 
 
 
 M A  0  P x 800  Fx 50  0 
 
 
25x 9,81x 800  Fx 50  F  3.924 N 
 
 
Cálculo da tensão cisalhante média no pino: 
 
 
 m  
A 

3.924 
3,14 x4
2
 
  m 78,1 N / mm 
2
 
P á g i n a | 164 
 
155. Para o eixo abaixo calcule: 
a) a tensão de cisalhamento máxima; 
b) o giro relativo da seção transversal B em relação ao engaste indeformável A; 
c) o deslocamento horizontal do ponto c. 
Dados: T  4.600 N.mm; G = 60 GPa. 
 
 
 
 
 
a)  
T . r 
J 
J  
 D 4  D4    184  124   J  8.270,2 mm 4 
32 
e i 
32 
  
4.600 x 9 
 
 
 5,01 N / mm 
2
 
 
 
ou : 
 
  5,01 MPa 
máx 
8.270,2 
máx 
 
 
b)  
TL 


GJ 
4.600 x 800 


60x10
3
 x 8.270,2 
7,42 x10 
3
 
rad. 
 
 
c) 
 
 
 
tg     


9 
   9x   9 x 7,42 x 10 

 
3
  0,067 mm 
P á g i n a | 165 
 
156. Um eixo de seção transversal circular fica solicitado pelos momentos de torção 
indicados na figura abaixo. Calcule a tensão de cisalhamento máxima e o giro relativo da 
seção transversal B em relação ao engaste indeformável A. Dado: G = 25 GPa. 
 
 
 
 
  
T . r 
J 
 
 
onde: J  
 
D
4
 
32 
 
50
4
 
32 
 
J 613.592,3 mm 
4
 
 
 
  
41.000 x 25  1,67 N / mm 
2
 ou :   1,67 MPa 
máx 
 
613.592,3 
máx 
 
 
  
TL 
GJ 
B 


22.000 x3.500 
25x10
3
 x 613.592,3 
 
 
63.000 x 2.000 
25x10
3
 x 613.592,3 
 
 
  3,194 x10 
3
 
 
 
 
rad. 
 
 
Resposta: B  3,194 x10⁻³ rad. (no sentido de 63.000 N.mm) 
 
 
 
 
157. A tensão de cisalhamento máxima que solicita o eixo abaixo é igual a 32,5 MPa. 
Sabendo que o eixo tem seção transversal circular ( = 12 mm) e L = 500 mm calcule o 
valor da força F. Para este valor de F calcule o giro relativo da seção transversal onde 
está aplicado o binário em relação ao engaste rígido. Dado: G = 42 GPa. 
P á g i n a | 166 
 
 
 
J  
 
12 
4
 
32 
 
J  2035,75 
 
mm 
4
 
  
T.r 
 
 
  

32,5  
12 F  6 
 
 
 F  918,9 N 
J 
máx 
2035,75 
TL 
 
12  918,9 500 
Cálculo do ângulo de torção:   
GJ 
 
 
42 x10
3
 x 2035,75 
  0,064 rad. (ou: 3,7º) 
 
 
158. Determine as reações nos engastes indeformáveis. O eixo é prismático e tem seção 
transversal circular. 
 
 
 
 
 M  0  TA  TB  T 
 
 
O Problema é uma vez hiperestático. Precisamos de mais uma equação que virá da 
“compatibilidade dos deslocamentos”. Retirando-se o apoio B tem-se o giro relativo θB: 
P á g i n a | 167 
 

B 
 
 
 
B 
TL 


GJ 
T.a 
G J 
 
 
Colocando-se o engaste B, tem-se o giro relativo 
|
 
 
 
 
 
 
| 
 
TB . L 
B 
G J 
 
Compatibilidade dos deslocamentos: 
 
 
| 
  B  
TB . L 
G J 
T  
T .a 
B 
L
 
 
T.a 
G J 
 
Da equação de equilíbrio: 
TA  T  TB  T  
T.a 


L 
T 
L 
 
T . a 
L L 
TA  
T 
( L  a) 
L 
TA 
T. b 
L 


: B 
P á g i n a | 168 
 
159. Calcule a tensão de cisalhamento média da barra com seção vazada de parede fina 
com espessura t constante. 
 
 
 méd  
T 
2A t 
 
Onde: A é a área limitada pela linha do esqueleto 
 
 
 méd  
135.000 
2 x 2.204 x 3 
  méd  10,21 N / mm 
2
 
 
 
 
 
P á g i n a | 169 
 
160. Calcule a tensão normal e a tensão cisalhante nos pontos 
I, J e K . 
 
 
 
Esforços internos na seção transversal que contém os três pontos: 
M =  15.000 N.m e V =  5.000 N 
I Z 
0,08 x 0,30 
3
 
12 
 1,8 x 10

 
4
 m 
4
 
 
Cálculo da tensão normal (σ):   
M . y 
IZ 
  
15.000 x (0,15) 
I 
1,8 x 10

 
4
 
 I 
 
 12,5 
 
x 10
6
 N / m 
2
 
 
 12,5 MPa 
  
15.000 x (0) 
J 
1,8 x 10

 
4
 
 
 J  0 
  
15.000 x (0,15) 
K 
1,8 x 10

 
4
 
 
 K 

 12,5 
 
x 10
6
 N / m 
2
 

 12,5
P á g i n a | 170 
 
 
 
 
Cálculo da tensão cisalhante ():   
V . Q 
b . I Z 
I 
5.000 x 0 
 0 
0,08 x 1,8 x10

 
4
 
 
  
5.000 x 0,08 x 0,15 x 0,075 
 
 
 3,125 x 10
5
 N / m 
2
  0,3125 
 
MPa 
J 
0,08 x 1,8 x 10

 
4
 
 
K 
5.000 x 0 
 0 
0,08 x 1,8 x10

 
4
 
 
 
 
 
161. Uma viga em balanço tem largura b constante em todo o comprimento igual 
a 10 cm e altura variável, como mostra a figura abaixo. Calcule 
no meio da viga e no engaste. Dado; P = 30.000 N 
máx t , máx c e máx 
 
 
 
P á g i n a | 171 
 
 No meio da viga tem-se: 
M =  30.000 (N) x 2,5 (m) =  75.000 N.m 
V =  30.000 N 
I Z 
0,10 x 0,15
3
 
 
 
12 
 2,8125 x 10

 
5
 m 
4
 
máx t  
 75.000 x (0,075) 
2,8125 x 10

 
5
 
 200 x 10
6
 
 
N / m 
2
 
 
 200 MPa 
 
máx c  
 75.000 x (0,075) 
2,8125 x 10

 
5
 
 
  200 x 10
6
 
 
N / m 
2
 
 
  200 MPa 
 
máx  
30.000 x (0,10 x 0,075 x0,0375) 
0,10 x 2,8125 x 10

 
5
 
 3 x 10
6
 N / m 
2
  3 MPa 
 
 
 No engaste da viga tem-se: 
M =  30.000 (N) x 5,0 (m) =  150.000 N.m 
V =  30.000 N 
I Z 
0,10 x 0,25
3
 
 
 
12 
 1,3021 x 10

 
4
 m 
4
 
máx t 
 
 máx c 
 
 150.000 x (0,125) 
1,3021 x 10

 
4
 
 
 150.000 x ( 0,125) 
1,3021 x 10 

 
4
 
 144 x 10
6
 
 
  144 x 10
6
 
 
N / m 
2
 
 
N / m 
2
 
 
 144 MPa 
 
  144 MPa 
 
 máx  
30.000 x (0,10 x 0,125 x0,0625) 
0,10 x 1,3021 x 10 

 
4
 
 
 1,8 
 
x 10
6
 
 
N / m 
2
 
 
 1,8 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 172 
 
162. Para a viga abaixo calcule as tensões normais extremas (σmáx T e σmáx C ) e a maior 
tensão cisalhante. 
 
 
 
 
FY  0 
M A  0 
VA  VB  27.000 N 
12.000 x 1,2  15.000 x 2,7 


VB x 3,9 0 
VB  14.076,9 N 
M B  0  VA x 3,9  12.000 x 2,7  15.000 x 1,2 0 
VA  12.923,1 N 
0,18 x 0,36
3
  4 4 
 
I Z   6,998 x 10 m 
12 
máx t  
16.892,3 x 0,18 


6,998 x 10

 
4
 
4,34 x 10
6
 N / m 
2
 

4,34 MPa 
 
máx c  
16.892,3 x (0,18) 
 

6,998 x 10

 
4
 
 
4,34 x 10
6
 N / m 
2
 

 4,34 MPa 
 
 máx  
14.076,9 x 0,18 x0,18 x0,09 
 325.854,2 N / m 
2 
0,18 x 6,998 x10 

 
4
 
 0,326 MPa 
 
 
P á g i n a | 173 
 
163. A viga abaixo está solicitada por três forças atuando no plano de simetria vertical. 
Calcule as tensões normais extremas (σmáx T e σmáx C ) e a maior tensão cisalhante. 
 
 
FY  0 

VA  VB  12.500 N 
M A  0  6.000 x 2,0  4.500x 4,0 VB x 6,0  2.000x 9 0 
VB  8.000 N 
M B  0  6 x VA 6.000 x4,0  4.500 x2,0  2.000 x 3,0 0 
VA 4.500 N 
Cálculo do momento de inércia IZ: 
 
I Z 
b.h h
 
 2,25 
x10 4 m 4 
Cálculo das tensões normais extremas: 
 máx T 
M .y 


I Z 
9.000 x 0,15 


2,25 x10

 
4
 
 
6,0 x 10
6
 
 
N / m 
2
 
 
= 6,0 MPa 
 
 máx C 
M .y 


I Z 
9.000 x (0,15) 
 

2,25 x10

 
4
 
V .Q 
 
6,0 x 10
6
 
 
N / m 
2
 
 
=  6,0 MPa 
Cálculo de máx:  
b I Z 
máx 
6.000 x (0,10 x 0,15 x 0,075) 


0,10 x 2,25 10

 
4
 
 
3,0 x 10
5
 
 
N / m 
2
 
P á g i n a | 174 
 
164. Sendo   = constante, determine: 
a) a equação da tangente à linha elástica; 
b) a equação da linha elástica; 
c) a deflexão do ponto A; 
d) a deflexão do ponto d. 
 
 
 
 
Colocando-se o sistema de referência no ponto A: 
 
 
 
 


 
 
P á g i n a | 175 
 
 
 
165. Sendo   = constante, determine: 
a) a equação da tangente à linha elástica; 
b) a equação da linha elástica; 
c) a deflexão do ponto A; 
d) a deflexão do ponto d. 
 
 
 
 
 
M(x) 
 
E I v 
|
 
|
 


(x) 
- qx 
2
 
2 
  
qx 
2
 
(0  x  L)
P á g i n a | 176Os engastes impedem rotações, então: v 
|
 (L)  0 
 
 
 v
|
 
a) 
q L
3
 
6 
| 
+ C1  0 
 
q x
3
 
 
 


qL
3
 
 
 
C1 
E I v (x)  
6 6 
Integrando a equação acima tem-se a expressão de v(x): 
 
E I v(x) 
q x 
4
 
24 
 qL
3
x 
6
 
 C2
Os engastes impedem deslocamentos, então: v (L)  0 
 
E I v(L) 
q L
4
 
24 
 qL3L
6  C2  0  C2  
qL
4
 
24 
 qL4
6  
qL
4
 
8 
b) E I v(x)  
q x 
4
 
24 
 qL3x 


6 
qL
4
 
8 
c) E I v(0)  
q 0
4
 
24 
qL
4
 
 
qL
3
 0 


6 
qL
4
 
8 
v(0)  vA 


8E I 
 
 
q (L / 3)
4
 
 
 
qL
3
 (L / 3) 
 
 
qL
4
 
d) E I v(L / 3)   
24 6 8 
 
EIv(L / 3)
qL
4
 


1944 
qL
4
 
18 
 qL4
8  
(1  108 243) 
1944 
 
qL
4
 
v(L / 3) 
136 qL
4
 
vd 
1944EI 
 
17qL
4
 
243EI 
 
 
166. Sendo   = constante, determine: 
a) a equação da tangente à linha elástica; 
b) a equação da linha elástica; 
c) a deflexão máxima; 
d) a rotação nos apoios. 

P á g i n a | 177 
 
 
 
 
 
M(x) 

VA x  
qx 
2
 
2 
 
qL 
x 
2 
 
qx 
2
 
 
 
2 
 
(0  x  L) 
 
E I v 
 
| |
(x) 

| 
 
qL 
x 
2 
qL 2 
 
 
qx 
2
 
 
 
2 
qx
3
 
 
E I v (x)   x 
4 6 
 C1 
 
E I v(x)   
qL 
x
3
 
12 
qx 
4
 
24 
 
 C1 x  C2 
Condições de contorno (ou condições de extremidades): 
v(0)  0 e v(L)  0 
qL 3 q0
4
 
 
E I v(0)   0 
12 
qL 3 
 
 
24 
qL
4
 
 C1 0  C2  0  C2  0 
E I v(L) 

qL
4
 
 L 
12 24 
qL
4
 
 C1 L  0 
 
qL
3
 
C1L 

a) E I v 

12 
 
| 
(x) 
24 
 
qL 
4 


x 
2
 
C 1 

qx
3
 


6 
 
 
24 
qL
3
 
24 
b) E I v(x)   
qL 
x
3
 
12 
qx 
4
 
24 
qL
3
 
x 
24 
 
 
c) A deflexão máxima ocorre no meio da viga: 
 
 
E I v(L / 2)   
qL 
12 (L / 2)
3
 
q(L / 2)
4
 
24 
 qL3 
24 
 
(L / 2) 
 
E I v(L / 2)   
qL
4
 


96 
qL
4
 
384 
 qL4 


48 
(4 1  8) 
 
 
384 
 
qL
4
 

P á g i n a | 178 
 
x 
vmáx  v(L / 2) 
5 qL
4
 
 
 
384 EI 
 
Observação: Para vigas bi-apoiadas a deflexão máxima ocorre onde 
 
 
v
|
 (x)  0 
 
| 
 
qL 2 qx
3
 
 
 
 
 
qL
3
 
 
E I v (x)   
x 
4 6 
  0 
24 
De onde: 
 
 
x
3
 
 
L 2 
6 4 
 
L
3 

24 
 4x
3
 6L x 
2
  L
3
  0 
 
 
A equação do terceiro grau acima fornece três raízes reais que são: X1 = 
1,366L 
X2 = 0,5L 
X3 =  0,366L 
 
 
d) Rotação nos apoios: v
|
 (x)  (x) 
 
 
 
E I v 
 
 
E I v 
 v (0)  A 

 v (L)  B 





0 
| 
(0)  qL 0
2
  q0
3
 qL
3
 | qL
3
 

| 
(L)  
4 

qL 

L
2
 
6 

qL
3
 



24 

qL
3
 



| 
24 


E I 

qL
3
 
 4 6 24 24 E I 
 
P á g i n a | 179 
 
167. Determine a deflexão no meio da viga. EI = constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trecho 1: M(x)  
P 
x 
2 
(0  x  L / 2) 
 
E I v 
|
 
|
 (x) 
 
E I v 
|
 (x) 
  
P 
x 
2 
  
P 
x 
2
 
4 
 
 
 C1
Para x = L/2: v|(L/2) = 0 
 
E I v 
|
 
 
(L / 2)   
P 
(L / 2)
2
 
4 
 
 C1  0 
 
 C1 
PL
2
 
16 
 
E I v(x)   
P 
x
3
 
12 
 PL2
16 x  C2 
Para x = 0: v(0) = 0 
 
E I v(0)   
P 
0
3
 
12 
 
PL
2

16 
 
0  C2  0 
 
 C2  0 
Cálculo da deflexão no meio do vão: 
 
E I v(L / 2) 
 
  
P 
12 
 
(L / 2)
3
 
PL
2

16 
 
(L / 2) 

PL
3
 
 PL3 


96 
PL
3
 
32 
 
(1  3) 
96 
 
PL
3
 
v(L / 2)  vmáx 


48E I 
 
168. Sabendo que a deflexão máxima da viga abaixo é igual a 0,6 cm calcule o valor do 
módulo de elasticidade da viga abaixo. E I = constante. 
 
 
P á g i n a | 180 
 
v máx 
PL
3
 
48E I 
 
Iz 
0,15  0,30
3
 
12 
 
 3,375 x10
4
 m
4
 
 
0,006 
26000(6,4)
3
 
 
 
48E 3,375 x10
4
 
 
E  70,12 x 10
9
 N / m
2
 ou: E  70,12 GPa 
 
 
169. Calcule a deflexão (flecha) máxima da viga abaixo. 
Dados:  = 120 GPa; q = 80.000 N/m 
 
 
 
 
 
 
 
b h
3
 
I  
12 
0,20  (0,5)
3
 
 
 
12 


0,00652qL
4
 
I  2,083 x 10

 
3
 m
4
 
v(0,52L)  vmáx  
EI
 
 
vmáx  
0,00652 x 80.000 x (5)
4
 


120 x 10
9
 x 2,083 x 10
3
 
 
1,3 x 10
3
 m 
P á g i n a | 181 
 
 
 
 
 
170. Para a estrutura abaixo calcule as tensões normais extremas e a posição da linha 
neutra. Dado: F = 100.000 N 
 
Reduzindo a força F ao centróide tem-se: 
 
MZ = 100.000 (N) x 100 (mm) = 1,0 x 10
7 N.mm 
 
 
  
F 
A 
 
M z  y
Iz 
P á g i n a | 182 
 
  
 100.000 


200 x 400 
1,0 x10
7
  y 
 
 
200 x400
3
 
 
 
12 
   1,25  9,375 x 10

 
3
 y 
 
 
Cálculo das tensões normais extremas: 
 máx T   1,25  9,375 x 10

 
3
 (200)  0,625 N / mm
2
 
 máx C   1,25  9,375 x 10

 
3
 
 
(200)  3,125 N / mm
2
 
 
 
 
 
Equação da linha neutra:  = 0 
0   1,25  9,375 x 10

 
3
  y 
y  
1,25 


 9,375 x10 

 
3
 
 133,33 mm 
 
 
 
171. Calcule a tensão normal nos pontos f e g e a posição da linha neutra no engaste. 
Calcule também a tensão de cisalhamento máxima. 
 
 
 
 
Seção transversal do engaste: 
P á g i n a | 183 
 
Mz = – 3000 x 3,7 – 5.000 x 2,5 = – 23.600 N.m 
 
 
  
F 
A 
 
Mz  y
Iz 
 


 

Cálculo das tensões normais: 
 
150.000 


0,25 x 0,5 
 
 
 1,2 x 10
6
 
23600 y 
 
 
0,25 x0,5
3
 
 
 
12 
 
9,06 x 10
6
  y 
 f   1,2 x 10
6
  9,06 x 10
6
 ( 0,25)  1,06 MPa 
 g   1,2 x 10
6
  9,06 x 10
6
 ( 0,25)   3,46 MPa 
Equação da linha neutra:  = 0 
0   1,2 x 10
6
  9,06 x 10
6
  y 
 
1,2 x 10
6
 
y  
 9,06 x10 
6
 
 0,13 m 
 
 
 
 
 
Cálculo de máx: 
  
V  Q 
b  IZ 
  
8.000 x 0,25 x 0,25 x 0,125 







96.000 N / m
2
 
máx 
0,25 x 2,604 x10 

 
3
 
P á g i n a | 184 
 
172. Investigue se vai ocorrer flambagem do pilar BC. Dados: BC = 120 GPa; LBC = 4,0 m. 
 
 
 
 
 
 

2
E Imin 
 
Cálculo da carga crítica do pilar BC: PCR 
Lfl 
2
 
 
Imin  
50 x 30
3
 


12 
 
112.500 
 
mm
4
 
 
Lfl  K  L  1,0 x 4000  4000 mm 
 
PCR 

2
  120 x 10
3
 x 112500 
 
40002 



8.327,5 N 
 
A força de compressão que atua no pilar BC é maior do que a carga crítica ( Pcr) do 
pilar. Portanto, vai ocorre flambagem do pilar BC. 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 185 
 
173. Resolva o problema anterior considerando-se que o pilar BC está engastado no 
ponto C. 
 
 
 

2
E Imin 
 
Cálculo da carga crítica do pilar BC: PCR 
Lfl 
2
 
 
 
Lfl  K  L  0,7 x 4000  2800 mm 
 
 
PCR 

2
  120 x 10
3
 x 112500 
 
28002 
 16.994,9 N 
FBC  PCR , neste caso não vai ocorrer flambagem do pilar. 
 
 
174. Calcule o valor crítico da força P. As duas barras têm seção transversal circular com 
diâmetro  = 15mm e módulo de elasticidade  = 205 GPa. 
 
 
P á g i n a | 186 
 
cos   
0,345 
0,69 
   arc cos (0,5)   60
o
 
 
 
FY  0  P  F2 sen   0  F2   
P 
sen 60
o
 
  1,155 P 
 
 
FX  0  F1  F2 cos   0  F1   F2 cos 


F1  (1,155P) cos 60
o
  0,5775 P 
 
 

2
E Imin 
 
Cálculo da carga crítica da barra 2: PCR 
Lfl 
2
 
 
 
Imin  
 D
4
 


64 
(0,015)
4
 


64 
2,485 x 10

 
9
 m
4
 
 
 
Lfl  K  L  1,0 x 0,69  0,69 m 
 
 
 
PCR 

2
  205 x 10
9
 x 2,485 x 10

 
9
 
 
0,692 
 
 10.560 N 
 
 
Para que ocorra flambagem da barra 2: F2 = Pcr, então: 
 
 
1,155 P  10.560  P  9.142,9 N 
P á g i n a | 187 
 
175. Calcule a tensão normal e a tensão cisalhante nas direções  = 60º e  = 150º. 
 
 
 
 
 
 
x  
F 

A 
 12.000 


15 x 25 
x   32 MPa 
Para  = 60º tem-se as tensões: 
  x .sen 
2
   32 . sen 
2
 60
0
   24 MPa 
  x .sen.cos    (32)sen60
o
.cos 60
o
 

13,86 MPa 
Para  = 150º tem-se as tensões: 
  x .sen 
2
   32 . sen 
2
150
0
   8 MPa 
  x.sen.cos    (32)sen150
o
.cos150
o
   13,86 MPa 
 
 
176. Duas peças de madeira são coladas como mostra a figura abaixo. A cola não pode 
ser tracionada e a tensão admissível ao cisalhamento é igual a 4,0 MPa. Investigue se a 
solicitação na cola é admissível. 
 
P á g i n a | 188 
 
  xsen 
2
  y cos
2
   2xy cos sen
  y  x sencos   xy sen 2  cos2 

Neste problema: x = 2,0 MPa ; y =  5,0 MPa ; xy = 0,0 
Para  = 45º tem-se as tensões: 
  2,0 sen 
2
 45
o
  5,0 cos
2
 45
o
  0     1,5 MPa 
   5,0  2,0sen45
o
 cos 45
o
  0     3,5 MPa 
 
Conclusão: A solicitação na cola é admissível. 
 
 
177. Um elemento estrutural fica solicitado pelas tensões indicadas na figura abaixo. 
Calcule: 
a) as tensões e as direções principais (mostre os resultados em um elemento orientado); 
b) as tensões que atuam nos planos que formam ângulos de 100; 
c) a maior tensão de cisalhamento do plano xOy e a direção 3. 
 
 
 
 
 
a) 1 
2 
 
x  y 


2 
 
 
1 
2 
35  85 


2 
 
 
então: 1  95,36MPa e 2  24,64MPa 
 
 
tg  xy 
 
  25 
 


 22,5
0
 
1 
1  x 95,36  35 
1
 
 x  y 
2
 

 2 


 
2
 xy 
 35  85 
2
 

 2 


  252 
P á g i n a | 189 
 
 
 xy 


  25  0 
 
tg2   
   
   
35  24,64 
  2  67,5 
 x 2   


b) Para   10
0
 , tem-se as tensões: 
 
 
  35sen 
2
10
0
  85 cos
2
 10
0
  2(25) cos10
0
 sen10
0
 
  85  35sen10
0
 cos10
0
  25(sen 
2
10
0
  cos
2
 10
0
 ) 
 74,94MPa 
 
 32,04 MPa 
 
 
 
 
c)  máx= 
 
 
 máx= 
 
= 35,36 MPa 
 
 
 máx  xy 

 35,36  25 
tg3   

 y 0,5
   
(35  85)  0,5 
 
 
3  arc tan (0,4144)  3  22,51
0
 
 
 
 
178. Para um ponto da barra abaixo calcule: 
a) as tensões principais e as direções principais (mostre os resultados em um 
elemento orientado): 
b) máx do plano xoy e a direção θ3 . 
 x  y 
2
 

 2 


 
2
 xy 
 35  85 
2
 

 2 


 (25) 2 
x 
P á g i n a | 190 
 
 
 
 
A   (6,35)
2
  126,68 mm
2
 
 
 
 
 
 
a) 
 
1 
2 
x 
 F 

A 
 
 
x  y 


2 
 9.000 (N) 
126,68 (mm
2
 ) 
 71 N / mm
2
 
 
 
 
1 
2 
71 0 


2 
 35,5  35,5 
 
 
De onde: 1  71 MPa e 2  0 
 
 
Cálculo das direções principais: 
 
 
 
tan   xy  
0 
 
0 ( 
 
 
1 
1  x 71  71 0 
 
 
Neste caso, a fórmula acima não pode ser usada. Nos planos principais a tensão 
cisalhante é nula. Então, σx e σy são tensões principais: 
x  1  71 MPa ; 1  90
o
 
y  2  0 ; 2  0
o
 
 
 
 
 x  y 
2
 

 2 


 xy 2 
 71 0 
2
 

 2 


 02 
P á g i n a | 191 
 
b) 
 
 
 
máx  
min 
 
 
 
máx  
min 
 máx  35,5 MPa e min   35,5 MPa 
 
tan   
máx  xy  
  
 35,5  0  
  1
 
3     0,5 (71  0)  0,5
 x y   
3  arc tan (1)   45 
o
 
 
 
Observação: Em uma barra tracionada (ou comprimida) a tensão cisalhante máxima 
atua nos planos que formam 45º com o eixo x e seu valor é a metade da tensão normal 
 
máxima: máx  
x 
2 
 
. No entanto, dependendo da resistência do material máx pode 
romper uma barra. 
 
 
 
 
 
 
179. Um eixo maciço está solicitado por um torque  = 73.630 N.mm. Para um ponto 
localizado na superfície do eixo calcule usando o círculo de Mohr: 
a) as tensões principais e as direções principais (mostre os resultados em um 
elemento orientado): 
 x  y 
2
 

 2 


 xy 2 
 71 0 
2
 

 2 


 02 
P á g i n a | 192 
 
b)máx do plano xoy e a direção θ3. 
 
a) O momento de torção (ou torque) produz um estado de cisalhamento puro. 
  
T. r 
J 
 
(Expressão válida para seção transversal circular) 
 D
4
 
J  
32 
 (50)
4
 
32 
 
 613.592,3 mm
4
 
xy  
73630 x 25 
613592,3 
 xy  3 N / mm
2
 
 
 
 
 
 
Círculo de Mohr: 
 
 
P á g i n a | 193 
 
 
 
Elemento orientado da letra a: 
 
 
b) máx = 3,0 MPa θ3 = 90º 
 
 
 
 
P á g i n a | 194 
 

x 9 

y 9 
180. Uma circunferência de raio r = 600 mm é desenhada em uma placa quadrada de 
lado L = 1400 mm. Determine os comprimentos dos diâmetros ab e cd depois de 
aplicadas as tensões indicadas. 
Dados: x = 150 MPa; y = 80 MPa ;  = 70 GPa ;  = 0,3 
 
 
 1 
 
x 
E 
x  (y  z )
 
1 150 x 106  0,3 (80 x 106  0) 
70 x 10 
 
2,486 x 10 

 
3
 
  
L 
L 
 
 Lx 
 
 x Lx 
Lab  x 1200  2,486 x 10

 
3
 1200  2,98 mm 
L F ab  1200  L ab  1200  2,98  LF ab  1202,98 mm 
 
 1 
 
y 
E 
y 
 
 (x  z )
 
1  80 x 106  0,3 (150 x 106  0)   1,786 x 10  3 
70 x 10 
  
L 
L 
 
 L y 
 
 y L y 
P á g i n a | 195 
 

x 9 
y 9 
Lcd   y  1200   1,786 x 10

 
3
 1200   2,14 mm 
L F cd  1200  L cd  1200  2,14  LF cd  1197,86 mm 
 
 
181. Em uma chapa de liga de titânio desenhou-se uma linha inclinada. Calcule o valor 
em graus do ângulo  depois de aplicadas as tensões indicadas. 
Dados: x = 90 MPa; y = 70 MPa titânio = 120 GPa ; titânio = 0,36 
 
 
tg  
120 mm 
 
 
230 mm 
   arc tan (0,5217)    27,55
o
 
 
 1 
 
x 
E 
x 
 
 (y  z )
 
1 90 x 106  0,36 (70 x 106  0) 
120 x 10 
 
9,60 x 10 

 
4
 
  
L 
L 
 
 Lx 
 
 x Lx 
Lx   x 230  9,60 x 10

 
4
  230  0,2208 mm 
L x F  230  L x  230  0,2208  L x F  230,2208 mm 
 y 
 1  y 
E 
 (x  z )
 
1  70 x 106  0,36 (90 x 106  0)   8,53 x 10  4 
120 x 10 
  
L 
L 
 
 L y   y L y 
L y   y  120   8,53 x 10

 
4
  120   0,102 mm 
L y F  120  L y  120  0,102  L y F  119,898 mm 
P á g i n a | 196 
 


tg F 
119,898 mm 
 
 
230,2208 mm 
 F  arc tan (0,5208)   F  27,51
o
 
 
 
182. Uma barra está solicitada pela tensão normal x. Para este caso demonstre que: 
 
x 
( x   y  z ) E 
1  2



Lei de Hooke Generalizada: 
 
 
 
x 
E 
x  (y  z )

 y  
 1  y 
E 
z  
 1  z 
 
 (x  z )
 (x  y )
Para uma barra solicitada pela tensão normal x tem-se: 
 x 
 
x 
E 
 (0  0)  
E 
 y 

z 
1 
0 
E 
1 
0 
E 
 
(x 
 
 
 0) 

 0) 
 
 x 
E 
 
 x 
E 
Somando as deformações x , y e z tem-se: 
 x   y  
z  
x
E 
 
 
x 
E 
 
 x 
E 
 x   y  z 
x (1    ) 
E 
  
( x   y  z ) E 


183. Em muitas situações de carregamento a tensão normal em uma direção é igual a 
zero, como na chapa da figura abaixo onde z = 0 (estado plano de tensão). Para este 
caso demonstre que: 
P á g i n a | 197 
 
 
    ( 
x 
  y ) 
z 
1  


Para uma chapa solicitada por x e y tem-se: 
 x  
 1 x 
E 
 ( y  0) 
 1 
(x   y ) 
E 
 
 y 
 1  y 
E 
 (x  0)
 1 
( y
 
E 
  x ) 
 
z 
 1 0 
E 
 (x   y)  
 (x   y ) 
E 
 
Somando as expressões de x e y , tem-se: 
 x   y 
1 
(x   y ) + 
E 
1 
( y 
E 
  x ) 
 
 x   y 
1 
(x   y 
E 
+  y   x ) 
 
( x 
 
( x 
  y ) E 

  y ) E 
x (1   )   y (1 ) 
(1   ) ( x  y ) 
De onde: x   y  
( x 
1 
 y ) E 


Colocando-se a expressão acima na expressão de z, tem-se: 
 
z   
 (x   y ) 
E 

  
E 
( x   y ) 
E 
1 

z  



 ( x   y ) 
1 
P á g i n a | 198 
 
xy Y x 
EXERCÍCIOS SOBRE CRITÉRIO DE RESISTÊNCIA DE VON MISES 
 
 

2
  
2
  
2
           3(
2
  
2
  
2
 )  
2
 
x y z x y x z y z xy xz y
 
 
184. Usando o critério de resistência de von Mises investigue se o eixo abaixoestá em 
segurança. Dado: ᵧ = 100 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
x 
F 
 
157000 
A ( 0,025)
2
 
 
 79,96 x 10
6
 
 
N / m
2
 
 
 
  
T r 


J 
 
x y  
615 x 0,025 


(0,05)
4
 
 
 
32 
 
25,06 x 10
6
 
 
N / m
2
 
 
 
 
Critério de von Mises: 
  3(
2
 
 
)  
2
 
 
(79,96)
2
  3(25,06
2
 )  100
2
 
8.277,6  10.000 
 
 
Segundo o critério de von Mises o eixo está em segurança. 
 
 
 

P á g i n a | 199 
 
xy Y 
1 xy 2 xy 
1 
185. Sabendo que ᵧ = 240 MPa calcule o valor do momento de torção que inicia o 
escoamento do eixo abaixo 
 
 
 
  
T r 


J 
 
x y  
T x 12,5 


(25)
4
 
 
 
32 
 
3,2595 x 10

 
4
 T 
 
 
3(
2
 )  
2
 
 
 
3(3,2595 x 10

 
4
 T)
2
  240
2
 
 
 
3 x 1,06243 x 10

 
7
 T
2
  57600 
 
 
T
2
 
57600 
3,18729x10
7
 
 T  425.109 
 
N.mm 
 
 
Observação: Usando o critério de Tresca: 1  3  Y 
 
 
  
 
 x y 


2 
 1  
2 
 
 
 
    3,2595 x 10

 
4
 T ;       3,2595 x 10

 
4
 T 
 
 x y 
  
2 
 2 
 
2
 xy 
2 
xy 
2 
P á g i n a | 200 
 
1 3 
As três tensões principais são: 
 
 
  3,2595 x 10

 
4
 T 2  0    3,2595 x 10

 
4
 T 
Colocando as tensões principais extremas no critério de Tresca: 
3,2595 x 10

 
4
 T  (  3,2595 x 10

 
4
 T )  240 
De onde:  = 368.155 N.mm 
 
Comparação entre os critérios de von Mises e de Tresca: 
von Mises 


Tresca 
425.109 
 
 
368.155 
 1,1547 
 
 
Portanto, o valor do momento de torção que inicia o escoamento do eixo segundo o 
critério de von Mises é 15,47% maior que o valor fornecido pelo critério de Tresca. Esta é 
a diferença máxima entre os dois critérios e ocorre na torção pura. 
 
186. Sabendo que ᵧ = 400 MPa calcule o valor da força P inicial do escoamento da viga 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
  
M y 
 
F 
IZ A 
 
M   2P x 5,0   10P 
  
10P y 
0,2 x 0,3
3
 
12 
 
15P 
0,2x0,30 
P á g i n a | 201 
 
Y x 
   22.222,22P.y  250P 
 
 
Tensão normal no ponto b: 
 
b   22.222,22P.(0,15)  250P   3.333,33P  250P 
b   3583,33P 
 
 
 
 
Para que inicie o escoamento (critério de von Mises): 
 
 
2  2  ( 3583,33P)
2
  (400 x10
6
 )
2
 
 
 
Ou: 3583,33P  400 x10
6
  P  111.627,9 N 
 
 
Observação: Se tirar a força axial (N = 0): 
 
 
3333,33P  400 x10
6
  P  120.000 N 
 
 
 
 
 
187. Usando o critério de von Mises investigue se o elemento abaixo está em segurança. 
Dado:Y  320 MPa 
 

P á g i n a | 202 
 
y z xy   Y 
x 
x 
x 
 
 
 
 
 
2  2  2  x y x z y z 3(
2
 
2 2 
xz yz 
)  2 
 
 
 
 
50
2
  (80)
2
  110
2
  50x(80)  50x110  (80)x110  3(45
2
  60
2
  30
2
 )  320
2
 
 
 
47.875  102.400 
 
 
Segundo o critério de von Mises o elemento está em segurança. 
 
 
188. Usando o critério de von Mises calcule o valor da tensão normal σX que inicia o 
escoamento do elemento abaixo. Dado:Y =207 MPa 
 
 
 
 
 
 
 

2
  
2
  
2
           3(
2
  
2
  
2
 )  
2
 
x y z x y x z y z xy xz yz Y 
 
 

2
  80
2
  120
2
    80  x 120  80120  3(0
2
  40
2
  50
2
 )  207
2
 
 
 

2
  200 x  23.500  42.849 
  
x 
P á g i n a | 203 
 
x 
y z xy   Y 
xy 
xy 
x 
xy 
xy 

2
 200 x  19.349  0 
 
 
De onde: x  271,3 MPa e x   71,3 MPa 
 
 
189. Usando o critério de von Mises calcule o valor da tensão cisalhante XY que inicia o 
escoamento do elemento abaixo. Dado: ᵧ = 240 MPa
 
 
 
 
 
 
 
 
2  2  2  x y x z y z 3(
2
 
2 2 
xz yz 
)  2 
 
 
0
2
  80
2
  120
2
  0  80  0 120  80120  3(
2
  40
2
  50
2
 ) 150
2
 
 
11200  3(
2
 1600  2500)  22.500 
 
 
2  22500  11200  4800  7500 
 
2 
1000 
 
Portanto, para xy  0 o elemento já está escoando. 
 
 
 
  
3
3
P á g i n a | 204 
 
y z xy   Y 
xz 
xz 
x 
x z 
190. Usando o critério de von Mises calcule o valor da tensão cisalhante XZ que inicia o 
escoamento do elemento abaixo. Dado: ᵧ = 150 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2  2  2  x y x z y z 3(
2
 
 
2 2 
xz yz 
)  2 
 
 
 
 
0
2
  80
2
  120
2
  0  80  0 120  80120  3(0
2
  
2
  50
2
 ) 150
2
 
 
 
11200  3
2
  7500)  22.500 
 
2  3800  x z 


x z  35,59 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3800 
3 
  
3
P á g i n a | 205 
 
y z xy  
Y 
x 
191. Usando o critério de von Mises investigue se o elemento abaixo está em segurança 
quando solicitado pela tensão indicada. 
Dado:Y  320 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2  2  2  x y x z y z 3(
2
 
2 2 
xz yz 
)  2 
 
 
Observação: “O escoamento ocorre sem variação de volume” (?????) 
Vamos supor que uma barra de aço doce tem tensão de escoamento Y  320 MPa 
Aplicando-se a F = 80.000 N, tem-se: 
  
80000 
10  20 
 400 N / mm
2
  Y 
 
 
 
 
 
Tensão esférica: 
V 
 0 
V 
 
Tensões desvidadoras: 
V 
 0 
V 
 
 
A tensão de cisalhamento é igual a zero em todas as direções do estado de tensão 
esférico. O escoamento é provocado pela tensão cisalhante, portanto, as tensões 
desviadoras são as responsáveis pelo escoamento. Então, podemos afirmar que o 
escoamento ocorre sem variação de volume. 
  
P á g i n a | 206 
 

b 

0 
2
 
192. Determine as coordenadas do centróide de uma área retangular. 
 
 
 
_  y.dA 
 
 

h 
y.dy 
b
dz 
 
 
 1  y 
2
  
h 
 



 1 h 
2
 
 
y  A 
A 
 0 0 
b.h 
 
b.h 


_ 
 . z 0 
2  0 
h 
 . . b 
b .h 2 
de onde: y 
2 
_  z.dA 
 
 

h 
dy 
b 
z.dz 
 
 
 1 
 

 
z 2  
b
 
 
 
 1 b
2
 
 
z  A 
A 
 0 0 
b.h 
 
de onde: 
b.h 
  
 0 
_ 
z 
2 
b .h 
 h 
2 
O Sistema de referência pode ter origem em qualquer ponto do plano da área. 
 
 
 
Para o sistema de referência acima: 
_ 
 
 
. h y 
b 
P á g i n a | 207 
 
A 
A Q 
_ 
y  0 
_ y.dA 
y   0 
A 
 
 
A   então: A y. dA  0 
 
 
QZ  A y. dA  0 
 
 
O eixo z passa pelo centróide da área A, portanto, o momento estático de uma área 
finita em relação a qualquer eixo que passa pelo centróide é nulo. 
 
193. Calcule o momento estático da área hachurada em relação ao eixo horizontal do 
centróide. 
 
 
 
 
Q  

y. dA  
160 
y.dy.
60 
dz  
y2 
160 
 z 
60 
Z A  200  60 
 
2 
200 
 60 
Q Z 
1 (160)2 
2 
(200)
2
 60  (60) 
1 
25.600  40.000120 
2 
QZ   864.000 mm
3
 
Outra forma de calcular-se o momento estático: 
 
 
_ y.dA 
y 
A 
_ 
 y  Z 
A 
 Q Z 
_ 
 y  A 
QZ  (180)  40 120   864.000 mm
3
 
 
 
Outra forma de calcular-se o momento estático: através da área abaixo 
P á g i n a | 208 
 
Z 
Y 
 
 
 
 
_ 
Q Z  yA  20  120  360  864.000 mm
3
 
 
194. Calcule o momento estático da área hachurada em relação ao eixo horizontal do 
centróide. 
 
 
Q Z 
_ 
y  A 100  200 120  2.400.000 mm
3
 
 Demonstração do teorema dos eixos paralelos 
 
 
 
I  I 
Z 
I  I 
Y 
 A.a 
2
 
 A.b
2
 
| 
| 
P á g i n a | 209 
 

1 h 
A A A 
| 
Z 
8  
8 8 
I
Z 
 A (y
|
 )
2
 dA 
 
IZ  (y
|
 
A 
a)2 dA  (y| )2 
A 
 2y
|
a  a 
2
 dA 
 
 
IZ   (y
|
 )
2
 dA  2a y
|
dA  a 
2
  dA 
 
 
O momento estático de uma área em relação a um eixo que passa pelo seu centróide é 
nulo, então: A y
|
dA  0 
 
 
I  I 
Z 
 A.a 
2
 
 
 
195. Para a área abaixo, determine: 
a) o momento de inércia IZ 
b) o momento de inércia IY 
 
 
a) IZ  y
2
dA 
A 
h 2 
h 2 
y
2
dy  
b 2 
dz 
b 2 
 
 
 
 
h 2 
b 2 1  h 3
  h
3
   b  b 
IZ   z b 2  





   

 


IZ 

h 2 
 3 



3   b 
 
 
 8 
 
 IZ 
  2 2 

 
bh 
3
 
 
 
 
 
y3 
3 
 
| 

h 
3 
3 

12 
P á g i n a | 210 
 

e i 
b) IY  z 
2
dA 
A 
h 2 
h 2 
dy 
b 2 
b 2 
z 
2
 dz 
 
 
IY y 
h 2 


b 2 
h b3
 


h 2 
b 2 
12
 
 
196. Determine o momento de inércia de uma área circular vazada em relação ao eixo Z. 
 
 
 
 
 
 
 
IZ 



y
2
dA 
A 
 
 
 
 
IZ  
dA  rd dr 
sen  
y 

r 
(rsen)2 rddr 
 
 
y rsen

 
re 
r3dr 
ri 
 
 
2 
sen 2 d
0 
 
 
 
IZ 
re 2
 
1 
  sen cos 
2 
 
IZ 
r 4  r 4 

4 
 
1 
2  sen2 cos 2 
2 
 
(0  sen0 cos 0)
z3 
3 
r 4 
4 
  

∫

0 

P á g i n a | 211 
 
e i e i 
 

IZ 
r 4  r 4 
4 
1 
2
2 
 
 IZ 
r 4  r 4 
4 
 
 
Ou colocando em função dos diâmetros externo e interno: 
 
 
  De 
4
  D 
4
 

 
  D
4
 D
4
 

IZ     


i
    e i 
4  
2   2  
4  16 16 

IZ  
D4  D4 
64 
e i 
 
 
 
Particularizando para seção cheia (Di = 0): 
 D
4
 
IZ 
e 
64 
 
 
Observação: Existem infinitos eixos de simetria que passam pelo centróide de uma área 
circular. Portanto, todos os momentos de inércia em relação aos eixos que passam pelo 
centróide são iguais. 
 
 
 
 
Não confundir momento de inércia ( I ) com momento de inércia à torção ( J ) 
I é usado na flexão 
J é usado na torção 

P á g i n a | 212 
 
 
 
 
 
 
IZ 

IY 
 D
4
 
 
 
64 
 
(para seção circular cheia) 
r 
2
  z 
2
  y
2
 
 
J   r 
2
 dA   (z 
2
  y
2
 ) dA   z
2
dA   y
2
 dA 
A A A A 
 
J  IY 
 
 IZ 
 D
4
 

64 
 D
4
 
64 
 D
4
 

32 
 
 
197. Calcule o momento de inércia de uma área em forma de “ T ” em relação ao eixo 
horizontal (Z) do centróide. 
 
 
 
 
 
 
Cálculo das coordenadas do centróide: 
 
_ 
z  0 
P á g i n a | 213 
 
A _ ydA y  

_ 
A1 y1 
_ 
A 2 y2  
0,20x0,50x0,25 

0,80x0,10x0,55 
A A1  A 2 
_ 0,069 
0,50x0,20  0,80x0,10 
y 
0,18 
0,383 m 
Se o sistema de referência auxiliar for colocado na face superior, tem-se: 
 
 
_ 0,80x0,10x0,05 
y  0,20x0,50x0,35  
0,039 




0,217 m 
0,50x0,20  0,80x0,10 0,18 
Transladando-se o sistema de referência para o centróide da figura, tem-se: 
 
 
 
 
Cálculo de IZ usando-se o teorema dos eixos paralelos: 
 
 
I Z  I Z|
  A.a 2 
 
IZ 
0,8 x 0,1
3
 


12 
0,8x0,1x(0,167)
2
 
0,2 x 0,5
3
 
12 
 0,2x 0,5 x(0,133)
2
 
P á g i n a | 214 
 
IZ  6,15 x10

 
3
 m
4
 
 
 
198. Para a área do exercício anterior calcule o momento de inércia em relação ao eixo 
y ( IY ). 
 
 
 
 
IY 
0,10x 0,80
3
 
12 
 
0,50 x 0,20
3
 
12 
 4,6x10

 
3
 m
4
 
 
 
 
199. Para a área abaixo calcule os momentos de inércia em relação aos eixos Z e Y. 
 
 
 
 
IZ 
500x800
3
 
12 
 
300 x400
3
 


12 
1,97 x10
10
 mm
4
 
 
 
IY 
 
 
800x5
00
3
 
12 
 
400 x300
3
 


12 
7,43x10 
9
 mm 
4 
 
 
 
 
P á g i n a | 215 
 
 
200. Uma barra de alumínio de 60 mm de diâmetro é tracionada em uma máquina de 
tração. Em certo instante, a força aplicada P é de 16.000 Kgf, enquanto que o alongamento 
medido na barra é de 0.238 mm em um comprimento de 300 mm e o diâmetro diminui de 
0,0149 mm. Calcular as duas constantes v e E do material. 
 
 
P á g i n a | 216 
 
REFERÊNCIAS 
 
1. HIBBELER,R.C. Resistência dos Materiais. Ed. Pearson 
2. BEER, Ferdinand, JOHNSTON, E. Russell. Resistencia dos Materiais. Mc 
Graw Hill. 
3. GERE, James M. Mecânica dos Materiais. Editora Cengage Learning. 
4. TIMOSHENKO, Stephen, GERE, James. Mecânica dos Sólidos; vol.1. LTC 
editora. 
5. UGURAL, Ansel C., Mecânica dos Materiais; LTC- Livros Técnicos e 
Científicos Editora S. A.. 
6. POPOV, Egor Paul. Resistência dos Materiais. PHB editora. 
7. SHAMES. Mecânica dos Sólidos. 
 
 
P á g i n a | 217