RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - 200 exercícios resolvidos

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Sumário 
 
 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: TENSÃO .............................................................................. 3 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: DEFORMAÇÃO ................................................................. 20 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: TENSÃO E DEFORMAÇÃO ........................................... 35 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: CARGA AXIAL ................................................................. 41 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: TORÇÃO ............................................................................ 46 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: FLEXÃO ............................................................................. 70 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: CISALHAMENTO ............................................................. 99 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: DEFLEXÃO DE VIGAS E EIXOS ................................. 110 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: FLAMBAGEM DE COLUNAS ...................................... 115 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: TENSÕES COMPOSTAS ............................................. 117 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES ........................... 123 
EXERCICIOS COMPLEMENTARES RESOLVIDOS: TEMAS DIVERSOS ................ 129 
EXERCÍCIOS SOBRE CRITÉRIO DE RESISTÊNCIA DE VON MISES ......... 198 
REFERÊNCIAS .................................................................................................................. 216 
 
 
 
 
 
 
 | 3 P á g i n a
 
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EXERCICIOS RESOLVIDOS: TENSÃO. 
1. Uma barra de seção circular com 50 mm de diâmetro, é tracionada por uma carga normal de 
36 kN. Determinar a tensão normal atuante na barra. 
 
 
 | 4 P á g i n a
 
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2. A barra abaixo tem largura de 35 mm e espessura de 10 mm, constantes ao longo de seu 
comprimento. Determine as tensões normais nos diferentes trechos da barra para o 
carregamento abaixo. 
 
 
 | 5 P á g i n a
 
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3. Determine as tensões nos pinos localizados em A e B com diâmetros d=8mm e a tensão na 
barra BC para o conjunto abaixo. 
 
 | 6 P á g i n a
 
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4. Determinar o diâmetro da barra BC, se a tensão admissível é adm = 155 MPa. A viga é 
assumida ser parafusada em A. 
 
 
 | 7 P á g i n a
 
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5. Duas vigas de madeira são conectadas por um parafuso em B. Assumindo que as conexões 
em A, B, C e D exercem somente forças verticais nas vigas. Determine o diâmetro do parafuso 
em B e o diâmetro externo de sua arruela se a tensão admissível do parafuso é (adm)p = 150 
MPa e a tensão admissível da madeira é (adm)mad = 28 MPa. 
 
 
 | 8 P á g i n a
 
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6. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.16) Determinar a força normal, a força de cisalhamento e o 
momento na sessão que passa pelo ponto C. Usar P = 8 kN. 
 
 
 | 9 P á g i n a
 
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7. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.33) A coluna está submetida a uma força axial de 8 kN no seu 
topo. Supondo que a seção transversal tenha as dimensões mostradas na figura, determinar a 
tensão normal média que atua sobre a seção a-a. Mostrar essa distribuição de tensão atuando 
sobre a área da seção transversal. 
 
 
 | 10 P á g i n a
 
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8. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.36) A luminária de 50 lbf é suportada por duas hastes de aço 
acopladas por um anel em A. Determinar qual das hastes está sujeita à maior tensão normal 
média e calcular seu valor. Suponha que  = 60º. O diâmetro de cada haste é dado na figura. 
 
 
 | 11 P á g i n a
 
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9. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.37) A luminária de 50 lbf é suportada por duas hastes de aço 
acopladas por um anel em A. Determinar qual das hastes está sujeita à maior tensão normal 
média e calcular seu valor. Suponha que  = 45º. O diâmetro de cada haste é dado na figura. 
 
 
 | 12 P á g i n a
 
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10. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.38) A luminária de 50 lbf é suportada por duas hastes de aço 
acopladas por um anel em A. Determinar o ângulo da orientação de  de AC, de forma que a 
tensão normal média na haste AC seja o dobro da tensão normal média da haste AB. Qual é a 
intensidade dessa tensão em cada haste? O diâmetro de cada haste é indicado na figura. 
 
 
 | 13 P á g i n a
 
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11. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.53) O bloco plástico está submetido a uma força de 
compressão axial de 600 N. Supondo que as tampas superior e inferior distribuam a carga 
uniformemente por todo o bloco, determinar as tensões normal e de cisalhamento médias ao 
longo da seção a-a. 
 
 
 
 | 14 P á g i n a
 
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12. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.56) A junta está submetida à força de 6 kip do elemento axial. 
Determine a tensão normal média que atua nas seções AB e BC. Supor que o elemento é plano 
e tem 1,5 polegadas de espessura. 
 
 
 | 15 P á g i n a
 
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13. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.60) As barras da treliça têm uma área da seção transversal de 
1,25 pol2. Determinar a tensão normal média em cada elemento devido à carga P = 8 kip. Indicar 
se a tensão é de tração ou de compressão. 
 
 
 | 16 P á g i n a
 
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14. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.61) As barras da treliça têm uma área da seção transversal de 
1,25 pol2. Supondo que a tensão normal média máxima em cada barra não exceda 20 ksi, 
determinar a grandeza máxima P das cargas aplicadas à treliça. 
 
 
 | 17 P á g i n a
 
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15. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.79) O olhal (figura ao lado) é usado para suportar uma carga 
de 5 kip. Determinar seu diâmetro d, com aproximação de 1/8 pol, e a espessura h necessária, 
de modo que a arruela não penetre ou cisalhe o apoio. A tensão normal admissível do parafuso 
é adm = 21 ksi, e a tensão de cisalhamento admissível do material do apoio é adm = 5 ksi. 
 
 
 
 | 18 P á g i n a
 
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16. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.80) A junta sobreposta do elemento de madeira A de uma 
treliça está submetida a uma força de compressão de 5 kN. Determinar o diâmetro requerido d 
da haste de aço C e a altura h do elemento B se a tensão normal admissível do aço é (σadm)aço 
= 157 MPa e a tensão normal admissível da madeira é (σadm)mad = 2 MPa. O elemento B tem 50 
mm de espessura. 
 
 
 | 19 P á g i n a
 
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17. (HIBELLER, 5ª ed. questão 1.112) As duas hastes de alumínio suportam a carga vertical P = 
20 kN. Determinar seus diâmetros requeridos se o esforço de tração admissível para o alumínio 
for adm = 150 MPa. 
 
 
 | 20 P á g i n a
 
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EXERCICIOS RESOLVIDOS: DEFORMAÇÃO. 
18. A viga rígida AB está apoiada em duas colunas curtas como apresentado abaixo. A coluna 
AC é de aço e tem diâmetro de 20 mm, e a coluna BD é de alumínio e tem diâmetro de 40 mm. 
Determine o deslocamento do ponto F na viga AB se a carga de 90 kN é aplicada sobre este 
ponto. Tome 𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎, 𝐸𝑎𝑙 = 70 𝐺𝑃𝑎. 
 
 
 | 21 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
19. O conjunto abaixo consiste de um tubo de alumínio AB tendo uma área de 400 mm². Uma 
haste de aço de diâmetro 10 mm é conectada ao tubo AB por uma arruela e uma porca em B. Se 
uma força de 80 kN é aplicada na haste, determine o deslocamento da extremidade C. Tome 
𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎, 𝐸𝑎𝑙 = 70 𝐺𝑃𝑎. 
 
 
 | 22 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
20. O conjunto abaixo consiste de duas barras rígidas originalmente horizontais. Elas são 
suportadas por duas barras de área 25 mm² e 𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎. Se uma força verticalde 50 kN é 
aplicada na barra AB, determine o deslocamento em C, B e E. 
 
 
 | 23 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
21. A barra abaixo tem diâmetro de 5 mm e está fixa em A. Antes de apoiar a força P = 20 kN, há 
um gap entre a parede em B’ e a barra de 1 mm. Determine as reações em A e B’. Considere 
𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎. 
 
 
 | 24 P á g i n a
 
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22. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.5) A viga rígida está apoiada por um pino em A e pelos 
arames BD e CE. Se a deformação normal admissível máxima em cada arame for Ԑmax = 0,002 
mm/mm, qual será o deslocamento vertical máximo provocado pela carga P nos arames? 
 
 
 | 25 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
23. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.8) Duas Barras são usadas para suportar uma carga. Sem ela, 
o comprimento de AB é 5 pol, o de AC é 8 pol, e o anel em A tem coordenadas (0,0). Se a carga 
P atua sobre o anel em A, a deformação normal em AB torna-se ԐAB = 0,02 pol/pol e a 
deformação normal em AC torna-se ԐAC = 0,035 pol/pol. Determinar as coordenadas de posição 
do anel devido à carga. 
 
 | 26 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
24. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.9) Duas barras são usadas para suportar uma carga P. Sem 
ela, o comprimento de AB é 5 pol, o de AC é 8 pol, e o anel em A tem coordenadas (0,0). Se for 
aplicada uma carga P ao anel em A, de modo que ele se mova para a posição de coordenadas 
(0,25 pol, -0,73 pol), qual será a deformação normal em cada barra? 
 
 
 | 27 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
25. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.13) A chapa retangular está submetida à deformação 
mostrada pela linha tracejada. Determinar a deformação por cisalhamento média xy da chapa. 
 
 
 | 28 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
26. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.15) A chapa retangular está submetida à deformação 
mostrada pela linha tracejada. Determinar as deformações normais Ԑx, Ԑy, Ԑx’, Ԑy’. 
 
 
 | 29 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
27. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.17) A peça de plástico originalmente é retangular. Determinar 
a deformação por Cisalhamento xy nos cantos A e B se o plástico se distorce como mostrado 
pelas linhas tracejadas. 
 
 
 | 30 P á g i n a
 
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28. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.18) A peça de plástico originalmente é retangular. Determinar 
a deformação por cisalhamento xy nos cantos D e C se o plástico se distorce como mostrado 
pelas linhas tracejadas. 
 
 
 | 31 P á g i n a
 
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29. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.19) A peça de plástico originalmente é retangular. Determinar 
a deformação normal média que ocorre ao longo das diagonais AC e DB. 
 
 
 | 32 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
30. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.24) O quadrado deforma-se, indo para a posição mostrada 
pelas linhas tracejadas. Determinar a deformação por cisalhamento em cada um dos cantos A e 
C. O lado DB permanece horizontal. 
 
 
 | 33 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
31. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.25) O bloco é deformado, indo para a posição mostrada pelas 
linhas tracejadas. Determinar a deformação normal média ao longo da reta AB. 
 
 
 | 34 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
32. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 2.28) O elástico AB tem comprimento sem esticar de 1 pé. Se 
estiver preso em B e acoplado à superfície no ponto A’, determinar a deformação normal média 
do elástico. A superfície é definida pela função y= (x²) pé, onde x é dado em pé. 
 
 
 | 35 P á g i n a
 
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EXERCICIOS RESOLVIDOS: TENSÃO E DEFORMAÇÃO 
33. O diagrama tensão-deformação de um material é mostrado abaixo. Se um corpo-de-prova é 
carregado até 600 Mpa, determine a deformação permanente remanescente quando o corpo é 
descarregado. Calcule também o módulo de resiliência antes e após a aplicação do 
carregamento. 
 
 
 | 36 P á g i n a
 
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34. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 3.2) Os dados de um teste tensão-deformação de uma cerâmica 
são fornecidos na tabela. A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto. Construir o 
diagrama e determinar o módulo de elasticidade e o módulo de resiliência. 
 
 
 | 37 P á g i n a
 
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35. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 3.3) Os dados de um teste tensão-deformação de uma cerâmica 
são fornecidos na tabela. A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto. Construir o 
diagrama e determinar o módulo de tenacidade aproximado se a tensão de ruptura for de 53,4 
ksi. 
 
 
 | 38 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
36. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 3.4) Os dados de um teste tensão-deformação de uma cerâmica 
são fornecidos na tabela. A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto. Construir o 
diagrama e determinar o módulo de elasticidade e o módulo de resiliência. 
 
 
 | 39 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
37. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 3.18) Os arames de aço AB e AC suportam a massa de 200 kg. 
Supondo que a tensão normal admissível para eles seja adm = 130 MPa, determinar o diâmetro 
requerido para cada arame. Além disso, qual será o novo comprimento do arame AB depois que 
a carga for aplicada? Supor o comprimento sem deformação de AB como sendo 750 mm. Eaço = 
200 GPa. 
 
 
 | 40 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
38. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 3.24) A haste plástica é feita de Kevlar 49 e tem diâmetro de 10 
mm. Supondo que seja aplicada uma carga axial de 80 kN, determinar as mudanças em seu 
comprimento e em seu diâmetro. 
 
 
 | 41 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: CARGA AXIAL 
39. Uma barra de alumínio possuí uma seção transversal quadrada com 60 mm de lado, o seu 
comprimento é de 0,8 m. A carga axial aplicada na barra é de 30 kN. Determinar o seu 
alongamento. 𝐸𝑎𝑙 = 70 𝐺𝑃𝑎 
 
 | 42 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
40. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 4.6) O conjunto consiste de uma haste CB de aço A-36 e de 
uma haste BA de alumínio 6061-T6, cada uma com diâmetro de 1 pol. Se a haste está sujeita a 
uma carga axial P1 = 12 kip em A e P2 = 18 kip na conexão B, determinar o deslocamento da 
conexão e da extremidade A. O comprimento de cada segmento sem alongamento é mostrado 
na figura. Desprezar o tamanho das conexões em B e C e supor que sejam rígidas. 
 
 
 | 43 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
41. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 4.7) O conjunto consiste de uma haste CB de aço A-36 e de 
uma haste BA de alumínio 6061-T6, cada uma com diâmetro de 1 pol. Determinar as cargas 
aplicadas P1 e P2 se A desloca-se 0,08 pol para a direita e B desloca-se 0,02 pol para esquerda 
quando as cargas são aplicadas. O comprimento de cada segmento sem alongamento é 
mostrado na figura. Desprezar o tamanho das conexões em B e C e supor que sejam rígidas. 
 
 
 | 44 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
42. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 4.42) A coluna de concreto é reforçada com quatro barras de 
aço, cada uma com diâmetro de 18 mm. Determinar a tensão média do concreto e do aço se a 
coluna é submetida a uma carga axial de 800 kN. Eaço = 200 GPa e Ec = 25 GPa. 
 
 
 | 45 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
43. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 4.43) A coluna mostrada na figura é fabricada de concreto com 
alta resistência (Ec=29 GPa) e quatro barras de reforço de aço A36. Se a coluna é submetida a 
uma carga axial de 800 kN, determine o diâmetro necessário a cada barra para que um quarto 
da carga seja sustentada pelo aço e três quartos pelo concreto.| 46 P á g i n a
 
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EXERCICIOS RESOLVIDOS: TORÇÃO 
44. Um eixo maciço de raio c é sujeito a um torque T. Determine a fração de T que é resistida 
pelo material contido na região externa do eixo, de raio interno c/2 e raio externo c. 
 
 
 | 47 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
45. O acoplamento abaixo é usado para conectar dois eixos. Assumindo que a tensão de 
cisalhamento nos parafusos é uniforme, determine o numero de parafusos para que a máxima 
tensão de cisalhamento no eixo seja igual à tensão de cisalhamento nos parafusos. Cada 
parafuso tem diâmetro d e está distante R do centro do eixo. 
 
 | 48 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
46. Selecione dois eixos maciços para transmitir 200 CV de potência cada um, de forma que 
nenhuma deles ultrapasse a tensão de cisalhamento de 7 kgf/mm². Um desses eixos deve 
operar a 20 mm rpm, e o outro a 20.000 rpm. (1CV = 4500 kgf.m/min, α (rad/min) = 2 𝜋N (rpm)). 
 
 
 | 49 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
47. No conjunto mostrado abaixo, os dois eixos estão acoplados por duas engrenagens C e B. 
Determine o ângulo de torção na extremidade A do eixo AB onde um torque T = 45 N.m é 
aplicado. Cada eixo tem diâmetro de 20 mm e G = 80 GPa. 
 
 
 | 50 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
48. Uma barra circular em torção consiste de 2 partes. Determine o máximo torque possível se o 
ângulo de torção entre as extremidade da barra não deve exceder 0,02 radianos e a tensão de 
cisalhamento não deve exceder 28 MPa. Assumir G = 83 MPa. 
 
 
 | 51 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
49. O eixo está sujeito aos torques como apresentado abaixo. Se o módulo de cisalhamento é G 
= 80 GPa e o diâmetro do eixo é 14 mm, determine o deslocamento do dente P na engrenagem 
A. O eixo está engastado em E e o Mancal B permite que o eixo gire livremente. 
 
 | 52 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
50. Um motor de 200 kW gira a 250 rpm. Para a engrenagem em B é transmitido 90 kW e para a 
engrenagem em C 110 kW. Determine o menor diâmetro permissível d se a tensão admissível é 
de 50 MPa e o ângulo de torção entre o motor e a engrenagem C é limitado a 15°. Considerar G 
= 80 Gpa e 1 kW ≈ 60000 Nm/mim. 
 
 | 53 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
51. O eixo de raio c mostrado na figura é submetido à um torque distribuído t, medido como 
torque por unidade de comprimento do eixo. Determine o ângulo de torção do ponto A. 
 
 | 54 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
52. Um eixo circular é feito pela compressão de um tubo de alumínio em uma barra de latão, 
para formar uma seção de dois materiais, que então agem como uma unidade. (a) Se, devido à 
aplicação de um torque T, aparecer uma tensão de cisalhamento de 7 kgf/mm² nas fibras 
externas do eixo, qual é a magnitude do torque T? (b) Se o eixo tem 1 m de comprimento, qual 
será o ângulo de torção devido ao torque T? Para o alumínio E = 7 . 10³ kgf/mm², G = 2,8 . 10³ 
kgf/mm² e para latão E = 11,2 . 10³ kg f/mm², G = 4,28 . 10³ kgf/mm². 
 
 | 55 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
53. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.1) Um eixo é feito de liga de aço com tensão de cisalhamento 
admissível de τadm = 12 ksi. Supondo que o diâmetro do eixo seja de 1,5 pol, determinar o toque 
máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o toque máximo T’ se fosse feito um furo de 1 pol 
de diâmetro ao longo do eixo? Traçar o gráfico da distribuição cisalhamento-tensão ao longo de 
uma reta radial em cada caso. 
 
 
 | 56 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
54. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.5) O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para 
transmitir os torques aplicados ás engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento 
desenvolvida nos pontos C e D do eixo. Indicar a tensão de cisalhamento nos elementos de 
volume localizados nesses pontos. 
 
 
 | 57 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
55. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.6) O conjunto de dois seguimentos de tubos de aço 
galvanizado acoplados por uma redução em B. O tubo menor tem diâmetro externo de 0,75 pol e 
diâmetro interno de 0,68 pol, enquanto o tubo maior tem diâmetro externo de 1 pol e diâmetro 
interno de 0,86 pol. Supondo que o tubo esteja firmemente preso á parede em C, determinar a 
tensão de cisalhamento máximo desenvolvida em cada seção do tubo quando o conjugado 
mostrado é aplicado ao cabo da chave. 
 
 
 | 58 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
56. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.10) O eixo maciço tem diâmetro de 0,75 pol. Supondo que 
seja submetido aos torques mostrados, determinar a tensão de cisalhamento máxima 
desenvolvida nas regiões CD e EF. Os mancais em A e F permitem rotação livre do eixo. 
 
 
 | 59 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
57. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.25) O motor de engrenagens desenvolve 1/10 hp quando gira 
a 300 rev/min. Supondo que o eixo tenha diâmetro de ⅟₂ pol, determinar a tensão de 
cisalhamento máxima nele desenvolvida. 
 
 
 | 60 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
58. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.26) O motor de engrenagens desenvolve 1/10 hp quando gira 
a 300 rev/min. Supondo que a tensão de cisalhamento admissível para o eixo seja τadm = 4 ksi, 
determinar o menor diâmetro do eixo que pode ser usado com aproximação de 1/8 pol. 
 
 
 | 61 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
59. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.30) A bomba opera com um motor que tem potencia de 85 W. 
Supondo que o impulsor em B esteja girando a 150 ver/min, determinar a tensão de 
cisalhamento máximo desenvolvida em A, localizada no eixo de transmissão que tem 20 mm de 
diâmetro. 
 
 
 | 62 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
60. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.31) Um tubo de aço com diâmetro externo de d₁ = 2,5 pol 
transmite 35 hp quando gira a 2700 rev/min. Determine o diâmetro interno d₂ do tubo, com 
aproximação de 1/8 pol, se a tensão de cisalhamento admissível é Ƭmax = 10 ksi. 
 
 
 | 63 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
61. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.43) Um eixo está submetido a um torque T. Comparar a 
eficácia do tubo mostrado na figura com a de um eixo de seção maciça de raio c. Para isso, 
calcular a porcentagem de aumento na tensão de torção e no ângulo de torção por unidade de 
comprimento do tubo em relação aos valores do eixo de seção maciça. 
 
 
 | 64 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
62. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.46) O eixo de aço A-36 está composto pelos tubos AB e CD e 
por uma parte maciça BC. Apoia-se em mancais lisos que lhe permitem girar livremente. Se as 
extremidade estão sujeitas a torques de 85 N.m, qual o ângulo de torção da extremidade A em 
relação á extremidade D? Os tubos têm diâmetro externo de 30 mm e diâmetro interno de 20 
mm. A parte maciça tem diâmetro de 40 mm. 
 
 
 | 65 P á g i n a
 
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63. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.47) O eixo de aço A-36 está composto pelos tubos AB e CD e 
por uma parte maciça BC. Apoia-se em mancais lisos que lhe permitem girar livremente. Se as 
extremidade A e D estão sujeitas a torques de 85 N.m, qual o ângulo de torção da extremidade B 
da parte maciça á extremidade C? Os tubos têm diâmetro externo de 30 mm e diâmetro interno 
de 20 mm. A parte maciça tem diâmetro de 40 mm. 
 
 
 | 66 P á g i n a
 
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64. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.49) As engrenagens acopladas ao eixo de aço inoxidável 
ASTM-304 estão sujeitas aos torques mostrados. Determine o ângulo de torção da engrenagem 
C em relação à engrenagem B. O eixo tem diâmetro de 1,5 pol. 
 
 
 | 67 P ág i n a
 
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65. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.54) O eixo de aço A-36 tem 3 m de comprimento e diâmetro 
externo de 50 mm. Requer que transmita 35 kW de potência do motor E para o gerador G. 
Determinar a menor velocidade angular que o eixo pode ter se a máxima torção admissível é de 
1º. Adotar o módulo de elasticidade transversal igual a 75 GPa. 
 
 
 | 68 P á g i n a
 
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66. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.58) Os dois eixos são feitos de aço A-36. Cada um tem 
diâmetro de 1 pol, e eles estão apoiados por mancais em A, B e C, o que permite rotação livre. 
Supondo que o apoio D seja fixo, determinar o ângulo de torção da extremidade B quando os 
torques são aplicados ao conjunto como mostrado. 
 
 
 | 69 P á g i n a
 
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67. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 5.59) Os dois eixos são feitos de aço A-36. Cada um tem 
diâmetro de 1 pol, e eles estão apoiados por mancais em A, B e C, o que permite rotação livre. 
Supondo que o apoio D seja fixo, determinar o ângulo de torção da extremidade A quando os 
torques são aplicados ao conjunto como mostrado. 
 
 
 | 70 P á g i n a
 
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EXERCICIOS RESOLVIDOS: FLEXÃO 
68. Determine a posição do centroide da seção transversal do tipo T abaixo. 
 
2. Determine a posição do centroide da seção transversal do exemplo anterior, onde neste caso, 
os eixos de referência são posicionados de forma diferente. 
 
 
 | 71 P á g i n a
 
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69. Determine o momento de inércia da seção do tipo I com relação aos eixos y e z como 
mostrado abaixo. 
 
 | 72 P á g i n a
 
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70. Determine a tensão de flexão máxima na viga de seção do tipo I submetida a um 
carregamento distribuído como mostrado abaixo: 
 
 | 73 P á g i n a
 
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71. Uma viga estrutural em aço do tipo T usada em balanço, é carregada da forma mostrada na 
figura. Calcular a magnitude da carga P que provoca uma deformação longitudinal no ponto C de 
+527 x 10 –6 mm/mm (alongamento) e uma deformação longitudinal no ponto D de -73 x 10 –6 
mm/mm (encurtamento). (I = 2000 cm4 e Eaço = 21 x 10
3 kgf/mm2). 
 
 | 74 P á g i n a
 
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72. A viga composta abaixo é sujeita à um momento fletor de M = 2 kN.m. Determine pelo 
método da rigidez equivalente as tensões nos pontos B e C se Eaço = 200 GPa e Emad = 12 GPa. 
 
 | 75 P á g i n a
 
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73. Se o momento máximo no ski abaixo é 77,78 N.m, determine as tensões de flexão no aço e 
na madeira se a seção transversal do ski é como apresentado abaixo. Tome Eaço = 200 GPa e 
Emad = 12 GPa. 
 
 | 76 P á g i n a
 
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74. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.1) Desenhar os diagramas de força cortante e momento para o 
eixo. Os mancais em A e B exercem apenas reações verticais sobre o eixo. 
 
 
 | 77 P á g i n a
 
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 | 78 P á g i n a
 
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75. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.2) O eixo está submetido ás cargas provocadas pelas correias 
que passam sobre as duas polias. Desenhar os diagramas de força cortante e momento. Os 
mancais em A e B exercem apenas reações verticais sobre o eixo. 
 
 
 | 79 P á g i n a
 
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 | 80 P á g i n a
 
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76. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.3) Os três semáforos têm, cada um, massa de 10 kg e o tubo 
em balanço AB tem massa de 1,5 kg/m. Desenhar os diagramas de força cortante e momento 
para o tubo. Desprezar a massa da placa. 
 
 
 | 81 P á g i n a
 
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 | 82 P á g i n a
 
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77. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.5) O encontro de concreto armado é usado para apoiar as 
longarinas da plataforma de uma ponte. Desenhar seus diagramas de força cortante e momento 
quando ele é submetido ás cargas da longarina mostradas. Supor que as colunas A e B exercem 
apenas reações verticais sobre o encontro. 
 
 
 | 83 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
 
 
 | 84 P á g i n a
 
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 | 85 P á g i n a
 
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78. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.6) Desenhar os diagramas de força cortante e momento para o 
eixo. Os mancais em A e B exercem apenas reações verticais sobre ele. Expressar também a 
força cortante e o momento em função de x na região 125 mm < x < 725 mm. 
 
 
 | 86 P á g i n a
 
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 | 87 P á g i n a
 
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79. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.32) Desenhar os diagramas de força cortante e momento da 
viga de madeira e determinar a força cortante e o momento em toda a viga em função de x. 
 
 
 | 88 P á g i n a
 
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 | 89 P á g i n a
 
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80. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.42) Foram propostas duas soluções para o projeto de uma 
viga. Determinar qual delas suportará um momento M = 150 kN.m com a menor tensão normal 
de flexão. Qual é essa menor tensão? Com que porcentagem ele é mais eficiente? 
 
 
 | 90 P á g i n a
 
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81. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.47) A peça de máquina de alumínio está sujeita a um 
momento M = 75 N.m. Determinar a tensão normal de flexão nos pontos B e C da seção 
transversal. Desenhar os resultados em um elemento e volume localizado em cada um desses 
pontos. 
 
 
 | 91 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
82. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.48) A peça de máquina de alumínio está sujeito a um 
momento M = 75 N.m. Determinar as tensões normais de flexões máximas de tração e de 
compressão na peça. 
 
 
 | 92 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
83. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.55) A viga está sujeita a um momento de 15 kip.pés. 
Determinar a força resultante que a tensão produz nos flanges superior A e inferior B. Calcular 
também a tensão máxima desenvolvida na viga. 
 
 
 | 93 P á g i n a
 
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84. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.68) A seção transversal de uma viga está sujeito a um 
momento de 12 kip. Pés. Determinar a força resultante que a tensão produz na mesa (6 pol x 1 
pol). Calcular também a tensão máxima desenvolvida nesta seção transversal da viga. 
 
 
 | 94 P á g i n a
 
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85. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.71) Determinar a tensão normal de flexão máxima absoluta no 
eixo de 30 mm de diâmetro que está submetido a forças concentradas. As buchas nos apoios A 
e B suportam apenas forças verticais. 
 
 
 | 95 P á g i n a
 
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86. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.72) Determinar o menor diâmetro admissível do eixo 
submetido a forças concentradas. As buchas nos apoios A e B suportam apenas forças verticais 
e a tensão de flexão admissível é adm = 160 MPa. 
 
 
 | 96 P á g i n a
 
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87. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.73) A viga tem seção transversal retangular como mostrado. 
Determinar a maior carga P que pode ser suportada em suas extremidades em balanço, de 
modo que a tensão normal de flexão na viga não exceda adm = 10 MPa. 
 
 
 
 | 97 P á g i n a
 
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88. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.77) A viga está submetida ao carregamento mostrado. 
Determinar a dimensão a requerida da seção transversal se a tensão de flexão do material for 
adm = 150 MPa. 
 
 
 | 98 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenhariada Hora 
 
89. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 6.79) Determinar a intensidade da carga máxima P que pode ser 
aplicada à viga, supondo que ela seja de material com tensão de flexão admissível (adm)c = 16 
ksi na compressão e (adm)t = 18 ksi na tração. 
 
 
 | 99 P á g i n a
 
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EXERCICIOS RESOLVIDOS: CISALHAMENTO 
90. A viga abaixo é composta de duas pranchas de madeira formando um perfil do tipo T. 
Determine a máxima tensão cisalhante na cola necessária para mantê-las juntas. 
 
 
 | 100 P á g i n a
 
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 | 101 P á g i n a
 
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91. Se o cortante máximo no ski abaixo é 200 N, determine as tensões de cisalhamento no aço e 
na madeira se a seção transversal do ski é como apresentado abaixo. Tome Eaço = 200 GPa e 
Emad = 12 GPa. 
 
 | 102 P á g i n a
 
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92. Plote a distribuição de tensões de cisalhamento na seção transversal de uma viga do tipo I 
com força cortante V = 80 kN. 
 
 | 103 P á g i n a
 
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93. Determine a quantidade de pregos necessária para manter os elementos da viga abaixo de 
3m de comprimento, unidos quando submetida a um cortante de 2 kN. A tensão admissível dos 
pregos de diâmetro d = 2 mm é adm = 225 Mpa. 
 
 | 104 P á g i n a
 
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94. A viga abaixo é formada pela união de diferentes perfis parafusados entre si. Determine a 
máxima força cortante que a viga pode suportar se os parafusos resistem a uma força cortante 
de 11 kN e estão espaçados de 200 mm. 
 
 | 105 P á g i n a
 
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95. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 7.5) Se a viga T for submetida a um cisalhamento vertical V = 10 
kip, qual será a tensão de cisalhamento máximo nela desenvolvida? Calcular também o salto da 
tensão de cisalhamento na junção aba-alma AB. Desenhar a variação de intensidade da tensão 
de cisalhamento em toda a seção transversal. Mostrar que IEN = 532,04 pol⁴. 
 
 
 | 106 P á g i n a
 
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96. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 7.15) Determinar a tensão de cisalhamento máximo no eixo com 
seção transversal circular de raio r e sujeito à força cortante V. Expressar a resposta em termos 
da área A da seção transversal. 
 
 
 | 107 P á g i n a
 
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97. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 7.17) Determinar as maiores forças P nas extremidades que o 
elemento pode suportar, supondo que a tensão de cisalhamento admissível seja Ƭadm = 10 ksi. 
Os apoios em A e B exercem apenas reações verticais sobre a viga. 
 
 
 | 108 P á g i n a
 
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98. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 7.21) Os apoios em A e B exercem reações verticais sobre a 
viga de madeira. Supondo que a tensão de cisalhamento admissível seja Ƭadm = 400 psi, 
determinar a intensidade da maior carga distribuída w que pode ser aplicada sobre a viga. 
 
 
 | 109 P á g i n a
 
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99. Achar a máxima tensão de cisalhamento no plano ABDE do eixo de 12 mm de diâmetro, 
devido as esforços aplicados. 
 
 | 110 P á g i n a
 
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EXERCICIOS RESOLVIDOS: DEFLEXÃO DE VIGAS E EIXOS 
100. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 12.5) Determinar as equações da linha elástica da viga usando 
as coordenadas x1 e x2. Especificar a inclinação em A e a deflexão máxima. Considerar EI 
constante. 
 
 
 | 111 P á g i n a
 
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 | 112 P á g i n a
 
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101. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 12.30) O eixo suporta as cargas das três polias mostradas. 
Determinar a deflexão em seu centro e sua inclinação em A e B. Os mancais exercem apenas 
reações verticais sobre ele e EI é constante. 
 
 
 | 113 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
 
 
 | 114 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
102. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 12.49) A haste compõe-se de dois eixos para os quais o 
momento de inércia de AB é I e de BC é 21. Determinar a inclinação e a deflexão máxima da 
haste devido ao carregamento. O módulo de elasticidade é E. 
 
 
 | 115 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: FLAMBAGEM DE COLUNAS 
103. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 13.5) O elo de avião é feito de aço A-36 (E = 29000 ksi). 
Determinar o menor diâmetro da haste, com aproximação de 1/16 pol, que suportará a carga de 
4 kip sem sofrer flambagem. As extremidades estão presas por pinos. 
 
 
 | 116 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
104. (HIBELLER, 5ª ed. Questão 13.16) O elo de aço ferramenta L-2 usado em uma máquina de 
forja é acoplado aos garfos por pinos nas extremidades. Determinar a carga máxima P que ele 
pode suportar sem sofrer flambagem. Usar um fator de segurança para flambagem de F.S. = 
1,75. Observar, na figura da esquerda, que as extremidades estão presas por pino para 
flambagem e, na da direita, que as extremidades estão engastadas. 
 
 
 | 117 P á g i n a
 
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EXERCICIOS RESOLVIDOS: TENSÕES COMPOSTAS 
105. Calcule o tensor de tensões no ponto C da viga de seção transversal retangular, b = 50 mm 
e h = 250 mm. 
 
 
 | 118 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
 
 
 | 119 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
106. A viga de madeira de seção 100 mm x 150 mm mostrada abaixo é usada para suportar uma 
carga uniformemente distribuída de 500 kgf. A carga aplicada age em um plano que faz um 
ângulo de 30º com a vertical. Calcular a máxima tensão no meio do vão e localizar o eixo neutro. 
 
 
 | 120 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
107. O bloco retangular de peso desprezível está sujeito a uma força vertical de 40 kN, a qual é 
aplicada em seus vértices. Determine a distribuição de tensão normal atuando sobre a seção 
ABCD. 
 
 
 | 121 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
108. Uma placa é sujeita à um carregamento uniforme devido ao vento conforme mostrado 
abaixo. Determine o estado de tensões nos pontos C e D situados na coluna de sustentação da 
placa de 100 mm de diâmetro. 
 
 
 | 122 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
 
 
 | 123 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
EXERCICIOS RESOLVIDOS: TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES 
109. Considere uma barra de aço de 150 mm de largura e 10 mm de espessura sendo solicitada 
por uma força axial de 600 N. Determine as componentes das tensões atuantes sobre o plano 
definido pela seção a-a. 
 
 
 | 124 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
 
 
 | 125 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
110. Com o estado de tensão no ponto apresentado abaixo, determine as tensões principais e 
suas orientações e a máxima tensão de cisalhamento e sua orientação. 
 
 
 
 | 126 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
 
 
 | 127 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
111. As tensões calculadas sobre o ski são como mostrada na figura abaixo. Utilizando critérios 
de ruptura adequados, verifique se os pontos mostrados sobre a seção transversal do ski 
suportam o carregamento abaixo. Tome esc aço = 250 Mpa, rup mad = 26 MPa e rup mad = 6,2 
Mpa com um fator de segurança de 2. 
 
 
 | 128 P á g i n a
 
Josue carvalho | Engenharia da Hora 
 
 
 
P á g i n a | 129 
 
3 
EXERCICIOS COMPLEMENTARES RESOLVIDOS: TEMAS DIVERSOS 
 
112. Calcule a força de tração nas duas barras da estrutura abaixo. 
 
 
tan 1  
4 
tan   
4
 
 1 

  
arc tan (0,75) 

arc tan (1,333) 
1 36,87
0
 
 
  53,13
0
 
2 
3 
2 2 
 
 
Fx  0 :  F1cos (36,87
o
 )  F2 cos(53,13
o
 )  0 
 F1 
 
0,8  F2 0,6  0  F 1 
0,6 F2 

0,8 
F1  0,75 F2 
Fy  0 :  F1 sen (36,87
o
 )  F2 sen (53,13
o
 )  12.000  0 
F1 0,6  F2 0,8  12.000 
Colocando-se a força F1 na expressão acima, tem-se: 
 
0,75 F2 
 
0,6  F2 
 
0,8  12.000  F2  
12.000 
 9.600 N 
1,25 
F1  0,75 x 9600  F1  7.200 N 
 
113. Calcule a força de tração nos dois cabos da figura. 
 
P á g i n a | 130 
 
 
 
Fy  0 : F1  1.000  5.000  F2  0  F1  F2  6.000 
M1  0 : 1.000 x 0,7  5.000 x 1,8  F2 x 2,6  0  F2  3.730,8 N 
M2  0 : F1 x 2,6  1.000 x 1,9  5.000 x 0,8  0  F1  2.269,2 N 
 
114. Calcule as reações nos apoios da viga abaixo. 
 
 
 
 
 Fx  0 : H A  0 
Fy  0 : VA  14.000  VB  0  VA  VB  14.000 
MA  0 : 14.000 x 2,0  VB x 3,5  0  VB  8.000 N 
MB  0 : VA x 3,5  14.000 x 1,5  0  VA  6.000 N 
 
115. Calcule as reações no apoio da viga em balanço (ou viga cantilever). 
 
 
 
Fx  0 : Hb  0 
Fy  0 : Vb  1.000  0  Vb  1.000 
MO  0 : 1.000 x 3,0  Mb  0  Mb  3.000 N.m 
P á g i n a | 131 
 
116. Calcule as reações de apoio da viga de aço abaixo. Dado: s = 77 kN/m
3 
 
 
 
 
 
 
A carga q (N/m) é obtida multiplicando-se o peso específico pela área da seção 
transversal: 
A  6 x 100 x 2  6 x 300  3.000 mm
2
 
 
Ou: A  3.000 (10
6
 )m
2
  3,0 x10
3
 m
2
 
 
q  .A  77000(N / m
3
 ) x 3,0x10
3
 (m
2
 )  231 N / m 
 
 
 
 
 
 
Fx  0  H A  0 
Fy  0  VA  VB  q . L 
 
 
Então: VA  VB  231 x 9,0  2079 N 
P á g i n a | 132 
 
q L 
M B  0 
 
VA 
 VA 
q L 
2 
. L  q . L . 
L 
 0 
2 
 
 VB  
2
 
VA  VB 
231 x 9,0 
 
 
2 
 1039,5 N 
 
 
117. Calcule as reações de apoio da viga de aço abaixo. Dado: s = 77 kN/m
3 
 
 
 
 
 
 
Fx  0  H B  0 
Fy  0  VB  q . L 
L 
 231 x 9,0  2079 N 
 
 qL2 
Mo  0   q . L . 2 
 M B  0  M B   9355,5 N.m 
2 
 
 
Observação muito importante: A substituição de uma carga distribuída pela força 
resultante somente pode usada para calcularem-se as reações de apoio. Não deve ser 
usada para mais nada. 
P á g i n a | 133 
 
118. Calcule a tensão normal nos dois cabos da figura. Dados: 1 = 2 = 25,4 mm 
 
 
 
 
 
 
Área dos cabos 1 e 2: 
A1  A2 
 
 (12,7)
2
 
 
 A1  A2 
 
 506,7 mm
2
 
Tensão normal nos cabos 1 e 2: 
1 

2 
F1 

A1 
F2 

A2 
2.269,2(N) 
 
 
506,7 (mm
2
 ) 
3.730,8(N) 
 
 
506,7 (mm
2
 ) 
 
 4,48 
 
 7,36 
 
N / mm
2
 
 
N / mm
2
 
119. Calcule a tensão normal nas duas barras da treliça abaixo. Dados: 1 = 12,5 mm ; 2 = 
20,0 mm 
 
 
P á g i n a | 134 
 
F 
F 
F 
F 
Fx  0 :  F1 cos(45
o
 )  F2 cos(45
o
 )  0  F1  F2 
Fy  0 : F1sen(45
o
 )  F2 sen(45
o
 ) 5.000  0 
2 F1 0,707  5.000  F1  F2  3536,1 N 
 
 
Cálculo da tensão normal nas barras 1 e 2: 
1  
1 
A1 
3536,1 
(6,25)
2
 
 
 28,8 
 
N / mm
2
 
 
2  
2 
A2 
3536,1 
 
 
(10)
2
 
 11,3 N / mm
2
 
 
 
120. Calcule a tensão normal nas duas barras da treliça abaixo. As duas barras têm seção 
transversal circular. Dados: Barra tracionada = 15 mm ; Barra comprimida = 20 mm 
 
 
 
 
Fx  0 : F1  F2 cos(30
o
 )  0  F1   F2 0,866 
Fy  0 : F2 sen(30
o
 )  25.000  0  F2   50.000 N 
F1   (  50.000) . 0,866  F1  43.300 N 
 
 
Tensão normal nas barras 1 e 2: 
1  
1 
A1 
43.300 
(7,5)
2
 
 
 245,0 
 
N / mm
2
 
 
2  
2 
A2 
50.000 
 
 
(10)
2
 
 
  159,2 N / mm
2
 
P á g i n a | 135 
 
121. Uma barra, de seção transversal retangular, tem altura variável (como indicado) e 
largura b constante igual a 12 mm. Calcule a tensão normal no ponto de aplicação da força 
F e no engaste. Dado: F = 8.000 N 
 
 
 
 
  
F 

A 
8.000 
 
 
12 x15 
 44,44 N / mm
2
 
 
Engaste 
 
F 

A 
8.000 
 
 
12 x25 
 26,67 N / mm
2
 
 
 
122. Uma barra prismática está pendurada por uma de suas extremidades. Construa os 
diagramas de força normal e de tensão normal. Dados: : peso específico; A: área da 
seção transversal. 
 
 
 
Fazendo-se um corte imaginário à distância x os esforços que eram internos passam a 
ser externos. A parte recortada também tem que estar em equilíbrio, pois qualquer 
parte (ou ponto) de uma estrutura em equilíbrio também está em equilíbrio. N(x): 
representa a ação da parte de cima sobre a parte de baixo. 
P á g i n a | 136 
 
 Fy  0 : N(x)   A x  0  N(x)   A x 
 
N(x) 


A 
Ax 
A 
  x 
 
 
 
 
123. Uma barra prismática de seção transversal circular ( = 25 mm) e de comprimento L 
= 800 mm fica solicitada por uma força axial de tração F = 300 N. Calcule a tensão 
normal e a deformação linear específica sabendo que o alongamento da barra é de 2,0mm. 
 
  
F
 
A 
 
30.000 
(12,5)
2
 
 
 61,1 N / mm
2
 
 
 
  
L 
L 
 
2,0 (mm) 
800 (mm) 
 2,5 x 10

 
3
 
 
 
13. Um elástico tem comprimento não esticado igual a 30,0 cm. Calcule a deformação 
linear específica do elástico quando for esticado ao redor de um poste com diâmetro 
externo igual a 16 cm. 
 
 
P: Perímetro externo do poste: P  2R  2.8  50,27 cm 
  
L 
Li 
 
Lf Li
Li 
 
50,27  30 
30 
 
 0,68 
 
 
P á g i n a | 137 
 
F 
/ 
 
124. Uma barra prismática de seção transversal circular (d = 20 mm) fica solicitada por uma 
força axial de tração F= 6.000 N. Experimentalmente, determinou-se a deformação linear 
específica longitudinal 𝜀𝐿 = 3º /₀₀. Calcule a tensão normal, a variação do comprimento e do 
diâmetro da barra. Dado: v = 0,25. 
 
 
 x  
A
  
6.000 
(10)
2
 
 19,1 N / mm
2
 
 
 L  x  3 
o 
oo 
3 


1000 
 
0,003 
x 

y 
Lx 

Lx 
Ly 


Ly 
Lx 
 
Ly 
 x Lx 
 
 y Ly 
 3,0 x10

 
3
 .1500  Lx 
 
 4,5 mm 
Ly  d  y d 
  
y 

x 
 
y    x 
 
  0,25 x 3,0 x10

 
3
   7,5 x10

 
4
 
d   7,5 x10

 
4
 x 20  0,015 mm 
 
 
125. Calcule o volume final da barra do problema 
anterior. Vi : volume inicial da barra; Vf: volume final 
da barra 
 
Vi  Ai Li  (10) x 1.500  471.238,9 2 
 
(20  0,015)
2
 
mm
3
 
 
3 
Vf  Af Lf  
4
 x (1500 4,5)  471.943,9 mm 
V Vf - Vi  471.943,9  471.238,9  705 mm
3
 
P á g i n a | 138 
 
126. A figura abaixo mostra um diagrama Força-Alongamento de um ensaio de tração 
simples. A barra tem seção transversal circular (d = 30 mm) e comprimento inicial 
(referência) igual a 800 mm. Calcule: 
a) a tensão (ou limite) de proporcionalidade (P); 
b) a tensão (ou limite) de escoamento (Y); 
c) a tensão última (U); 
 
 
 
 
 
A  .R 
2
 
D
2
 


4 
.30
2
 
= 
4 
 
706,86 
 
mm
2
 
a) P 
 
b) 
 
10.000 


706,86 
 
 
12.000 



14,15 N / mm
2
 

16,98 N / mm
2
 
P 

 

14,15 MPa 
 
16,98 MPa 
Y 
 
 
c) U 
706,86 
20.000 


706,86 
 
28,29 N / mm
2
 
Y 
 
 
U 


28,29 MPa 
 
127. Calcule o módulo de Young () da barra do problema anterior. 
  . 
  
L 

L 
3mm 
 
 
800 mm 
 
   3,75 x 10
3
 
 
  


 
14,15 N / mm
2
 

   3.773,3 N / mm
2
 
 
Ou : 
 
 3,75 x10
3
 
  3.773,3 MPa 
 
 3,77 
 
GPa 
P á g i n a | 139 
 
128. Uma circunferência de raio R = 300 mm é desenhada em uma placa. Calcule ao 
aplicar-se a tensão normal x = 81,0 MPa os valores dos diâmetros ab e cd. Dados da 
placa:  = 120 GPa;  = 0,36 
 
 
 
Lei de Hooke:      x   x 
 
 
  
 x
 
x 

  
81x10
6
 


120x10
9
 
x  6,75 x 10

 
4
 
 x 
Lx 
Lx 
 Lx 
 
 6,75 x10

 
4
 x 600 
 
 0,405 mm 
LFab  600  0,405  600,405 mm 
 
 
Coeficiente de Poisson (): 
   
y
 
x 
 y    x = 
 
0,36x6,75x10

 
4
 = 
 
 2,43x10

 
4 y 
Ly 
Ly 
 Ly 
 
  2,43 x10

 
4
 x 600 
 
  0,1458 mm 
LFcd  600 0,1458  599,8542 mm 
 
 
129. Um bloco de massa m = 1.500 kg é sustentado por dois cabos de seção transversal 
circular. Sendo dados d1 = 8,0 mm; d2 = 12,0 mm; 1 = 70 GPa e 2 = 120 GPa, calcule: 
a) o valor do ângulo  sabendo σ1 = σ2 ; 
b) valor da tensão normal nas duas barras; 
c) a deformação linear específica das duas barras. 
P á g i n a | 140 
 
F 
F 
 
 
 
F y  0 
 
 F2 
 
sen  P  0 
 
 F2 
P 
 
 
sen 

F x  0  F1  F2 cos   0  F1 
P 
 
 
sen 
cos 

a) 1  2  
F1 
A1 
 
F2 
A2 
P cos 


 sen 
(4)
2
 
P 
 
 
 sen 
(6)
2
 
 
cos  
 
1 
16 36 
 
 arc cos
16
    63,61o 



b) 1  
1
 
A1 
P cos (63,61
o
 ) 
sen (63,61
o
 ) 
= 
(4)
2
 
 
1500  9,81 
16 
 
 
 0,496 
 
 145,2 N / mm
2
 
 
 2  
2
 
A2 
P 
 
 
 
sen (63,61
o
 ) 
(6)
2
 
1500  9,81 
 
 
 
0,8958 


36 
 
 
145,2 N / mm
2
 
 
 
c) Lei de Hooke:    

 1 1  1  1 
145,2 (N / mm
2
 ) 


70 x10
3
 (N / mm
2
 ) 
1  2,074 x 10

 
3
 
 
 
 2 2  2  2 
145,2 (N / mm
2
 ) 


120 x10
3
 (N / mm
2
 ) 
2  1,21 x 10

 
3
 

P á g i n a | 141 
 
130. Uma barra prismática de aço, com seção transversal circular, tem 6,0 metros de 
comprimento e está solicitada por uma força axial de tração F = 104 N. Sabendo-se 
que o alongamento da barra é de 2,5 mm e que  = 205 GPa, calcule: 
a) o diâmetro da barra; 
b) a tensão normal. 
 
 
a) L  
FL 
E A 
 2,5 
10
4
 x 6000 
205 x10
3
   R 
2
 
 R  6,1 mm 
 
 
Então: d = 12,2 mm 
 
 
b)   
F 

A 
10
4
 
(6,1)
2
 
 85,5 N / mm
2
 
 
 
131. Calcule o alongamento dos dois cabos da estrutura 
abaixo. Dados: 1 = 2 = 25,4 mm; L1 = L2 = 3,5 m; 1 = 2 = 70 
GPa 
 
 
 
 
 
 
 
L  F1 L1  L  2269,2 x 3500 
 
 
 0,22 mm 
 
 
E1 A1 
1 
70 x10
3
  506,7 
 
 
L  F2 L2  L  3730,8 x 3500  0,37 mm 
E2 A2 
1 
70 x10
3
  506,7 
1 
2 
P á g i n a | 142 
 
 
 
132. Calcule o alongamento das duas barras da treliça abaixo. 
Dados: 1 = 12,5 mm ; 2 = 20 mm; L1 = 1,0 m; L2 = 2,0 m; 1 = 205 GPa; 2 = 120 GPa 
 
 
 
 
 
 
 
L  F1 L1 
 
 L 

3536,1 x 1000 
 
 0,14 mm 
 
 
E1 A1 
1 
205 x10
3
  122,7 
 
 
L  F2 L2  L  3536,1 x 2000  0,19 mm 
E2 A2 
1 
120 x10
3
  314,2 
 
 
133. Calcule o deslocamento horizontal do ponto de aplicação da força de 200 kN. 
Dados: A = 800 mm2;  = 70 GPa 
 
 
 
 
 
H   Fi Li 200.000 x 5400  80.000 x 3600  250.000 x 1800  22,18 mm 
i1 
Ei Ai 70 x10
3
  800 70 x 10
3
  800 70 x10
3
 800
n 
1 
2 
P á g i n a | 143 
 
134. Duas barras de seção transversal circular são soldadas como mostra a figura. Sendo 
dados: 1= 14 mm; 2 = 8 mm; 1= 2 = 70 GPa, calcule: 
a) a tensão normal nas duas barras; 
b) o alongamento da barra. 
 
 
 
a) A1 
A2 
 (7)
2
 
 (4)
2
 
153,9 mm
2
 
50,3 mm
2
 
  
8000 


1 
153,9 
  
3000 


2 
50,3 
51,98 N / mm
2
 
 
59,64 N / mm
2
 
 
 
b) L 
3.000 x 500 
70 x103  50,3 
 
3.000 x 2000 


70 x 103 153,9 
5.000 x 2000 
70 x103 153,9 
 1,91 mm 
 
135. Calcule a tensão normal máxima e o alongamento da barra prismática abaixo. 
Dados: A = 7,1 x 10 4 m2;  = 120 GPa;  = 44.300 N/m3 
 
 
P á g i n a | 144 
 
 
 A tensão normal máxima ocorre no apoio: 
 máx 
 
F 
L 
A 
4.000 
7,1x10
4
 
 44.300 x 5  5,63 x10
6
 0,22 x10
6
 
 
N / m
2
 
 
máx  5,85 x10
6
 N / m
2
  5,85 MPa 
 
 
 Cálculo do alongamento: 
 
 
 
O alongamento máximo ocorre na extremidade livre: 
 
 
L máx 
4.000 x 3,0 
120 x109 7,1 x 10 4 
 
44300 52 
2 x 120 x 109 
 1,41 x 104  4,61 x106 m 
L máx  1,46 x 10
4
 m  0,146 mm 
 
 
 
P á g i n a | 145 
 
136. Calcule a tensão normal nas três barras da treliça abaixo e o deslocamento vertical do 
ponto de aplicação da força P. 
Dados: P = 15.000 N; 1 = 2 = 205 GPa; 1 = 2 = 2 x 10 

 
4 m2 
 
 
 
 
 
Diagrama de corpo livre: 
 
 
 
 

 F x  0   F1 cos 55
o 
 F1 cos 55
o 
 0 
 F y  0  2.F1sen55
o 
 F2  P  0 
 
De onde: 1,64 F1 + F2 = P (1) 
 
Temos uma equação e duas incógnitas, o problema é uma vez hiperestático. A outra 
equação virá da “compatibilidade dos deslocamentos 
P á g i n a | 146 
 
F2 L 2 
E 2 A 2 
cos 35
o
  
F1L1 
E1A1 
 F2 L 2 cos 35
o 
 F1L1 
 
 
Cálculo do comprimento da barra 1: L1 cos35
o = L2 
L1 
2,0 
 
 
cos35
o
 
 L1 

2,44 m 
Da equação de compatibilidade: 
F2 x 2,0 cos 35
o 
 F1 2,44  F2  1,49 F1 
 
(2) 
 
 
Colocando-se a equação (2) na equação (1), tem-se: 
1,64 F1 + 1,49 F1 = P 
3,13 F1 15.000  F1  4792 N 
F2 = 7.140 N 
Cálculo da tensão normal nas barras 1 e 2:: 
  
F1 



4792 
 
   23,96 
 
MPa 
1 
A1
 
2 x 10 
 4 1
 
  
F2 



7140 
 
   35,70 
 
MPa 
2 
A 2
 
2 x 10 
 4 2
 
Cálculo do deslocamento vertical do ponto de aplicação da força P: 
V  L 2 
F2 L 2 
E 2 A 2 
 
7140 x 2.000 


205 x 10 
9 
x 2 x 10 
 4
 
V  0,35 mm 
P á g i n a | 147 
 
137. A barra rígida (indeformável) AB, de peso desprezível, é rotulada em A, suspensa 
por dois cabos e suporta uma força P = 58.000 N. Calcule a tensão normal nos cabos 1 e 
2 e a reação vertical no apoio A. 
Dados: L1 = L2; 1 = 70 GPa; 2 = 205 GPa; 1 = 2 = 5 x 10 

 
4 m2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F y  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 VA  F1 













F2 















P  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1) 
 M A  0  F1 x2d  P x 3d  F2 x 4d  0 
De onde: 2 x F1  4 x F2  3 x P (2) 
Temos duas equações independentes da estática e três incógnitas. O Problema é uma 
vez hiperestático e a outra equação virá da compatibilidade dos deslocamentos. 
 
L1 
2d 
 
L 2 
4d 
 
 2L1 
 
 L 2 
P á g i n a | 148 
 
2 
F1L1 
E1A1 
 
F2 L 2 
E 2 A 2 
 2 
F1
 
70 x 10
9
 
 
F2 
205 x 10
9
 
 
 
De onde: F2 = 5,86 F1 (3) 
 
Colocando-se a equação (3) na equação (2), tem-se: 
 
 
2 x F1  4 x 5,86F1  3 x P 
25,44 F1 = 3 x 58.000  F1 = 6.839,6 N 
F2 = 40.080,1 N 
Cálculo da tensão normal nos cabos: 
 
  
F1 



6839,6 
 
   13,68 
 
MPa 
1 
A1
 
5 x 10 
 4 1
 
  
F2
 
 
40.080,6 





  80,16 
 
MPa 
2 
A 2
 
5 x 10 
 4 2
 
Cálculo da reação vertical no apoio A (equação (1): 
VA   F1  F2  P   6.839,6  40.080,1  58.000  11.080,3 N 
138. A barra prismática abaixo está presa em dois apoios indeformáveis e solicitada por 
uma força axial F. Determine as reações nos apoios A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 F x  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 H A  F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 H B  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1) 
P á g i n a | 149 
 
O problema é uma vez hiperestático. Vamos retirar um dos apoios e determinar o 
deslocamento que o apoio retirado está impedindo. 
 
 
Colocando-se o apoio retirado, tem-se: 
 
 
 
Compatibilidade dos deslocamentos: 
L1  L 2  
F.a 
EA 
 
H B .L 


EA 
H B 
F. a 
L 
 
 
H A  F  H B 
 
 H A  F  
F . a 
L 
 F 
L 

L 
F. a 
L 
 
 
F 
(L  a) 
L 
 
 H A  
F. b 
L 
 
139. A barra prismática abaixo está carregada axialmente por duas forças F1 e F2. 
Calcule: 
a) as reações nos apoios indeformáveis A e B; 
b) a tensão normal no meio da barra. 
Dados: F1 = 2.000 N; F2 = 3.500; Aseção transversal = 200 mm
2 
 
 
 
 
 
Superposição dos efeitos: 
P á g i n a | 150 
 
H 
H 
 
 
A A 
B B 
 
 
1 F1 . b 
A 
L
 
 
2.000 x 1,8 
 1.384,6 N 
2,6 
1 F1 . a 
B 
L
  
2.000 x 0,8 


2,6 
 
615,4 N 
 
 
 
 
 
 
2 F2 . b 
A 
L
  
3.500 x 0,6 


2,6 
 
807,7N 2 
F2 . a 
B 
L
 
 
3.500 x 2,0 
 2.692,3 N 
2,6 
 
 
 
 
 
 
H A 
1 2 
 1.384,6  807,7  576,9 N 
H B  
1
 
2 
 615,4  2.692,3  2.076,9 N 
Cálculo da tensão normal no meio da barra: 
F = força normal axial no meio da barra 
F =  HÁ + F1 =  576,9 + 2.000 = 1.423,1 N 
Ou: F =  HB + F2 =  2.076,9 + 3.500 = 1.423,1 N 
 
Então:   
F
 
A 
 
1.423,1 
200 
 7,1 N / mm 
2
 
 
ou : 
 
  7,1 MPa 
 
H H 
H H 
H 
H 
P á g i n a | 151 
 
140. A barra prismática está na posição indicada quando a força F = 0. Calcule as 
reações nos apoios rígidos A e B quando for aplicada a força F = 18.000 N. Dados:  
= 1,5 GPa;  = 5 x 10  3 m2 . 
 
OBS.: Se a barra não encostar no apoio B as reações são dadas por: 
HÁ = 18.000 N e HB = 0.0 
 
Vamos retirar o apoio B: 
 
 
L1  
F x 2.000 
EA 
 
18.000 x 2.000 


1,5x10
9 
x 5x10 
3
 
 
4,8 mm 
 
 
Colocando-se o apoio B, a reação HB deverá diminuir (encurtar) a barra de L1 – 2 mm. 
 
 
 
 
H B x 3.200 


1,5x10
9 
x 5x10 
3
 
 
4,8  2,0 
 
 H B 
 
 6.562,5 N 
H A  H B  F  H A  18.000  6.562,5  11.437,5 N 
P á g i n a | 152 
 
141. A barra prismática abaixo está livre de tensão quando a temperatura é igual a 20ºC. 
Sabendo que os engastes são indeformáveis calcule a tensão normal na barra quando a 
temperatura subir para 50ºC. 
Dados:  = 205 GPa;  = 11,7 x 10  6 /oC 
 
 
Retirando-se o apoio B, tem-se: 
 
 
 
 
 
Compatibilidade dos deslocamentos 
L F 

L T 
FL 
  L T 
EA 
  E  T 
  205x10
9
 x 11,7 x10

 
6
 x 30 
  71,95 x 10
6 
N / m 
2
 
 
 
Ou: compressão = 71,95 MPa 
 
P á g i n a | 153 
 
142. A barra prismática abaixo está livre de tensão quando a temperatura é igual a 25º C. 
Sabendo que os engastes A e B são indeformáveis calcule a tensão normal na barra 
quando a temperatura descer para  60ºC. 
Dados:  = 70 GPa;  = 21,6 x 10  6 /oC; L = 4,0 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Compatibilidade dos deslocamentos 
L F 

L T 
FL 
  L T 
EA 
  E  T 
 70 x10
9
 x 21,6x10

 
6
 x85 
 128,52 x 10 
6 
N / m 
2
 
 
Ou: tração = 128,52 MPa 
P á g i n a | 154 
 
143. Resolva o problema anterior considerando que à temperatura t =  60º C o apoio B 
se desloca de 3 mm e o apoio A continua indeformável. 
Dados:  = 70 GPa;  = 21,6 x 10  6 /oC; L = 4,0 m 
L F  3x 10 
 3 
 L T 
 
 
 
 
 x 4 
70 x10
9
 
FL 
 3 x10 
 3 
  L T 
EA 
L 
 3 x10 
 3 
  L T 
E 
 
 3 x10 

 
3
 21,6x 10
6
 x 4 x 85 
 x 4 


70 x10
9
 
7,344 x 10
3
  3x10
3
 
 
  76,02 x 10
6 
N / m 
2
 
 
Ou: tração = 76,02 MPa 
 
P á g i n a | 155 
 
144. A estrutura abaixo é perfeitamente ajustada aos engastes rígidos A e B quando a 
temperatura é igual a 18º C. Calcule a tensão normal nas barras 1 e 2 quando a 
temperatura subir para 100º C. 
Dados: 1 = 2 = 205 GPa; 1 = 2 = 12 x 10 

 
6 /oC; 1 = 600 mm
2 ; 2 = 300 mm
2 
 
 
 
 
 
 
 
L T  1 L1 T   2 L 2 T 
 
 
L T  12 x10 
 6
 x 500 x 82  12 x10 
 6
 x 400 x 82 = 0,8856 mm 
 
 
 
 
 
 
L F  
FL1 
E1A1 
 FL 2 
E 2 A 2 
 
 
L  F x 500 
 
F x 400 = 1,0569 x 10 – 5 . F 
F 
205 x10
3 
x 600 205 x 10
3
 x 300 
 
LF = LT 
 
então: 1,0569 x 10 – 5 . F = 0,8856 
F = 83.791,4 N 
 
P á g i n a | 156 
 
Cálculo da tensão normal: 
1  
F 

A1 
 
83.791,4 
 139,7 N / mm 
2
 
600 
 
Ou: 1 = 139,7 MPa 
 
 2  
F 
A 2 
 
83.791,4 


300 
279,3 N / mm 
2
 
 
Ou: 2 = 279,3 MPa 
 
145. A barra prismática está na posição indicada na figura abaixo quando a temperatura é 
igual a 25º C. Sabendo que apoios A e B são indeformáveis calcule a tensão normal na 
barra quando a temperatura for igual a: 
a) 10º C; 
b) 70º C; 
c) 105º C; 
Dados:  = 70 GPa; que  = 20 x 10  6 /oC 
 
 
 
a)  = 0,0 
b) L T  20 x10 
 6
 x 2.500 x 45  2,25 mm  2,5 mm 
Portanto, a barra não vai encostar no apoio B, então:  = 0,0 
c) L T  20 x10 
 6
 x 2.500 x 80  4,0 mm  2,5 mm
 
 
 
 
L F  
F x 2.500 
70 x10
3 
A 
 1,5 
 x 2.500 
 
 
70 x 10
3
 
  compressão  42 N / mm 
2
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 157 
 
146. As barras estão na posição indicada na figura abaixo quando a temperatura é igual a -
5º C. Determine a distância “d” que o ponto a se desloca quando a temperatura subir para 
40º C. Considere que a barra ab tenha coeficiente de dilatação térmica 
insignificante.Dados: 1 = 23 x 10 

 
6 /oC; 2 = 12 x 10 

 
6 /oC 
 
 
 
LT1  1L1 T  23 x 10 

 
6
 x 900 x 45  0,93 mm 
LT2   2 L 2 T  12 x 10 

 
6
 x 900 x 45  0,49 mm 
 
 
P á g i n a | 158 
 
LT1 
30 
LT2  
x 

290 
0,93 
30 
0,49 

 x 
290 
x 
290 
 
0,44 
30 
 x 
0,44 
. 290
 
30 
 4,25 mm 
d  0,49  4,25  4,74 mm 
 
 
147. Um tubo de alumínio mede 35 m à temperatura de 22º C. Um tubo de aço, à mesma 
temperatura, é 5 mm mais longo. Calcule em qual temperatura estes tubos terão o 
mesmo comprimento. 
Dados: Alumínio = 21,6 x 10 

 
6 /oC; S = 11,7 x 10 

 
6 /oC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35.000  LTAL  35.005  LTS 
35.000   AL L AL T  35.005  S LS T 
35.000  21,6 x10

 
6
 x 35.000 T  35.005 11,7 x10 

 
6
 x 35.005 x T 
35.000  0,756 T  35.005  0,410 T 
0,756 T  0,410 T 35.005  35.000 
 
0,346 T  5  T  14,45
o
 C 
 
T  22  14,45  T  36,45
o
 C 
 
 
Observação: à temperatura t = 36,45ºC têm-se os seguintes comprimentos: 
L AL 
LS 
 35.000  21,6 x10 

 
6
 x 35.000 x 14,45  35.010,92 mm 
 35.005 11,7 x10

 
6
 x 35.005 x 14,45  35.010,92 mm 
P á g i n a | 159 
 
F 
148. Calcule a tensão de cisalhamento média que ocorre na cola. 
 
 
 
 
 
  
F 


20.000 
 
  

2,5 
 
x 10 
 
6 N / m2 
 
 2,5 MPa 
m 
A 2 x 0,04 x 0,10 
m
 
 
 
Ou: 
 m  
A 


20.000 
 
 
2 x 40 x100 
 
  m 
 
 2,5 
 
N / mm 2 
 
 2,5 MPa 
 
 
 
 
149. Um bloco está solicitado por uma força F = 112 kN. Calcule: 
a) A tensão cisalhante média; 
b) O deslocamento do ponto d considerando-se que a face inferior não se desloca. 
Dados:  = 87,5 GPa;  = 0,25 
 
 
 
 
 
a) m 
 
F 

A 
112.000 
 
 
160 x 50 
 m  14 N / mm 
2
 
P á g i n a | 160 
 
b) 
 
 
tg     


80 
   80 


Lei de Hooke no cisalhamento:  G 


G  
E 

2(1  ) 
87,5 
 
 
2(1  0,25) 
 G  35 GPa 
 
 
  
 

G 
14 (N / mm 
2
 ) 


35 x 10
3
 (N / mm 
2
 ) 
  4 x 10

 
4
 
 
rad. 
 
 
  80 x 4 x 10

 
4
    0,032 mm 
 
 
 
 
150. Calcule a tensão de cisalhamento média no pino e a tensão normal de tração média 
no cabo da estrutura abaixo. 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 161 
 
 méd 
 
F 

A 
22.500 
3,14 x 10
2
 
  méd  71,7 N / mm 
2
 
 
 
 méd 
 
F 

A 
45.000 
3,14 x 7 
2
 
  méd  292,5 N / mm 
2
 
 
 
151. Calcule a tensão de cisalhamento nos parafusos da ligação abaixo. Dados: F = 
35.000 N; d = 19,05 mm 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso n = 4 e nA = 1 (corte simples) 
 
 
 méd 
 
F 

A 
35.000 
4 x1 x 3,14 x(9,525) 
2
 
  méd  30,7 N / mm 
2
 
 
 
 
 
152. Calcule o diâmetro dos parafusos da ligação abaixo. 
 
Dados: F = 200.000 N;   95 N / mm 
2
 
 
 
 
 
 
Para este problema: n = 8 e nA = 1 (corte simples) 
P á g i n a | 162 
 
F 
méd  
A
  95 
200.000 
8 x 1x 3,14 x(R) 
2
 
 R  9,15 mm 
 
 
Portanto: d = 18,3 mm 
 
 
153. Calcule a tensão de cisalhamento nos parafusos da ligação abaixo e a tensão 
normal nas chapas. Dado: d = 12 mm 
 
 
 
 
 
 
1ª opção: F = 15.000 N; n = 6; nA = 1 
 
 
 méd 
 
F 

A 
15.000 
6 x1 x 3,14 x(6) 
2
 
 méd  22,1 N / mm 
2
 
 
 
  
F 

A 
15.000 


3x 100 
  50 N / mm 
2
 
 
 
2ª opção: F = 30.000 N; n = 6; nA = 2 
 
 méd 
 
F 

A 
30.000 
6 x 2 x 3,14 x(6) 
2  méd  22,1 N / mm 
2
 
 
 
  
F 

A 
30.000 


6 x100 
  50 N / mm 
2
 
P á g i n a | 163 
 
F 
154. Um suporte para televisão é sustentado por um pino de 8 mm de diâmetro. Calcule a 
tensão de cisalhamento média no pino sabendo que a massa da televisão é igual a 25 kg. 
 
 
 
 
 
Observação: a força cisalhante no pino é provocada pelo binário exigido para o equilíbrio 
de momentos fletores. 
 
 
 
 
 
 
 M A  0  P x 800  Fx 50  0 
 
 
25x 9,81x 800  Fx 50  F  3.924 N 
 
 
Cálculo da tensão cisalhante média no pino: 
 
 
 m  
A 

3.924 
3,14 x4
2
 
  m 78,1 N / mm 
2
 
P á g i n a | 164 
 
155. Para o eixo abaixo calcule: 
a) a tensão de cisalhamento máxima; 
b) o giro relativo da seção transversal B em relação ao engaste indeformável A; 
c) o deslocamento horizontal do ponto c. 
Dados: T  4.600 N.mm; G = 60 GPa. 
 
 
 
 
 
a)  
T . r 
J 
J  
 D 4  D4    184  124   J  8.270,2 mm 4 
32 
e i 
32 
  
4.600 x 9 
 
 
 5,01 N / mm 
2
 
 
 
ou : 
 
  5,01 MPa 
máx 
8.270,2 
máx 
 
 
b)  
TL 


GJ 
4.600 x 800 


60x10
3
 x 8.270,2 
7,42 x10 
3
 
rad. 
 
 
c) 
 
 
 
tg     


9 
   9x   9 x 7,42 x 10 

 
3
  0,067 mm 
P á g i n a | 165 
 
156. Um eixo de seção transversal circular fica solicitado pelos momentos de torção 
indicados na figura abaixo. Calcule a tensão de cisalhamento máxima e o giro relativo da 
seção transversal B em relação ao engaste indeformável A. Dado: G = 25 GPa. 
 
 
 
 
  
T . r 
J 
 
 
onde: J  
 
D
4
 
32 
 
50
4
 
32 
 
J 613.592,3 mm 
4
 
 
 
  
41.000 x 25  1,67 N / mm 
2
 ou :   1,67 MPa 
máx 
 
613.592,3 
máx 
 
 
  
TL 
GJ 
B 


22.000 x3.500 
25x10
3
 x 613.592,3 
 
 
63.000 x 2.000 
25x10
3
 x 613.592,3 
 
 
  3,194 x10 
3
 
 
 
 
rad. 
 
 
Resposta: B  3,194 x10⁻³ rad. (no sentido de 63.000 N.mm) 
 
 
 
 
157. A tensão de cisalhamento máxima que solicita o eixo abaixo é igual a 32,5 MPa. 
Sabendo que o eixo tem seção transversal circular ( = 12 mm) e L = 500 mm calcule o 
valor da força F. Para este valor de F calcule o giro relativo da seção transversal onde 
está aplicado o binário em relação ao engaste rígido. Dado: G = 42 GPa. 
P á g i n a | 166 
 
 
 
J  
 
12 
4
 
32 
 
J  2035,75 
 
mm 
4
 
  
T.r 
 
 
  

32,5  
12 F  6 
 
 
 F  918,9 N 
J 
máx 
2035,75 
TL 
 
12  918,9 500 
Cálculo do ângulo de torção:   
GJ 
 
 
42 x10
3
 x 2035,75 
  0,064 rad. (ou: 3,7º) 
 
 
158. Determine as reações nos engastes indeformáveis. O eixo é prismático e tem seção 
transversal circular. 
 
 
 
 
 M  0  TA  TB  T 
 
 
O Problema é uma vez hiperestático. Precisamos de mais uma equação que virá da 
“compatibilidade dos deslocamentos”. Retirando-se o apoio B tem-se o giro relativo θB: 
P á g i n a | 167 
 

B 
 
 
 
B 
TL 


GJ 
T.a 
G J 
 
 
Colocando-se o engaste B, tem-se o giro relativo 
|
 
 
 
 
 
 
| 
 
TB . L 
B 
G J 
 
Compatibilidade dos deslocamentos: 
 
 
| 
  B  
TB . L 
G J 
T  
T .a 
B 
L
 
 
T.a 
G J 
 
Da equação de equilíbrio: 
TA  T  TB  T  
T.a 


L 
T 
L 
 
T . a 
L L 
TA  
T 
( L  a) 
L 
TA 
T. b 
L 


: B 
P á g i n a | 168 
 
159. Calcule a tensão de cisalhamento média da barra com seção vazada de parede fina 
com espessura t constante. 
 
 
 méd  
T 
2A t 
 
Onde: A é a área limitada pela linha do esqueleto 
 
 
 méd  
135.000 
2 x 2.204 x 3 
  méd  10,21 N / mm 
2
 
 
 
 
 
P á g i n a | 169 
 
160. Calcule a tensão normal e a tensão cisalhante nos pontos 
I, J e K . 
 
 
 
Esforços internos na seção transversal que contém os três pontos: 
M =  15.000 N.m e V =  5.000 N 
I Z 
0,08 x 0,30 
3
 
12 
 1,8 x 10

 
4
 m 
4
 
 
Cálculo da tensão normal (σ):   
M . y 
IZ 
  
15.000 x (0,15) 
I 
1,8 x 10

 
4
 
 I 
 
 12,5 
 
x 10
6
 N / m 
2
 
 
 12,5 MPa 
  
15.000 x (0) 
J 
1,8 x 10

 
4
 
 
 J  0 
  
15.000 x (0,15) 
K 
1,8 x 10

 
4
 
 
 K 

 12,5 
 
x 10
6
 N / m 
2
 

 12,5
P á g i n a | 170 
 
 
 
 
Cálculo da tensão cisalhante ():   
V . Q 
b . I Z 
I 
5.000 x 0 
 0 
0,08 x 1,8 x10

 
4
 
 
  
5.000 x 0,08 x 0,15 x 0,075 
 
 
 3,125 x 10
5
 N / m 
2
  0,3125 
 
MPa 
J 
0,08 x 1,8 x 10

 
4
 
 
K 
5.000 x 0 
 0 
0,08 x 1,8 x10

 
4
 
 
 
 
 
161. Uma viga em balanço tem largura b constante em todo o comprimento igual 
a 10 cm e altura variável, como mostra a figura abaixo. Calcule 
no meio da viga e no engaste. Dado; P = 30.000 N 
máx t , máx c e máx 
 
 
 
P á g i n a | 171 
 
 No meio da viga tem-se: 
M =  30.000 (N) x 2,5 (m) =  75.000 N.m 
V =  30.000 N 
I Z 
0,10 x 0,15
3
 
 
 
12 
 2,8125 x 10

 
5
 m 
4
 
máx t  
 75.000 x (0,075) 
2,8125 x 10

 
5
 
 200 x 10
6
 
 
N / m 
2
 
 
 200 MPa 
 
máx c  
 75.000 x (0,075) 
2,8125 x 10

 
5
 
 
  200 x 10
6
 
 
N / m 
2
 
 
  200 MPa 
 
máx  
30.000 x (0,10 x 0,075 x0,0375) 
0,10 x 2,8125 x 10

 
5
 
 3 x 10
6
 N / m 
2
  3 MPa 
 
 
 No engaste da viga tem-se: 
M =  30.000 (N) x 5,0 (m) =  150.000 N.m 
V =  30.000 N 
I Z 
0,10 x 0,25
3
 
 
 
12 
 1,3021 x 10

 
4
 m 
4
 
máx t 
 
 máx c 
 
 150.000 x (0,125) 
1,3021 x 10

 
4
 
 
 150.000 x ( 0,125) 
1,3021 x 10 

 
4
 
 144 x 10
6
 
 
  144 x 10
6
 
 
N / m 
2
 
 
N / m 
2
 
 
 144 MPa 
 
  144 MPa 
 
 máx  
30.000 x (0,10 x 0,125 x0,0625) 
0,10 x 1,3021 x 10 

 
4
 
 
 1,8 
 
x 10
6
 
 
N / m 
2
 
 
 1,8 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 172 
 
162. Para a viga abaixo calcule as tensões normais extremas (σmáx T e σmáx C ) e a maior 
tensão cisalhante. 
 
 
 
 
FY  0 
M A  0 
VA  VB  27.000 N 
12.000 x 1,2  15.000 x 2,7 


VB x 3,9 0 
VB  14.076,9 N 
M B  0  VA x 3,9  12.000 x 2,7  15.000 x 1,2 0 
VA  12.923,1 N 
0,18 x 0,36
3
  4 4 
 
I Z   6,998 x 10 m 
12 
máx t  
16.892,3 x 0,18 


6,998 x 10

 
4
 
4,34 x 10
6
 N / m 
2
 

4,34 MPa 
 
máx c  
16.892,3 x (0,18) 
 

6,998 x 10

 
4
 
 
4,34 x 10
6
 N / m 
2
 

 4,34 MPa 
 
 máx  
14.076,9 x 0,18 x0,18 x0,09 
 325.854,2 N / m 
2 
0,18 x 6,998 x10 

 
4
 
 0,326 MPa 
 
 
P á g i n a | 173 
 
163. A viga abaixo está solicitada por três forças atuando no plano de simetria vertical. 
Calcule as tensões normais extremas (σmáx T e σmáx C ) e a maior tensão cisalhante. 
 
 
FY  0 

VA  VB  12.500 N 
M A  0  6.000 x 2,0  4.500x 4,0 VB x 6,0  2.000x 9 0 
VB  8.000 N 
M B  0  6 x VA 6.000 x4,0  4.500 x2,0  2.000 x 3,0 0 
VA 4.500 N 
Cálculo do momento de inércia IZ: 
 
I Z 
b.h h
 
 2,25 
x10 4 m 4 
Cálculo das tensões normais extremas: 
 máx T 
M .y 


I Z 
9.000 x 0,15 


2,25 x10

 
4
 
 
6,0 x 10
6
 
 
N / m 
2
 
 
= 6,0 MPa 
 
 máx C 
M .y 


I Z 
9.000 x (0,15) 
 

2,25 x10

 
4
 
V .Q 
 
6,0 x 10
6
 
 
N / m 
2
 
 
=  6,0 MPa 
Cálculo de máx:  
b I Z 
máx 
6.000 x (0,10 x 0,15 x 0,075) 


0,10 x 2,25 10

 
4
 
 
3,0 x 10
5
 
 
N / m 
2
 
P á g i n a | 174 
 
164. Sendo   = constante, determine: 
a) a equação da tangente à linha elástica; 
b) a equação da linha elástica; 
c) a deflexão do ponto A; 
d) a deflexão do ponto d. 
 
 
 
 
Colocando-se o sistema de referência no ponto A: 
 
 
 
 


 
 
P á g i n a | 175 
 
 
 
165. Sendo   = constante, determine: 
a) a equação da tangente à linha elástica; 
b) a equação da linha elástica; 
c) a deflexão do ponto A; 
d) a deflexão do ponto d. 
 
 
 
 
 
M(x) 
 
E I v 
|
 
|
 


(x) 
- qx 
2
 
2 
  
qx 
2
 
(0  x  L)
P á g i n a | 176Os engastes impedem rotações, então: v 
|
 (L)  0 
 
 
 v
|
 
a) 
q L
3
 
6 
| 
+ C1  0 
 
q x
3
 
 
 


qL
3
 
 
 
C1 
E I v (x)  
6 6 
Integrando a equação acima tem-se a expressão de v(x): 
 
E I v(x) 
q x 
4
 
24 
 qL
3
x 
6
 
 C2
Os engastes impedem deslocamentos, então: v (L)  0 
 
E I v(L) 
q L
4
 
24 
 qL3L
6  C2  0  C2  
qL
4
 
24 
 qL4
6  
qL
4
 
8 
b) E I v(x)  
q x 
4
 
24 
 qL3x 


6 
qL
4
 
8 
c) E I v(0)  
q 0
4
 
24 
qL
4
 
 
qL
3
 0 


6 
qL
4
 
8 
v(0)  vA 


8E I 
 
 
q (L / 3)
4
 
 
 
qL
3
 (L / 3) 
 
 
qL
4
 
d) E I v(L / 3)   
24 6 8 
 
EIv(L / 3)
qL
4
 


1944 
qL
4
 
18 
 qL4
8  
(1  108 243) 
1944 
 
qL
4
 
v(L / 3) 
136 qL
4
 
vd 
1944EI 
 
17qL
4
 
243EI 
 
 
166. Sendo   = constante, determine: 
a) a equação da tangente à linha elástica; 
b) a equação da linha elástica; 
c) a deflexão máxima; 
d) a rotação nos apoios. 

P á g i n a | 177 
 
 
 
 
 
M(x) 

VA x  
qx 
2
 
2 
 
qL 
x 
2 
 
qx 
2
 
 
 
2 
 
(0  x  L) 
 
E I v 
 
| |
(x) 

| 
 
qL 
x 
2 
qL 2 
 
 
qx 
2
 
 
 
2 
qx
3
 
 
E I v (x)   x 
4 6 
 C1 
 
E I v(x)   
qL 
x
3
 
12 
qx 
4
 
24 
 
 C1 x  C2 
Condições de contorno (ou condições de extremidades): 
v(0)  0 e v(L)  0 
qL 3 q0
4
 
 
E I v(0)   0 
12 
qL 3 
 
 
24 
qL
4
 
 C1 0  C2  0  C2  0 
E I v(L) 

qL
4
 
 L 
12 24 
qL
4
 
 C1 L  0 
 
qL
3
 
C1L 

a) E I v 

12 
 
| 
(x) 
24 
 
qL 
4 


x 
2
 
C 1 

qx
3
 


6 
 
 
24 
qL
3
 
24 
b) E I v(x)   
qL 
x
3
 
12 
qx 
4
 
24 
qL
3
 
x 
24 
 
 
c) A deflexão máxima ocorre no meio da viga: 
 
 
E I v(L / 2)   
qL 
12 (L / 2)
3
 
q(L / 2)
4
 
24 
 qL3 
24 
 
(L / 2) 
 
E I v(L / 2)   
qL
4
 


96 
qL
4
 
384 
 qL4 


48 
(4 1  8) 
 
 
384 
 
qL
4
 

P á g i n a | 178 
 
x 
vmáx  v(L / 2) 
5 qL
4
 
 
 
384 EI 
 
Observação: Para vigas bi-apoiadas a deflexão máxima ocorre onde 
 
 
v
|
 (x)  0 
 
| 
 
qL 2 qx
3
 
 
 
 
 
qL
3
 
 
E I v (x)   
x 
4 6 
  0 
24 
De onde: 
 
 
x
3
 
 
L 2 
6 4 
 
L
3 

24 
 4x
3
 6L x 
2
  L
3
  0 
 
 
A equação do terceiro grau acima fornece três raízes reais que são: X1 = 
1,366L 
X2 = 0,5L 
X3 =  0,366L 
 
 
d) Rotação nos apoios: v
|
 (x)  (x) 
 
 
 
E I v 
 
 
E I v 
 v (0)  A 

 v (L)  B 





0 
| 
(0)  qL 0
2
  q0
3
 qL
3
 | qL
3
 

| 
(L)  
4 

qL 

L
2
 
6 

qL
3
 



24 

qL
3
 



| 
24 


E I 

qL
3
 
 4 6 24 24 E I 
 
P á g i n a | 179 
 
167. Determine a deflexão no meio da viga. EI = constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trecho 1: M(x)  
P 
x 
2 
(0  x  L / 2) 
 
E I v 
|
 
|
 (x) 
 
E I v 
|
 (x) 
  
P 
x 
2 
  
P 
x 
2
 
4 
 
 
 C1
Para x = L/2: v|(L/2) = 0 
 
E I v 
|
 
 
(L / 2)   
P 
(L / 2)
2
 
4 
 
 C1  0 
 
 C1 
PL
2
 
16 
 
E I v(x)   
P 
x
3
 
12 
 PL2
16 x  C2 
Para x = 0: v(0) = 0 
 
E I v(0)   
P 
0
3
 
12 
 
PL
2

16 
 
0  C2  0 
 
 C2  0 
Cálculo da deflexão no meio do vão: 
 
E I v(L / 2) 
 
  
P 
12 
 
(L / 2)
3
 
PL
2

16 
 
(L / 2) 

PL
3
 
 PL3 


96 
PL
3
 
32 
 
(1  3) 
96 
 
PL
3
 
v(L / 2)  vmáx 


48E I 
 
168. Sabendo que a deflexão máxima da viga abaixo é igual a 0,6 cm calcule o valor do 
módulo de elasticidade da viga abaixo. E I = constante. 
 
 
P á g i n a | 180 
 
v máx 
PL
3
 
48E I 
 
Iz 
0,15  0,30
3
 
12 
 
 3,375 x10
4
 m
4
 
 
0,006 
26000(6,4)
3
 
 
 
48E 3,375 x10
4
 
 
E  70,12 x 10
9
 N / m
2
 ou: E  70,12 GPa 
 
 
169. Calcule a deflexão (flecha) máxima da viga abaixo. 
Dados:  = 120 GPa; q = 80.000 N/m 
 
 
 
 
 
 
 
b h
3
 
I  
12 
0,20  (0,5)
3
 
 
 
12 


0,00652qL
4
 
I  2,083 x 10

 
3
 m
4
 
v(0,52L)  vmáx  
EI
 
 
vmáx  
0,00652 x 80.000 x (5)
4
 


120 x 10
9
 x 2,083 x 10
3
 
 
1,3 x 10
3
 m 
P á g i n a | 181 
 
 
 
 
 
170. Para a estrutura abaixo calcule as tensões normais extremas e a posição da linha 
neutra. Dado: F = 100.000 N 
 
Reduzindo a força F ao centróide tem-se: 
 
MZ = 100.000 (N) x 100 (mm) = 1,0 x 10
7 N.mm 
 
 
  
F 
A 
 
M z  y
Iz 
P á g i n a | 182 
 
  
 100.000 


200 x 400 
1,0 x10
7
  y 
 
 
200 x400
3
 
 
 
12 
   1,25  9,375 x 10

 
3
 y 
 
 
Cálculo das tensões normais extremas: 
 máx T   1,25  9,375 x 10

 
3
 (200)  0,625 N / mm
2
 
 máx C   1,25  9,375 x 10

 
3
 
 
(200)  3,125 N / mm
2
 
 
 
 
 
Equação da linha neutra:  = 0 
0   1,25  9,375 x 10

 
3
  y 
y  
1,25 


 9,375 x10 

 
3
 
 133,33 mm 
 
 
 
171. Calcule a tensão normal nos pontos f e g e a posição da linha neutra no engaste. 
Calcule também a tensão de cisalhamento máxima. 
 
 
 
 
Seção transversal do engaste: 
P á g i n a | 183 
 
Mz = – 3000 x 3,7 – 5.000 x 2,5 = – 23.600 N.m 
 
 
  
F 
A 
 
Mz  y
Iz 
 


 

Cálculo das tensões normais: 
 
150.000 


0,25 x 0,5 
 
 
 1,2 x 10
6
 
23600 y 
 
 
0,25 x0,5
3
 
 
 
12 
 
9,06 x 10
6
  y 
 f   1,2 x 10
6
  9,06 x 10
6
 ( 0,25)  1,06 MPa 
 g   1,2 x 10
6
  9,06 x 10
6
 ( 0,25)   3,46 MPa 
Equação da linha neutra:  = 0 
0   1,2 x 10
6
  9,06 x 10
6
  y 
 
1,2 x 10
6
 
y  
 9,06 x10 
6
 
 0,13 m 
 
 
 
 
 
Cálculo de máx: 
  
V  Q 
b  IZ 
  
8.000 x 0,25 x 0,25 x 0,125 







96.000 N / m
2
 
máx 
0,25 x 2,604 x10 

 
3
 
P á g i n a | 184 
 
172. Investigue se vai ocorrer flambagem do pilar BC. Dados: BC = 120 GPa; LBC = 4,0 m. 
 
 
 
 
 
 

2
E Imin 
 
Cálculo da carga crítica do pilar BC: PCR 
Lfl 
2
 
 
Imin  
50 x 30
3
 


12 
 
112.500 
 
mm
4
 
 
Lfl  K  L  1,0 x 4000  4000 mm 
 
PCR 

2
  120 x 10
3
 x 112500 
 
40002 



8.327,5 N 
 
A força de compressão que atua no pilar BC é maior do que a carga crítica ( Pcr) do 
pilar. Portanto, vai ocorre flambagem do pilar BC. 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 185 
 
173. Resolva o problema anterior considerando-se que o pilar BC está engastado no 
ponto C. 
 
 
 

2
E Imin 
 
Cálculo da carga crítica do pilar BC: PCR 
Lfl 
2
 
 
 
Lfl  K  L  0,7 x 4000  2800 mm 
 
 
PCR 

2
  120 x 10
3
 x 112500 
 
28002 
 16.994,9 N 
FBC  PCR , neste caso não vai ocorrer flambagem do pilar. 
 
 
174. Calcule o valor crítico da força P. As duas barras têm seção transversal circular com 
diâmetro  = 15mm e módulo de elasticidade  = 205 GPa. 
 
 
P á g i n a | 186 
 
cos   
0,345 
0,69 
   arc cos (0,5)   60
o
 
 
 
FY  0  P  F2 sen   0  F2   
P 
sen 60
o
 
  1,155 P 
 
 
FX  0  F1  F2 cos   0  F1   F2 cos 


F1  (1,155P) cos 60
o
  0,5775 P 
 
 

2
E Imin 
 
Cálculo da carga crítica da barra 2: PCR 
Lfl 
2
 
 
 
Imin  
 D
4
 


64 
(0,015)
4
 


64 
2,485 x 10

 
9
 m
4
 
 
 
Lfl  K  L  1,0 x 0,69  0,69 m 
 
 
 
PCR 

2
  205 x 10
9
 x 2,485 x 10

 
9
 
 
0,692 
 
 10.560 N 
 
 
Para que ocorra flambagem da barra 2: F2 = Pcr, então: 
 
 
1,155 P  10.560  P  9.142,9 N 
P á g i n a | 187 
 
175. Calcule a tensão normal e a tensão cisalhante nas direções  = 60º e  = 150º. 
 
 
 
 
 
 
x  
F 

A 
 12.000 


15 x 25 
x   32 MPa 
Para  = 60º tem-se as tensões: 
  x .sen 
2
   32 . sen 
2
 60
0
   24 MPa 
  x .sen.cos    (32)sen60
o
.cos 60
o
 

13,86 MPa 
Para  = 150º tem-se as tensões: 
  x .sen 
2
   32 . sen 
2
150
0
   8 MPa 
  x